Statistische Mechanik (WS 2011/12) 10. ¨Ubung

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
www.thp.uni-koeln.de/~ghozzi/sm11
Prof. Michael Lässig
Dr. Stéphane Ghozzi
Statistische Mechanik (WS 2011/12)
10. Übung
Abgabetermin: 13.1., in der Vorlesung. Besprechung: 17.1.
Modelle für Festkörper, spezifische Wärme und Phononen
(10 Punkte + 15 Bonuspunkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir drei Modelle für Festkörper und bestimmen deren spezifische Wärme.
In allen Modellen gehen wir von N Atomen aus, die um eine Gleichgewichtsposition vibrieren können,
welche wir jeweils für das i-te Atom als ri bezeichnen. Die Atom unterliegen dem Potential u(ri ) =
u0 + (K/2) r2i .
Die vier Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden. Die Teile 3 und 4 sind Bonusaufgaben.
1. Klassisches Modell. (3 Punkte) Geben Sie die Energie i (pi , ri ) des i-ten Atoms an. Zeigen Sie
in Analogie zum idealen Gas, dass die spezifische Wärme pro Atom c = 3kB erfüllt.
2. Einstein-Modell. Experimentell beobachtet man, dass die spezifische Wärme bei abnehmender
Temperatur gegen 0 geht. Dieser Aspekt kann erklärt werden, wenn die Atome als Quantenoszillatoren beschrieben werden. Im Einstein-Modell werden diese Oszillatoren als unabhängig voneinander
angenommen. Das heisst, jedes Atom kann die Energie
(nx , ny , nz ) = u0 + [(nx + 1/2) + (ny + 1/2) + (nz + 1/2)]h̄ωE
p
annehmen, wobei nx , ny , nz ganzzahlig sind und ωE ≡ K/m.
(1)
2.1. (3 Punkte) Geben Sie die Zustandssumme z für ein Atom an. Berechnen Sie die Zustandssumme
Z für den gesamten Festkörper.
2.2. (4 Punkte) Wir führen die Einstein-Temperatur TE ≡ h̄ωE /kB ein. Drücken Sie die mittlere Energie des Festkörpers U als Funktion von T , TE und N aus. Leiten Sie die spezifische Wärme pro Atom
c als Funktion von T und TE her. Zeigen Sie, dass c ' 3kB für T TE und c ' 3kB (TE /T )2 e−TE /T
für T TE . Kommentieren Sie diese Ergebnisse kurz.
3. Debye Modell. Obwohl das Einstein Modell das qualitative Verhalten der spezifischen Wärme
richtig wiedergibt, stimmen die quantitativen Vorhersagen nicht mit den experimentellen Beobachtungen überein, bei denen man für niedrige Temperaturen c ∼ T 3 findet. Eine Verbesserung wurde
durch Debye vorgenommen, der einen einfachen effektiven Weg gefunden hat, Wechselwirkungen zwischen Atomen zu berücksichtigen. Atome werden nun als gekoppelte Oszillatoren beschrieben, so dass
auch kollektive Schwingungsmoden existieren, die für gegebenen Wellenvektor k, mit der Kreisfrequenz
ωλ (k) entlang der Richtung λ = x, y, z oszillieren.
1
3.1. (5 Punkte) Benutzen Sie die Formel für den Quantenoszillator aus Aufgabe 2. um die Energie λ, k
der Schwingungsmode λ, k anzugeben. (Jede der Moden wird jeweils als Quantenoszillator behandelt.)
Geben Sie die Zustandssumme zλ, k zur Mode λ, k an.
Die vollständige Zustandssumme ist dann durch Z = e−βN u0 Πλ, k zλ, k gegeben. Zeigen Sie, dass die
mittlere Energie, U ,
X
h̄ωλ (k)
U = E0 +
,
(2)
h̄ω
e λ (k)/kB T − 1
λ, k
erfüllt. E0 ist zu berechnen und kurz zu interpretieren.
Berechnen Sie die spezifische Wärme pro Atom, c. (Der Ausdruck sollte eine Summe über λ und k
enthalten.)
3.2. (4 Punkte) In der Debye-Näherung wählt man eine simple Dispersionsrelation, ωλ (k) = v|k|,
wobei wir zur Vereinfachung annehmen, dass die Wellengeschwindigkeit v der Oszillationen in alle
drei Raumrichtungen gleich groß ist. Man kann zeigen, dass dies dazu führt, dass die Anzahl der
Moden ρ(ω) für eine Kreisfrequenz ω, ρ(ω) = (3V /2π 2 c3 )ω 2 erfüllt, wobei V das Volumen der Probe
ist. Es gibt eine maximale Kreisfrequenz ωD , welche
Z ωD
ρ(ω)dω = 3N
(3)
0
erfüllt.
Drücken die Debye-Kreisfrequenz ωD als Funktion der Parameter des Modells aus.
R
P
Die Summe λ, k kann durch das Integral ρ(ω)dω ersetzt werden. Wir führen die Debye Temperatur
TD ≡ h̄ωD /kB und die Variable x ≡ h̄ω/kB T ein. Schreiben Sie U und c als Funktionen von E0 , T ,
TD und Integralen über x, welche anzugeben sind.
3.3. (3 Punkte) Zeigen Sie, dass für T TD c ' 3kB gilt.
R +∞
Zeigen Sie, indem Sie die Formel 0 x3 /(ex − 1) dx = π 4 /15 verwenden, dass im Falle T TD
c ' (12π 4 kB /5)(T /TD )3 gilt. Kommentieren Sie die beiden Resultate kurz.
4. Phononen. (3 Punkte) Wir haben das Debye Modell verwendet um kollektive Quantenoszillationen
in Festkörpern zu beschreiben. Es zeigt sich, dass sich diese stark analog zu Photonen verhalten.
Erinnern Sie sich an die Energie eλ,k eines Photons mit Kreisfrequenz ωλ (k). Interpretieren Sie Gleichung (2) als Beiträge von Anregungen mit Energien eλ,k . Leiten Sie hieraus die mittlere Anzahl der
Vibrationsanregungen zur Energie e her und erklären Sie, warum man diese als Bosonen betrachten
kann. Diese quantisierten Anregungen werden Phononen genannt.
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