Angewandte Funktionalanalysis

Manfred Dobrowolski
Angewandte Funktionalanalysis
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Inhaltsverzeichnis
1
Einige einführende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Konvexität und elementare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Der Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Topologische und metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Kompakte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
3
4
5
5
7
8
2
Banach- und Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Banach-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Endlich dimensionale Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Räume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Die Hölder-Räume C m,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
13
14
17
21
22
3
Die
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Prinzipien der Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Baire und das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit . . . . . . . . . . . .
Das Prinzip der offenen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hahn-Banach-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bidualraum und schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwache Folgenkompaktheit und reflexive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvexität und schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
28
30
32
34
36
4
Die
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Lebesgue-Räume Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der Räume Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mollifier und dichte Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Dualraum von Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
42
44
46
47
5
Die
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Sobolev-Räume H m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Fundamentallemma der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produkt- und Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzenquotienten und schwache Differenzierbarkeit von Lipschitzfunktionen . . .
53
53
53
55
58
60
6
Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 C0∞ ( n ) ist dicht in H m,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Der Transformationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Fortsetzungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
66
66
67
R
4
Inhaltsverzeichnis
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
7
Einbettungen in Lq (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Randwerte von Sobolev-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompakte Einbettungen in Lq (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einbettungen in Räume stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dualräume von H m,p (Ω) und die Räume H −m,q (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die gebrochenen Sobolev-Räume H s,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein exakter Spur- und Fortsetzungssatz für H 1,p -Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reelle Interpolation von Banach-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Räume H s,p und N s,p als Interpolationsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
70
73
76
78
79
83
87
89
Elliptische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1 Starke und schwache Lösungen der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Existenz von Lösungen elliptischer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Die Differenzenquotienten-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4 Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5 Die Verfahren von Ritz und Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.6 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1
Einige einführende Begriffe
1.1 Konvexität und elementare Ungleichungen
Sei X ein
K-Vektorraum (K = R oder C).
(a) Eine Teilmenge A von X heißt konvex, wenn mit x, y ∈ A auch die Verbindungsstrecke in A
liegt, wenn also tx + (1 − t)y ∈ A für alle t ∈ [0, 1].
(b) Eine auf einer konvexen Teilmenge A des Vektorraums X definierte reellwertige Funktion f
heißt konvex, wenn für alle x, y ∈ A und t ∈ [0, 1] gilt
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).
f heißt konkav, wenn −f konvex ist.
(c) Sind x1 , . . . , xk ∈ X und t1 , . . . , tk ∈
Konvexkombination der xi .
R mit 0
≤ ti ≤ 1 und
P
i ti
= 1, so heißt
P
i ti xi
(d) Die konvexe Hülle einer Menge A ⊂ X besteht aus allen Konvexkombinationen von Elementen
von A.
Satz 1.1. Sei X ein
K-Vektorraum.
(a) Eine Menge A ⊂ X ist genau dann konvex, wenn alle Konvexkombinationen von Elementen
von A in A liegen.
(b) Sei A ⊂ X P
konvex. Eine Funktion f : A →
kombinationen i ti xi , xi ∈ A, gilt
f
k
³X
i=1
R ist genau dann konvex, wenn für alle Konvex-
k
´ X
ti f (xi ).
ti xi ≤
i=1
(c) Die konvexe Hülle einer Menge A ⊂ X ist konvex.
Beweis. (a) Für konvexes A ist die Behauptung für k = 2 erfüllt. Für k > 2 verwenden wir
Pk
Induktion über k. Für eine Konvexkombination i=1 ti xi mit 0 < tk < 1 folgt aus
y=
k−1
X
i=1
daß
k
X
i=1
1
ti xi ∈ A,
1 − tk
ti xi = (1 − tk )y + tk xk ∈ A.
(b) ist wie (a).
(c) folgt aus der Tatsache, daß eine Konvexkombination von Konvexkombinationen wiederum
eine Konvexkombination ergibt.
⊓
⊔
R
Satz 1.2. Sei Ω ⊂ n ein konvexes Gebiet. f ∈ C 2 (Ω) ist genau dann konvex (konkav), wenn die
Hesse-Matrix (D2 f (x)) für alle x ∈ Ω positiv (negativ) semidefinit ist.
2
1 Einige einführende Begriffe
R
Beweis. Sei x0 ∈ Ω und y ∈ n \ {0}. Die Funktion φ(t) = f (x0 + ty) ist in einer Umgebung von
0 definiert. Wir schreiben den Satz von Taylor in der Form
1 ′′
φ (τ ) t2 ,
2
φ(t) − φ(0) − φ′ (0) t =
τ ∈ (0, t).
Ist f und damit φ konvex, so ist die linke Seite nichtnegativ, weil die Tangente einer konvexen
Funktion unterhalb ihres Graphen liegt. Division durch t2 und Grenzübergang t → 0 liefern φ′′ (0) ≥
0 und damit nach der Kettenregel y T D2 f (x0 )y ≥ 0. Die umgekehrte Richtung zeigt man analog.
⊓
⊔
Die Youngsche Ungleichung mit ε
ab ≤
ε 2
1
a + b2
2
2ε
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
(1.1)
läßt sich mit der binomischen Formel beweisen. Die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung
ab ≤
1 p p 1 −q q
ε a + ε b
p
q
∀a, b ≥ 0, ε > 0,
(1.2)
mit p−1 + q −1 = 1, 1 < p, q < ∞, beweist man für a, b > 0, indem man ausnutzt, daß der
Logarithmus konkav ist,
ln
¡ 1 p p 1 −q q ¢ 1
1
ε a + ε b ≥ ln(εp ap ) + ln(ε−q bq ) = ln(ab).
p
q
p
q
Ein anderer Typ von Ungleichung ist die Cauchy-Ungleichung
|(x, y)| ≤ |x| |y|
∀x, y ∈
Kn ,
(1.3)
die mit einem Homogenitätsargument bewiesen wird, das in dieser Form häufig vorkommt. Zunächst
ist die Ungleichung richtig, wenn einer der beiden Vektoren verschwindet. Für x̃, ỹ 6= 0 kann man
die Cauchy-Ungleichung durch die Setzung x = |x̃|−1 x̃, y = |ỹ|−1 ỹ auf den Fall |x| = |y| = 1
zurückführen und dadurch die Homogenität der Cauchy-Ungleichung ausnutzen. Für solche x, y
erhalten wir aus der Youngschen Ungleichung mit ε = 1
n
n
n
n
¯ X
¯X
1X
1X
¯
¯
|(x, y)| = ¯
|xi |2 +
|yi |2 = 1.
|xi ||yi | ≤
xi yi ¯ ≤
2
2
i=1
i=1
i=1
i=1
Die verallgemeinerte Cauchy-Ungleichung
|(x, y)| ≤
n
¡X
i=1
|xi |p
n
¢1/p ¡ X
i=1
|yi |q
¢1/q
∀x, y ∈
Kn
(1.4)
mit p−1 +q −1 = 1, 1 < p, q < ∞, beweist man genauso mit Hilfe der verallgemeinerten Youngschen
Ungleichung.
Für die Ungleichung des geometrischen und des arithmetischen Mittels
n
¡Y
i=1
ai
¢1/n
n
1X
ai ,
≤
n i=1
ai > 0,
(1.5)
gibt es eine Vielzahl von Beweisen. Am elegantesten nutzt man die Monotonie des natürlichen
Logarithmus ln aus, (1.5) ist äquivalent zu
n
n
¡1 X ¢
1X
ln ai ≤ ln
ai .
n i=1
n i=1
Diese Ungleichung ist richtig, weil der Logarithmus konkav ist.
1.2 Der Gaußsche Integralsatz
3
1.2 Der Gaußsche Integralsatz
1.2.1 Der Divergenzoperator
R
Ein stetig differenzierbares Vektorfeld u : Ω → 3 wollen wir uns als stationäre Strömung einer
Flüssigkeit oder eines Gases vorstellen, wobei u(x) = (u1 (x), u2 (x), u3 (x)) ∈ 3 den Geschwindigkeitsvektor des Teilchens bezeichnet, das sich am Ort x ∈ Ω befindet.
Nun betrachten wir einen achsenparallelen Quader Q ⊆ Ω und wollen untersuchen, wie die
Bilanz der in den Quader in einer Zeiteinheit ein- bzw. ausfließenden Teilchen aussieht. Dazu legen
wir den Normaleneinheitsvektor ν auf ∂Q als äußere Normale fest. Für den Fluß ϕ durch Q in
einer Zeiteinheit gilt dann
Z
ϕ=
u · ν dσ ,
(1.6)
R
∂Q
wobei das Integral über ∂Q als die Summe der Integrale über die sechs Seitenflächen zu interpretieren ist. Die Normale ist ja auf den Kanten des Quaders nicht definiert.
Wir wollen (1.6) mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung in ein Volumenintegral umformen. Dazu ist zu beachten, daß im Integranden von (1.6) bei gegenüberliegenden
Flächen nur eine Komponente von u zum Zuge kommt, weil der Normalenvektor in den beiden
anderen Komponenten verschwindet. Wir bezeichnen die orthogonal zur x1 –Achse gelegenen Seitenflächen mit
F = {x ∈ 3 : x1 = a1 und (x2 , x3 ) ∈ Q′ } ,
R
G = {x ∈ R3 : x1 = b1 und (x2 , x3 ) ∈ Q′ } ,
wobei Q′ = [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ] ein Rechteck des R2 ist. Aus dem Hauptsatz und dem Satz von Fubini
folgt
Z
F +G
u · ν dσ =
=
=
Z
u1 dσ −
G
Z b3
a3
Z b3
a3
Z
b2
a2
Z b2
a2
Z
u1 dσ =
Z
Q′
F
{u1 (b1 , x2 , x3 ) − u1 (a1 , x2 , x3 )} d(x2 , x3 )
{u1 (b1 , x2 , x3 ) − u1 (a1 , x2 , x3 )} dx2 dx3
Z
b1
D1 u(x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 =
a1
Z
D1 u dx,
Q
∂
bezeichnen. Da die anderen beiden Komponenwobei wir die partiellen Ableitungen mit Di = ∂x
i
ten genauso bearbeitet werden können, ergibt sich
Z
Z
ϕ=
u · ν dσ =
div u dx
(1.7)
∂Q
Q
mit dem Divergenzoperator
div u = D1 u1 + D2 u2 + D3 u3 .
(1.7) ist schon der Gaußsche Integralsatz für quaderförmige Grundgebiete. Wir betrachten nun
Quader Qh mit Kantenlänge h und x ∈ Qh . Da div u stetig ist, folgt
Z
1
div u dx .
div u(x) = lim
h→0 µ(Qh ) Q
h
Zusammen mit (1.7) können wir diese Gleichung so interpretieren, daß div u(x) die Quellenstärke
(oder auch negative Senkenstärke) der Strömung u angibt. Wenn Q ein kleiner Quader mit x ∈ Q
ist, so fließt in einer Zeiteinheit ungefähr div u(x)µ(Q) Masse aus Q aus oder — wenn div u(x) < 0
— in Q hinein. Als Spezialfall haben wir die inkompressiblen Fluide (=Flüssigkeiten), die, wenn
keine echten Quellen oder Senken vorliegen, die partielle Differentialgleichung div u = 0 erfüllen.
Bei gasförmigen Fluiden kann dagegen Materie durch Verdünnung in Q austreten.
Der Divergenzoperator ist linear auf den stetig differenzierbaren Vektorfeldern,
div (αu + βv) = αdiv u + βdiv v ,
α, β ∈
R.
Für das Produkt einer skalaren Funktion ϕ und einem Vektorfeld u erhalten wir aus der Produktregel
div (ϕu) = Dϕ · u + ϕ div u
mit dem Gradienten D = (D1 , D2 , D3 )T .
4
1 Einige einführende Begriffe
1.2.2 Der Gaußsche Integralsatz
Wir wollen zeigen, daß die Formel (1.7) auch für allgemeine räumliche Gebiete richtig bleibt und
genauso interpretiert werden kann
R wie im letzten Abschnitt. Dazu muß das Gebiet Ω so beschaffen
sein, daß man dem Ausdruck ∂Ω u · ν dσ einen Sinn geben kann; insbesondere muß der Normalenvektor ν fast überall“ auf ∂Ω existieren. Erinnert sei an den Satz, daß der Rand einer ebenen
”
meßbaren und kompakten Menge meßbar ist und Maß 0 besitzt. Dieser Satz bleibt natürlich auch
für glatte Flächen richtig. Daher kann u · ν auf Rändern integriert werden, die aus glatten Flächen
zusammengesetzt sind; nur an den Nahtstellen ist dann ν undefiniert. Weil diese Nahtstellen Nullmengen sind, kann das Oberflächenintegral als Summe über die glatten Teilflächen interpretiert
werden. Von dieser Konvention haben wir im letzten Abschnitt schon Gebrauch gemacht.
R
Satz 1.3 (Gaußscher Integralsatz). Sei u : Ω → 3 stetig differenzierbar auf dem beschränkten
Gebiet Ω mit stückweise glattem Rand. Dann gilt
Z
Z
div u dx ,
u · ν dσ =
Ω
∂Ω
wobei die Einheitsnormale ν nach außen gerichtet ist.
Eine äquivalente und genauso wichtige Version des Gaußschen Integralsatzes erhalten wir, indem
wir die i- te Komponente von u als skalare Funktion φ und die übrigen Komponenten als 0 setzen.
Dann
Z
Z
ϕ νi dσ =
Di ϕ dx , i = 1, 2, 3 ,
(1.8)
∂Ω
Ω
wobei νi die i- te Komponente des nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektors bezeichnet.
Beweis. Beim Beweis dieses Satzes machen wir vom Zerlegungsprinzip für Oberflächenintegrale
Gebrauch, das auch an anderer Stelle häufig vorkommt. Wenn Ω in zwei
stückweise glatte Teilbereiche Ω1 und Ω2 zerlegt wird, so sind beide
Seiten des Gaußschen Integralsatzes additiv, wenn ν die äußere Normale
auch der beiden Teilgebiete bezeichnet:
Z
Z
Z
Ω2
div u dx =
div u dx +
div u dx ,
Ω
Ω
Z
∂Ω
Ω1
u · ν dσ =
Z
∂Ω1
1
Ω2
u · ν dσ +
Z
∂Ω2
u · ν dσ,
Γ
denn die Flächenintegrale über Γ heben sich aufgrund der entgegengesetzten Normalenrichtungen
auf Γ auf. Es genügt also, den Satz für einfache“ Gebiete zu zeigen.
”
Wir zeigen den skalaren Fall in
x3
(1.8). Nach dem Zerlegungsprinzip unterteilen wir ein kompliziertes Gebiet
h2(x1,x2)
so lange bis die nebenstehende Situation erreicht ist. Über einem ebenen Bereich B betrachten wir die Säule, die
x2
h1(x1,x2)
durch die Funktionen x3 = h2 (x1 , x2 )
und x3 = h1 (x1 , x2 ) begrenzt ist. Der
B
Hauptsatz der Differential- und Intex1
gralrechnung liefert
Z
h2 (x1 ,x2 )
h1 (x1 ,x2 )
D3 ϕ(x1 , x2 , x3 ) dx3 = ϕ(x1 , x2 , h2 (x1 , x2 )) − ϕ(x1 , x2 , h1 (x1 , x2 )).
Diese Identität wird bezüglich (x1 , x2 ) über B integriert und auf der linken Seite der Satz von
Fubini angewendet,
Z
Z
D3 ϕ(x) dx =
{ϕ(x1 , x2 , h2 (x1 , x2 )) − ϕ(x1 , x2 , h1 (x1 , x2 ))} d(x1 , x2 ).
(1.9)
Ω
B
Wir wollen die rechte Seite von (1.9) als Oberflächenintegral schreiben und überlegen uns dazu,
parametrisierte Fläche den Parameterbereich verzerrt.
wie eine durch eine Funktion h : B →
R
1.3 Topologische und metrische Räume
5
Das Bild eines kleinen Quadrats Q = (0, ε)2 ⊂ B unter der Abbildung h ist in erster Näherung ein
Parallelogramm, das von den beiden Ortsvektoren




0
ε
,

, 
ε
0
D2 h(0)ε
D1 h(0)ε
erzeugt wird. Den Flächeninhalt berechnet man bekanntlich durch
¯
¯

¯
ε
0
i ¯¯
¯
p
¯
¯

0
ε
j ¯ = ε2 1 + |D1 h(0)|2 + |D2 h(0)|2 ,
¯det 
¯
¯
¯
D1 h(0)ε D2 h(0)ε k ¯
daher erhält man für die Flächenelemente
dσ =
Für die Einheitsnormale der Fläche gilt
p
1 + |Dh|2 dx.


−D1 h
ν = (1 + |D1 h|2 + |D2 h|2 )−1/2  −D2 h  ,
1
also haben wir in (1.9)
Z
Z
{ϕ(x1 , x2 , h2 (x1 , x2 )) − ϕ(x1 , x2 , h1 (x1 , x2 ))} d(x1 , x2 ) =
B
ϕ(σ)ν3 dσ +
F2
Z
ϕ(σ)ν3 dσ,
F1
wobei ν jeweils aus G zeigt. Da auf dem restlichen Rand ν3 = 0 gilt, ist der Satz bewiesen.
⊓
⊔
Eine wichtige Folgerung des Gaußschen Integralsatzes ist
R
Satz 1.4 (Partielle Integration). Seien f, g : Ω → stetig differenzierbar auf Ω . Dann gilt
Z
Z
Z
Di f g dx = −
f Di g dx +
f gνi dσ, i = 1, . . . , n .
Ω
Ω
∂Ω
Beweis. Wir setzen in (1.8) ϕ = f g und wenden die Produktformel an.
⊓
⊔
Die partielle Integration wird auch Wälzformel genannt, weil die Ableitung von f auf g gewälzt
wird.
1.3 Topologische und metrische Räume
1.3.1 Topologische Räume
Eine Topologie τ auf einer Menge X ist ein System von Teilmengen von X, die offene Mengen
genannt werden, mit:
(a) ∅ und X sind offen.
(b) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(c) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
Das Paar (X, τ ) ist dann ein topologischer Raum.
Ein topologischer Raum heißt Hausdorff-Raum, wenn das folgende Trennungsaxiom erfüllt ist:
(T) Zu allen x, y ∈ X mit x 6= y gibt es offene Mengen A, B mit x ∈ A, y ∈ B und A ∩ B = ∅.
Wenn τ1 , τ2 Topologien auf der Menge X sind mit τ1 ⊂ τ2 , so heißt τ1 gröber als τ2 und
entsprechend τ2 feiner als τ1 .
Für eine beliebige Menge ist die Potenzmenge von X eine Topologie auf X, die diskrete Topologie
genannt wird. Sie macht (X, τ ) zu einem Hausdorff-Raum und ist die feinste überhaupt mögliche
Topologie. Dagegen besteht die gröbste Topologie einer Menge X nur aus der leeren Menge und
6
1 Einige einführende Begriffe
dem ganzen Raum. Wenn X aus mehr als einem Element besteht, so ist für diese Topologie das
Trennungsaxiom nicht erfüllt.
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine beliebige Teilmenge. Dann ist A zusammen
mit den Mengen {M ∩ A : M ∈ τ } ein topologischer Raum. Diese Topologie heißt Relativtopologie
auf A. Wenn A nicht selber offen in X ist, so sind die offenen Mengen der Relativtopologie nicht
notwendig offen in X.
Analog zu den Begriffen im n definiert man für Teilmengen A eines topologischen Raums X:
R
c
A ist abgeschlossen ⇔ A ist offen,
(Ac = X \ A = Komplement von A)
int A = Vereinigung aller in A enthaltenen offenen Mengen,
A = Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten.
int A heißt das Innere von A, A der Abschluß von A. Nach Definition ist int A offen. Da die abgeschlossenen Mengen durch Komplementbildung definiert sind, gilt: Der beliebige Durchschnitt
und die endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, insbesondere ist A abgeschlossen.
In der diskreten Topologie sind alle Mengen A offen und abgeschlossen und es gilt A = int A =
A. In der gröbsten Topologie sind nur die leere Menge und der ganze Raum offen und abgeschlossen.
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Eine Menge U ⊂ X heißt Umgebung eines x ∈ X, wenn U
offen ist mit x ∈ U. x heißt innerer Punkt einer Menge A ⊂ X, wenn eine Umgebung von x in A
enthalten ist. x ∈ X heißt Berührpunkt von A ⊂ X, wenn in jeder Umgebung von x mindestens ein
Punkt von A liegt. x ∈ X heißt Randpunkt von A ⊂ X, wenn in jeder Umgebung von X mindestens
ein Punkt von A und mindestens ein Punkt von Ac liegt. Mit ∂A wird die Menge der Randpunkte
von A bezeichnet.
Mit diesen Definitionen lassen sich offene und abgeschlossene Mengen auch anders charakterisieren:
Lemma 1.5. Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊂ X. Dann gilt:
(a) A ist offen ⇔ Jedes x ∈ A ist innerer Punkt von A,
(b) A ist abgeschlossen ⇔ Jeder Berührpunkt von A gehört zu A,
(c) int A = Menge der inneren Punkte von A,
(d) A = Menge der Berührpunkte von A.
Beweis. (a): Die Richtung ⇐” gilt wegen A = ∪x∈A U (x), wobei U (x) eine ganz in A liegende Um”
gebung von x ist. Wenn umgekehrt A offen ist, so ist A auch eine ganz in A enthaltene Umgebung
eines jeden x ∈ A.
(b) folgt aus (a) durch Betrachtung des Komplements. (c) und (d) folgen direkt aus (a) bzw. (b).
⊓
⊔
Seien X, Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt im Punkt x ∈ X stetig, wenn
es zu jeder Umgebung V von f (x) eine Umgebung U von x gibt mit f (U ) ⊂ V.
Satz 1.6. Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann in jedem Punkt x ∈ X stetig, wenn die
Urbilder offener Mengen offen sind.
Beweis. Sei f in jedem Punkt von X stetig und sei V offen in Y . Zu jedem x ∈ f −1 (V ) gibt es
nach Voraussetzung eine Umgebung Ux von x mit f (Ux ) ⊂ V. Damit ist jeder Punkt von f −1 (V )
innerer Punkt von f −1 (V ) und die Menge nach Lemma 1.5(a) offen.
Seien umgekehrt die Urbilder offener Mengen offen. Sei x ∈ X und V eine Umgebung von f (x).
Dann ist U = f −1 (V ) eine Umgebung von x mit f (U ) = V.
⊓
⊔
Auch hier wollen wir uns die Definition an einem Extremfall veranschaulichen. Wenn der Raum
X mit der diskreten Topologie ausgestattet ist, so sind unabhängig von der Topologie in Y alle
Abbildungen stetig. Der Leser mache sich klar, daß man die Stetigkeit einer Abbildung erzwingen
kann, indem man genügend viele offene Mengen zur Topologie des Definitionsraums hinzufügt.
Direkt aus der Definition beweist man den bekannten Satz, daß die Komposition stetiger Abbildungen zwischen topologischen Räumen wiederum stetig ist. Weiter folgt aus der Definition der
Stetigkeit durch Komplementbildung, daß eine Abbildung genau dann stetig ist, wenn die Urbilder
abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.
Eine Abbildung f : X → Y heißt offen, wenn die Bilder offener Mengen offen sind. f heißt
Homöomorphismus, wenn f bijektiv, stetig und offen ist, was impliziert, daß auch die Inverse f −1
1.3 Topologische und metrische Räume
7
stetig ist. Gibt es einen solchen Homöomorphismus zwischen X und Y , so heißen die Räume X
und Y homöomorph.
Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt dicht, wenn A = X. Ein topologischer
Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
Der n mit der Standardtopologie ist separabel, weil die Punkte mit rationalen Koordinaten
dicht liegen, denn jede offene Kugel enthält auch Punkte mit rationalen Koordinaten.
R
1.3.2 Metrische Räume
Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → [0, ∞) heißt Metrik auf X, wenn:
(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(b) d(x, y) = d(y, x)
(Symmetrie),
(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
(Dreiecksungleichung).
Das Paar (X, d) heißt dann metrischer Raum.
Aus der Definition der Metrik folgt die Vierecksungleichung
′
′
′
′
|d(x, y) − d(x , y )| ≤ d(x, x ) + d(y, y ),
(1.10)
y’
y
denn die Dreiecksungleichung liefert
d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y ′ ) + d(y, y ′ ),
d(x′ , y ′ ) ≤ d(x, x′ ) + d(x, y) + d(y, y ′ ),
x
x’
womit (1.10) gezeigt ist. Analog beweist man die umgekehrte Dreiecksungleichung
|d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z).
Mit der Metrik lassen sich auch die Entfernung zwischen zwei Teilmengen von X angeben,
nämlich
dist (A, B) = inf d(x, y).
x∈A, y∈B
Beispiele 1.7 (i) Der
K , K = R oder K = C, mit d(x, y) = |x − y| ist metrischer Raum.
n
(ii) Auf einer beliebigen Menge X läßt sich die diskrete Metrik definieren durch d(x, y) = 1 für
x 6= y und d(x, x) = 0.
(iii) Jede Teilmenge eines metrischen Raums ist mit der gleichen Abstandsfunktion selber ein
metrischer Raum.
Wir definieren die Kugeln
BR (x) = {y ∈ X : d(x, y) < R},
B̃R (x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ R},
und setzen:
A ⊂ X ist offen ⇔ Zu jedem x ∈ A gibt es ein k > 0, so daß B1/k (x) ⊂ A.
Mit den so definierten offenen Mengen ist X ein topologischer Raum. Wie aus der Dreiecksungleichung sofort folgt, ist B1/k (x) selber offen. Das Hausdorffsche Trennungsaxiom ist ebenfalls erfüllt:
Ist x 6= y, so gilt für genügend großes k, daß B1/k (x) ∩ B1/k (y) = ∅.
Eine Folge (xk ) konvergiert gegen x, Schreibweise xk → x, wenn in jeder Umgebung von x fast
alle Folgenglieder liegen, also:
Zu jedem ε > 0 gibt es ein K ∈
N, so daß d(xk , x) < ε für alle k ≥ K.
Lemma 1.8. Sei (X, d) metrischer Raum. x ∈ X ist genau dann Berührpunkt einer Menge A ⊂ X,
wenn es eine Folge in X gibt, die gegen x konvergiert.
Beweis. Ist x Berührpunkt der Menge A, so enthält jedes B1/k (x) ein xk ∈ A. Offenbar gilt dann
xk → x. Ist x kein Berührpunkt von A, so gibt es eine Umgebung U von x, die keinen Punkt von
A enthält. Da x innerer Punkt von U ist, gibt es eine Kugel B1/k (x) ⊂ U , die ebenfalls keinen
Punkt von A enthält.
⊓
⊔
8
1 Einige einführende Begriffe
Lemma 1.9. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume und f : X → Y eine Abbildung. f ist
genau dann in x ∈ X stetig, wenn für alle Folgen mit xk → x gilt f (xk ) → f (x).
Beweis. Sei f in x ∈ X stetig und xk → x. Zu einem beliebigen l gibt es ein k mit f (B1/k (x)) ⊂
B1/l (f (x)). Da fast alle Folgenglieder in B1/k (x) enthalten sind, sind auch fast alle Glieder der
Folge (f (xk )) in B1/l (f (x)) enthalten, also f (xk ) → f (x).
Für die andere Richtung nehmen wir an, daß f nicht stetig in x ist. Dann gibt es ein l, sodaß
für alle k gilt f (B1/k (x)) 6⊂ B1/l (f (x)). Wir können daher ein xk ∈ B1/k (x) wählen mit f (xk ) ∈
/
B1/l (f (x)). Dann gilt xk → x, aber f (xk ) 6→ f (x).
⊓
⊔
Die Metrik eines metrischen Raums ist folgenstetig, denn wenn xk → x und yk → y, so folgt
aus der Vierecksungleichung (1.10)
|d(x, y) − d(xk , yk )| ≤ d(x, xk ) + d(y, yk ) < 2ε,
also d(xk , yk ) → d(x, y).
Analog zur Analysis des
Rn definieren wir:
Definition 1.10. Eine Folge (xk ) im metrischen Raum X heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem
ε > 0 ein K ∈ gibt mit
d(xk , xl ) < ε für alle k, l ≥ K.
N
X heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen ein x ∈ X konvergiert.
Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge, denn aus d(xk , x) < ε, d(xl , x) < ε für alle k, l ≥ K folgt
mit der Dreiecksungleichung d(xk , xl ) < 2ε. Weiter ist jede Cauchy-Folge beschränkt, also für ein
x ∈ X in einer Kugel BR (x) enthalten.
Lemma 1.11. Sei X ein vollständiger metrischer Raum und A ⊂ X. Dann gilt:
A ist vollständig ⇔ A ist abgeschlossen.
Beweis. Sei A abgeschlossene Teilmenge des vollständigen metrischen Raums X. Eine CauchyFolge (xk ) in A hat einen Grenzwert x ∈ X. x ist Berührpunkt von A und gehört nach Lemma 1.5
ebenfalls zu A. Wenn umgekehrt A nicht abgeschlossen ist, so gibt es einen Berührpunkt von A,
der nicht zu A gehört. Nach Lemma 1.8 existiert eine Folge in A, die gegen diesen Berührpunkt
konvergiert. Da eine konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist, ist die Behauptung gezeigt. ⊓
⊔
Definition 1.12. Seien (X, dx ), (Y, dy ) metrische Räume. Eine Abbildung T : X → Y heißt Isometrie, wenn für alle x, x′ ∈ X gilt
dx (x, x′ ) = dy (T (x), T (x′ )).
Zwei metrische Räume heißen isometrisch, wenn es eine bijektive Isometrie zwischen ihnen gibt.
Eine Isometrie ist injektiv und stetig. Die auf dem Bildbereich definierte Umkehrabbildung einer
Isometrie ist ebenfalls eine Isometrie. Daher besitzen isometrische Räume die gleiche metrische
Struktur, können also miteinander identifiziert werden.
In der elementaren Analysis konstruiert man die reellen aus den rationalen Zahlen, indem man
Cauchy-Folgen in den rationalen Zahlen zu Äquivalenzklassen zusammenfaßt und diese mit einer
reellen Zahl identifiziert. Die gleiche Vervollständigung” kann bei allgemeinen metrischen Räumen
”
durchgeführt werden. Wir können uns daher den Beweis des nächsten Satzes schenken.
Satz 1.13. Sei X ein metrischer Raum. Dann gibt es einen vollständigen metrischen Raum X̃ und
eine Isometrie i : X → X̃, so daß i(X) dicht in X̃ ist.
1.3.3 Kompakte Räume
Bekanntlich heißt ein topologischer Raum X kompakt, wenn jedes System von offenen Mengen,
das X überdeckt, eine endliche Teilüberdeckung enthält. Diese Definition wird natürlich auch auf
Teilmengen A ⊂ X angewendet, wobei A mit der Relativtopologie versehen wird. A ⊂ X heißt
relativ kompakt, wenn der Abschluß A kompakt ist.
Aufgaben
9
Im metrischen Raum lassen sich weitere Kompaktheitsbegriffe definieren. Die Teilmenge A ⊂ X
des metrischen Raums X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente Teilfolge
besitzt. A heißt präkompakt, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele offene Kugeln vom Radius ε
gibt, die A überdecken.
Wenn ein metrischer Raum folgenkompakt ist, so ist er vollständig. Um dies einzusehen, geben
wir uns eine beliebige Cauchy-Folge (xk ) vor. Diese besitzt aufgrund der Folgenkompaktheit eine
Teilfolge mit xkl → x. Zu vorgegebenem ε > 0 existiert ein l ∈ und ein M ∈ mit d(xkl , x) < ε
und d(xkl , xm ) < ε für alle m ≥ M. Daher d(xm , x) < 2ε für alle m ≥ M. Eine Cauchy-Folge ist
bereits konvergent, wenn eine Teilfolge konvergent ist.
N
N
Satz 1.14. Sei X ein vollständiger metrischer Raum und A eine Teilmenge von X. Dann sind
äquivalent.
(a) A ist kompakt.
(b) A ist folgenkompakt.
(c) A ist abgeschlossen und präkompakt.
Anmerkung 1.15. Man überlege sich, daß der Abschluß einer präkompakten Menge ebenfalls
präkompakt ist. Daher gilt im vollständigen metrischen Raum
A präkompakt
⇔
A relativ kompakt.
Beweis. A kompakt ⇒ A folgenkompakt: Angenommen, es gibt eine Folge (xk )k∈N , die keine konvergente Teilfolge besitzt. Als erstes beweisen wir die Zwischenbehauptung:
Zu jedem x ∈ X gibt es ein m, sodaß Bm = B1/m (x), nur endlich viele Folgenglieder enthält.
Wenn in jedem Bm unendlich viele Folgenglieder liegen, so können wir induktiv aus Bm ein Folgenglied xkm auswählen mit km > km−1 . Da jede Umgebung von x ein Bm enthält, enthält sie
auch fast alle Glieder dieser Teilfolge, d.h. xkm → x. Widerspruch!
Die auf diese Art gewonnenen Bk (x) bilden eine offene Überdeckung, die wegen der Kompaktheit von X eine endliche Teilüberdeckung enthält. Nach Konstruktion liegen in dieser Teilüberdeckung nur endlich viele Folgenglieder, was einen Widerspruch bedeutet.
A folgenkompakt ⇒ A präkompakt und abgeschlossen: Da jeder Grenzwert von Folgen in A zu
A gehören muß, ist A abgeschlossen. Angenommen, A wäre folgenkompakt, aber nicht präkompakt.
Dann gibt es ein ε > 0 und eine Folge (xk ) in A mit d(xk , xl ) ≥ ε. Diese xk besitzen offenbar keine
konvergente Teilfolge.
A präkompakt und abgeschlossen ⇒ A kompakt: Angenommen, {Ai }i∈I wäre eine offene Überdeckung von A, die keine endliche Teilüberdeckung enthält. A läßt sich durch Kugeln B 1 , . . . , B i
vom Radius 1 überdecken. Unter diesen muß es eine Kugel B0 (x0 ) geben, so daß die Menge B0 (x0 )
sich ebenfalls nicht durch endlich viele dieser Ai überdecken läßt. B0 (x0 ) wird durch endlich viele
Kugeln vom Radius ε1 = 2−1 überdeckt und wieder wird eine Kugel B1 (x1 ) gefunden, die sich nicht
durch endlich viele Ai überdecken läßt. Dieses Argument wird mit εk = 2−k iteriert. Wir erhalten
eine Folge von Kugeln Uk = B2−k (xk ), die sich nicht durch endlich viele Ai überdecken lassen.
Nach Konstruktion kann auch Uk ∩ Uk+1 6= ∅ erreicht werden. Damit gilt d(xk , xk+1 ) < 2−k+1 und
(xk ) ist Cauchy-Folge, die aufgrund der Vollständigkeit von A einen Grenzwert x ∈ A besitzt. Für
ein i ist x ∈ Ai und mit Ai offen ist Br (x) ⊂ Ai mit r > 0. Daher Uk ⊂ Ai für genügend großes k.
Widerspruch!
⊓
⊔
Als Anwendung dieses Satzes beweisen wir folgende Eigenschaft kompakter metrischer Räume.
Satz 1.16. Ein kompakter metrischer Raum ist separabel.
Beweis. Für εk = 1/k können wir den Raum durch endlich viele Kugeln mit Mittelpunkten xkl ,
l = 1, . . . , Nk , überdecken. Diese Mittelpunkte liegen dicht, denn jeder Punkt des Raums läßt sich
durch solche Mittelpunkte beliebig genau approximieren.
⊓
⊔
Nun verallgemeinern wir einen aus der Analysis wohlbekannten Satz.
Satz 1.17. Das stetige Bild eines kompakten Raums ist kompakt. Insbesondere nehmen auf kompakten Räumen stetige, reellwertige Abbildungen Maximum und Minimum an.
Beweis. Seien X, Y topologische Räume mit X kompakt und f : X → Y sei stetig. Wir betrachten
die Urbildmengen einer offenen Überdeckung von f (X). Diese bilden eine offene Überdeckung
von X, aus der wir eine endliche Teilüberdeckung auswählen können. Die zugehörigen Mengen im
Bildbereich bilden die gesuchte endliche Überdeckung von f (X).
⊓
⊔
10
1 Einige einführende Begriffe
Aufgaben
Die den Aufgaben beigefügten Zahlen sollen eine grobe Information über den Schwierigkeitsgrad geben:
1 = trivial, 2 = heminormal, 3 = normal, 4 = doktoral, 5 = suizidal.
1.1. (2) Endliche Mengen in einem Hausdorff-Raum sind abgeschlossen.
1.2. (1) Seien X, Y topologische Räume. Welche Abbildungen f : X → Y sind unabhängig von den
Topologien auf X, Y immer stetig?
1.3. (2) Ein offenes Intervall von
nicht homöomooph zu .
R
R ist homöomorph zu R, ein abgeschlossenes beschränktes Intervall ist
1.4. (3) Sei X eine unendliche Menge. τ bestehe aus der leeren Menge und allen Teilmengen von X, deren
Komplement endlich ist. Man zeige: τ ist eine Topologie auf X, die nicht hausdorffsch ist, in der aber alle
einpunktigen Teilmengen abgeschlossen sind. Wie sehen die Berührpunkte einer Folge aus?
1.5. (3) Eine Teilmenge eines separablen metrischen Raums ist separabel.
Bemerkung: Diese Aussage ist für allgemeine topologische Räume nicht richtig.
R
eine Metrik an, so daß die Folge (k)k∈N eine Cauchy-Folge ist, die keinen
1.6. (3) Geben Sie auf
Grenzwert besitzt. Machen Sie den Raum vollständig, indem Sie weitere Elemente hinzufügen.
1.7. (3) Geben Sie ein Beispiel für homöomorphe metrische Räume, so daß der eine vollständig, der andere
unvollständig ist.
Bemerkung: Vollständigkeit ist keine topologische Eigenschaft eines metrischen Raums.
1.8. (4) Der Raum l∞ der beschränkten Zahlenfolgen ist mit d∞ (x, y) = supi∈N |x(i) − y(i)| offenbar
ein metrischer Raum. Beweisen Sie: (Frechet) Jeder separable metrische Raum kann isometrisch auf eine
Teilmenge von l∞ abgebildet werden.
1.9. (2) Sei X eine unendliche Menge. Gibt es eine Hausdorff-Topologie auf X, in der jede Teilmenge von
X kompakt ist?
1.10. (4) Jede Isometrie eines kompakten metrischen Raums in sich ist bijektiv.
2
Banach- und Hilbert-Räume
Alle linearen Räume in diesem Kapitel sind reell oder komplex, entsprechend wird mit
Körper
oder bezeichnet.
R
C
K einer der
2.1 Banach-Räume
Definition 2.1. Sei X ein linearer Raum. Eine Abbildung k·kX : X → [0, ∞) heißt Norm auf X,
wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(a) kxkX > 0
für x 6= 0
(b) kαxkX = |α|kxkX
(Def initheit),
für alle α ∈
(c) kx + ykX ≤ kxkX + kykX
K
(positive Homogenität),
(Dreiecksungleichung).
Das Paar (X, k·kX ) heißt dann normierter Raum.
k·kX : X → [0, ∞) heißt Halbnorm, wenn nur die Axiome (b) und (c) erfüllt sind.
Aus den Normaxiomen folgt sofort, daß
d(x, y) = kx − ykX
eine Metrik auf X ist. Jeder normierte Raum ist damit auch ein metrischer Raum, so daß alle
Begriffsbildungen aus dem letzten Kapitel verwendet werden können. Die Norm k · k : X → ist
stetig wegen kxk = d(x, 0). Konvergente Folgen sind beschränkt: Wenn xk → x, so gibt es ein K
mit kxk k ≤ K. Die linearen Operationen Addition und Skalarmultiplikation sind stetig,
R
xk → x und yk → y
⇒
xk + yk → x + y,
αk → α und xk → x
⇒
αk xk → αx.
Die Aussagen folgen aus der Dreiecksungleichung und der Homogenität der Norm
k(x + y) − (xk + yk )k ≤ kx − xk k + ky − yk k,
kαx − αk xk k ≤ kα(x − xk )k + k(α − αk )xk k ≤ |α| kx − xk k + |α − αk | kxk k.
Für die die Topologie eines metrischen Raums definierenden Kugeln gilt B1/k (x) = x + B1/k (0),
wobei wir die fast schon selbsterklärende Notation
A ± B = {z = x ± y : x ∈ A, y ∈ B},
A, B ⊂ X
verwenden. Die Topologie eines normierten Raums sieht daher in jedem Punkt gleich aus.
Definition 2.2. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum.
Beispiel 2.3 (Die Räume lp , c0 und c00 ). lp ist für 1 ≤ p ≤ ∞ der Raum der Zahlenfolgen
x = (x(1), x(2), . . .), x(i) ∈ , für die der Ausdruck
K
kxklp =
∞
¡X
i=1
|x(i)|p
¢1/p
für 1 ≤ p < ∞,
kxkl∞ = sup |x(i)|,
i∈
N
12
2 Banach- und Hilbert-Räume
N
beschränkt ist. c0 = c0 ( ) ist der Raum der Nullfolgen, der ebenfalls mit k · kl∞ versehen wird.
c00 bezeichnet den Raum der endlichen Folgen, denen Nullen angehängt werden, die sie zu Folgen
machen.
über
Wir wollen zeigen, daß diese Räume Banach-Räume unter den angegebenen Ausdrücken sind.
Abgesehen von der Dreiecksungleichung sind die Normaxiome trivialerweise erfüllt. Zum Nachweis der Dreiecksungleichung müssen wir etwas weiter ausholen. Die verallgemeinerte Youngsche
Ungleichung aus (1.2) lautete
1
1
ab ≤ ap + bq .
p
q
N
für reelle Zahlen a, b ≥ 0 und 1 ≤ p, q < ∞ mit p−1 + q −1 = 1. Ersetzt man hier a durch εa und b
durch ε−1 b, so erhält man für ε > 0 die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung mit epsilon
ab ≤
εp p
1
a + q bq .
p
qε
Nun zeigen wir die Hölder-Ungleichung: Sei 1 < p, q < ∞ und p−1 + q −1 = 1. Für x ∈ lp , y ∈ lq
ist die Folge xy = (x(i)y(i))i∈N ∈ l1 und es gilt
kxykl1 ≤ kxklp kyklq .
Für kxklp = kyklq = 1 wenden wir auf |x(i)y(i)| die verallgemeinerte Youngsche Ungleichung an
und summieren bezüglich i
kxykl1 ≤
1
1
1 1
kxkplp + kykqlq = + = 1.
p
q
p q
Den allgemeinen Fall erhält man mit einem Homogenitätsargument.
Nun zur Dreiecksungleichung: Für p = 1 ist sie trivial und für 1 < p < ∞ gilt für x, y ∈ lp
©
ª
|x(i) + y(i)|p = |x(i) + y(i)| |x(i) + y(i)|p−1 ≤ |x(i)| + |y(i)| |x(i) + y(i)|p−1 ,
sowie nach Summation und Anwendung der Hölderschen Ungleichung mit q = p/(p − 1)
©
ª¡ X
¢(p−1)/p
kx + ykplp ≤ kxklp + kyklp
|x(i) + y(i)|p
.
Für kx + yklp 6= 0 folgt die Dreiecksungleichung durch Division.
Damit ist lp ein Vektorraum mit Norm k · klp . Wir zeigen die Vollständigkeit und beginnen mit
dem Fall 1 ≤ p < ∞. Für eine Cauchy-Folge (xk )k∈N in lp folgt aus
kxk − xl klp ≤ ε
K
∀k, l ≥ K,
K vollständig ist, folgt die punktweise
daß (xk (i)) eine Cauchy-Folge in
ist für jedes i. Da
Konvergenz xk (i) → x(i) für k → ∞. Für festes j ∈ gilt
N
j
X
|xk (i) − xl (i)|p ≤ εp
j
X
|xk (i) − x(i)|p ≤ εp .
i=1
und nach Grenzübergang l → ∞
i=1
Die rechte Seite hängt nicht von j ab, so daß auch kxk − xklp ≤ ε und damit xk → x in lp und
x = xk − (xk − x) ∈ lp .
Für den Raum l∞ kann der Beweis analog geführt werden, indem die Summe durch das Supremum ersetzt wird.
Sei (xk )k∈N eine Cauchy-Folge in c0 ( ). Wegen der Vollständigkeit von l∞ gibt es ein x ∈ l∞
mit
1
|xk (i) − x(i)| ≤ ε für alle k ≥ K und i ∈ .
2
N
N
2.2 Endlich dimensionale Räume
N
N
13
Da xK ∈ c0 ( ), existiert ein I ∈
mit |xK (i)| ≤ 12 ε für alle i ≥ I. Aus der Dreiecksungleichung
folgt für diese i auch |x(i)| ≤ |xK (i) − x(i)| + |xK (i)| ≤ ε. Damit ist x ∈ c0 ( ) und der Raum
vollständig.
Der Raum c00 liegt dicht in c0 und lp für 1 ≤ p < ∞. In all diesen Fällen können wir von der
Folge x den Abschnitt xk ∈ c00 der ersten k Elemente von x abziehen und erhalten
kx − xk kplp =
N
∞
X
i=k+1
|x(i)|p → 0 für k → ∞.
Für x ∈ c0 folgt das ganz analog. Damit ist auch der Raum der endlichen Folgen mit rationalen
Koeffizienten dicht in diesen Räume, womit gezeigt ist, daß c0 und lp für diese p separabel sind.
Der Raum l∞ enthält die 0, 1-Folgen. Sind x, y zwei verschiedene 0, 1-Folgen, so gilt kx−ykl∞ =
1. Der Raum der 0, 1-Folgen versehen mit der l∞ -Metrik ist damit nicht separabel. Nach Aufgabe
2.3 ist damit auch l∞ nicht separabel, weil er eine nichtseparable Teilmenge enthält. Man beachte
aber, daß zum Beweis von Aufgabe 2.3 das Auswahlaxiom verwendet wird.
2.2 Endlich dimensionale Räume
Definition 2.4. Zwei Normen k · k1 , k · k2 eines linearen Raums X heißen äquivalent, wenn es
Konstanten m, M > 0 gibt mit
mkxk1 ≤ kxk2 ≤ M kxk1
∀x ∈ X.
Äquivalente Normen erzeugen die gleiche Topologie.
Die Quintessenz dieses Abschnitts ist die einfache Tatsache, daß man bei endlich dimensionalen
Räumen unsere Begriffsbildungen nicht braucht und mit der üblichen linearen Algebra auskommt.
Es gibt keine topologischen Fragestellungen, denn jeder endlich dimensionale Raum läßt sich über
ein Skalarprodukt normieren.
Satz 2.5. Auf einem endlich dimensionalen Raum sind alle Normen äquivalent. Endlich dimensionale Räume sind Banach-Räume. Endlich dimensionale Unterräume normierter Räume sind
abgeschlossen und damit vollständig.
Beweis. Sei e1 , . . . , en eine Basis
Pn des endlich dimensionalen Raums (X, k · k). Jedem x ∈ X ordnen
wir in der Entwicklung x = i=1 αi ei den Vektor α = (α1 , . . . , αn )T ∈ n zu. Die Abbildungen
α 7→ x 7→ kxk sind stetig. Daher nimmt kxk auf der kompakten Menge {α : |α| = 1} Maximum
und Minimum an. Das Minimum muß strikt positiv sein, denn α = 0 gehört nicht zu dieser Menge.
Damit sind die Normen |α(x)| und kxk für |α| = 1 äquivalent. Ein Homogenitätsargument liefert
die Äquivalenz für allgemeine x. Daher ist eine beliebige Norm äquivalent zur Norm |α(x)|. Die
⊓
⊔
Vollständigkeit von X folgt aus der Vollständigkeit des Koeffizientenraums ( n , | · |).
K
K
Auch bezüglich der Kompaktheit nehmen endlich dimensionale Räume eine ausgezeichnete
Position ein. Wir bereiten das entsprechende Resultat mit einem nützlichen Lemma vor.
Lemma 2.6 (Rieszsches Lemma). Ist U ein abgeschlossener echter Unterraum eines BanachRaums X, so gibt es zu jedem 0 < λ < 1 ein xλ ∈ X mit
kxλ k = 1
und
kxλ − uk ≥ λ
∀u ∈ U.
Beweis. Für x ∈
/ U gilt d = dist (x, U ) > 0, weil U abgeschlossen ist. Wegen λ < 1 gibt es ein
uλ ∈ U mit d ≤ kx − uλ k ≤ d/λ. Mit γ = 1/kx − uλ k ≥ λ/d folgt für xλ = γ(x − uλ ), daß kxλ k = 1.
Für alle u ∈ U ist dann
°
¡
1 ¢° λ
kxλ − uk = kγ(x − uλ ) − uk = γ °x − uλ + u ° ≥ · d = λ.
γ
d
| {z }
∈U
Satz 2.7. Sei X ein Banach-Raum. Dann gilt:
B̃1 (0) ist kompakt ⇔ X ist endlich dimensional.
⊓
⊔
14
2 Banach- und Hilbert-Räume
Beweis. ⇐: Im letzten Satz hatten wir gesehen, daß endlich dimensionale Räume homöomorph zu
( n , | · |) sind.
⇒: Zu einem beliebigen x1 , kx1 k = 1, setze U1 = span {x1 } und x2 = x1/2 mit x1/2 aus dem
Rieszschen Lemma für U = U1 . Mit U2 = span {x1 , x2 } wird die Konstruktion fortgesetzt. Wir
erhalten eine Folge (xk ) mit kxk k = 1 und kxk − xj k ≥ 1/2 für alle j < k. Diese Folge enthält
offenbar keine konvergente Teilfolge.
⊓
⊔
K
Dieses negative Resultat zählt zu den entscheidenden Anstößen, die zur Entwicklung der Funktionalanalysis geführt haben. Um Kompaktheitsschlüsse zu gestatten, werden später schwache“
”
Topologien definiert, die gröber als die Normtopologie sind.
2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum
Wie in der linearen Algebra beweist man, daß für eine lineare Abbildung T zwischen normierten
Räumen der Nullraum N (T ) und der Bildraum R(T ) lineare Räume sind. Ist T überdies stetig,
so ist der Nullraum als Urbild einer abgeschlossenen Menge ebenfalls abgeschlossen.
Lemma 2.8. Seien X, Y normierte Räume und T : X → Y eine lineare Abbildung. Dann sind
äquivalent:
(a) T ist stetig.
(b) T ist im Nullpunkt stetig.
(c) Der Ausdruck
kT kX→Y =
ist beschränkt.
kT xkY
x∈X, x6=0 kxkX
sup
Beweis. (a)⇒(b) ist klar.
(b)⇒(c): Zu ε = 1 gibt es ein δ > 0, so daß für alle x mit kxkX = δ gilt kT xkY ≤ 1. Für
kxkX = δ ist der Ausdruck in (c) beschränkt. Für allgemeine x 6= 0 setzen wir x̃ = δx/kxkX , somit
kx̃kX = δ, und erhalten das gewünschte Resultat mit Hilfe der Homogenität der Norm.
(c)⇒(a): Für eine Folge xk → x folgt aus der Linearität von T und aus (c)
kT xk − T xkY ≤ kT kX→Y kxk − xkX → 0.
⊓
⊔
Aufgrund der Eigenschaft (c) nennen wir stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Räumen
auch beschränkt. Direkt aus der Definition beweist man:
Lemma 2.9. Seien X, Y, Z normierte Räume und T : X → Y, S : Y → Z stetige lineare Abbildungen. Dann gilt:
©
ª
(a) kT kX→Y = sup kT xkY : x ∈ X, kxkX = 1 ,
(b) kT xkY ≤ kT kX→Y kxkX ,
(c) kST kX→Z ≤ kSkY →Z kT kX→Y .
Mit L(X, Y ) bezeichnen wir den Raum der linearen und beschränkten Abbildungen zwischen
den normierten Räumen X und Y. Im Spezialfall X = Y schreiben wir kürzer L(X).
Satz 2.10. (L(X, Y ), k · kX→Y ) ist ein normierter Raum. Wenn Y ein Banach-Raum ist, so ist
auch L(X, Y ) ein Banach-Raum.
Beweis. L(X, Y ) ist offenbar Vektorraum mit der Nullabbildung 0 : y 7→ 0. Die Homogenität der
Norm folgt aus kαT xkY = |α| kT xkY und die Dreiecksungleichung aus
©
ª
k(T1 + T2 )xkY ≤ kT1 xkY + kT2 xkY ≤ kT1 kX→Y + kT2 kX→Y kxkX .
Sei nun Y vollständig und (Tk )k∈N eine Cauchy-Folge in L(X, Y ). Für jedes x ∈ X ist auch
(Tk x) eine Cauchy-Folge in Y und hat einen Grenzwert, den wir T (x) nennen. Wir müssen zeigen,
daß die so gewonnene Abbildung T linear und stetig ist. Die Linearität folgt aus der punktweisen
Konvergenz der Tk x,
2.3 Stetige lineare Abbildungen und der normierte Dualraum
15
T (x + y) = lim Tk (x + y) = lim(Tk x + Tk y) = T (x) + T (y),
T (αx) = lim Tk (αx) = lim αTk (x) = αT (x).
Als Cauchy-Folge sind die Normen der Tk durch eine Konstante K gleichmäßig beschränkt und es
gilt
kT xkY = lim kTk xkY ≤ KkxkX .
Nach Lemma 2.8 ist T stetig. In der Beziehung k(Tk −Tl )xkY ≤ εkxkX können wir wegen Tl x → T x
und der Stetigkeit der Norm zum Grenzwert l → ∞ übergehen und erhalten kTk − T kX→Y ≤ ε.
⊓
⊔
Wegen dieses Satzes heißt kT kX→Y die Operatornorm von T .
K
Definition 2.11. Für einen normierten Raum X heißt der Raum L(X, ) der Dualraum von X
und wird kürzer mit X ′ bezeichnet mit Norm k · kX ′ = k · kX→K . Die f ∈ X ′ heißen stetige lineare
Funktionale.
Als Spezialfall erhalten wir aus dem vorigen Satz, daß der Dualraum eines normierten Raums
vollständig ist.
Beispiele 2.12 Da eine gleichmäßige konvergente Folge stetiger Funktionen eine stetige Grenzfunktion besitzt, ist C([0, 1]) Banach-Raum unter der Norm kxk∞ = maxt∈[0,1] |x(t)| (siehe Abschnitt
2.5).
(i) T : C([0, 1]) → C([0, 1]) mit
T x(t) =
Z
t
x(τ ) dτ
0
ist offenbar linear mit kT xk∞ ≤ kxk∞ . Die Funktion x(t) = 1 beweist kT k∞→∞ = 1.
(ii) Das Funktional f : C([−1, 1]) →
R mit
fx = −
Z
0
x(τ ) dτ +
Z
1
x(τ ) dτ
0
−1
ist ebenfalls linear mit |f x| ≤ 2kxk∞ . Dieses Beispiel zeigt, daß in der Definition der Operatornorm
das Supremum nicht angenommen werden muß. Es läßt sich leicht eine Folge stetiger, stückweise
linearer Funktionen xk konstruieren mit xk → sign (x) punktweise und |f xk | → 2.
(iii) Sei P
X der Raum der endlichen Folgen versehen mit der Norm k · kl2 . Das Funktional
f (x) =
i ix(i) ist linear auf X, aber offenbar unbeschränkt. Die Konstruktion eines unstetigen linearen Funktionals gelingt hier leicht, weil (X, k · kl2 ) nicht vollständig ist. Wir können die
linear unabhängige Menge {ek }k∈N mit {ei }i∈I zu einer Basis von l2 (im Sinne der linearen Algebra) ergänzen und f (ei ) = 0 setzen. Damit ist das unstetige Funktional auf ganz l2 definiert.
Wie in Aufgabe 3.5 bewiesen wird, ist l2 überabzählbar dimensional. Daher ist die Indexmenge I überabzählbar und für die Angabe von {ei }i∈I wird das Auswahlaxiom verwendet, so daß
wir die Struktur dieser Auswahl nicht kennen. Es ist daher nicht möglich, die Werte f (x) für
x∈
/ span {ek }k∈N explizit anzugeben. Ist andererseits ein Operator auf einem Banach-Raum definiert und wird er ohne Verwendung des Auswahlaxioms konstruiert, so ist er stetig.
Beispiel 2.13 (Die Dualräume von lp ). Wir setzen das Beispiel 2.3 fort und zeigen, daß für 1 <
p < ∞ gilt lp′ ∼
= l∞ . In Aufgabe 2.12 wird überdies bewiesen, daß
= lq mit q = p/(p − 1) sowie l1′ ∼
′ ∼
c0 ( ) = l1 .
Sei zunächst 1 < p < ∞. Jedem f ∈ lp′ können wir mit y(i) = f (ei ) eine Zahlenfolge zuordnen,
wobei ei die kanonischen Einheitsvektoren bezeichnen. Wir zeigen
P nun, daß die Abbildung T : f 7→
y ein isometrischer Isomorphismus T : lp′ → lq ist. Wegen i≥k |x(i)|p → 0 für k → ∞ ist die
Reihe
∞
X
x(i)ei
(2.1)
x=
N
i=1
normkonvergent. Linearität und Stetigkeit von f liefern daher
f (x) =
∞
X
i=1
x(i)y(i).
16
2 Banach- und Hilbert-Räume
Mit der speziellen Wahl
x(i) =
erhalten wir für k ∈
(
|y(i)|q /y(i)
0
falls i ≤ k und y(i) 6= 0
sonst
N
k
X
i=1
|y(i)|q = f (x) ≤ kf klp′ kxklp = kf klp′
und für k → ∞
lp′
k
¡X
i=1
|y(i)|q
¢1/p
,
kyklq ≤ kf klp′ .
Damit bildet T den Raum auf lq ab. Die Linearität von T ist klar. Da wir aus der Hölderschen
Ungleichung überdies |f (x)| ≤ kxklp kyklq erhalten, ist gezeigt, daß T eine Isometrie ist.
′
6∼
Ganz analog beweist man l1′ ∼
= l1 . Ein entsprechender
= l∞ . Es sei noch bemerkt, daß l∞
Beweisversuch scheitert daran, daß die Reihe (2.1) in l∞ nicht konvergiert.
Der folgende Satz ist sehr nützlich für die Konstruktion von stetigen linearen Abbildungen.
Satz 2.14. Seien X, Y Banach-Räume, M ein dichter Unterraum von X und T : M → Y stetig
und linear. Dann gibt es genau eine Fortsetzung T̃ ∈ L(X, Y ) mit T̃ |M = T und kT kM →Y =
kT̃ kX→Y .
Beweis. Zu x ∈ X gibt es eine Folge (xk ) in M mit xk → x. Aufgrund der Abschätzung
kT (xk − xl )kY ≤ kT kM →Y kxk − xl kX
(2.2)
ist auch (T xk ) Cauchy-Folge in Y und besitzt einen Grenzwert, den wir T̃ x nennen. Dieser Grenzwert ist unabhängig von der Cauchy-Folge, denn wenn zwei Cauchy-Folgen gegen x konvergieren,
so ist die Differenzenfolge eine Nullfolge und aus (2.2) folgt die Eindeutigkeit von T̃ x. Wie üblich
zeigt man direkt aus der Definition die Linearität von T̃ . Aus kT xkY ≤ kT kM →Y kxkX für alle
x ∈ M erhält man für eine Folge xk → x, xk ∈ M, durch Grenzübergang kT̃ xkY ≤ kT kM →Y kxkX
und daher kT̃ kX→Y ≤ kT kM →Y . Die umgekehrte Richtung ist trivial.
⊓
⊔
Definition 2.15. Seien X, Y Banach-Räume. Eine Abbildung T : X → Y heißt kompakt, wenn
sie beschränkte Mengen in X auf relativ kompakte Mengen in Y abbildet.
Offenbar ist eine kompakte lineare Abbildung stetig, denn das Bild der abgeschlossenen Einheitskugel ist eine beschränkte Menge, so daß kT kX→Y = supkxk=1 kT xk existiert. Wir können kompakte
Abbildungen auch äquivalent dadurch charakterisieren, daß sie beschränkte Folgen auf Folgen abbildet, die eine konvergente Teilfolge besitzen.
Definition 2.16. Seien X, Y Banach-Räume mit X ⊂ Y. Wir sagen, daß X eingebettet werden
kann in Y und schreiben dann X → Y, wenn X ein Unterraum von Y ist mit stetiger Identität
Id : X → Y, Id(x) = x. Es gilt dann die Abschätzung
kxkY ≤ ckxkX
∀x ∈ X.
Die Einbettung X → Y heißt kompakt, wenn die Identität eine kompakte lineare Abbildung ist.
Die Einbettung X → Y heißt dicht, wenn Id(X) dicht in Y ist.
Wenn X, Y endlich dimensionale Räume sind mit X ⊂ Y, dann ist die Einbettung zwischen X und
Y kompakt, denn die Identität bildet beschränkte Mengen auf beschränkte und damit relativ kompakte Mengen ab. Im unendlich dimensionalen Banach-Raum sind die Verhältnisse komplizierter;
so ist die Einbettung eines unendlich dimensionalen Banach-Raums in sich selbst nie kompakt.
Beispiel 2.17. Seien lp die Banach-Räume aus Beispiel 2.3. Offenbar gilt lp ⊂ l∞ mit stetiger
Einbettung wegen kxkl∞ ≤ kxklp . Diese Einbettung ist aber nicht kompakt, denn die Folge (ek )
mit ek (i) = δki ist beschränkt in lp , besitzt aber keine konvergente Teilfolge in l∞ .
Als nächstes geben wir ein Beispiel für eine nichttriviale kompakte Abbildung.
2.4 Hilbert-Räume
17
Beispiel 2.18. Wir betrachten die Abbildung
T : l∞ → l∞ ,
(T x)(i) =
1
x(i).
i
Die R-Kugel wird dabei auf die Menge
©
R
M = x ∈ l∞ : |x(i)| ≤ ,
i
i∈
Nª
(2.3)
abgebildet. Wir zeigen nun, daß M und damit T kompakt ist. Dazu beweisen wir, daß jede Folge
(xk )k∈N in M eine konvergente Teilfolge besitzt. Dies geschieht durch ein Argument, das Aus”
wahl der Diagonalfolge“ genannt wird. Da die Folge (xk (1))k∈N beschränkt ist, besitzt sie einen
Häufungspunkt y(1) und es existiert eine Teilfolge (xk )k∈N1 , N1 ⊂ , so daß (xk (1))k∈N1 gegen
y(1) konvergiert. Wir schreiben diese Teilfolge in die erste Zeile einer quadratischen Tafel. Aus dieser Teilfolge können wir wiederum eine Teilfolge (xk )k∈N2 , N2 ⊂ N1 , auswählen mit xk (2) → y(2),
k ∈ N2 . Diese Teilfolge schreiben wir in die zweite Zeile der Tafel. Durch fortgesetzte Auswahl von
Teilfolgen füllen wir die gesammte Tafel, so daß die Teilfolge in Zeile k in den ersten k Komponenten
konvergiert. Die Teilfolge in der Diagonalen konvergiert damit punktweise in allen Komponenten,
xk (i) → y(i) für alle i. Wir müssen die gleichmäßige Konvergenz dieser Teilfolge zeigen. Zu einem beliebig vorgegebenem ε > 0 gibt es ein I ∈
mit |x(i)| ≤ ε für alle x ∈ M und i > I.
mit
Weil punktweise Konvergenz gleichmäßig ist auf endlichen Indexmengen, gibt es ein K ∈
|xk (i) − y(i)| ≤ ε für 1 ≤ i ≤ I und k ≥ K. Für k ≥ K gilt
N
N
N
kxk − ykl∞ = sup |xk (i) − y(i)| ≤ sup |xk (i) − y(i)| + sup |xk (i) − y(i)|
i∈
N
i≤I
i>I
≤ ε + sup |xk (i)| + sup |y(i)| ≤ 3ε,
i>I
i>I
und daher xk → y in der Norm k · kl∞ .
Ein im Grunde einfacherer Beweis läßt sich mit Hilfe der Präkompaktheit führen, was dem
Leser als Übung empfohlen wird.
Lemma 2.19. Seien X, Y, Z Banach-Räume mit Einbettungen X → Y → Z. Wenn eine dieser
Einbettungen kompakt ist, so ist auch die Einbettung X → Z kompakt.
Beweis. Eine stetige lineare Abbildung bildet beschränkte Mengen auf beschränkte ab und konvergente Folgen auf konvergente Folgen. Wenn daher (xk ) eine beschränkte Folge in X ist, und die
Einbettung X → Y kompakt ist, so können wir eine konvergente Teilfolge in Y auswählen, die auf
eine konvergente Folge in Z abgebildet wird. Der andere Fall wird analog untersucht.
⊓
⊔
2.4 Hilbert-Räume
Im folgenden bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation (z = x + iy, z = x − iy). Wenn
der zugrunde liegende Vektorraum reell ist, so hat er keine Bedeutung.
K
Definition 2.20. Sei X ein linearer Raum über . Eine Abbildung (·, ·) : X × X →
inneres Produkt oder Skalarprodukt in X, wenn die folgenden Bedingungen
(a) (α1 x1 + α2 x2 , x3 ) = α1 (x1 , x3 ) + α2 (x2 , x3 )
(b) (x1 , x2 ) = (x2 , x1 )
(c) (x, x) > 0
K heißt
(Linearität),
(Antisymmetrie),
für x 6= 0
(Definitheit),
K und xi ∈ X.
Wegen (b) ist (x, x) ∈ R. Aus (a) und (b) folgt, daß das innere Produkt eine Sesquilinearform ist,
erfüllt sind, wobei αi ∈
d.h. es ist linear in der ersten Komponente und antilinear in der zweiten,
(x1 , α2 x2 + α3 x3 ) = (α2 x2 + α3 x3 , x1 ) = α2 (x1 , x2 ) + α3 (x1 , x3 ).
Im Fall reeller Räume ist das innere Produkt eine Bilinearform. Als erstes wollen wir nachweisen,
daß ein Raum mit innerem Produkt gleichzeitig ein normierter Raum mit Norm kxkX = (x, x)1/2
ist. Dazu benötigen wir ein vorbereitendes Lemma.
18
2 Banach- und Hilbert-Räume
Lemma 2.21 (Cauchy-Ungleichung). In einem Raum mit innerem Produkt gilt für alle x, y
|(x, y)| ≤ kxkX kykX .
Beweis. Aus den Axiomen für das innere Produkt erhalten wir
¡
¢
0 ≤ (αx + y, αx + y) = |α|2 kxk2X + 2Re α(x, y) + kyk2X .
Wir können x 6= 0 voraussetzen und wählen α = −(x, y)/kxk2X , also
0 ≤ kαx + yk2X = kyk2X −
|(x, y)|2
.
kxk2X
⊓
⊔
Damit ist die Ungleichung bewiesen.
Lemma 2.22. kxkX = (x, x)1/2 ist eine Norm auf X.
Beweis. Die beiden ersten Normaxiome folgen direkt aus der Definition der Sesquilinearform, die
Dreiecksungleichung beweist man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung
kx + yk2X = kxk2X + 2Re (x, y) + kyk2X ≤ kxk2X + 2kxkX kykX + kyk2X
= (kxkX + kykX )2 .
⊓
⊔
Aus der Cauchy-Ungleichung folgt die Stetigkeit des inneren Produkts ( , ) : X × X →
xk → x und yk → y gilt
K; für
|(xk , yk ) − (x, y)| = |(xk − x, yk ) + (x, yk − y)|
≤ kxk − xkX kyk kX + kxkX kyk − ykX → 0.
Durch direkte Rechnung beweist man die Parallelogramm-Gleichung
2kxk2X + 2kyk2X = kx + yk2X + kx − yk2X .
(2.4)
Definition 2.23. Ein linearer Raum mit innerem Produkt, der vollständig ist bezüglich der induzierten Norm k · kX = (·, ·)1/2 , heißt Hilbert-Raum.
Ein Hilbert-Raum ist damit ein spezieller Banach-Raum. Im Gegensatz zu endlich dimensionalen
Räumen geht nicht jeder unendlich dimensionale Banach-Raum aus einem Hilbert-Raum hervor.
Beispiele 2.24 (i) Sei (·, ·)X ein inneres Produkt auf X =
Rn . Mit
aij = (ei , ej )X
gilt für die zugehörige Matrix A = (aij )i,j=1,...,n , daß (x, y)X = (Ax, y). Aus den Axiomen für das
innere Produkt folgt A = AT und (Ax, x) > 0 für x 6= 0. Damit ist jedes innere Produkt des n
von der Form (Ax, y) mit einer symmetrischen und positiv-definiten Matrix A ∈ n×n . Ferner gilt
für diese Matrizen die Cauchy-Ungleichung
R
R
|(Ax, y)| ≤ (Ax, x)1/2 (Ay, y)1/2 .
P∞
(ii) Der Raum l2 ist Hilbert-Raum mit innerem Produkt (x, y) = i=1 x(i)y(i).
R
(iii) Auf dem Raum C([0, 1]) ist das innere Produkt (x, y) = x(τ )y(τ ) dτ erklärt. Wie in Kapitel
4 ausgeführt wird, ist der zugehörige normierte Raum unvollständig, C([0, 1]) mit diesem inneren
Produkt daher kein Hilbert-Raum.
Jedem x ∈ X kann ein lineares Funktional fx (y) = (y, x) zugeordnet werden, das wegen
|fx (y)| ≤ kykX kxkX auch stetig ist. Die Frage, ob die damit verbundene Abbildung j : X → X ′ ,
x 7→ fx , bijektiv ist, kann positiv beantwortet werden:
2.4 Hilbert-Räume
19
Satz 2.25 (Rieszscher Darstellungssatz). (a) Zu jedem stetigen linearen Funktional f in einem Hilbert-Raum X gibt es genau ein x ∈ X mit
(y, x) = f (y)
∀y ∈ X
(2.5)
und kf kX ′ = kxkX , die zugehörige Abbildung j : X → X ′ , x 7→ (·, x), ist eine bijektive, antilineare
Isometrie.
(b) Das x in (2.5) ist auch die eindeutig bestimmte Lösung des Problems
F (y) = (y, y) − 2Re f (y) → Min
unter allen y ∈ X.
(2.6)
Beweis. Wir zeigen als erstes die Existenz eines Minimums in (2.6). Mit der Youngschen Ungleichung ab ≤ 12 a2 + 12 b2 folgt
F (y) = (y, y) − 2Re f (y) ≥ kyk2X − 2kf kX ′ kykX ≥ −kf k2X ′ ,
F ist daher nach unten beschränkt und d = inf F (y) existiert. Wir wählen eine Minimalfolge (yk ),
also F (yk ) → d. Aus der Parallelogrammgleichung (2.4) folgt
kyk − yl k2X = 2kyk k2X + 2kyl k2X − kyk + yl k2X
° yk + yl °2
¡
¢
° + 8Re f yk + yl
= 2kyk k2X − 4Re f (yk ) + 2kyl k2X − 4Re f (yl ) − 4°
2
2
¡ yk + yl ¢
= 2F (yk ) + 2F (yl ) − 4F
≤ 2F (yk ) + 2F (yl ) − 4d → 0.
2
Damit ist (yk ) Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein x ∈ X. Aus der Stetigkeit von F folgt
F (x) = d und x ist ein Minimum. Für jedes ξ ∈ und y ∈ X gilt folglich F (x) ≤ F (x + ξy), daher
K
0 ≤ 2Re ξ(y, x) − 2Re ξf (y) + |ξ|2 kyk2X .
Wir wählen hier speziell ξ = ta mit reellem t > 0, teilen durch t, gehen zum Grenzwert t → 0 über
und wählen anschließend a = ±1 sowie bei = zusätzlich a = ±i. Dann folgt 0 = 2(y, x)−2f (y),
das ist (2.5).
Die Gleichung (2.5) besitzt daher mindestens eine Lösung. Sind x1 , x2 Lösungen, so folgt
(y, x1 − x2 ) = 0 für alle y ∈ X. Setzen wir hier y = x1 − x2 , so x1 = x2 . Da jede Lösung des
Minimierungsproblems der Variationsgleichung genügt, letztere aber eindeutig lösbar ist, ist auch
das Minimierungsproblem eindeutig lösbar.
Die Identität kf kX ′ = kxkX folgt zum einen aus der Cauchy-Ungleichung
K C
kf kX ′ = sup
y6=0
|(y, x)|
kykX kxkX
≤ sup
= kxkX ,
kykX
kykX
y6=0
und zum anderen aus
kxk2X = (x, x) = f (x) ≤ kf kX ′ kxkX .
Mit f = j(x) ist j eine bijektive Isometrie. j ist antilinear, weil das innere Produkt antilinear
in der zweiten Komponente ist.
⊓
⊔
Auch wenn die Abbildung j für einen komplexen Hilbert-Raum keine lineare Isometrie ist, so ist
die Antilinearität offenbar ausreichend, um die Räume X und X ′ miteinander zu identifizieren.
Die intuitive Bedeutung des inneren Produkts ist ähnlich wie im endlich dimensionalen Fall,
was durch die folgende Definition unterstrichen wird.
Definition 2.26. Zwei Elemente x, y eines Hilbert-Raums heißen orthogonal, wenn (x, y) = 0,
was auch mit x ⊥ y bezeichnet wird. Zu einer Teilmenge A eines Hilbert-Raums heißt
A⊥ = {x ∈ X : x ⊥ A}
das orthogonale Komplement von A.
20
2 Banach- und Hilbert-Räume
A⊥ ist als Durchschnitt der Nullräume von fy (x) = (x, y), y ∈ A, ein abgeschlossener Unterraum.
Die Beziehung A ⊂ A⊥⊥ = (A⊥ )⊥ folgt direkt aus der Definition.
Zu einem Hilbert-Raum X und einem Unterx
raum A definieren wir ebenfalls in Anlehnung an
den endlich dimensionalen Fall die orthogonale
Projektion P : X → A durch die Bedingung
(P x, y) = (x, y)
∀y ∈ A,
(2.7)
Px
0
also x − P x ⊥ A.
A
Satz 2.27 (Projektionssatz). Sei A ein nichtleerer abgeschlossener Unterraum eines HilbertRaums X.
(a) Die Abbildung P in (2.7) existiert und ist eindeutig bestimmt. P ist linear und stetig. Falls
A 6= {0}, so kP kX→X = 1.
(b) Zu jedem x ∈ X gibt es eine eindeutige Darstellung x = y + z mit y = P x ∈ A und z ∈ A⊥ .
(c) Es gilt A = A⊥⊥ .
Beweis. (a) Als erstes wird gezeigt, daß in
d = dist (x, A) = inf kx − ykX
y∈A
das Infimum angenommen wird. Das Funktional
F (y) = kx − yk2X = kxk2X − 2Re (y, x) + kyk2X ,
y ∈ A,
besitzt die gleiche Struktur wie (2.6): (·, x) ist ein stetiges lineares Funktional und kxk2X ist lediglich
eine Konstante. Da der abgeschlossene Unterraum A selber Hilbert-Raum ist, nimmt nach dem
Rieszschen Darstellungssatz 2.25 das Funktional F das Minimum im eindeutig bestimmten Punkt
P x ∈ A an, der der Variationsgleichung
(y, P x) = (y, x) ∀y ∈ A.
genügt.
P : X → A ist offenbar linear. kP kX→X ≤ 1 erhält man mit (P x, P x) = (x, P x) ≤
kxkX kP xkX . kP kX→X = 1 folgt aus P y = y für alle y ∈ A.
(b) Aus x = y + z folgt (x, w) = (y, w) für alle w ∈ A, womit nach (a) y = P x eindeutig
bestimmt ist.
(c) Bezeichnen wir hier die orthogonale Projektion in den abgeschlossenen Unterraum A mit
PA , so folgt aus (b) Id − PA = PA⊥ , also auch Id − PA⊥ = PA⊥⊥ , zusammen daher PA = PA⊥⊥
und A = A⊥⊥ .
⊓
⊔
Nun beweisen wir eine Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes auf unsymmetrische Sesquilinearformen.
K heißt beschränkt, wenn es eine Konstante
Definition 2.28. Eine Sesquilinearform b : X ×X →
cb gibt mit
|b(x, y)| ≤ cb kxkX kykX
∀x, y ∈ X,
und sie heißt koerziv, wenn es eine Konstante ce > 0 gibt mit
|b(x, x)| ≥ ce kxk2X
∀x ∈ X.
Satz 2.29 (Lax-Milgram). Sei b(·, ·) eine beschränkte und koerzive Sesquilinearform auf dem
Hilbert-Raum X. Dann gibt es ein bijektives R ∈ L(X), so daß für jedes x ∈ X
b(y, Rx) = (y, x)
−1
k ≤ cb .
Ferner gilt kRk ≤ c−1
e , kR
∀y ∈ X.
(2.8)
2.5 Räume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli
21
Beweis. Das Funktional b(·, x) ist linear und stetig mit kb(·, x)kX ′ ≤ cb kxkX . Nach dem Darstellungssatz von Riesz existiert daher genau ein T x mit b(y, x) = (y, T x) für alle y ∈ X. Da beide
Formen sesquilinear sind, ist T : X → X linear und wegen
kT xk2X = (T x, T x) = b(T x, x) ≤ cb kT xkX kxkX ,
(2.9)
ce kxk2X ≤ |b(x, x)| = |(T x, x)| ≤ kT xkX kxkX ,
(2.10)
auch stetig. Wegen
ist N (T ) = {0}. Weiter folgt aus dieser Abschätzung, daß der Bildraum R(T ) abgeschlossen ist.
Denn wenn für eine Folge (xk ) gilt T xk → y, so liefert (2.10) kxk − xl k ≤ c−1
e kT xk − T xl k. Damit
ist (xk ) eine Cauchy-Folge, also xk → x und wegen der Stetigkeit von T auch T xk → T x = y.
Sei x0 ⊥ R(T ). Aus (x0 , T x) = 0 für alle x ∈ X folgt 0 = (x0 , T x0 ) = b(x0 , x0 ) ≥ ce kx0 k2X
und damit x0 = 0. Da R(T ) abgeschlossen ist, erhalten wir R(T ) = X. Damit ist T bijektiv und
R = T −1 . Die Normabschätzungen für R folgen aus (2.9) und (2.10), indem man dort x durch
T −1 x ersetzt.
⊓
⊔
2.5 Räume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli
Sei X ein kompakter metrischer Raum und C(X) der Raum der auf X stetigen,
tionen mit Norm
kuk∞ = max |u(x)|.
K-wertigen Funk-
x∈X
Da u und | · | stetig sind, existiert das Maximum von |u(·)| wegen Satz 1.17. Der Spezialfall
X = K ⊂ n mit einer kompakten Menge K ist für viele Anwendungen interessant genug. Mit
gleichem Beweis wie in diesem Spezialfall zeigt man, daß die Elemente von C(K) gleichmäßig stetig
sind (siehe Aufgabe 2.13).
R
Satz 2.30. (C(X), k · k∞ ) ist Banach-Raum.
Beweis. Die Axiome einer Norm sind offenbar erfüllt. Die Konvergenz uk → u in dieser Norm ist
die gleichmäßige Konvergenz. Wenn (uk ) eine Cauchy-Folge ist, so bedeutet das
max |uk (x) − ul (x)| < ε ∀k, l ≥ K,
x∈X
(2.11)
K
insbesondere auch, daß (uk (x)) für alle x ∈ X Cauchy-Folge in
ist. Es gibt also eine Funktion
u(x) mit uk (x) → u(x) punktweise in . Da der Betrag stetig ist, können wir in (2.11) zum
Grenzwert l → ∞ übergehen und erhalten
K
max |uk (x) − u(x)| ≤ ε
x∈X
∀k ≥ K,
woraus die gleichmäßige Konvergenz folgt. Wir müssen nun zeigen, daß diese Grenzfunktion stetig
ist, was im Fall X = K ⊂ n ein wohlbekannter Satz der reellen Analysis ist. Der Beweis verläuft
hier völlig analog: Sei x ∈ X und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein k mit ku − uk k∞ ≤ ε und
eine Kugel Bδ (x) mit |uk (x) − uk (y)| ≤ ε für alle y ∈ Bδ (x). Aus der Dreiecksungleichung folgt
dann
|u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − uk (x)| + |uk (x) − uk (y)| + |uk (y) − u(y)| ≤ 3ε.
R
Damit ist u stetig und (C(X), k · k∞ ) vollständig.
⊓
⊔
Nun untersuchen wir die relativ kompakten Teilmengen von C(X).
Definition 2.31. Eine Menge E ⊂ C(X) heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein
δ > 0 gibt mit
|u(x) − u(y)| ≤ ε
für alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ und für alle u ∈ E.
In der gleichgradigen Stetigkeit muß das gesuchte δ unabhängig von u ∈ E sein. Ein Beispiel für
eine nicht gleichgradig stetige Funktionenmenge ist uα (x) = xα ∈ C([0, 1]) für 0 < α ≤ 1.
Satz 2.32 (Arzela-Ascoli). Wenn die Funktionen in einer Menge E ⊂ C(X) gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig sind, so ist E relativ kompakt in C(X).
22
2 Banach- und Hilbert-Räume
Beweis. Sei (uk )k∈N eine gleichmäßig beschränkte und gleichgradig stetige Folge von Funktionen.
Wir müssen zeigen, daß sie eine gleichmäßig konvergente Teilfolge besitzt. Nach Satz 1.16 existiert
eine abzählbare dichte Teilmenge {xm }m∈N von X. Mit dem Diagonalfolgenargument aus Beispiel
2.18 erhalten wir eine Teilfolge, die wieder mit (uk )k∈N bezeichnet wird, mit uk (xm ) → vm für alle
m∈ .
Im folgenden zeigen wir die gleichmäßige Konvergenz dieser Teilfolge. Sei ε > 0 vorgegeben
und sei δ > 0 das zugehörige δ aus der Definition der gleichgradigen Stetigkeit. Aufgrund der
Kompaktheit von X gibt es eine endliche Überdeckung {Bi }1≤i≤I von X mit Kugeln Bi vom
Durchmesser δ. Aus der gleichgradigen Stetigkeit erhalten wir
N
|uk (x) − uk (y)| ≤ ε
∀x, y ∈ Bi .
Zu jedem Bi gibt es einen Punkt xi in der dichten Teilmenge {xm } mit xi ∈ Bi . Die punktweise
Konvergenz der uk liefert ein k0 ∈ mit
N
|uk (xi ) − ul (xi )| ≤ ε
für alle k, l ≥ k0 und i = 1, . . . , I.
Sei x ∈ X ein beliebiger Punkt und Bi eine Kugel mit x ∈ Bi . Aus den oben hergeleiteten
Abschätzungen folgt für k, l ≥ k0
|uk (x) − ul (x)| ≤ |uk (x) − uk (xi )| + |uk (xi ) − ul (xi )| + |ul (xi ) − ul (x)| ≤ 3ε.
⊓
⊔
Damit ist die Teilfolge (uk ) gleichmäßig konvergent.
Es gilt auch die umgekehrte Richtung dieses Satzes. Anstatt dies zu beweisen, überprüfen wir die
Notwendigkeit der Voraussetzungen. Als erstes sieht man leicht, daß die oben angegebene Menge
uα (x) = xα nicht relativ kompakt in C([0, 1]) ist. Um zu zeigen, daß auch die Kompaktheit von X
notwendig ist, wählen wir beispielsweise u = x2 (1 − x)2 in (0, 1) und u = 0 in \ (0, 1). Die Folge
uk ∈ C( ) mit
uk (x) = u(x + k), k ∈ .
R
R
N
konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion. Da die Ableitungen der uk
gleichmäßig beschränkt sind, folgt aus dem Mittelwertsatz
|uk (x) − uk (y)| ≤ K|x − y| ∀k ∈
N,
was die gleichgradige Stetigkeit der Funktionenfolge impliziert.
2.6 Die Hölder-Räume C m,α(Ω)
R
Definition 2.33. Ω ⊂ n heißt Gebiet, wenn Ω offen und zusammenhängend ist. Ω0 heißt kompakt enthalten in Ω (Schreibweise Ω0 ⊂⊂ Ω), wenn Ω0 kompakt und in Ω enthalten ist. Für eine
Funktion u : Ω →
heißt
supp(u) = {x ∈ Ω : u(x) 6= 0}
K
der Träger (engl. support) von u.
Ist Ω0 ⊂⊂ Ω, so besitzen Ω und Ω0 einen positiven Randabstand, dist (∂Ω, ∂Ω0 ) > 0 (Ω0 ist
kompakt!).
R
N
Definition 2.34. Sei Ω ein Gebiet des n . Zu m ∈ 0 ist C m (Ω) der Raum der reell- oder
komplexwertigen Funktionen, die auf Ω definiert und dort m-mal stetig differenzierbar sind. Weiter
m
m
ist C ∞ (Ω) = ∩∞
m=0 C (Ω) der Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. C0 (Ω) und
∞
m
∞
C0 (Ω) sind die Unterräume von C (Ω) bzw. C (Ω), die aus Funktionen mit kompaktem Träger
in Ω bestehen.
Die Funktionen in C0m (Ω) besitzen einen Träger innerhalb von Ω, sie und ihre Ableitungen müssen
daher in einer Umgebung von ∂Ω verschwinden.
∂
u nach dem i-ten Einheitsvektor ei werden kürzer
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung ∂x
i
als Di u geschrieben. Der Gradient einer Funktion u ist der Vektor
Du = (D1 u, .., Dn u)T .
2.6 Die Hölder-Räume C m,α (Ω)
23
Entsprechend können die partiellen Ableitungen der Ordnung m in Form eines Tensors angeordnet
werden,
Dm u = (Dim1 ,...,im u)1≤ij ≤n .
bezeichnet der Absolutbetrag die euklidische Norm, beispielsweise ist |D2 u|2 =
P Bei 2Tensoren
2
i,j |Dij u| .
N
Definition 2.35. Ein Multiindex ist ein Vektor α = (α1 , .., αn )T mit αi ∈ 0 mit den Konventionen
n
n
Y
X
∂ |α|
α
αn
1
u,
,
D
u
=
.
.
.
x
αi !, xα = xα
αi , α! =
|α| =
α
n
1
n
∂x1 1 . . . ∂xα
n
i=1
i=1
sowie
α≤β
⇔
αi ≤ βi für i = 1, . . . , n.
Der Satz von Schwarz rechtfertigt die Schreibweise D(1,1) u = D1 D2 u = D2 D1 u.
Da die Funktionen in C m (Ω) nicht beschränkt zu sein brauchen, definieren wir außerdem:
Definition 2.36. C 0 (Ω) ist der Raum der in Ω beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen. C m (Ω) ist der Unterraum von C m (Ω), der aus den Funktionen besteht, die beschränkte und
gleichmäßig stetige Ableitungen für alle |α| ≤ m besitzen. Auf C m (Ω) definieren wir
kukm,∞ = kukm,∞;Ω = max sup |Dα u(x)|.
|α|≤m x∈Ω
0
Man kann eine Funktion u in C (Ω) auf eindeutige Weise zu einer auf Ω stetigen Funktion
fortsetzen. Ist nämlich x ein Randpunkt von Ω und (xk ) eine Folge in Ω, die gegen x konvergiert,
so ist (xk ) insbesondere eine Cauchy-Folge und aus der gleichmäßigen Stetigkeit von u folgt, daß
auch (u(xk )) eine Cauchy-Folge ist, die einen Grenzwert u(x) besitzt. Dieser Grenzwert ist offenbar
unabhängig von der gewählten Cauchy-Folge. Daß die so konstruierte Fortsetzung von u auch auf
Ω stetig ist, beweist man genauso mit Hilfe der definierenden Cauchy-Folgen. Umgekehrt läßt
sich einfach zeigen, daß jede Funktion in C(K) bei kompaktem K gleichmäßig stetig ist (siehe
Aufgabe 2.13). Damit stimmt bei beschränktem Ω der Raum C 0 (Ω) mit dem zuvor definierten
Raum C(K), K = Ω, überein. Man beachte, daß die Schreibweise C 0 (Ω) bei unbeschränktem Ω
auch eine unterscheidende Bedeutung hat: Es gilt n = n , aber C 0 ( n ) 6= C 0 ( n ).
Eine auf Ω ⊂ n definierte Funktion heißt hölderstetig mit Exponent α, 0 < α < 1, wenn für
alle x, y ∈ Ω gilt
|u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α
(2.12)
R
R
R
R
R
mit einer von x und y unabhängigen Konstanten c. Für α = 1 übernehmen wir diese Definition und
nennen die Funktion u lipschitzstetig. Eine hölder- oder lipschitzstetige Funktion ist gleichmäßig
stetig. Die kleinstmögliche Konstante c in (2.12) ist gegeben durch
|u|C α = sup
x6=y
N
|u(x) − u(y)|
.
|x − y|α
Definition 2.37. C m,α (Ω), m ∈ 0 , 0 < α ≤ 1 ist der Unterraum der Funktionen in C m (Ω),
deren Ableitungen von der Ordnung ≤ m hölderstetig mit Exponent α bzw. lipschitzstetig sind. Auf
C m,α definieren wir die Ausdrücke
kukC m,α = kukm,∞ + max |Dγ u|C α .
|γ|=m
Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -Räume für alle m ∈
0 ≤ α ≤ 1 erklärt.
N0 und
Satz 2.38. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm k · kC m,α .
Beweis. Die Normaxiome können unmittelbar nachgewiesen werden.
Sei (uk )k∈N eine Cauchy-Folge in C m,α (Ω). Dann ist (Dγ uk ) für |γ| ≤ m eine CauchyFolge bezüglich der Norm k · k∞ und besitzt eine stetige und beschränkte Grenzfunktion uγ . Die
gleichmäßige Stetigkeit von uγ folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz durch Standardargumente.
Nun zeigen wir uγ = Dγ u für γ = ei . Für genügend kleine h liegt mit x auch x + hei in Ω. Im
Hauptsatz
24
2 Banach- und Hilbert-Räume
uk (x + hei ) − uk (x) =
Z
h
Di uk (x + tei ) dt
0
führen wir den Grenzübergang k → ∞ durch und erhalten mit der Stetigkeit von uγ
u(x + hei ) − u(x) =
Z
h
uγ (x + tei ) dt = huγ (x) + o(h).
0
Damit ist u im Punkt x nach ei differenzierbar mit Ableitung uγ (x). Durch vollständige Induktion
folgt uγ = Dγ u für alle γ und damit uk → u in C m (Ω). Sei nun α > 0 und ohne Beschränkung
der Allgemeinheit m = 0. Für x, y ∈ Ω mit x 6= y führen wir in
|uk (x) − uk (y) − (ul (x) − ul (y))|
≤ε
|x − y|α
∀l ≥ k ≥ K
den Grenzübergang l → ∞ durch. Da die rechte Seite nicht von x, y abhängt, können wir zum
Supremum übergehen und erhalten |uk − u|C α ≤ ε. Dies beweist uk → u in der Norm von C m,α .
⊓
⊔
Satz 2.39. Sei Ω ein beschränktes Gebiet. Für alle m ∈
Einbettung C m,β → C m,α und ist kompakt.
N0
und 0 ≤ α < β ≤ 1 existiert die
Beweis. Dies braucht nur für m = 0 gezeigt zu werden. Für α = 0 ist die Behauptung klar: Die
Einbettung folgt aus der Definition der Norm und die Kompaktheit aus dem Satz von Arzela-Ascoli.
Sei also 0 < α < β. Für jedes d > 0 gilt
|u|C α ≤
|u(x) − u(y)|
|u(x) − u(y)|
+ sup
α
|x − y|
|x − y|α
|x−y|≤d
|x−y|≥d
sup
(2.13)
≤ 2d−α kuk∞ + dβ−α |u|C β .
Mit d = 1 ist die behauptete Einbettung gezeigt.
Sei (uk ) eine Folge in C β mit kuk kC β ≤ M. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli gibt es eine
Teilfolge, die genauso bezeichnet wird, mit uk → u gleichmäßig. Aus der Definition der C β -Norm
folgt kukC β ≤ M. Sei ε > 0 vorgegeben. In (2.13) ersetzen wir u durch u − uk und wählen d so
klein, daß
dβ−α ku − uk kC β ≤ 2M dβ−α = ε/2.
Der Term 2d−α ku − uk k∞ wird ebenfalls durch ε/2 für alle k ≥ K beschränkt, indem K genügend
groß gewählt wird. Damit ist uk → u in C α gezeigt.
⊓
⊔
Ein Gegenbeispiel für unbeschränktes Ω konstruiert man wie in Abschnitt 2.5.
Aufgaben
2.1. (3) Eine Reihe in einem normierten Raum X heißt konvergent, wenn es ein x ∈ X gibt mit
lim kx −
k→∞
k
X
xj k = 0.
j=1
P
Eine Reihe heißt absolut summierbar, wenn ∞
k=1 kxk k < ∞. Zeigen Sie, daß X genau dann ein BanachRaum ist, wenn jede absolut summierbare Reihe konvergent ist.
2.2. (3) Seien A, B Teilmengen eines Banach-Raums X. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel:
a) Ist A offen, so ist A + B offen.
b) Sind A und B abgeschlossen, so ist A + B abgeschlossen.
c) Sind A und B kompakt, so ist A + B kompakt.
2.3. (3) Wenn ein Banach-Raum X eine Teilmenge M enthält, die keine abzählbare dichte Teilmenge
besitzt, so ist X nicht separabel.
Aufgaben
N
25
2.4. (3) Eine Teilmenge E von c0 ( ) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen ist und es ein
und x ∈ E.
y ∈ c0 ( ) gibt mit |x(i)| ≤ y(i) für alle i ∈
N
N
2.5. (3) Eine Menge M ⊂ lp , 1 ≤ p < ∞, ist genau dann präkompakt, wenn sie beschränkt ist und wenn
lim sup
K→∞ x∈M
2.6. (3) Auf dem
R
n
∞
X
|x(k)|p = 0.
k=K
erklären wir die Normen
kxk1 =
n
X
|xi |,
i=1
kxk2 = max |xi |.
1≤i≤n
Bestimmen Sie für n × n-Matrizen A die Normen
kAki→j
für i, j = 1, 2, (i, j) 6= (2, 1),
als Funktion der Elemente akl der Matrix A.
2.7. (2) Sind X, Y Banach Räume, so ist offenbar auch X × Y Banach-Raum unter der Norm k(x, y)k =
kxk + kyk. Man charakterisiere den Dualraum von X × Y mit Hilfe von X ′ , Y ′ .
2.8. (3) Um Beispiele linearer Operatoren zu gewinnen, definieren wir auf dem Raum l aller Zahlenfolgen
die Shiftoperatoren
(Sr x) (i) = x(i − 1) für i ≥ 2, (Sr x) (1) = 0,
(Sl x) (i) = x(i + 1),
(2.14)
und den Multiplikationsoperator
(My x) (i) = y(i)x(i) für y ∈ l.
(2.15)
Diese Operatoren sind Abbildungen von l in sich. Der Raum l∞ ist wie immer mit der Supremumsnorm
k · kl∞ versehen.
Welche der Abbildungen Sr , Sl , My bilden den Raum l∞ in sich ab? Für diese Abbildungen beantworten
Sie auch: Welche sind stetig? Welche sind injektiv, welche surjektiv? Welche sind kompakt?
2.9. (1) Geben Sie ein Beispiel für stetige lineare Operatoren S, T : lp → lp , 1 ≤ p ≤ ∞, mit ST = Id,
aber T S 6= Id.
2.10. (3) Definiere
N
c( ) = {x ∈ l∞ : x(i) konvergiert für i → ∞}
versehen mit der Norm k · kl∞ .
a) Zeigen Sie, daß c( ) ein Banach-Raum ist.
b) Konstruieren Sie eine lineare, bijektive, bistetige Abbildung T : c( ) → c0 ( ). Bestimmen Sie kT kc→c0 ,
kT −1 kc0 →c ! Demnach sind c und c0 äquivalent, d.h. sie lassen sich bistetig durch eine lineare Abbildung
aufeinander abbilden.
N
N
N
2.11. Sind X und Y Banach-Räume, so ist X × Y ebenfalls ein Banach Raum unter der Norm
k(u, v)kX×Y = kukX + kvkY . Konstruieren Sie lineare, bijektive, bistetige Abbildungen zwischen den
folgenden reellen Räumen X1 , X2 :
a) (2) X1 = c( ), X2 = c( ) × c( ) (c( ) ist in Aufgabe 2.10 definiert)
b) (5) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) × c( )
c) (2) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) ×
d) (5) (Borsuk) X1 = C([0, 1]), X2 = C([0, 1]) × C([0, 1])
Hinweis: Bei jedem Aufgabenteil verwende man die vorangegangenen.
N
N
N
R
N
N
N
2.12. (1) Zeigen Sie, daß c0 ( )′ ∼
= l1 .
2.13. (3) Sei X ein kompakter metrischer Raum. Dann sind die Funktionen in C(X) gleichmäßig stetig,
es gibt also zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit
|u(x) − u(y)| ≤ ε
für alle x, y ∈ X mit d(x, y) ≤ δ.
2.14. (3) Beweisen Sie: Satz (Dini). Sei X ein kompakter metrischer Raum und seien uk ∈ C(X) reellwertig. Konvergieren für alle x ∈ X die Folgen (uk (x)) monoton fallend gegen Null, so gilt kuk k∞ → 0.
Zeigen Sie auch, daß die Kompaktheit von X eine notwendige Voraussetzung für diesen Satz ist.
26
2 Banach- und Hilbert-Räume
2.15. (3) X sei der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen auf (0, 1) versehen mit der Norm
kuk∞ = supx∈(0,1) |u(x)|. Zeigen Sie, daß (X, k · k∞ ) ein nicht separabler Banach-Raum ist.
R
2.16. (2) Sei U der Unterraum von C 0 ( n ) der Funktionen mit lim|x|→∞ |u(x)| = 0. Zeigen Sie, daß U ein
abgeschlossener Unterraum ist, der mit dem Abschluß von C00 ( n ) in C 0 ( n ) übereinstimmt.
R
R
2.17. (3) Sei Ω ein konvexes beschränktes Gebiet. Dann existiert die Einbettung C 1 (Ω) → C 0,α (Ω) für
0 ≤ α ≤ 1. Die Einbettung ist kompakt für 0 < α < 1, aber nicht kompakt für α = 1.
2.18. (3) C 0,α (0, 1) ist nicht separabel für 0 < α ≤ 1.
3
Die Prinzipien der Funktionalanalysis
3.1 Der Satz von Baire und das Prinzip der gleichmäßigen
Beschränktheit
Definition 3.1. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X. A heißt nirgends dicht, wenn A keine
inneren Punkte enthält. A heißt mager (oder von erster Kategorie), wenn A sich als abzählbare
Vereinigung nirgends dichter Mengen darstellen läßt. Eine nichtmagere Menge heißt auch von
zweiter Kategorie.
c
Für eine nirgends dichte Menge A ist das Komplement A dicht in X. Denn andernfalls gäbe es
eine offene Menge U ⊂ A, was der Definition der nirgends dichten Menge widerspricht.
Teilmengen magerer Mengen sind mager. Die abzählbare Vereinigung magerer Mengen ist ebenfalls mager. Der Satz von Baire besagt, daß ein vollständiger metrischer Raum nichtmager ist.
Durch Verneinung und/oder Komplementbildung gibt es mehrere Versionen.
Satz 3.2 (Baire). In einem vollständigen metrischen Raum ist der Durchschnitt von abzählbar
vielen offenen und dichten Mengen dicht.
Korollar 3.3. Ein vollständiger metrischer Raum ist nichtmager (als Teilmenge von sich selbst).
Korollar 3.4. Sei X ein vollständiger metrischer Raum und seien Ak abzählbar viele abgeschlossene Teilmengen von X. Wenn ∪k Ak eine offene Kugel enthält, so gibt es ein k, so daß Ak eine
offene Kugel enthält.
Beweis. Sei (Ak )k∈N eine Folge von offenen und dichten Mengen des vollständigen metrischen
Raums X. Sei Bε0 (x0 ) eine beliebige offene Kugel von X. Die Menge Bε0 /2 (x0 ) ∩ A1 ist offen und
dicht in Bε0 /2 (x0 ) und enthält demnach eine weitere offene Kugel Bε1 (x1 ) mit 0 < ε1 < ε0 /2.
Durch Fortsetzung dieser Konstruktion erhalten wir eine Folge von offenen Kugeln mit
Bεk (xk ) ⊂ Bεk−1 (xk−1 ) ∩ Ak ,
εk <
1
εk−1 .
2
Die Mittelpunkte xk dieser Kugeln bilden eine Cauchy-Folge und wegen der Vollständigkeit von X
gilt xk → x. Für l > k folgt
d(xk , x) ≤ d(xk , xl ) + d(xl , x) ≤
1
1
εk + d(xl , x) → εk ,
2
2
also x ∈ Bεk (xk ) und daher auch x ∈ Ak . Damit ist x ∈ Bε0 (x0 ) und x ∈ ∩k Ak . Da Bε0 (x0 )
beliebig gewählt war, ist ∩k Ak dicht in X.
Das Korollar 3.3 beweist man durch Komplementbildung. Sei {Ek }k∈N eine Familie von nirc
gends dichten Teilmengen von X. Die Mengen Ak = Ek sind offen und dicht in X. Da der
Durchschnitt der Ak nach dem Satz von Baire dicht in X liegt, kann die Vereinigung der Ek nicht
mit dem ganzen Raum übereinstimmen.
Für das Korollar 3.4 verwenden wir eine Folgerung aus dem Beweis des letzten Korollars: Die
abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen enthält keine inneren Punkte. Dies ist gerade der
indirekte Beweis von Korollar 3.4.
⊓
⊔
Da die Vereinigung magerer Mengen mager ist, muß nach Korollar 3.3 im vollständigen metrischen
Raum das Komplement einer mageren Menge nichtmager sein.
28
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
Beispiel 3.5 (Gleichmäßige Beschränktheit stetiger Funktionen). Sei H ⊂ C([0, 1]) punktweise beschränkt, zu jedem x ∈ [0, 1] soll es also ein Kx geben mit |u(x)| ≤ Kx für alle u ∈ H.
Um einzusehen, daß hieraus nicht die gleichmäßige
Beschränktheit von H folgt, setzen wir für beliebiges
x0 ∈ (0, 1] und genügend großes k

0
für 0 ≤ x ≤ x0 − 2/k und x ≥ x0 ,



k
für x = x0 − 1/k,
uk (x) =



stw. linear sonst.
0
x0
1
Diese Funktionenmenge ist offenbar punktweise, aber nicht gleichmäßig beschränkt. Da solche
Beispiele für verschiedene x0 miteinander kombiniert werden können, ist das folgende Resultat
eine Überraschung:
Satz. Ist die Menge H ⊂ C([0, 1]) punktweise beschränkt, so gibt es ein nichtleeres offenes Intervall
I ⊂ [0, 1], auf dem H gleichmäßig beschränkt ist, es gibt also eine Konstante K mit |u(x)| ≤ K
für alle x ∈ I und alle u ∈ H.
Beweis. Die Mengen
Ak = {x ∈ [0, 1] : |u(x)| ≤ k für alle u ∈ H}
sind wegen der Stetigkeit der Funktionen u abgeschlossen und es gilt wegen der punktweisen Beschränktheit ∪k Ak = [0, 1]. Nach Korollar 3.4 gibt es ein offenes Intervall I mit I ⊂ Ak für ein k.
⊓
⊔
Für lineare Abbildungen liefert dieses Beispiel noch mehr:
Satz 3.6 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von Banach-Steinhaus).
Seien X, Y Banach-Räume und die Menge H ⊂ L(X, Y ) sei punktweise beschränkt, also kT xkY ≤
Kx für alle T ∈ H. Dann ist die Menge H gleichmäßig beschränkt,
kT kX→Y ≤ K
für alle T ∈ H.
Beweis. Setze Ak = {x ∈ X : kT xkY ≤ k für alle T ∈ H}. Da x 7→ T x 7→ kT xkY für jedes T
stetig ist, ist {x ∈ X : kT xk ≤ k} abgeschlossen und Ak als Durchschnitt dieser Mengen ebenfalls.
Es ist X = ∪k Ak , weil H punktweise beschränkt ist. Nach Korollar 3.4 gibt es eine offene Kugel
mit B2d (x0 ) ⊂ Ak für ein k ∈ , also kT xkY ≤ k für alle x ∈ B2d (x0 ) und alle T ∈ H. Dann gilt
für kxk = 1
N
kT xkY =
≤
daher kT kX→Y ≤
1
1
kT (dx)kY = kT (dx + x0 − x0 )kY
d
d
1
k k
1
kT (dx + x0 )kY + kT x0 kY ≤ + ,
d
d
d d
2k
d .
⊓
⊔
Korollar 3.7. Seien X, Y Banach-Räume und die Folge (Tk ) in L(X, Y ) sei punktweise konvergent, also Tk x → T x für alle x ∈ X. Dann ist auch T ∈ L(X, Y ).
Beweis. Die Linearität von T folgt bereits aus der punktweisen Konvergenz (siehe Beweis von Satz
2.10). Da die Tk insbesondere punktweise beschränkt sind, folgt aus dem Prinzip der gleichmäßigem
Beschränktheit kTk kX→Y ≤ K, daher kT xkY = lim kTk xkY ≤ KkxkX .
⊓
⊔
3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung
Wir hatten eine Abbildung offen genannt, wenn offene Mengen auf offene Mengen abgebildet
werden.
Satz 3.8 (Prinzip der offenen Abbildung, Satz vom inversen Operator). Seien X, Y
Banach-Räume und T ∈ L(X, Y ) sei surjektiv. Dann ist T offen. Demnach ist die Inverse T −1
stetig, wenn T bijektiv ist.
3.2 Das Prinzip der offenen Abbildung
29
Beweis. Dies ist letztlich eine nichttriviale Folgerung aus dem Satz von Baire. Der Beweis erfolgt
in mehreren Schritten:
(i) Sei Ua = Ba (0). T (U1 ) enthält eine offene Kugel.
Es gilt X = ∪k Uk . Da T surjektiv und linear ist, folgt
Y = T (X) = ∪k T (Uk ) = ∪k T (Uk ).
Nach Korollar 3.4 gibt es ein l, so daß T (Ul ) eine offene Kugel vom Radius r enthält. Damit enthält
T (U1 ) eine offene Kugel vom Radius r/l.
(ii) 0 ist innerer Punkt von T (Uε ) für alle ε > 0.
Vorausgeschickt sei die Bemerkung, daß der Abschluß einer konvexen Menge A ebenfalls konvex
ist, denn wenn (xk ) und (yk ) Folgen in A sind, so ist auch (txk + (1 − t)yk ), t ∈ [0, 1], eine Folge
in A.
Nach (i) gibt es ein y ∈ X und ein η > 0 mit
kx − ykX < η ⇒ x ∈ T (U1 ).
Da U1 symmetrisch bezüglich des Nullpunkts ist, gilt dies auch mit y ersetzt durch −y. Für kxk < η
folgt aus x ± y ∈ T (U1 ) und der Konvexität von T (U1 )
x=
1
1
(x − y) + (x + y) ∈ T (U1 ),
2
2
daher Bη (0) ⊂ T (U1 ) und Bηε (0) ⊂ T (Uε )
(iii) 0 ist innerer Punkt von T (Uε ).
P∞
Sei εk > 0 eine beliebige Folge mit ε0 = k=1 εk . Für Uk = Bεk (0) enthält T (Uk ) nach (ii) eine
offene Kugel Vk = Bηk (0). Da T stetig ist, gilt limk→∞ ηk = 0. Zu beliebigem y ∈ V0 definiere eine
Folge (xk ) durch
y ∈ V0 ⇒
y ∈ T (U0 )
⇒ ∃x0 ∈ U0 mit ky − T x0 kY < η1 ,
y − T x0 ∈ V1 ⇒ y − T x0 ∈ T (U1 ) ⇒ ∃x1 ∈ U1 mit ky − T x0 − T x1 kY < η2 ,
der k-te Schritt dieser Konstruktion lautet dann
∃xk ∈ Uk mit ky −
k
X
i=0
T xi kY < ηk+1 .
P∞
P∞
Die Reihe k=0 xk konvergiert wegen kxk kX < εk . Daher folgt für x = k=0 xk , daß kxkX < 2ε0
und y = T x. Somit gibt es zu jedem ε0 > 0 ein η0 mit Bη0 (0) ⊂ T (B2ε0 (0)). Damit ist (iii) gezeigt.
(iv) Für M ⊂ X offen ist T (M ) offen.
Da die Translation ein Homöomorphismus ist, ist nach (iii) jeder Punkt von T (M ) innerer Punkt.
⊓
⊔
Für beliebige Mengen X, Y und T : X → Y heißt
©
ª
G(T ) = (x, T x) : x ∈ X ⊂ X × Y
der Graph von T. Wenn X und Y Banach-Räume sind, so läßt sich die Produkttopologie auf X × Y
durch
k(x, y)kX×Y = kxkX + kykY .
zu einem Banach-Raum normieren. Falls T : X → Y linear, so ist der Graph von T ein Unterraum
von X × Y. Der Satz vom inversen Operator liefert für den Graphen von T :
Korollar 3.9 (Satz vom abgeschlossenen Graphen). Seien X, Y Banach-Räume und T :
X → Y eine lineare Abbildung. Dann gilt
T ist stetig
⇔
G(T ) ist abgeschlossen in X × Y.
Beweis. ⇒: Sei (xk ) eine Folge in X mit xk → x. Weil T stetig ist, gilt T xk → T x. Wenn also
(xk , T xk ) in X × Y konvergent ist, so gehört der Grenzwert ebenfalls zu G(T ). Damit ist G(T )
abgeschlossen.
⇐: G(T ) ist nach Voraussetzung ein abgeschlossener Unterraum von X × Y und damit selber
ein Banach-Raum. Die Projektion π : G(T ) → X, (x, T x) 7→ x, ist bijektiv, linear und stetig; nach
Satz 3.8 ist auch π −1 stetig. Da die Projektion PY : X × Y → Y stetig ist, ist auch T = PY ◦ π −1
stetig.
⊓
⊔
30
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
3.3 Hahn-Banach-Sätze
Die Hahn-Banach-Sätze beschäftigen sich mit der Existenz stetiger linearer Funktionale f ∈ X ′ .
Es gibt zwei Typen: Die Fortsetzungssätze erlauben die stetige Fortsetzung von Funktionalen, die
nur auf einem linearen Unterraum definiert sind, und die Trennungssätze sichern die Existenz von
Funktionalen, die auf disjunkten, konvexen Mengen verschiedene Werte annehmen.
Definition 3.10. Sei X ein reeller Vektorraum und p : X →
R. p heißt sublinear, wenn
(a) p(tx) = tp(x) für alle t ≥ 0 und x ∈ X,
(b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, y ∈ X.
Jede Halbnorm ist sublinear. Der Begriff des sublinearen Funktionals ist auch im
sinnvoll, denn jeder -Vektorraum ist auch ein -Vektorraum.
C
R
C-Vektorraum
Satz 3.11 (Hahn-Banachscher Fortsetzungssatz). Sei M ein Unterraum eines reellen Veksei ein sublineares Funktional. Weiter sei
torraums X (ohne Topologie !) und p : X →
f : M →
linear mit f (x) ≤ p(x) für alle x ∈ M. Dann gibt es ein lineares F : X →
mit F |M = f und
−p(−x) ≤ F (x) ≤ p(x) für alle x ∈ X.
R
R
Beweis. Sei M 6= X. Wähle ein x1 ∈ X \ M und setze
M1 = {x + tx1 : x ∈ M, t ∈
R
R}.
M1 ist offenbar ein Vektorraum. Für x, y ∈ M gilt
f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x − x1 ) + p(x1 + y),
daher
f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y).
Da die rechte Seite nicht von x abhängt, ist die linke für alle x ∈ M durch eine Zahl a beschränkt.
Daraus erhalten wir die beiden Abschätzungen
f (x) − a ≤ p(x − x1 ),
f (y) + a ≤ p(y + x1 ).
(3.1)
Durch f1 (x+tx1 ) = f (x)+ta ist auf M1 ein Funktional mit f1 |M = f definiert. f1 ist nach Definition
linear. Für t > 0 ersetzen wir in (3.1) x durch t−1 x und y durch t−1 y. Wir multiplizieren die beiden
Ungleichungen mit t und erhalten f1 ≤ p in M1 .
Der zweite Teil des Beweises verwendet transfinite Induktion. Sei P die Menge der Paare
(M ′ , f ′ ), wobei M ′ ein Unterraum von X ist, der M enthält, und f ′ eine lineares Funktional
auf M ′ mit f ′ |M = f und f ′ ≤ p in M ′ . Wir ordnen P dadurch, daß wir (M ′ , f ′ ) ≤ (M ′′ , f ′′ )
setzen, wenn M ′ ⊂ M ′′ und f ′′ = f ′ in M ′ gilt. Sei κ eine total geordnete Teilmenge von P. Sei
M̃ die Vereinigung der Elemente von κ. Da die Elemente von κ total geordnet sind, ist M ein
Unterraum von M̃ . Für x ∈ M̃ , d.i. x ∈ M ′ für ein M ′ in κ, setze f˜(x) = f ′ (x), wobei f ′ zu M ′
im Paar (M ′ , f ′ ) gehört. Offenbar ist f˜ linear und erfüllt f˜ ≤ p in M̃ . Damit ist (M̃ , f˜) ∈ P eine
obere Schranke von κ. Nach dem Lemma von Zorn enthält P ein maximales Element (M ∗ , f ∗ ).
Wäre M ∗ 6= X, so würde der erste Teil des Beweises zu einem Widerspruch führen. Damit ist f ∗
das gesuchte Funktional F. Die Abschätzung F ≤ p führt zu −p(−x) ≤ −F (−x) = F (x). Damit
ist alles bewiesen.
⊓
⊔
K
Satz 3.12. Sei M ein Unterraum des -Vektorraums X und p sei eine Halbnorm auf X. Weiter
sei f : M →
linear mit |f (x)| ≤ p(x) für alle x ∈ M. Dann gibt es ein lineares F : X →
mit
F |M = f und |F | ≤ p in X.
K
K
K R
=
folgt daher
Beweis. Eine Halbnorm ist sublinear mit p(x) = p(−x). Die Behauptung für
aus dem letzten Satz.
Im Falle
=
sei f ein lineares Funktional mit |f | ≤ p in M. Da für jede komplexe Zahl
z = Re z − iRe iz gilt, erhalten wir mit f1 = Re f,
K C
f (x) = f1 (x) − if1 (ix).
f1 ist reell-linear mit |f1 (x)| ≤ p(x) in M. Nach dem letzten Satz gibt es eine reell-lineare Fortsetzung F1 von f1 auf X mit |F1 | ≤ p in X. Für diese setzen wir entsprechend F (x) = F1 (x)−iF1 (ix).
F stimmt auf M mit f überein und ist komplex-linear. Für ein α ∈ mit |α| = 1 gilt
C
|F (x)| = αF (x) = F (αx) = F1 (αx) ≤ p(αx) = p(x).
⊓
⊔
3.3 Hahn-Banach-Sätze
31
K
Korollar 3.13. Sei X ein normierter -Vektorraum und M ein Unterraum von X. Ferner sei
linear und stetig. Dann existiert ein F ∈ X ′ mit F |M = f und kF kX→K = kf kM →K .
f :M →
K
Beweis. Für p(x) = kxkX kf kM →K wenden wir den letzten Satz an. Für die Fortsetzung F gilt
dann |F x| ≤ kxkX kf kM →K , also kF k ≤ kf k. Die umgekehrte Richtung kF k ≥ kf k ist klar.
⊓
⊔
Nach unseren bisherigen Überlegungen ist nicht klar, wie reichhaltig der Dualraum ist, insbesondere, ob es zu allen x 6= y ein f ∈ X ′ gibt mit f (x) 6= f (y). Diese Trennungseigenschaft
beweisen wir in allgemeinerer Form.
K
Satz 3.14 (Hahn-Banachscher Trennungssatz). Sei X ein normierter -Vektorraum und
A, B ⊂ X seien disjunkte und konvexe Mengen. A sei offen. Dann gibt es ein F ∈ X ′ und ein
γ ∈ mit
Re F x < γ ≤ Re F y für alle x ∈ A, y ∈ B.
R
C
R
Beweis. Der Satz gilt für - wie für -Vektorräume. Im Beweis von Satz 3.12 wurde gezeigt, wie
man aus einem reellwertigen Funktional ein komplexwertiges konstruiert. Es genügt also, den Fall
= zu betrachten.
Seien a0 ∈ A, b0 ∈ B beliebig gewählt und sei x0 = b0 − a0 . Die Menge
©
ª
C = x ∈ X : x = a − b + x0 für a ∈ A, b ∈ B
K R
ist konvex (A, B sind konvex), offen (A ist offen) und enthält die Null (a0 ∈ A, b0 ∈ B). Jedem
x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem
Rande von C zuordnen. Setze
(
kxk/kxk wenn x existiert,
x
x
p(x) =
0
sonst.
0
p genügt den Bedingungen
C
p(x) < 1 für x ∈ C,
p(x) ≥ 1 für x ∈
/ C.
(3.2)
Weil C offen ist mit 0 ∈ C, enthält C auch eine Kugel B1/d (0). Es gilt also p(x) ≤ 1 für kxk ≤ 1/d
und, weil nach Definition p(tx) = tp(x) für t ≥ 0,
p(x) ≤ dkxk ∀x ∈ X.
Wir zeigen die Dreiecksungleichung für p. Für x, y ∈ X mit p(x) < s, p(y) < t, gilt nach (3.2)
s−1 x, t−1 y ∈ C. Für u = s + t folgt aus der Konvexität von C
u−1 (x + y) =
und wiederum wegen (3.2),
t
s −1
s x + t−1 y ∈ C
u
u
p(u−1 (x + y)) < 1,
also p(x + y) < u.
Damit gilt p(x + y) ≤ p(x) + p(y) und p ist sublinear.
Nun konstruieren wir das gesuchte F, indem wir auf dem von x0 aufgespannten Unterraum M
setzen f (tx0 ) = t. Für t ≥ 0 gilt dann
f (tx0 ) = t ≤ tp(x0 ) = p(tx0 ),
denn wegen A ∩ B = ∅ ist x0 ∈
/ C und daher p(x0 ) ≥ 1. Nach Satz 3.11 gibt es eine Fortsetzung
F von f mit F ≤ p. Insbesondere ist F ≤ 1 in C, also auch F ≥ −1 in −C = {c : −c ∈ C}. Da
C offen ist und die Null enthält, erhalten wir |F | ≤ 1 in BR (0) für genügend kleines R > 0, daher
F ∈ X ′ . Für a ∈ A, b ∈ B folgt
F (a) − F (b) + 1 = F (a − b + x0 ) ≤ p(a − b + x0 ) < 1
und daher F (a) < F (b). Da jedes nichtkonstante lineare Funktional eine offene Abbildung ist, also
die Bilder offener Mengen offen sind, ist F (A) offen in . Als γ nehmen wir den rechten Endpunkt
in F (A).
⊓
⊔
R
32
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
Die folgende einfache Variante des Trennungsprinzips ist ebenfalls sehr nützlich.
Satz 3.15. Sei M ein abgeschlossener Unterraum des Banach-Raums X und x1 ∈
/ M. Dann gibt
es ein F ∈ X ′ mit kF kX ′ = 1, F = 0 auf M und F (x1 ) = dist (x1 , M ) > 0.
Beweis. Auf
M1 = M ⊕ span {x1 }
definieren wir das lineare Funktional
f (y + αx1 ) = α dist (x1 , M )
Da für jedes y ∈ M und α 6= 0
gilt, folgt
für alle y ∈ M und α ∈
dist (x1 , M ) ≤ kx1 +
K.
y
k
α
y
k = kαx1 + yk
α
≤ 1. Zu jedem ε > 0 gibt es ein yε ∈ M mit kx1 − yε k ≤
|f (y + αx1 )| ≤ |α| kx1 +
und damit f ∈ M1′ mit kf kM1′
(1 + ε)dist (x1 , M ), also
f (x1 − yε ) = dist (x1 , M ) ≥
1
kx1 − yε k,
1+ε
daher kf kM1′ ≥ 1. Die Behauptung folgt nun aus Korollar 3.13.
⊓
⊔
3.4 Bidualraum und schwache Konvergenz
Sei X ein normierter Raum. Der Dualraum von X ′ heißt auch Bidualraum und wird mit X ′′
bezeichnet. Auf X × X ′ kann man die Bilinearform
hx, f i = f (x) ∈
K,
die Dualitätsabbildung, definieren. Diese formale Setzung bringt natürlich nichts Neues, läßt aber
eine andere Interpretation zu: So wie f auf x wirkt, wirkt x auch auf f. Jedes x ∈ X erzeugt daher
vermöge
f 7→ hx, f i
(3.3)
eine lineare Abbildung von X ′ nach
K, die wegen
|hx, f i| ≤ kf kX ′ kxkX
auch stetig ist. Damit kann jedes x ∈ X durch (3.3) mit einem i(x) ∈ X ′′ identifiziert werden.
Lemma 3.16. Die Abbildung i : X → X ′′ ist eine lineare Isometrie, also
kxkX =
sup
f ∈X ′ , kf kX ′ =1
hx, f i = ki(x)kX ′′
∀x ∈ X.
Insbesondere ist i(X) abgeschlossener Unterraum von X ′′ und damit selber Banach-Raum.
Beweis. ki(x)kX ′′ ≤ kxk haben wir bereits gezeigt. Für die umgekehrte Richtung schreiben wir
ki(x)kX ′′ =
sup
f ∈X ′ , kf kX ′ =1
hx, f i ≥ F (x),
wobei F mit dem Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz folgendermaßen konstruiert wird: Setze
M = span {x}, f (x) = kxk, ansonsten sei f linear auf M, also f (αx) = αkxk, α ∈ . Dann
gilt kf kM ′ = 1 und es gibt eine Fortsetzung F ∈ X ′ mit F |M = f und kF kX ′ = 1. Daher
ki(x)kX ′′ ≥ kxkX .
⊓
⊔
K
Zusammen mit dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit folgt hieraus ein nützliches Kriterium für die Beschränktheit von Mengen.
3.4 Bidualraum und schwache Konvergenz
33
Satz 3.17. Sei X ein Banach-Raum. Dann gilt:
(a) Eine Menge M ⊂ X ist genau dann beschränkt, wenn |f (x)| ≤ Kf für alle x ∈ M und alle
f ∈ X ′.
(b) Eine Menge M ′ ⊂ X ′ ist genau dann beschränkt, wenn |f (x)| ≤ Kx für alle f ∈ M ′ und alle
x ∈ X.
Beweis. (a) Die Richtung ⇒“ ist klar. Zum Beweis der anderen Richtung interpretieren wir die
”
Bedingung in X ′′ . Es gilt |i(x)(f )| ≤ Kf , womit i(x) für x ∈ M punktweise beschränkt ist. Nach
dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit ist die Menge {i(x) : x ∈ M } in X ′′ beschränkt.
Mit dem letzten Lemma ist daher auch M beschränkt.
(b) Dies folgt direkt aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.
⊓
⊔
Besitzt ein physikalisches System einen Zustandsraum“ X der möglichen Zustände x ∈ X
”
und ein Energiefunktional“ f : X → , so wird der Zustand minimaler Energie von der Natur
”
realisiert. Für die mathematische Physik ist es natürlich wichtig, die Existenz eines solchen Zustands auch zu beweisen, allein schon zur Rechtfertigung des konkreten physikalischen Modells.
Aber auch innerhalb der Mathematik ist dieses Problem von großer Bedeutung. Beispielsweise
kann X eine Menge sein, mit der ein Approximationsproblem gelöst werden soll, und f ist der
Approximationsfehler. Existenz des Minimums bedeutet dann Existenz des Elements bester Approximation. Das Minimum kann mit einem Kompaktheitsargument nachgewiesen werden, wenn
X ein folgenkompakter Raum und f unterhalbstetig ist, also
R
xk → x in X
⇒
f (x) ≤ lim inf f (xk ).
Sei d = inf f (x) ∈ [−∞, ∞). Aus einer Minimalfolge (xk ) mit f (xk ) → d kann wegen der Folgenkompaktheit eine Teilfolge (xkl ) ausgewählt werden mit xkl → x. Aus der Unterhalbstetigkeit folgt
f (x) ≤ lim inf f (xkl ). Damit ist f (x) = d und d ∈ . Die folgenden Konstruktionen haben unter
anderem das Ziel, diesen wichtigen Beweis zu ermöglichen.
Enthält eine Teilmenge eines unendlich dimensionalen Banach-Raums einen inneren Punkt, so
ist sie nach Satz 2.7 nicht folgenkompakt. Als Abhilfe werden wir im Folgenden den Konvergenzbegriff abschwächen.
R
Definition 3.18. Sei X ein Banach-Raum. Eine Folge (xk ) heißt schwach konvergent gegen x ∈ X
(Schreibweise: xk ⇁ x), wenn
f (xk ) → f (x) ∀f ∈ X ′ .
Der schwache Grenzwert ist eindeutig bestimmt, sofern er existiert. Denn zu verschiedenen Grenzwerten x, y der schwach konvergenten Folge (xk ) gibt es nach dem Trennungssatz ein f ∈ X ′ mit
f (x) 6= f (y) im Widerspruch zur Definition der schwachen Konvergenz.
Starke Konvergenz (=Normkonvergenz) impliziert die schwache, weil die f ∈ X ′ stetig und
damit auch folgenstetig sind. Im unendlich dimensionalen Banach-Raum ist die Umkehrung dieser
Aussage meist nicht richtig (vgl. aber Aufgabe 3.23). Als einfaches Beispiel betrachten wir die
Folgenräume lp für 1 < p < ∞ mit Dualraum lq , q = p/(p − 1) (siehe Beispiele 2.3 und 2.13).
Für die Folge (ek ), ek (i) = δki , gilt ek ∈ lp , kek − el klp = 21/p für k 6= l. Damit ist (ek ) keine
Cauchy-Folge und kann in der Normtopologie nicht konvergent sein. Da jedes y ∈ lq die Eigenschaft
hat, daß limi→∞ y(i) = 0, folgt jedoch
fy (ek ) =
∞
X
i=1
y(i)ek (i) = y(k) → 0
für alle y ∈ lq . Daher ek ⇁ 0.
Lemma 3.19. Wenn xk ⇁ x, so gilt kxk k ≤ K und lim inf k→∞ kxk k ≥ kxk (=schwache Unterhalbstetigkeit der Norm).
Beweis. Wenn lim f (xk ) = f (x), so sind die Mengen {f (xk )}k∈N für jedes f ∈ X ′ beschränkt. Die
erste Behauptung folgt daher aus Satz 3.17(a). Analog zum Beweis von Lemma 3.16 konstruiert
man ein F ∈ X ′ mit kF kX ′ = 1, F (x) = kxk. Dann folgt
kxk = F (x) = lim F (xk ) ≤ kF k lim inf kxk k.
⊓
⊔
34
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
Definition 3.20. Sei X ein Banach-Raum. Eine Folge (fk ) in X ′ heißt schwach∗ konvergent gegen
∗
f ∈ X ′ (Schreibweise: fk ⇁ f ), wenn
fk (x) → f (x)
für alle x ∈ X.
Schwache∗ Konvergenz ist damit punktweise Konvergenz. Da für eine schwach∗ konvergente Folge
|fk (x)| ≤ Kx für alle x ∈ X gilt, ist die Folge (fk ) nach Satz 3.17(b) normbeschränkt, kfk kX ′ ≤ K.
Für das Grenzfunktional folgt dann kf kX ′ ≤ lim inf kfk kX ′ ≤ K.
Vergleichen wir die schwache und die schwache∗ Konvergenz auf X ′ :
fk ⇁ f in X ′
∗
fk ⇁ f in X ′
⇔
u(fk ) → u(f ) ∀u ∈ X ′′ ,
⇔
i(x)(fk ) → i(x)(f ) ∀x ∈ X.
Die schwache Konvergenz auf X ′ ist damit ein stärkerer Konvergenzbegriff als die schwache∗ Konvergenz wegen i(X) ⊂ X ′′ . Gilt aber i(X) = X ′′ , so stimmen die beiden Konvergenzbegriffe
überein.
Um den Unterschied zwischen der schwachen und der schwachen∗ Konvergenz herauszuarbeiten,
betrachten wir den Raum l1 , der Dualraum von c0 = c0 ( ) ist und l∞ zum Dualraum hat. Für
die Folge (ek )k∈N mit ek (i) = δki erhalten wir für jedes x ∈ c0
N
ek (x) =
∞
X
i=1
ek (i)x(i) = x(k) → 0,
∗
also ek ⇁ 0 in l1 = c′0 , aber für u = (1, 1, . . .) ∈ l∞
u(ek ) =
∞
X
u(i)ek (i) = 1.
i=1
Da der schwache und der schwache∗ Grenzwert übereinstimmen müssen, sofern sie existieren, ist
die Folge (ek ) nicht schwach konvergent in l1 . In Aufgabe 3.23 wird gezeigt, daß in l1 starke und
schwache Konvergenz übereinstimmen.
3.5 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive Räume
In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, daß die abgeschlossene Einheitskugel B̃1 (0) schwach∗
folgenkompakt ist, sofern X ein separabler Banach-Raum ist. Als Vorbereitung benötigen wir das
folgende
Lemma 3.21. Sei (fk )k∈N eine Folge in X ′ . Dann gilt fk ⇁ f ∈ X ′ genau dann, wenn die beiden
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
∗
(a) kfk kX ′ ≤ K
für alle k ∈
N,
(b) (fk (x))k∈N ist Cauchy-Folge für alle x in einer dichten Teilmenge von X.
∗
Beweis. ⇒: Wenn fk ⇁ f, so ist die Bedingung (b) erfüllt. Da die Folgen (fk (x)) für alle x ∈ X
beschränkt sind, folgt aus Satz 3.17(b) die Bedingung (a).
⇐: Sei die Bedingung (b) in derP
dichten Menge A ⊂ X erfüllt. Für x ∈ A gilt dann fk (x) →
n
f (x) ∈ . Für y ∈ span A folgt y = i=1 αi xi , αi ∈ , und
K
K
fk (y) =
n
X
i=1
αi fk (xi ) →
n
X
αi f (xi ).
i=1
Pn
Wir setzen daher f (y) = i=1 αi f (xi ). f ist damit linear auf B = span A und es gilt fk (x) → f (x)
für alle x ∈ B. Wegen Bedingung (a) ist
|f (x)| = lim |fk (x)| ≤ Kkxk
k→∞
∀x ∈ B,
daher kf kB→K ≤ K. Da B dicht in X ist, kann f nach Satz 2.14 durch f˜ ∈ X ′ mit f˜|B = f und
kf˜kX ′ ≤ K fortgesetzt werden. Sei y ∈ X \ B und ε > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt kx − yk < ε
3.5 Schwache Folgenkompaktheit und reflexive Räume
35
für ein x ∈ B und |fk (x) − f (x)| < ε für genügend große k. Aus der Dreiecksungleichung erhalten
wir für diese k
|fk (y) − f˜(y)| ≤ |fk (y) − fk (x)| + |fk (x) − f˜(x)| + |f˜(x) − f˜(y)|
©
ª
< kfk kX ′ + kf˜kX ′ kx − yk + ε < (2K + 1)ε.
∗
Damit ist fk ⇁ f˜ in X ′ gezeigt.
′
⊓
⊔
Satz 3.22. Sei X ein separabler Banach-Raum. Dann enthält jede in X normbeschränkte Folge
eine schwach∗ konvergente Teilfolge.
Beweis. Durch Auswahl der Diagonalfolge (siehe Beispiel 2.18) wird erreicht, daß (fk (x)) für jedes
x in einer dichten Teilmenge von X eine Cauchy-Folge ist. Die Behauptung folgt dann aus dem
letzten Lemma.
⊓
⊔
Definition 3.23. Sei X ein Banach-Raum. Ist die kanonische Inklusion i : X → X ′′ bijektiv, also
ein isometrischer Isomorphismus, so heißt X reflexiv.
Wie bereits erwähnt, stimmen in diesem Fall die schwache und die schwache∗ Konvergenz auf X ′
überein. Jeder Hilbert-Raum ist reflexiv. Aus der Darstellung der Dualräume der Folgenräume lp
für 1 < p < ∞ in Beispiel 2.13 folgt, daß auch diese reflexiv sind.
Satz 3.22 hat im reflexiven Banach-Raum ein einfaches Gegenstück, zu dessen Formulierung
noch einige Vorbereitungen nötig sind.
Satz 3.24. Jeder abgeschlossene Unterraum eines reflexiven Banach-Raums ist selber ein reflexiver
Banach-Raum.
Beweis. Sei M ein abgeschlossener Unterraum des reflexiven Raums X. Zu u ∈ M ′′ setze
uM (f ) = u(f |M ),
f ∈ X ′.
uM ist offenbar linear mit kuM kX ′′ ≤ kukM ′′ . Da X reflexiv ist, gibt es ein x ∈ X mit
f (x) = u(f |M ) ∀f ∈ X ′ .
(3.4)
Angenommen x ∈
/ M. Dann können wir mit Satz 3.15 ein f ∈ X ′ konstruieren mit f = 0 auf M
und f (x) 6= 0, was sofort einen Widerspruch ergibt. Daher ist x ∈ M .
Jedes f ∈ M ′ kann mit dem Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz zu einem f˜ ∈ X ′ fortgesetzt
werden. Mit (3.4) gilt dann
u(f ) = u(f˜|M ) = f˜(x) = f (x).
Damit ist i : M → M ′′ surjektiv.
Satz 3.25. Sei X ein Banach-Raum. Ist X ′ separabel, so ist X separabel.
⊓
⊔
Beweis. Sei {fk } dicht in X ′ . Nach Definition der Norm in X ′ gibt es xk mit
|fk (xk )| ≥
1
kfk k,
2
kxk k = 1.
Setze Y = span {xk }. Ist f = 0 auf Y für ein f ∈ X ′ , so folgt für alle k
kf − fk k ≥ |f (xk ) − fk (xk )| = |fk (xk )| ≥
1
1
kfk k ≥ (kf k − kfk − f k)
2
2
und damit
kf k ≤ 3 inf kf − fk k = 0,
k
weil {fk } dicht in X ′ ist. Aus Satz 3.15 folgt Y = X.
⊓
⊔
Satz 3.26. Der Banach-Raum X sei reflexiv. Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel schwach
folgenkompakt.
Beweis. Sei (xk ) eine Folge in B̃1 (0). Nach Satz 3.24 ist
Y = span {x1 , x2 , . . .}.
ein reflexiver Banach-Raum. Es gilt also Y ′′ = i(Y ) und mit Y ′′ ist nach Satz 3.25 auch Y ′
∗
separabel. Daher können wir Satz 3.22 auf die Folge (i(xk )) anwenden und erhalten i(xk ) ⇁ z
in Y ′′ für eine Teilfolge. Da i ein isometrischer Isomorphismus ist, folgt y ′ (xk ) → y ′ (i−1 (z)) für
alle y ′ ∈ Y ′ . Wegen xk , i−1 (z) ∈ Y folgt hieraus auch f (xk ) → f (i−1 (z)) für alle f ∈ X ′ , also
xk ⇁ i−1 (z) in X.
⊓
⊔
36
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
3.6 Konvexität und schwache Konvergenz
Satz 3.27. Ist eine Teilmenge M eines Banach-Raums konvex, so liegt der schwache Grenzwert
einer Folge aus M in M .
/ M . Dann
Beweis. Mit M ist auch M konvex. Angenommen, xk ⇁ x0 mit xk ∈ M, aber x0 ∈
können wir x0 von M trennen, es gibt also ein F ∈ X ′ mit Re F (x0 ) < γ ≤ Re F (x) für alle
x ∈ M . Dies ist aber ein Widerspruch zu xk ⇁ x0 .
⊓
⊔
Der folgende Satz zeigt, wie man aus einer schwach konvergenten Folge eine stark konvergente
Folge konstruieren kann.
Satz 3.28 (Mazur). Sei X ein Banach-Raum und (xk ) eine Folge in X mit xk ⇁ x. Dann gibt
es eine Folge (yk ), die aus endlichen Konvexkombinationen der xk besteht, mit yk → x.
R
gibt mit 0P≤ tki ≤ 1 und
Anmerkung 3.29. Der Satz ist so zu verstehen, daß es Zahlen tki ∈
P
∞
∞
t
=
1,
wobei
für
jedes
k
nur
endlich
viele
t
nicht
verschwinden,
mit yk = i=1 tki xi → x.
ki
i=1 ki
Beweis. Auf die konvexe Hülle M von {xk } wenden wir den vorigen Satz an. Demnach liegt x im
Abschluß (bezüglich der Normtopologie) von M , also yk → x für eine Folge von Konvexkombinationen yk .
⊓
⊔
Für die schwache∗ Konvergenz ist dieser Satz nicht richtig, wie das Beispiel X = c0 , X ′ = l1 , zeigt:
∗
Für die Folge (ek ) gilt ek ⇁ 0 in l1 , aber kykl1 = 1 für jede Konvexkombination y der ek .
Im Hilbert-Raum läßt sich der Satz von Mazur zum Satz von Banach-Saks verschärfen: Eine
in einem Hilbert-Raum beschränkte Folge besitzt eine Teilfolge derart, daß die Folge der arithmetischen Mittel stark konvergiert (siehe Aufgabe 3.6).
Mit dem Satz von Mazur haben wir alle Hilfsmittel für den Kompaktheitsschluß im BanachRaum bereitgestellt.
Satz 3.30. Sei X ein reflexiver Banach-Raum, K ⊂ X sei abgeschlossen und konvex. f : K →
sei stetig, konvex und genüge, falls K unbeschränkt ist, der Bedingung
f (x) → ∞
für kxk → ∞, x ∈ K.
R
(3.5)
Dann nimmt f auf K das Minimum an.
Beweis. Sei d = inf x∈K f (x) und (xk ) eine Minimalfolge. Mit (3.5) sind die xk beschränkt. Wegen
der schwachen Kompaktheit gilt xk ⇁ x für eine Teilfolge. Nach dem Satz von Mazur, angewendet
auf die Folge xk , xk+1 , . . . , gibt es eine Folge von Konvexkombinationen
yk =
∞
X
tki xi ,
tki > 0 nur für endlich viele i,
i=k
mit yk → x in X. Da K konvex und abgeschlossen ist, gilt yk ∈ K und x ∈ K. Aus Stetigkeit und
Konvexität von f folgt
∞
X
f (x) = lim f (yk ) ≤ lim
tki f (xi ) = d.
k→∞
k→∞
Damit ist f (x) = d und x das Minimum von f.
i=k
⊓
⊔
Aufgaben
3.1. (2) Sei J die Menge der Irrationalzahlen im Intervall [0,1]. Es gibt keine Darstellung J = ∪∞
k=1 Ak mit
abgeschlossenen Mengen Ak .
R
3.2. a) (4) Es gibt keine Funktion x : [0, 1] → , die in jedem rationalen Punkt stetig und in jedem
irrationalen Punkt unstetig ist.
b) (3) Konstruieren Sie eine Funktion x : [0, 1] → , die in jedem irrationalen Punkt stetig und in jedem
rationalen Punkt unstetig ist.
Hinweise und Bemerkung: In a) führt man einen indirekten Beweis unter Verwendung der Aufgabe 3.1. Der
Aufgabenteil b) dient nur zur Illustration von a) und kann mit Gymnasialmathematik bewältigt werden. Es
gibt eine ganze Reihe solcher Sätze über reelle Funktionen, die ohne den Satz von Baire nicht zu beweisen
sind. Die Aufgaben 3.3 und 3.4 sind weitere Beispiele, eine ganze Sammlung findet man in [Boa60].
R
Aufgaben
37
3.3. (3) Sei (xk ) eine Folge in C([a, b]) mit xk (t) → x(t) punktweise in [a, b]. Beweisen Sie für die Funktion
x die folgenden Aussagen.
a) Zu jedem abgeschlossenen Intervall I ⊂ [a, b] mit nichtleerem Innerem und jedem ε > 0 gibt es ein
˜
nichtleeres offenes Intervall I˜ ⊂ I mit |x(t1 ) − x(t2 )| ≤ ε für alle t1 , t2 ∈ I.
Hinweis: Setze
ε
Ak = {t ∈ I : |xk (t) − xl (t)| ≤
∀l ≥ k}.
3
b) (Baire) Die Menge der Stetigkeitspunkte von x liegt dicht in [a,b].
3.4. Sei X = C([0, 1]) versehen mit der Norm k · k∞;[0,1] .
a) (3) Zeigen Sie, daß die Mengen
˘
1
1
1¯
An = x ∈ X : Es gibt ein t ∈ [0, 1 − ] mit |x(t + h) − x(t)| ≤ n ∀ 0 < h <
n
h
n
abgeschlossen in X sind.
b) (4) Zeigen Sie, daß das Komplement von An dicht ist in X.
c) (1) Zeigen Sie, daß die Menge der in einem Punkt von rechts differenzierbaren Funktionen mager ist in
X. Insbesondere gibt es stetige Funktionen, die in keinem Punkt differenzierbar sind.
3.5. (3) Eine Basis eines Vektorraums definiert man wie sonst auch in der linearen Algebra als eine Menge
von linear unabhängigen Elementen {xk }k∈I , so daß sich jedes x ∈ X als endliche Linearkombination
der xk darstellen läßt. Zeigen Sie, daß die Basis eines Banach-Raums nicht abzählbar sein kann (also nur
endlich oder überabzählbar).
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Baire.
3.6. (3) Konstruieren Sie ein Beispiel, das zeigt, daß im Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit der
Raum X vollständig sein muß.
Hinweis: Verwenden Sie den Raum der endlichen Folgen unter der Norm k · kl∞ .
3.7. (3) Sei (ai ) eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft
∞
X
ai b i < ∞
für alle reellen Folgen (bi ) mit bi → 0.
i=1
P
Dann gilt ∞
i=1 |ai | < ∞.
Hinweis: Dies läßt sich sowohl elementar als auch elegant mit einem funktionalanalytischen Prinzip beweisen.
3.8. (3) Seien X, Y Banach-Räume und H ⊂ L(X, Y ). Gilt für alle x ∈ X und y ′ ∈ Y ′
sup hT x, y ′ i < ∞,
T ∈H
so ist H in L(X, Y ) beschränkt.
3.9. (2) Seien X, Y Banach-Räume und (Tk ) eine punktweise konvergente Folge in L(X, Y ). Man gebe ein
Beispiel dafür an, daß die Tk nicht in der Operatornorm konvergieren müssen.
K
sei bilinear und in jeder Komponente stetig, also
3.10. (3) Seien X, Y Banach-Räume, b : X × Y →
b(·, y) ∈ X ′ und b(x, ·) ∈ Y ′ für alle y ∈ Y beziehungsweise x ∈ X. Dann ist b(·, ·) auf X × Y stetig.
3.11. (2) Seien X, Y Banach-Räume und T ∈ L(X, Y ) injektiv mit abgeschlossenem Bild. Dann gibt es
ein m > 0 mit
mkxkX ≤ kT xkY ∀x ∈ X.
3.12. (2) Der Vektorraum X sei vollständig bezüglich der Normen k · k1 und k · k2 . Gilt dann kxk1 ≤ ckxk2
für alle x ∈ X, so sind die beiden Normen äquivalent, es gilt also auch kxk2 ≤ ckxk1 für alle x ∈ X.
3.13. (2) Seien Y, Z abgeschlossene Unterräume eines Banach-Raums X mit folgender Eigenschaft: Zu
jedem x ∈ X gibt es eindeutig bestimmte y ∈ Y und z ∈ Z mit x = y + z. Dann gibt es eine Konstante K
mit kyk ≤ Kkxk und kzk ≤ Kkxk.
3.14. (2) Zeigen Sie ohne Verwendung des Auswahlaxioms:
Wenn X ein reeller separabler Banach-Raum ist, M ein Unterraum von X und f ∈ L(M,
eine Fortsetzung f˜ ∈ L(X, ) mit f˜|M = f und kf˜kM →R = kf kX→R .
R
R), so gibt es
38
3 Die Prinzipien der Funktionalanalysis
3.15. (3) Sei X ein Hilbert-Raum und U ein abgeschlossener Unterraum von X. Bestimmen Sie eine
Fortsetzung f˜ von f ∈ U ′ auf X mit kf˜k = kf k und zeigen Sie, daß diese Fortsetzung eindeutig bestimmt
ist.
3.16. (3) Sei Sl : l∞ → l∞ der Shift nach links im Raum der beschränkten Folgen l∞ . Konstruieren Sie
′
ein f ∈ l∞
mit den Eigenschaften
f (Sl x) = f (x) für alle x ∈ l∞ ,
lim inf x(i) ≤ f (x) ≤ lim sup x(i) für alle x ∈ l∞ .
i→∞
i→∞
Hinweis und Bemerkung: Definiere
fk (x) =
1
(x(1) + . . . + x(k)),
k
M = {x ∈ l∞ : lim fk (x) =: f (x) existiert},
k→∞
p(x) = lim sup fk (x),
k→∞
und wende Hahn-Banach an.
Ein solches Funktional f , das manche Eigenschaften eines echten Grenzwerts besitzt, heißt Banachlimes.
3.17. (1) Eine in C 0 (Ω) schwach konvergente Folge ist punktweise konvergent.
3.18. (2) a) In einem Banach-Raum X ist die schwache Konvergenz xk ⇁ x äquivalent zu den beiden
Bedingungen
(i) kxk k ≤ M ∀k ∈ ,
(ii) f (xk ) → f (x) für alle f in einer dichten Teilmenge von X ′ .
b) Als Anwendung zeige man:
N
xk ⇁ x in c0
kxk kl∞ ≤ K und xk (i) → x(i) ∀i ∈
⇔
N.
Bemerkung: Man beachte den Unterschied zu Lemma 3.21. Dort kommt der Grenzwert in Bedingung (b)
nicht vor.
3.19. (2) Im Hilbert-Raum gilt
xk → x
⇔
xk ⇁ x und kxk k → kxk.
3.20. (3) Sei 1 ≤ p < ∞. Eine Folge in lp ist genau dann schwach konvergent in lp , p > 1, bzw. schwach∗
konvergent in l1 , wenn sie normbeschränkt ist und punktweise konvergiert.
3.21. (3) Sei 1 < p < ∞. Beweisen Sie:
xk → x in lp
⇔
xk ⇁ x in lp und kxk klp → kxklp .
3.22. (3) Sei X ein Banach-Raum. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel.
a) Ist fk → f in X ′ und xk ⇁ x in X, so fk (xk ) → f (x).
∗
b) Ist fk ⇁ f in X ′ und xk → x in X, so fk (xk ) → f (x).
∗
c) Ist fk ⇁ f in X ′ und xk ⇁ x in X, so fk (xk ) → f (x).
3.23. (5) Beweisen Sie: Eine Folge konvergiert genau dann schwach in l1 , wenn sie stark in l1 konvergiert.
′
3.24. (3) Die abgeschlossene Einheitskugel von l∞
ist nicht schwach∗ folgenkompakt.
3.25. (3) Beweisen Sie: (Banach-Saks) Gilt in einem Hilbert-Raum xk ⇁ x, so gibt es eine Teilfolge (xkl )
mit
l
1X
xk → x.
l j=1 j
Hinweis: Man darf x = 0 setzen. Definiere die Teilfolge rekursiv durch
xk1 = x1 ,
|(xk1 + . . . + xkl−1 , xkl )| genügend klein.
3.26. (2) Sei X ein reflexiver Banach-Raum. Dann gibt es zu jedem f ∈ X ′ ein x ∈ X mit kxk = 1 und
|f (x)| = kf k.
3.27. (3) Sei M ⊂ C([−1, 1]) die Menge der Funktionen mit
Z 1
Z 0
x(τ ) dτ −
x(τ ) dτ = 1.
0
−1
Dann ist M konvex und abgeschlossen, aber es gibt kein Element in M mit minimaler Norm k · k∞ .
Bemerkung: C([−1, 1]) ist damit nicht reflexiv, denn alle anderen Voraussetzungen von Satz 3.30 sind
erfüllt.
4
Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
4.1 Das Lebesgue-Integral
Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit den Grundlagen der Lebesgue-Integration vertraut ist.
Dieser Abschnitt soll nur die wichtigsten Begriffe und Sätze wiederholen. Für eine genauere Darstellung sei z.B. auf das Buch von Halmos [Hal50] verwiesen.
Definition 4.1. Eine Menge Σ von Teilmengen des
dingungen erfüllt sind:
Rn heißt σ-Algebra, wenn die folgenden Be-
R
(a) n ∈ Σ,
(b) Wenn A ∈ Σ, dann ist auch Ac ∈ Σ,
(c) Wenn Ak ∈ Σ für k ∈
R
N, dann ist auch ∪∞k=1Ak ∈ Σ.
Wegen ( n )c = ∅ folgt aus (a) und (b), daß ∅ ∈ Σ. Auf ähnliche Weise zeigt man, daß ∩∞
k=1 Ak ∈ Σ
für Ak ∈ Σ und A \ B = A ∩ B c ∈ Σ.
Definition 4.2. Sei Σ eine σ-Algebra. Eine Funktion µ : Σ →
folgenden Eigenschaften besitzt:
R+ ∪ {∞} heißt Maß, wenn µ die
(a) µ(A) ≥ 0
für alle A ∈ Σ,
∞
X
µ(Ak ) für Ak ∈ Σ und Ak ∩ Al = ∅ für k 6= l.
(b) µ(∪∞
A
)
=
k
k=1
k=1
Häufig wird ein allgemeinerer Maßbegriff verwendet. In diesem Fall heißt die oben eingeführte
Maßfunktion ein positives, σ-additives Maß.
Satz 4.3. Es gibt eine σ-Algebra Σ von Teilmengen des
Maß genannt wird, mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Jede offene Menge des
Rn und ein Maß µ auf Σ, das Lebesgue-
Rn gehört zu Σ.
(b) Zu jedem A ∈ Σ und ε > 0 gibt es eine offene Menge B ⊃ A mit µ(B \ A) ≤ ε,
(c) Wenn A ⊂ B und B ∈ Σ mit µ(B) = 0, dann ist auch A ∈ Σ und µ(A) = 0.
Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n}, dann ist A ∈ Σ und µ(A) = Qnk=1(bk − ak ).
µ ist translationsinvariant, d.h.: Wenn x ∈ Rn und A ∈ Σ, dann gilt µ(A) = µ(x + A).
(d) Wenn A = {x ∈
(e)
Die Elemente von Σ heißen die Lebesgue-meßbaren Mengen. Die Eigenschaft (d) zeigt, daß das
Lebesgue-Maß die Fortsetzung der Volumenfunktion auf eine größere Klasse von Mengen ist, die
die offenen Mengen enthält. Da wir keine anderen Maßfunktionen studieren wollen, wird das Wort
Lebesgue“ im folgenden weggelassen.
”
Eine besondere Bedeutung für die Theorie haben die Mengen vom Maß 0, kurz Nullmengen
genannt. Satz 4.3(b) besagt, daß jede Teilmenge einer Nullmenge ebenfalls eine Nullmenge ist. Aus
der σ-Additivität folgt, daß die abzählbare Vereinigung von Nullmengen wiederum eine Nullmenge
ist. Insbesondere sind abzählbare Mengen des n Nullmengen. Wir sagen, daß eine Bedingung fast
überall (f.ü.) auf einer Menge A ⊂ n erfüllt ist, wenn es eine Nullmenge B ⊂ A gibt, so daß die
Bedingung auf A \ B gilt.
R
R
R
R
Definition 4.4. Sei A ⊂ n meßbar und sei u : A → ∪ {∞} ∪ {−∞} eine Funktion. u heißt
meßbar, wenn die Mengen {x : u(x) > a} meßbar sind für alle a ∈ .
R
40
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
Für eine meßbare Funktion u sind die Mengen
Ak = {x : u(x) > a −
1
},
k
k∈
N,
meßbar, damit auch die Menge {x : u(x) ≥ a}. Durch Bildung des Komplements erhalten wir
daraus die Meßbarkeit der Mengen {x : u(x) < a} sowie {x : u(x) ≤ a}.
Satz 4.5. (a) Wenn u meßbar ist, so sind auch |u|, u+ , u− meßbar.
(b) Wenn u, v meßbar sind, so sind auch u + v, uv, max{u, v}, min{u, v} meßbar.
(c) Wenn (uk ) eine Folge meßbarer Funktionen ist, so sind auch supk∈N uk , inf k∈N uk ,
lim supk∈N uk , lim inf k∈N uk meßbar.
R
R
(d) Wenn u : m →
stetig und jede Komponente von v = (v1 , . . . , vm ) meßbar ist, so ist auch
die Funktion u ◦ v(x) = u(v(x)) meßbar.
R
Definition
4.6. Seien A1 , . . . , Am ⊂ n meßbare Mengen und a1 , . . . , am ∈
Pm
k=1 ak χAk eine (meßbare) Treppenfunktion.
R. Dann heißt s(x) =
Satz 4.7. Zu jeder meßbaren Funktion u gibt es eine Folge von Treppenfunktionen (sk ) mit sk → u
punktweise. Wenn u positiv ist, so kann (sk ) monoton steigend gewählt werden.
Pm
Sei A ⊂ n meßbar. Für eine Treppenfunktion s(x) = k=1 ak χAk mit Ak ⊂ A definieren wir
R
Z
s(x) dx =
A
m
X
ak µ(Ak ).
k=1
Wenn u meßbar und positiv ist, so setzen wir
Z
Z
s(x)dx,
u(x) dx = sup
A
A
wobei das Supremum über alle Treppenfunktionen genommen wird, die außerhalb von A verschwinden und der Beziehung 0 ≤ s ≤ u in A genügen. Wenn u reellwertig und meßbar ist, und auf der
rechten Seite von
Z
Z
Z
u+ (x)dx − (−u− (x)) dx
u(x) dx :=
A
A
A
mindestens eines der Integrale endlich ist, so sagen wir, daß das Integral von u existiert mit Werten
in
R der Menge ∪ {−∞} ∪ {∞}. Wenn beide Integrale endlich sind, so heißt u integrierbar und
u(x)dx das Integral von u. Die Menge der integrierbaren Funktionen auf A bezeichnen wir mit
A
L1 (A).
R
Satz 4.8. Sei A meßbar und u, v seien meßbare Funktionen auf A.
(a) Wenn a ≤ u(x) ≤ b für alle x ∈ A und wenn µ(A) endlich ist, so gilt
Z
aµ(A) ≤
u(x) dx ≤ bµ(A).
A
(b) Wenn u(x) ≤ v(x) für alle x ∈ A und wenn beide Integrale existieren, so gilt
Z
Z
v(x) dx.
u(x) dx ≤
A
A
R
(c) Wenn u, v ∈ L1 (A), dann ist auch cu + dv ∈ L1 (A) für c, d ∈ und
Z
Z
Z
(cu(x) + dv(x)) dx = c
u(x) dx + d
v(x) dx.
A
(d) Wenn µ(A) = 0, so ist
A
R
A
A
u(x) dx = 0.
Die wichtigsten Eigenschaften des Lebesgue-Integrals sind die Sätze über die Vertauschung von
Integration und Grenzübergang.
4.1 Das Lebesgue-Integral
41
R
Satz 4.9 (Monotone Konvergenz, Satz von Beppo-Levi). Sei A ⊂ n meßbar und (uk )
eine Folge monoton steigender, nichtnegativer und meßbarer Funktionen. Dann gilt
Z
Z
lim
uk (x) dx =
lim uk (x) dx.
k→∞
A k→∞
A
R
Satz 4.10 (Fatous Lemma). Sei A ⊂ n und (uk ) eine Folge nichtnegativer, meßbarer Funktionen. Dann gilt
Z
Z
lim inf uk (x) dx ≤ lim inf
uk (x) dx.
A k→∞
k→∞
A
R
Satz 4.11 (Satz von Lebesgue). Sei A ⊂ n meßbar und (uk ) eine Folge meßbarer Funktionen,
die punktweise konvergiert. Wenn es eine Funktion g ∈ L1 (A) gibt mit |uk (x)| ≤ g(x) für alle k
und alle x ∈ A, so
Z
Z
lim
uk (x) dx =
lim uk (x) dx.
k→∞
A k→∞
A
Ebenso wichtig ist der folgende Satz über die Vertauschung der Reihenfolge der Integrationsvariablen.
Satz 4.12 (Fubini). Sei u eine meßbare Funktion auf dem
folgenden Integrale existiert und endlich ist
Z
Z
Z
¡
I1 =
|u(x, y)| dx dy, I2 =
R
R
n+m
R
m
I3 =
Dann gilt:
Z
R
n
¡
Z
R
m
Rn+m, so daß wenigstens eines der
n
¢
|u(x, y)| dx dy,
¢
|u(x, y)| dy dx.
Rn ) für fast alle y ∈ Rm,
(b) u(x, ·) ∈ L1 (Rm ) für fast alle x ∈ Rn ,
Z
u(x, ·) dx ∈ L1 (Rm ),
(c)
(a) u(·, y) ∈ L1 (
R
n
(d)
Z
R
m
Rn ),
u(·, y) dy ∈ L1 (
(e) I1 = I2 = I3 .
Der folgende Satz wird manchmal die Absolutstetigkeit des Lebesgue Integrals genannt.
Satz 4.13. Sei u integrierbar auf der meßbaren Menge A. Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, das
nur von ε und u abhängt, so daß für alle meßbaren Teilmengen B von A mit µ(B) < δ gilt
Z
|u| dx < ε.
B
Im nächsten Satz wird eine überraschende Stetigkeitseigenschaft meßbarer Funktionen angegeben.
Satz 4.14 (Lusin). Sei u meßbar und u = 0 außerhalb einer offenen Menge Ω mit µ(Ω) < ∞.
Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Funktion φ ∈ C00 (Ω) mit
¡
¢
sup |φ(x)| ≤ sup |u(x)| und µ {x ∈ Ω : φ(x) 6= u(x)} < ε.
x∈Ω
x∈Ω
R
Für vektorwertige Funktionen u = (u1 , . . . , um ) ∈ m setzen wir
Z
³Z
´
u(x) dx =
ui (x) dx
,
A
A
i=1,...,m
und für komplexwertige Funktionen u = f + ig
Z
Z
Z
u(x) dx =
f (x) dx + i
g(x) dx.
A
A
A
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
42
4.2 Definition der Räume Lp(Ω)
In diesem und den folgenden Abschnitten bezeichnen wir mit Ω ein Gebiet des
meßbaren Funktionen auf Ω definieren wir eine Äquivalenzrelation durch
u∼v
⇔
Rn . Auf den
u = v f.ü. auf Ω,
und betrachten statt den meßbaren Funktionen die zugehörigen Äquivalenzklassen. Anders ausgedrückt: Wir identifizieren meßbare Funktionen, die außerhalb einer Nullmenge übereinstimmen.
Definition 4.15. Für 1 ≤ p < ∞ besteht der Raum Lp (Ω) aus allen meßbaren, reell- oder komplexwertigen Funktionen u, so daß |u|p integrierbar auf Ω ist. Eine meßbare Funktion u gehört zum
Raum L∞ (Ω), wenn sie wesentlich beschränkt ist, wenn also
sup |u(x)| < ∞
für eine Nullmenge N
x∈Ω\N
erfüllt ist.
Lploc (Ω) ist der Raum der Funktionen, die für jede offene Teilmenge Ω0 ⊂⊂ Ω zu Lp (Ω0 )
gehören.
Als erstes wird gezeigt, daß Lp (Ω) mit den Ausdrücken
Z
¡
¢1/p
kukp;Ω =
|u(x)|p dx
, 1 ≤ p < ∞, kuk∞;Ω =
Ω
inf
sup |u(x)|,
µ(N )=0 x∈Ω\N
Banach-Räume sind. Dazu benötigen wir ein vorbereitendes Resultat.
Lemma 4.16 (Höldersche Ungleichung). Sei 1 < p, q < ∞ mit p−1 + q −1 = 1. Wenn u ∈
Lp (Ω) und v ∈ Lq (Ω), dann ist uv ∈ L1 (Ω) und
kuvk1;Ω ≤ kukp;Ω kvkq;Ω .
Beweis. Nach Satz 4.5(b) ist das Produkt uv meßbar, so daß wir nur zeigen müssen, daß uv
durch eine integrierbare Funktion abgeschätzt werden kann (siehe Satz 4.8(b)). In der Youngschen
Ungleichung (1.2) setzen wir ε = 1 und
a = |u(x)|,
daher
|u(x)v(x)| ≤
b = |v(x)|,
1
1
|u(x)|p + |v(x)|q .
p
q
Satz 4.8(b) liefert das gewünschte Ergebnis für Funktionen u, v mit kukp;Ω = kvkq;Ω = 1. Weil
die Ungleichung trivialerweise erfüllt ist, wenn eine der beiden Funktionen verschwindet, folgt die
Ungleichung mit einem Homogenitätsargument.
⊓
⊔
Satz 4.17. Für 1 ≤ p ≤ ∞ sind die Räume Lp (Ω) Banach-Räume unter der Norm k·kp;Ω .
Beweis. Als erstes zeigen wir die Dreiecksungleichung, die in diesem Zusammenhang auch als
Minkowski-Ungleichung bezeichnet wird. Da die Fälle p = 1 und p = ∞ klar sind, sei 1 < p < ∞.
Für u, v ∈ Lp (Ω) folgt aus der Dreiecksungleichung
|u(x) + v(x)|p = |u(x) + v(x)|p−1 |u(x) + v(x)|
¡
¢
≤ |u(x) + v(x)|p−1 |u(x)| + |v(x)|
und aus der Hölderschen Ungleichung für q = p/(p − 1)
Z
¢
p−1 ¡
ku + vkpp;Ω =
|u(x) + v(x)|p dx ≤ ku + vkp;Ω
kukp;Ω + kvkp;Ω .
Ω
Da die anderen Normaxiome erfüllt sind, ist Lp (Ω) ein normierter Vektorraum. Es muß noch
die Vollständigkeit gezeigt werden.
Sei 1 ≤ p < ∞ und sei (uk )k∈N eine Cauchy-Folge in Lp (Ω). Durch Auswahl einer Teilfolge,
die immer noch mit (uk ) bezeichnet wird, kann
4.2 Definition der Räume Lp (Ω)
43
N
kuk+1 − uk kp;Ω ≤ 2−k für alle k ∈
Pm
erreicht werden. Die Funktion vm (x) = k=1 |uk+1 (x) − uk (x)| genügt der Abschätzung
kvm kp;Ω ≤
woraus wegen Fatous Lemma 4.10 folgt
Z
Z
|v|p dx =
m
X
2−k < 1,
k=1
lim |vm |p dx ≤ 1.
Ω m→∞
Ω
Daher gilt v(x) < ∞ f.ü. in Ω und die Summe
u1 +
∞
X
(uk+1 − uk )
k=1
konvergiert fast überall gegen eine Funktion u, also limk→∞ uk (x) = u(x) f.ü. Wiederum aus Fatous
Lemma erhalten wir für genügend große k, l
Z
Z
|u − ul |p dx =
lim |uk − ul |p dx ≤ lim kuk − ul kpp;Ω < ε.
Ω k→∞
Ω
k→∞
p
p
Also u = (u − ul ) + ul ∈ L (Ω) und ul → u in L (Ω). Damit ist gezeigt, daß eine Teilfolge der
Cauchy-Folge in Lp (Ω) konvergiert. Aus einem allgemeinen Prinzip (siehe S. 9) folgt, daß dann die
ganze Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.
Für p = ∞ ist die Vollständigkeit einfacher zu beweisen. Da die abzählbare Vereinigung von
Nullmengen eine Nullmenge ist, existiert zu einer Cauchy-Folge (uk )k∈N eine Nullmenge N mit
|uk (x)| ≤ kuk k∞;Ω ,
|uk (x) − ul (x)| ≤ kuk − ul k∞;Ω
für alle x ∈ Ω \ N.
Auf der Menge Ω \ N ist die Folge eine Cauchy-Folge bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz.
Damit gilt uk → u in L∞ (Ω).
⊓
⊔
Korollar 4.18. L2 (Ω) ist Hilbert-Raum unter dem inneren Produkt
Z
(u, v) =
u(x)v(x) dx.
Ω
Der folgende Einbettungssatz wird häufig benötigt. Schon einfache Beispiele zeigen, daß die
Voraussetzung, daß Ω beschränktes Maß haben muß, nicht fehlen darf.
Satz 4.19. Sei µ(Ω) < ∞. Dann gilt:
(a) Sei 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Dann gehört jedes u ∈ Lq (Ω) auch zum Raum Lp (Ω) und genügt der
Abschätzung
1
1
kukp;Ω ≤ µ(Ω) p − q kukq;Ω ,
wobei q −1 = 0 für q = ∞ gesetzt wird.
(b) Wenn für alle 1 ≤ p < ∞ die Funktion u ∈ Lp (Ω) ist mit kukp ≤ K, dann ist auch u ∈ L∞ (Ω)
mit kuk∞ ≤ K.
Beweis. (a) Der Fall q = ∞ ist offensichtlich. Für q < ∞ folgt aus der Hölderschen Ungleichung
Z
p
kukp;Ω =
1 · |u|p dx ≤ k1kq/(q−p);Ω kukpq;Ω .
Ω
(b) Wir führen einen indirekten Beweis und können dazu mit Aufgabe 4.3 annehmen, daß es
eine Menge A sowie eine Konstante K1 > K gibt mit µ(A) > 0 und |u(x)| ≥ K1 in A. Dann
Z
Z
|u|p dx ≥
|u|p dx ≥ µ(A)K1p
Ω
A
und daher kukp;Ω > K für genügend großes p.
⊓
⊔
Ist X ein linearer Raum, so bezeichnen wir mit X k den Raum der Vektoren (x1 , . . . , xk ) mit
xi ∈ X. Der Raum Lp (Ω)k wird normiert durch
Z
¡
¢1/p
kukp;Ω =
.
|u|p dx
Ω
Man beachte, daß |u| immer die euklidische Norm des k-Vektors u bedeutet.
44
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
4.3 Mollifier und dichte Unterräume
In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß jede Funktion u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, durch Funktionen in
C0∞ (Ω) beliebig genau approximiert werden kann, der Raum C0∞ (Ω) also dicht liegt in Lp (Ω). Als
erstes beweisen wir ein vorbereitendes Resultat über die Approximierbarkeit durch Funktionen im
Raum C00 .
Satz 4.20. (a) C00 (Ω) ist dicht in Lp (Ω) für 1 ≤ p < ∞.
(b) Lp (Ω) ist separabel für 1 ≤ p < ∞.
Beweis. (a) Sei u ∈ Lp (Ω). Aus dem Satz von Lebesgue folgt
Z
|u|p dx = kukpp;Ω .
lim
R→∞
Daher existiert ein R ∈
BR , der Abschätzung
Ω∩BR
R, so daß die Funktion u1 mit u1 = u in Ω ∩ BR , u1 = 0 außerhalb von
ku − u1 kp;Ω <
genügt. Sei
(k)
u1 (x)
=
(
u1 (x)
0
ε
3
wenn |u1 (x)| ≤ k,
sonst.
Wegen |u1 |p ∈ L1 (Ω) gilt µ({x : |u1 (x)| > k}) → 0 für k → ∞. Aus der Absolutstetigkeit des
Lebesgue-Integrals, Satz 4.13, folgt
Z
Z
(k)
|u1 |p dx → 0 für k → ∞.
|u1 − u1 |p dx =
|u1 (x)|>k
Ω
(k)
Für die Funktion u2 = u1
gilt daher für genügend großes k
ku2 − u1 kp;Ω <
ε
.
3
Nach dem Satz von Lusin 4.14 existiert ein φ ∈ C00 (Ω ∩ BR ) mit |φ| ≤ k und
¡
¢ ³ ε ´p
.
µ {x : φ(x) 6= u2 (x)} <
6k
Aus der Dreiecksungleichung folgt
ku − φkp;Ω ≤ ku − u1 kp;Ω + ku1 − u2 kp;Ω + ku2 − φkp;Ω
<
<
¡
¢1/p
2
ε + ku2 − φk∞;Ω µ {x : u2 (x) 6= φ(x)}
3
2
ε
ε + 2k
= ε.
3
6k
Also ist C00 (Ω) dicht in Lp (Ω) für 1 ≤ p < ∞.
(b) Wir verwenden den Weierstraßschen Approximationssatz, der besagt, daß jedes φ ∈ C00 ( n )
auf jeder Kugel BR beliebig genau durch Polynome mit rationalen Koeffizienten approximiert
werden kann. Sei Ω = ∪∞
m=1 Km mit Km ⊂ Ω kompakt, zum Beispiel
R
©
ª
1
Km = x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) ≥
und |x| ≤ m .
m
Ferner sei Pm = {qχKm : q ∈ P }, wobei χKm die charakteristische Funktion von Km bezeichnet
und P der Raum der Polynome mit rationalen Koeffizienten ist. Nach (a) existiert für jedes u ∈
und ein q ∈ Pm mit
Lp (Ω) ein φ ∈ C00 (Ω) mit ku − φkp;Ω ≤ 2ε . Weiter gibt es zu φ ein m ∈
ε
−1/p
. Daher
supp(φ) ⊂ Km und kφ − qk∞;Km ≤ 2 µ(Km )
N
ku − qkp;Ω ≤ ku − φkp;Ω + kφ − qkp;Km ≤
Da ∪Pm abzählbar ist, haben wir alles bewiesen.
ε
+ kφ − qk∞;Km µ(Km )1/p = ε.
2
⊓
⊔
4.3 Mollifier und dichte Unterräume
45
Rn ) stetig, für jedes h ∈ Rn gilt also
Satz 4.21. Für 1 ≤ p < ∞ ist die Translation in Lp (
lim ku(· + th) − u(·)kp = 0.
t→0
Beweis. Nach dem letzten Satz (a) gibt es ein φ ∈ C00 mit
ku − φkp = ku(· + th) − φ(· + th)kp ≤ ε.
Da die Funktion φ einen kompakten Träger besitzt, ist sie gleichmäßig stetig und es gilt
kφ(· + th) − φ(·)k∞ → 0, mit Satz 4.19(a) daher kφ(· + th) − φ(·)kp → 0 und die Behauptung
folgt aus der Dreiecksungleichung.
⊓
⊔
Nun definieren wir den Mollifier (=glättender
Kern). Sei J ∈ C0∞ ( n ) eine Funktion mit den
REigenschaften J ≥ 0, J(x) = 0 für |x| > 1, und
J(x) dx = 1. Ein Beispiel für einen Mollifier ist
J(x)
die Funktion
³
´
(
1
k exp − 1−|x|
für |x| < 1
2
J(x) =
-1
1
0
sonst
R
wobei die Konstante k so gewählt wird, daß J dx = 1. Nach der Kettenregel sind die partiellen
Ableitungen von J von der Gestalt J(x)q(x) mit einer rationalen Funktion q, die nur für |x| = 1
singulär ist. Diese Darstellung zeigt, daß J unendlich oft differenzierbar ist auch in den kritischen
Punkten |x| = 1.
R
Wir setzen Jε (x) = ε−n J(ε−1 x), womit gilt Jε (x) = 0 für |x| ≥ ε und Jε = 1. Das Integral
Z
Jε (x − y)u(y) dy
(4.1)
(Jε ∗ u)(x) =
R
R
n
existiert für u ∈ L1 und heißt die regularisierte Funktion zu u. In Jε ∗ u(x) gehen nur die Werte
von u in einer ε-Umgebung von x ein. Daher kann Jε ∗ u(x) als ein verallgemeinerter Mittelwert
von u angesehen werden. Insbesondere ist der Träger von Jε ∗ u um eine ε-Umgebung größer als
der Träger von u.
Lemma 4.22. Sei u : Ω →
R mit u = 0 außerhalb von Ω. Dann gilt:
1
(a) Wenn u ∈ L (Ω) und supp(u) ⊂⊂ Ω, dann ist Jε ∗ u ∈ C0∞ (Ω) für genügend kleines ε.
(b) Wenn u ∈ C(Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω, dann gilt Jε ∗ u → u gleichmäßig in Ω0 für ε → 0.
(c) Wenn u ∈ Lp (Ω) für 1 ≤ p < ∞, dann ist Jε ∗ u ∈ Lp (Ω) und
Jε ∗ u → u in Lp (Ω) für ε → 0.
kJε ∗ ukp;Ω ≤ kukp;Ω ,
Beweis. (a) Wähle ε < dist (supp(u), ∂Ω). Dann gilt Jε ∗ u = 0 in einer Umgebung von ∂Ω. Mit
Di+h bezeichnen wir den Differenzenquotienten
Di+h v(x) =
Dann gilt
Di+h Jε ∗ u(x) =
Z
¢
1¡
v(x + hei ) − v(x) .
h
¡
¢
h−1 Jε (x + hei − y) − Jε (x − y) u(y) dy.
Der Mittelwertsatz zeigt, daß der Differenzenquotient von Jε gleichmäßig beschränkt in h ist. Da
der Differenzenquotient gegen die erste partielle Ableitung konvergiert, erhalten wir aus dem Satz
von Lebesgue 4.11
Z
Di Jε ∗ u(x) =
Di Jε (x − y)u(y) dy.
Der erste Teil des Lemmas folgt durch Induktion.
(b) u ∈ C(Ω) ist gleichmäßig stetig auf der Menge Ω1 mit Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ Ω. Für genügend
kleines ε folgt für x ∈ Ω0
46
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
¯Z
¯
¯
¯
¯
|Jε ∗ u − u|(x) = ¯ Jε (x − y)(u(y) − u(x)) dy ¯¯
≤
sup
|x−y|<ε, x,y∈Ω1
|u(x) − u(y)|
Z
Jε (x − y) dy → 0.
(c) Mit der Hölderschen Ungleichung gilt
¯
¯ ¯Z
¯Z
¯
¯ ¯
¯
|Jε ∗ u(x)| = ¯¯ Jε (x − y)u(y) dy ¯¯ = ¯¯ Jε (x − y)1−1/p Jε (x − y)1/p u(y) dy ¯¯
≤
µZ
Jε (x − y) dy
=
µZ
Jε (x − y)|u(y)|p dy
¶1/q µZ
p
Jε (x − y)|u(y)| dy
¶1/p
¶1/p
.
Diese Abschätzung erheben wir in die p-te Potenz, integrieren bezüglich x und verwenden den Satz
von Fubini 4.12,
Z Z
kJε ∗ ukpp ≤
Jε (x − y)|u(y)|p dx dy = kukpp .
(4.2)
Sei φ ∈ C00 (Ω) eine Approximierende von u gemäß Satz 4.20(a) mit ku − φkp < η3 . Aus (4.2)
folgt
η
kJε ∗ u − Jε ∗ φkp = kJε ∗ (u − φ)kp ≤ ku − φkp < .
3
Nun wählen wir ε so klein, daß in Teil (b) des Lemmas gilt kJε ∗ φ − φkp < η3 . Die Behauptung
folgt aus der Dreiecksungleichung.
⊓
⊔
Satz 4.23. C0∞ (Ω) ist dicht in Lp (Ω) für 1 ≤ p < ∞.
Beweis. Kombiniere Satz 4.20(a) mit Lemma 4.22(b) unter Beachtung von Jε ∗ φ ∈ C0∞ (Ω) für
φ ∈ C00 (Ω).
⊓
⊔
4.4 Konvergenzeigenschaften von Folgen meßbarer Funktionen
Definition 4.24. Eine Folge (uk )k∈N meßbarer Funktionen heißt maßkonvergent gegen eine meßbare Funktion u, wenn für alle ε > 0 gilt
¡
¢
µ {x : |uk (x) − u(x)| ≥ ε} → 0 für k → ∞.
Satz 4.25. Sei Ω ein beschränktes Gebiet. Dann gilt:
(a) Aus uk → u in Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, folgt uk → u dem Maße nach.
(b) Aus uk → u dem Maße nach, folgt ukl → u f.ü. für eine Teilfolge (ukl )l∈N .
Beweis. (a) Da aus der Lp -Konvergenz die L1 -Konvergenz auf beschränkten Mengen Ω folgt,
braucht die Behauptung nur für p = 1 gezeigt zu werden. Für uk ∈ L1 (Ω) und n ∈ sei
n
©
ª
1o
1
≤ |uk (x) − u(x)| <
, A0,k = x : |uk (x) − u(x)| ≥ 1 .
An,k = x :
n+1
n
N
Daher Ω = ∪n An,k und
Z
Ω
|uk − u| dx =
∞ Z
X
n=0
An,k
|uk − u| dx → 0,
woraus µ(An,k ) → 0 für k → ∞ für alle n folgt.
(b) Sei uk → u dem Maße nach. Für k ∈
nk > nk−1 und
¡
1 ¢
µ {x : |unk (x) − u(x)| ≥ } < 2−k .
k
Sei
N
wähle
nk
so groß,
daß
4.5 Der Dualraum von Lp (Ω)
Aj =
47
∞
[
©
1ª
x : |unk (x) − u(x)| ≥
.
k
k=j
Dann ist A1 ⊃ A2 ⊃ . . . und
µ(∩∞
j=1 Aj ) ≤ lim
j→∞
∞
X
2−k = 0.
k=j
Jeder Punkt x im Komplement dieser Nullmenge ist ebenso enthalten im Komplement einer Menge
Aj(x) , also
∞
\
©
1ª
y : |unk (y) − u(y)| <
.
x ∈ Acj(x) =
k
k=j(x)
Zu ε > 0 wähle k0 mit k0 ≥ j(x) und
1
k0
≤ ε. Dann gilt
|unk (x) − u(x)| ≤ ε
für alle k ≥ k0 ,
also unk (x) → u(x) für alle x ∈ Ω \ ∩Aj .
⊓
⊔
Anmerkungen 4.26 (i) Für unbeschränktes Gebiet gilt: Ist uk → u in Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, so gibt
es eine Teilfolge (ukl ) mit ukl → u f.ü. in Ω. Denn wir können Ω in abzählbar viele beschränkte
Teilgebiete zerlegen und sukzessive auf jedem dieser Teilgebiete eine f.ü. konvergente Teilfolge
auswählen. Die zugehörige Diagonalfolge (siehe Beispiel 2.18) ist dann auf Ω f.ü. konvergent.
(ii) Die Umkehrung dieses Satzes gilt ebenfalls, sofern die Folge durch eine integrierbare Funktion
majorisiert wird. Dies ist gerade der Satz von Lebesgue.
Das nächste Beispiel zeigt, daß in (b) die punktweise Konvergenz tatsächlich nur für eine Teilfolge
gilt.
N
läßt sich eindeutig in der Form l = 2k + j
Beispiel 4.27. Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Jedes l ∈
k
schreiben mit k ∈ 0 und 0 ≤ j < 2 . Wir betrachten die Folge
N
ul (x) = χ[j2−k ,(j+1)2−k ] ,
wobei χ die charakteristische Funktion des Intervalls bezeichnet. Offenbar gibt es kein x ∈ Ω mit
liml→∞ ul (x) = 0, aber ul → 0 dem Maße nach.
4.5 Der Dualraum von Lp(Ω)
∼ Lq (Ω) für 1 +
Ähnlich wie bei den Folgenräumen lp wollen wir Resultate der Form Lp (Ω)′ =
p
1
=
1
beweisen,
was
allerdings
technisch
aufwendiger
ist.
Als
Vorbereitung
benötigen
wir
vier
q
Ungleichungen, die man aus den zugehörigen Ungleichungen für reelle Zahlen durch Integration
gewinnt (siehe [Ada75, S. 34ff.], [Cla36], [HS71, S. 75ff.]).
Lemma 4.28 (Clarksonsche Ungleichungen). Seien u, v ∈ Lp (Ω) für 1 < p < ∞ und q =
p/(p − 1).
(a) Wenn 1 < p ≤ 2, so
(b) Wenn 2 ≤ p < ∞, so
° u + v °q ° u − v °q ¡ 1
¢q−1
1
°
°
°
°
,
° +°
° ≤ kukpp + kvkpp
°
2
2
2
2
p
p
° u + v °p ° u − v °p
1
1
°
°
°
°
°
° +°
° ≥ kukpp + kvkpp .
2
2
2
2
p
p
° u + v °p ° u − v °p
1
1
°
°
°
°
° +°
° ≤ kukpp + kvkpp ,
°
2
2
2
2
p
p
° u + v °q ° u − v °q ¡ 1
¢q−1
1
°
°
°
°
.
° +°
° ≥ kukpp + kvkpp
°
2
2
2
2
p
p
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
48
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
Satz 4.29. Lp (Ω) ist für 1 < p < ∞ gleichmäßig konvex, d.h.: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0,
so daß für alle u, v ∈ Lp (Ω) mit kukp = kvkp = 1 und ku − vkp ≥ ε gilt
°u + v °
°
°
° ≤ 1 − δ.
°
2
p
Beweis. Für u, v wie im Satz angegeben und für 1 < p ≤ 2 folgt aus (4.3)
° u + v °q
°
°
°
° ≤ 1 − 2−q εq ,
2
p
und für 2 ≤ p < ∞ aus (4.5)
° u + v °p
°
°
° ≤ 1 − 2−p εp .
°
2
p
In beiden Fällen wurde ein δ > 0 mit den geforderten Eigenschaften gefunden.
⊓
⊔
Anschaulich bedeutet die gleichmäßige Konvexität, daß die Einheitskugel strikt konvex und unabhängig von u, v gekrümmt ist.
Ein Banach-Raum ist genau dann reflexiv, wenn er gleichmäßig konvex ist. Wir benötigen dieses
Resultat jedoch nicht, weil die Reflexivität aus der Charakterisierung der Dualräume folgen wird.
Sei q der konjugierte Exponent zu p, also q = p/(p − 1) für 1 < p < ∞, q = 1 für p = ∞ und
q = ∞ für p = 1. Jedem u ∈ Lq (Ω) kann ein Lu ∈ Lp (Ω)′ zugeordnet werden durch
Z
Lu (v) =
uv dx,
(4.7)
Ω
denn aufgrund der Hölderschen Ungleichung gilt |Lu (v)| ≤ kukq kvkp , was die Stetigkeit von Lu
impliziert. Die Frage ist nun, für welche p die Abbildung u 7→ Lu surjektiv ist:
Satz 4.30 (Rieszscher Darstellungssatz für Lp (Ω)). Sei 1 ≤ p < ∞ und L ∈ Lp (Ω)′ . Dann
gibt es genau ein u ∈ Lq (Ω) mit
Z
L(v) =
uv dx für alle v ∈ Lp (Ω).
Ω
Weiter gilt kukq = kLkLp (Ω)′ , also L (Ω)′ ∼
= Lq (Ω).
p
Beweis. Sei zunächst 1 < p < ∞, der Fall p = 1 wird anschließend durch Grenzübergang p → 1
gezeigt. Sei L ∈ Lp (Ω)′ mit kLkLp (Ω)′ = 1. Dann gibt es eine Folge (wk ) in Lp (Ω) mit kwk kp = 1
und |L(wk )| → 1. Die Folge (wk ) kann durch Multiplikation mit αk ∈ , |αk | = 1, so gewählt
werden, daß L(wk ) reell ist mit L(wk ) → 1. Wir wollen zeigen, daß die so modifizierte Folge
eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) ist. Wenn das nicht der Fall wäre, so gäbe es eine Folge ki , li mit
ki , li → ∞ und ein ε > 0 mit kwki − wli kp ≥ ε für ki , li ∈ . Aus der uniformen Konvexität folgt
k 21 (wki + wli )kp ≤ 1 − δ mit einem festen δ > 0. Daher
K
N
³ w + w ´ ° w + w °−1 ¡ w + w ¢
° k
li
ki
li °
li
ki
1≥L
=° i
° L
kwki + wli kp
2
2
p
≥
¢
1¡
1
· L(wki ) + L(wli ) .
1−δ 2
Für ki , li → ∞ konvergiert die rechte Seite gegen 1/(1 − δ), was einen Widerspruch ergibt. Daher
ist (wk ) Cauchy-Folge und konvergiert gegen ein w ∈ Lp (Ω) mit L(w) = 1 und kwkp = 1. Wir
zeigen nun, daß
Z
uv dx
L(v) =
Ω
für alle v ∈ Lp
(4.8)
für u = |w|p−2 w. Offenbar ist L(w) = 1; (4.8) ist demnach bewiesen, wenn folgendes gezeigt wird:
Wenn L1 , L2 ∈ Lp (Ω)′ mit kL1 kLp (Ω)′ = kL2 kLp (Ω)′ = L1 (w) =
L2 (w) = 1 für ein w ∈ Lp (Ω) mit kwkp = 1, so folgt L1 = L2 .
(4.9)
Angenommen, (4.9) gilt nicht. Dann gibt es ein v ∈ Lp mit L1 (v) 6= L2 (v). Durch Skalarmultiplikation und Addition eines Vielfachen von w können wir
4.5 Der Dualraum von Lp (Ω)
L1 (v) = 1,
49
L2 (v) = −1
erreichen. Aus L1 (w + tv) = 1 + t, L2 (w − tv) = 1 + t, t ≥ 0, folgt wegen kL1 k = kL2 k = 1
kw + tvkp ≥ 1 + t,
kw − tvkp ≥ 1 + t.
Für 1 < p ≤ 2 liefert (4.4)
° (w + tv) + (w − tv) °p ° (w + tv) − (w − tv) °p
°
°
°
°
1 + tp kvkpp = °
° +°
°
2
2
p
p
≥
1
1
kw + tvkpp + kw − tvkpp ≥ (1 + t)p
2
2
und für 2 ≤ p < ∞ erhält man aus (4.6)
° (w + tv) + (w − tv) °q ° (w + tv) − (w − tv) °q
°
°
°
°
1 + tq kvkqp = °
° +°
°
2
2
p
p
≥
¢q−1
¡1
1
≥ (1 + t)q .
kw + tvkpp + kw − tvkpp
2
2
Beide Ungleichungen können nicht für alle t > 0 richtig sein. Damit ist (4.9), also auch (4.8)
bewiesen.
(4.8) ist nun die gesuchte Darstellung von L und die Abbildung L 7→ u ist auf der Menge
der L mit kLk = 1 eine Isometrie. L 6= 0 kann auf den Fall kLk = 1 durch Skalarmultiplikation
zurückgeführt werden und für L = 0 wird u = 0 gesetzt. Damit ist für p > 1 alles bewiesen.
Für p = 1 brauchen wir ebenfalls nur die Darstellung der L ∈ L1 (Ω)′ mit kLk = 1 zu konstruieren. Zunächst sei Ω maßbeschränkt. Nach Satz 4.19(a) gilt dann Lp (Ω) ⊂ L1 (Ω) für p > 1
und
|L(v)| ≤ kvk1 ≤ M (p)kvkp = µ(Ω)1−1/p kvkp .
Daher ist L ∈ Lp (Ω)′ für alle p ≥ 1 und es gibt eine Darstellung up ∈ Lq (Ω) mit kukq ≤ M (p) und
Z
L(v) =
up v dx ∀v ∈ Lp (Ω).
Ω
Für alle v ∈ L∞ (Ω) folgt für p1 , p2 > 1
Z
up1 v dx =
Ω
Z
up2 v dx.
Ω
Speziell wählen wir v = sign (up1 −up2 ) ∈ L∞ (Ω) und erhalten
f.ü. Damit hängt u gar nicht von p ab und Satz 4.19(b) liefert
R
Ω
|up1 − up2 | dx = 0 und up1 = up2
kuk∞ ≤ lim M (p) = 1.
p→1
Da Lp (Ω) dicht liegt in L1 (Ω), kann Lu auf L1 (Ω) stetig fortgesetzt werden, |Lu (v)| ≤ kvk1 ist
wegen u ∈ L∞ (Ω) erfüllt. Daher
Z
L(v) =
uv dx ∀v ∈ L1 (Ω).
Ω
Im Falle eines Gebietes Ω mit unbeschränktem Maß zerlegen wir Ω in abzählbar viele meßbare,
disjunkte Mengen mit endlichem Maß und wenden obiges Resultat auf jede dieser Teilmengen an.
⊓
⊔
Die Dualitätsabbildung von Lp (Ω) hat die Form
Z
hv, Li =
uv dx,
Ω
woraus sofort folgt
Satz 4.31. Die Räume Lp (Ω) sind reflexiv für 1 < p < ∞.
50
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
∼
L1 (Ω)
zu
zeigen,
konstruieren
wir
ein
Funktional
Um
L∞ (Ω)′
6
=
∞
′
δ̃ ∈ L (Ω) , das nicht durch eine L1 -Funktion dargestellt werden kann. Für x ∈ Ω setze
δx (v) = v(x). Für v ∈ C(Ω) ist δx wohldefiniert und in der L∞ -Norm auch stetig, |δx (v)| ≤ kvk∞ .
Nach Korollar 3.13 zum Hahn-Banachschen Fortsetzungssatz gibt es eine Fortsetzung von δx auf
L∞ (Ω), der offenbar keine L1 -Funktion entspricht.
Um die schwache Konvergenz in Lp (Ω) zu untersuchen, identifizieren wir wie in (4.7) jedes
u ∈ Lp (Ω) mit einem Lu ∈ Lq (Ω)′ .
Satz 4.32. Eine Folge (uk ) konvergiert genau dann schwach in Lp (Ω), 1 < p < ∞, bzw. schwach∗
in L∞ (Ω), wenn die Folge normbeschränkt ist und wenn für alle φ ∈ C0∞ (Ω) die Folgen
Z
¢
¡
uk φ dx k∈N
Cauchy-Folgen in
Ω
K sind.
Beweis. Da schwache und schwache∗ Konvergenz für 1 < p < ∞ übereinstimmen, können wir
Lemma 3.21 anwenden: Eine Folge (uk ) ist genau dann schwach∗ konvergent, wenn sie normbeschränkt ist und wenn die Folgen Luk (φ) in konvergent sind für alle φ in einer dichten Teilmenge
von Lq (Ω). Die Behauptung folgt daher aus der Tatsache, daß C0∞ dicht in Lq ist (Satz 4.23). ⊓
⊔
K
N
Beispiel 4.33. Sei n = 1, Ω = (0, 1), und uk = sin kπx ∈ L2 (Ω) für k ∈ . Diese Folge ist
normbeschränkt in L2 (Ω) und für φ ∈ C0∞ (Ω) gilt
Z 1
Z 1
Z 1
1
1
(cos kπx)′ φ(x) dx =
cos kπx φ′ (x) dx → 0,
uk (x)φ(x) dx = −
kπ
kπ
0
0
0
also uk ⇁ 0 nach dem letzten Satz. Offenbar konvergiert uk weder punktweise f.ü. noch dem Maße
nach gegen die Nullfunktion. Die schwache Konvergenz ist also tatsächlich – schwach.
Eine weitere Anwendung von (Lp )′ = Lq ist das
R
Lemma 4.34 (Kontinuierliche Minkowski-Ungleichung).
Seien A ⊂ m , B ⊂
R
und ku(·, y)kp;A ∈ L1 (B) für ein 1 ≤ p < ∞. Dann ist B u(x, y) dy ∈ Lp (A) mit
¯p ´1/p Z
³Z ¯Z
¯
¯
u(x,
y)
dy
≤
ku(·, y)kp;A dy.
¯
¯ dx
A
B
Rn Gebiete
B
R
Beweis. Mit U (x) = B u(x, y) dy haben wir kU kp;A abzuschätzen. Sei 1 < q ≤ ∞ der konjugierte
Exponent zu p. Da Lq (A) der Dualraum von Lp (A) ist, gilt nach Lemma 3.16
Z
kU kp;A =
sup
U v dx
v∈Lq (A), kvkq;A =1
=
sup
v∈Lq (A), kvkq;A =1
A
Z ³Z
A
B
´
u(x, y) dy v(x) dx.
Aufgrund unserer Voraussetzungen an u und v ist uv ∈ L1 (A × B). Wir können daher den Satz
von Fubini anwenden und erhalten
Z ³Z
´
kU kp;A =
sup
u(x, y)v(x) dx dy
v∈Lq (A), kvkq;A =1
≤
Z ³
=
Z
B
B
B
sup
v∈Lq (A), kvkq;A =1
A
Z
A
´
u(x, y)v(x) dx dy
ku(·, y)kp;A dy.
⊓
⊔
Daß das Lemma tatsächlich eine kontinuierliche Version der Minkowski-Ungleichung darstellt,
macht man sich an folgendem Beispiel klar. Für B = (0, 2) ⊂ und u(x, y) = u1 (x) für y ∈ (0, 1)
sowie u(x, y) = u2 (x) für y ∈ (1, 2) folgt ku1 + u2 kp;A ≤ ku1 kp;A + ku2 kp;A .
R
Aufgaben
51
Aufgaben
N
4.1. (1) Sei A eine Menge mit der Eigenschaft, daß sie für jedes k ∈ durch eine meßbare Menge Zk mit
µ(Zk ) → 0 überdeckt werden kann. Beweisen Sie, daß A meßbar ist und Maß 0 besitzt.
4.2. (3) Sei x : [a, b] →
R
2
die stetig differenzierbare Parametrisierung der Kurve
˘
¯
C = x(t) : t ∈ [a, b] ⊂ 2 .
R
Zeigen Sie mit dem Kriterium aus der letzten Aufgabe, daß µ(C) = 0.
4.3. (2) Die folgende Schlußweise kommt häufig in der Maßtheorie vor und soll hier an einem einfachen
Beispiel eingeübt werden. Sei u meßbar auf dem n und für die Menge Ω = {x : u(x) > 0} gelte µ(Ω) > 0.
Beweisen Sie, daß es dann auch ein ε > 0 gibt, so daß µ({x : u(x) > ε}) > 0.
1
Hinweis: Setze Gk = [ k+1
, k1 ) für k ∈ und G0 = [1, ∞). Mit Ωk = {x : u(x) ∈ Gk } gilt dann Ω = ∪∞
k=0 Ωk .
R
N
4.4. (2) Zeigen Sie durch ein Beispiel, daß die punktweise Konvergenz nicht ausreicht, um Integration und
Grenzwertbildung zu vertauschen.
4.5. (2) Sei Ω = (0, 1) ⊂
mit
R. Geben Sie eine Folge meßbarer, nichtnegativer Funktionen u
n
Z
lim inf un (x) dx < lim inf
Ω
Z
:Ω →
R an
un dx.
Ω
4.6. (3) Um kompliziertere Beispiele von meßbaren Mengen kennenzulernen, wollen wir die sogenannten cantorähnlichen Mengen konstruieren. Sei J0,1 = [0, 1] ⊂ . Aus J0,1 wird ein offenes Intervall I1,1
der Länge < 1 mit Mittelpunkt 12 entfernt. Es verbleiben zwei abgeschlossene Mengen J1,1 und J1,2 . Damit
ist der erste Schritt der Konstruktion abgeschlossen.
In jedem weiteren Schritt werden aus den Intervallen
0
1
Jn,1 , . . . , Jn,2n offene Intervalle In+1,1 , . . . , In+1,2n
P1
so herausgenommen, daß sie die gleichen Mittelpunkte wie die zugehörigen J-Intervalle, aber eine
P2
kleinere Länge besitzen. Jedes Jn,k hat demnach eiP3
ne Länge kleiner als 2−n . Setze
R
n−1
2
Vn = ∪k=1
In,k ,
n
Pn = ∪2k=1 Jn,k ,
∞
c
P = ∩∞
n=1 Pn = [0, 1] ∩ (∪n=1 Vn ) .
Definition 4.35. Die Menge P in (4.10) heißt cantorähnliche Menge. Wenn I1,1 =
von In+1,k genau ein Drittel von Jn,k beträgt, so heißt P Cantor-Menge.
( 31 , 23 )
(4.10)
und die Länge
Für die Cantor-Menge gilt also
1
J1,1 = [0, ],
3
2
J1,2 = [ , 1],
3
1 2
I2,1 = [ , ]
9 9
usw.
a) Zeigen Sie, daß die cantorähnlichen Mengen meßbar und abgeschlossen sind und bestimmen Sie das
Maß der Cantor-Menge.
b) Zeigen Sie, daß die Cantor-Menge überabzählbar ist.
Hinweis: Schreiben Sie die Zahlen im Intervall [0, 1] im Dreiersystem.
4.7. (3) Konstruieren Sie eine meßbare, magere Teilmenge des Intervalls [0, 1] mit Lebesgue-Maß 1. Dabei
ist das Intervall [0, 1] mit der üblichen, vom Absolutbetrag erzeugten Metrik versehen.
Hinweis und Bemerkung: Verwenden Sie cantorähnliche Mengen zur Konstruktion. Diese Aufgabe zeigt,
daß topologisch-mager nichts mit maßtheoretisch-mager zu tun hat.
R
mit folgenden Eigenschaften. Für jedes ε > 0 ist
4.8. (3) Konstruieren SieR eine Funktion u : (0, 1) →
1
u ∈ L1 (ε, 1) und limε→0 ε u dx existiert, aber u ∈
/ L1 ((0, 1)).
4.9. (3) Konstruieren Sie ein ebenes Gebiet Ω mit {x ∈
|x1 |−1 ∈ Lp (Ω) für alle 1 ≤ p < ∞.
R
2
: x2 = 0, 0 < x1 < 1} ⊂ Ω, so daß u(x) =
4.10. (4) Beweisen Sie folgende leicht vereinfachte Version eines Satzes von Grothendieck: Ist µ(Ω) = 1
und M ⊂ C 0 (Ω) ein abgeschlossener Unterraum von L2 (Ω), so ist M endlich dimensional.
Hinweis: Betrachten Sie Id : M → L∞ (Ω) mit dem Banach-Raum (M, k · k2 ). Zeigen Sie zunächst mit dem
Prinzip vom abgeschlossenen Graphen, daß es eine Konstante K gibt mit kvk∞ ≤ Kkvk2 für alle v ∈ M.
Dann entwickeln Sie einen Unterraum von M nach einer L2 -Orthonormalbasis und zeigen dim M ≤ K 2 .
52
4 Die Lebesgue-Räume Lp (Ω)
4.11. (4) Sei
E = {2k : k ∈
N} ⊂ N
und M̃ der Vektorraum der endlichen Summen der Form
X
g(θ) =
cn einθ ,
cn ∈
C,
n∈E
und sei M der Abschluß von M̃ in L1 ((0, 2π)). Zeigen Sie: M ist abgeschlossener Unterraum von L4 ((0, 2π)).
Bemerkung und Hinweis: Das Prinzip der vorigen Aufgabe ist daher für allgemeine Lp -Räume nicht richtig. Bestimmen Sie zunächst g(θ)2 und zeigen damit kgk4;(0,2π) ≤ Kkgk2;(0,2π) unter Verwendung von
(eimθ , einθ ) = 2πδm,n .
4.12. (2) Geben Sie einen Unterraum von (L∞ (Ω), k · k∞;Ω ) an, der isometrisch isomorph zu (l∞ , k · kl∞ )
ist.
Bemerkung: Mit Aufgabe 2.3 ist damit bewiesen, daß L∞ (Ω) nicht separabel ist.
4.13. (2) Untersuchen Sie auf Konvergenz in L1loc (0, ∞) und in L1 (0, ∞) und bestimmen Sie gegebenenfalls
die Grenzfunktion:
P
P
k −kt
−kt
a) ∞
,
b) ∞
.
k=1 (−1) e
k=1 e
R 1/ε
1
Hinweis: Lloc (0, ∞) ist der Raum der meßbaren Funktionen f mit ε |f (t)| dt < ∞. Konvergenz in
1
1
Lloc (0, ∞) liegt genau dann vor, wenn die Folge in L (ε, 1/ε) konvergiert für jedes ε > 0.
4.14. (2) Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Die Einbettung C 0 (Ω) → L2 (Ω) ist nicht kompakt.
Hinweis: Verwenden Sie die Folge uk (x) = sin kπx für k ∈ .
N
4.15. (3) Sei Ω ein beschränktes Gebiet und (uk ) eine Folge von Funktionen, die in L2 (Ω) beschränkt ist,
also kuk k2;Ω ≤ K, und gegen eine Funktion u in L1 (Ω) (!) konvergiert. Beweisen Sie, daß auch u ∈ L2 (Ω)
mit kuk2;Ω ≤ K.
4.16. (4) L2 (0, 1) ist mager in L1 (0, 1).
R
4.17. (3) Für f, g ∈ L2 (
n
) ist die Faltung definiert durch
Z
h(x) =
f (y)g(x − y) dy.
R
Rn
Zeigen Sie, daß h definiert und auf dem n stetig ist.
Hinweis: Approximieren Sie f und g durch Funktionen in C0∞ .
R1
und 0 g(t) dt = λ. Dann gilt für fn (x) = g(nx), daß
4.18. (3) Sei g ∈ L∞ ( ) mit g(x + 1) = g(x) in
fn ⇁ λ in Lp (I), wobei 1 < p < ∞ und I ein beliebiges offenes, beschränktes Intervall ist.
R
R
R
4.19. (4) Sei Ω ⊂ n ein beschränktes Gebiet. Beweisen Sie, daß der Folgenabschluß von C(Ω) bezüglich
der schwachen∗ Topologie von L∞ (Ω) mit dem Raum L∞ (Ω) übereinstimmt, daß aber andererseits der
Raum C(Ω) nicht dicht liegt in L∞ (Ω) bezüglich der Normtopologie.
4.20. (3) Untersuchen Sie auf schwache∗ Konvergenz in L∞ (0, 1) :
a) uk (x) = sin(k/x), k ∈
N,
b) uk (x) = sin(1/(kx)), k ∈
N.
4.21. (3) Sei n = 1, Ω = (0, 1). Für 1 < p < ∞ gilt:
p
uk ⇁ u in L (Ω) ⇔ kuk kp;Ω ≤ K und
Z
x
uk (t) dt →
0
Z
x
u(t) dt für 0 < x < 1.
0
1
Bermerkung: Zur Charakterisierung der schwachen
R Konvergenz
R in L (0, 1) benötigt man eine stärkere
Bedingung; neben der Normbeschränktheit muß A uk (t) dt → A u(t) dt für alle meßbaren Teilmengen A
von (0, 1) erfüllt sein.
4.22. (2) Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiel.
a) uk → u in L2 , vk → v in L2 ⇒ uk vk → uv in L1 ,
b) uk ⇁ u in L2 , vk → v in L2
⇒
uk vk ⇁ uv in L1 ,
2
⇒
uk vk ⇁ uv in L1 .
c) uk ⇁ u in L , vk ⇁ v in L
2
5
Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
5.1 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung
In diesem Abschnitt sind ausnahmsweise alle Funktionen reellwertig. Wie zuvor bezeichnen wir mit
L1loc (Ω) den Raum der meßbaren Funktionen u, die auf jeder Menge Ω0 ⊂⊂ Ω integrierbar sind.
Satz 5.1 (Fundamentallemma der Variationsrechnung). Sei u ∈ L1loc (Ω) mit
Z
uφ dx ≥ 0 für alle φ ∈ C0∞ (Ω) mit φ ≥ 0.
(5.1)
Ω
Dann ist u ≥ 0 f.ü. in Ω.
R
R
Anmerkung 5.2. Wenn Ω uφ dx ≥ 0 für alle φ ∈ C0∞ (Ω), so Ω uφ dx = 0, und damit
Z
uφ dx ≥ 0 für alle φ ∈ C0∞ (Ω) ⇒ u = 0 f.ü. in Ω.
(5.2)
Ω
Beweis. Um die Idee des Satzes verständlich zu machen, wird u zunächst als stetig vorausgesetzt.
Angenommen, es gibt einen Punkt x0 ∈ Ω mit u(x0 ) < 0. Da u stetig ist, gibt es eine Umgebung
Bε (x0 ) mit u(x) < 0 für alle x ∈ Bε (x0 ). Mit Hilfe des
wir eine Funktion φ ∈
R
R Mollifiers Jε können
C0∞ (Bε (x0 )) konstruieren mit φ ≥ 0, φ 6= 0. Daher Ω uφ dx < 0, was Ω uφ dx ≥ 0 widerspricht.
Nun sei u ∈ L1loc (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω beliebig. Für φ ∈ C0∞ (Ω0 ) und ε genügend klein gilt
Jε ∗ φ ∈ C0∞ (Ω) und wegen des Satzes von Fubini
Z
Z Z
0≤
uJε ∗ φ dx =
u(x)φ(y)Jε (x − y) dy dx
Ω
=
Z
Ω
Ω
³Z
φ(y)
|x−y|<ε
|x−y|<ε
Z
´
Jε ∗ u(y)φ(y) dy.
u(x)Jε (y − x) dy dx =
Ω
Da Jε ∗ u stetig ist, folgt aus dem ersten Teil des Beweises Jε ∗ u ≥ 0 in Ω0 . Mit
u = u − Jε ∗ u + Jε ∗ u
(5.3)
liefert Lemma 4.22(c), daß ku − Jε ∗ uk1;Ω0 → 0, und mit Satz 4.25 folgt
¡
¢
µ {|u(x) − Jε ∗ u(x)| ≥ η} → 0 für ε → 0.
Wegen (5.3) folgt u ≥ −η bis auf eine Menge vom Maß ε′ . Da η, ε′ beliebig klein gewählt werden
können, gilt u ≥ 0 f.ü.
⊓
⊔
5.2 Schwache Ableitungen
Die Definition der klassischen Ableitung erscheint in vielen Fällen als zu streng. Zum Beispiel ist die
Funktion u(x) = |x| nahezu“ differenzierbar und es ist naheliegend, hier einfach u′ (x) = sign (x) zu
”
setzen. Nur die Definition der Ableitung im Punkte x = 0 ist beliebig, aber der Fundamentalsatz der
54
5 Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
Rx
Differential- und Integralrechnung bleibt richtig, |x| = 0 sign (ξ) dξ. Trotzdem muß man vorsichtig
Rx
sein: Die Definition (sign (x))′ = 0 wäre inkonsistent wegen sign (x) 6= 0 0 dξ.
In höheren Raumdimensionen kann man den Begriff der Differenzierbarkeit mit der Formel der
partiellen Integration verallgemeinern,
Z
Z
α
|α|
uD φ dx = (−1)
Dα uφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω),
Ω
Ω
was für alle u ∈ C |α| (Ω) richtig ist.
Diese Überlegungen motivieren die folgende Definition.
Definition 5.3. Eine Funktion u ∈ L1loc (Ω) besitzt eine α-te schwache Ableitung in Ω, wenn es
eine Funktion uα ∈ L1loc (Ω) gibt mit
Z
Z
α
|α|
uD φ dx = (−1)
uα φ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω).
Ω
Ω
Wegen des folgenden Lemmas unterscheiden wir zwischen schwacher und klassischer Ableitung
nicht und schreiben Dα u an Stelle von uα .
Lemma 5.4. Die schwache Ableitung ist eindeutig, sofern sie existiert. Wenn eine Funktion klassisch differenzierbar ist, so ist sie auch schwach differenzierbar und beide Ableitungen stimmen
überein.
Beweis. Wenn uα und u′α schwache Ableitungen von u sind, so folgt aus der Definition
Z
(uα − u′α )φ dx = 0 für alle φ ∈ C0∞ (Ω).
Ω
Das Fundamentallemma liefert uα = u′α . Die zweite Behauptung ergibt sich aus der Motivation zu
Anfang dieses Abschnitts.
⊓
⊔
Beispiel 5.5. Wir betrachten den Fall n = 1, Ω = (−1, 1), u(x) = |x|. Mit partieller Integration
gilt
Z 1
Z 0
Z 1
xφ′ (x) dx
−xφ′ (x) dx +
uφ′ dx =
0
−1
−1
=
Z
0
−1
=−
Z
φ(x) dx − 0 · φ(0) − 1 · φ(−1) +
Z
1
0
−φ(x) dx + 1 · φ(1) − 0 · φ(0)
1
sign (x)φ(x) dx,
−1
wobei φ(−1) = φ(1) = 0 wegen φ ∈ C0∞ (Ω) verwendet werden konnte. Damit ist |x| schwach
differenzierbar mit Ableitung sign (x).
Nun versuchen wir, |x| ein weiteres Mal zu differenzieren,
Z
1
sign (x)φ′ (x) dx =
Z
0
−1
−1
−φ′ (x) dx +
Z
0
1
φ′ (x) dx = −2φ(0).
Es gibt offenbar kein f ∈ L1loc mit (f, φ) = −2φ(0). Damit existiert die zweite schwache Ableitung
von |x| nicht.
Beispiel 5.6. In diesem Beispiel untersuchen wir Funktionen mit einer Singularität in einem isolierten Punkt. Sei n = 2, Ω = B1 (0) und uα (x) = |x|α , α ∈ . Mit Polarkoordinaten folgt
R
Z
B1 (0)
uα (x) dx = 2π
Z
1
rα+1 dr,
0
und uα ∈ L1 (B1 (0)) für α > −2. Wegen Lemma 5.4 ist uα schwach differenzierbar in B1 (0) \ {0}
mit Ableitung Duα = αrα−2 x. Mit partieller Integration folgt für beliebiges φ ∈ C0∞ (B1 (0))
5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-Räume
Z
B1 (0)\Bε (0)
uα (x)Dφ(x) dx = −
Z
+
Z
55
Duα (x)φ(x) dx
B1 (0)\Bε (0)
νuα (x)φ(x) dσ.
∂Bε (0)
Für α > −1 besitzen die Integranden der Volumenintegrale die integrierbaren Majoranten |uα Dφ|
sowie |Duα φ|. Mit dem Satz von Lebesgue können wir für diese Integrale den Grenzübergang ε → 0
durchführen. Das Randintegral wird abgeschätzt durch
Z
¯Z
¯
¯
¯
νuα (x)φ(x) dσ ¯ ≤ kφk∞
εα dσ ≤ kφk∞ 2πεα+1 → 0.
¯
∂Bε (0)
∂Bε (0)
Damit ist uα schwach differenzierbar für α > −1.
Der nächste Satz verallgemeinert das Beispiel 5.5.
Satz 5.7. Sei {Ωk }k=1,...,K eine Partition von Ω in stückweise glatte Teilgebiete, also Ω ⊂
1
∪K
k=1 Ωk , Ωk ∩ Ωl = ∅ für k 6= l. Dann ist jedes u ∈ C(Ω) mit u ∈ C (Ωk ), k = 1, . . . , K,
schwach differenzierbar mit beschränkter Ableitung, die auf ∪Ωk mit der klassischen Ableitung
übereinstimmt und beliebig ist auf ∪∂Ωk .
Beweis. Für φ ∈ C0∞ (Ω) folgt mit partieller Integration
Z
uDφ dx =
Ω
K Z
X
k=1
Ωk
uDφ dx = −
K Z
X
k=1
Duφ dx +
Ωk
K Z
X
k=1
νuφ dσ.
∂Ωk
Das Integral über ∂Ω verschwindet wegen φ ∈ C0∞ (Ω), die übrigen Randintegrale heben sich
gegenseitig auf, weil die äußeren Normaleneinheitsvektoren bei benachbarten Teilgebieten entgegengesetztes Vorzeichen haben. Daher
Z
Ω
uDφ dx = −
K Z
X
k=1
Ωk
Duφ dx = −
Z
Duφ dx.
Ω
⊓
⊔
Nun stellen wir einige einfache Rechenregeln für schwache Ableitungen auf.
Lemma 5.8. (a) Wenn u eine schwache Ableitung Dα u in Ω besitzt, so ist u auch schwach differenzierbar in jedem Gebiet Ω0 ⊂ Ω mit gleicher Ableitung.
(b) Wenn Dα u eine schwache Ableitung Dβ (Dα u) besitzt, so existiert die Ableitung Dα+β u ebenfalls und Dα+β u = Dβ (Dα u).
Beweis. (a) folgt direkt aus der Definition. Als kleine Übung beweisen wir (b). Aus den beiden
Identitäten
Z
Z
α
|α|
uD φ dx = (−1)
Dα uφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω),
Ω
Z
Ω
Dα uDβ ψ dx = (−1)|β|
Ω
Z
Dβ (Dα u)ψ dx
Ω
erhalten wir mit φ = Dβ ψ
Z
Ω
uDα+β ψ dx = (−1)|α+β|
Z
∀ψ ∈ C0∞ (Ω),
Dβ (Dα u)ψ dx.
Ω
⊓
⊔
5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-Räume
N
Definition 5.9. Für m ∈ 0 und 1 ≤ p ≤ ∞ besteht der Raum H m,p (Ω) aus allen Funktionen
u ∈ Lp (Ω), die m-mal schwach differenzierbar sind mit Ableitungen im Raum Lp (Ω). Die Räume
H m,p (Ω) werden mit den Sobolev-Normen
56
5 Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
kukm,p;Ω = kukm,p =
³ X
|α|≤m
kDα ukpp
´1/p
1 ≤ p < ∞,
,
kukm,∞;Ω = kukm,∞ = max kDα uk∞ ,
|α|≤m
versehen.
Offenbar ist H 0,p = Lp . Die Normaxiome lassen sich einfach nachweisen.
Satz 5.10. H m,p (Ω) ist Banach-Raum für alle m ∈
N0 und 1 ≤ p ≤ ∞.
Beweis. Sei (uk )k∈N eine Cauchy-Folge in H m,p (Ω). Aufgrund der Definition der Sobolev Norm
ist die Folge (Dα uk )k∈N eine Cauchy-Folge in Lp (Ω) für alle 0 ≤ |α| ≤ m und besitzt wegen der
Vollständigkeit von Lp (Ω), einen Grenzwert uα ∈ Lp (Ω). Sei φ ∈ C0∞ (Ω). Wegen Dα uk → uα in
L1 (supp(φ)) (siehe Satz 4.19(a)) können wir in
Z
Z
uk Dα φ dx = (−1)|α|
Dα uk φ dx
Ω
Ω
den Grenzübergang k → ∞ durchführen
Z
Z
uα φ dx.
uDα φ dx = (−1)|α|
Ω
Ω
α
α
Daher D u = u und uk → u in H
m,p
⊓
⊔
(Ω).
Korollar 5.11. H m,2 (Ω) ist Hilbert-Raum mit innerem Produkt
X Z
(u, v)m =
Dα uDα v dx.
|α|≤m
Ω
Nun nehmen wir den Beweis des Hauptresultats dieses Abschnitts in Angriff, nämlich die
Approximierbarkeit der Funktionen in H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, durch Funktionen im Raum
C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω). Mit diesem Ergebnis übertragen sich die meisten Eigenschaften klassisch differenzierbarer Funktionen auf Sobolev Funktionen. Die beiden folgenden Lemmata über die Existenz
von Abschneidefunktionen sind einfach.
Lemma 5.12. Sei K ⊂ Ω eine kompakte Menge. Dann gibt es eine Abschneidefunktion bezüglich
{K, Ω}, das ist eine reellwertige Funktion τ ∈ C0∞ (Ω) mit 0 ≤ τ ≤ 1 und τ = 1 in K. Wenn
dist (∂K, ∂Ω) = δ, so kann τ so gewählt werden, daß
|Dk τ | ≤ cδ −k
in Ω \ K,
k∈
N,
wobei die Konstante c von k und n, aber nicht von Ω und K abhängt.
Beweis. Wegen der Kompaktheit von K gilt δ > 0. Die Menge
K̃ = ∪x∈K Bδ/2 (x)
ist kompakt und ∂ K̃ hat Abstand δ/2 zu ∂Ω und zu ∂K. Damit ist die Funktion τ = Jδ/4 ∗ χK̃
die gesuchte Abschneidefunktion bezüglich {K, Ω}. Aus |Dk Jδ/4 (x)| ≤ c(k)δ −n−k folgt
Z
|Dk τ (x)| ≤
|Dk Jδ/4 (x − y)|χK̃ (y) dy ≤ c(k)δ −n−k µ(Bδ/4 (x)) = c(k, n)δ −k .
Bδ/4
⊓
⊔
Lemma 5.13 (Zerlegung der Eins). Sei {Ωk }k=1,...,N eine offene Überdeckung der kompakten
Menge K. Dann gibt es reellwertige Funktionen ψk , k = 1, . . . , N, mit
ψk ∈ C0∞ (Ωk ),
0 ≤ ψk ≤ 1,
N
X
k=1
ψk = 1 in K.
5.3 Definition und grundlegende Eigenschaften der Sobolev-Räume
57
Beweis. Zu jedem x ∈ Ωk gibt es einen Radius r = r(x) > 0, so daß Bx,k = Br (x) ⊂⊂ Ωk .
Das Mengensystem {Bx,k } ist eine offene Überdeckung der kompakten Menge K und besitzt eine
k
endliche Teilüberdeckung. Seien B1k , . . . BN
die Kugeln mit Index k in dieser endlichen Teilüberk
k
k
deckung. Die Menge Kk = ∪N
i=1 Bi ist kompakt enthalten in Ωk . Sei ψ̃k eine Abschneidefunktion
bezüglich {Kk , Ωk } wie in Lemma 5.12. Die ψ̃k haben die Eigenschaften
0 ≤ ψ̃k ≤ 1,
ψ :=
N
X
k=1
ψ̃k ≥ 1 in K,
K ⊂⊂ Ω := ∪N
k=1 supp(ψ̃k ).
Es gibt eine offene Menge Ω0 mit K ⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω. Für eine Abschneidefunktion τ bezüglich {K, Ω0 }
setze
(
ψ̃k (x)τ (x)/ψ(x) für x ∈ Ω0
ψk (x) =
.
0
sonst
⊓
⊔
Die Funktionen ψ1 , . . . , ψN sind die gesuchte Zerlegung der Eins.
Nun verallgemeinern wir die Produktregel auf Sobolev-Funktionen.
Lemma 5.14. Wenn τ ∈ C0∞ (Ω) und u ∈ H m,p (Ω), dann ist τ u ∈ H m,p (Ω) und
Dβ (τ u) =
X µβ ¶
α
β−α
u,
α D τD
α≤β
¶
µ ¶ Y
n µ
βk
β
=
,
α
αk
k=1
wobei α ≤ β die komponentenweise Halbordnung bezeichnet.
Beweis. Es ist ausreichend, das Lemma für |α| = 1 zu beweisen, der allgemeine Fall folgt durch
Induktion. Sei Dα = Di . Für alle φ ∈ C0∞ (Ω) gilt
(τ u, Di φ) = (u, τ Di φ) = (u, Di (τ φ) − Di τ φ)
= (−Di u, τ φ) − (u, Di τ φ) = (−τ Di u − Di τ u, φ).
Daher Di (τ u) = Di τ u + τ Di u. Weil τ, Di τ beschränkt sind, gilt τ u ∈ H 1,p (Ω).
⊓
⊔
Das nächste Lemma zeigt, daß sich Sobolev-Funktionen lokal durch den Mollifier approximieren
lassen.
Lemma 5.15. Sei u ∈ H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, und Ω0 ⊂⊂ Ω. Dann gilt Dα (Jε ∗ u) = Jε ∗ Dα u für
|α| ≤ m, insbesondere Jε ∗ u → u in H m,p (Ω0 ).
Beweis. Sei ε < dist (∂Ω0 , ∂Ω). Aus dem Satz von Fubini folgt
Z
Z Z
Jε ∗ uDα φ dx =
Jε (x − y)u(y)Dα φ(x) dy dx
=
Z Z
Jε (z)u(x − z)Dα φ(x) dx dz
= (−1)|α|
Z Z
Jε (z)Dα u(x − z)φ(x) dx dz = (−1)|α|
Z
Jε ∗ Dα uφ dx.
Damit haben wir Dα (Jε ∗ u) = Jε ∗ Dα u gezeigt. Wegen Dα u ∈ Lp (Ω) für |α| ≤ m, folgt aus
Lemma 4.22(c), daß Dα (Jε ∗ u) → Dα u in Lp (Ω0 ) und Jε ∗ u → u in H m,p (Ω0 ).
⊓
⊔
Nun kommt das Hauptresultat.
Satz 5.16 (Meyers und Serrin [MS64]). C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) ist dicht in H m,p (Ω) für 1 ≤ p <
∞.
Anmerkung 5.17. Die meisten Mathematiker der letzten Jahrzehnte (siehe z.B. [Agm65]) haben
geglaubt, daß dieser Satz nur wahr ist, wenn der Rand des Gebietes genügend glatt ist. Aus diesem
Grund hat man früher zwei Typen von Sobolev-Räumen verwendet: Der von uns definierte Raum
H m,p hieß W m,p und H m,p bestand für 1 ≤ p < ∞ aus den Funktionen, die sich in der Norm
58
5 Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
von H m,p durch Funktionen in C ∞ (Ω) approximieren lassen. Meyers und Serrin haben sich die
Möglichkeit nicht entgehen lassen, die wissenschaftliche Arbeit mit dem wahrscheinlich kürzesten
Titel abzufassen: H = W . Dennoch geistern beide Bezeichnungen durch die Literatur. Es bleibt zu
hoffen, daß sich unsere Notation, historisch nicht korrekt ( neuer“ H m,∞ = alter“ W m,∞ ), aber
”
”
an David Hilbert erinnernd, durchsetzen wird.
Mit einem einfachen Beispiel wollen wir zeigen, daß der Beweis des gleichen Resultats für
Lp -Funktionen sich nicht auf den Fall m ≥ 1 übertragen läßt. Wir betrachten n = m = p = 1,
Ω = (0, 1), u = 1 in Ω. Im Beweis von Lemma 4.22(c) wurde diese Funktion durch Null fortgesetzt.
Bezeichnen wir diese Funktion mit ũ, so erhalten wir eine Lp -Approximierende durch uε = Jε ∗ ũ.
Aber in den Intervallen [−ε/2, ε/2] und [1 − ε/2, 1 + ε/2] verhält sich u′ε wie 1ε und daher ist
Z
1
|u′ε | dx ≥ c > 0
0
für alle ε.
Damit konvergiert u′ε nicht gegen u′ = 0 in L1 . Der Beweis von Meyers und Serrin vermeidet diesen
Effekt, indem er die Fortsetzung von u umgeht.
Beweis. Für k ∈
N definieren wir die offenen und beschränkten Mengen
1
und |x| < k}.
k
Es gilt offenbar Ω = ∪Ωk . Die Mengen Ωk erzeugen eine Unterteilung von Ω in Streifen und wir fassen diese Streifen paarweise
zusammen durch
Ωk = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) >
Uk
0
c
Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1 ) ,
Ω1
Ω
Ω0 = Ω−1 = ∅.
Wie im Beweis von Lemma 5.13 konstruiert man
P∞ Abschneidefunktionen ψk ∈ C0∞ (Uk ) mit ψk ≥ 0 und
k=1 ψk = 1 in
Ω.
Sei u ∈ H m,p (Ω). Dann haben die Funktionen ψk u kompakten Träger in Ω und wegen Lemma
5.14 gilt ψk u ∈ H m,p (Ω). Zu einem beliebig vorgegebenen ε > 0 wähle εk so klein, daß
supp(Jεk ∗ (ψk u)) ⊂ Uk
und mit Lemma 5.15,
kJεk ∗ (ψk u) − ψk ukm,p;Ω < 2−k ε.
P∞
Die Funktion φ(x) = k=1 Jεk ∗ (ψk u)(x) ist wohldefiniert, weil für jedes x nur endlich viele Terme
nicht verschwinden. Daher φ ∈ C ∞ (Ω). In Ωk gilt
u=
k+2
X
j=1
ψj u,
φ=
k+2
X
j=1
Jεj ∗ (ψj u),
ku − φkm,p;Ωk < ε.
¯
Auf |Dα (u − φ)|p ¯Ω wenden wir Satz 4.9 an und erhalten ku − φkm,p;Ω ≤ ε.
k
⊓
⊔
5.4 Produkt- und Kettenregel
Für Sobolev-Funktionen nimmt die Produktregel die folgende Gestalt an.
Satz 5.18. Wenn u, v ∈ H 1,2 (Ω), dann ist uv ∈ H 1,1 (Ω) und D(uv) = Du v + uDv.
Beweis. Wegen Satz 5.16 gibt es Folgen (uk ), (vk ) in C ∞ (Ω) ∩ H 1,2 (Ω) mit uk → u, vk → v in
H 1,2 (Ω). Aus der Normbeschränktheit konvergenter Folgen erhalten wir
kDu v − Duk vk k1;Ω ≤ kD(u − uk )vk1;Ω + kDuk (v − vk )k1;Ω
≤ kD(u − uk )k2;Ω kvk2;Ω + kDuk k2;Ω kv − vk k2;Ω
≤ c{kD(u − uk )k2;Ω + kv − vk k2;Ω } → 0,
5.4 Produkt- und Kettenregel
59
also Duk vk → Duv in L1 (Ω). Genauso zeigt man uk Dvk → uDv und uk vk → uv in L1 (Ω). Also
können wir den Grenzübergang k → ∞ in der Gleichung
Z
Z
Z
uk Dvk φ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω)
Duk vk φ dx −
uk vk Dφ dx = −
Ω
Ω
Ω
durchführen und erhalten D(uv) = Du v + uDv und D(uv) ∈ H 1,1 (Ω).
⊓
⊔
Der Beweis der Kettenregel ist etwas schwieriger. Außerdem benötigt man im Gegensatz zur klassischen Kettenregel die zusätzliche Voraussetzung, daß die äußere Funktion eine beschränkte erste
Ableitung besitzt.
R
R
Satz 5.19 (Kettenregel). Sei f ∈ C 1 ( ), |f ′ | ≤ M in , und sei eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt
f (0) = 0 oder µ(Ω) < ∞.
Dann ist für jede Funktion u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, auch f (u) in H 1,p (Ω) und Df (u) = f ′ (u)Du.
Beweis. Weil f ′ stetig und u meßbar ist, folgt aus Satz 4.5, daß f ′ (u) meßbar ist. Da f ′ beschränkt
ist, gilt f ′ (u) ∈ L∞ (Ω) und f ′ (u)Du ∈ Lp (Ω). Aufgrund der Abschätzungen
|f (u)| ≤ M |u|
falls f (0) = 0,
|f (u)| ≤ |f (0)| + M |u|
falls µ(Ω) < ∞,
ist f (u) ∈ Lp (Ω). Es verbleibt zu zeigen, daß die schwache Ableitung von f (u) mit f ′ (u)Du
übereinstimmt. Sei uk ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) mit uk → u in H 1,p (Ω). Im folgenden wollen wir in der
Gleichung
Z
Z
f ′ (uk )Duk φ dx = −
Ω
f (uk )Dφ dx,
Ω
φ ∈ C0∞ (Ω),
(5.4)
den Grenzübergang k → ∞ durchführen. Dazu ist L1 -Konvergenz von f (uk ) und f ′ (uk )Duk auf
der kompakten Menge Ω0 = supp(φ) ausreichend. Aus der Abschätzung (siehe Satz 4.19)
kf (uk ) − f (u)k1;Ω0 ≤ M kuk − uk1;Ω0 ≤ cM kuk − ukp;Ω0 → 0,
erhalten wir die gewünschte Konvergenz auf der rechten Seite von (5.4).
Zum Nachweis der Konvergenz auf der linken Seite von (5.4) verwenden wir die Abschätzung
¯Z ¡
¯
¢
¯
¯
f ′ (uk )Duk − f ′ (u)Du φ dx¯
¯
Ω
≤c
Z
′
|f (uk )Duk − f (uk )Du| dx + c
Ω0
≤ cM
′
Z
Ω0
|Duk − Du| dx + c
Z
Ω0
Z
Ω0
|f ′ (uk )Du − f ′ (u)Du| dx
|f ′ (uk ) − f ′ (u)| |Du| dx = A + B.
Der Term A konvergiert gegen Null wegen Duk → Du in L1 (Ω0 ). Bei B verwenden wir den Satz
von Lebesgue: Wegen Satz 4.25 gilt f ′ (ukl ) → f ′ (u) f.ü. für eine Teilfolge (ukl ) und eine Majorante
des Integranden ist 2M |Du| ∈ L1 (Ω0 ).
⊓
⊔
Satz 5.20. Für u ∈ H 1,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, gehören auch die Funktionen u+ , u− , |u| zum Raum
H 1,p (Ω) und
(
(
0 wenn u ≥ 0
Du wenn u > 0
,
, Du− =
Du+ =
Du wenn u < 0
0 wenn u ≤ 0


 Du wenn u > 0
0 wenn u = 0 .
D|u| =


−Du wenn u < 0
60
5 Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
Beweis. Es genügt, die Behauptung für u+ zu zeigen. Für ε > 0 setze
(
(u2 + ε2 )1/2 − ε wenn u > 0
fε (u) =
.
0
sonst
R
Dann fε ∈ C 1 ( ), |fε′ | ≤ 1, und wegen Satz 5.19,
Dfε (u) =
(u2
uDu
+ ε2 )1/2
wenn u > 0.
Für festes φ ∈ C0∞ (Ω) haben wir die Majoranten
|fε (u)Dφ| ≤ cu+ ,
¯
|Dfε (u)φ| ≤ c|Du|¯u>0 ,
und können daher mit dem Satz von Lebesgue in der Gleichung
Z
Z
Dfε (u)φ dx
fε (u)Dφ dx = −
Ω
Ω
zum Grenzwert ε → 0 übergehen.
⊓
⊔
5.5 Differenzenquotienten und schwache Differenzierbarkeit von
Lipschitzfunktionen
Für i = 1, . . . , n verwenden wir den vorwärts- und rückwärtsgenommenen Differenzenquotienten,
Di+h u(x) =
¢
1¡
u(x + hei ) − u(x) ,
h
Di−h u(x) =
¢
1¡
u(x) − u(x − hei ) .
h
(5.5)
Di± u ist auf einem maximalen Teilgebiet Ω0 = Ω0 (±h, i) erklärt. Durch einfaches Nachrechnen
zeigt man die Formel der partiellen Summation:
Lemma 5.21. Sind u, v ∈ L2loc (Ω) und hat eine der beiden Funktionen kompakten Träger in Ω,
so gilt für genügend kleines h
(u, Di+h v) = −(Di−h u, v).
Satz 5.22. (a) Sei 1 ≤ p < ∞. Dann gilt
kDi+h ukp;Ω0 ≤ kDi ukp;Ω
für alle u ∈ H 1,p (Ω).
(b) Sei 1 < p ≤ ∞. Ist für u ∈ Lp (Ω) die Abschätzung kDi+h ukp;Ω0 ≤ K für alle Ω0 ⊂⊂ Ω und
alle 0 < h ≤ h0 (Ω0 ) erfüllt, so ist u nach xi schwach differenzierbar mit kDi ukp;Ω ≤ K.
Beweis. (a) Es genügt, die Behauptung in C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) zu zeigen. Aus dem Mittelwertsatz
folgt
Z
1 h
+h
Di u(x + ξei ) dξ.
Di u(x) =
h 0
Wir setzen Beträge, bilden die p-te Potenz, integrieren über Ω0 und schätzen mit der Hölderschen
Ungleichung ab,
Z ¯Z h
¯p
1
¯
¯
p
+h
kDi ukp;Ω0 = p
Di u(x + ξei ) dξ ¯ dx
¯
h Ω0 0
≤
1
h
Z
=
1
h
Z
Ω0
0
h
Z
h
0
|Di u(x + ξei )|p dξ dx
Ω0
|Di u(x + ξei )|p dx dξ ≤ kDi ukpp;Ω .
Z
(b) Wegen p > 1 kann Lp (Ω) als Dualraum von Lq (Ω) aufgefaßt werden mit p1 + 1q = 1 für
p < ∞ und q = 1 für p = ∞. Da kDi+h ukp;Ω0 beschränkt ist, gilt für eine Folge hk → 0, daß
∗
Di+hk u ⇁ ui mit ui ∈ Lp (Ω0 ). Für φ ∈ C0∞ (Ω0 ) folgt daher aus Satz 4.32
Aufgaben
Z
Ω0
und wegen Lemma 5.21
Z
Ω0
Di+hk uφ dx →
Di+hk uφ dx = −
Z
Ω0
Z
61
ui φ dx,
Ω0
uDi−hk φ dx → −
Z
uDi φ dx,
Ω0
also ui = Di u in Ω0 und aufgrund der schwachen∗ Konvergenz
kDi ukp;Ω0 ≤ lim inf kDi+hk ukp;Ω0 ≤ K.
Dieses Argument kann für eine Folge von Gebieten Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ . . . ⊂⊂ Ω¯ mit Ω = ∪Ωl
durchgeführt werden. Wegen der Definition der schwachen Ableitung ist Di u(Ωl )¯Ωm = Di u(Ωm )
für m ≤ l. Die Behauptung des Lemmas folgt daher aus dem Satz von Beppo-Levi.
⊓
⊔
Für p = ∞ liefert der letzte Satz:
Satz 5.23. Eine lipschitzstetige Funktion ist schwach differenzierbar und es gilt C 0,1 (Ω) ⊂
H 1,∞ (Ω) mit kDuk∞ ≤ [u]C 0,1 .
Aufgaben
5.1. (2) Gilt für u ∈ L1loc (Ω)
Z
uDφ dx = 0
∀φ ∈ C0∞ (Ω),
Ω
so ist u konstant.
Hinweis: Es gilt DJε ∗ φ = Jε ∗ Dφ.
5.2. (4) Geben Sie ein Beispiel für ein beschränktes ebenes Gebiet Ω und eine Funktion u ∈ L1loc (Ω) mit
Du ∈ L2 (Ω)2 , aber u ∈
/ L2 (Ω).
5.3. (3) Sei u ∈ C(Ω) mit schwacher Ableitung Du ∈ C(Ω)n . Dann ist Du auch die klassische Ableitung
von u.
5.4. (2) Sei n = 1. In welchen Sobolev-Räumen H 1,p (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, liegen die Funktionen
a) u(x) = x3/2 sin( x1 ),
b) u(x) = | ln x|−1 ,
Ω = (0, 1),
Ω = (0, 1/2) ?
5.5. (3) Sei n = 1, Ω = (0, 1).
a) Beweisen Sie für u ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,1 (Ω) die Abschätzungen
|u(x) − u(y)| ≤ kuk1,1;(x,y) ,
kuk∞;Ω ≤ kuk1,1;Ω ,
und schließen Sie daraus, daß sich jede Funktion u ∈ H 1,1 (Ω) auf einer Nullmenge so abändern läßt, daß
u ∈ C 0 (Ω).
b) Jedes u ∈ H 1,1 (Ω) läßt sich auf einer Nullmenge so abändern, daß
Z x
u(x) − u(y) =
u′ (ξ) dξ ∀x, y ∈ (0, 1).
y
R
C0∞ (
n
m,p
R
n
N
) ist dicht in H
( ) für m ∈ 0 und 1 ≤ p < ∞.
5.6. (3)
Hinweis: Man verwende Abschneidefunktionen τR bezüglich {B̃R , B2R } sowie φε,R = Jε ∗ (τR u).
5.7. (3) Beweisen Sie: Sei (uk ) eine Folge in L1 (Ω) mit schwacher Ableitung Dα uk ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞,
und kDα uk kp;Ω ≤ K. Wenn ferner für ein u ∈ L1 (Ω) die Bedingung
Z
Z
uk φ dx →
uφ dx ∀φ ∈ C0∞ (Ω)
Ω
α
α
erfüllt ist, so existiert D u mit kD ukp;Ω ≤ K.
Ω
62
5 Die Sobolev-Räume H m,p (Ω)
5.8. Sei Ω ⊂
R
n
ein Gebiet. Die totale Variation einer Funktion u ∈ L1 (Ω) ist definiert durch
o
nZ
u div v dx : v ∈ C01 (Ω)n mit kvk∞;Ω ≤ 1 ,
kukV (Ω) = sup
Ω
wobei div u =
wird mit
Pn
i=1
Di vi . BV (Ω) ist der Raum der Funktionen mit beschränkter totaler Variation und
kukBV (Ω) = kuk1;Ω + kukV (Ω)
normiert.
a) (2) Bestimmen Sie kukV (Ω) für Ω = (−1, 1) und u(x) = sign (x).
b) (3) Weisen Sie nach, daß BV mit der angegebenen Norm ein Banach-Raum ist.
c) (2) Zeigen Sie die Abschätzung
kukBV (Ω) ≤ kuk1,1;Ω
∀u ∈ H 1,1 (Ω).
d) (4) Zeigen Sie, daß die Normen k·k1,1;Ω und k · kBV (Ω) auf H 1,1 (Ω) übereinstimmen.
Bemerkung: Damit ist H 1,1 (Ω) ein abgeschlossener Unterraum von BV (Ω) mit H 1,1 (Ω) 6= BV (Ω).
R
R
5.9. (3) Sei f ∈ C 1 ( ), |f ′ (t)| ≤ M |t|p in für 1 ≤ p < ∞, und f (0) = 0. Dann ist für jedes u ∈ H 1,p (Ω),
1 ≤ p < ∞, die Funktion f (u) in H 1,1 (Ω) und Df (u) = f ′ (u)Du.
5.10. (3) Sei n = 1 und Ω = (0, 1). Auf dem reellwertigen Sobolev-Raum H 1,2 betrachten wir das Problem
Z 1
˘
¯
F (u) =
{u2 + min (u′ − 1)2 , (u′ + 1)2 dx → Min.
0
R
a) F : H 1,2 → ist stetig.
b) Es gilt inf F = 0, aber es gibt kein u ∈ H 1,2 mit F (u) = 0. Warum widerspricht dies nicht Satz 3.30?
5.11. (3) Sei 1 ≤ p < ∞. Sind u, v ∈ H 1,p , so sind auch max{u, v}, min{u, v} ∈ H 1,p .
5.12. (2) Sei Ω = (−1, 1) und u ∈ L1 (Ω). Zeigen Sie, daß aus kD1+ uk1 ≤ K für alle h > 0 nicht folgt, daß
u im Raum H 1,1 (Ω) liegt.
5.13. (3) Sei J ein Mollifier mit J(x) = J(−x). Dann gilt
ku − Jε ∗ uk1 ≤ cε2 kuk2,1
R
∀u ∈ C0∞ (
n
).
6
Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
In den Abschnitten 6.1-6.10 werden alle Gebiete als beschränkt vorausgesetzt.
6.1 Gebiete
In der folgenden Definition schreiben wir einen Punkt x ∈
x′ ∈ n−1 .
R
Rn
in der Form x = (x′ , xn ) mit
h(y’)
Ω
x0
x0
U
U’
N
y’
R
Definition 6.1. Sei m ∈ 0 und α ∈ [0, 1]. Ω ⊂ n heißt von der Klasse C m,α (∂Ω ∈ C m,α ),
wenn für jeden Randpunkt x0 ∈ ∂Ω das Koordinatensystem so gedreht und verschoben werden
kann, daß eine Umgebung U von x0 durch eine Abbildung h : U ′ → , U ′ ⊂ n−1 , h ∈ C m,α (U ′ ),
in der Form
x′ = y ′ , xn = yn + h(y ′ ), y ′ ∈ U ′ , |yn | < r,
R
R
dargestellt wird, wobei die Punkte in U ∩ Ω zu yn > 0, die Punkte in U ∩ ∂Ω zu yn = 0, und die
Punkte in U ∩ Ω c zu yn < 0 gehören.
Man sagt auch, ein Gebiet der Klasse C 0 besitzt einen stetigen Rand oder besitzt die Segmenteigenschaft Ein Gebiet von der Klasse C 0,1 heißt auch Lipschitzgebiet.
Wegen der Kompaktheit von ∂Ω kommt man in dieser Definition mit endlich vielen Funktionen
h1 , . . . , hJ aus. Es gibt daher offene Mengen U1 , . . . , UJ , die eine Umgebung U von ∂Ω überdecken,
und zugehörige hj ∈ C m,α . Satz 5.13 liefert eine Zerlegung der Eins φ1 , . . . , φJ mit
φj ∈
C0∞ (Uj ),
J
X
φj (x) = 1 in U.
j=1
Wir nennen (Uj , φj ) eine C m,α -Lokalisierung von Ω.
R
n
Gebiete. Eine Abbildung g : Ω ′ → Ω heißt C m,α Definition 6.2. Seien Ω ′ , Ω ⊂
Diffeomorphismus, m ∈ , α ∈ [0, 1], wenn g bijektiv ist mit g ∈ C m,α (Ω ′ )n , g −1 ∈ C m,α (Ω)n und
det Dg 6= 0 in Ω ′ .
N
Für einen C m,α -Diffeomorphismus g gilt wegen det Dg 6= 0 nach dem Umkehrsatz auch det Dg −1 6=
0 und daher
0 < c1 ≤ | det Dy g(y)|, | det Dx g −1 (x)| ≤ c2 .
(6.1)
Satz 6.3. Sei m ∈
(a) ∂Ω ∈ C
m,α
.
N. Dann sind äquivalent:
64
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
(b) Es gibt offene Mengen Uj , j = 1, . . . , J, mit ∪Jj=1 Uj ⊃ ∂Ω und zugehörige C m,α -Diffeomorphismen gj : Uj → B1 (0) mit
gj (Uj ∩ Ω) = B1+ (0),
gj (Uj ∩ ∂Ω) = B10 (0),
c
gj (Uj ∩ Ω ) = B1− (0),
wobei B1+ (0), B1− (0) die obere und untere Hälfte der Einheitskugel B1 (0) und B10 (0) die Menge
yn = 0 bezeichnen.
Ω
Uj
gj
Beweis. (a)⇒(b): Sei ∂Ω ∈ C m,α für m ≥ 1. Sei x0 ∈ ∂Ω. Da Drehung und Verschiebung unendlich
oft differenzierbare Diffeomorphismen sind, können wir annehmen, daß das Koordinatensystem
x = (x′ , xn ) die Form wie in der Definition des C m,α -Randes besitzt. Nach Definition gibt es eine
Umgebung U von x0 und ein h, das den Rand lokal darstellt. Ferner können wir x′0 = 0 und
U ′ = Bη (0)) erreichen. Die Abbildung g : U → V (0), (x′ , xn ) 7→ (y ′ , yn ), yn wie in Definition 6.1,
mit
V(0)
U
g
x0
Bb
U = {(x′ , xn ) : x′ ∈ Bη (0), xn ∈ (h(x′ ) − r, h(x′ ) + r)},
V (0) = {(y ′ , yn ) : y ′ ∈ Bη (0), yn ∈ (−r, r)},
ist bijektiv mit g(x0 ) = 0. Es gibt ein b > 0 mit Bb (0) ⊂ V (0). Mit U ′ = g −1 (Bb (0)) und der
Streckung s : y 7→ b−1 y gilt dann
g
s
g ′ : U ′ → Bb (0) → B1 (0).
Mit h ∈ C m,α (Bη (0)) sind auch g ′ , g ′−1 ∈ C m,α . Ferner gilt det Dg ′ 6= 0 wegen det Dg = 1. Damit
ist g ′ ein C m,α -Diffeomorphismus.
Da es für jedes x0 ∈ ∂Ω eine solche Umgebung U gibt, bilden diese Umgebungen eine offene
Überdeckung der kompakten Menge ∂Ω. Eine endliche Teilüberdeckung U1 , . . . , UJ erfüllt daher
(b).
(b)⇒(a): Sei (b) mit gj : Uj → B1 (0) erfüllt. Setze f : Uj → (−1, 1), f (x) = gj,n (x), wobei gj,n
die n-te Komponente von gj bezeichnet. Da Dgj regulär ist, gilt Df (x) 6= 0. Sei o.B.d.A. Dn f (x0 ) 6=
0 für x0 ∈ Uj ∩ ∂Ω. Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich das Nullstellengebilde von
f , also Uj ∩ ∂Ω, lokal nach der Variablen xn auflösen, f (x′ , h(x′ )) = 0 mit h ∈ C m . h ∈ C m,α
erschließt man leicht aus der Formel für Dα h und gj , gj−1 ∈ C m,α .
⊓
⊔
Definition 6.4. Ein Gebiet Ω besitzt die Kegeleigenschaft, wenn es einen beschränkten Kegel C ⊂
Rn mit nichtleerem Inneren gibt, so daß jeder Punkt x ∈ Ω der Eckpunkt eines Kegels C̃(x) mit
C̃(x) ⊂ Ω ist, der zu C kongruent ist.
Gebiete mit stückweise glattem Rand besitzen die Kegeleigenschaft im wesentlichen dann nicht,
wenn der Rand in einem Punkt eine Spitze mit innerem Winkel 0 besitzt, wie es bei einem herzförmigen Gebiet der Fall ist. Im Englischen heißt eine solche Spitze cusp“, eine gute deutsche Überset”
zung gibt es nicht.
2
mit der Eigenschaft, daß alle inneren Winkel durch α < 2π beJedes Polygongebiet des
schränkt sind, ist Lipschitzgebiet. Zu jedem Eckpunkt x können wir das Koordinatensystem so
verschieben und drehen, daß x auf die Null abgebildet wird und der Rand des Gebietes durch die
Abbildung h(x1 ) = ±L|x1 | dargestellt werden kann. Wenn ein Polygongebiet eine einspringende
Ecke mit innerem Winkel 2π besitzt, so ist das Gebiet nicht mehr lipschitz, besitzt aber noch die
Kegeleigenschaft.
R
6.1 Gebiete
65
Beispiel 6.5. Auch wenn gelegentlich in der Literatur
behauptet wird, daß jeder Polyeder ein Lipschitzgebiet ist, so ist dies dennoch nicht richtig. Der nebenstehende Polyeder, der aus zwei übereinanderliegenden Quadern besteht, erfüllt im eingezeichneten
x
Punkt x nicht die Definition eines Lipschitzgebiets,
weil es nicht gelingt, den Polyeder so zu drehen, daß
das Innere hinter“ dem Rand zu liegen kommt.
”
Zum Abschluß dieses Abschnitts beweisen wir ein Lemma, mit dem Sobolev-Funktionen in
Randnähe untersucht oder definiert werden können. Zu einer stetigen Funktion h : n−1 →
definieren wir das Gebiet
R
Ω = {x ∈
Rn : xn > h(x′ ),
x′ ∈
Rn : xn = h(x′ ),
x′ ∈
mit Rand
R
Rn−1 }
Rn−1 }.
Mit Rn+ = Rn−1 × R+ bezeichnen wir den oberen Halbraum des Rn . Der Operator
T u(y) = u(y ′ , yn + h(y ′ )), y ′ ∈ Rn−1 , yn > 0,
bildet Lp (Ω) ab auf Lp (Rn+ ), wie gleich gezeigt wird. Für Funktionen u, die auf dem Rn definiert
∂Ω = {x ∈
sind, setzen wir außerdem
T ′ u(y) = u(y ′ , yn + h(y ′ )), y ′ ∈
R
N
Rn−1 ,
yn ∈
R.
Lemma 6.6. Sei h ∈ C m−1,1 ( n−1 ) für m ∈ . Dann sind für alle k = 0, . . . , m und 1 ≤ p < ∞
die Operatoren T : H k,p (Ω) → H k,p ( n+ ) sowie T ′ : H k,p ( n ) → H k,p ( n ) bijektiv und bistetig
zwischen den angegebenen Räumen.
R
R
R
Beweis. Wir untersuchen nur den Operator T . Ferner besitzt wegen T −1 u(x) = u(x′ , xn − h(x′ ))
der Operator T −1 die gleiche Struktur wie T ; wir brauchen also nur letzteren zu betrachten.
Für u ∈ Lp (Ω) folgt trivialerweise aus dem Satz von Fubini
Z ∞
Z
|u(y ′ , yn + h(y ′ ))|p dyn dy ′
kT ukpp;Rn =
R
+
n−1
=
Z
R
n−1
0
Z
∞
h(x′ )
|u(x′ , xn )|p dxn dx′ = kukpp;Ω
Bei den Ableitungen entsteht nur ein Problem, wenn die innere Funktion h nicht klassisch
differenzierbar ist. Wir können uns daher auf den Fall h ∈ C 0,1 ( n−1 ) beschränken. Wir zeigen
die Kettenregel für T u durch Regularisierung von h. Sei also hε = Jε ∗ h ∈ C ∞ ( n−1 ) und
R
R
Tε v(y) = v(y ′ , yn + hε (y ′ )).
Ist ferner uε ∈ C 1 (Ω), so gilt die Kettenregel. Mit Dy′ = (D1 , . . . , Dn−1 ) haben wir daher für alle
φ ∈ C0∞ ( n+ )
Z
Z
Tε uε (y)Dy′ φ(y) dy =
uε (y ′ , yn + hε (y ′ ))Dy′ φ(y) dy
(6.2)
R
R
R
n
+
n
+
=−
Z
=−
Z
R
¡
¢
Dx′ uε (y ′ , yn + hε (y ′ )) + Dxn uε (y ′ , yn + hε (y ′ ))Dy′ hε (y ′ ) φ(y) dy
R
¡
¢
Tε Dx′ uε (y) + Tε Dxn uε (y)Dy′ hε (y ′ ) φ(y) dy.
n
+
n
+
Rn+ ). Mit der Lipschitzkonstante L von h folgt
Wir zeigen Tε v → T v in Lp (
¯Z
¯
|h(y ) − hε (y )| = ¯
′
′
|z ′ |<ε
¡
¢ ¯¯
Jε (z ′ ) h(y ′ ) − h(y ′ − z ′ ) dz ′ ¯ ≤ Lε.
66
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Man kann daher Tε v als eine verallgemeinerte Translation von T v auffassen. Tε v → T v wird genauso
bewiesen wie die Stetigkeit der gewöhnlichen Translation in Satz 4.21: Für eine Approximierende
ψ ∈ C00 (Ω) von v folgt aus der bereits bewiesenen Stetigkeit von T und Tε in Lp
kT v − T ψkp;Rn+ = kTε v − Tε ψkp;Rn+ = kv − ψkp;Ω .
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von ψ erhalten wir kT ψ − Tε ψk∞;Rn+ → 0 und daher Tε v → T v
in Lp ( n+ ) aus der Dreiecksungleichung.
Sei uε → u in H 1,p (Ω). Die Stetigkeit von T, Tε und der vorige Beweisschritt liefern Tε Dx uε →
T Dx u in Lp ( n+ )n , auf dem kompakten Träger von φ daher auch Tε Dx uε → T Dx u in L1 . Für
hε = Jε ∗ h gilt wegen h ∈ H 1,∞ ( n−1 ) (Satz 5.23) und D(Jε ∗ h) = Jε ∗ (Dh), daß kD(Jε ∗
h)k∞;Rn−1 ≤ kDhk∞;Rn−1 . Da die Einheitskugel von L∞ = (L1 )′ schwach∗ folgenkompakt ist, ist
∗
Dhεk ⇁ Dh in L∞ für eine Folge εk erfüllt. Die Konvergenz der rechten Seite von (6.2) folgt damit
∗
aus einem allgemeinen Prinzip: Ist X ein Banach-Raum und fk ⇁ f in X ′ und xk → x in X, so
fk (xk ) → f (x) (siehe Aufgabe 3.22b)). Damit ist T u schwach differenzierbar mit
R
R
R
Dy′ T u = T Dx′ u + T Dxn uDy′ h.
Rn+ ).
Zusammen mit Dyn T u = T Dxn u folgt T u ∈ H 1,p (
R ) ist dicht in H
6.2 C0∞(
n
m,p
⊓
⊔
(Ω)
In Abschnitt 5.3 hatten wir gesehen, daß der Raum C ∞ ∩H m,p dicht in H m,p ist für alle 1 ≤ p < ∞.
Für Gebiete mit stetigem Rand zeigen wir nun ein stärkeres Resultat.
Rn ) auf
Satz 6.7. Sei Ω von der Klasse C 0 . Dann ist die Einschränkung der Funktionen in C0∞ (
Ω dicht in H m,p (Ω) für 1 ≤ p < ∞.
Beweis. Sei (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, eine C 0,1 -Lokalisierung von Ω (siehe Definition
P 6.1)). Diese kann
um (U0 , φ0 ) mit U0 ⊂⊂ Ω, φ0 ∈ C0∞ (U0 ), erweitert werden, indem φ0 = 1 − j φj innerhalb von
PJ
Ω gesetzt wird. Es gilt dann j=0 φj (x) = 1 in Ω1 ⊃⊃ Ω. Zu einer Funktion u ∈ H m,p (Ω) müssen
wir zeigen, daß es für uj = φj u ein ψj ∈ C0∞ ( n ) gibt mit kuj − ψj km,p;Ω < ε. Die Behauptung
PJ
folgt dann aus ψ = j=0 ψj und der Dreiecksungleichung.
Die Funktion u0 ist wegen Lemma 5.14 in H m,p (Ω) und besitzt einen kompakten Träger in Ω.
Für ψ0 = Jη ∗ u0 , η genügend klein, folgt die behauptete Abschätzung aus Lemma 5.15.
Für j > 0 wird uj durch Null auf den n fortgesetzt.
Ferner wird vorausgesetzt, daß das Koordinatensystem
Ω
wie in der Definition des Gebiets mit stetigem Rand vorliegt. Dann liegt der Träger der verschobenen Funktion
uj,t (x) = uj (x + ten ), t > 0, teilweise außerhalb von
Ω. Daher folgt für Jη ∗ uj,t ∈ C0∞ ( n ) aus Lemma 5.15
supp u j,t
kuj,t − Jη ∗ uj,t km,p;Ω → 0 für η → 0.
Es verbleibt kuj,t − uj km,p;Ω → 0 für t → 0 zu zeigen, was gleichbedeutend ist mit
kDα uj,t − Dα uj kp;Ω → 0 für |α| ≤ m. Dies ist aber gerade Satz 4.21. Wir wählen daher zunächst
t und anschließend η genügend klein, so daß ψj = Jη ∗ uj,t der behaupteten Abschätzung genügt.
⊓
⊔
R
R
R
6.3 Der Transformationssatz
Seien Ω ′ , Ω ⊂
wir durch
Rn Gebiete und g : Ω ′ → Ω ein C m,α -Diffeomorphismus. Jedem u : Ω → K können
T u(y) = u(g(y))
die transformierte Funktion zuordnen. Für u ∈ Lp (Ω) folgt aus der Transformationsregel für Integrale
Z
Z
p
|u(x)| dx =
|T u(y)|p | det Dy g(y)| dy
und
Ω
Ω′
6.4 Fortsetzungssätze
Z
p
Ω′
|T u(y)| dy =
Daher erhalten wir aus (6.1)
Z
Ω
67
|u(x)|p | det Dx g −1 (x)| dx.
ckukp;Ω ≤ kT ukp;Ω ′ ≤ ckukp;Ω
p
und T transformiert L (Ω) stetig auf Lp (Ω ′ ) mit stetiger Inverser. Ein ähnliches Resultat gilt für
Sobolev-Räume:
Satz 6.8. Sei g : Ω ′ → Ω ein C m -Diffeomorphismus. Dann ist die obige Abbildung T : H m,p (Ω) →
H m,p (Ω ′ ), 1 ≤ p < ∞, bijektiv und beschränkt mit beschränkter Inverser, d.h.
ckukm,p;Ω ≤ kT ukm,p;Ω ′ ≤ ckukm,p;Ω .
Weiter sind die schwachen Ableitungen von T u durch die Kettenregel gegeben.
Beweis. Wir brauchen nur den Fall m = 1 betrachten, m > 1 folgt dann durch Induktion. Ferner
wird nur die Abschätzung kT uk1,p;Ω ′ ≤ ckuk1,p;Ω bewiesen, die andere Richtung erhält man, indem
man g durch g −1 ersetzt.
Sei u ∈ H 1,p (Ω) und sei uk ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) eine Folge mit uk → u in H 1,p (Ω). Aus der
Kettenregel folgt mit gj,i = Dyi gj
n
X
Dyi T uk (y) =
Dxj uk (x)gj,i (y) =
n
X
T (Dxj uk )(y)gj,i (y).
j=1
j=1
Für φ ∈ C0∞ (Ω) gilt mit partieller Integration
Z
n Z
X
T uk (y)Dyi φ(y) dy = −
Ω′
j=1
Ω′
T (Dxj uk )(y)gj,i (y)φ(y) dy,
(6.3)
und mit Transformation auf Ω,
Z
uk (x)Dyi φ(g −1 (x)) | det Dg −1 (x)| dx
Ω
=−
n Z
X
j=1
Ω
Dxj uk (x)gj,i (g −1 (x))φ(g −1 (x)) | det Dg −1 (x)| dx.
Wegen uk → u in H 1,p (Ω) können wir in der letzten Gleichung zum Grenzwert k → ∞ übergehen
und erhalten nach Rücktransformation (6.3) mit uk ersetzt durch u. Dies beweist die Kettenregel
für Funktionen in H 1,p .
Aufgrund der Beschränktheit der gj,i (y) erschließt man aus einer einfachen Abschätzung
Z
Z ¯X
n
¯p
¯
¯
|Dyi T u(y)|p dy =
T (Dxj u)(y)gj,i (y)¯ dy
¯
Ω′
Ω′
j=1
≤ c max
Z
|T (Dxj u)(y)| dy = c max
≤ c max
Z
|Dxj u(x)|p dx ≤ ckukp1,p;Ω .
j
j
p
Ω′
Ω
j
Z
Ω
|Dxj u(x)|p | det Dg −1 (x)| dx
⊓
⊔
6.4 Fortsetzungssätze
N
Definition 6.9. Für m ∈ und 1 ≤ p < ∞ ist der Raum H0m,p (Ω) der Abschluß von C0∞ (Ω) im
Raum H m,p (Ω), anders ausgedrückt
©
H0m,p (Ω) = u ∈ H m,p (Ω) : Es gibt eine Folge uk ∈ C0∞ (Ω)
ª
mit uk → u in H m,p (Ω) .
68
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Weil H m,p mit dem Abschluß von C ∞ ∩H m,p für 1 ≤ p < ∞ übereinstimmt, ist der Raum H0m,p ein
Unterraum von H m,p . Wenn wir Funktionen in C0∞ durch 0 fortsetzen, so ist C0∞ (Ω) ⊂ C0∞ (Ω1 )
für Ω ⊂ Ω1 . Diese Beziehung überträgt sich natürlich auf H0m,p , jede Funktion in H0m,p (Ω) ist auch
in H0m,p (Ω1 ). Die Struktur von H0m,p (Ω) wird in Abschnitt 6.6 genauer bestimmt. Im folgenden
verwenden wir nur die einfache Tatsache, daß für u ∈ H m,p (Ω), 1 ≤ p < ∞, und τ ∈ C0∞ (Ω) die
Funktion τ u in H0m,p (Ω) liegt. Dies ist eine Folgerung aus Lemma 5.14 und Lemma 5.15.
Der nächste Satz zeigt, daß man eine Sobolev-Funktion auf ein größeres Gebiet fortsetzen kann,
sofern der Rand des Gebietes genügend glatt ist.
N
Satz 6.10. Sei m ∈ , ∂Ω ∈ C m−1,1 . Zu jedem Gebiet Ω1 mit Ω ⊂⊂ Ω1 gibt es eine stetige
lineare Abbildung E : H k,p (Ω) → H0k,p (Ω1 ), die nicht von 0 ≤ k ≤ m und 1 ≤ p < ∞ abhängt, mit
(a) Eu|Ω = u
(Fortsetzungseigenschaft),
(b) kEukk,p;Ω1 ≤ ckukk,p;Ω
(Stetigkeit).
R
R
Beweis. Wir betrachten zuerst den Halbraum n+ = {x ∈ n : xn > 0} und setzen eine Funktion
u ∈ C m ( n+ ) durch eine verallgemeinerte Spiegelung auf den n folgendermaßen fort.
Das (m + 1) × (m + 1) lineare Gleichungssystem
R
m+1
X
(−j)k λj = 1,
R
k = 0, 1, . . . , m,
j=1
besitzt eine eindeutige Lösung λ1 , . . . , λm+1 , weil die zugehörige Matrix vom Vandermondschen
Typ ist. Mit x = (x1 , . . . , xn ) = (x′ , xn ) definieren wir den Fortsetzungsoperator

u(x)
für xn > 0,



m+1
,
Eu(x) = X
′

λ
u(x
,
−jx
)
für
x
≤
0.

j
n
n

j=1
sowie für jeden Multiindex α,
Eα u(x) =







u(x)
für xn > 0,
m+1
X
j=1
(−j)αn λj u(x′ , −jxn ) für xn ≤ 0.
Für alle |α| ≤ m gilt dann Dα Eu(x) = Eα Dα u(x) und kDα Eukp;Rn ≤ ckDα ukp;Rn+ . Damit wird
u zu einer C m -Funktion fortgesetzt mit
kEukk,p;Rn ≤ ckukk,p;Rn+ .
(6.4)
Sei Ω von der Klasse C m−1,1 und (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, die zugehörige Lokalisierung nach
Definition 6.1. Die Lokalisierung wird ergänzt um (U0 , φ0 ) mit U0 ⊂⊂ Ω, φ0 ∈ C0∞ (U0 ), so daß
PJ
′
j=0 φj = 1 in Ω ⊃⊃ Ω. Nach Drehung und Verschiebung durch die Abbildung τj wird der Rand
(−1)
in Uj durch eine C m−1,1 -Funktion hj dargestellt. uj = φj u◦τj , j ≥ 1, wird fortgesetzt, indem auf
Tj uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , yn + hj (y ′ )), yn > 0, der im ersten Schritt konstruierte Fortsetzungsoperator
E angewendet wird. ETj uj wird anschließend mit Tj′−1 v(x) = v(x′ , xn − hj (x′ ), x ∈ n , am Rande
verbogen. Wir erhalten den vorläufigen Fortsetzungsoperator
R
′
EΩ
u=
J
X
j=1
τj ◦ Tj′−1 ETj uj + φ0 u.
′
Nach Konstruktion gilt EΩ
u = u in Ω. Wegen Lemma 6.6 sind die Operatoren Tj und Tj′−1 stetig
k,p
in H . Zusammen mit (6.4) folgt
′
kEΩ
ukk,p;Rn ≤ c
J
X
kETj ujkk,p;Rn + kφ0 ukk,p;Rn
≤c
J
X
kTj ujkk,p;Rn+ + kφ0 ukk,p;Rn ≤ ckukk,p;Ω ,
j=1
j=1
6.5 Einbettungen in Lq (Ω)
69
wobei die Konstante c von m, p, khj kk,∞ , kφj kk,∞ abhängt.
′
Zu Ω1 ⊃⊃ Ω wählen wir eine Abschneidefunktion τ bezüglich {Ω, Ω1 }. Dann ist EΩ = τ EΩ
der gesuchte Fortsetzungsoperator.
⊓
⊔
Der Calderonsche Fortsetzungssatz
kommt ohne höhere Randregularität aus (zum Beweis siehe z.B. [Ada75, S. 91ff.], [Wlo82, S. 100ff.]):
N
Satz. Ist Ω ein Lipschitzgebiet mit Ω ⊂⊂ Ω1 und ˛m ∈ 0 , 1 < p < ∞, so existiert ein stetiger linearer
Operator Em,p : H m,p (Ω) → H0m,p (Ω1 ) mit Em,p u˛Ω = u
Man beachte, daß im Gegensatz zu Satz 6.10 der Fortsetzungsoperator von m und p abhängt, was seine
Verwendbarkeit einschränkt.
6.5 Einbettungen in Lq (Ω)
Satz 6.11 (Sobolev-Ungleichung). Sei Ω ein Lipschitzgebiet. Dann gelten die stetigen Einbettungen
H m,p (Ω) → Lnp/(n−mp) (Ω) für 1 ≤ mp < n.
Für H0m,p (Ω) gilt die gleiche Einbettung ohne Voraussetzung an Ω.
Anmerkungen 6.12 (i) Der Satz bleibt richtig, wenn das Gebiet nur die Kegeleigenschaft besitzt,
siehe [Ada75, S.95ff]. Nach Aufgabe 6.1 läßt sich diese Voraussetzung nicht weiter abschwächen.
(ii) Die Voraussetzung, daß Ω ein Lipschitzgebiet sein muß, wird nur benötigt, um den Fortsetzungssatz aus dem letzten Abschnitt anwenden zu können. Für unseren Beweis genügt es aber,
daß das Grundgebiet in Lipschitzgebiete aufgeteilt werden kann, weil aus der Einbettung für die
Teilgebiete die Einbettung für das Grundgebiet folgt. Damit haben wir das Resultat für alle stückweise glatten Gebiete bewiesen, insbesondere darf das Innere des Gebiets auf beiden Seiten eines
Randstücks liegen.
(iii) Eine Sobolev-Funktion ist für mp = n ≥ 2 nicht notwendig beschränkt. Als Gegenbeispiel für
n = 2, m = 1, betrachten wir das Gebiet Ω = B1/e (0) (ln e = 1) und die Funktion u = ln(| ln |xk),
die offenbar unbeschränkt ist, aber
Z 1/e
Z
Z 1/e
| ln r|−2 r−1 dr
|Dr ln(| ln r|)|2 r dr = 2π
|Du|2 dx = 2π
0
0
Ω
¯1/e
¯
= 2π.
= 2π| ln r|−1 ¯
0
Dagegen ergibt der folgende Beweis für p = n = 1,
H 1,1 (Ω) → C 0 (Ω).
(6.5)
Der Fall n = m > 1 und p = 1 wird in Aufgabe 6.3 behandelt.
Beweis. Wir beweisen die Einbettung zunächst für H01,p (Ω). Wegen Satz 2.14 genügt es, sie für
die dichte Teilmenge C0∞ (Ω) nachzuweisen.
Im ersten Teil des Beweises zeigen wir für u ∈ C0∞ (Ω)
kukn/(n−1) ≤ n−1/2 kDuk1 .
Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt
Z xi
|Di u(x1 , . . . , ξi , . . . , xn )| dξi ,
|u(x)| ≤
−∞
und damit (6.5) für n = 1. Da diese Abschätzung für alle 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2, richtig ist, gilt
n/(n−1)
|u(x)|
≤
n Z
³Y
i=1
∞
−∞
|Di u| dxi
´1/(n−1)
=
n
³Y
´1/(n−1)
vi
.
i=1
Diese Ungleichung wird bezüglich x1 integriert. Auf der rechten Seite hängen n − 1 Faktoren von
x1 ab. Auf diese Faktoren wenden wir die verallgemeinerte Höldersche Ungleichung
70
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Z
1/(n−1)
(v2 . . . vn )
dx1 ≤
¡
Z
v2 dx1
¢1/(n−1)
...
¡
Z
vn dx1
¢1/(n−1)
an, die durch Induktion bewiesen wird. Wiederholen wir dieses Verfahren für die Variablen x2 . . . xn ,
so erhalten wir mit der Ungleichung für das geometrische und arithmetische Mittel (1.5)
kukn/(n−1) ≤
n Z
³Y
i=1
Ω
|Di u| dx
´1/n
≤
1
n
Z X
n
Ω
1
|Di u| dx ≤ √ kDuk1 .
n
i=1
Damit ist die Lq -Einbettung für p = 1 bewiesen.
Für p > 1 wird |u| in dieser Abschätzung durch |u|γ , γ > 1, ersetzt,
Z
γ
γ
|u|γ−1 |Du| dx ≤ √ k |u|γ−1 kp′ kDukp ,
k |u|γ kn/(n−1) ≤ √
n Ω
n
mit p′ = p/(p − 1). Wir wählen γ so, daß k |u|γ kn/(n−1) und k |u|γ−1 kp′ Potenzen von kukq sind,
also
γn
(γ − 1)p
(n − 1)p
np
q=
=
⇒ γ=
, q=
.
n−1
p−1
n−p
n−p
Dies beweist die Einbettung für H01,p (Ω) mit Konstante γn−1/2 .
Mit Satz 6.10 gibt es einen Fortsetzungsoperator E : H 1,p (Ω) → H01,p (Ω1 ) mit
kEuk1,p;Ω1 ≤ ckuk1,p;Ω
für
1 ≤ p < ∞,
für ein beschränktes Gebiet Ω1 mit Ω ⊂⊂ Ω1 . Wegen
kukq;Ω ≤ kEukq;Ω1 ≤ ckEuk1,p;Ω1 ≤ ckuk1,p;Ω
ist der Einbettungssatz für m = 1 vollständig bewiesen.
Für m > 1 wendet man die Einbettung sukzessive auf Dα u an, eine strengere Forderung an
das Gebiet ist daher nicht erforderlich.
⊓
⊔
Eine einfache Folgerung aus dem Beweis des letzten Satzes ist die folgende wichtige Ungleichung.
Satz 6.13 (Poincaré-Ungleichung). Für 1 ≤ q ≤ np/(n − p), p < n, gilt
kukq;Ω ≤ ckDukp;Ω
∀u ∈ H01,p (Ω),
wobei die Konstante c von µ(Ω) abhängt, wenn q < np/(n − p).
Beweis. Im Beweis von Satz 6.11 haben wir kuknp/(n−p);Ω ≤ ckDukp;Ω für alle u ∈ H01,p (Ω)
gezeigt. Die Behauptung folgt aus Satz 4.19(a).
⊓
⊔
6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen
Zur Definition des Randintegrals und der Räume Lp (∂Ω) gehen wir von der Definition 6.1 aus,
die lokal eine explizite Parametrisierung des Randes ∂Ω der Form {(y ′ , h(y ′ ))} erlaubt. Genauer
haben wir:
Definition 6.14. Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit zugehöriger C 0,1 -Lokalisierung (Uj , φj ), j =
1, . . . , J (siehe Definition 6.1). Für jedes j sei (y ′ , yn ) das zugehörige lokale Koordinatensystem
heißt meßbar
mit (y ′ , hj (y ′ )) ∈ ∂Ω, y ′ ∈ Uj′ ⊂ n−1 , und einer Lipschitzfunktion hj . u : ∂Ω →
auf ∂Ω, wenn die Funktionen uj (y ′ ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ )) in Uj′ meßbar sind. u heißt integrierbar
auf ∂Ω, wenn u meßbar ist und die Integrale
Z
Z
q
uj dσ =
uj 1 + |Dhj |2 dy ′
R
K
Uj′
∂Ω
im Lebesgueschen Sinne existieren. In diesem Fall heißt
Z
∂Ω
u dσ =
J Z
X
j=1
∂Ω
uj dσ
6.6 Randwerte von Sobolev-Funktionen
71
das Randintegral von u.
Mit den Normen
kukp;∂Ω =
¡
Z
∂Ω
|u|p dσ
¢1/p
,
kuk∞;∂Ω =
inf
sup
µn−1 (N )=0 x∈∂Ω\N
|u(x)|,
ist Lp (∂Ω) definiert als Raum der meßbaren Funktionen mit endlicher Norm.
Die Definition des Randintegrals ist sinnvoll, weil die Funktionen hj in der Definition
p des Lipschitzgebiets lipschitzstetig sind und nach Satz 5.23 in H 1,∞ liegen. Insbesondere ist 1 + |Dhj |2
meßbar und beschränkt. Die p
Definition ist unabhängig von der Lokalisierung (Uj , φj ), denn nach
dem Satz des Pythagoras ist 1 + |Dhj |2 gerade die lokale Flächenverzerrung, die die Abbildung
p
y ′ 7→ (y ′ , h(y ′ )) auf ein Flächenstück in der y ′ -Hyperebene ausübt, kurz dσ = 1 + |Dhj |2 dy ′ . Die
Randwerte werden also korrekt aufsummiert.
In diesem Abschnitt untersuchen wir das Randverhalten der Funktionen im Raum H 1,p (Ω).
Auf den ersten Blick widerspricht dies der Definition der Sobolev-Funktionen, die nur bis auf eine
Menge vom Maß Null definiert sind. Das Thema ist daher begrifflich schwierig, wir beweisen den
entsprechenden Satz und erläutern ihn hinterher.
Satz 6.15 (Spursatz). Sei Ω ein Lipschitzgebiet und 1 ≤¯ p < ∞. Dann gibt es einen eindeutigen
stetigen linearen Operator S : H 1,p (Ω) → Lq (∂Ω), Su = u¯∂Ω für u ∈ C ∞ (Ω), mit

 (n − 1)p/(n − p) für p < n
q=
.
< ∞
für p = n
Anmerkung 6.16. (i) Wie in Abschnitt 6.8 gezeigt wird, kann für p > n jede Funktion u ∈ H 1,p (Ω)
auf einer Nullmenge so abgeändert werden, daß sie in Ω stetig ist.
(ii) Die Anmerkung 6.12(ii) gilt sinngemäß. Beispielsweise kann der Doppelquader aus Beispiel 6.5
in zwei Quader zerlegt und auf jedem dieser Quader der Spursatz angewendet werden.
Beweis. Wir beginnen mit der Abschätzung auf dem Referenzzylinder Q = B1 (0) × (0, 1), B1 (0) ⊂
n−1
. Für u ∈ C ∞ (Q) liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Z yn
′
Dn u(y ′ , ξ) dξ + u(y ′ , yn ), y ′ ∈ B1 (0),
(6.6)
u(y , 0) = −
R
0
und nach Abschätzen und Integrieren bezüglich yn
Z 1
©
ª
|Dn u(y ′ , yn )| + |u(y ′ , yn )| dyn .
|u(y ′ , 0)| ≤
0
Wir integrieren diese Ungleichung bezüglich y ′ und erhalten
ku(·, 0)k1;B1 (0) ≤ kDn uk1;Q + kuk1;Q .
In dieser Abschätzung wird u durch |u|γ ersetzt,
Z
Z
k |u(·, 0)|γ k1;B1 (0) ≤ γ
|Dn u||u|γ−1 dx +
|u|γ dx
Q
Q
≤ ckDn ukp;Q k |u|γ−1 kp′ ;Q + kukγγ;Q ,
wobei p′ = p/(p − 1). Nun wählen wir γ so, daß mit Satz 6.11 H 1,p (Ω) → L(γ−1)p/(p−1) (Ω),
Dann
(γ − 1)p
np
=
,
p−1
n−p
also γ =
(n − 1)p
np
<
.
n−p
n−p
γ−1
ku(·, 0)kγγ;B1 (0) ≤ ckDn ukp;Q kuk1,p;Q
+ kukγγ;Q ≤ ckukγ1,p;Q ,
also
72
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
ku(·, 0)k(n−1)p/(n−p);B1 (0) ≤ ckuk1,p;Q
für alle u ∈ C ∞ (Q).
(6.7)
Da C ∞ (Q) dicht in H 1,p (Q) ist, gilt diese Abschätzung für alle u ∈ H 1,p (Q).
Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit zugehöriger C 0,1 -Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, und Lipschitzfunktionen hj . Sei u ∈ H 1,p (Ω) und uj = φj u. Das Koordinatensystem sei so gedreht und
verschoben, daß in xn = yn + hj (y ′ ) die Punkte mit yn = 0 den Randpunkten in Uj entsprechen.
O.B.d.A. können wir für den Träger von uj annehmen, daß |y ′ |, yn < 1. Nach Lemma 6.6 ist mit
uj ∈ H 1,p (Ω) die Funktion Tj uj (y ′ , yn ) =R uj (y ′ , yn + hj (y ′ )) in H 1,p (Q) und genügt daher der
Abschätzung (6.7). Mit der Definition von ∂Ω , Abschätzung (6.7) und Lemma 6.6 bekommen wir
die Kette von Ungleichungen (q = (n − 1)p/(n − p))
q
´1/q
³Z
kuj kq;∂Ω =
|Tj uj (y ′ , 0)|q 1 + |Dhj |2 dy ′
B1 (0)
≤ ckTj uj (·, 0)kq;B1 (0) ≤ ckTj uj k1,p;Q ≤ ckuj k1,p;Ω ≤ ckuk1,p;Ω .
Mit kukqq;∂Ω =
P
j
kuj kqq,∂Ω ist der Satz bewiesen.
⊓
⊔
Nach Konstruktion ist S auf C ∞ (Ω) die klassische Einschränkung einer Funktion auf ∂Ω. Da die
Fortsetzung von S auf den Abschluß von C ∞ (Ω), eben H 1,p (Ω), eindeutig ist, bedeutet das, daß die
H 1,p -Funktionen als Grenzwerte von Funktionen in C ∞ im Sinne von Lq (∂Ω) eindeutig bestimmt
sind. Anders ausgedrückt befindet sich in jeder Äquivalenzklasse einer Sobolev-Funktion ein bis
auf das (n − 1)-dimensionale Maß eindeutiger Vertreter, der zielsicher von jeder approximierenden
Folge in C ∞ angesteuert wird. Man hätte diesem Effekt schon bei der Definition der SobolevRäume Rechnung tragen und die zugehörigen Äquivalenzklassen kleiner fassen können, allerdings
hätte dann der ganze analytische Apparat der letzten Abschnitte bereitliegen müssen.
Aus (6.6) kann man ersehen, wie die Randwerte in Lp angenommen werden. Es folgt nämlich
Z yn
|Dn u(y ′ , ξ)| dξ,
(6.8)
|u(y ′ , yn ) − u(y ′ , 0)| ≤
0
nach Bildung der p-ten Potenz und Integration bezüglich y ′ ,
Z
Z Z yn
′
′
p
′
|Dn u(y ′ , ξ)|p dξ dy ′ .
|u(y , yn ) − u(y , 0)| dy ≤ c
0
Aufgrund der Absolutstetigkeit des Integrals konvergiert die rechte Seite gegen 0 für yn → 0,
demnach auch die linke. Diese Formel bleibt auch nach der lokalen Transformation gültig, für
Sε uj (y ′ ) = uj (y ′ , hj (y ′ ) + ε) gilt kSε uj − Suj kp → 0 für ε → 0.
Mit dem Spursatz lassen sich die Räume H0m,p (Ω) einfach charakterisieren.
N
Satz 6.17. Sei Ω ein Lipschitzgebiet und m ∈ , 1 ≤ p < ∞. Dann besteht H0m,p (Ω) genau aus
den Funktionen u in H m,p (Ω) mit SDα u = 0 für |α| ≤ m − 1.
Beweis. Es genügt, den Fall m = 1 zu betrachten, für m > 1 wendet man die folgenden Argumente
auf Dα u an.
Da C0∞ (Ω) dicht in H01,p (Ω) ist, gilt Su = 0 für jedes u ∈ H01,p (Ω).
Nun beweisen wir die umgekehrte Richtung. Sei Q = B1 (0) × (0, 1), B1 (0) ⊂ n−1 . Für
u ∈ C ∞ (Q) folgt aus (6.6)
Z a
|Dn u(y ′ , ξ)| dξ + |u(y ′ , 0)|, 0 ≤ yn ≤ a,
|u(y ′ , yn )| ≤
R
0
und nach Integration bezüglich yn und y ′
Z
Z aZ
′
′
|u(y , yn )| dy dyn ≤ a
0
B1 (0)
0
+a
Diese Abschätzung bleibt auch in H 1,1 richtig.
a
Z
B1 (0)
Z
B1 (0)
|Dn u(y ′ , yn )| dy ′ dyn
|u(y ′ , 0)| dy ′ .
(6.9)
6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω)
73
Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit C 0,1 -Lokalisierung (Uj , φj ). Sei u ∈ C ∞ (Ω) und uj = φj u. Nach
Drehung und Verschiebung sei das Koordinatensystem von der Form xn = hj (y ′ ) + yn , wobei
yn = 0 den Randpunkten in Uj entspricht. Auf T uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , hj (y ′ ) + yn ) wenden wir (6.9)
an. Nach Rücktransformation und Addition bezüglich j erhalten wir für genügend kleine ε
Z
Z
Z
|u| dx ≤ cε
{|Du| + |u|} dx + cε
|u| dσ,
(6.10)
Uε
Uc′ ε
∂Ω
wobei
Uε = {x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε}
′
und c, c von den Funktionen hj abhängen.
Sei u ∈ H 1,p (Ω) mit Su = 0. Für eine Folge uk ∈ C ∞ (Ω) mit uk → u in H 1,p (Ω) gilt wegen
des Spursatzes Suk → 0 in L1 (∂Ω). Daher folgt aus (6.10) durch Grenzübergang
Z
Z
|u| dx ≤ cε
{|Du| + |u|} dx ∀u ∈ H 1,p (Ω) mit Su = 0.
(6.11)
Uε
Uc′ ε
R
R
Nun zeigen wir, daß die durch Null auf den n fortgesetzte Funktion u im n schwach differenzierbar ist. Sei φ ∈ C0∞ ( n ) und τε eine Abschneidefunktion bezüglich {Ω\Uε , Ω} mit |Dτε | ≤ cε−1
in Uε (siehe Lemma 5.12). In
Z
Z
uDφ dx =
uD(φ(τε + (1 − τε ))) dx
R
Ω
Ω
=
Z
uD(φτε ) dx +
Ω
Z
Ω
uDφ(1 − τε ) dx +
Z
Ω
uφD(1 − τε ) dx
gehen wir zu ε → 0 über,
Z
Z
Z
uD(φτε ) dx = −
Duφτε → −
Duφ dx,
Ω
¯
¯
¯
¯
Z
Ω
Z
Ω
Ω
¯
uDφ(1 − τε ) dx¯ ≤
Z
Uε
|u| |Dφ| dx → 0 wegen µ(Uε ) → 0,
¯
uφD(1 − τε ) dx¯ ≤ cε−1
(6.11)
≤
R
Ω
c
Z
Uε
Z
|u| dx
Uc′ ε
{|Du| + |u|} dx → 0 wegen µ(Uc′ ε ) → 0.
Damit ist u ∈ H 1,p ( n ) mit Du = 0 in Ω c gezeigt.
Im letzten Schritt des Beweises muß nur noch eine technische Kleinigkeit bewältigt werden.
Aus Lemma 5.15 folgt, daß Jε ∗ u → u in H 1,p (Ω), aber leider besitzt Jε ∗ u den Träger in einer
etwas größeren
Menge als Ω. Wir nehmen die Lokalisierung (Uj , φj ), ergänzen diese um (U0 , φ0 ),
P
so daß j φj (x) = 1 in einer Umgebung von Ω. Im lokalen Koordinatensystem (y ′ , yn ) bilden wir
zu uj = φj u die Funktion uj,t (y) = uj (y − ten ). Damit ist Jε ∗ uj,t ∈ C0∞ (Ω) für genügend kleines
ε. Die Argumentation ist die gleiche wie im Beweis von Satz 6.7, nur wird hier die Funktion uj,t
in Ω hinein- statt herausgezogen.
⊓
⊔
6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω)
In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die Einbettungen aus Abschnitt 6.5 kompakt sind, wenn in
einen schwächeren Raum eingebettet wird.
Satz 6.18 (Rellich-Kondrachov).
Sei Ω ein Lipschitzgebiet. Dann ist die Einbettung
H 1,p (Ω) → Lq (Ω) kompakt für q < np/(n − p). Für H01,p (Ω) ist die gleiche Einbettung kompakt
ohne eine Voraussetzung an ∂Ω.
74
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Beweis. Wir verwenden das gleiche Fortsetzungsargument für ein Ω1 ⊃⊃ Ω wie im Beweis von
Satz 6.11,
E
H 1,p (Ω) → H01,p (Ω1 )→Lq (Ω1 )→Lq (Ω).
Wir brauchen daher nur die Kompaktheit der Einbettung H01,p (Ω1 ) → Lq (Ω1 ) nachzuweisen, wegen
Lemma 2.19 ist dann auch H 1,p (Ω) → Lq (Ω) kompakt.
Als erstes zeigen wir die Kompaktheit der Einbettung H01,1 (Ω) → L1 (Ω). Sei A die Einheitskugel von H01,1 (Ω), also kuk1,1;Ω ≤ 1 für alle u ∈ A. Für uε = Jε ∗ u gilt
¯Z
¯
¯
¯
|uε (x)| = ¯ Jε (x − y)u(y) dy ¯ ≤ c(ε)kuk1 ,
¯
¯Z
¯
¯
|Duε (x)| = ¯ Dx Jε (x − y)u(y) dy ¯ ≤ c(ε)kuk1 .
Wegen des Mittelwertsatzes sind die Mengen Aε = {uε : u ∈ A} gleichgradig stetig für alle ε > 0.
Aufgrund des Satzes von Arzela-Ascoli ist die Menge Aε kompakt in C(Ω) und daher auch in
L1 (Ω) wegen der Einbettung C(Ω) → L1 (Ω).
Mit dem Mittelwertsatz
Z 1
Du(tx + (1 − t)y) dt · (x − y)
u(x) − u(y) =
0
gilt für u ∈
C0∞ (Ω)
¯Z
¯
|u(x) − Jε ∗ u(x)| = ¯
|x−y|<ε
¯Z
¯
=¯
|x−y|<ε
≤ε
¡
¢ ¯¯
Jε (x − y) u(x) − u(y) dy ¯
Z
1
Z
1
Z
|x−y|<ε
0
¯
¯
Jε (x − y) Du(tx + (1 − t)y) · (x − y) dt dy ¯
Jε (x − y)|Du(tx + (1 − t)y)| dt dy.
0
Wir integrieren bezüglich x und verwenden die Transformation x − y → z, y → y,
Z
Z 1Z Z
Jε (x − y)|Du(tx + (1 − t)y)| dx dy dt
|u(x) − Jε ∗ u(x)| dx ≤ ε
0
=ε
Z
1
0
Z
Jε (z)
Z
|Du(tz + y)| dy dz dt.
Das innere Integral hängt nicht von tz ab und stimmt mit kDuk1;Ω überein. Wegen
gilt
ku − Jε ∗ uk1;Ω ≤ εkDuk1;Ω ≤ ε ∀u ∈ C0∞ (Ω) ∩ A.
R
Jε dx = 1
Nun zeigen wir, daß sich diese Abschätzung auf A überträgt. Sei u ∈ A. Zu jedem η > 0 gibt es
eine Funktion φ ∈ C0∞ (Ω) mit ku − φk1,1;Ω < η. Aus Lemma 4.22(c) folgt kJε ∗ u − Jε ∗ φk1;Ω < η
und
ku − Jε ∗ uk1;Ω ≤ ku − φk1;Ω + kφ − Jε ∗ φk1;Ω + kJε ∗ φ − Jε ∗ uk1;Ω
< η + εkDφk1;Ω + η ≤ η + ε(kD(φ − u)k1;Ω + kDuk1;Ω ) + η
< 2η + ε(η + 1),
daher
ku − Jε ∗ uk1;Ω ≤ ε
Da Aε präkompakt ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein N ∈
∀u ∈ A.
(6.12)
N und Funktionen u1,ε, . . . , uN,ε mit
Aε ⊂ ∪N
i=1 Bε (ui,ε ),
wobei die Kugeln bezüglich der L1 -Norm definiert sind. Aus (6.12) folgt mit der Dreiecksungleichung
6.7 Kompakte Einbettungen in Lq (Ω)
75
Aε ⊂ ∪N
i=1 B2ε (ui ),
und wiederum aus (6.12)
A ⊂ ∪N
i=1 B3ε (ui ).
Damit ist die Menge A präkompakt in L1 .
Für 1 < q < np/(n − p) verwenden wir die Höldersche Ungleichung für α > 1
³Z
´1/q
kukq =
|u|1/α |u|q−1/α dx
Ω
≤
Es gibt ein α > 1 mit
daher mit λ =
1
αq ,
³Z
Ω
|u| dx
´1/(αq) ³ Z
Ω
|u|(q−1/α)α/(α−1) dx
´(α−1)/(αq)
.
np
αq − 1
=
,
α−1
n−p
0 < λ < 1, und der Einbettung H 1,p → Lnp/(n−p) ,
1−λ
λ
kukq ≤ kukλ1 kuk1−λ
np/(n−p) ≤ kuk1 ckuk1,p .
(6.13)
Wenn A in H01,p (Ω) beschränkt ist, so ist A ebenfalls in H01,1 (Ω) beschränkt (siehe Satz 4.19).
1
Zu jedem ε > 0 gibt es daher u1 , . . . , uN in A mit A ⊂ ∪N
i=1 Bε (ui ) bezüglich L . Aus der letzten
q
N
⊓
⊔
Abschätzung folgt A ⊂ ∪i=1 Bcελ (ui ) in L , was die Behauptung beweist.
Aus (6.13) erhält man mit der verallgemeinerten Youngschen Ungleichung (1.2) für p = 1/λ,
q = p/(p − 1) = 1/(1 − λ):
Satz 6.19. Sei Ω ein Lipschitzgebiet. Für 1 ≤ p < n und q < np/(n − p) gibt es zu jedem ε > 0
ein c(ε) mit
kukq;Ω ≤ εkDukp;Ω + c(ε)kuk1;Ω ∀u ∈ H 1,p (Ω).
m,p
(Ω) ist der Abschluß von
Definition 6.20. Sei ΓD ⊂ ∂Ω und 1 ≤ p < ∞. Der Raum H0,Γ
D
∞
C0,Γ
(Ω) = {v ∈ C ∞ (Ω) ∩ H m,p (Ω) : v = 0 in Umgebung von ΓD }
D
in der Norm k·km,p;Ω .
Das im Abschnitt über die Randwerte von Sobolev-Funktionen gesagte bleibt auch lokal gültig,
1,p
(Ω) die Nullrandbedingung angeauf glatten Teilbereichen von ΓD wird für Funktionen in H0,Γ
D
nommen.
Die folgende Variante der Poincaré-Ungleichung wird mit einem typischen Kompaktheitsschluß
bewiesen.
Satz 6.21. Sei 1 ≤ p < ∞. Sei Ω ein Lipschitzgebiet und ΓD eine nichtleere offene Teilmenge von
1,p
(Ω) die Poincaré-Ungleichung
∂Ω. Dann gilt auf H0,Γ
D
kukp ≤ cP kDukp
1,p
∀u ∈ H0,Γ
(Ω).
D
1,p
(Ω) mit
Beweis. Angenommen, die Ungleichung gilt nicht. Dann gibt es Funktionen uk ∈ H0,Γ
D
kuk kp;Ω = 1 und
1 = kuk kp;Ω ≥ kkDuk kp;Ω .
Da die uk in H 1,p normbeschränkt sind, gilt für eine Teilfolge uk ⇁ u in H 1,p (Ω) und wegen der
Kompaktheit der Einbettung auch uk → u in Lp (Ω). Aus Duk → 0 erhalten wir Du = 0. Mit
Übungsaufgabe 5.1 folgt, daß u konstant ist. Nach dem Spursatz 6.15 impliziert die Konvergenz in
H 1,p (Ω) auch Konvergenz in Lp (Γ ′ ), wobei Γ ′ in ΓD enthalten ist, daher u|Γ ′ = 0 und u = 0 in
Ω. Widerspruch zu kukp = 1!
⊓
⊔
Anmerkung 6.22. Auf die gleiche Weise kann die Poincaré-Ungleichung in H 1,p (Ω) für Funktionen
mit verschwindendem Mittelwert bewiesen werden.
Wegen ihrer Wichtigkeit beweisen wir diese Poincaré-Ungleichung für konvexe Gebiete auch direkt:
76
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Satz 6.23. Sei Ω konvex und in
R einer Kugel vom Durchmesser d enthalten. Für 1 ≤ p < ∞ gilt
dann für alle u ∈ H 1,p (Ω) mit Ω u dx = 0
kukp;Ω ≤ 2n/p dkDukp;Ω .
Beweis. Wegen Satz 5.16 braucht die Ungleichung nur für u ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) bewiesen zu
werden. Der Mittelwertsatz kann in der Form
Z 1
Du(tx + (1 − t)y)(x − y) dt, x, y ∈ Ω,
u(x) − u(y) =
0
geschrieben werden. Wir integrieren diese Beziehung bezüglich y und erhalten wegen
1
u(x) =
µ(Ω)
und mit |x − y| ≤ d,
|u(x)| ≤
Z Z
Ω
u dy = 0
Du(tx + (1 − t)y)(x − y) dt dy,
0
Ω
d
µ(Ω)
1
R
Z Z
0
Ω
1
|Du(tx + (1 − t)y)| dt dy.
Diese Abschätzung wird in die p-te Potenz gehoben und bezüglich x integriert,
Z ³Z Z 1
Z
´p
dp
p
|Du(tx
+
(1
−
t)y)|
dt
dy
dx
|u(x)| dx ≤
µ(Ω)p Ω
Ω
Ω 0
Z n Z Z 1
Z Z 1
o
¢p/q
¡
dp
p
q
|Du(tx
+
(1
−
t)y)|
dt
dy
dx
1
dt
dy
≤
µ(Ω)p Ω
Ω 0
Ω 0
Z Z Z 1
dp
|Du(tx + (1 − t)y)|p dt dy dx.
=
µ(Ω) Ω Ω 0
Mit dem Satz von Fubini ziehen wir die Integration bezüglich t nach außen und erhalten für ein
t0 ∈ [0, 1]
Z
Z Z
dp
|u(x)|p dx ≤
|Du(t0 x + (1 − t0 )y)|p dy dx.
µ(Ω)
Ω
Ω Ω
R
Sei f (x) die Fortsetzung von |Du(x)|p in den n durch Null. Für t0 ∈ [0, 21 ] erhalten wir
Z Z
Z
dp
f (t0 x + (1 − t0 )y) dy dx
|u(x)|p dx ≤
µ(Ω) Ω Rn
Ω
Z
p
=d
f ((1 − t0 )y) dy.
R
n
Mit der Transformation z = (1 − t0 )y, dy ≤ 2n dz, kann das Integral auf der rechten Seite durch
2n kDukpp abgeschätzt werden. Wenn t0 > 21 , vertauschen wir die Rollen von x und y und argumentieren genauso.
⊓
⊔
6.8 Einbettungen in Räume stetiger Funktionen
Satz 6.24 (Morrey). Wenn Ω die Kegeleigenschaft besitzt, so gilt für p > n die Einbettung
H 1,p (Ω) → C(Ω) ∩ L∞ (Ω),
also kuk∞;Ω ≤ ckuk1,p;Ω
∀u ∈ H 1,p (Ω),
was heißen soll, daß eine Funktion u ∈ H 1,p (Ω) auf einer Nullmenge so abgeändert werden kann,
daß u ∈ C(Ω).
Beweis. Wie immer in solchen Fällen ist es ausreichend, die Abschätzung im dichten Unterraum
C ∞ (Ω)∩H 1,p (Ω) zu beweisen. Da der Raum aller stetigen und beschränkten Funktionen auf Ω ein
Banach-Raum ist unter der Norm k·k∞;Ω , folgt dann aus Satz 2.14, daß H 1,p (Ω) → C(Ω)∩L∞ (Ω).
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß 0 ∈ Ω. Sei C ⊂ Ω der Kegel
mit Eckpunkt 0 aus der Kegeleigenschaft. Mit Polarkoordinaten r = |x|, ω = x/|x|, kann C in der
6.8 Einbettungen in Räume stetiger Funktionen
Form
C = {x ∈
77
Rn : 0 < r < a, ω ∈ S ⊂ S n−1 }
geschrieben werden, wobei S n−1 die Einheitssphäre bezeichnet. Aus dem Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung folgt
Z 0
Dr u(ξ, ω) dξ + u(r, ω),
u(0) =
r
und daher
|u(0)| ≤
Z
a
0
|Dr u(ξ, ω)| dξ + |u(r, ω)|,
und durch Integration bezüglich r und ω,
Z Z
Z Z a
|Dr u(r, ω)| dr dω +
aµ(S)|u(0)| ≤ a
S
S
0
a
0
|u(r, ω)| dr dω.
Diese Abschätzung wir durch aµ(S) dividiert und in die p-te Potenz erhoben. Dann liefert die
Höldersche Ungleichung
´p
³Z Z a©
ª
|Dr u(r, ω)| + |u(r, ω)| r(n−1)/p r−(n−1)/p dr dω
|u(0)|p ≤c
0
S
≤c
Z Z
a
0
S
©
³Z Z
×
S
ª
|Dr u(r, ω)|p + |u(r, ω)|p rn−1 dr dω ×
a
(r−(n−1)/p )p/(p−1) dr dω
0
´p−1
.
Für p > n existiert der zweite Faktor auf der rechten Seite und der Satz wird bewiesen durch die
Transformationsregel,
Z
Z Z a
v(r, ω) rn−1 dr dω.
v(x) dx =
C
0
S
sowie |Dr u| ≤ |Du|.
N
⊓
⊔
Satz 6.25 (Morrey). Ω sei ein Lipschitzgebiet und m ∈ . Dann existiert die Einbettung
H m,p (Ω) → C m−1,α (Ω) für p > n mit α = 1 − n/p, d.h. es gibt eine nur von Ω abhängende
Konstante c mit
kukC m−1,α (Ω) ≤ ckukm,p;Ω ∀u ∈ H m,p (Ω).
Anmerkung 6.26. Zusammen mit Satz 2.39 folgt, daß die Einbettung H m,p (Ω) → C m−1,α (Ω) kompakt ist für α < 1 − n/p.
Beweis. Sei zunächst m = 1. Die behauptete Abschätzung braucht nur in C0∞ (Ω) bewiesen zu
werden (siehe Beweis von Satz 6.11).
Sei also u ∈ C0∞ (Ω), x, y beliebige Punkte mit |x − y| = ρ, Qρ ein Würfel mit Kantenlänge ρ
und x, y ∈ Qρ . Im Mittelwertsatz
u(x) − u(z) = −
Z
1
0
Du(x + t(z − x))(z − x) dt
integrieren wir bezüglich z über Qρ und teilen durch µ(Qρ ) = ρn ,
u(x) − ρ−n
Z
Qρ
u(z) dz = −ρ−n
Z
Qρ
Z
1
Du(x + t(z − x))(z − x) dt dz.
0
Hier setzen wir Beträge und schätzen ab,
Z
Z
¯
¯ √
¯
¯
u(z) dz ¯ ≤ nρ1−n
¯u(x) − ρ−n
Qρ
Qρ
Z
0
1
¯
¯
¯Du(x + t(z − x)¯ dt dz.
Auf der rechten Seite führen wir die Koordinatentransformation z → ξ = tz + (1 − t)x durch mit
dz = t−n dξ. Für festes t ist der Integrationsbereich von ξ ein Würfel mit Kantenlänge tρ. Daher
78
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Z
¯
¯
¯u(x) − ρ−n
Qρ
Z
¯ √
¯
u(z) dz ¯ ≤ nρ1−n
1
t−n
0
≤
=
Z
Qtρ
√ 1−n
nρ
kDukp
Z
1
√ 1−n
nρ
kDukp
Z
1
¯
¯
¯Du(ξ)¯ dξ dt
′
t−n µ(Qtρ )1/p dt
0
t−n (tρ)n(p−1)/p dt
0
≤ cρ1−n/p kDukp .
Da die gleiche Abschätzung für x ersetzt durch y gilt, folgt aus der Dreiecksungleichung
|u(x) − u(y)| ≤ cρ1−n/p kDukp ,
womit der Fall m = 1 bewiesen ist.
Ist u ∈ H 2,p (Ω), so folgt u ∈ C 0,α (Ω) und Du ∈ C 0,α (Ω)n . Aufgrund der Vollständigkeit von
1,α
C
ist Du auch die klassische Ableitung von u, daher u ∈ C 1,α (Ω). Der Fall m = 2 reicht für
einen Induktionsschluß offenbar aus.
⊓
⊔
6.9 Dualräume von H m,p(Ω) und die Räume H −m,q(Ω)
Ist X ein Banach-Raum und X N der Raum der Vektoren (x1 , . . . , xN ) mit xk ∈ X, so gilt (X N )′ =
(X ′ )N (siehe Aufgabe 2.7). Ist X reflexiv, so ist auch X N reflexiv.
Sei N die Zahl der Multiindizes 0 ≤ |α| ≤ m. Wir betten H m,p (Ω) in den Raum Lp (Ω)N ein
mit
P : H m,p (Ω) → Lp (Ω)N , u 7→ (Dα u)|α|≤m .
(6.14)
Es gilt kukm,p = kP ukp und wegen der Vollständigkeit von H m,p (Ω) ist das Bild von P ein
abgeschlossener Unterraum von Lp (Ω)N . Da abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume ebenfalls
reflexiv sind (siehe Satz 3.24), haben wir gezeigt:
Satz 6.27. Für 1 < p < ∞ und m ∈
N0 ist H m,p(Ω) reflexiv.
Mit Hilfe von (6.14) können auch die Dualräume von H m,p (Ω) bestimmt werden.
Satz 6.28. Sei 1 ≤ p < ∞ und q der zugehörige konjugierte Exponent. Zu jedem L ∈ H m,p (Ω)′
gibt es uα ∈ Lq (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m, mit
X Z
L(v) =
uα Dα v dx.
(6.15)
|α|≤m
Ω
Beweis. Die Räume H m,p (Ω) und RP ⊂ Lp (Ω)N sind isometrisch isomorph. Das stetige lineare
Funktional L auf dem abgeschlossenen Unterraum RP kann mit dem Satz von Hahn-Banach
fortgesetzt werden zu einem Funktional L̃ ∈ (Lp (Ω)′ )N , das nach Satz 4.30 die Darstellung
X Z
uα vα dx, u ∈ Lq (Ω)N
L̃(v) =
|α|≤m
Ω
besitzt. Auf RP hat L die im Satz angegebene Gestalt.
H0m,p (Ω),
⊓
⊔
Für die Anwendungen ist der Dualraum von
der mit H −m,q (Ω), 1 < q ≤ ∞, bezeichnet wird, erheblich wichtiger. Die
P Darstellung (6.15) wird übernommen, es ist aber üblich
geworden, in diesem Fall kurz L = (−1)|α| Dα uα zu schreiben, was aber immer wie in (6.15)
interpretiert werden muß.
Im Fall p = 2 kann mit Hilfe des Skalarprodukts eine andere Darstellung der Funktionale in
H −m,2 (Ω) angegeben werden. Aufgrund der Poincaré-Ungleichung 6.13, die sukzessive auf Dα u
angewendet wird, ist auch
X Z
(u, v)m,0 =
Dα uDα v dx
|α|=m
Ω
ein zu (u, v)m äquivalentes Skalarprodukt auf H0m,2 (Ω). Der Rieszsche Darstellungssatz ergibt
dann:
6.10 Die gebrochenen Sobolev-Räume H s,p (Ω)
79
Satz 6.29. Zu jedem L ∈ H −m,2 (Ω) gibt es genau ein u ∈ H0m,2 (Ω) mit
X Z
L(v) =
Dα vDα u dx.
|α|=m
Ω
Beispiel 6.30. Sei n = 1, Ω = (−1, 1), und δ0 die Dirac-Distribution mit δ0 (v) = v(0). Der natürliche Definitionsbereich der Dirac-Distribution sind die stetigen Funktionen, mit der Einbettung aus
Satz 6.24 gilt demnach δ0 ∈ H −1,2 (Ω). Zur Darstellung der Dirac-Distribution muß ein u ∈ H01,2 (Ω)
gefunden werden mit (u′ , v ′ ) = v(0) für alle v ∈ H01,2 (Ω). Auf den Teilintervallen (−1, 0) und (0, 1)
kann mit v ∈ C0∞ getestet werden. Es gilt daher u′′ = 0 und u ist linear auf diesen Teilintervallen.
Daher u(x) = (1 − |x|)/2,
(u′ , v ′ ) =
1¡
2
Z
0
v ′ dx +
−1
Z
0
1
¢
−v ′ dx = v(0).
6.10 Die gebrochenen Sobolev-Räume H s,p(Ω)
In diesem Abschnitt definieren und untersuchen wir die Sobolev-Räume H s,p (Ω) für reelle Indizes
s ≥ 0 auf allgemeinen, nicht notwendig beschränkten Gebieten Ω ⊂ n . Für nichtganzzahliges
s > 0 schreiben wir s = m + σ mit m ∈ 0 und 0 < σ < 1.
Für 1 ≤ p < ∞ definieren wir
¯p
Z Z ¯¯
u(x) − u(y)¯
p
dx dy,
|u|σ,p;Ω =
n+σp
Ω Ω |x − y|
X
kukps,p;Ω = kukpm,p;Ω +
|Dα u|pσ,p;Ω .
R
N
|α|=m
Die Ausdrücke | · |σ,p sind nur Halbnormen, weil sie für konstante Funktionen verschwinden.
Definition 6.31. Für nichtganzzahliges s > 0 und 1 ≤ p < ∞ besteht der Raum H s,p (Ω) aus den
Funktionen u ∈ H m,p (Ω) mit endlicher Norm kuks,p;Ω .
Im Grenzfall p = ∞ erhalten wir die Hölder-Räume C m,σ (Ω), es wird daher immer p < ∞
vorausgesetzt.
sei an die Definition des inneren Produkts in H m,2 (Ω), nämlich (u, v)m =
P Erinnert
α
α
|α|≤m (D u, D v).
Satz 6.32. H s,p (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm k · ks,p;Ω . H s,2 (Ω) ist Hilbert Raum mit
innerem Produkt
X
(u, v)s = (u, v)m +
(Dα u, Dα v)σ ,
|α|=m
(u, v)σ =
Z Z ¡
Ω
Ω
¢
¢¡
u(x) − u(y) v(x) − v(y)
dx dy.
|x − y|n+2σ
Beweis. Die Normaxiome sind für k · ks,p erfüllt. Die Vollständigkeit brauchen wir nur für den Fall
m = 0 zu untersuchen, weil jede Cauchy-Folge in H s,p auch eine Cauchy-Folge in H m,p ist.
Sei (uk ) eine Cauchy-Folge in H s,p (Ω), 0 < s < 1. Dann gibt es nach Anmerkung 4.26(i) eine
Teilfolge (ukm ) mit ukm → u punktweise fast überall. Damit gilt für
f (ukm , x, y) =
|(ukl (x) − ukm (x)) − (ukl (y) − ukm (y))|p
,
|x − y|n+σp
daß f (ukm , x, y) → f (u, x, y) f.ü. in Ω × Ω für km → ∞. Wir können daher in |ukl − ukm |σ,p ≤ ε
mit dem Fatouschen Lemma den Grenzübergang km → ∞ durchführen und erhalten ukl → u in
H s,p . Da eine Cauchy-Folge konvergent ist, wenn eine Teilfolge konvergiert, ist die Vollständigkeit
gezeigt.
⊓
⊔
80
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Um ein Gefühl für diese etwas unhandlichen Räume zu bekommen, zeigen wir die Einbettung
H m+1,p ( n ) → H s,p ( n ), wozu der Fall m = 0 ausreichend ist. Wir schreiben
Z
Z
|u(x) − u(y)|p
|u(x) − u(y)|p
p
|u|σ,p =
d(x,
y)
+
d(x, y)
n+σp
n+σp
|x−y|<1 |x − y|
|x−y|≥1 |x − y|
R
R
= A + B.
(6.16)
Den Term A schätzen wir mit dem Mittelwertsatz und der Hölderschen Ungleichung ab
¯R1
¯
Z
¯ Du(y + t(x − y))(x − y) dt¯p
0
A≤
d(x, y)
|x − y|n+σp
|x−y|<1
≤
Z
|x−y|<1
Z
0
1
|Du(y + t(x − y))|p |x − y|p
dt d(x, y).
|x − y|n+σp
Wir führen die Koordinatentransformation x − y → z, y → y durch. Mit kDu(· + tzkp = kDukp
erhalten wir (ωn−1 = µ(∂B1 ))
A ≤ kDukpp
Z
|z|<1
|z|−n+p(1−σ) dz ≤ kDukpp ωn−1
Z
1
r−1+p(1−σ) dr = ckDukpp .
0
Für den zweiten Term folgt mit |a − b|p ≤ c(p)(|a|p + |b|p )
Z Z
|u(y + z) − u(y)|p
dz dy
B=
|z|n+σp
|z|≥1
³Z Z
≤c
|z|≥1
≤ ckukpp
Z
|u(y + z)|p
dz dy +
|z|n+σp
Z Z
|z|≥1
´
|u(y)|p
dz
dy
|z|n+σp
∞
r−1−σp dr ≤ ckukpp .
1
Damit ist die behauptete Einbettung gezeigt. Die letzte Abschätzung läßt vermuten, daß die
Sobolev-Normen keine wirkliche Skala bilden, sondern beim Übergang zu den ganzen Zahlen einen
Sprung machen. Die Beantwortung dieser Frage wird im nächsten Beispiel mit der Untersuchung
unstetiger Funktionen verknüpft.
Beispiel 6.33. Sei n = 1, Ω = (−b, b). Für a < b ist die Funktion ua definiert durch ua (x) = 1 in
(−a, a) und ua (x) = 0 in Ω \ (−a, a). Dann
|ua |2σ,2
=
Z
b
−b
Z
b
−b
|ua (x) − ua (y)|2
dy dx = 4
|x − y|1+2σ
Z bZ
a
a
−a
(x − y)−1−2σ dy dx.
(6.17)
(i) Hieraus folgt elementar weiter
|ua |2σ,2 =
¡
¢¯¯b
4
(x − a)1−2σ − (x + a)1−2σ ¯ .
2σ(1 − 2σ)
a
(6.18)
Dies existiert für σ < 1/2, aber nicht für σ ≥ 1/2. Es dürfte klar sein, daß es hier nur auf
die Sprungstelle ankommt. Für eine stückweise glatte Funktion mit einer Sprungstelle gilt daher
u ∈ H 1/2−ε,2 für alle ε > 0 und u ∈
/ H 1/2,2 .
(ii) Für 0 < σ < 1/2 gilt in (6.18)
|ua |2σ,2;(−b,b) → 0 für b → a,
|ua |2σ,2;(−b,b) → ca1−2σ für b → ∞.
Angesichts von kuk22 = 2a ist damit gezeigt, daß die Fortsetzung durch Null Eu einer Funktion
mit kompaktem Träger u kein stetiger Prozeß ist, die Abschätzung kEuks,2;R ≤ ckuks,2;Ω hängt
von Ω ab (siehe das folgende Lemma 6.34).
(iii) Nun untersuchen wir in (6.17) den Fall b = ∞ und σ = 0,
6.10 Die gebrochenen Sobolev-Räume H s,p (Ω)
|ua |2σ=0,2 = 4
Z
∞
a
¡
81
¢
ln(x + a) − ln(x − a) dx.
Die Taylorentwicklung ln(x ± a) = ln x ± a/x + O(x−2 ) zeigt, daß dieses Integral unendlich ist. Die
Norm kuks,2 geht für s → 0 nicht stetig in die Norm kuk2 über. Später werden die gebrochenen
Sobolev-Räume für p = 2 durch die Fourier-Transformation charakterisiert. Dann verschwindet
dieser Effekt, der demnach nur die Normen, aber nicht die Räume betrifft.
Das nächste Lemma greift Beispiel 6.33(ii) auf.
Lemma 6.34. u ∈ H s,p (Ω) besitze einen kompakten Träger in Ω mit d = dist (supp(u), ∂Ω).
Dann ist die mit Null fortgesetzte Funktion Eu im Raum H s,p ( n ) mit
R
kEukps,p;Rn ≤ c(1 + σ −1 d−σp )kukps,p;Ω .
Beweis. Da die Aussage für ganzzahliges s richtig ist, können wir uns auf den Fall 0 < s < 1
beschränken. Dann
Z Z
|u(x)|p
p
p
dy dx.
|Eu|σ,p;Rn = |u|σ,p;Ω + 2
n+σp
Ω Rn \Ω |x − y|
Für das innere Integral gilt wegen x ∈ supp(u)
Z
Z
Z
|x − y|−n−σp dy ≤
|z|−n−σp dz = cn
R
R
n \Ω
n \B
d (0)
∞
r−1−σp dr =
d
cn −σp
d
,
σp
daher |Eu|pσ,p;Rn ≤ |u|pσ,p;Ω + c(p)σ −1 d−σp kukpp;Ω .
⊓
⊔
Nun steuern wir die Dichteeigenschaften der gebrochenen Sobolev-Räume an. Eine Überprüfung
der entsprechenden Sätze 5.16 und 6.7 zeigt, daß deren Beweise sich sofort übertragen, wenn die
beiden folgenden Lemmata bereitgestellt werden.
Lemma 6.35. Wenn τ ∈ C m+1 (Ω) und u ∈ H s,p (Ω), dann ist τ u ∈ H s,p (Ω) mit kuτ ks,p;Ω ≤
ckuks,p;Ω , wobei die Konstante c von τ , aber nicht von u abhängt.
Beweis. Da die gleiche Eigenschaft für ganzzahlige Sobolev-Räume in Lemma 5.14 bewiesen wurde,
braucht nur der Fall 0 < s < 1 gezeigt zu werden. Es gilt
Z Z
|(uτ )(x) − (uτ )(y)|p
p
|uτ |σ,p;Ω =
dx dy
|x − y|n+σp
Ω Ω
Z Z
Z Z
|τ (y)|p |u(x) − u(y)|p
|u(x)|p |τ (x) − τ (y)|p
dx
dy
+
c
dx dy.
≤c
n+σp
|x − y|
|x − y|n+σp
Ω Ω
Ω Ω
Wie in (6.16) zerlegen wir das erste Integral in die Bereiche |x − y| < 1 und |x − y| ≥ 1 und wenden
den Mittelwertsatz an,
Z
|u(x)|p |x − y|p
d(x, y)
|uτ |pσ,p;Ω ≤ckDτ kp∞;Ω
n+σp
{|x−y|<1}∩Ω×Ω |x − y|
+ ckτ kp∞;Ω
Z
{|x−y|≥1}∩Ω×Ω
|u(x)|p
d(x, y) + ckτ kp∞;Ω |u|pσ,p;Ω
|x − y|n+σp
≤ckDτ kp∞;Ω kukpp;Ω + ckτ kp∞;Ω kukpp;Ω + ckτ kp∞;Ω |u|pσ,p;Ω .
⊓
⊔
Lemma 6.36. (a) Sei u ∈ H s,p (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω. Dann gilt Jε ∗ u → u in H s,p (Ω0 ).
(b) Besitzt u ∈ H s,p (Ω) einen kompakten Träger in Ω, so gilt Jε ∗ u → u in H s,p (Ω).
Beweis. (a) Da für ganzzahliges s die Behauptung in Lemma 5.15 bewiesen wurde, genügt auch
hier der Fall 0 < s < 1. Für eine Funktion w folgt aus der Hölderschen Ungleichung
82
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
¯
¯
R
mit
Z
¯p
Jε (z)w(x, y, z) dz ¯ =
≤
Jε dx = 1 daher,
Z
¯
¯
Für
Z
¡
Jε1−1/p (z)Jε1/p (z)|w(x, y, z)| dz
Z
Jε (z) dz
¯p
Jε (z)w(x, y, z) dz ¯ ≤
Z
¢p/q
Z
Jε (z)|w(x, y, z)|p dz,
Jε (z)|w(x, y, z)|p dz.
w(x, y, z) = (u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y))
erhalten wir aus dieser Abschätzung
Z
|Jε ∗u − u|pσ,p;Ω0 =
≤
Z
|z|<ε
≤ c sup
|z|<ε
Ω0
Z
Z
Z
Z
Ω0
Ω0
Ω0
Ω0
Z
Ω0
¯p
¯R
¯
¯
¯ |z|<ε Jε (z)w(x, y, z) dz ¯
|x − y|n+σp
dx dy
¯
¯p
Jε (z)¯(u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y))¯
dx dy dz
|x − y|n+σp
¯
¯
¯(u(x − z) − u(y − z)) − (u(x) − u(y))¯p
dx dy.
|x − y|n+σp
Der Integrand geht aus der Translation der Funktion |x − y|−n/p−σ (u(x) − u(y)) ∈ Lp (Ω × Ω)
hervor. Da die Translation nach Satz 4.21 stetig ist, konvergiert das Integral gegen Null.
(b) Kombiniere (a) mit Lemma 6.34.
⊓
⊔
Satz 6.37. Sei s ≥ 0 und 1 ≤ p < ∞.
(a) C ∞ (Ω) ∩ H s (Ω) ist dicht in H s (Ω).
Rn )
(b) Ist Ω ein beschränktes Lipschitzgebiet, so ist die Einschränkung der Funktionen in C0∞ (
auf Ω dicht in H s,p (Ω).
Beweis. (a) ist die Verallgemeinerung von Satz 5.16. Dessen Beweis überträgt sich unmittelbar mit
Hilfe der Lemmata 6.35 und 6.36.
(b) ist die Verallgemeinerung von Satz 6.7. In diesem Fall wird zusätzlich die Stetigkeit der
Translation, |u(· − z) − u(·)|σ,p → 0 benötigt, was im Beweis des letzten Lemmas ebenfalls gezeigt
wurde.
⊓
⊔
Nun verallgemeinern wir den Fortsetzungssatz aus Abschnitt 6.4 auf den gebrochenen Fall:
Satz 6.38. Ω sei ein beschränktes Gebiet von der Klasse C m−1,1 und Ω1 sei ein Gebiet mit Ω ⊂⊂
Ω1 . Dann ist der Fortsetzungsoperator E = E(m) aus Satz 6.10 auch stetig zwischen den Räumen
H s,p (Ω) und H0s,p (Ω1 ) für alle 0 ≤ s ≤ m, 1 ≤ p < ∞, insbesondere gibt es eine Konstante c mit
kEuks,p;Ω1 ≤ ckuks,p;Ω .
Beweis. Wegen Satz 6.10 können wir auch hier 0 < s < 1 annehmen und haben zu zeigen, daß sich
der gebrochene Anteil der H s,p -Norm korrekt abschätzen läßt.
n
n
= {x ∈
: xn > 0},
Wir betrachten zunächst den Halbraum
+
′
x
=
(x
,
x
).
Der
Fortsetzungsoperator
aus
Satz
6.10
ist
dann
von
der
Struktur
Eu(x) =
n
P
′
s,p
λ
u(x
,
−jx
)
für
x
<
0.
Zu
zeigen
ist
daher,
daß
für
u
∈
H
(Ω)
die
Funktion
n
n
j j
(
u(x)
für xn > 0
Ej u(x) =
′
u(x , −jxn ) für xn ≤ 0
R
Rn ) ist mit kEj uks,p;R
im Raum H s,p (
|Ej u|pσ,p;Rn
R
≤ ckuks,p;Rn+ . Es gilt
Z
|u(x′ , −jxn ) − u(y ′ , −jyn )|p
p
dx dy
=|u|σ,p;Rn +
+
|(x′ , xn ) − (y ′ , yn )|n+σp
xn <0 yn <0
Z
Z
|u(x′ , xn ) − u(y ′ , −jyn )|p
+2
dx dy.
′
′
n+σp
xn >0 yn <0 |(x , xn ) − (y , yn )|
n
Z
6.11 Ein exakter Spur- und Fortsetzungssatz für H 1,p -Funktionen
83
Wir verwenden die Transformation yn∗ = −jyn , für den mittleren Term zusätzlich x∗n = −jxn .
Die Nenner lassen sich dann leicht abschätzen, für den letzten Term haben wir zum Beispiel
(xn , yn∗ > 0 !)
¡
¢
|(x′ , xn ) − (y ′ , −j −1 yn∗ )|2 = |x′ − y ′ |2 + |xn + j −1 yn∗ |2 ≥ j −2 |x′ − y ′ |2 + |xn − yn∗ |2 .
Daher
¡
¢
|Ej u|pσ,p;Rn ≤ 1 + j n+σp · j −2 + 2j n+σp · j −1 |u|pσ,p;Ω .
Zur Vervollständigung des Beweises müssen wir die Operatoren T und T ′ aus Lemma 6.6 in
gebrochenen Sobolev-Räumen untersuchen. Für eine stetige Funktion h : n−1 → sei wieder
R
Ω = {x ∈
R
R
Rn : xn > h(x′ )}.
Lemma 6.39. Sei h ∈ C m−1,1 ( n−1 ). Dann sind für alle 0 ≤ s ≤ m und 1 ≤ p < ∞ die
Operatoren T : H s,p (Ω) → H s,p ( n+ ) sowie T ′ : H s,p ( n ) → H s,p ( n ) bijektiv und bistetig
zwischen den angegebenen Räumen.
R
R
R
Beweis. Wir untersuchen nur den Operator T und den Fall 0 < s < 1. In
Z Z
|u(x′ , xn + h(x′ )) − u(y ′ , yn + h(y ′ ))|p
dx dy
|T u|pσ,p;Rn =
+
|x − y|n+σp
Rn+ Rn+
substituieren wir
rn = xn + h(x′ ),
sn = yn + h(y ′ ).
Da dies eine Lipschitztransformation definiert, folgt
|(x′ , rn ) − (y ′ , sn )| ≤ L|x − y|,
daher |T u|pσ,p;Rn ≤ Ln+σp |u|pσ,p;Ω .
⊓
⊔
+
Die weitere Konstruktion des Fortsetzungsoperators erfolgt wie im Beweis von Satz 6.10.
⊓
⊔
6.11 Ein exakter Spur- und Fortsetzungssatz für H 1,p-Funktionen
′
Wir hatten in Abschnitt 6.6 bewiesen, daß jede Funktion u in H 1,p (Ω) eine Spur Su ∈ Lp (∂Ω)
besitzt, wobei Su die eindeutige Fortsetzung des klassischen Spuroperators S̃u = u|∂Ω ist. Von
′
diesem Resultat gibt es aber keine Umkehrung: Wir können eine beliebige Funktion in Lp (∂Ω)
1,p
nicht zu einer Funktion in H (Ω) fortsetzen, weil dazu auch etwas Glattheit erforderlich ist. Umgekehrt läßt sich jede Funktion in H 1,p (∂Ω) trivialerweise zu einer Funktion in H 1,p (Ω) fortsetzen,
aber dann scheitert es am Spuroperator. In diese Lücke treten die gebrochenen Sobolev-Räume, für
die es bei richtig gewählten Exponenten beides gibt, einen Spur- und einen Fortsetzungsoperator.
R
Definition 6.40. Sei s = σ mit 0 < σ < 1 und sei 1 ≤ p < ∞. Sei Ω ⊂ n ein beschränktes
Lipschitzgebiet mit zugehöriger Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . J (siehe Definition 6.1). u : ∂Ω →
liegt im Raum H s,p (∂Ω), wenn folgendes gilt. Nach Drehung und Verschiebung gestattet es
die Definition 6.1 eines Lipschitzgebiets, den Rand lokal in der Form {(y ′ , hj (y ′ ))} darzustellen.
Es wird verlangt, daß die Funktionen uj (y ′ ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ )) im Raum H s,p (Uj′ ) liegen, wobei
Uj′ ⊂ n−1 der Definitionsbereich des Parameters y ′ ist. H s,p (∂Ω) wird normiert durch
K
R
|u|2σ,p;∂Ω
=
J Z
X
j=1
∂Ω
Z
∂Ω
|uj (x) − uj (y)|p
dσx dσy ,
|x − y|n−1+pσ
kuk2s,p;∂Ω = kukpp;∂Ω + |u|pσ,p;∂Ω .
Nach Beispiel 6.33(ii) hängt die Halbnorm |u|σ,p;∂Ω auch von der Wahl der Uj′ ab, die in gewissen
Grenzen beliebig ist. Daher sind die Normen zu zwei verschiedenen Lokalisierungen äquivalent, sie
müssen aber nicht übereinstimmen.
84
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Satz 6.41 (Spur- und Fortsetzungssatz für H 1,p -Funktionen). Sei Ω ein beschränktes Lipschitzgebiet und sei 1 < p < ∞.
(a) Der Spuroperator S aus Satz 6.15 ist auch stetig zwischen den Räumen H 1,p (Ω) und
H 1−1/p,p (∂Ω).
(b) Es existiert ein stetiger Fortsetzungsoperator F : H 1−1/p,p (∂Ω) → H 1,p (Ω) mit SF = Id.
Rn+ = Rn−1 × R+ und schreiben wieder
Rn−1 setze
In beiden Beweisteilen beginnen wir mit dem Halbraum
x = (x′ , xn ) sowie Dx′ = (D1 , . . . , Dn−1 ).
(a) Für diesen Beweisteil folge ich [DiB02]. Zu x′ , y ′ ∈
2ξ ′ = x′ − y ′ ,
z=
¢
¡1 ′
(x + y ′ ), |ξ ′ | .
2
Rn+ ) erhalten wir aus dem Mittelwertsatz
Für u ∈ C ∞ (
|u(x′ , 0) − u(y ′ , 0)| ≤ |u(z) − u(x′ , 0)| + |u(z) − u(y ′ , 0)|
¯Z
¯
=¯
0
1
¯ ¯Z
¯ ¯
Du(x′ − tξ ′ , t|ξ ′ |) · (−ξ ′ , |ξ ′ |) dt¯ + ¯
1
0
Z
√
≤ 2|ξ ′ |
Hieraus folgt
1
0
√
¯
¯
¯Du(x′ − tξ ′ , t|ξ ′ |)¯ dt + 2|ξ ′ |
Z
1
0
¯
¯
Du(y ′ + tξ ′ , t|ξ ′ |) · (ξ ′ , |ξ ′ |) dt¯
¯
¯
¯Du(y ′ + tξ ′ , t|ξ ′ |)¯ dt.
³ Z 1 ¯¯Du(x′ − tξ ′ , t|ξ ′ |)¯¯ ´p
|u(x′ , 0) − u(y ′ , 0)|p
≤c
dt
|x′ − y ′ |n+p−2
|x′ − y ′ |(n−2)/p
0
³ Z 1 ¯¯Du(y ′ + tξ ′ , t|ξ ′ |)¯¯ ´p
dt
+c
|x′ − y ′ |(n−2)/p
0
Dies wird bezüglich x′ und y ′ integriert und anschließend mit der kontinuierlichen MinkowskiUngleichung Lemma 4.34 abgeschätzt zu
¯
¯
Z
Z 1 ³Z
´1/p
¯Du(x′ − tξ ′ , t|ξ ′ |)¯p
dx′ dy ′
dt.
|u(·, 0)|1−1/p,p;Rn−1 ≤ c
′
′
n−2
|x − y |
Rn−1 Rn−1
0
Zur Abschätzung der rechten Seite verwenden wir Polarkoordinaten für y ′ mit Ursprung x′ , also
y ′ = x′ + rω mit ω ∈ S n−2 . Unter Beachtung von 2|ξ ′ | = |x′ − y ′ | = r folgt dann
¯
¯
Z
Z
¯Du(x′ − tξ ′ , t|ξ ′ |)¯p
dx′ dy ′
′ − y ′ |n−2
|x
n−1
n−1
R
R
Z
Z ∞Z
|Du(x′ + tωr/2, tr/2)|p dx′ dr dω
=
S n−2
=
Z
S n−2
R
n−1
0
Z
∞
0
Z
R
2µ(S n−2 )
=
t
Z
|u(·, 0)|1−1/p,p;Rn−1 ≤ c
Z
n−1
R
n
+
|Du(x′ , tr/2)|p dx′ dr dω
|Du|p dx.
Damit erhalten wir
1
0
t−1/p dt kDukp;Rn+ ≤ ckDukp;Rn+ .
(6.19)
Auf analoge Weise kann man auch die Lp -Norm von u(·, 0) abschätzen. Da wir letztlich nur die
lokale Situation am Rande betrachten, können wir darauf verzichten und stattdessen auf den bereits
bewiesenen Spursatz 6.15 verweisen.
Sei Ω ein Lipschitzgebiet mit zugehöriger C 0,1 -Lokalisierung (Uj , φj ), j = 1, . . . , J, und Lipschitzfunktionen hj . Sei u ∈ H 1,p (Ω) und uj = φj u. Das Koordinatensystem sei so gedreht und
6.11 Ein exakter Spur- und Fortsetzungssatz für H 1,p -Funktionen
85
verschoben, daß in xn = yn + hj (y ′ ) die Punkte mit yn = 0 den Randpunkten in Uj entsprechen.
Nach Lemma 6.6 ist mit uj ∈ H 1,p (Ω) die Funktion Tj uj (y ′ , yn ) = uj (y ′ , yn + hj (y ′ )) in H 1,p ( n )
und genügt daher der Abschätzung (6.19). Mit der Definition der gebrochenen Sobolev-Norm,
Abschätzung (6.19) und Lemma 6.6 erhalten wir
R
kuj k1−1/p,p;∂Ω ≤ ckTj uj (·, 0)k1−1/p.p;Rn−1 ≤ ckTj uj k1,p;Rn ≤ ckuj k1,p;Ω .
R
(b) Sei J ∈ C0∞ (B1 (0)) ein Mollifier in der Variabeln x′ ∈ n−1 . Wir definieren den Fortsetzungsoperator F : C ∞ ( n−1 ) → C ∞ ( n+ ) durch verallgemeinerte Mittelwertbildung
Z
′
−n+1
′
′
′
′
F u(x , xn ) = Jxn ∗ u(x ) = xn
u(z ′ )J(x−1
n (x − z )) dz .
R
R
R
n−1
Mit D′ J(x′ ) = (D1 J(x′ ), . . . , Dn−1 J(x′ )) gilt
Dn F u(x′ , xn ) =(−n + 1)x−n
n
− xn−n−1
Z
Z
′
′
′
u(z ′ )J(x−1
n (x − z )) dz
(6.20)
′
′
′
′
′
u(z ′ )D′ J(x−1
n (x − z )) · (x − z ) dz .
Mit partieller Integration folgt
Z
′
′
′
′
′
D′ J(x−1
n (x − z )) · (x − z ) dz
= −xn
Z n−1
X
i=1
′
′
′
′
′
Dzi′ J(x−1
n (x − z ))(x − z )i dz
= −(n − 1)xn
Z
′
′
′
J(x−1
n (x − z )) dz ,
daher in (6.20)
Dn F u(x′ , xn ) =(−n + 1)x−n
n
−xn−n−1
Z
|x′ −z ′ |<xn
Da J und D′ J beschränkt sind, folgt
¡
Z
|x′ −z ′ |<xn
¡
¢
′
′
′
u(z ′ ) − u(x′ ) J(x−1
n (x − z )) dz
¢
′
′
′
′
′
u(z ′ ) − u(x′ ) D′ J(x−1
n (x − z )) · (x − z ) dz .
|Dn F u(x′ , xn )| ≤ cx−n
Z
|x′ −z ′ |<xn
|u(z ′ ) − u(x′ )| dz ′ .
Für die übrigen Ableitungen von F u erhalten wir
Z
′
−n
′
′
′
Dx′ F u(x , xn ) = xn
u(z ′ )D′ J(x−1
n (x − z )) dz
=
wegen
0=
Z
x−n
n
′
Dzi J(x−1
n (x
Z
¡
¢
′
′
′
u(z ′ ) − u(x′ ) D′ J(x−1
n (x − z )) dz
′
′
− z )) dz =
−x−1
n
womit die Abschätzung
|DF u(x)| ≤ cx−n
n
Z
|x′ −z ′ |<xn
Z
′
′
′
Di J(x−1
n (x − z )) dz ,
|u(z ′ ) − u(x′ )| dz ′
gezeigt ist. Wir bilden die p-te Potenz, integrieren bezüglich x und wenden die Höldersche Ungleichung an,
86
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
kDF ukpp
≤c
≤c
Z
x−np
n
³Z
|x′ −z ′ |<xn
|
Z Z Z
´p−1 Z
1 dz
·
′
{z
≤cxn−1
n
|x′ −z ′ |<xn
|x′ −z ′ |<xn
|u(z ′ ) − u(x′ )|p dz ′ dx
}
xn−n−p+1 |u(z ′ ) − u(x′ )|p dz ′ dx′ dxn
Wir schreiben das Integral bezüglich z ′ in Polarkoordinaten mit Ursprung x′ , also z ′ = x′ + rω,
ω ∈ S n−2 ,
Z Z Z xn Z
xn−n−p+1 |u(x′ + rω) − u(x′ )|p rn−2 dω dr dx′ dxn .
kDF ukpp ≤ c
S n−2
0
Mit der Transformation t = x−1
n r, dr = xn dt bringen wir das Integral bezüglich r auf ein festes
Intervall und wenden anschließend den Mittelwertsatz der Integralrechnung an
kDF ukpp
≤c
Z Z Z
=c
Z Z Z
1
0
Z
S n−2
S n−2
xn−n−p+1 |u(x′ + txn ω) − u(x′ )|p (txn )n−2 xn dω dt dx′ dxn
xn−n−p+2 |u(x′ + t0 xn ω) − u(x′ )|p (t0 xn )n−2 dω dx′ dxn .
mit t0 ∈ [0, 1]. Für t0 = 0 verschwindet die rechte Seite. Sei also t0 ∈ (0, 1]. Mit der Transformation
r = t0 xn , dxn = t−1
0 dr, erhalten wir
Z Z ∞Z
n+p−3
p
r−n−p+2 |u(x′ + rω) − u(x′ )|p rn−2 dω dr dx′
kDF ukp ≤ct0
S n−2
0
≤c
Z
R
n−1
Z
R
n−1
|y ′ |−n−p+2 |u(x′ + y ′ ) − u(x′ ))|p dy ′ dx′
=c|u|p1−1/p,p;Rn−1 .
(6.21)
Zur Abschätzung der Lp -Norm von F u verwenden wir Lemma 4.1(c),
kF u(·, xn )kpp;Rn−1 = kJxn ∗ ukpp;Rn−1 ≤ kukpp;Rn−1 .
Dies wird bezüglich xn über dem Intervall (0, a) integriert. Zusammen mit (6.21) erhalten wir
kF ukp1,p;Rn−1 ×(0,a) ≤ (c + a)kukp1−1/p,p;Rn−1 ,
a > 0.
(6.22)
Sei Ω ein beschränktes Lipschitzgebiet mit Lokalisierung wie beim Beweisteil (a) und sei u ∈
H 1−1/p,p (∂Ω). Wir wenden den Fortsetzungsoperator auf die lokale Randfunktion
uj (y ′ ) = (φj u)(y ′ , hj (y ′ ))
R
R
an, die wir durch Null auf den n−1 fortsetzen. Die Funktion F uj (y ′ , yn ) wird durch ψj ∈ C0∞ ( n )
so abgeschnitten, daß ψ = 1 auf dem Träger von uj und andererseits nach Rücktransformation
auf Ω der Träger von ψj F uj in der Umgebung Uj aus der Definition des Lipschitzgebiets zu
liegen kommt. Die Rücktransformation geschieht mit dem in Lemma 6.6 betrachteten Operator
Tj−1 v(x) = v(x′ , xn −hj (x′ )). Bezeichnen wir die Drehung und Verschiebung, die die lokale Situation
am Rande herstellt, mit τj , so hat der Fortsetzungsoperator auf Ω die Gestalt
FΩ u =
J
X
j=1
τj ◦ Tj−1 (ψj F uj ).
Nach Konstruktion ist FΩ u = u auf ∂Ω. Untersuchen wir die Stetigkeit von FΩ . Wegen
Lemma 6.6 ist Tj−1 stetig in H 1,p . Nach der Produktregel für glatte Funktion in Lemma
5.14 gilt kψj F uj k1,p;Rn−1 ×(0,aj ) ≤ ckF uj k1,p;Rn−1 ×(0,aj ) . (6.22) liefert kF uj k1,p;Rn−1 ×(0,aj ) ≤
ckuj k1−1/p,p;Rn−1 . Damit folgt kFΩ uk1,p;Ω ≤ ckuk1−1/p,p;∂Ω aus der Dreicksungleichung.
6.12 Reelle Interpolation von Banach-Räumen
87
6.12 Reelle Interpolation von Banach-Räumen
Seien X0 , X1 Banach-Räume mit Normen k · k0 , k · k1 . Es wird angenommen, daß beide Räume
in einem hier nicht näher spezifizierten linearen Hausdorff-Raum eingebettet sind, insbesondere
können die Elemente von X0 , X1 addiert werden. Die Räume X0 + X1 und X0 ∩ X1 werden
normiert durch
©
ª
¡
¢
kukX0 +X1 = inf
ku0 k0 + ku1 k1 , kukX0 ∩X1 = max kuk0 , kuk1 .
u=u0 +u1
Lemma 6.42. Die Räume X0 + X1 und X1 ∩ X2 sind Banach-Räume unter den angegebenen
Normen.
Beweis. Die positive Homogenität und die Dreiecksungleichung für k · kX0 +X1 sind klar. Ist
kukX0 +X1 = 0, so gibt es zu jedem k ∈ u0,k ∈ X0 und u1,k ∈ X1 mit u = u0,k + u1,k und
N
ku0,k k0 + ku1,k k1 ≤
1
,
k
daher u = 0.
Für die Vollständigkeit zeigen wir, daß jede absolut
P summierbare Reihe in X0 + X1 konvergent
ist (siehe Aufgabe 2.1). Sei also uk ∈ X0 + X1 mit k kuk kX0 +X1 < ∞ Dann gibt es u0,k ∈ X0
und u1,k ∈ P
X1 mit uk =
P u0,k + u1,k und ku0,k k0 + ku1,k k1 ≤ 2kuk kX0 +X1 . Damit sind auch
summierbar und
die Reihen k u0,k und k u1,k absolut P
P besitzen aufgrund der Vollständigkeit
von X0 und X1 einen Grenzwert, u0 = k u0,k , u1 = k u1,k . Mit u = u0 + u1 folgt aus der
Dreiecksungleichung
k
°
°
X
°
°
ui °
°u −
i=1
X0 +X1
k
°
°
X
°
°
≤ °u0 −
u0,i °
i=1
X0
k
°
°
X
°
°
+ °u1 −
u1,i °
i=1
X0
,
womit die Ausgangsreihe konvergent ist.
Die Normaxiome für k · kX0 ∩X1 sind klar. Ist (xk ) eine Cauchy-Folge in X0 ∩ X1 , so ist sie auch
eine Cauchy-Folge in X0 und X1 , also uk → u0 in X0 und uk → u1 in X1 . Da X0 und X1 in einen
Hausdorff-Raum eingebettet werden können, liegt auch Konvergenz in diesem Hausdorff-Raum vor,
daher u0 = u1
⊓
⊔
Das K-Funktional ist für t > 0 auf X0 + X1 definiert durch
¡
¢
K(u, t) = K(u, t; X0 , X1 ) = inf
ku0 k0 + tku1 k1 .
u=u0 +u1
Für festes t ist K(u, t) zur Norm in X0 + X1 äquivalent. Anschaulich vorstellen kann man sich das
K-Funktional in der für uns wichtigen Situation, daß X1 glattere Funktionen enthält als X0 . In
diesem Fall ist u1 eine Approximation von u, die umso glatter ausfällt, je größer t ist.
Aufgrund der Definition ist K(u, t) monoton steigend in t und wegen t−1 K(u, t; X0 , X1 ) =
K(u, t−1 ; X1 , X0 ) ist t−1 K(u, t) monoton fallend. Ferner ist K(u, t) als Infimum affin linearer Funktionen konkav in t.
Definition 6.43. Seien X0 , X1 Banach-Räume, die in einem gemeinsamen linearen HausdorffRaum eingebettet sind. Sei 0 < θ < 1 und 1 ≤ p < ∞ oder 0 ≤ θ ≤ 1 und p = ∞. Der
Interpolationsraum (X0 , X1 )θ,p besteht aus allen u ∈ X0 + X1 , für die der Ausdruck
³Z ∞
´1/p


t−θp−1 K(u, t)p dt
für 0 < θ < 1, 1 ≤ p < ∞,
0
kukθ,p =


sup t−θ K(u, t),
für 0 ≤ θ ≤ 1, p = ∞,
t>0
endlich ist.
Satz 6.44. Seien 0 < θ < 1 und 1 ≤ p ≤ ∞. Dann ist (X0 , X1 )θ,p Banach-Raum unter der Norm
kukθ,p und es gilt für p ≤ q
X0 ∩ X1 → (X0 , X1 )θ,p → (X0 , X1 )θ,q → X0 + X1 .
88
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Beweis. Da das K-Funktional eine Norm ist, ist auch
Pk · kθ,p eine Norm. Die Vollständigkeit zeigen
wir wieder mit dem Kriterium aus Aufgabe
2.1.
Sei
k kuk kθ,p < ∞. Da das K-Funktional monoP
jedes t > 0. Wegen der Vollständigkeit
ton steigend ist, ist die P
Reihe t−θ−1/p k K(uk , t) endlich fürP
∞
∞
von X0 + X1 ist u = k=1 uk ∈ X0 + X1 mit K(u, t) ≤ k=1 K(uk , t). In dieser Abschätzung
−θ−1/p
multiplizieren wir auf beiden Seiten mit t
und nehmen die Lp -Norm,
kukθ,p ≤
∞
X
k=1
kuk kθ,p ,
womit die Vollständigkeit von (X0 , X1 )θ,p gezeigt ist.
Wegen K(u, t) ≤ min{1, t}kukX0 ∩X1 für u ∈ X0 ∩ X1 folgt
Z ∞
´1/p
³Z 1
−1−θp+p
t−1−θp dt
kukX0 ∩X1 = c(θ, p)kukX0 ∩X1
kukθ,p ≤
t
dt +
1
0
Andererseits gilt für u ∈ X0 + X1 , daß min{1, t}kukX0 +X1 ≤ K(u, t) und daher kukX0 +X1 ≤
c(θ, p)−1 kukθ,p .
Für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ zeigen wir (X0 , X1 )θ,p → (X0 , X1 )θ,q . Wegen K(u, t) ≥ K(u, t0 ) für alle
t ≥ t0 gilt
Z
kukpθ,p ≥ K(u, t0 )p
daher
∞
t0
t−θp−1 dt = cK(u, t0 )p t−θp
,
0
kukθ,∞ = sup t−θ K(u, t) ≤ ckukθ,p .
t>0
Mit dieser Abschätzung folgt dann unmittelbar
Z ∞
p
q
t−θq−1 K(u, t)q dt ≤ kukq−p
kukqθ,q =
θ,∞ kukθ,p ≤ ckukθ,p .
0
⊓
⊔
Für θ = 0 und u0 ∈ X0 gilt t−θ K(u, t) ≤ ku0 k0 . Der Raum (X0 , X1 )0,∞ ist daher nichttrivial
mit X0 → (X0 , X1 )0,∞ . Analog ist für u1 ∈ X1 und θ = 1 t−θ K(u1 , t) ≤ ku1 kX1 und damit
X1 → (X0 , X1 )1,∞ . Andererseits kann man sich leicht überlegen, daß (X0 , X1 )θ,p = {0} für θ = 0, 1
und 1 ≤ p < ∞.
Hat man einen Banach-Raum als Interpolationsraum dargestellt, so lassen sich mit Hilfe des
folgenden Satzes Einbettungen beweisen:
Satz 6.45. Seien (X0 , X1 ), (Y0 , Y1 ) Paare von Banach-Räumen wie in Definition 6.43. Ist T linear
von X0 +X1 nach Y0 +Y1 und bildet Xi nach Yi stetig ab mit kT u0 kY0 ≤ M0 ku0 kX0 und kT u1 kY1 ≤
M1 ku1 kX1 , so ist T auch stetig zwischen den Räumen (X0 , X1 )θ,p und (Y0 , Y1 )θ,p mit
kT uk(Y0 ,Y1 )θ,p ≤ M01−θ M1θ kuk(X0 ,X1 )θ,p
für 0 < θ < 1 und 1 ≤ p ≤ ∞.
Beweis. Für u0 ∈ X0 und u1 ∈ X1 mit u = u0 + u1 gilt
K(T u, t) ≤ kT u0 kY0 + tkT u1 kY1 ≤ M0 ku0 k + tM1 ku1 kX1
´
³
M1
ku1 kX1 .
≤ M0 ku0 kY0 + t
M0
Bilden wir das Infimum über alle Zerlegungen u = u0 + u1 , so
¡ M1 ¢
K(T u, t) ≤ M0 K u, t
.
M0
Mit s = tM1 /M0 folgt t−θ K(T u, t) ≤ M01−θ M1θ s−θ K(s, u) und wegen
dt
t
=
ds
s
kT uk(Y0 ,Y1 )θ,p ≤ M01−θ M1θ ks−θ−1/p K(u, s)kLp (R+ ) = M01−θ M1θ kuk(X0 ,X1 )θ,p
⊓
⊔
Man kann auch die Norm in X0 ∩ X1 zur Definition von Interpolationsräumen heranziehen,
wobei sich für 0 < θ < 1 die gleichen Räume ergeben. Hierzu sei auf [AF03] und [Tar07] verwiesen.
6.13 Die Räume H s,p und N s,p als Interpolationsräume
89
6.13 Die Räume H s,p und N s,p als Interpolationsräume
Mit der im letzten Abschnitt vorgestellten Theorie können wir die gebrochenen Sobolev-Räume
als Interpolation von ganzzahigen Räumen charakterisieren. Wir beginnen mit einem nützlichen
R+ ),
Lemma 6.46 (Hardysche Ungleichung). Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und α < 1. Ist tα−1/p u ∈ Lp (
Rt
so gilt für v(t) = 1t 0 u(s) ds, daß tα−1/p v ∈ Lp ( + ) und
R
1
ktα−1/p ukp,R+
1−α
Rt
Beweis. Für p = ∞ gilt |u(t)| ≤ Kt−α und damit |v(t)| ≤ K 0 s−α ds/t ≤ Kt−α /(1 − α).
Sei nun 1 ≤ p < ∞. C0∞ ( + ) ist dicht im Raum der Funktionen mit tα−1/p u ∈ Lp ( + ).
Für u ∈ C0∞ ( + ) verschwindet v in Umgebung von 0 und ist c/t für große t. Ferner gilt die
Differentialgleichung
tv ′ (t) + v(t) = u(t).
(6.23)
ktα−1/p vkp,R+ ≤
R
R
R
Wegen tα v → 0 für t → ∞ können wir auf folgende Art partiell integrieren
Z ∞
Z
Z ∞
1 ∞ αp d p
tαp−1 |v|p dt.
|v| dt = −α
t
tv ′ tαp−1 |v|p−2 v dt =
p
dt
0
0
0
Wir multiplizieren (6.23) mit tαp−1 |v|p−2 v, integrieren und wenden die letzte Identität an,
Z ∞
Z ∞
tα(p−1) t−(p−1)/p |v|p−1 · tα t−1/p u dt
tαp−1 |v|p dt =
(1 − α)
0
0
≤ ktα−1/p vkpp−1 ktα−1/p ukp ,
⊓
⊔
wobei zum Schluß die Höldersche Ungleichung verwendet wurde.
R
Satz 6.47. Sei Ω ⊂ n ein beschränktes Lipschitzgebiet. Dann gilt (Lp (Ω), H 1,p (Ω))s,p = H s,p (Ω)
für 1 ≤ p ≤ ∞ und 0 < s < 1.
Beweis. Wir beginnen mit 1 ≤ p < ∞ und zeigen die Abschätzungen kuks,p;Ω ≤
ckuk(Lp (Ω),H 1,p (Ω))s,p sowie kuk(Lp (Ω),H 1,p (Ω))s,p ≤ ckuks,p;Ω . In beiden Beweisteilen verwenden
wir den Fortsetzungsoperator E mit E : H k,p (Ω) → H k,p ( n ), k = 0, 1, (Satz 6.10) und
E : H s,p (Ω) → H s,p ( n ), 0 < s < 1, (Satz 6.38). Eu besitzt kompakten Träger. Aus der Poincaré-Ungleichung bzw. der Definition der gebrochenen Sobolev-Norm folgt daher
R
R
kEuk1,p ≤ ckDEukp ,
kEuks,p ≤ c|Eu|s,p
(6.24)
Sei u ∈ (Lp (Ω), H 1,p (Ω))s,p und u = u0 + u1 mit u0 ∈ Lp und u1 ∈ H 1,p . u0 und u1 werden
mit dem Fortsetzungsoperator E aus Satz 6.10 stetig nach Lp ( n ) beziehungsweise H 1,p ( n )
fortgesetzt. Aus dem Mittelwertsatz und der Hölderschen Ungleichung folgt
Z ¯Z 1
¯p
¯
¯
p
DEu(x − ty) · y dt¯ dx
kEu − Eu(· − yk = ¯
R
0
≤
Z
0
1Z
|DEu(x − ty)|p |y|p dx dt = |y|p kDEukpp
und daher
kEu − Eu(· − y)kp ≤ kEu0 − Eu0 (· − y)kp + kEu1 − Eu1 (· − y)kp
≤ 2kEu0 kp + |y| kDEu1 kp ≤ c1 (ku0 kp;Ω + |y| ku1 k1,p;Ω ).
Nach Definition von K(u, t) können u0 und u1 so gewählt werden, daß
kEu − Eu(· − y)kp ≤ 2c1 K(u, |y|).
Mit dieser Abschätzung und Übergang zu Polarkoordinaten folgt dann
R
90
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Z
kEu − Eu(· − y)kpp
dy
|y|sp+n
Z
Z ∞
K(u, |y|)p
K(u, r)p
≤c
dy
=
cω
dr = ckukp(Lp ,H 1,p )s,p ,
n−1
sp+1
|y|sp+n
r
0
kukps,p;Ω ≤ c|Eu|ps,p = c
wobei ωn−1 das Maß der Einheitssphäre S n−1 bezeichnet.
Sei nun umgekehrt u ∈ H s,p (Ω) für 1 ≤ p < ∞. Mit Satz 6.38 wird u stetig fortgesetzt zu
Eu ∈ H s,p ( n ). Mit F (z) = kEu − Eu(· − z)kp für z ∈ n gilt
Z
Z Z
F (z)p
|Eu(x) − Eu(y)|p
p
dx
dy
=
dz
(6.25)
|Eu|s,p =
|x − y|sp+n
|z|sp+n
R
R
Sei F (y) der Mittelwert von F über der Sphäre |y| = r, also
Z
1
F (y) = n−1
F (y) dσ.
r
ωn−1 |y|=r
Mit Eu = (Eu − Jε ∗ Eu)) + Jε ∗ Eu = u0 + u1 gilt u0 ∈ Lp und u1 ∈ H 1,p .
Mit der kontinuierlichen Minkowski-Ungleichung 4.34 folgt
Z
Z
kEu−Jε ∗ Eukp ≤ Jε (y)kEu − Eu(· − ykp dy = Jε (y)F (y) dy
≤
c
εn
Z
F (y) dy =
|y|<ε
c
εn
Z
|y|<ε
F (y) dy ≤
cωn−1
ε
Z
ε
F (r) dr.
0
R
Nun schätzen wir kJε Euk1,p durch F ab. Wegen DJε (z) dz = 0 gilt
Z
Z
DJε v(x) = DJε (x − z)v(z) dz = DJε (x − z)(v(z) − v(x)) dz
=
Z
DJε (y)(v(x − y) − v(x)) dy
und daher mit der kontinuierlichen Minkowski-Ungleichung (siehe auch (6.24))
Z
kJε ∗ Euk1,p ≤ ckDJε ∗ Eukp ≤ c |DJε (y)| kEu − Eu(· − y)kp dy
=
Z
|DJε (y)| F (y) dy ≤
c
εn+1
Z
|y|<ε
F (y) dy ≤
cωn−1
ε2
Z
ε
F (r) dr.
0
Zusamengefaßt ergeben die Abschätzungen für Eu − Jε ∗ Eu und Jε ∗ Eu
Z
Z t
¡ −1
¢ ε
−2
−1
K(u, t) ≤ c inf ε + tε
F (r) dr ≤ ct
F (r) dr
ε>0
Mit G(t) = t
R
−1 t
0
0
0
F (r) dr folgt aus der Hardyschen Ungleichung 6.46 für α = −s
Z ∞
Z ∞
t−sp−1 G(t)p dt
t−sp−1 K(u, t)p dt ≤ c
kukp(Lp ,H 1,p )s,p =
0
0
≤c
Z
∞
r−sp−1 F (r)p dr
0
Mit Polarkoordinaten, der Hölderschen Ungleichung und (6.25) folgt hieraus
Z
c
p
|z|−sp−n F (z)p dz
kuk(Lp ,H 1,p )s,p ≤
ωn−1
Z
≤ c |z|−sp−n F (z)p dz = c|Eu|ps,p;Rn ≤ ckukps,p;Ω .
6.13 Die Räume H s,p und N s,p als Interpolationsräume
91
Der Beweis für p = ∞ ist einfacher, weil die Integrale wegfallen. In Satz 5.23 haben wir die
Einbettung C 0,1 → H 1,∞ bewiesen. Wir zeigen H 1,∞ ( n ) → C 0,1 ( n ). Für u ∈ H 1,∞ ( n ) sei
uε = Jε ∗ u. Aus |uε (x) − uε (y)| ≤ kDuε k∞ |x − y| ≤ kDuk∞ |x − y| folgt wegen der Stetigkeit von u
die Lipschitzbedingung durch Grenzübergang. Ist Ω ein Gebiet, so gilt die Lipschitzbedingung nur
lokal. H 1,∞ (Ω) = C 0,1 (Ω) ist nur dann richtig, wenn Ω ein Lipschitzgebiet ist. In diesem Fall gibt
es eine Konstante c und zu beliebigen Punkten x, y ∈ Ω einen Polygonzug mit Länge ≤ c|x − y|.
Durch Anwendung der Lipschitzbedingung entlang des Polygonzugs erhalten wir |u(x) − u(y)| ≤
ckDuk∞;Ω |x − y|. Damit gilt auf einem beschränkten Lipschitzgebiet H 1,∞ (Ω) = C 0,1 (Ω).
Eine lipschitzstetige Funktion u mit Lipschitzkonstante L wird fortgesetzt durch E ′ u(x) =
supy∈Ω (u(y) − L|x − y|). Für ε > 0 und geeignet gewählte y1 , y2 ∈ Ω gilt dann
R
R
R
E ′ u(x1 ) − E ′ u(x2 ) ≤ u(y1 ) − L|x1 − y1 | − u(y2 ) + L|x2 − y2 | + ε
≤ u(y1 ) − L|x1 − y1 | − u(y1 ) + L|x2 − y1 | + ε
= −L|x1 − y1 | + L|x2 − y1 | + ε ≤ L|x1 − x2 | + ε
nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
Damit ist E ′ u lipschitz.
Ist c1 ≤ u(x) ≤ c2 , so wird
©
ª
′
E u abgeschnitten durch Eu(x) = min c2 , max{c1 , E ′ u(x)} , womit kEukC 0,1 (Rn ) = kukC 0,1 (Ω) .
Interessanterweise funktioniert diese Konstruktion für beliebiges Ω. Ansonsten gehen alle Schritte
des Beweises problemlos durch.
⊓
⊔
Für 1 ≤ p < ∞ gilt auch (Lp (Ω), H m,p (Ω))θ,p = H θm,p (Ω) für 0 < θ < 1, insbesondere lassen sich
die ganzzahligen Sobolev-Räume für θ = k/m als Interpolationsräume darstellen.
Neben den tradionellen Sobolev-Räumen gibt es eine weitere wichtige Klasse von Räumen, die
in der Literatur meist etwas stiefmütterlich behandelt wird. Für s > 0 sei s = m + σ mit m ∈ 0
und 0 < σ ≤ 1. Für 1 ≤ p < ∞ definieren wir den Nikolski-Raum N s,p (Ω) als Raum der Funktionen
u ∈ H m,p (Ω) mit endlicher Norm
Z
X
|Dα u(x + y) − Dα u(x)|p
p
p
dx,
kukN s,p (Ω) = kukm,p;Ω +
sup
|y|σp
y∈Rn Ωy
N
|α|=m
wobei Ωy aus den Punkten x ∈ Ω besteht mit x, x + y ∈ Ω. Mit Satz 5.22 gilt N m+1,p (Ω) =
H m+1,p (Ω) für 1 < p < ∞. Für nichtganzzahliges s wird der Raum N s,p auch als Besov-Raum
s,p
B∞
bezeichnet.
Ist u ∈ N s,p (Ω), 0 < s < 1, 1 ≤ p < ∞, so gilt für Ω0 ⊂⊂ Ω und genügend kleine y
ku(· + y) − ukp;Ω0 ≤ c|y|s .
(6.26)
Hieraus erhalten wir die Fehlerabschätzung für den Mollifier
ku − Jε ∗ ukp;Ω0 ≤ cεs ,
(6.27)
weil wie im Beweis zuvor aus der kontinuierlichen Minkowski-Ungleichung 4.34 folgt
Z
ku−Jε ∗ ukp;Ω0 ≤ Jε (y)ku − u(· − y)kp;Ω0 dy ≤ sup ku − u(· − ykp ≤ cεs .
|y|<ε
Bei der Approximation durch den Mollifier erhalten wir damit die gleiche Konvergenzordnung wie
bei Funktionen in H s,p , der Raum N s,p ist aber größer:
Beispiel 6.48. Wir betrachten für n = 1 und Ω = (−1, 1) die Funktion u(x) = 0 für x < 0 und
u(x) = 1 für x ≥ 0. Dann gilt für y > 0
Z
1−y
−1
|u(x + y) − u(x)|2 dx = y,
daher u ∈ N 1/2,2 im Gegensatz zu u ∈
/ H 1/2,2 wie Beispiel 6.33 zeigt.
R
n
ein beschränktes Lipschitzgebiet. Dann gilt (Lp (Ω), H 1,p (Ω))s,∞ =
Satz 6.49. Sei Ω ⊂
s,p
N (Ω) für 1 ≤ p < ∞ und 0 < s < 1.
92
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
Beweis. Der Beweis des Fortsetzungssatzes 6.38 überträgt sich problemlos auf die Räume N s,p .
Ansonsten verfährt man genauso wie im Beweis von Satz 6.47.
⊓
⊔
Wegen Satz 6.44 gilt H s,p → N s,p . Umgekehrt haben wir für jedes ε > 0 die Einbettung
N → H s−ε,p wegen
Z Z
|u(x + y) − u(x)|p
p
dy dx
|u|s−ε,p;Ω =
|y|n+(s−ε)p
Ω x+y∈Ω
Z
Z
|u(x + y) − u(x)|p
|y|−n+εp dy ≤ ckukpN s,p (Ω) .
dx
≤ sup
sp
|y|
y
|y|<c
Ωy
s,p
Aufgaben
6.1. (3) Sei
Ω = {(x1 , x2 ) ∈
R
2
: 0 < x1 < 1, 0 < x2 < x21 }.
Zeigen Sie, daß die Einbettung H 1,p (Ω) → C 0 (Ω) für dieses Gebiet nicht für alle p > 2 richtig ist.
6.2. (3) Sei n = 1, Ω = (−1, 1). Sei H01,2,α (Ω) die Vervollständigung von C0∞ (Ω) bezüglich der Norm
Z 1
kuk21,2,α =
|x|α |u′ |2 dx.
−1
Dann existiert die Einbettung
H01,2,α (Ω)
0
→ C (Ω) für 0 ≤ α < 1, sie existiert nicht für α ≥ 1.
6.3. (3) a) Beweisen Sie die Einbettung H0n,1 (Ω) → C 0 (Ω), wozu der Nachweis von
kuk∞ ≤ kukn,1
R
∀u ∈ C0∞ (
n
)
ausreichend ist.
b) Skizzieren Sie auch den Beweis der Einbettung H 2,1 (Ω) → C 0 (Ω) für ein ebenes Gebiet, das die
Kegeleigenschaft besitzt.
6.4. (2) Sei Ω ein Lipschitzgebiet und 1 ≤ p < ∞. Dann ist die Norm
´1/p
`
kuk′m,p = kDm ukpp + kukpp
zur Norm in H m,p äquivalent.
Hinweis: Man verwende Satz 6.19.
6.5. (3) Zeigen Sie, daß in der Poincaré-Ungleichung
kuk2;Ω ≤ cp kDuk2;Ω
für alle u ∈ H 1,2 (Ω) mit
Z
u dx = 0
Ω
die optimale Konstante cp = cp (Ω) beliebig groß werden kann, wenn das Gebiet Ω nur vorgegebenen
Durchmesser hat. Anders ausgedrückt:
Konstruieren Sie zu k ∈ ein ebenes Gebiet Ωk ⊂ B1 (0) und eine
R
Funktion uk ∈ H 1,2 (Ωk ) mit Ω uk dx = 0 und
N
k
kuk k2;Ωk ≥ kkDuk k2;Ωk .
6.6. (3) Zeigen Sie, daß die Poincaré-Ungleichung
kuk2;Ω ≤ cp kDuk2;Ω
für Ω =
R
n
∀u ∈ H 1,2 (Ω)
nicht gilt.
N
und 1 ≤ p < ∞. Beweisen Sie:
6.7. (3) Sei m ∈
m,p
a) Zu u ∈ H
(Ω) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom p ∈ m−1 mit
Z
Z
Dα u dx =
Dα p dx ∀|α| ≤ m − 1.
P
Ω
Ω
b) Lemma (Bramble-Hilbert). Ist F ein stetiges lineares Funktional auf H m,p (Ω), also
Aufgaben
93
|F (u)| ≤ ckukm,p;Ω ,
für das zusätzlich gilt
F (p) = 0
so
∀p ∈
|F (u)| ≤ ckDm ukp;Ω
P
m−1 ,
∀u ∈ H m,p (Ω).
Hinweis: Zum Beweis von b) verwenden Sie Teil a) und die Poincaré-Ungleichung.
6.8. Sei Λ ⊂
heißt
R
n
konvex und kompakt. Für Stützpunkte“ x1 , . . . , xk ∈ Λ und Gewichte“ ω1 , . . . , ωk ∈
”
”
IΛ (u) = µ(Λ)
k
X
R
ωi u(xi )
i=1
N
Kubaturformel. IΛ heißt von der Ordnung m ∈ 0 , wenn
Z
p dx = IΛ (p) ∀p ∈
Λ
P
m.
a) (1) Man beweise, daß für beliebiges Λ die Formel
k = 1,
x1 = Schwerpunkt,
ω1 = 1,
von der Ordnung m = 1 ist.
b) (1) Ist Λ ein ebenes Dreieck, so zeige man, daß die Formel
k = 3,
xi = Eckpunkte des Dreiecks,
ωi =
1
,
3
ebenfalls von der Ordnung m = 1 ist.
c) (3) Sei Λh ein Dreieck, das in einem Kreis vom Radius h enthalten ist und einen Kreis vom Radius cR h
enthält. Man zeige, daß für eine Formel der Ordnung 1 gilt
Z
˛
˛
˛
(∗)
u dx − IΛ (u)˛ ≤ ch2 kD2 uk1;Λ ,
h
h
Λh
wobei die Konstante c von cR , aber nicht von Λh abhängt.
Hinweis und Bemerkung: Man beweise (∗) zunächst für h = 1 mit Hilfe der Sobolev-Ungleichung aus
Aufgabe 6.3b) sowie des Bramble-Hilbert-Lemmas aus Aufgabe 6.7.
Eine auf einem ebenen Polygongebiet definierte Funktion läßt sich numerisch integrieren, indem man
auf jedem Dreieck einer entsprechenden Zerlegung des Gebiets die Kubaturformel anwendet. Es gilt dann
mit (∗)
Z
X
˛
˛
˛
u dx −
IΛ (u)˛ ≤ ch2 kD2 uk1;Ω .
h
Ω
Λh
Natürlich lassen sich mit Formeln höherer Ordnung bei entsprechender Glattheit von u bessere Konvergenzordnungen erzielen.
6.9. (3) Man zeige, daß auf H0m,2 (Ω) die Norm
kuk∗m,2 =
n
`X
m
kDi,...,i
uk22
i=1
´1/2
zur k · km,2 -Norm äquivalent ist.
6.10. (4) Für Ω = B1 (0) ⊂
R
2
gilt
H01,2 (Ω) = H01,2 (Ω \ {0}).
6.11. (3) Konstruieren Sie ein u ∈ C ∞ (0, 1), so daß das Funktional
Z 1
Lu (φ) =
uφ dx, φ ∈ C0∞ (0, 1),
0
in keinem Raum H −m,2 (0, 1) liegt für alle m ∈
N.
6.12. (3) Sei γ ⊂⊂ Ω eine Linie. Für welche m = m(n) ist das Funktional
Z
Lγ (φ) =
φ dτ
im Raum H −m,2 (Ω)?
γ
94
6 Fortsetzungs- und Einbettungssätze für Sobolev-Funktionen
6.13. (3) Man stelle im Fall n = 1, Ω = (−1, 1), das Funktional δ0′ (v) = v ′ (0) durch ein u ∈ H02,2 (Ω) dar.
Z
´
`P
p 1/p
. Zeigen
6.14. (3) Sei lp ( ) der Raum der Folgen (a(i))i∈Z mit endlicher Norm kaklp (Z) =
i∈Z |a(i)|
−iθ
i
Sie, daß u genau dann im Raum (X0 , X1 )θ,p liegt, wenn a(i) = e K(u, e ) ∈ lp ( ), und daß die Norm
kaklp (Z) zur Norm in (X0 , X1 )θ,p äquivalent ist.
Z
6.15. (3) Seien X0 , X1 wie in Definition 6.43 und sei X ein Banach-Raum mit X0 ∩ X1 ⊂ X. Wir sagen,
X hat die Interpolationseigenschaft bezüglich (X0 , X1 ), wenn es ein 0 < θ < 1 gibt mit
kukX ≤ kuk1−θ
kukθ1
0
für alle u ∈ X0 ∩ X1 .
Man zeige, daß (X0 , X1 )θ,p für alle 0 < θ < 1 und 1 ≤ p ≤ ∞ die Interpolationseigenschaft besitzt.
6.16. (4) Sei φ auf dem Gebiet Ω ⊂
Funktionen u mit endlicher Norm
R
n
meßbar mit φ > 0 fast überall. L2φ (Ω) ist der Raum der meßbaren
kuk2,φ;Ω =
Man zeige, daß
(L2φ , L2ψ )θ,2
=
L2φ1−θ ψθ
“Z
Ω
für 0 < θ < 1.
”1/2
|u|2 φ dx
.
7
Elliptische Differentialgleichungen
In diesem Kapitel ist Ω immer ein beschränktes Gebiet des
reell.
Rn und alle Funktionenräume sind
7.1 Starke und schwache Lösungen der Poisson-Gleichung
Im ersten Randwertproblem der Poisson-Gleichung suchen wir eine Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω)
mit
−∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω,
(7.1)
Pn
2
wobei f, g vorgegebene Funktionen sind und ∆ = i=1 Dii den Laplace-Operator bezeichnet. Die
Lösung u muß die Differentialgleichung in jedem Punkt von Ω erfüllen und die Randwerte g stetig
annehmen. Ein solches u nennt man dann klassische Lösung.
Die Poisson-Gleichung kommt in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften in unterschiedlichen
Zusammenhängen vor. Das einfachste Beispiel ist eine Membran, die im Gebiet Ω ⊂ 2 lokalisiert
ist. u ist die Auslenkung dieser Membran, wenn eine Kraft f, z.B. die Schwerkraft, auf diese wirkt.
Die Randvorgabe u = g bedeutet, daß die Membran am Rande eingespannt ist. Ein weiteres
Beispiel ist die stationäre Temperaturverteilung u im Körper Ω, f ist eine Energiequelle und g die
vorgegebene Randtemperatur. In beiden Fällen hängt die Gleichung von einer Materialkonstanten
ab, die sich in (7.1) in der rechten Seite befindet.
Es muß nicht immer eine solche klassische Lösung von (7.1) geben. Da in dieser Problemstellung die Funktionalanalysis nicht greift, wird das Konzept der schwachen Lösung eingeführt. Sei
zunächst g = 0 auf ∂Ω, die inhomogene Randbedingung wird später behandelt. Wir multiplizieren
(7.1) mit v ∈ C0∞ (Ω) und führen eine partielle Integration durch,
R
(Du, Dv) = (f, v)
∀v ∈ C0∞ (Ω).
In dieser Darstellung braucht u nur einmal (schwach) differenzierbar zu sein. Sei f ∈ L2 (Ω). Ferner
soll sich die klassische Lösung auch im Raum H01,2 (Ω) befinden. Dann können wir das auf C0∞ (Ω)
definierte und in H 1,2 (Ω) beschränkte Funktional l(v) = (Du, Dv)−(f, v) nach Satz 2.14 eindeutig
auf H01,2 (Ω) fortsetzen. Die schwache Lösung von Problem (7.1) ist daher folgendermaßen definiert:
Gesucht ist u ∈ H01,2 (Ω) mit
(Du, Dv) = (f, v)
∀v ∈ H01,2 (Ω).
(7.2)
Liegt die schwache Lösung umgekehrt auch im Raum C 2 (Ω) ∩ C(Ω), was unter zusätzlichen Bedingungen an die Daten des Problems (rechte Seite, Rand des Gebiets) später bewiesen wird, so
ist sie auch eine klassische. Wir können nämlich in (7.2) partiell integrieren und erhalten aus dem
Fundamentallemma der Variationsrechnung gerade (7.1).
Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung wird mit dem Rieszschen Darstellungssatz
2.25 bewiesen. Da aufgrund der Poincaré-Ungleichung die Norm kD · k2 zur vollen Norm k · k1,2
äquivalent ist, kann H01,2 (Ω) auch mit dem inneren Produkt (D·, D·) versehen werden. Im Rieszschen Darstellungssatz setzen wir daher (X, (·, ·)) = (H01,2 (Ω), (D·, D·)). Ferner ist f (v) = (f, v)
ein stetiges lineares Funktional wegen f ∈ L2 und
|f (v)| ≤ kf k2 kvk2 ≤ cP kf k2 kDvk2 .
96
7 Elliptische Differentialgleichungen
Damit existiert eine eindeutige schwache Lösung, die zudem Lösung des Minimierungsproblems
Z
¡1
¢
F (v) =
|Dv|2 − f v dx → Min
Ω 2
ist. Tatsächlich werden Differentialgleichungen häufig aus solchen Variationsprinzipien“ her”
geleitet.
Legen wir als physikalisches
R
R Modell die Auslenkung einer Membran zugrunde, so ist
2
|Dv| dx/2 die innere Energie und f v dx (=Kraft×Weg) die potentielle Energie der Membran.
Wie so oft in der Physik wird der Zustand angenommen, der die Energiebilanz minimiert.
Die inhomogene Randbedingung u = g auf ∂Ω behandelt man, indem man voraussetzt, daß es
eine Funktion g̃ ∈ H 1,2 (Ω) mit Randwert g gibt. Man bestimmt u0 ∈ H01,2 (Ω) mit (Du0 , Dv) =
(f, v) − (Dg̃, Dv) für alle v ∈ H01,2 (Ω). u = u0 + g̃ ist dann die schwache Lösung des inhomogenen
Problems.
Was geschieht, wenn an einem Randstück ΓN gar keine Randbedingung gestellt wird? Im Beispiel der Membran kann man zumindest an einem Teilstück des Randes die Membran sich frei
bewegen lassen. Im Fall der Temperaturverteilung in einem Körper gibt es im Vakuum ebenfalls
keine vorgeschriebene Randbedingung. Generell reicht die Differentialgleichung als Modell bei freien
Randbedingungen nicht aus: Man benötigt ein Variationsprinzip oder die schwache Formulierung.
In dieser Hinsicht ist der schwache Lösungsbegriff adäquater zur Modellierung von Naturvorgängen
als der klassische.
Wir untersuchen den Fall, daß nur an einem Teilstück des Randes ΓD die Randbedingung u = 0
1,2
(Ω),
gestellt wird, der restliche Rand ΓN = ∂Ω \ ΓD bleibt frei. Als Grundraum wählen wir H0,Γ
D
1,2
∞
der in Abschnitt 6.7 als Abschluß von C0,ΓD (Ω) in H (Ω) definiert ist. Setzen wir nun noch
1,2
1,2
, (D·, D·)) ein Hilbert-Raum.
die Poincaré-Ungleichung 6.21 gilt, so ist (H0,Γ
voraus, daß in H0,Γ
D
D
1,2
Die zugehörige schwache Lösung u ∈ H0,ΓD mit
1,2
∀v ∈ H0,Γ
D
(Du, Dv) = (f, v)
(7.3)
ist nach dem Rieszschen Darstellungssatz eindeutig bestimmt. Wir nehmen an, daß diese Lösung
auch im Raum C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) liegt. Testen von (7.3) mit φ ∈ C0∞ liefert wieder −∆u = f in Ω.
∞
und erhalten nach partieller Integration
Nun testen wir (7.3) ein zweites Mal mit φ ∈ C0,Γ
D
Z
Ω
f φ dx =
Z
Ω
DuDφ dx = −
Z
∆uφ +
Ω
Z
νDuφ dx,
∂Ω
wobei ν = ν(x), x ∈ ∂Ω, den nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor bezeichnet. Wegen
−∆u = f gilt daher
Z
∞
νDuφ dx = 0 ∀φ ∈ C0,Γ
.
D
∂Ω
Aus einer Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung folgt auf glatten Teilstücken
von ΓN die natürliche Randbedingung Dν u = 0. Im Gegensatz zur erzwungenen“ Randbedingung
”
auf ΓD ist die natürliche Randbedingung implizit in der schwachen Formulierung enthalten und
1
kann nur unter zusätzlichen Voraussetzungen (u ∈ C (Ω), ΓN glatt) in starker Form geschrieben
werden. (7.3) ist die schwache Form des gemischten Randwertproblems der Poisson-Gleichung
−∆u = f in Ω,
u = 0 auf ΓD ,
Dν u = 0 auf ΓN .
Man bezeichnet das erste Randwertproblem auch als Dirichlet-Problem, ΓD entsprechend als
Dirichlet-Rand, das zweite Randwertproblem (ΓN = ∂Ω) heißt auch Neumann-Problem, ΓN demnach Neumann-Rand.
Das schwache Lösungskonzept ist uns bereits in Satz 6.29 begegnet. Für m = 1 wird jedes
f ∈ H −1,2 (Ω) dargestellt durch u ∈ H01,2 (Ω) mit (Du, Dv) = f (v). Damit ist −∆ : H01,2 (Ω) →
H −1,2 (Ω) ein isometrischer Isomorphismus, wenn man H01,2 mit der Norm kD · k2 versieht.
7.2 Existenz von Lösungen elliptischer Differentialgleichungen
97
7.2 Existenz von Lösungen elliptischer Differentialgleichungen
Wir betrachten den Differentialoperator
Lu = −Di (aij Dj u) + bi Di u + cu
(7.4)
mit beschränkten und meßbaren Koeffizientenfunktionen aij , bi , c. Hier und im folgenden verwenden
wir die Summenkonvention, über zweifach auftretende kleine lateinische Indizes wird von 1 bis n
summiert.
Definition 7.1. L heißt gleichmäßig elliptisch, wenn es eine Konstante λ > 0 gibt mit
λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj
∀ξ ∈
Rn .
(7.5)
Der Laplace-Operator −∆ ist offenbar gleichmäßig elliptisch. Wir ordnen dem Problem eine Bilinearform zu durch
Z
©
ª
a(u, v) =
aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv dx.
(7.6)
Ω
1,2
Wie im vorigen Abschnitt ist ΓD , ΓN eine Partition des Randes und H0,Γ
(Ω) der Abschluß von
D
1,2
1,2
∞
(Ω) gilt.
C0,ΓD (Ω) in H (Ω). Es wird vorausgesetzt, daß die Poincaré-Ungleichung 6.21 in H0,Γ
D
1,2
Gesucht ist u ∈ H0,ΓD (Ω) mit
a(u, v) = (f, v)
1,2
(Ω).
∀v ∈ H0,Γ
D
(7.7)
Bei einer klassischen Lösung und genügend glatten Daten entspricht dies dem Randwertproblem
Lu = f in Ω,
u = 0 auf ΓD ,
νi aij Dj u = 0 auf ΓN .
Es hat sich aber eingebürgert, auch im Fall unstetiger aij die Gleichung in dieser Form zu schreiben,
manchmal mit dem Zusatz in schwacher Form“.
”
Wir wollen (7.7) mit Hilfe des Satzes von Lax-Milgram 2.29 lösen und verwenden ihn in folgender
Form: Ist (X, (·, ·)) ein reeller Hilbert Raum und a(·, ·) eine beschränkte und koerzive Bilinearform
auf X, so gibt es zu jedem f ∈ X ′ ein eindeutiges u ∈ X mit
∀v ∈ X.
a(u, v) = f (v)
Ferner gilt die Abschätzung kuk ≤ ckf k mit c unabhängig von f .
1,2
(Ω), versehen mit dem Skalarprodukt von
Wir setzen in der abstrakten Theorie X = H0,Γ
D
1,2
H (Ω),
(u, v)1 = (u, v) + (Du, Dv),
sowie f (v) = (f, v). Um die Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram zu erfüllen, ist folgendes
zu zeigen:
1,2
(Ω),
1. (f, ·) ist ein stetiges lineares Funktional auf H0,Γ
D
2. Die Bilinearform a(·, ·) ist beschränkt und koerziv, d.h. es gibt positive Konstanten cb , ce mit
|a(u, v)| ≤ cb kuk1,2 kvk1,2
ce kuk21,2 ≤ a(u, u)
1,2
∀u, v ∈ H0,Γ
(Ω),
D
1,2
(Ω).
∀u ∈ H0,Γ
D
(f, ·) ist für f ∈ L2 (Ω) ein stetiges lineares Funktional wegen der Cauchy-Ungleichung
|(f, v)| ≤ kf k2 kvk2 ≤ kf k2 kvk1,2 .
Die Beschränktheit der Bilinearform a(·, ·) folgt aus der Beschränktheit der Koeffizientenfunktionen,
Z
ª
©
|a(u, v)| ≤
|aij Dj uDi v| + |bi Di uv| + |cuv| dx
Ω
2
≤ n max kaij k∞ kDuk2 kDvk2 + n max kbi k∞ kDuk2 kvk2 + kck∞ kuk2 kvk2
i,j≤n
≤ c kuk1,2 kvk1,2 .
i≤n
98
7 Elliptische Differentialgleichungen
Offenbar können die Bedingungen an bi , c noch abgeschwächt werden, wenn man die SobolevUngleichung, Satz 6.11, für u und v anwendet (siehe Aufgabe 7.4).
Zum Nachweis der Koerzivität der Form a(·, ·) setzen wir in der Definition der Elliptizität
ξ = Du und erhalten nach Integration
Z
2
λkDuk2 ≤
aij Dj uDi u dx.
(7.8)
Ω
Nach den bisherigen Voraussetzungen ist aij Dj uDi v der einzige definite“ Term der Differential”
gleichung. Der Nachweis der Koerzivität kann nur gelingen, wenn die Koeffizientenfunktionen bi , c
genügend klein sind oder eine Vorzeichenbedingung erfüllen.
Mit (7.8) und der Poincaré-Ungleichung 6.21 erhalten wir bei kleinen Koeffizienten
Z
©
ª
a(u, u) ≥ λkDuk22 +
bi Di uu + cu2 dx
Ω
≥ λkDuk22 − n max kbi k∞ kDuk2 kuk2 − kck∞ kuk22
i≤n
≥ λkDuk22 − ncP max kbi k∞ kDuk22 − c2P kck∞ kDuk22 .
i≤n
Wenn also
ncP max kbi k∞ + c2P kck∞ < λ,
i≤n
so ist die Form a(·, ·) koerziv. Statt (7.9) kann man auch die Bedingung
Z n
o
1
1,1
(Ω) mit v ≥ 0,
bi Di v + cv dx ≥ 0 für alle v ∈ H0,Γ
D
Ω 2
(7.9)
(7.10)
verwenden. Im Fall ΓD = ∂Ω und glatten bi ist dies äquivalent zu − 21 Di bi + c ≥ 0. Es gilt dann
Z n
o
1
2
bi Di (u)2 + cu2 dx ≥ λkDuk22 .
a(u, u) ≥ λkDuk2 +
2
Ω
Insgesamt haben wir bewiesen:
1,2
(Ω) sei die Poincaré-Ungleichung 6.21 erfüllt. Ferner sei f ∈ L2 (Ω) und der
Satz 7.2. In H0,Γ
D
Operator L gleichmäßig elliptisch mit beschränkten Koeffizienten. Ist eine der Bedingungen (7.9)
oder (7.10) erfüllt, so besitzt die schwache Formulierung (7.7) genau eine Lösung.
Natürlich kann man im Falle der Bedingung (7.9) sorgfältiger abschätzen, ebenso kann (7.10) abgeschwächt werden, aber eine Bedingung an c ist wirklich erforderlich, wie schon der eindimensionale
Fall −u′′ − u = 0 in (0, π), u(0) = u(π) = 0, mit Lösung u(x) = c sin x zeigt. Dagegen wird eine
Kleinheitsbedingung an bi oder eine Vorzeichenbedingung an Di bi zwar in vielen Arbeiten verlangt,
sie ist aber bei glatten Daten unnötig.
Im Spezialfall bi = 0, aij = aji und c ≥ 0 kann man den Existenzbeweis auch mit dem
Rieszschen Darstellungssatz führen, denn dann gilt a(u, v) = a(v, u) und a(·, ·) ist ein zu (·, ·)1
1,2
(Ω). Die Lösung läßt sich hier variationell charakterisieren
äquivalentes Skalarprodukt auf H0,Γ
D
durch
Z
©
ª
1,2
(Ω).
aij Dj vDi v + cv 2 − 2f v dx → Min in H0,Γ
F (v) =
D
Ω
7.3 Die Differenzenquotienten-Technik
In diesem Abschnitt studieren wir die schwachen Lösungen u ∈ H01,2 (Ω) von
a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H01,2 (Ω)
mit der Bilinearform a(·, ·) wie in (7.6).
(7.11)
Satz 7.3 (Innere Regularität). Der Operator L in (7.4) sei gleichmäßig elliptisch und für die
Koeffizienten gelte aij ∈ C 1 (Ω), bi , c ∈ L∞ (Ω). Ferner sei u ∈ H01,2 (Ω) eine Lösung von (7.11).
Dann ist u ∈ H 2,2 (Ω0 ) für jedes Ω0 ⊂⊂ Ω und
¡
¢
(7.12)
kuk2,2;Ω0 ≤ c kf k2;Ω + kuk1,2;Ω .
7.3 Die Differenzenquotienten-Technik
99
Beweis. Für den Hauptteil von a
a0 (u, v) =
Z
aij Dj uDi v dx
Ω
gilt
a0 (u, v) = (g, v)
∀v ∈ H01,2 (Ω)
(7.13)
mit
g = f − bi Di u − cu ∈ L2 (Ω),
kgk2;Ω ≤ kf k2;Ω + ckuk1,2;Ω .
Wir verwenden den vorwärts- und rückwärtsgenommenen Differenzenquotienten Dk+h , Dk−h aus
Abschnitt 5.5. Für eine Abschneidefunktion τ ∈ C0∞ (Ω) mit τ = 1 in Ω0 , Ω1 = supp(τ ) ⊂⊂ Ω,
setzen wir v = Dk−h (τ 2 Dk+h u) ∈ H01,2 (Ω) in (7.13) ein und erhalten mit partieller Summation,
Lemma 5.21,
Z
Dk+h (aij Dj u)Di (τ 2 Dk+h u) dx = −(g, Dk−h (τ 2 Dk+h u)).
Ω
Mit der Produktregel und ihrem diskreten Gegenstück,
Dk+h (vw)(x) = v(x + hek )Dk+h w(x) + Dk+h v(x)w(x),
das man leicht nachrechnet, sowie kaij k1,∞;Ω1 ≤ c folgt
Z
aij (x + hek )Dk+h Dj uτ 2 Dk+h Di u dx
Ω
¡
¢ ¡
¢
= − g, Dk−h (τ 2 Dk+h u) − Dk+ aij Dj u, Di (τ 2 Dk+h u)
¢
¡
− 2 aij (· + hek )Dk+h Dj uτ, Di τ Dk+h u
≤ kgk2 kDk−h (τ 2 Dk+h u)k2 + ckDuk2 kD(τ 2 Dk+h u)k2
+ ckτ Dk+h Duk2 kDτ Dk+h uk2 .
Mit kDk±h vk2;Ω1 ≤ kDk vk2 aus Lemma 5.22(a) sowie kDτ k∞ ≤ c, τ ≤ 1 und der Youngschen
Ungleichung erhalten wir
Z
aij (x + hek )Dk+h Dj uτ 2 Dk+h Di u dx
Ω
¡
¢
≤ kgk2 kDk (τ 2 Dk+h u)k2 + ckDuk2 kDk uk2 + kτ DDk+h uk2
+ ckτ Dk+h Duk2 kDk uk2
¢ λ
¡
≤ c(λ) kf k22 + kuk21,2 + kτ DDk+h uk22 .
2
Auf die linke Seite wird die gleichmäßige Elliptizität mit ξi = Dk+h Di u angewendet,
Z
¢
¡
λ
τ 2 |Dk+h Du|2 dx ≤ c kf k22 + kuk21,2 .
2 Ω
Die Behauptung folgt aus Satz 5.22(b).
⊓
⊔
Satz 7.3 gilt zwar für beliebiges Ω0 ⊂⊂ Ω, aber die Konstante c in (7.12) hängt vom Abstand
zwischen Ω0 und dem Rande von Ω ab. Der Satz stellt also nur ein lokales Resultat dar.
Um Regularität bis zum Rande zu beweisen, wird ∂Ω ∈ C 2 vorausgesetzt. Die Beweisidee ist
dann, den Rand lokal gerade zu biegen und anschließend ähnlich zu verfahren wie beim Beweis
der inneren Regularität. Als kleine Vorüberlegung weisen wir die Elliptizität der transformierten
Gleichung nach. Seien U, V Gebiete und sei g : U → V ein C 2 -Diffeomorphismus, also g ∈ C 2 (U )n
mit g bijektiv und det Dg 6= 0 in U . Für u ∈ H 1,2 (U ) setzen wir u(x) = ũ(g(x)) und erhalten nach
der Kettenregel mit y = g(x) und gk,i = Dxi gk ,
Dxi u(x) = Dyk ũ(y)gk,i (x).
100
7 Elliptische Differentialgleichungen
Die Terme niederer Ordnung gehen daher in Terme niederer Ordnung über. Der Hauptteil der
Bilinearform transformiert sich mit
Z
Z
aij Dj uDi v dx =
aij Dl ũgl,j Dk ṽgk,i | det Dg −1 | dy,
U
V
daher
ãlk = aij gk,i gl,j | det Dg −1 |
mit
ãlk ξl ξk ≥ λ | det Dg −1 | |Dg T ξ|2 ≥ λ̃|ξ|2 ,
da Dg gleichmäßig regulär ist. Halten wir also fest: Ist g ∈ C 2 (U )n ein Diffeomorphismus, so
transformiert sich ein elliptischer Operator zweiter Ordnung in einen elliptischen Operator zweiter
Ordnung. Ist aij ∈ C 1 , so ist auch ãkl ∈ C 1 .
Satz 7.4 (Regularität bis zum Rande). Seien die Voraussetzungen von Satz 7.3 erfüllt. Zusätzlich sei aij ∈ C 1 (Ω) und ∂Ω ∈ C 2 . Dann ist jede schwache Lösung u von (7.11) im Raum H 2,2 (Ω)
mit
¡
¢
kuk2,2;Ω ≤ c kf k2;Ω + kuk1,2;Ω .
Beweis. Sei U eine der Mengen U1 , . . . , UJ aus der Definition des C 2 -Randes wie in Satz 6.3(b).
Dann gibt es einen Diffeomorphismus g : U → B1 (0) mit g ∈ C 2 (U )n und g|U ∩Ω = B1+ (0),
wobei B1+ (0) die obere Halbkugel von B1 (0) bezeichnet. Die bezüglich g transformierte Lösung
ũ(y) = u(g −1 (y)) und der transformierte Operator L̃ sind auf der oberen Halbkugel definiert. Für
beliebiges 0 < α < 1 gibt es eine Abschneidefunktion τ bezüglich (Bα (0), B1 (0)). Da ũ = 0 für
yn = 0, können wir einen Differenzenquotienten der Form ṽ = Dk− (τ 2 Dk+h ũ) ∈ H01,2 (B1+ (0)) für
k 6= n in die schwache Formulierung einsetzen. Genauso wie im Beweis der inneren Regularität
2
kontrollieren wir damit alle Ableitungen Dkl
ũ für (k, l) 6= (n, n). Aufgrund der Elliptizität gilt
ãnn ≥ λ̃, so daß
´
1 ³ X
2
2
ãkl Dkl
ũ + a′ (ũ, Dũ) ∈ L2 (B1+ (0)),
Dnn
ũ = −
ãnn
(k,l)6=(n,n)
wobei a′ die Terme niederer Ordnung enthält. Damit ist ũ ∈ H 2,2 (Bα+ (0)) und damit auch u ∈
H 2,2 (Ω) gezeigt.
⊓
⊔
Mit dieser Technik lassen sich unter entsprechenden Voraussetzungen nichtlineare Gleichungen,
Probleme mit Nebenbedingungen, Systeme und Gleichungen höherer Ordnung behandeln. Vor
2
u, wird in
allem der letzte Beweisschritt, also die Auflösung der Differentialgleichung nach Dnn
vielen Fällen scheitern. Man kann diesen Schritt häufig durch ein Fortsetzungsargument ersetzen,
wie es im Falle von Gleichungen höherer Ordnung in [Agm65] dargestellt ist.
Mit gleichem Beweis erhalten wir für ∂Ω ∈ C m , aij ∈ C m−1 (Ω), bi , c ∈ C m−2 (Ω), daß
u ∈ H m,2 (Ω) mit
¡
¢
kukm,2 ≤ c kf km−2,2 + kuk1,2 , m ≥ 2.
Die Voraussetzungen an die Koeffizienten können noch etwas abgeschwächt werden. Aufgrund des
Einbettungssatzes 6.25 sind die Lösungen elliptischer Gleichungen bei genügend glatten Daten
auch klassische Lösungen, bei Daten in C ∞ ist auch die Lösung in C ∞ .
Aus dem Beweis von Satz 7.4 geht hervor, daß Regularität eine lokale Eigenschaft ist. Ist ein
Teilstück Γ des Randes glatt, so ist die Lösung in Umgebung eines jeden Γ0 ⊂⊂ Γ regulär.
Beim reinen Neumann-Problem ΓN = ∂Ω wird die H 2,2 -Regularität genauso bewiesen. Dagegen sind beim gemischten Randwertproblem auch bei glatten Rändern keine Lösungen in H 2,2 (Ω)
zu erwarten. Als Beispiel betrachten wir die Funktion u(r, φ) = r1/2 cos(φ/2) auf der oberen Halb2
ebene. Wegen ∆ = r−1 Dr (rDr ) + r−2 Dφφ
gilt ∆u = 0. Im Nullpunkt wechselt die Randbedingung
von Dirichlet (x1 < 0) zu Neumann (x1 > 0).
Beispiel 7.5. Seien Ω0 , Ω glatt berandete Gebiete mit Ω0 ⊂⊂ Ω und sei Ω1 = Ω \ Ω 0 . Wir
betrachten −div (a(x)Du) = f in schwacher Form mit a(x) = a0 in Ω0 und a(x) = a1 in
Ω1 mit positiven Konstanten a0 , a1 . Obwohl der Koeffizient a unstetig ist, erhält man mit der
Differenzenquotienten-Technik ein vollständiges Bild von den Differenzierbarkeitseigenschaften der
Lösung. Zunächst beweist man die innere Regularität in Ω0 und Ω1 . Ferner läßt¯ sich der innere
Rand ∂Ω0 genauso behandeln wie im Nachweis der Randregularität, dies liefert u¯Ω ∈ H m,2 (Ω0 ),
0
7.4 Maximumprinzipien
101
¯
u¯Ω ∈ H m,2 (Ω1 ), wobei m von den Daten abhängt. Sei m so groß, daß nach dem Einbettungssatz
1
¯
¯
6.25 auch u¯Ω ∈ C 1 (Ω 0 ), u¯Ω ∈ C 1 (Ω 1 ) erfüllt ist. Dann folgt für φ ∈ C0∞ (Ω) aus der schwachen
0
1
Gleichung mit partieller Integration
Z
Z
a1 DuDφ dx
a0 DuDφ dx +
(f, φ) =
Ω1
Ω0
=−
Z
a∆uφ dx +
Ω
Z
a0 νDuφ dσ +
∂Ω0
Z
a1 νDuφ dσ.
∂Ω1
Wegen −a∆u = f und ν(∂Ω0 ) = −ν(∂Ω1 ) auf ∂Ω0 folgt hieraus wie bei der Herleitung der
natürlichen Randbedingung die Sprungbedingung
a0 Dν u0 = a1 Dν u1 auf ∂Ω0 ,
wobei mit Dui die Randwerte von Du auf Ωi bezeichnet werden. Man beachte, daß die Glattheit
des inneren Randes wesentlich für die ganze Argumentation¯ ist. Besitzt er beispielsweise Knicke,
so versagt die Technik und es läßt sich zeigen, daß schon u¯Ω ∈ H 2,2 (Ω0 ) i.a. nicht mehr erfüllt
0
ist.
7.4 Maximumprinzipien
Wir kehren zum Operator (7.4) mit Bilinearform
Z
©
ª
a(u, v) =
aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv dx.
(7.14)
Ω
zurück.
Satz 7.6 (Inversmonotonie für schwache Lösungen). Sei ΓD ⊂ ∂Ω. Ferner sei für die
1,2
(Ω) erfüllt
Bilinearform in (7.14) die Bedingung a(u, u) ≥ µkuk21,2 , µ > 0, für alle u ∈ H0,Γ
D
1,2
(siehe Satz 7.2). Wenn für u ∈ H (Ω) gilt u ≥ 0 in ΓD sowie
a(u, v) ≥ 0
1,2
(Ω) mit v ≥ 0 in Ω,
für alle v ∈ H0,Γ
D
(7.15)
so folgt u ≥ 0 in Ω.
Anmerkungen 7.7 (i) Man schreibt dafür salopp
Lu ≥ 0 in Ω, u ≥ 0 auf ΓD
⇒
u ≥ 0 in Ω.
(ii) Bei allen Sätzen dieses Typs erhält man eine Aussage für Lu ≤ 0, wenn man u durch −u
ersetzt, in diesem Fall
Lu ≤ 0 in Ω, u ≤ 0 auf ΓD
⇒
u ≤ 0 in Ω.
1,2
(Ω)
Beweis. Sei u− = min{u, 0} der negative Anteil von u. Nach Satz 5.20 ist dann u− ∈ H0,Γ
D
mit Du− = 0 für {x : u(x) ≥ 0}. Wir setzen daher v = −u− in a(u, v) ≥ 0 ein,
Z
©
ª
0 ≥ a(u, u− ) =
aij Dj uDi u− + bi Di uu− + cuu− dx
Ω
=
Z
Ω
©
daher u− = 0 in Ω.
ª
aij Dj u− Di u− + bi Di u− u− + cu− u− dx = a(u− , u− ) ≥ µku− k21,2 ,
⊓
⊔
Satz 7.8 (Maximumprinzip für schwache Lösungen). Zusätzlich zu den Voraussetzungen von
Satz 7.6 sei c = 0 erfüllt. Gilt für u ∈ H 1,2 (Ω) die Bedingung (7.15), so
inf u ≥ inf u.
Ω
ΓD
102
7 Elliptische Differentialgleichungen
Beweis. Man verwende im Beweis des letzten Satzes die Funktion v = −(u − inf ΓD u)− .
⊓
⊔
Wir gehen zu klassischen Lösungen über und betrachten den Operator
2
Lu = −aij (x)Dij
u + bi (x)Di u + c(x)u,
(7.16)
unter der Voraussetzung aij = aji , was wegen des Satzes von Schwarz keine Einschränkung bedeutet. Wie bereits in Abschnitt 7.1 ausgeführt wurde, gibt die Differentialgleichung keine Hinweise
auf die natürliche Randbedingung, so daß hier nur das Dirichlet-Problem ΓD = ∂Ω gestellt wird.
Definition 7.9. L heißt elliptisch in x ∈ Ω, wenn es ein λ(x) > 0 gibt mit
λ(x)|ξ|2 ≤ aij (x)ξi ξj
∀ξ ∈
Rn ,
Ist λ(x) > 0 für alle x ∈ Ω, so heißt L elliptisch in Ω.
Anmerkung 7.10. Man bezeichnet L in (7.4) als Operator in Divergenzform, weil sich der Hauptteil als div (ADu) schreiben läßt mit A = (aij ), währenddessen L in (7.16) in expliziter Form
vorliegt. Beide Formen sind nur bei glatten aij äquivalent, aber auch dann können die Voraussetzungen für das Maximumprinzip für schwache Lösungen nicht mit denen für das folgende klassische
Maximumprinzip in Einklang gebracht werden.
Satz 7.11 (Maximumprinzip für klassische Lösungen). Der Operator L in (7.16) sei elliptisch in Ω mit c = 0. Ferner gebe es eine Konstante b0 mit
|bj (x)|
≤ b0 ,
λ(x)
für ein j ∈ {1, . . . , n},
x ∈ Ω.
(7.17)
Dann wird für u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) mit
Lu ≥ 0
in Ω
das Minimum auf ∂Ω angenommen, also
inf u = min u.
Ω
∂Ω
Beweis. Sei zunächst Lu > 0. Angenommen, u besitzt ein Minimum in x0 ∈ Ω. Dann gilt
Di u(x0 ) = 0 und die Hesse-Matrix im Punkt x0
2
H = (Dij
u(x0 ))i,j=1,...,n
ist positiv-semidefinit. Mit A = (aij (x0 ))i,j=1,...,n gilt
2
spur (AH)) = spur (aij hjk )i,k=1,...,n = aij hji = aij (x0 )Dij
u(x0 ).
Da A positiv-definit und H positiv-semidefinit ist, ist −AH zu einer negativ-semidefiniten Matrix
ähnlich und
2
−aij (x0 )Dij
u(x0 ) = spur (−AH) ≤ 0.
Daher gilt Lu(x0 ) ≤ 0, was einen Widerspruch zu Lu > 0 in Ω bedeutet.
Sei nun Lu ≥ 0. Dann ist wegen ajj ≥ λ, |bj | ≤ b0 λ,
L(−eγxj ) = (γ 2 ajj − γbj )eγxj ≥ (λγ 2 − b0 λγ)eγxj > 0
für γ genügend groß.
Damit ist L(u − εeγxj ) > 0 in Ω und nach dem 1. Schritt
inf (u − εeγxj ) = min(u − εeγxj ) ∀ε > 0.
Ω
∂Ω
Die Behauptung folgt durch Grenzübergang ε → 0.
⊓
⊔
Korollar 7.12. Sei L elliptisch in Ω und die Bedingung (7.17) sei erfüllt. Ferner sei c ≥ 0. Dann
gilt für u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) mit Lu ≥ 0
©
ª
inf u ≥ min min u, 0 .
Ω
∂Ω
7.4 Maximumprinzipien
103
Beweis. Aus Lu ≥ 0 folgt
2
−aij Dij
u + bi Di u ≥ −cu ≥ 0 in Ω − = {x ∈ Ω : u(x) < 0}.
Damit kann das Maximumprinzip in Ω − angewendet werden.
⊓
⊔
Korollar 7.13 (Inversmonotonie für klassische Lösungen). Seien die Voraussetzungen des
letzten Korollars erfüllt. Dann gilt für u ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω)
Lu ≥ 0 in Ω, u ≥ 0 auf ∂Ω
⇒
u ≥ 0 in Ω.
Als Beispiel, daß eine Bedingung an die Koeffizienten niederer Ordnung im schwachen wie im
klassischen Maximumprinzip notwendig ist, kann wieder Lu = −u′′ − u = 0 in (0, π) mit Lösung
u = sin x genommen werden.
Das klassische Maximumprinzip ist bei unbeschränktem Grundgebiet i.a. nicht erfüllt, während
der Beweis des schwachen Maximumprinzips durchgeht.
Die Inversmonotonie, ob klassisch oder schwach, sichert die Eindeutigkeit für das jeweilige
Lösungskonzept, denn wenn Lu1 = Lu2 = f, so gilt L(u1 − u2 ) = 0 und damit u1 = u2 .
Beispiel 7.14. Ausnahmsweise soll hier ein etwas aufwendigeres Beispiel besprochen werden, um
die Kraft des scheinbar harmlosen Maximumprinzips zu illustrieren. u = (u1 , u2 , u3 ) sei die Geschwindigkeit eines stationären Gases mit Dichte ρ. Wir nehmen an, daß für das Gas keine Quellen
und Senken vorliegen, es gilt dann die Masseerhaltung
Z
ν · (ρu) dσ = 0 ∀Ω0 ⊂ Ω.
∂Ω0
Mit dem Divergenztheorem folgt hieraus div (ρu) = 0 in Ω.
Für die Temperatur T in diesem Gas gilt
¡
¢
¡
¢
−div k(T )DT + div ρucp (T )T = 0.
(7.18)
Diese Differentialgleichung setzt sich zusammen aus einem Diffusionsterm mit Wärmeleitfähigkeit
k(T ) > 0 und einem Transportterm mit der spezifischen Wärme cp (T ) ≥ 0.
Es gilt nun
inf T ≤ T ≤ sup T,
∂Ω
∂Ω
denn die Gleichung (7.18) ergibt wegen div (ρu) = 0
−k(T )∆T − k ′ (T )|DT |2 + ρu · (c′p (T )T DT + cp (T )DT ) = 0.
Mit
aii = k(T ) > 0, i = 1, 2, 3,
′
bi = −k (T )Di T +
ρui (c′p (T )T
aij = 0, i 6= j
+ cp (T )), i = 1, 2, 3,
c = 0,
sind die Voraussetzungen des klassischen Maximumprinzips erfüllt. Auf diese Weise wird überprüft,
ob das Modell sinnvoll gewählt ist, denn wenn die Reibung des Gases nicht berücksichtigt wird, so
wird die Temperatur nur durch Diffusion und Transport gesteuert, beides sollte keine Extrema im
Inneren des Gebiets aufbauen.
Für gleichmäßig elliptische Operatoren läßt sich das Maximumprinzip noch verschärfen.
Satz 7.15 (Starkes Maximumprinzip für klassische Lösungen). Sei L in (7.16) gleichmäßig
elliptisch mit c = 0. Für u ∈ C 2 (Ω) sei Lu ≥ 0 erfüllt. Wenn u das Minimum im Inneren von Ω
annimmt, so ist u konstant.
⊓
⊔
Beweis. siehe Übungsaufgabe 7.15.
Man kann das starke Maximumprinzip so anwenden: Gilt Lu ≥ 0 in Ω, u = 0 auf ∂Ω und ist
u 6= 0, so folgt u > 0 in Ω.
Ist ein Operator inversmonoton, so gilt auch ein Vergleichsprinzip :
Lu ≤ Lv in Ω, u ≤ v auf ΓD
⇒
u ≤ v in Ω.
104
7 Elliptische Differentialgleichungen
Beispiel 7.16. Hier wollen wir das Verhalten der Lösungen von −∆u = f in Umgebung einer Ecke
studieren. Wir nehmen an, unser Grundgebiet enthalte den
Kegel mit Öffnung 0 < ω ≤ 2π
Γs
Ωω = {(r, φ) : 0 < r < 1, 0 < φ < ω},
R
wobei (r, φ) die Polarkoordinaten des 2 sind. Der Rand
von Ωω setzt sich zusammen aus den Schenkeln Γs und
dem Bogen Γb . Wir betrachten
−∆u = 0 in Ωω ,
u = 0 auf Γs ,
Γb
ω
Γs
u = g auf Γb ,
(7.19)
und setzen g als glatt auf Γb voraus mit g(0) = g(ω) = 0
Die Funktion
π
v(r, φ) = rπ/ω sin φ
ω
erfüllt −∆v = 0 in Ωω wegen
1 2
1
v.
−∆v = − Dr (rDr v) − 2 Dφφ
r
r
Ferner gilt v = 0 auf Γs . Da für glattes g wegen g(0) = g(ω) = 0
|g(φ)| ≤ c sin
π
φ
ω
erfüllt ist, können wir ±cv als Vergleichsfunktion nehmen und erhalten,
π
|u(r, φ)| ≤ cr ω sin
π
φ
ω
für jede Lösung u ∈ C 2 (Ωω ) ∩ C 0 (Ω ω ) von (7.19).
Ist zusätzlich g > 0 auf Γb erfüllt mit g ′ (0), g ′ (ω) 6= 0, so gilt für genügend kleines m > 0
m sin
also
mrπ/ω sin
π
φ ≤ g(φ),
ω
π
π
φ ≤ u(r, φ) ≤ crπ/ω sin φ.
ω
ω
In diesem Fall ist die Lösung nicht regulär, insbesondere u ∈
/ C 1 (Ω ω ), falls ω > π.
Ist Ωω Teil eines größeren¯ Gebiets Ω und gilt −∆u ≥ 0 in Ω, so folgt aus dem starken Maximumprinzip bereits g = u¯Γ > 0 sowie g ′ (0), g ′ (ω) 6= 0 (siehe Aufgabe 7.14). Nichtreguläre
b
Lösungen sind bei einspringenden Ecken daher die Regel.
7.5 Die Verfahren von Ritz und Galerkin
Auf einem Hilbert-Raum X mit Produkt a(·, ·) betrachten wir für f ∈ X ′
F (v) =
1
a(v, v) − f (v) → Min in X.
2
(7.20)
Nach dem Rieszschen Darstellungssatz 2.25 besitzt dieses Problem eine eindeutig bestimmte Lösung
u ∈ X, die außerdem die Variationsgleichung
a(u, v) = f (v) ∀v ∈ X
(7.21)
löst.
Um die Probleme (7.20),(7.21) mit einem Verfahren zu approximieren, setzen wir X als separablen Hilbert-Raum voraus. Dann gibt es endlich dimensionale Unterräume X1 , X2 , . . . ⊂ X mit
dim Xk = k, die die folgende Eigenschaft besitzen: Zu jedem v ∈ X und ε > 0 gibt es ein K ∈
und wk ∈ Xk mit
kv − wk kX ≤ ε ∀k ≥ K.
(7.22)
N
Es wird dabei nicht verlangt, daß es eine Inklusion der Form Xk ⊂ Xk+1 gibt.
7.5 Die Verfahren von Ritz und Galerkin
105
Die Ritz-Approximation von (7.20),(7.21) ist definiert durch:
Gesucht ist Pk u ∈ Xk mit
a(Pk u, vk ) = f (vk )
für alle vk ∈ Xk .
(7.23)
Aus der Differenz der Gleichungen (7.21) und (7.23) erhalten wir die Orthogonalitätsrelation
a(u − Pk u, vk ) = 0
∀vk ∈ Xk ,
was nichts anderes besagt als u − Pk u ⊥ Xk . Demnach ist Pk u die aus Satz 2.27 wohlbekannte
orthogonale Projektion von u in den Raum Xk . Insbesondere ist Pk u die Bestapproximierende
ku − Pk ukX = inf ku − vk kX ,
vk ∈Xk
(7.24)
was durch
ku − Pk uk2X = a(u − Pk u, u − Pk u) = a(u − Pk u, u − vk ) ≤ ku − Pk ukX ku − vk kX
bewiesen wird. Mit Bedingung (7.22) und Gleichung (7.24) folgt die Konvergenz des Ritzschen
Verfahrens Pk u → u für k → ∞. Ferner ist Pk u auch die Lösung des Minimierungsproblems (7.20)
in Xk , denn Xk ist ebenfalls Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt a(·, ·).
Für die Berechnung der Pk u verwenden wir eine beliebige Basis {φi }i=1,...,k des Raums Xk .
Pk
Mit Pk u = j=1 xj φj und den Testfunktionen vk = φi in (7.23) erhalten wir
k
X
a(xj φj , φi ) = f (φi ),
i = 1, . . . , k,
j=1
was äquivalent zur Lösung des linearen Gleichungssystems
Ax = b,
A = (a(φj , φi ))i,j=1,...,k ,
b = (f (φi ))i=1,...,k ,
ist. Wie in Beispiel 2.24 ist die Matrix A symmetrisch und positiv definit. Es dürfte klar sein,
daß das Ritzsche Verfahren mehr ein Schema als ein Verfahren ist, weil die Ansatzräume Xk nicht
näher spezifiziert sind.
Ist a(·, ·) nur eine beschränkte und koerzive Bilinearform auf X, so ist das Problem
a(u, v) = f (v)
∀v ∈ X
nach dem Satz von Lax-Milgram 2.29 ebenfalls eindeutig lösbar, allerdings gibt es keine variationelle
Charakterisierung wie im symmetrischen Fall. Für endlich dimensionale Unterräume Xk ist die
Lösung Pk u ∈ Xk des Galerkin-Verfahrens (eigentlich Galjorkin“) definiert durch
”
a(Pk u, vk ) = f (vk ) ∀vk ∈ Xk .
Existenz und Eindeutigkeit folgen wieder aus dem Satz von Lax-Milgram. Entwickelt man Pk u
nach einer Basis des Raumes Xk , so löst der Koeffizientenvektor das Gleichungssystem Ax = b mit
einer nun nicht mehr notwendig symmetrischen Matrix A. Da wir im vorliegenden reellen Fall für
die Bilinearform a(u, u) > 0 für u 6= 0 annehmen können, gilt (Ax, x) > 0 für x 6= 0. Das GalerkinVerfahren ist keine orthogonale Projektion, es gilt aber a(u − Pk u, vk ) = 0 für alle vk ∈ Xk und
damit
ce ku − Pk uk2X ≤ a(u − Pk u, u − Pk uk ) = a(u − Pk u, u − vk )
≤ cb ku − Pk ukX ku − vk kX ,
also
ku − Pk ukX ≤
was auch Ceas Lemma genannt wird.
cb
inf ku − vk kX ,
ce vk ∈Xk
(7.25)
106
7 Elliptische Differentialgleichungen
7.6 Finite Elemente
Wir kehren zur konkreten Bilinearform
a(u, v) =
Z
aij Dj uDi v dx
Ω
zurück. Ω ist im folgenden ein ebenes Gebiet und die aij ∈ L∞ (Ω) seien gleichmäßig elliptisch,
λ|ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ Λ|ξ|2
∀ξ ∈
R2 .
(7.26)
Für f ∈ L2 (Ω) existiert dann die schwache Lösung u ∈ H01,2 (Ω) von
a(u, v) = (f, v) ∀v ∈ H01,2 (Ω)
(7.27)
nach Satz 7.2. Das Finite Elemente Verfahren zur Approximation von (7.27) ist das GalerkinVerfahren mit stückweise polynomialen Ansatzfunktionen, eben den Finiten Elementen, von denen
die einfachste Variante im folgenden besprochen wird.
Dazu wird Ω in abgeschlossene Dreiecke {Λ} unterteilt, Ω h = ∪Λ, so daß die folgende Bedingung
an die Unterteilung und an die Dreiecke erfüllt ist:
Bedingung R: Der Durchschnitt zweier Dreiecke ist leer
oder besteht aus einer gemeinsamen Kante oder einem gemeinsamen Eckpunkt. Die Eckpunkte auf ∂Ωh sind in ∂Ω
enthalten. Jedes Dreieck Λ enthält einen Kreis vom Radius c−1
R h und ist in einem Kreis vom Radius cR h enthalten,
wobei die Konstante cR unabhängig von der Schrittweite
h ist.
Diese Bedingung schließt Degenerierungen der Dreiecke für h → 0 aus, insbesondere sind die
Innenwinkel der Dreiecke nach unten beschränkt durch ein α > 0 und nach oben durch ein β < π.
Für konvexes Ω gilt offenbar Ωh ⊂ Ω. In all unseren Abschätzungen darf die generische Konstante c von cR , aber nicht vom Diskretisierungsparameter h abhängen.
Der einfachste Finite Elemente Raum ist definiert durch
n
o
S0 = vh ∈ C(Ω h ) : vh |Λ ist linear und vh |∂Ωh = 0 .
(7.28)
Wir setzen zunächst Ω = Ωh voraus, was man für jedes polygonale Gebiet Ω erreichen kann. Der
allgemeine Fall wird später behandelt. Die Finite Elemente Approximation von (7.27) ist definiert
durch: Gesucht ist Ph u ∈ S0 mit
a(Ph u, vh ) = (f, vh )
∀vh ∈ S0 .
(7.29)
Die natürliche oder nodale Basis des Raums
S0 läßt sich folgendermaßen konstruieren. Seien P1 , . . . , PN die Eckpunkte der Triangulierung
{Λ}, die im Inneren von Ω liegen, und seien
ϕh,i ∈ S0 die Funktionen mit
ϕh,i (Pj ) = δij ,
φ h ,i
Pi
wobei δij das Kroneckersche δ bedeutet. Da jede stetige, stückweise lineare Funktion durch ihre
Werte an den inneren Eckpunkten und die Nullrandbedingung eindeutig bestimmt ist, sind die
ϕh,i eindeutig festgelegt. Aus dem gleichen Grunde bilden die {ϕh,i }i=1,...,N eine Basis des Raums
S0 und jedes vh ∈ S0 kann in der Form
vh (x) =
N
X
vh (Pi )ϕh,i (x)
i=1
dargestellt werden. Daher ist die Dimension des Raumes S0 durch die Anzahl N der inneren
Eckpunkte gegeben.
Wegen Satz 5.7 gilt S0 ⊂ H01,2 (Ω) und (7.29) ist das Galerkin-Verfahren mit dem speziellen
Ansatzraum S0 . Zur Bestimmung von Ph u muß wieder Ax = b gelöst werden mit aij = a(ϕh,j , ϕh,i )
7.6 Finite Elemente
107
und bi = (f, φh,i ). Der Träger eines jeden ϕh,i besteht aus den Dreiecken adjazent zu Pi , sodaß
a(ϕh,j , ϕh,i ) verschwindet, wenn die Punkte Pi , Pj nicht benachbart sind. Wenn ein Eckpunkt Pi Ni
Nachbarpunkte besitzt, dann enthält die i-te Zeile von A nicht mehr als Ni +1 nichtverschwindende
Elemente, demnach ist die Matrix schwach besetzt. Bei konstanten Koeffizienten ist der Integrand
von a(φj , φi ) stückweise konstant, aij daher leicht zu berechnen. Bei variablen Koeffizienten und
für (f, φi ) werden die Integrale näherungsweise mit einer Kubaturformel berechnet (siehe Aufgabe
6.8).
Für u ∈ C(Ω) definieren wir die Interpolierende Ih u ∈ S0 durch
Ih u(x) =
N
X
u(Pi )ϕh,i (x).
i=1
Die Interpolierende ist die eindeutig bestimmte Funktion in S0 , die mit u in den inneren Knotenpunkten übereinstimmt und am Rande von ∂Ω verschwindet.
Satz 7.17. Sei für das Dreieck Λ die Bedingung R erfüllt. Für u ∈ H 2,2 (Λ) gilt die Fehlerabschätzung
kD(u − Ih u)k2;Λ ≤ cI hkD2 uk2;Λ ,
(7.30)
wobei die Konstante cI nicht von h, aber von cR aus Bedingung R abhängt.
Beweis. Mit yi = h−1 xi wird Λ auf ein Dreieck Λ̂ vom Durchmesser c transformiert. φ̂1 , φ̂2 , φ̂3 ∈
1 (Λ̂) seien die zugehörigen lokalen Basisfunktionen mit φ̂i (P̂j ) = δij , wobei P̂i die Eckpunkte
P
des Dreiecks Λ̂ bezeichnen. Die Interpolierende ist dann definiert durch Iˆû(y) =
û(P̂i )φ̂i (y).
Bedingung R sorgt dafür, daß die so entstehenden Dreiecke gleichmäßig lipschitz sind, d.h. die
Lipschitzkonstanten der hj in der Definition des Lipschitzgebiets hängen nur von cR ab. Nach Satz
6.11 und Satz 6.25 gilt daher kûk∞;Λ̂ ≤ ckûk2,2;Λ̂ , woraus die Stabilität der Interpolierenden folgt,
P
3
°
°X
°
°
kDIˆûk2;Λ̂ = °
û(P̂i )Dφ̂i °
i=1
2;Λ̂
≤ ckûk∞;Λ̂ ≤ ckûk2,2;Λ̂ .
Für lineares p̂ gilt wegen Iˆp̂ = p̂
ˆ − p̂)k
kD(û − Iˆû)k2;Λ̂ ≤ kD(û − p̂)k2;Λ̂ + kDI(û
2;Λ̂
≤ (1 + c)kû − p̂k2,2;Λ̂ .
R
R
Wir wählen p̂ so, daß Dα û dy = Dα p̂ dy für |α| ≤ 1 (siehe Aufgabe 6.7a)). Dann folgt aus der
Poincaré-Ungleichung 6.23 und D2 p̂ = 0
kD(û − Iˆû)k2;Λ̂ ≤ ckD2 ûk2;Λ̂
∀û ∈ H 2,2 (Λ̂).
Rücktransformation liefert wegen Dy = hDx die behauptete Abschätzung.
⊓
⊔
Dieser Beweis verwendet nur konstruktiv bewiesene Sätze. Die Konstante cI in (7.30) ist daher
moderat.
Durch Quadrieren von (7.30) und Summation über Λ folgt
kD(u − Ih u)k2;Ω ≤ cI hkD2 uk2;Ω .
(7.31)
Satz 7.17 läßt sich auf Dreiecke verallgemeiP3
nern, deren größter Innenwinkel von π wegbeschränkt ist (siehe [AD92]). Von der Bedingung
a
P1
P2
an den größten Innenwinkel kann man jedoch
nicht abgehen, wie das folgende Beispiel zeigt.
(-h, 0)
(h, 0)
Wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten
P1 = (−h, 0), P2 = (h, 0) und P3 = (0, a). Für a << h hat dieses Dreieck im Punkt P3 einen großen
Innenwinkel. Für die lineare Interpolierende Ih u der Funktion u(x1 , x2 ) = x21 gilt D2 Ih u = −h2 /a,
wegen D2 u = 0 also
h2
→ ∞ für a → 0.
D2 (u − Ih u) =
a
108
7 Elliptische Differentialgleichungen
Definition 7.18. Das Problem (7.27) heißt 2-regulär, wenn für jedes f ∈ L2 (Ω) die schwachen
Lösungen u, u′ von
a(u, v) = (f, v)
∀v ∈ H01,2 (Ω),
a(v, u′ ) = (f, v)
∀v ∈ H01,2 (Ω),
existieren und im Raum H 2,2 (Ω) liegen mit kD2 uk2;Ω , kD2 u′ k2;Ω ≤ cr kf k2;Ω .
Ohne Beweis verwenden wir im Folgenden, daß das Problem −Di (aDi u) = f 2-regulär ist, wenn
Ω ein konvexes Polygongebiet ist und die Koeffizientenfunktion a im Raum H 1,p (Ω), p > 2, liegt.
cb sei eine Schranke für die Bilinearform a. Ist a symmetrisch, so kann wegen der CauchyUngleichung cb = Λ mit Λ aus (7.26) gewählt werden.
Satz 7.19. Sei die Elliptizitätsbedingung (7.26) erfüllt. Ist das Problem (7.27) auf dem Polygongebiet Ω 2-regulär, so gelten für das Finite Elemente Verfahren (7.29) die Fehlerabschätzungen
kD(u − Ph u)k2;Ω ≤
c0
hkf k2;Ω ,
λ
ku − Ph uk2;Ω ≤
c20 2
h kf k2;Ω ,
λ
mit c0 = cb cI cr .
Beweis. Die Elliptizität (7.26) liefert für die Bilinearform
λkDuk22;Ω ≤ a(u, u),
daher mit Cea’s Lemma (7.25) sowie (7.31) und der 2-Regularität
cb
cb
inf kD(u − vh )k2;Ω ≤ kD(u − Ih u)k2;Ω
kD(u − Ph u)k2;Ω ≤
v
∈S
λ h 0
λ
≤
cb
cb
cI hkD2 uk2;Ω ≤ cI cr hkf k2;Ω .
λ
λ
Für die L2 -Abschätzung verwenden wir das sogenannte Dualitätsargument. Sei w ∈ H01,2 (Ω)
die Lösung von
a(v, w) = (u − Ph u, v) ∀v ∈ H01,2 (Ω).
(7.32)
w existiert und ist eindeutig bestimmt, aus der 2-Regularität folgt ferner w ∈ H 2,2 (Ω) mit
kD2 wk2;Ω ≤ cr ku − Ph uk2;Ω .
(7.33)
Wir setzen v = u − Ph u in (7.32) ein und nutzen die Fehlerbeziehung a(u − Ph u, vh ) = 0 aus,
ku − Ph uk22;Ω = a(u − Ph u, w) = a(u − Ph u, w − Ih w)
≤ cb kD(u − Ph u)k2;Ω kD(w − Ih w)k2;Ω .
Mit der Interpolationsfehlerabschätzung (7.31) und (7.33) folgt
ku − Ph uk22;Ω ≤ cb cI hkD(u − Ph u)k2;Ω kD2 wk2;Ω
≤ cb cI cr hkD(u − Ph u)k2;Ω ku − Ph uk2;Ω .
Division durch ku − Ph uk2;Ω liefert die behauptete Fehlerabschätzung.
⊓
⊔
Man kann zeigen, daß diese Fehlerabschätzung abgesehen von einem konstanten Faktor von keinem
anderen Ansatzraum Xk des Galerkin-Verfahrens übertroffen werden kann. Es sei noch angemerkt,
daß die L2 -Fehlerabschätzung ein grundlegendes Prinzip der Numerik verletzt, daß nämlich die
Konvergenzeigenschaften nur durch das Verfahren, aber nicht durch das zu approximierende Problem bestimmt werden ( Aus Stabilität und Konsistenz folgt sogleich die Konvergenz“, Stabilität
”
und Konsistenz sind Eigenschaften des Verfahrens).
Betrachten wir nun allgemeinere Gebiete Ω. Ist Ω konvex, so gilt Ωh ⊂ Ω und wir können die
Elemente von S0 in der Definition (7.28) durch Null auf Ω fortsetzen. Damit gilt S0 ⊂ H01,2 (Ω)
und die Finite Elemente Methode ist immer noch ein Galerkin-Verfahren, insbesondere gilt Cea’s
Lemma und damit die Fehlerabschätzung für den Gradienten. Für allgemeinere Ω verläßt die Finite
Elemente Methode den Kontext des Galerkin-Verfahrens, weil nun die Räume S0 und H01,2 (Ω)
inkompatibel sind. Man nennt das Verfahren dann nichtkonform. Bei 2-regulären Problemen bleibt
Satz 7.19 dennoch richtig, weil die kontinuierliche Randbedingung durch das Verfahren nur leicht
verletzt wird (siehe [Dob, S. 43ff.]).
Jedes Verfahren zur Approximation von Differentialgleichungen besteht aus einem Ansatzraum
und einem Variationsprinzip, durch das die diskrete Lösung im Ansatzraum bestimmt wird. Für
eine Übersicht über weitere mögliche Variationsprinzipien sei auf [Bra92], [Cia78] und [Vel76] verwiesen.
Aufgaben
109
Aufgaben
7.1. (2) Eine stationäre Wärmeverteilung kann durch die Poisson-Gleichung
(∗)
−k∆u = 0
beschrieben werden. Oft (z. B. bei Gasen) hängt die Wärmeleitfähigkeit k auch von der Temperatur ab,
als Modell kommt daher
−div (k(v)∇v) = 0
R
R
in Betracht mit einer Funktion k :
→ , k > 0. Diese Gleichung ist nun nichtlinear in v. Wie läßt sie
sich auf die lineare Gleichung (∗) transformieren?
R v(x)
Hinweis: Verwenden Sie u(x) = 0
k(ξ) dξ.
R
7.2. (3) Sei Ω ⊂ 3 ein Körper im Ruhezustand, der unter einer Kraft f ausgelenkt wird, u = Id + v
sei die zugehörige Abbildung, v = (v1 , v2 , v3 )T heißt Verschiebung. Im einfachsten Fall genügt v dem
Variationsprinzip
Z
¯
˘
F (v) =
λ|div v|2 + 2µ|Dv|2 − 2f v dx → Min
Ω
unter der Randbedingung v = 0 auf ∂Ω. µ, λ > 0 sind hier Materialkonstanten, Du =
der symmetrische Anteil von Du.
a) Bestimmen Sie eine Konstante m > 0 mit
Z
Z
m
|Du|2 dx ≤
|Du|2 dx ∀u ∈ H01,2 (Ω)3 .
Ω
1
(Du
2
+ DuT ) ist
Ω
b) Beweisen Sie Existenz und Eindeutigkeit für das Variationsproblem und leiten Sie die notwendige Bedingung in starker und schwacher Form her.
Bemerkung: In starker Form erhalten wir ein System von drei partiellen Differentialgleichungen, die elastische Gleichungen genannt werden.
In a) ist bemerkenswert, daß 9 partielle Ableitungen von nur 6 Termen in Du kontrolliert werden.
7.3. (3) Für das reine Neumann-Problem
−∆u = f in Ω, Dν u = 0 auf ∂Ω,
R
beweise man: Für f ∈ L2 (Ω)Rmit Ω f (x) dx = 0 gibt es eine schwache Lösung u, die bis auf eine Konstante
eindeutig bestimmt ist. Für Ω f (x) dx 6= 0 ist das Neumann-Problem unlösbar.
Hinweis: Verwenden Sie den Raum
Z
X = {u ∈ H 1,2 (Ω) :
u dx = 0}.
Ω
7.4. (2) Sei Ω ⊂
R . Man bestimme die optimalen r und s, so daß die Bilinearform
3
a(u, v) =
Z
{aij Dj uDi v + bi Di uv + cuv} dx
Ω
für bi ∈ Lr , c ∈ Ls auf H01,2 (Ω) beschränkt ist.
R R
7.5. (3) Im unendlichen Streifen Ω = (0, 1) × ⊂ 2 betrachten wir das Problem −∆u = f in Ω, u = 0
auf ∂Ω.
a) Zeigen Sie: Für f ∈ L2 (Ω) hat das Problem genau eine schwache Lösung u ∈ H01,2 (Ω) mit kuk1,2;Ω ≤
ckf k2;Ω .
b) Geben Sie unendlich viele linear unabhängige Lösungen u ∈ C 2 (Ω) für das homogene Problem −∆u = 0
in Ω, u = 0 auf ∂Ω an.
7.6. (4) Seien (r, φ) Polarkoordinaten des
R
2
und sei
Ω = {x = (r, φ) : 0 < r < ∞, 0 < φ < ω}
der unendliche Kegel mit Öffnung 0 < ω ≤ 2π. Zeigen Sie, daß die Aufgabe −∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω
für alle f ∈ C0∞ (Ω) unter der Bedingung Du ∈ L2 (Ω)2 eindeutig lösbar ist.
7.7. (3) Für k ∈
N lautet das erste Randwertproblem für den polyharmonischen Operator in starker Form
(−1)k ∆k u = f in Ω,
Dα u = 0 auf ∂Ω für 0 ≤ |α| ≤ k − 1.
Man schreibe dieses Problem in schwacher Form und beweise Existenz und Eindeutigkeit für f ∈ L2 .
110
7 Elliptische Differentialgleichungen
7.8. (2) Für fi ∈ L2 (Ω) sei u ∈ H01,2 (Ω) die eindeutig bestimmte Lösung von
(Du, Dv) = (fi , Di v)
∀v ∈ H01,2 (Ω).
Seien N s,p (Ω) die Nikolski-Räume, die auf Seite 91 vorgestellt wurden. Beweisen Sie: Für ∂Ω ∈ C 2 und
fi ∈ N s,2 (Ω), 0 < s ≤ 1, liegt die Lösung u im Raum N 1+s,2 (Ω) mit kukN 1+s,2 (Ω) ≤ c maxi kfi kN s,2 (Ω) .
7.9. (3) In dieser Aufgabe wollen wir das Verhalten von Lösungen elliptischer Gleichungen in Umgebung
von Kanten untersuchen. Als Modellproblem betrachten wir das Kantengebiet
Ω = Kω,R × (−1, 1)
mit
Kω,R = {(r, φ) : 0 < r < R,
und 0 < ω ≤ 2π. u ∈ H
1,2
0 < φ ≤ ω}
(Ω) erfülle
(Du, Dv) = (f, v)
∀v ∈ H01,2 (Ω).
Wir untersuchen die Regularität bezüglich der Kante nur lokal, also zum Beispiel in Ω0 = Kω,R/2 ×(− 12 , 12 ).
Sei f ∈ H m,2 (Ω). Welche Ableitungen liegen in L2 (Ω0 )? Was läßt sich über die Singularitäten von u
aussagen?
R
R
7.10. (3) Seien F0 , F1 , . . . , Fn : n → stetig differenzierbare Funktionen. Für das Problem −Di Fi (Du) =
F0 (Du) gelten die Elliptizitäts- und Wachstumsbedingungen
λ|ξ|2 ≤ Fij (p)ξi ξj ≤ Λ|ξ|2
∀ξ ∈
|F0 (p)| ≤ c(1 + |p|)
wobei
Fij (p) =
R
n
∀p ∈
∀p ∈
R
n
R
n
,
,
∂
Fi (p).
∂pj
u ∈ H 1,2 (Ω) sei eine schwache Lösung, d.h.
(Fi (Du), Di v) = (F0 (Du), v)
∀v ∈ H01,2 (Ω).
Zeigen Sie für Ω0 ⊂⊂ Ω, daß u ∈ H 2,2 (Ω0 ).
Hinweis: Verwenden Sie Differenzenquotienten und die Profi-Version des Mittelwertsatzes
Z 1
f (x) − f (y) =
Df (tx + (1 − t)y)(x − y) dt.
0
7.11. (2) Sei Ω ⊂
R
2
konvex. Zeigen Sie, daß dann die Norm
kuk′′2,2 = (k∆uk22 + kuk22 )1/2
zur k · k2,2 -Norm auf H 2,2 (Ω) ∩ H01,2 (Ω) äquivalent ist.
R
R
7.12. (3) Eine reguläre Matrix A ∈ n×n heißt inversmonoton, wenn für die Lösung x ∈ n von Ax = b
mit b ≥ 0 ebenfalls x ≥ 0 gilt. Das Zeichen ≥ ist hier komponentenweise zu verstehen. Die Inversmonotonie
ist offenbar zu A−1 ≥ 0 äquivalent. Ein einfaches, allerdings nur hinreichendes Kriterium dazu bietet der
folgende Satz:
Satz. A ∈ n×n genüge den Bedingungen:
P
|aij |.
(a) A regulär,
(b) aii > 0, aij ≤ 0 für i 6= j,
(c) aii ≥
j6=i
Dann ist A invers monoton.
Beweisen Sie den Satz!
R
2
7.13. (3) Sei Lu = −aij (x)Dij
u + bi (x)Di u elliptisch. Der zugehörige parabolische Operator ist dann
ut + Lu, der definiert ist für Funktionen u(x, t), x ∈ Ω, t ≥ 0, mit u stetig bis zum Rand, einmal stetig
differenzierbar bezüglich t und zweimal stetig differenzierbar bezüglich x. Interpretiert man das elliptische
Problem Lu = f als stationäre Wärmeverteilung, so beschreibt das parabolische Problem den Wärmefluß
in der Zeit. Beweisen Sie für den parabolischen Operator das Maximumprinzip in der Form
ut + Lu ≥ 0
⇒
inf
Ω×(0,T )
u≥
inf
Ω×{0}∪∂Ω×[0,T ]
u,
Schließen Sie hieraus, daß das Anfangs-, Randwertproblem
ut + Lu = f in Ω × (0, T ],
höchstens eine Lösung besitzt.
u = g auf ∂Ω × [0, T ],
u(x, 0) = u0 (x) in Ω,
Aufgaben
111
R
7.14. (4) Sei Ω ⊂ n ein Gebiet. Ein Punkt x0 ∈ ∂Ω genügt einer Innenkugelbedingung, wenn es eine
offene Kugel B ⊂ Ω gibt mit x0 ∈ ∂B.
2
Sei Lu = −aij (x)Dij
u + bi (x)Di u gleichmäßig elliptisch mit beschränkten Koeffizienten und für u ∈
2
C (Ω) sei Lu ≥ 0 in Ω. Weiter seien die folgenden Bedingungen erfüllt:
(a) x0 ∈ ∂Ω genügt einer Innenkugelbedingung,
(b) u(x0 ) < u(x) für alle x ∈ Ω,
(c) u ist stetig in x0 .
Zeigen Sie, daß dann Dν u(x0 ) < 0 erfüllt ist, sofern die Normalableitung existiert.
Hinweis: Sei BR (y) ⊂ Ω die von der Innenkugelbedingung garantierte Kugel mit Randpunkt x0 . Verwenden
Sie die Funktion
2
2
v(x) = e−αr − e−αR ,
wobei r = |x − y|. Zeigen Sie, daß für genügend großes α gilt Lv < 0 in BR (y) \ Bρ (y) für ein ρ zwischen
0 und R. Untersuchen Sie dann die Funktion u(x) − u(x0 ) − εv in BR (y) \ Bρ (y).
7.15. (3) Beweisen Sie das starke Maximumprinzip 7.15 mit Hilfe von Aufgabe 7.14 mit einem indirekten
Beweis.
7.16. (3) Sei L der Operator in (7.16). Es wird vorausgesetzt, daß er beschränkte Koeffizienten besitzt,
der Bedingung c ≥ 0 genügt, sowie gleichmäßig elliptisch ist,
aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2
∀ξ ∈
R
n
∀x ∈ Ω.
Beweisen Sie für jede klassische Lösung von Lu = f die Abschätzung
kuk∞;Ω ≤ kuk∞;∂Ω + ckf k∞;Ω .
R
2
im Einheitskreis enthalten. Geben Sie eine von K = kf k∞;Ω abhängende
7.17. (2) Sei Ω ⊂
Abschätzung der Form |u(x)| ≤ v(x) an für die Lösung u des Problems
−∆u = f in Ω,
u = 0 auf ∂Ω,
Bemerkung: Im Gegensatz zur Aufgabe 7.16 soll man hier realistische Abschätzungen anstreben und für
v ein quadratisches Polynom verwenden. Weicht das Grundgebiet nicht sehr vom Kreis ab, erhält man
einen guten Eindruck von der Größenordnung der Lösung. Man teste das Ergebnis an −∆u = 1 im
Einheitsquadrat mit Nullrandbedingung, im Mittelpunkt gilt dann u = 0.07 . . ..
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