Vorbemerkung

Vorbemerkung
Festkörperphysik: Aufbau und Eigenschaften fester Materialien
Festkörper: Ansammlung von Atomkernen und Elektronen ≈ 1023 die über elektrostatische Kräfte miteinander
wechselwirken
Klassen
1. Isolatoren
2. Halbleiter
3. Metalle+Supraleiter
Fundamentale Konzepte in der Festkörperphysik:
1. Schrödinger-Gleichung
2. Pauli-Prinzip
3. Coulomb-WW
4. Maxwell-Gleichungen
5. Thermodynamik
6. Statistische Physik
M axBorn Phononen=elastische Schwingungen
1
Chapter 1
Bindungskräfte im Festkörper
5 Grundtypen der Bindung
1. Fluktuationsbindung (Van-der-Waals Kraft
2. Ionenbindung (NaCl)
3. Kovalente Bindung (Diamant)
4. Metallische Bindung
5. Wasserstoffbrückenbindung
Bindungsenergie die Arbeit, die bei der Zerlegung des Festkörper in seine Bestandteile (Atome oder Moleküle
) aufgewendet werden muss.
Be
B
C(Diamant)
eV Li
z.B. die Elemente der zweiten Periode des Periodensystems: Bindungsenergie Atom
1,6
3,3
5,8
7,4
Schmelztemperatur[K] 453 1560 2348
4765
(*) Molekülkristalle N2 , O2 , F2 . Aus diesem Grund behält die Flüssigkeit die meiste Energie.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones-Potential Das Lennard Jones Potential: Potential zwischen neutralen Atomen (oder Molekülen) mit abgeschlossener e− -Schale a) der anziehende Teil ≈ −r−6 b) der abstoßende
Teil ≈ r−12
A
B
φ(r) = 12 − 6
r
r
pic TODO
Van-der-Waals-Bindung
pic TODO
φ12 (~r) ∝ p~r1 p3~2 − 3(~p1r~r5)(~p2 ~r
1.1
Bindungsenergie von Edelgaskristallen
http://de.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones-Potential Das Lennard Jones Potential:
φ(r)
A
B
−
r12 r6
σ 12 σ 6 = 4
−
r
r
=
(1.1)
(1.2)
1
das Potential minimum tritt bei r0 = 2 6 σ ≈ 1, 12σ Bindungsenergie von N Atomen
X σ 12 σ 6 1X
N
VB =
φi = φ1 = 2N −
2 i
2
r
r
j6=1
√
Kubisch flächenzentrierte Struktur fcc=face centered cubic rij = R = 12; R 2 = 6; 2R...


  σ 12
UB = 2N 
·
 r

!
!
σ 6

12
6
12
6
+ √ 12 + ... −
·
+ √ 12 + ... 

1
1
1 2
r
1 2

2
2
|
{z
}
|
{z
}
≈12,13
≈14,45
2
4
63
1 Bindungskräfte im Festkörper
R0 ≈ 1, 09σ → nur für
Ekin = 0 (in qm Ekin 6= 0 ⇒ R0qm > R0 ) ein Minimum von UB (R) beim R = R0 ⇒
dUB d2 UB >0
dR R=R0 = 0; dR2 R=R0
Ne
2,74
σ(A◦ )
(meV ) 3,1
R0
1,15
σ
Nullpunktenergie
Ar
3,40
10,4
1,11
Kr
3,65
14,1
1,09
Xe
3,98
20,0
1,09
3
Contents
2 Struktur der Kristalle
2.0.1 Punktgruppen (min 1 Punkt fest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Einfache Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wigner-Seitz-Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
3
3
Chapter 2
Struktur der Kristalle
Kristalle ensprechen dem Grundzustand der Festkörper. Lehre –¿ Kristallographie;
Symmetrie: alle Eigenschaften eines Systems, die nach einer bestimmten Änderung (Transformation) “unverändert erscheinen”
Gruppentheorie: Symmetriegruppen: ist eine Menge aller Kongruenzabbildungen die das Objekt auf sich selbst
abbilden.
2.1
Punktgruppen (min 1 Punkt fest)
→ 32 Symmetriegruppen (Punktgruppen) z.B Drehung um eine Drehachse
pic
Spiegelung an einer Spiegelebene
pic
Punktspiegelung
pic
1,2,3,4,6 Drehachsee; mspiegelung; 1 Punktspiegelung
pic
Inversion + Drehung
pic 2
Raumgruppen (translative Symmetrieoperationen)→ J.S. Fedorov
Gleitspiegelebene (retlection+translation)
pic
Schraubenachse (screw symmetry)
pic
Kristallstruktur: Gitter + Basis
Gitter als Umgebung
~
U (~r) = U (~r + R)
Translationsvektor (Gittervektor):
~ = n1~a + n2~b + n3~c
R
~a,~b,~c sind Basisvektoren. Gitterkonstanten: |~a| = a, |~b| = b, |~c| = c
pic
Die Vektoren spannen eine Elementarzelle auf. Das Volumen ergibt sich aus dem Spatproduckt
V = ~a[~b × ~c]
Kleinstmögliche E.Z. → primitive Elementarzelle (Einheitszelle).
Bravais-Gitter→ besteht nur aus einer Teilchensorte.
Kristallstruktur
Bravais-G.
Anzahl von Punkgruppen 32(3D) 10(2D) 7 Kristallsyst.
Anzahl v.Raumricht
230(3D) 17(2D) 14 Bravais G.
Kristallsysteme: (Syngonien)
1. kubisches K.
2. tetragonales K.
3. rombisches K.
2
2 Struktur der Kristalle
4. Rechtwiklig ende
5. hexagonale
6. trigonale
7. monoklines
8. triklines
9. Schiefwinklig ende
2.2
Einfache Kristallgitter
(Kz = Koordinationszahl, zahl der nächsten Nachbarn) (p.V. Packungsverhältniss)
• sc → “simple cubic” p.V. ≈ 0, 52; In der natur so gut wie nicht zu finden
2-Atom Basis (0,0,0) oder ( 21 , 12 , 12 ) CsCl
• bcc=”body centered cubic”. Kubisch raumzentrierte Gitter; 30% aller Elemente; p.V. ≈ 0, 68
Metalle: Na,Fe,Cr,... (0,0,0) oder ( 21 , 12 , 12 )
• fcc=”face centered cubic”=kubisch flächenzentrierte Gitter
Gitterpunkte (0,0,0) oder ( 12 ,0, 12 ) oder ( 21 , 12 ,0) oder (0, 12 , 12 ) p.V. ≈ 0, 74 Höchste Basisverhältniss 1
Atom Basis, z.B Metalle Cu, Ag, Au, Ni,... 30% aller Elemente NaCl→ fcc mit 2-Atom. Basis (0,0,0)
oder ( 21 , 12 , 12 ) Diamant C→fcc mit 2-At. Basis (0,0,0) oder ( 14 , 41 , 14 ) 2 unterschiedliche Atome z.B ZnS;
Strukt.v.Zinkblende; Mischung von Kovalenter Bindung und Ionenbindung.
d) Hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp=hexagonal close packed) 35% aller Elemente; p.V. ≈ 0, 74
pic1 (folie: Kugelpackung: hexagonal oder kubisch? hcp und fcc)
z.B. Mg, Ti, Co,...
pic2 (folie: Primitive Elementarzelle)
2.3
Wigner-Seitz-Zelle
pic3 (folie: Zur 2D Konstruktion einer Wigner-Seitz-Zelle)
E.Z. mit Gitterpunkt im Zentrum der Elementarzelle; lückenlose bedeckung der Fläche (2D) oder Volumen
(3D); Polyeder mit dem kleinsten Volumen, das den Gitterpunkt ein schließt.
pic4 (folie: 3D Wigner-Seitz-Zellen)
Wigner-Seitz-Zelle ist wichtig für Reziprokes Gitter
3
Contents
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
3.1 Reziprokes Gitter . . . . . . . . . . . .
3.2 Millersche Indizes . . . . . . . . . . . .
3.3 Brillouin-Zone . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Beugung an Periodischen Strukturen .
3.5 Streubedingung . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ewald-Kugel . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Strukturfaktor . . . . . . . . . . . . .
3.8 Methoden der Strukturanalyse . . . .
3.9 Experimentelle Beugungsverfahren . .
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2
2
3
3
3
4
5
6
6
7
Chapter 3
Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
Beugungs- und Streuexperimente, Experimente werden mit verschiedenen Teilchen durchgeführt (Photonen,
Neutroonen, Neutronen, Elektronen → als Wellen)
pic4
0
~
Amplitude: A(t) = A0 e−i(ω0 t−k0 ~r) Amplitude der gestr. Welle: Az (t) = AR e−i(ω0 t−kR) Phasendifferenz:
∆φ||~k|=|~k0 | = ∆sk = (~k − ~k0 )~r Elastische Streuung!; die Welle ist nur 1x gestreut → Bornsche Näherung
Volumen Element dV am Ort ~r:
dAs (~r, t) = ρ(~r)Az (t)dV =
A0
~ ~
ρ(~r)e−i(ω0 t−kR1 +(k−k0 )~r) dV
R1
ρ(~r)-Streudichteverteilung R1 ≈ R0
As (~r, t) =
A −i(ω0 t−kR0 ) ~ ~
e
A(k − k0 )
R0
Streuamplitude A mit dem Streuvektor (k-k0)
A(~k − k~0 ) =
Z
~
~
ρ(~r)e−i(k−k0 )~r dV
V
~ ist die Fourier-transformierte ρ(~r);
A(Q)
Strukturbestimmung:
Z
1
~r 3
~ iQ~
ρ(~r) =
A(Q)e
d Q
(2π)3 Q−Raum
3.1
Reziprokes Gitter
~ Gitter; B
~ reziprokes–Gitter; bi := Basisvektor der blz. Raums
A
~ = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 ⇒ B
~ = n1~b1 + n2~b2 + n3~b3
A
~b1 = 2π ~a2 x~a3 = 2π ~a2 x~a3
~a1 (~a2 x~a3
Vz
Vz das Volumen der Elementarzelle des realen Gitters.
~b2 = 2π ~a3 x~a1
Vz
~b3 = 2π ~a1 x~a2
Vz
3
3
~b1 (~b2 x~b3 ) = (2π) ; VB = (2π)
Vz
VA
2
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
für rechtwinklige Krinstallsysteme:
~b1,2,3 = 2π ~a2 ; |~b1 = 2π
a21,2,3 1,2,3
|~a1 |
Eigenschaften:
• ~ai~bi = 2πσij
• reziprokes Gitter für reziprokes Gitter ist reale Gitter
• Vb =
(2π)3
Va
~B
~
~·B
~ = 2πn mit n ∈ N → eA·
• A
=1
~ → Kristallebenen ⊥ B
~ und mit Abstand d
Theorem: B
3.2
Millersche Indizes
William Miller (1839)
Millersche Indizes dienen der eindeutigen Bezeichnung von Ebenen und Richtungen (Vektoren) in Kristallsystemen. Nach Definition: 3 ganszählige Indizes (h, k, l). Diese Indizies bezeichnen verschiedene Ebenen. Die
Ebene, die durch drei Punkte geht:
1
1
1
~a1 , ~a2 , ~a3
h
k
l
pic 1 TODO
Basisvektoren schneiden die Ebenen (h, k, l) gerade an den Kehrwerten
z.B. für kubisches Gitter
1 1 1
h, k, l

(100)





(100)



(010)
{100} =

(010)





(001)



(001)
Gitttervektoren [u, v, w] nur(!) im Kubischen Kristall:: Vektor
[u, v, w]
| {z }
u~
a1 +v~
aa +w~
a3 +
[110] Flächendiagonale; [111] Raumdiagonale
3.3
Brillouin-Zone
Die Brillouin Zone ist eine Elementarzelle des reziproken Gitters.
def
1.BZ = die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters
pic 2 TODO
reelleGitter(Ortsraum) reziprokesGitter(Impulsraum)
sc
sc
bcc
f cc
f cc
bcc
3.4
Beugung an Periodischen Strukturen
pic 3 TODO
Streuamplitude:
~ =
A(~k − ~k 0 ) = A(Q)
Z
~
3
e−i(Q~r)d
r
V0 ←Probevolumen
3
⊥ Ebene(u, v, w); [1, 0, 0] Würfelkante;
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
~
X
~ =
A(Q)
alle EZ
|
Z
~
X
e−i(Q~r) ·
e−i(Q~rα ) ·
alle Atomeα
{z
}
Gitterfaktor
~
0
3 0
ρα (~r0 ) · e−i(Q~r )d r
Atom α
|
{z
}
0 -Atomstreufaktor (spez. für Atom)
fα
note todo: zweite Summe und Integrall: underbrace (Strukturfaktor)
Braggsche Beugungsbedingung:
pic 4 TODO
2dsinθ = nλ
3.5
Streubedingung
Für die Streuintensität :
Z
~ 2=|
I(Q) ∝ |A(Q)|
~
ρ(~r)e−iQ~r |2
Vp
~ = ~k − ~k0
mit Q
Entwicklung von ρ(~r) in eine 3D Fouurier - Reihe:
~ hkl = h~b1 + k~b2 + l~b3
G
~bi sind Basisvektoren des reziproken Gitters G
ρ(~r) =
X
~
ρhkl eiGhkl ~r
hkl
Mit Fourier-Koeffizienten
ρhkl =
1
Vz
Z
~
ρz e−Ghkl ~r dV
Vz
~
ρ(~r) = ρ(~r + R)
R = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3
Vz - Volumes des primitiven E.Z.
~
~
~
e−Ghkl ~r = e−Ghkl (~r+R
~
~ hkl R
~ = 2πN, mit N eine ganze Zahl
e−Ghkl ~r = 1, G
~ hkl = G
~ =B
~ = n1~b1 + n2~b2 + n3~b3 ; n1 = h, n2 = k; n3 = l;
~ai~bi = 2πσij ; G
~ 2=|
|A(Q)|
X
hkl
Z
e
Vp
~ Q)~
~ r
−i(B−
Z
ρhkl
~
~
e−i(B−Q)~r dV |2
Vp
(
~ =B
~
Vp , für Q
dV ==
~
~
0,
für Q =
6 B
~ =B
~ z.B Braggsche Streubedingung
(Laue) Streubedingung: ~k − ~k0 = Q
4
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
d = dhkl =
~ =
|B|
2π
~
|B|
2π
2π
= 2 2sinθ
d
λ
nλ = 2dsinθ, λ << d
3.6
Ewald-Kugel
• zeichne die Punkte des reziprokes Gitters
• der Wellenvektor ~k0 endet am Punkt (000)
• der Anfangspunkt von ~k0 ist M
• alle Wellenvektoren mit |~k| = |~k0 | auf der Kugelfläche enden
~
• Beugungsmaximums treten auf bei ~k = ~k0 + B
Die Reflexe sind “verschmiert” aus verschiedenen Gründen:
• Kristall mit englicher Abmessung
• Defekte
• Temperatur
• die endliche Fequenz-Schärfe ∆f der Strahlung
5
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
3.7
Strukturfaktor
~~
X
~ =
A(Q)
aller E.Z.
e−iQ~rα fα
aller Atome d
{z
|
~
X
e−iQR ·
Gitterfaktor
} |
{z
~
S(Q)Strukturfaktor
}
Strukturfaktor bestimmt Intensität; Ausläschung möglich
~ = n1~b1 + n2~b2 + n3~b3 ; ~rα = uα~a1 + vα~a2 + wα~a3
Gittervektor: B
~ = Sskl =
S(Q)
X
~
~ −iQ~rα ; ~ai~bi = 2πσij
fα (Q)e
α
Shkl =
X
~ −i2π(h·uα +k·vα +l·wα )
fα (Q)e
α
z.B. bcc Gitter mit ~r1 = (000); ~r2 = ( 12 , 21 , 12 ); f1 = f2
h
Shkl = f1 1 + e
3.8
−iπ(h+k+l)
i
(
2f1 , (h + k + l)gerade
=
0,
(h + k + l)ungerade
Methoden der Strukturanalyse
λ ≤ 2d; λ ≈ 1A
Röntgenstralen Quellen sind Röntgenröhre oder Synchrotronstralung (e− auf Kreisbahnen ANKA, KIT)
E = hν =
hc
, λ ≈ 1A, E ≈ 10eV
λ
1) Röntgenstrahlen:
• Streuung an Elektronen
• Formfaktor fα ≈ Z(Atomzahl); I ≈ Z 2
• leichte Elemente schwer nachweisbar
2) Neutronen Spin
1
2
E=
p2
2mN
=
h2
2mN λ2
≈ 100meV
• Streuung an Kernen über starke Wechselwirkung (WW)
• Elektronen in der Hülle mag. Moment tragen
Quellen: Forschungsreaktoren (Jülich, grenoble,...)
2
p2
= 2mhe λ2 ≈ 100eV
3) Elektronen E = 2m
N
• Couulomb WW mit Elektronen und Kernen
• sehr geringe Eindringtiefe
• Oberflächenphysik LEED-Methode (low energy electron difraction)
• TEM = Transmissionselektronenmikroskopie; dünne Schichten
6
3 Strukturbestimmung und reziprokes Gitter
3.9
Experimentelle Beugungsverfahren
• Laue-Verfahren kontinuierliches (λ) Spektrum, Einkristall
– Ewald-Kugel hat “dicke Haut”
– viele Reflexe gleichzeitig
Anwendungen:
– Orientierung der Symetrieachse
– Ist die Probe wirklich ein Einkristall
• Drehkristallvefahren: monochromatische Strahlung, und Kristall ist gedreht
Einkristall ermöglicht die Drehung von ~k0
• Debye-Scherer-Verfahren: monochromatische Strahlung
– monochromatische Strahlung
– Pulver oder feinkörniger Pulverkristall
~ dreht um 4π Raumwinkel |B|
~ ≤ 2|~k0 |; ∆~k0 ≈ 10−4
B
~
k
0
pic 5 TODO
– ein bestimmer Reflex in alle Richtuungen vorhanden
– Gitterkonstanten-Messung
∆a
a
≈ 10−5
7
Contents
4 Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
4.1 Ausgdehnte Deffekte: 1D - Defekte
4.2 Einkristal: Mechanische Festigkeit
4.3 Plastische Deformationen . . . . .
4.4 Amorphe Materialien . . . . . . . .
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2
3
4
5
5
Chapter 4
Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
0D-Defekte - Punktdefekte
A - Leerstelle (Schottky-Defekte) B - Zwischengitteratom C’ - Interstitueller Fremdatom C” - substitioneller
Fremdatom
A Leerstellen → Schottky-Defekte, z.B NaCl ⊕ ↔ Die Zahl der Leerstellen (im thermischen Gleichgewischt)
EL
BT
−k
Nl = |const
{z } ·e
SL
N e kB
EL ist die Energie die zur Erzeugung einer Leerstelle gebraucht wird. SL ist die Schwingungsentropie einer
Leerstelle. SkBL ≈ 1
NL ≈ 10−5 ;
N 1000K
NL ≈ 10−17 ;
N 300K
Volumenänderung bei höheren Temperaturen T → Tc : ∆VV(T ) −3 ∆a
a ≈ NL (T ) mit TC -Termperatur-Schmelzpunkt.
Farbzentren (F-Zentren): NaCl: Cl- Leerstellen (e− ) gelb-braune Färbung
A Zwischengitteratome Zwischengitteratome sind starke Verzerrung des Gitters. In Ionenkristallen ist die Energie von Zwischengitteratome in der selben Ordnung wie die Leerstellen Ezw. ∝ EL
Frenkel-Defekt
C Fremdatome
C 0 interstitielle F.A. C 00 substitutionelle F.A.
Si-Dotierung: z.B: Si4+ → Ga3+ , Si4+ → P 5+
Experimentelle Methoden:
• ESP = Elektronenspinresonanz + Optik
• NMR = Kernspinresonanz + Optik
2
4 Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
4.1
Ausgdehnte Deffekte: 1D - Defekte
Versetzungen (engl. dislocations) sind für Mechanische Eigenschaften von Festkörpern verantwortlich.
~b - Burgers-Vektor ⊥ - Stufenversetzung
zwei Grundtypen von Versetzungen
Versetzungsknoten
3
4 Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
~b1 + ~b2 + ~b3 = 0 (ähnlich zu Kirchof).
>⊥ - Dipol
>⊥>⊥>⊥>- Multipols
Versetzungen: a) v. Oberfläche b) Versetzungsenergie
Experimentelle Beobachtung durch chemisches Ätzen von Probenoberflächen. (Beobachtung mit Rasterelektronenmikroskop SEM 1944).
Kristallwachstum (Whiskers) Plastische Deformationen
~
F~ = (~σ · ~b) × L
F~ -Versetzungstensor
4.2
Einkristal: Mechanische Festigkeit
σ=
E
|{z}
δL
L
Elastizitätsmodul
4
4 Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
Erst ist die Spannung proportional zur Dehnung (Hooksche Gesetzt). Der Bereich zwischen A und B wird
Dehnung größer ohne größer werden von Spannung. Hier finden Versetzungen statt.
A-B Plastische Deformation B-C Verfestigung
Einkristalle ≈ 102 − 105 Versetzungen/cm2 Kalt verformte Metalle ≈ 1012 Versetzungen/cm2
4.3
Plastische Deformationen
~
F~ (σ · ~b) × L
Whiskers (engl.) = Vibrisse (lange Stäbchen mit Versetzung)
2D Defekte: Korngrenzen = Bereiche zu Kristallite (Polykristalle)
Kleinwinkelkorngrenzen
Stapelfehler: fcc und hcp A B C A B C—A B—A B—A B C...
4.4
Amorphe Materialien
Paarvertelungfunktion eine Atomsorte
g(~r1 , ~r2 ) =
1
hn(~r1 ) · n(~r2 )i
n20
5
4 Strukturelle Defekte 0D,1D,2D
Amorphe Festkörper
keine Fernordnung (metabstabil)
Festplatten sind von amorphen magnetischen Material gemacht. In Flüssiger form wird das material auf eine
rotierende disk getropft und erstarrt dort.
Anwendungen:
• Festplatten
• α-Si (Solarzellen)
6
Contents
5 Eleastische Eigenschaften
5.1 Elastische Konstanten für kubische Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Konstanten für kubische Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
3
3
Chapter 5
Eleastische Eigenschaften
~ (~r) mit U
~ -Verformung. Die Freie Energie:
~r nach Deformation → ~r + U
Z
F=
d~r
V
∂Uα (~r) ∂Uγ (~r)
1 X
Eαβγδ
·
2
drγ
| {z } drβ
αβγδ
Tensor
Eαβγδ → 81 = 34 Komponenten: Symmetrie mit 45 unabhängigen Komponenten αβ ↔ γδ ändert sich nicht
unter Drehung von nicht deformierte Festk.
Eαβγδ − Eβαγδ + Eαβδγ + Eβαδγ = 0;nur 21 Komponenten.
Dehnungstensor (strain tensor):
eαβ = e↔ = [e] =
1 ∂Uα (~r) ∂Uγ (~r)
[
·
]
2 drβ
drγ
Spannungstensor:
σαβ = σ ↔ = [σ] =
X
αβ
F=
XZ
αβ
Cαβγδ =
Cαβγδ
| {z }
eγδ
elastizitaetstensor
1
~r eγδ σγδ
2
1
(Eαβγδ + Eβαγδ + Eαβδγ + Eβαδγ )
4
Arbeit = Länge * Kraft
5.1
Elastische Konstanten für kubische Kristalle
def
Cαααα = C11
def
Cααββ = C12
def
Cαβαβ = C44
für isotropen Materialien C11 − C12 = 2C44 nur 2 unabhänige Komponenten
def
def
Lamé-Konstanten λ = C12 ; µ = C44
F=
1
1
C11 (e2xx + e2yy + e2zz ) + C44 (e2yz + e2zx + e2xy ) + C12 (e2yy e2zz + e2zz e2xx + e2xx e2yy )
2
2
Volumen-Kompression: e2xx = e2yy = e2zz = 31 δ; F = 61 (C11 + C12 )δ 2 ;
12
Kompressionsmodul: B C11 +2C
= 3λ+2µ
, F = 21 Bδ 2
3
3
1
1
dV
Kompressibilität: κ = B = − V · dp
Elastizitätsmodul (Youngscher Modul) E =
Spannung
Dehnung
≈
2
dσ
de
=
µ(3λ+2µ
λ+µ
5 Eleastische Eigenschaften
5.2
Konstanten für kubische Kristalle
Elastizitätskraft: fα (~r) = ρüα (~r) =
5.3
P
β
∂σαβ (~
r)
drβ
Schallwellen
• longitudinale ~q Wellenvektor. ~q||~u
• transversale ~q⊥~u
dfx = σxx (x + dx) − σxx (x)dxdz =
ρ
∂σxx
dxdydz
∂x
∂ 2 Ux
∂σxx
=
2
∂t
∂x
σxx = O11 exx = C11
∂Ux
∂x
∂ 2 Ux
∂ 2 Ux
=
C
11
∂t2
∂x2
allgemeine Form
⇒ρ
ρ
X
∂ 2 Ux
∂Uδ
=
Cαβγδ
2
∂t
∂rβ ∂γ
βγδ
Lösung:
Uα = Uoα exp(−iωt + i~q · ~r)
f kubische Kristalle
∂ 2 Ux
∂ 2 Ux
ρ 2 = C11
+ C44
∂t
∂x2
∂ 2 Ux
∂ 2 Ux
+
∂y 2
∂z 2
+ (C12 + C44 )
3
∂ 2 Uy
∂ 2 Uz
+
∂x∂y ∂x∂z
5 Eleastische Eigenschaften
Nach Symmetrie: zyklische Vertauschung x,y,z →
ρ
∂ 2 Uy
= ...
∂t2
∂ 2 Uz
= ...
∂t2
Dispersionsrelation: ωα = vα · q, 3 Modedn ∀ Richtung 1 ||(Longitudinale) + 2 ⊥(Transversale).
für isotropes Medium
q
ω
~u1 ||~q; v|| = q|| Cρ11 Elastizitätsmodul
(
q
~u2 ⊥~q
ω⊥
C44
v⊥ = q
Schubmodul
ρ
~u3 ⊥~q
Messungen [100] → C11 , C44 ; [110]C12
Richtungsabh. von Schallgeschw.
ρ
4
Contents
6 Gitterdynamik und Phononen
6.1 Gitterschwingungen . . . . . . .
6.2 Gitter mit 2-Atomiger Basis . . .
6.3 Quanntisierung elastischer Wellen
6.4 Zustandsdichte der Phononen . .
6.5 Spezifische Wärme . . . . . . . .
6.6 Debye-Näherung . . . . . . . . .
6.7 Anharmonische Effekte . . . . . .
6.7.1 Therminsche Ausdehnung
6.7.2 Wärmeleitfähigkeit . . . .
6.8 Klassisches Drude Modell . . . .
6.8.1 Impuls Reelaxation . . . .
6.8.2 Wechselstromleitfähigkeit
6.9 Sommerfeld-Theorie der Metalle
6.9.1 Spezifische Wärme . . . .
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2
2
4
5
7
8
9
10
11
12
12
14
16
18
21
Chapter 6
Gitterdynamik und Phononen
6.1
Gitterschwingungen
1D Kette mit einatomiger Basis.
Bewegungsgleichungen:
M
∞
X
d2 us
=
cn (us+n − us )
dt2
n=−∞
mit cn als Kraftkonstante
Lösung: us+n = ve−iωt+igna
ω2 M =
∞
X
cn (1 − eiqna )
n=−∞
nach Symmetrie c−n = cn
ω2 =
∞
∞
2 X
1 X
cn (2 − eiqna − e−iqna ) =
cn (2 − cos(qna))
M n=−∞
M n=−∞
c1 >> cn , für n ≥ 2, nur nächst. Nachbarn → ω 2 =
2c1
M (1
r c1 qa ω=2
sin M
2
2
− cos(qa)) =
4c1
2 qa
M (sin ( 2 ))
6 Gitterdynamik und Phononen
bei c2 6= 0; ω 2 =
4c1
M
h
sin2 qa
2 +
i
c2
2
c1 sin (qa)
us+1
us
= eiqa → Phasenunterschied
Wir betrachten den Bereich −π < qa < π. Reduktion auf die 1. Brillouin-Zone;
q0
|{z}
außerhalb 1 BZ
N ∈Z
us+1
us
= q + 2πN
a mit
|{z}
1 BZ
= eiqa · e2πN
- Gruppengeschwindigkeit: vg = dω
dq (entspricht den Energietransport) (vg = 0 eine Stehende Welle, Schwinung
in Gegenphase, kein Energietransport) - Phasengeschwindigkeit: vP h = ωq
Langwelliger Grenzfall: q → 0; λ → ∞
ω2 =
∞
∞
2 X
q 2 a2 X 2
cn (1 − cos(qna) ) ≈
n sn
| {z }
M n=1
M n=1
2
≈1− x2 +...
c11 =
∞
X
n2 2
c
a n
n=1
kurzwelliger Grenzfall: |q| ≈
2dsinθ = λ; d = a; θ =
π
a;
λ = 2a
π
2
3
6 Gitterdynamik und Phononen
6.2
Gitter mit 2-Atomiger Basis
M1
d2 us
= c0 (vs − us ) − c00 (us − vs−1 )
dt2
M2
d2 us
= c00 (vs+1 − vs ) − c0 (vs − us )
dt2
Lösung us = ue−iωt+iqsa ; vs = ve−iωt+iqsa
p
ω2 2
det|...| = 0; Eigenfrequenzen: ω±
= 20 1 ± 1 − γ 2 sin2 qa
2
√ 0 0
√
M1 M2
1
1
c0 c00
0
00
γ = e c0 +c
00 · M +M ; ω0 = (c + c )( M + M )
1
2
1
2
−1
0
00
−1
a) Für q → 0; ω0 = 2C
= µ−1
1 + µ2
µ ; c=c =c ; µ
µ2
u
v = − µ1 : Schwinung in Gegenphase; Ionenkristalle: oszillierendes elektrisches Dipolmoment
2c
2c
b) Für |q| → πa ; M1 < M2 ; ω 2 = M
; ω2 = M
⇒ uv = 0 bzw uv = 0
1
2
Frequenzlücke → ’verbotene’ Zone
3D Kristalle (mit P Atomen pro E.Z.)
• Es gibt 3 akustische Zweige mit 1 longitudinale und 2 transversale
• (3P-3) optische Zweige
4
6 Gitterdynamik und Phononen
6.3
Quanntisierung elastischer Wellen
List (EM-Feld) → Photonen → Teilchen Schall (elastisches Feld) → Phononen → Quasiteilchen
Quasiimpuls: ~~q Energie: Eq~ = ~ωq~
Quasiimpuls und seine Energie ist definiert nur in der 1.B.Z.
1
Eq~ = ~(nq~ + )ωq~
2
Die Eigenwerte sind quantisiert
1
~ ist die Nulpunktenergie des Schwingungszustandes
2 ~ωq
Energieverluste (inelast. Streuung)
Die Energieverluste könnten wir entweder klassisch (komplexe ω, k. Damit entspricht der Imaginäre-Teil den
Verlusten.
Oder die Energieverluste werden quantenmechanisch beschrieben (die Zahl der Teilchen ist reduziert). Inelastische Streuung durch Phononen representiert.
~
Impuls ~k0 +
B
= ~k ±
~q
; Energie ~ω0 = ~ω ± ~ωq
|{z}
|{z}
|{z}
Photon
ein Vektor des reziproken Gitters
Phonon mit Wellenvektor~
q
5
6 Gitterdynamik und Phononen
Ewald Konstruktion
⊕ ein Phonon erzeugt ein Phonon absorbiert
Widerholung mögliche Streuteilchen (Messsonden)
• Röntgen-Photonen: E ≈ 10keV ; ! Phononen: Eg ≈ 10−2 eV
• Elektronen: E ≈ 100eV ; Nachteil die Eindringtiefe ist gering
2
2
p
h
• Neutronen: E = 2m
= 2mλ
2 ≈ 0, 1eV ; können durch den ganzen körper praktisch ungehindert durchfliegen; können mit Phononen interaggieren (innelasische Streuung).
~ ≈
Lichtstreuung: sichtbares List mit λν >> a; |~k0 | << |B|
~
~
Impulserhaltung: k0 = k ± ~q
Elastische Streuung: Rayleigh-Streuung ~k = ~k0 ; ~q = 0
Inelastische Streuprozesse:
6
2π
a ,
nur 1.B.Z.
6 Gitterdynamik und Phononen
Streung an akustischen Phononen: Brilloiu-Streuung Streung an optischen Phononen: Raman Streung
6.4
Zustandsdichte der Phononen
Theorie eines 3D-Kristalls vorgeschlagen von Born-Karman, 1912 (klassische Theorie)
~u(x, y, z) = ~u(x + Lx , y + Ly , z + Lz ); periodische Randbedingung
Wellen (Moden): ~u = ~u0 exp[−i(ωt − qx x − qy y − qz z)]
Periodizität der Atomaren Auslenkung bei qα = mα L2πα ; α = x, y, z und mα ganzzahlige Quantenzahl.
eiqα Lα = 1
bei einem Kristall mit Nα Elementarzellen (E.Z.) in α-Richtung haben wir insgesamt Nx , Ny , Nz = N E.Z. 3N
Lösungen der Bewegungsgleichung; mit p Atome pro E.Z. gibt es 3pN Lösungen der Bewegungsgleichung.
Alle erlaubten wellenvektoren liegen in 1.Brillouin-Zone (1.B.Z.)
’Dichte’ D(q) ≡ ρq im reziproken Raum:
ρq =
N
N Vz
V
=
=
(2π)3 /Vz
(2π)3
(2π)3
7
6 Gitterdynamik und Phononen
Vz -Das Volumen der E.Z. des realen Gitters.
Zustandsdichte als Funktion der Frequenz D(ω): Anzahl von Zuständen pro Einheitsintervall der Frequenz ω
Z
ω+dω
3
D(ω) · dω = ρq
Z
ω+dω
dSω · dq⊥
d q = ρq
ω
ω
dω Gruppengeschwindigkeit: vg = d~q = gradq ω =
| {z }
≡∇ ω dω
dq⊥
q
D(ω) · dω =
V
(2π)3
Z
Schaldeω=const
dSω
· dω
vg
Für isotrope Kristalle:
D(ω) · dω =
4πq 2
V
V q2
dω
=
dω
3
(2π)
vg
(2π)2 vg
Die Zustandsdichte ist um so größer, je flacher die ω(~q) verläuft. Kritische Punkte → van-Hove-Singularitäten
(vg → 0). Häufigstes vorkommen von Zuständen.
2
Aq
q2
A 2πq
L 2
L
V
= 2πv
1D: D1 (ω) = 2π
3D D(ω) = (2π)
2 v ; 2D:D(ω) = (2π)2 v
vg = πvg
g
g
g
6.5
Spezifische Wärme
c = cGes NNA ; NA = 6, 022 · 1023 ; N Elementarzellen E.Z.
c|P =const. cp > c|V =const. = cV ; Unterschied zwischen cp und cV ist in der Realität minimal.
∂
Klassische
Theorie: cV = ∂T
U (T ); U -innere Energie. Therm. Mittelwert der Energiewerte: U ≡ hEi =
P
i pi · Ei ; pi -Wahrscheinlichkeit. Klassisch:
R
−
E
Ee kB T dΓ
hEi = R
− E
e kB T dΓ
dΓ = dx · dy · dz-Phasenraum
harmonischer Oszillator: hEOszi i = kB T 3pN Gitterschwingungen: cV = 3pN kB Dulong-Petit-Gesetz (1819)
8
6 Gitterdynamik und Phononen
J
J
cV = 3R = 3 · 8, 3 mol·K
= 24, 9 mol·K
= const.; R-univers.Gaskonstante
Quantentheorie: Erste Erklärungsversuch von Einstein (1906) und zweiter und besserer Versuch von Debye
(1912).
Zustand n mit En = (n + 12 )~ω; Boltzmann-Verteilung:
e
− kEnT
B
pk = P
∞
n=0
Nenner = e
0
e
− kEnT
=e
− kn~ω
T
h
B
1−e
− k~ωT
i
B
B
h
i−1
P∞ h − 2k~ωT in
P∞
− ~ω P∞
− ~ω
B
= e 2kB T n=0 1 − e kB T
;mit 0 xn =
n=0 e
− 2k~ωT
B
1−xn+1
1−x
≈
1
1−x ;
n → ∞, x →

n
∞
i
h
X
~ω
~ω
1
−
−
(n + ) 1 − e kB T 
U ≡ hEn i =
pn · En = 1 − e kB T ~ω
| {z }
2
n=0
n=0
∞
X
x
P
n
d
xn n = x dx
P
n
xn =
"
hEn i = ~ω
1
e
− k~ωT
B
x
(1−x)2
1
+
−1 2
#
mit En = ~ω(n + 12 )
1
hni − ~ω
; Bose-Einstein Faktor; E(ω, T ) = ~ω[hni + 21 ]
e
6.6
kB T
−1
Debye-Näherung
Debye-Näherung kann man für isotrope Festkörper anwenden mit p = 1 ⇒ ω = vg ; v = vg . Betrachte nur
akustische Phononen.
D(ω) · dω =
V ω2
dω
(2π)2 v 3
Zustandsdichte pro Phononenzweig (Ast)
9
6 Gitterdynamik und Phononen
√
3
Rω
V ωD
V ω2
v
3
N = 0 D (2π)
6π 2 ;
2 v 3 dω = 6π 2 v 3 ; ωD = a
ω ∝ vg
Abscheidefrequenz ωD ⇒ Debye-Frequenz.
ωD =
D(ω) =
vω 2
2π 2
v
a
3
1
3
vL
≈ a3 -Gitterkonstante
√
6π 2
+
2
3
vT
=
3
3 ω2 v
3 ; v3
2π 2 vD
D
≡
1
3
vL
Schwingungsenergie des Kristalls: v(T ) =
)
Spezifische Wärme: cV = ∂v(T
∂T ;
v=
V
N
1
v
2π 2 |{z}
v3
∞
Z
ω 2 E(ω, T )dω =
0
+
R∞
0
2
3
vT
; typisch vL ≈ 32 vT
D(ω)E(ω, T )dω
9N
3
ωD
Z
∞
~ω 3 dω
~ω
0
e kB T − 1
3N 6π 2
v ω3
D
Debye-Temperatur: θD =
cV = 9N kB
T
θD
~ωD
kB
3 Z
0
mit y =
θD /T
~ω
kB T
, Debye-Formel:
y 4 ey dy
(ey − 1)2
Debye-Temperaturen:
CDiamant
Be
Si
Al
Cu Ar He
2230
1000 640 430 340 92 25
θD , K
a) T << θD tiefen Temperaturen → Einstein-Theorie b) T >> θD hohen Temperatruren → klassische Thermodynamik
3
R ∞ y4 ey dy
4π 4
12π 4
T
a): y → ∞, 0 (e
≈ T 3 ; T 3 -Gesetz
y −1)2 = 15 ; cv =
5 N kB θD
3
R θ /T
R θ /T y4 ·1
R θ /T
b): y → 0 , 0 D ...dy ≈= 0 D (1+y−1)
dy = 0 D y 2 dy = 31 θTD , cV = 3N kB , Dulong-Petit Gesetz.
6.7
Anharmonische Effekte
Klassisch gesehen ein Anharmonischer Effekt ist eine Abweichung von harmonischen Potential.
10
6 Gitterdynamik und Phononen
Auslenkungen sind nicht mehr klein! dann bekommt man die anharmonische Effekte.
Quantenmechanisch die Anharmonischen Effekte kann man als Wechselwirkung zwischen Phononen beschreiben
(Phononenstoßprozesse)
Normale Prozesse: ~q1 + ~q2 = ~q3
~
Umklapp-Prozesse: ~q1 + ~q2 = ~q3 + B
6.7
Therminsche Ausdehnung
anharmonische Terme
2
klassisch: U (x) ≈ cx −
z }| {
gx3 − f x4
+...;Auslenkung: hxi =
R∞
0
dxxe
R∞
0
sich:
11
dxe
−U (x)
kB T
−U (x)
kB T
aus der Thermodynamik ergibt
6 Gitterdynamik und Phononen
→ hxi ≈
3g
kB T
4c2
Wärmeausdehnungskoeffizient: α ≡
∂p
∂V
V
;
∂T p = B ∂T
1
l
∂l
∂T p
=
11
3v
∂v
∂T p ;
l ∝ hxi;
∂V
∂T
p
=−
∂V
∂p
·
T
∂p
∂T
;
v
1
B
= − V1
∂V
∂p
T
V
1
3B
α=
p=−
∂F
∂T T ;
p=−
∂p
∂T
V
F -freie Energie;
X ∂(~ωg )
∂
(E0 + Ez ) −
hng (T )i
∂V
∂V
q
E0 -Energie des Grundzustands; Ez -Nullpunkt-Schwingungn hng (T )i-Mittlere Zahl von Phononen
für harmonischen Kristall: cP = cV
α=
1 X
V ∂ωg 1
∂
−
~ωg
hng (T )i
3B q
ωg ∂V |V
∂T
{z
}
cv (q)
=
∂(lnωg )
≡ γq
∂V
γq -Grüneisenzahl Grüneisenparameter γq ≡
α=
1
cV
P
q
γq cV (q) ≈ const. ≈ 1 ÷ 3
γcV
≈ 10−5 K −1
3B
α ≈ T 3 für T << θD ; α ≈ const für T >> θD
6.7
Wärmeleitfähigkeit
κ = κph + κel
Wärmestromdichte J~T = −κ∇T , nach den kinetischer Gastheorie κ = 13 vlcv = 13 v 2 τ cv ; l-Länge; τ -mittlere Zeit
zur Phononenstöße
12
Contents
8 Klassisches Drude Modell
8.0.1 Impuls Reelaxation . . . .
8.0.2 Wechselstromleitfähigkeit
8.1 Sommerfeld-Theorie der Metalle
8.1.1 Spezifische Wärme . . . .
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1
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2
. 3
. 5
. 7
. 10
Chapter 8
Fermi-Gas freier Elektronen
8.1
Klassisches Drude Modell
1. e− haben keine WW mit dem Gitterpotential
2. e− e− Wechselwirkung
3. äußere Felder wirken auf die e−
4. e−
1
2
2 mhv i
= 32 kT
5. τ Stoßanzahl, Rekombintionszeit
~ j=
J~ = ρj; j = σ E;
I
A;
E=
V
L;
1 dt
τ τ
= Wahrscheinlichkeit für Stöße
⇒ V = RJ;
ρL
A
j = −ne~vD
0
~v |t=t1 = vt=t
−
0
~
eEt
m
~vD = h~v i = hv0 i −
=
eEτ
m
(8.1)
eEτ
m
(8.2)
2
8 Fermi-Gas freier Elektronen
~ σ = ne2 τ ; τ = m 2
~j = ne2 τ E;
m
m
ρne
a ≈ 10−10 m; τ = √a ≈ q 3ka T ⇒ τ = 10−14 s
hvi
B
m
1
a|
= n10 ; σ = 10 Ωcm
q300K
2
hv i
3kB T
5m
m ≈ 10 s ; l = τ ≈ 1bis10
23
5
· 10−10 m
l|4K ≈ 100µm
8.1
~v =
p
~
m
Impuls Reelaxation
p
⇒ ~j = − ne~
m Stoßwahrscheinlichkeit:
dt
τ
keine Stoßwahrscheinlichkeit 1 −
dt
)[p(t) + F (t)dt + O(dt2 )]
τ
dt
≈ p(t) − p(t) + F (t)dt + O(dt2 )
τ
p(t + dt) = (1 −
dt
τ
(8.3)
(8.4)
dp(t)
p(t)
=−
+ F (t)
dt
τ
3
8 Fermi-Gas freier Elektronen
Hall-Effekt
~
F = −eE − e~v × B
Eγ = vx Bz = −
RH = −
1
j x Bz = R H j x B
en
1
en
3
3
Kupfer Cq - RH = −5, 3 · 10−11 mc Aluminium Al - RH = +9, 9 · 10−11 mc
dp
e
~ − p~ = 0
= −eE − p~ × B
dt
m
τ
px
e
0 = −eEx − py B −
m
τ
e
py
0 = −eEy − px B −
m
τ
(8.5)
(8.6)
(8.7)
⇒ σEx = ωc τ jy + jx
⇒ σEy = −ωc τ jy + jy
Zyklotronfrequenz
ωc =
e
B
m
Laut Drude sollte ωC τ ∝ B sein, ist es aber nicht (warum, nicht kapito)
4
8 Fermi-Gas freier Elektronen
8.1
Wechselstromleitfähigkeit
~ E(t) = Re{E(ω)e−iωt }
= − τp~ − eE;
Versuch der Lösung
dp
dt
p(t) = −Re{p(ω)e−iωt }
ne
~ ~
−iω~
p(ω) = − p~(ω)
~ ⇒ j(t) = Re{j(ω)e−iωt }
τ − eE; j = − m p
j(ω) = −
σ(ω) =
~
ne
ne2 E(ω)
~
p(ω) =
≡ σ(ω)E(ω)
1
m
m τ − iω
σ0
1 − iωτ
Magnetfeld H(ω) ≈ 0; vc << 1; vD ≈ 10−3 m
s
∂E
~
~
Maxwell-Gleichungen λ = 2πc
ω >> e Ampersche Gesetz: ∇ × H = j + 0 ∂t
~ ×∇
~ ×E
~ = −∇2 E = iωµ0 σ E
~ − iω0 E
~
∇
~
= w2 0 µ0 (ω)E
(ω) = 1 +
(8.8)
(8.9)
iσ(ω)
0 ω
1+iωτ
i
1. hohee Frequenzen σ(ω) = ω0 1+ω
2 τ 2 ≈ σ0 ωτ ; ⇒ (ω) = 1 −
σ0
0 τ ω 2
=
ω02
ω2
Die Plasmafrequenz, ist gerade die Frequenz wo die e− dem Feld noch folgen können.
ωp =
ne2
ne2 τ
=
m0 τ
m0
2. kleine Frequenzen ωτ << 1
σ(ω) = σ0
1 + iωτ
= σ0 (1 + iωτ )
1 + ω2 τ
(ω) = 1 + σ(mega)
1
i
τ
= 1 + σ0 (
−
)
0 ω
0 ω
0
|{z}
|{z}
2
1
5
8 Fermi-Gas freier Elektronen
(ω) == i2
k=
ωp
ω
(ω) =
c
c
r
s=c
r
1
σ0 1 + i
√ = (1 + i)
0 ω 2
s
20
σ0 ω
s ist der Skin oder Leitschichtdicke (Dimension Länge) oder der Skin-Effekt. Der Strom fließt nun noch
an der Oberfläche des Leiters.
1853 Widermann-Franz. Die Wärmeleitfähigkeit und die Leitfähigkeit ist zur Temperatur proportional:
κ
= LT
σ
ωΩ
L-Loreznzahl zwischen 2, 2 − 2, 8 · 10−3 K
2
j T = κ∇T
1
jxT = h vx [ux (x − vτ )i − uc (x + vτ ]i
2
due dT
= nhvx2 iτ
(−
dT
dx
(8.10)
(8.11)
du
cv = n dT
; iv 2 i = hvx2 i = hvx2 i = hvz2 i
1 2
v τ cv
|3 {z }
jT =
κ= 31 v 2 τ cv = 13 lvcv
LT =
κ
cv mv 2
= 2
σ
ne 3
⇒ cv = 32 nkB
L=
κ3
k2
ωΩ mv 2
3
nkB B2 T = 1, 1 · 10−3 2
= kB T
σ2
K
K 2
2
tatsächlich: c2v Fatkro 100 kleiner, v 2 ist ein Faktor 100 größer
6
8 Fermi-Gas freier Elektronen
8.2
Sommerfeld-Theorie der Metalle
Klassische, Ideales Gas Maxwell-Bolzmann Veirteilung
fM G = (v) = n
m 3/2 mv2
−
e kB T
2πkT
Pauliprinzip:
Fermi Dirac Verteilung
fF D = f (v) =
m 3
2π~
2
e
mv 2 /2−µ
kB T
+1
R
n = V f (v)dV ; kB T0 = ν
Zustandsdichte des freien Elektronen Gases:
~
N Elektronen SchrGl: − 2m
∇ψ(~r) = Eψ(~r); ψ(~r) =
Peridizitätsbedingung: ψ(x, y, z) = ψ(x + L, y, z)
ki = 2π
L mi i = x, y, z; m = 1, 2, 3
D(E)dE =
V
(2π)3
Z
E+dE
d3 k =
E
V
ρx = (2π)
3
Gruppengeschwindigkeit: vg =
∂E
∂(~k
=
V 1
(2π)3 ~
√1
V
~
e−k~r ; 1 =
Z
E=const.
~k
m
7
dSE
vg
R
V
|ψ(~r)|2 dV ; E =
~2 k 2
2m ;
8 Fermi-Gas freier Elektronen
1
vg
Randbemerkung:
D↑ (E) =
R
dSE =
1
vg
− 4πk 2
V 1m
(2m)3/2 √
2
V E
4πk
=
(2π)3 ~ ~k
4π 2 ~2
Volumen normierte und mit 2 e− besetzte Zustandsdichte:
D(E) =
L ∝
2π
m
D2D = π~
2;
ρ∝
k =
1
(2m)3/2 √
(D↑ + D↓ ) =
E
V
2π 2 ~2
D1D (E) =
1
π~
q


1 :
f (E, T = 0) = 12 :


0:
µ=
∂F
∂N T,V
n=
2
E
E<µ
E=µ
E>µ
= EF (T = 0)
N
=
V
Z
∞
Z
EF
D(E)f (E, 0)dE =
0
0
8
8 Fermi-Gas freier Elektronen
EF =
~2
(3π 2 n)2/3
2m
2
~
2 1/3
Fermi-Energie: EF = 2m
(3π 2 n)2/3 mit Elektronendichte n = N
Fermi
V Fermi-Wellenvektor kF = (3π n)
EF
~
2 1/3
Fermi Temperatur TF = kB
Impuls: pF = ~kF Fermi-Geschwindigkeit vF = m (3π n)
n/106 m−3 kf /A−1 vF 106 m
EF /eV F T /KF
s
Al
18,1
1,8
2,0
11,7
135000
Cu
8,5
1,4
1,6
7,0
82000
Ag
5,9
1,2
1,4
5,5
64000
µ(T ) ≈ EF [1 −
π2
12
T
TF
2
]
TODO Einleitende Abbildungen möglich am anfang von Sommerfeldtheorie einfügen
Kurze Einleitung was die
Quantennatur der Theorie ist (Pauliprinzip, Besetzung in der Fermikugel, nur an der Fermikante befindliche
elektronen sind relevant für verschiedene Effekte)
9
8 Fermi-Gas freier Elektronen
8.2
cV =
Spezifische Wärme
∂
∂T
U (T ) mit U als innere Energie
∂
U (T )
∂T Z
∞
∂
ED(E)f (E, T )dE
=
∂T 0
3/2 Z ∞ 3/2
∂ 1
2m
E dE
=
E−µ
2
∂T 2π
~
0
e kB T − 1
cV =
(8.12)
(8.13)
(8.14)
√
(2m)3/2 E
D(E) =
2π 2 ~3
2
−3/2
3 √
~
= n E
(3π 2 n)2/3
2
2m
1/2
3 n
E
=
2 EF EF
(8.15)
(8.16)
(8.17)
’grobe’-Rechnung:
Z
EF
U (0) =
ED(E)dE
(8.18)
0
=
3 n 2 5/2
E
2 E 3/2 5
(8.19)
F
3n
EF
5
3n
=
kB T
5
=
(8.20)
(8.21)
Temperaturabhängige Anteil der innerer Inergie:
δU (T ) = U (T ) − U (0) ≈ nkB T
T
T2
= nkB
TF
TF
T2
TF
der Bruchteil der Elektronen der die thermische Energie kB T pro Elektron aufnehmen kann
∂
BT
cV ≈ ∂T
[δU (T )] = 2nk
ist um Faktor TTF kleiner als mit einem klass. Gas.
TF
exaktere Näherungslösung: U (T ) ≈ U (0) +
Die gesamte spezifische Wärme:
π2
2
6 D(EF )(kB T ) ;
10
cV = γT ; mit Sommerfeldkonstanten γ =
π 2 3nkB
3TF 2
8 Fermi-Gas freier Elektronen
cges
V
=
cel
V
+
cph
V
(
βT 3 ,
= γT +
3R = const,
T << θD
T > θD
Offene Fragen nach Sommerfeld-Modell:
1. Warum collidieren e− -nen nicht mit Ionen?
2. Warum teilen/unterscheiden wir zwischen Metalle, Halbleiter, Isolatoren?
3. Warum wechselwirken e− -nen nicht mit einander?
Die ersten zwei Fragen sind von Bloch-Theorie beantwortet. Die dritte Frage - Fermi-Flüssigkeiten (komplizierte
QM-Theorie)
11
Chapter 9
Energiebänder
Oder warum unterscheiden wir zwischen Halbleiter, Leiter und Isolatoren.
’gute’ Leiter: ρ ≈ 10−10 Ω · cm ’gute’ Isolator: ρ ≈ 1022 Ω · cm
1 Beispiel: Model des nahezu freien Elektronen
Ex =
~2 k 2
2m ;
~
Wellenfunktion ψ~k = eik~r
~ = ~k mit reziproken Gitter G
~
Laue (Bragg-Reflekton) −~k + G
~ 2 = ~k 2 ⇒ 2kG = G2 ;
(−~k + G)
k=
G
π
= ± nG
2
2
1
9 Energiebänder
Zwei verschiedene Stehende Wellen:
ψ+ ∝ e i
πx
a
+ e−i
πx
a
ψ− ∝ e i
πx
a
− e−i
πx
a
= 2cos
πx
a
= 2isin
Gruppengeschwindigkeit vG =
πx
a
∂Ek
∂p
=
~k m k=± π
a
ρ+ = |ψ+ |2 ∝ cos2
πx
1
2πx
= (1 + cos2
)
a
2
a
ρ− = |ψ− |2 ∝ sin2
πx
1
2πx
= (1 − cos2
)
a
2
a
=! 0;
Wahrscheinlichkeitsdichte ψ ∗ ψ = |ψ|2 ; ρ0 = 1e = e−ikx eikx e
Erwartungswert der Potentiellen Energie: Eρ+ < Efrei < Eρ− , U (x) = U cos 2πx
4 ;
2
9 Energiebänder
Eg =
=
=
=
=
Z
1
dxU (x)[|ψ− |2 − |ψ+ |2 ]
a
Z
2U a
2πx 1
2πx
2πx
dxcos
[1 − cos
− 1 − cos
]
a 0
4 2
a
a
Z a
2U
2πx
dxcos2
a 0
a
Z a
U
4πx
dx(1 + cos
)
a 0
a
a
U
a
4πx (x +
sin
)
a
4π
a 0
≡ U = EB − EA
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.5)
(9.6)
Elektronen in einem periodischen Potential (QM)
Hψ(~r) = [−
~2
∇ + Ṽ (~r)]ψ(~r) = Eψ(~r)
2m
Translationsinvariant: Ṽ (~r) = Ṽ (~r + ~l)
~ (blochscher Ansatz)
Entwicklung nach reziproken Gittervektoren G
Ṽ (~r) =
X
ψ(~r) =
X
~
ṼG · eiG~r
G
ck eikr
k
Einsetzen in die SGL:
X ~2 k 2
~
k
2m
~
ck eik~r +
X
0
ck0 ṼG ei(k +G)~r ≡
X
~
ck eik~r
k
~
k0 ,G
~ =k→
Umbenennung (summe über alle k 0 ): k 0 + G
"
0=
X
e
i~
k~
r
~
k
#
X
~2 k 2
(
− E)ck +
ṼG c~k−G
~
2m
G
|
{z
}
=0
(
X
~2 k 2
− E)ck +
ṼG c~k−G
~ =0
2m
G
Dieser Satz algebraischer Gleichungen ist die Darstellung der Schrödigner Gleichung im ~k-Raum ⇒ Ek -Energie
Eigenwert.
ψk (~r) =
X
~
~
i(k−G)~
r
c~k−G
~e
(9.7)
~
G
=
~
X
eik~r
|{z}
~
−iG~
r
c~k−G
~e
(9.8)
~
ebene Welle G
|
{z
Uk (~
r)
}
~
= Uk (~r)eik~r
(9.9)
Bloch Theorem: Die Eigenfunktionen der SG. für ein periodisches Potential sind das Produkt aus einer ebenen
Welle und einer Funktion Uk (~r) mit der Periodizität des Gitters.
3
9 Energiebänder
~
~~
~ = Uk (~r + R)e
~ ik~r eikR
ψk (~r + R)
|
{z
}
(9.10)
ψ~
r
ψk+G (~r)
X
~
0
ck+g0 −G ei(k+G −G)~r
G
Umbenennung G00 = G − G0
~
⇒ eik~r
X
G00
~ 00
−iG ~
r
c~k−G
~ 00 e
{z
}
|
U~k (~
r)
⇒ ψ~k+~a (~r) = ψk (~r)
Hψk+G (~r) = E~k+G
r)
~ 0 ψ~
~ 0 (~
k+G
Hψk (~r) = E~k+G
r)
~ 0 ψ~
k (~
⇒ Ek+G0 = Ek
Lösung der SG. an der Grenze der Brillouin Zone.
4
9 Energiebänder
(E −
X
~2
|k − G|2 )ck−G =
ṼG0 ck−G−G0
2m
G
P
ṼG0 ck−G−G0
~2
E − 2m
|k − G|2
P
00 VG00 −G ck−G00
= ~2G
2
2
2m (k − |k − G| )
ck−G =
G
(9.11)
(9.12)
2 2
~ 2 Abkürzungen g = 2π ; G = 0,G = g; λk = ~ k
Umbenennung: G = G00 − G Nullstellen: k 2 = |~k − G|
a
2m
Zwei Komponenten Näherung
Erste Bedingung: → (λk − E)ck + Ṽg ck−g = 0 zweite Bedingunge:
→ (λk−g − E)ck−g + Ṽg ck = 0
q
Daraus resultieren Energieeigenwerte: E± = 12 (λk−g + λk ±
An der Grenze der Brillouin Zone
E± = E g2 ± |Ṽg |
ck−G
ck
=
E−λ
Ṽg
5
(λk−g − λk )2 + Ṽg2 und k =
g
2
→ λk−g = λk
9 Energiebänder
9.1
Tight-binding Model
’stark gebundene Elektronen’
ρ ∝ |ψa − ψb |2
LCAO = Linear Combination of Atomic Orbitals
Hφ = Eφ
H = HA + HS
H=−
(m 6= n)
~2
~ m)
∇ + Ṽ (~r − R
2m
Rm ≡ Gittervektor
6
9 Energiebänder
X
HS =
~ n)
ṼA (~r − R
n6=m
Energie eigenwerte Ek
R ∗
ψ HψdV
Ek = R ∗
ψ ψdV
ψ~k =
X
~ m)
am φ(~r · R
m
1 ~~
am = √ eikRm
N
N ≡ Anzahl der Atome
Bloch-Funktionen → orthonormal Basis lokalisierter Zustände Wnnier-Funkitonen
X
~~
~ m)
~ m ) = √1
e−ikRm ψk (~r − R
wm (~r · R
N ~
k
1 X i~kR~ m
~ m)
ψ=√
wm (~r − R
e
N ~
Rm
1
E~k =
Z
φ∗ φdV
| {z }
=1
Wellenfkt kaum Überlappung
Z
~ m )φ(~r − R
~ m )dV ≡ Energieänderung durch das Nachbarpotential
φ∗ (r − Rm )Hs (~r − R
Z
~ n )HS (~r − R
~ m )φ(~r − R
~ n ) ≡ Energieänderung durch den Überlapp der W.F.
φ∗ (~r − R
α=−
β=−
Z
1 X ik(Rm−Rn )
~ m )φ(~r − R
~ m )dV ]
e
φ∗ (r − Rn )[HA + HS (~r − R
N m,n
Eki = Ei − αi −
X
βi,n eik(Rn −Rm
(9.13)
= Ei − αi 2βi (cos(kx a) + cos(ky a)
(9.14)
Für ein kubisch primitives Gitter Rm − Rn = (±a, 00), (0 ± a, 0), (0, a ± a); ⇒ Entwickeln für kleine k:
Ek,i = Ei − αi − 6βi + βi a2 k 2
Ei =
~2 k 2
~2
⇒ m∗i =
2m
2βi a2
Energiedispersionspektrum Ei (k)
7
9 Energiebänder
Isolator, ρ = 107 − 1014 Ωm; EF =
~2
2
2/3
2m (3π ne )
Metall: ρ = 10−4 − 10−8 Ωm;
2D-Gitter → verschiedene Kristallrichtung
Halbmetalle As, Sb(Antimon), Bi
8
9 Energiebänder
9.2
Brillouin-Zonen und Fermi- Flächen
Brillion-Zonen und Fermi Flächen (2D BZ)
9
9 Energiebänder
an der zonengrenze (stehende Wellen)
∂ω
1~
= ∇E
⊥ =0
∂k
~
10
9 Energiebänder
11
Contents
10 Elektronische Transporteigenschaften
10.1 Elektronien als Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Ladungstransport: Elektronen und Löcher . . . . . . . . . . .
10.3 Elektronen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Experimentelle Methoden zur Bestimmung der Fermi-Flächen
1
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2
2
4
5
7
Chapter 10
Elektronische Transporteigenschaften
Bewegung der e− -nen, effektive Masse.
10.1
Elektronien als Wellenpakete
Ausgedehnte Wellen δkδr > 1
ψ(~r, t) =
X
2
~k
~
g(~k) · ei(k~r− 2m t
~
k
pt
mit r = 2m
Koeffizienten g(~k) sind innerhalb δk ’gaußförmig’ verteilt. Das entspricht einer semiklassischen Näherung.
1
1 ∂E(~k)
∂~r
≡ ~v (~k) = ∇~k E(~k) =
∂t
~
~ ∂~k
mit E(~k) Energie vom Wellenpaket. z.B. für freie e− -nen E =
Semiklassische Bewegungsgleichung:
~
∂~k
~ r, t)
= F~ = −e~
~E(~r, t) − ~v (~k) × B(~
∂t
~ magnetisches Feld; E(~k) = E(−~k)
E~ Elektrisches Feld; B
2
~2 k 2
2m ;
vg =
~k
m
Gruppengeschwindikeit.
10 Elektronische Transporteigenschaften
Ep (~k) = −En (~k);
P~
k = 0; ~kp = −~kn
Gruppengeschwindigkeit:
k)
∂~
v 1 ∂E(~
(
)
~
t ~ ∂~
k
=
k) d~
∂ 1 ∂E(~
(
) dtk
∂~
k ~ ∂~
k
=
1 X ∂ 2 E(~k)
∂vi
=
Fj
∂t
~ j ∂ki ∂j
=∗
Tensor der effektive Masse [m∗] ≡m
mit
1
m∗
=
ij
1 ∂ 2 E(~k)
~2 ∂ki ∂kj
3
2
k
1 ~ ∂ E(~
~2 F ∂ ~
k∂~
k
10 Elektronische Transporteigenschaften
1D: m∗ ist klalare Größe m∗ (k) =
~2
d2 E(k)
[ dk2 ]
Bloch-oszillationen: ~ dk
dt = F = −eE
Periode dieser Bloch Oszillationen:
T ∝
10.2
δk
2π/a
∝
|dk/dt|
eE/~
Ladungstransport: Elektronen und Löcher
1
m∗
p
1
= 2
~
"
∂ 2 E(~k)
∂~k∂~k
#
p
1
= 2
~
"
−∂ 2 E(~k)
(−∂~k)(−∂~k
#
=−
p
Bewegungsgleichungen:
~
∂~kn
~
= −e(E~ + ~vn × B)
∂t
4
1
m∗
n
10 Elektronische Transporteigenschaften
~
10.3
∂~kp
~
= +e(E~ + ~vp × B)
∂t
Elektronen im Magnetfeld
Semiklassische Näherung für Bloch Elektronen
⊥
Im realen Raum: τB = mv
eB Umlauffrequenz ist Zyklotronfrequenz: ωc =
~
∂E ∂~
~ =0
· ∂tk = ~~v (− ~e ~v × B)
~ ∂∂tk = F~ durch E = const, ⇒ ∂E
∂t = ∂~
k
eB
m
Im ~k-Raum mit ~v =
1 ∂E
,
~ ∂~
k
und
~
~
~
k·B
~ + ∂ B~ · ~k = 0
= ∂∂tk · B
durch kn = const, ⇒ ∂(∂t
∂t
Im ~k-Raum Umlaufbahn eines Elektron ist eine Schnittlinie von eine Fläche konstanter Energie ( ≡ Fermi-Fläche
~ (~k|| = const.)
T << TF und eine Ebene ⊥B
5
10 Elektronische Transporteigenschaften
a) ’geschlossene’ Fermi-Fläche
b) ’Offene’ Fermi-Fläche (z.B. Cu,Au)
~
~ = − e2 ∂E × B
~
Bewegungsrichtung: ∂∂tk = − ~e ~v × B
~ ∂~
k
Die Zeit Tc die ein Elektron für einen Bahnumlauf benötigt:
i
e h
~ dt
d~k = − 2 ∇k E(~) × B
~
I
Tc =
I
dt =
~ kE
d~k⊥∇
I
|d~k|
~2
~2
dk⊥
~2 dS
=
· |d~k| =
|dE/dk⊥ | eB
eB
∂E
eB dE
6
10 Elektronische Transporteigenschaften
I
dS =
dk⊥ |dk|
für freien e− -nen: ωc =
10.4
eB
m;
Tc =
2πm dS
eB ; ∂E
=
2πm
~2 :
Bloch Elektronen m ≡ mc
Experimentelle Methoden zur Bestimmung der Fermi-Flächen
1) de-Haas-van-Alphen-Oszillationen (Magnetisierung)
2) Schubnikov-de-Haas-Oszillationen (Wiederstand)
3) Zyklotronresonanz: Gantmacher-Effekt
Landau-Niveaus: Quantisierung der Elektonbahnen im Magnetfel (1930)
1
~ 2 ψ = Eψ
(−i~∇ + eA)
2m
7
10 Elektronische Transporteigenschaften
~ = (0, xB, 0) Landau-Eichung A
~ = (−yB, 0, 0) oder − yB , xB , 0
Coulomb-Eichung A
y
2
~2 k 2
Eigenwerte: E = El + E(kz ) = (l + 12 )~ωc + 2mz mit l als Quantenzahl
2
~2 (kx
+ky2
Landau-Röhren (Zilinderoberflächen im ~k-Raum):
2m
12
1
1
q
2m
1
2eB
1 2
1 2~ 2
2
2
kx + ky =
(l + )ωc =
(l +
; ⇒ rl = (l + )
~
2
~
2
2 eB
k ⇔ r Faktor
δB =
δ
~
eB
2πe 2
B
~Se xt
1
e~
=
B
mc EF
8
Contents
11 Halbleiter
11.1 Niedrigdimensionale Elektronensysteme . .
11.2 Niedrigdimensionale elektronensysteme: 0D;
11.2.1 Coulomb-Blockade . . . . . . . . . .
11.3 Quanten-Hall-Effekt in 2DEG . . . . . . . .
. .
2D
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1
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2
3
6
8
9
Chapter 11
Halbleiter
Charakteristika:
• Metallischen Glanz aber kein Metall
• Negativer Temperatur Koeffizient ρ ↑
T ↓
• Photoleitfähigkeit
• Eigenschaften können von Verunreinigungen empfindlich abhängen
Materialien: 4.hauptgruppe: Si,Se, Ga,Teller, P, B, Verbindungen III-V: GaAs, InSb II-VI: ZnS,CdS IV-IV: SiC
Elektrischer Widerstand
Metall ρ = 10−7 bis 10−8 Ωm isolator ρ > 1012 Ωm Halbleiter ρ = 10−4 bis 107 Ωm ∃ Bandlücke, kleiner als
bei Isolatoren bei T=0 Halbleiter sind Isolatoren T¿0 Wahrscheinlichkeit für eine Termische Anregung Eg >
Eg
0, 1...2eV E ∝ e− 2kT
Intrinsische Halbleiter: Eigenschaften werden durch Thermische anregung bestimmt Extrinsische Halbleiter:
Eigenschaften werden durch Dotierung von Frembatomen bestimmt
1) Intrinsische HL
a) Bandlücke und optische Abstände Indirekter Übergang Impuls wird durch Phonon gewährleistet;
Kristallimpulserhaltung Übergang hängt von Phononenspektrum ab und daher von der Temperatur
abhängig. Photon: große Energie, kleiner Impuls; Phonon: kleine Energie, großer Impuls
Direkter Übergang
schwache Temperaturabhängigkeit (vgl 1500nm ≈ 0, 8eV
b) Effektive Massen von Elektronen und Löchern
Bandkrümmung in der Nähe des Übergangs,; Parabolische Näherung:
En = EL +
~2 k 2
2m∗
mit n=Elektronen und p=Löcher. Elektronen im Leitungsband im
Transversal Longitudinal
m∗
m∗
t
l
Si
m∗e = 0, 19
me = 0, 19
mt
m∗
l
Ge me = 0, 082
me = 1, 57
Löcher im Valenzband Si
GaAs
Löcher
Transversal
0, 16mc
leicht Loch
Transversal
m∗
t
me = 0, 12
leicht
leicht Loch
Longitudinal
0, 49mc
schweres Loch
Longitudinal
m∗
l
me = 0, 61
schwer
schweres Loch
c) Metall-Halbleiter Übergang
Austrittsarbeit φ zum Vakuum. Die Austrittsarbeit bestimmti die el. Eigenschaft.
n-Dotiert: φHL > φM E ohmscher Kontakt φHL < φM E blokierender Kontakt (Schottky-Kontakt).
An der Grenzfläche ensteht eine Hochohmige Verarmungszohne. Elektronen fließen ins Metall
p-Dotiert: genau andersherum
2
11 Halbleiter
2) Dotierte HL
a) Spezifischer Widerstandhängtstart von der Konzentration der Verunreinigung ab.
b) Donatoren: liefern zusätzliche Elektronen ins Leitungsband: P, As, Sb; haben eine höhere Valenz
Akzeptoren: liefern zustzliche Löcher in Valenzband. niedrigere Valenz als das Wirtsmaterial:
B,Al,Ga,In
Modell: Donator verhält sich wie ein positiv geladenes Ion mit zusätzlichen Elektron. Bohr-Radius
somit größer als beim H-Atom; Bindungsenergie ≈ 10meV
3) Inhomogene HL
a) p-n Übergang
• angleichung des chem. Potentials (EF )
• Verarmung freier Ladungsträger im Bereich des Übergangs durch rekombination mit Ladungsträgern
von anderen Typ.
• geladenen Störstellen bleiben zurück, es entwickelt sich eine Raumladungszone
b) Schottky-Motell
Kastenförmiger Verlauf der Raumladungs-Zone; V (x) =Potentialverlauf, in y,z ∞ ausgedehnt Poisson
Gl:
∆V (x) =
−ρ(x)
0
selbstkonsistenzproblem: ρ(x) hängt von V (x) und umgekehrt ab. Itaratir ρ(x) → V (x) → ρ(x)
Dicke der Raumladungszone eVD ' Eg ≈ 1eV, n = 1010 bis 1024 ; d = 1µm bis 10nm; vergl. AtomV
Atom ≈ 1010 m
c) Ströme in Gleichgewicht
Diffusionsstrom. El aus dem n-HL rekombinieren mit Löchern p-HL ⇒ Ladungs
Feldstrom: Elektronen aus dem p-HL (Minoritätsladungsträder) werden durch das E-Feild in n-HL
Im Gleichgewicht heben sie sich auf.
Ph Übergang unter Spannung
• EF + eU muss ausgeglichen sein
• Durchlassrichtung U rec die Potentialdifferenz
• Sperrichtung Pot-Diff vergrößert
• Diode Durchlassrichtung große lLeitfähigkeit; Sperrichtung kleine Leitfähigkeit
11.1
Niedrigdimensionale Elektronensysteme
z.B. Halbleiter- Heterostrukturen
3
11 Halbleiter
’Modulation-doped heterostructure’ (engl)
z.B. 3D Metalle: k1F ≈ 1A 2DEG≡ ’2-dimensionales elektron gas’
1
1
≈ 2πn)− 2
kF
mit n ≈ 3, 5 · 1015 m−2 ⇒ k1 ≈ 100A
!Die Gitterkonstante I und II möglichst wenig unterscheiden. z.B. AlGaAs/GaAs:
7 cm2
D
’mobility’ [µ] (engl) Beweglichkeit: u = |~~v | = eτ
m∗ → bis zu 10 V s
z-Quantisierung: Lz ≈ λ2F ≈ 100A
EF turnalbe by Gate
1D system: 1D Kanal → Quantisierung in y-Richtung
4
11 Halbleiter
’Ballistic quantum wire’ → 1D Leiter
Im Dracht treten keine Streuprozesse auf und die Bewegung der e-nen erfolgt ballistisch (ohne Streung ohne
WW).
µ-Elektrochemisches Potential:
∆µ = eV
5
11 Halbleiter
Strom :
I = nehvi
1X
=
evk
L
k
Z
eV
1 ∞ 1D
eV
ρk evk f (E +
=
− f (E −
dk
L 0
2
2
Z ∞
e 1 ∂E
=
dk · eV
π ~ ∂k
0
2e2
=
V
h
(11.1)
(11.2)
(11.3)
(11.4)
(11.5)
1 ∂E(k)
2L
mit ρ1D
k = 2π ; v(k) = ~ ∂k
’conductance quantization’
2e2
I =
V 1 Kanal
h
Leituwertsquantum; Widerstandsquantum: RQ =
h
2e2
= 12, 906kΩ
↑
↓
für eine Spinrichtung: RQ
= RQ
= 25, 812kΩ
11.2
Niedrigdimensionale elektronensysteme: 0D; 2D
0D: Quantumpunkte (quantum dots)
6
11 Halbleiter
Die elektrostatische Energie: E(N ), N ist die Zahl der e-nen auf dem Quantenpunkt (QP).
E(N ) =
(N e)2
− φN e
2C
mit φ ∝ Vg ist das elektrostatisches Potential C ∝ Cg , E(N ) umso größer ist, je kleiner der QP und somit C ist.
Ladeenergie: E(N + 1) = E(N ); (2N + 1)e2 = 2Cg eVg ; Vg = Ceg (N + 12 )
7
11 Halbleiter
11.2
Coulomb-Blockade
2
e
Die Energie 2C
= EC muss bei der Gate-Spannung Vg = eN
Cg aufgebracht werden, wenn 1e hinzugefügt (oder
entfernt) werden soll.
Wenn Source und drain sind gekoppelt mit dem Widerstand R → Zeitskale δt ≈ RC
δE =
h
h
e2 h 1
RQ
'
=
= EC
2
δt
RC
c e R
R
|{z}
∝EC
↑
RQ
=
h
= 25812Ω
e2
→ Fluktationen den Coulomb-Ladeeffekt ausschmieren. Bedingungen für die Beobachtung:
• R >> RQ eh2
•
e2
C
>> kB T
8
11 Halbleiter
11.3
Quanten-Hall-Effekt in 2DEG
~ − mv
m~v˙ = −e(E~ + ~v × B)
τ
vx = −
eτ
(Ex + vy B)
m
vy = −
eτ
(Ey + vx B)
m
→ vy =
Ex
ρxx
=
Ey
ρyx
ρxy
ρyy
jx
y
B
für isotrope Materialien ρxx = ρyy = nem2 τ ; ρxy = ρyx = ne
eτ
1
1
Mit jy = 0, → es folgt Ey = − m BEx = − ne Bjx = RH Bjx ; Hall Konstante: RH = − ne
; Quanten-Hall-E.
ρxy
ρxx
Hall-Widerstand Ry = | d | Rx = | d |
Entartungsgrad für jedes Landau-Niveau:
gl =
LW
(Sl+1 − Sl )
(2π)2
mit S als Querschnittfläche von Landaurohren in der periodischen Bedingung
1 2πeB
Sl = (l + )
2
~
~2 k||2
1
El = (l + )~ωE +
2
2m
gl =
e
LW B
h
N Elektronen verteilt auf p voll besetzen Landau Niveaus: N = nLW d
9
11 Halbleiter
N = p · gl
D(E)|2D =
m
= const
π~2
Ry = ρxy /d =
ρxy
LW B
RQ
BLW d
1 h
= 2
=
=
=
2
ned
pe
LW
B
p
e
p
N ed
v.Klitzing entdeckt 1980, Nobel Preis 1985
10
Contents
12 Magnetismus
12.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Diamagnetismus freier Elektronen: Landau-Diamagnetismus .
12.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Paramagnetismus von Ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Kühlung durch adiabatische Entmagnetisierung . . . . . . . . . . . .
12.4 Ferrormagnitismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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2
3
3
4
4
6
6
Chapter 12
Magnetismus
~ ist das magnetische Moment pro Volumen. M
~ = n~
Die Magnetisierung M
µ ; µ ist mittleres Dipolmoment.
Magnetische Suszeptibilität: [χ] Tensor
[χ] ≡ χ =
~
~
M
M
= µ0
~
~
H
B
Skalar (Vereinfacht) χ =
M
H;
χ < 0: diamagnetische festkörper; χ > 0: paramaggnetische Festkörper
2
12 Magnetismus
Lenz-Regel I ∝
12.1
dφ
dt
Diamagnetismus
Diamagnetismus ist eine Schwächung des äußeren Feldes. Klassische (Langevin) und quantenmechanische Behandlung. Beide kommen zu gleichen Resultaten.
χd |Atome ∝ 10−6 bis 10−7
χa |Atome = −
hµ0 e2
Zhr2 i
6me
mit Z Elektronenzahl und hr2 i mittlerer abstandsquadrat der e-nen
12.1
Diamagnetismus freier Elektronen: Landau-Diamagnetismus
1930 Landau-Quantisierung
2
2
~(kx
+ky2 )
2me
= (l + 12 )~ωc ; l = 0, 1, 2, 3... B-Feld in z-Richtung.
∂ F
mit χ = − ∂H
2
F = kB T ln
X
− kiET
e
B
alle Zustände
3
12 Magnetismus
1
1
3 n
n
χd |Landau = − µ2B µ0 D(EF ) = − µ2B µ0
=−
µ0 µ2B ∝ 2 · 10−7
3
3
2 EF
2EF
mit dem Borsches Magneton µB =
12.2
e~
2me
und Zustandsdichte D(EF )
Paramagnetismus
Paramagnetismus freier e-nen ist allgemein bekannt als Paulische Spin Suszeptibilität.
Roter Bereich δn kommt dazu, es gibt insgesammt mehr Elektronen
δn =
1
D(EF )2µB B
2
M = δnµB = µ2B BD(EF )
χP |Pauli = µB
χP |Landau
12.2
M
= µ0 µ2B d(EF ) = −3χd |Landauu
B
1 = − χd 3
Pauli
Paramagnetismus von Ionen
Aus der Atomphysik: µ
~ = −gµB J~0 mit g Lande-Faktor J~0 ~J~ Gesamtdrehimpuls des Atoms
Jˆ = L̂ + Ŝ
g =1+
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
2J(J + 1)
L-Bahndrehimpulsquantenzahl und S-Spinquantenzahl
Quantentheorie ( nur für Zwei-Niveau-Spinsystem)
4
12 Magnetismus
~ = mJ gµB B
V = −~
µB
| {z }
µ
± 12 ;
g = 2; V = ±µB B
mit mJ =
Im Gleichgewicht für T 6= 0; Faktor x =
µB
kB T
n↑
ex
= x
n
e + e−x
n↓
e−x
= x
n
e + e−x
Magnetisierung M = (n↑ − n↓ )µ = nµtanh(x)
für x << 1 (hohe T) tanh(x) ∝ x
M ≈ nµ
µB
kB T
Curie-Gesetz:
χpa ≈
nµ2
1
µ0 ≈
kB T
T
Ein Atom mit Gesamtdrehimpulsquantenzahl J besitzt in einem Magnetfeld (2J+1) äquidistante Energieniveaus
M = ngJµB BJ (x)
mit BJ (x) Brillouin-Funktion für x << 1
χpi = µ0
g 2 µB
C
µ
= nJ(J + 1)
∝
B
3kB T
T
5
12 Magnetismus
12.3
Kühlung durch adiabatische Entmagnetisierung
von Debye 1926 vorgeschlagen und 7 Jahre später realisiert.
a - gute Wärmekontakt bis mK b - Probe von Umgebung isoliert ≈ 10µK Bei Cu Kernentmagnetisierung
12.4
Ferrormagnitismus
• Spontante Magnetisierung unterhalb unterhalb einer kritischen Temperatur TC
Grund: Energiegewinn durch Ausrichtung der magnetischen Momente
6
12 Magnetismus
1) Molekularfeldänderung
Bef f = BA + BH = Ba + λµ0 M
λ ist die Molekularfeldkonstante mag WW für 2 Spinns: ≈ 0.1T
der Spins
Magnetisierung wird durch Molekularfeld getrieben
MS = ngµB JB(x),
x=
BH ≈ 1000T ⇒ nicht durch die mag WW
gµB λµ0 MS
kB T
Curie-Konstante
TC =
ng 2 J(J + 1)µ2B λ
=C ·λ
kB
Θ=λ·C
mit Θ paramagn Curie Temp.
A
Fe: λ ≈ 5000, MS = 1, 6 · 106 m
BM ≈ 1000T
p2 = g 2 s(s + 1)
2) Austausch WW zwischen lokalen orten Elektronen
System 2 weiterer Ionen mit 2E (Isolator)
ψ(r1 , s1 ; r2 , s2 ) = ψ(r1 , r2 )ψ(s1 , s2 )
ψS = A[ψa (r1 )ψb (r2 ) + ψb (r1 )ψa (r2 )]
Symmetrische Ortswellenfunktion ⇒ Spin Wellenfkt antisymmetrisch
ψA = A[ψa (r1 )ψb (r2 ) − ψb (r1 )ψa (r2 )]
Antisymmetrische Ortswellenfunktion ⇒ Spin Wellenfkt symmetrisch
WW Potential des Gesamtzustandes
V (r1 , r2 ) = Ṽ (r2 , r1 )
Austauschkonst J
J = ES − EA ≈ 4A2
Z
ψa∗ (r1 )ψb∗ (r2 )Ṽ (r1 , r2 )ψb (r1 )ψa (r2 )dV1 dV2
Kinetische Energie des e-trons wird vernachlässigt
7
12 Magnetismus
• J > 0 - parallele Ausrichtung des Spins
• J < 0 - antiparallele Ausrichtung des Spins
|J| =
3kB Θ
zs(s + 1)
Ṽel (r1 , r2 ) =
e2
(4π0 |r1 − r2 |
Coulomb WW versucht die Spins auszurichten. Vi (r1 , Vi (r2 ), attraktiv, negative Beitrag zu J
relative Gröpe entscheidet über Ausrichtung der Spins
Alternativ Pauliprinzip
S1 , S2 Spinoperatoren der Elektronen
S = |s1 + s2 |2 =
3
+ 2s1 s2
2
s1 s2 = − 34 S = 0 Singulett Zustand s1 s2 = − 14 S = 1 Triplett Zustand
Hamilton Operator für Zustand Spin System
1
(ES + 3EA ) − (ES − EA )s1 s2
4
1
(ES + 3EA )
=
|4
{z
}
Hspin =
=0
(12.1)
−Js1 s2
(12.2)
bei geeigneter Wahl des Nullpunktes
= −Jij si sj
|Heisenberg Modell des Ferrormagneten
(12.3)
3) Austausch WW im freien Elektronen Gas
Freies Elektronengas → Übergang Ebener Wellen
ψ(r1 , r2 ) = A eik1 r1 eik2 r2 − eik1 r2 eik2 r1
h
i
= Aei(k1 r1 +k2 r2 ) 1 − eik(k1 −k2 )(r1 −r2 )
(12.4)
(12.5)
Aufenthaltswahrscheinlichkeit dV1 dV2
|ψ(r1 , r2 )|2 dV1 dV2 = |A|2 [1 − cos(k1 − k2 )(r1 − r2 )]
Die Wahrscheinlichkeit zwei Spins mit gleichen Spin am gleichen Ort zu finden verschwindet auch ohne Coulomb
WW
Austauschloch
Wenn Spins ausgerichtet sind, verringern sich die Abschirmeffekte der Ionenrümpfe und die Aufelektronen
werden daher stärker gebunden. Es führt zu einem Energiegewinn.
3) Spinwellen (Magnonen)
Niederenergetische Anregungen, ähnlich Phononen. Eine kollektive Anregung der Bewegung
Spinflip kostet δE = 2zJs2 ;
J ≈ kB TC
Magnonen haben E = ~ω
Ausrichtung in z-Richtung. Drehmoment µ × BM = −gµB SM × BM
dS
= −gµB S × BM
dt
zeitliche Ableitung des Drehimpulses ~S = angreifenden Drehmoment.
Um = −JSm (Sm−1 + Sm+1 ) = µBM = gµB SM BM
8
12 Magnetismus
dSM
J
= SM × (Sm−1 + Sm+1 )
dt
~
Sm,x = Acos(mqa − ωt)
Sm,y = Asin(mqa − ωt)
p
Sm,z S 2 − A2
mit q = nπ
L und L als die Länge der Kette
Dispersionsrelation
ω=
4JS
ga
2JS
[1 − cos(qa)] =
sin2 ( )
~
~
2
ω=
JS 2 2
a q
~
9
Contents
13 Supraleitung
13.1 London-Gleichungen (Postulate)
13.1.1 Zwei Flüssigkeiten-Modell
13.2 Flußquantisierung . . . . . . . .
13.3 Theorie der Supraleitung . . . . .
13.3.1 Supraleiter 2.Art . . . . .
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1
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2
4
4
5
5
8
Chapter 13
Supraleitung
L
U = RI = ρ I
S
ρ|Cu,T =4,2K ≈ 10−9 Ωm
für ρ < 10−24 Ωcm
1911 Kamerlingli-Onnes
Hg: Tc ≈ 4K
Nz
→ 77K
Hz
→ 20K
4
He → 4,2K
Al
Im
Sn
Pb
Nb
–
NbN
N b3 Ge
1986 Y BaCu3 O7
1,2K
3,4K
3,7K
7,2K
9,2K
–
15K
24K
92
2
13 Supraleitung
T l2 Sr2 Ca2 Cu3 O8 → 120K
Supralaeiter ist kein ’idealer’ Leiter → Meissner-Effekt
Arbeit pro Einheitsvolumen der Probe
Z
W =−
0
Ba
~ · dB
~a =
M
Z
Ba
dFs =
0
Ba
dBa
µ0
3
13 Supraleitung
FS (Ba ) − FS (0) =
13.1
Ba2
2µ0
London-Gleichungen (Postulate)
~ =
1) E
∂
γS )
∂t (Λ~
mit Lambda =
mS
nS e2
~ = −rot(Λ~jS )
2) B
13.1
Zwei Flüssigkeiten-Modell
~ ×∇
~ ×B
~ = µ0 ∇
~
~ × ~jS = − µ0 B
∇
Λ
2~
~
~ ×∇
~ ×B
~ = ∇(
~ ∇
~ B)
~ − ∇2 B
~
mit ∇
| {z } = −∇ B = ∆B
Laplace
~ =
∇2 B
mit λL =
q
Λ
µ0
1 ~
B
λ2L
=
q
mS
µ0 nS e2
als Londonsche eindringtiefe
4
13 Supraleitung
1
d2 B
= 2B
dx2
λL
B(x) = B0 e
− λx
L
Für B(0) = Ba , B(∞) = 0 ergibt sich für x > 0:
B(x) = Ba e
13.2
− λx
L
Flußquantisierung
Magnetfluß Φ = AB = mΦ0 , Φ0 =
Makroskopische Wellenfunktion
h
2e
= 2, 7 · 10−15 V · s ≡ [W b]
r
nS iΘ(~r)
Ψ(~r)
e
2
Elektronen verhalten sich wie Bosonen-Teilchen
13.3
Theorie der Supraleitung
1) ’makroskopische’ Theorie GL = Ginszburg-Landau (1956)
5
13 Supraleitung
2) mikroskopische Theorie → BSC=Bardeen -Cooper-Schrieffer (1957)
Messung des Isotopeneffekt
TC ·
√
M = const
mit M Masse der Atome und ist proportional zu TC ∝ ωD der Debye-Frequenz.
Wechselwirkung von zwei entgegengesetzen Teilchen, den sogenanten Cooper Paaren:
(1) ’Kielwasser’ → eine positive Ladungswolke → anziehen (2)
Die Elektronen ~k1 und ~k2 tauschen virtuelle phononen (~q) aus
~k 0 = ~k1 − ~q;
1
~k 0 = ~k2 − ~q;
2
~k1 + ~k2 = ~k 0 + ~k 0
1
2
Die Elektronen WW wird durch ein Matrixelement beschrieben:
Vkk0
(
−V, |Ek − EF | ≤ ~ωD und |Ek0 − EF | ≤ ~ωD
=
0, falls nicht der Fall
6
13 Supraleitung
~k1 + ~k2 = K
~
Im ~k-Raum → eine Kugelschale mit der Dicke ∆k
kF ≈
~
lichkeit für K = 0. Entstehung der Cooper-Paare.
2~ωD
EF .
Phononenauustausch mit gröstmöglicher Wahrschein-
Zweiteilchen- Wellenfunktion
~
~
Ψ = Aeik1 ~r1 · eik2 ~r2
mit ~k1 = ~k = −~k2 und ~r = ~r1 − ~r2
Ψ=
X
~
Ak eik~r
k
BCS- Grundzustand:
EP =
X
2k vk2
| {z }
+
kinetische Energie
~2 k 2
2 2
X
V 0v u v 0u 0
| kk k {zk k k}
Streuung →(k0 ,−k0 )
~2 k 2
k
mit k = ~2m
− 2mF , 2mF = EF
vk2 = die Wahrscheinlichkeit dass der Zustand (~k, −~k) besetzt ist
u2k = die Wahrscheinlichkeit dass der Zustand (~k, −~k) nicht besetzt (leer) ist
minimiere die Gesamtenergie EP
vk2 =
1
k
(1 − p 2
)
2
k + ∆ 2
Energielücke ∆|T =0 ≈ 1, 76kB TC
∆=V
X
vk uk
k
7
13 Supraleitung
Kondensationsnergie
1
W = − D(EF )∆2
2
Quasiteilchen = ungepaarte Eletkronen und Löcher. Energie:
Ek =
q
2k + ∆2
für Normalleiter:
E k = k =
~k 2
2m
Kohärenzlänge:
ξ0 ≈ ∆x ≈
∆k ≈
~
1
≈
p
∆k
2∆ · kF
2∆ · 2m
4∆
≈
= 2
EF
~2 kF
~ vF
ξ0 ≈ 10 bis 100nm
13.3
Supraleiter 2.Art
→ Flusschläuche = Flusswirbel = Vortices
8
13 Supraleitung
λL >> ξ0 → Supraleiter 2.Art
λL < ξ0 → Supraleiter 1.Art
Theoretische Arbeit von Abrikosov vorschlagg dass die Vortices eine quadratische Struktur annehmen. Experiment von Essmann + Träuble (1967) ergab eine Hexagonale (’ähnlich’ quadratisch) Struktur.
9