Lokale Netzstrukturen Übung 4

Lokale Netzstrukturen
Übung 4
5. Juli 2017
Wiederholung: Spanner höchst prüfungsrelevant!
Äquivalente Sprechweisen:
I
Seien G , H Graphen mit H ⊆ G
I
Sei H ein Subgraph von G
I
Sei G = (V , E G ) und H = (V , E H ) ein Subgraph mit
EH ⊆ EG
Bezeichne mit dG (u, v ) die Länge eines kürzesten Pfades
(Euklidische Pfadlänge, Hop-Count, ...) von u nach v in G .
Definition (t-Spanner)
H ist ein t-Spanner für G falls gilt:
dH (u, v )
max
≤ t, oder
u,v ∈V
dG (u, v )
∀u, v ∈ V : dH (u, v ) ≤ t · dG (u, v ).
Wenn t eine konstante ist, sagen wir: H ist ein Spanner für G
(1)
(2)
Aufgabe 1 – a)
Seien F = (V , E F ), G = (V , E G ) und H = (V , E H ) Graphen über
der selben Knotenmenge V . Weiterhin gelte F ⊆ G ⊆ H (d.h.:
E F ⊆ E G ⊆ E H ). Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
i) Wenn F ein t-Spanner für H ist, dann ist auch G ein
t-Spanner für H.
ii) Wenn F ein c-Spanner für G ist und G ein k-Spanner für H
ist, dann ist F ein (c · k)-Spanner für H.
Aufgabe 1 – b)
Aus der Vorlesung ist Ihnen bekannt, dass der Restricted Delaunay
Graph, RDG , konstruiert über einem Unit Disk Graph, UDG (V ),
ein Euklidischer Spanner ist. Beweisen Sie: Falls UDG (V ) ein
zivilisierter Graph ist, dann ist RDG auch ein topologischer
Spanner für den Graphen UDG (V ) ist.
Bemerkung: Ein geometrischer Graph wird als zivilisiert
bezeichnet, wenn für jede Kante uv im Graphen gilt, dass die
Euklidische Distanz zwischen u and v mindestens λ beträgt, für
ein beliebig aber festes λ > 0.
Aufgabe 1 – b)
I
Lösungsvorschlag 1: Folgt sofort aus Beweis zu Aufgabe 5b
auf Blatt 2
I
Lösungsvorschlag 2: Direkter Beweis über DT-Pfad
Figure: DT-Pfad von u nach v über Knoten bi
Aufgabe 1 – b)
I
I
I
I
Wissen: Kanten des DT-Pfades zwischen u und v in RDG
enthalten
Mit Packing Argument: Wenn UDG (V ) zivilisiert, dann
können höchstens konstant viele Knoten in dem Gabriel Kreis
um eine bel. UDG Kante enthalten sein.
D.h. es ex. höchstens konstant viele Zwischenknoten bi auf
DT-Pfad zwischen u und v .
Damit ist RDG auch konstanter topologischer spanner für
UDG (V ).
Wiederholung RDG und LDel(2)
Sei uv eine bel. Kante aus UDG (V ).
uv ∈ RDG (V ), genau dann wenn
uv ∈ Del(N1 (w )), ∀w ∈ N1 (u) ∩ N1 (v ).
uv ∈ LDel (k) (V ), genau dann wenn
i) uv ∈ UGG (V ), oder
ii) ∃4uvx dessen Umkreis keine Knoten aus
{Nk (u) ∪ Nk (v ) ∪ Nk (x)} enthält.
Aufgabe 1 – c)
Zeigen oder widerlegen Sie: Sei UDG (V ) ein zusammenhängender
Unit Disk Graph. Es gilt RDG (UDG (V )) = LDel (2) (UDG (V )),
d.h. die Restricted Delaunay Triangulierung und die 2-Localized
Delaunay Triangulierung konstruiert über einem Unit Disk Graphen
stimmen überein.
Aufgabe 1 – c)
Zeigen oder widerlegen Sie: Sei UDG (V ) ein zusammenhängender
Unit Disk Graph. Es gilt RDG (UDG (V )) = LDel (2) (UDG (V )),
d.h. die Restricted Delaunay Triangulierung und die 2-Localized
Delaunay Triangulierung konstruiert über einem Unit Disk Graphen
stimmen überein.
Aufgabe 2 – a)
Im folgenden bezeichne V ⊂ R2 eine endliche Menge von Punkten
in der Ebene. Weiterhin seien die Punkte in V weder kollinear
noch kozirkulär.
a) Es seien u, v ∈ V . Die Kante (bzw. das Liniensegment) uv ist
genau dann Teil der Konvexen Hülle CH(V ), wenn uv die Punkte
u und v nur in einem Dreieck in der Delaunay Triangulierung
Del(V ) verbindet.
Aufgabe 2 – a)
Vorbemerkung:
I
Sei uv Kante in zwei Delaunay Dreiecken 4uvx und 4uvy .
I
Da V nicht kolinear, müssen x und y in untersch. Halbebenen
bzgl. der Geraden l(u, v ) liegen.
“⇒”
I
Ann.: uv ist Kante in CH(V ).
I
Dann folgt aus Konvexität das eine Halbebene bzgl. l(u, v )
frei von Knoten aus V sein muss.
I
Mit Vorbemerkung folgt, dass uv nicht Teil eines 2. Delaunay
Dreiecks sein kann.
Aufgabe 2 – a)
“⇐”
I
Ann.: uv Kante in genau einem Delaunay
Dreieck 4uvx
I
Falls H x (u, v ) leer, dann gehört uv zu
CH(V ). Betrachten also Fall, dass H x (u, v )
nicht leer.
I
Sei V 0 = {v ∈ V : v ∈ H x (u, v )} und
w ∈ V 0 der WMK bzgl. uv .
I
Es gilt: C (uvw ) enthält keine anderen
Knoten aus V 0 (weil w WMK)
I
Weiterhin gilt: C (uvw ) enthält keine anderen
Knoten aus V \ V 0 , da
C (uvw ) ∩ H x (u, v ) ⊂ C (uvx) und C (uvx) ist
ein Delaunay Kreis.
I
Somit: C (uvw ) enthält keine weiteren Knoten aus V und ist
ein Delaunay Kreis und somit gilt uv ∈ 4uvw (Widerspruch!)
Aufgabe 2 – b)
Im folgenden bezeichne V ⊂ R2 eine endliche Menge von Punkten
in der Ebene. Weiterhin seien die Punkte in V weder kollinear
noch kozirkulär.
b) Es gelte V 0 ⊆ V und u ∈ V 0 .
Beweisen Sie: VRV (u) ⊆ VRV 0 (u). Hierbei bezeichnet VRY (x) die
Voronoi Region von x ∈ Y bzgl. einer Knotenmenge Y .
Aufgabe 3 – a)
Sei G = (V , E ) ein beliebiger Graph gezeichnet in der Ebene (nicht
notwendigerweise ein Unit Disk Graph!). Seien u, v , x, y vier
verschiedene Knoten aus V so dass die Kanten uv und xy in
GG (V ) enthalten sind. Zeigen Sie: uv und xy können sich nicht
schneiden.
Aufgabe 3 – a)
Sei G = (V , E ) ein beliebiger Graph gezeichnet in der Ebene (nicht
notwendigerweise ein Unit Disk Graph!). Seien u, v , x, y vier
verschiedene Knoten aus V so dass die Kanten uv und xy in
GG (V ) enthalten sind. Zeigen Sie: uv und xy können sich nicht
schneiden.
I
Ann.: uv , xy ∈ GG (V ) schneiden sich.
I
Betrachten Viereck uvxy : Mind. einer der
Innenwinkel ist ≥ π/2. O.B.d.A. gelte das
für ∠uxv .
I
Dann gilt x ∈ Disk(u, v ), aber das ist ein
Widerspruch zu uv ∈ GG (V ).
Aufgabe 3 – b)
Es seien u, v , w ∈ R2 drei verschiedene und nicht kolineare Punkte
in der Ebene. Bezeichne mit α = ∠uwv den Innenwinkel des
Schnitts der Liniensegmente uw und vw . Weiterhin bezeichne d
den Durchmesser des Kreises C (uvw ). Zeigen Sie dass gilt:
||uv ||
= d.
sin(α)
Aufgabe 3 – b)
Es seien u, v , w ∈ R2 drei verschiedene und nicht kolineare Punkte
in der Ebene. Bezeichne mit α = ∠uwv den Innenwinkel des
Schnitts der Liniensegmente uw und vw . Weiterhin bezeichne d
den Durchmesser des Kreises C (uvw ). Zeigen Sie dass gilt:
||uv ||
= d.
sin(α)
I
Mit Perepheriewinkelsatz gilt
β = α − π/2.
Mit 0 < α < π/2 gilt zudem
π
||uv ||
sin(α) = cos(α− ) = cos(β) =
.
2
d
I