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Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B1 4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Elektrodynamik: Die Maxwell‘schen Gleichungen Wechselstromnetzwerke Elektromagnetische Wellen & Strahlung 5. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 1 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Zusammenfassende Darstellung aller Maxwell-Gleichungen (1) ∫∫ 1 E ⋅ dA = ∫∫∫ ρ dV ∫∫ 0 B ⋅ dA = O (2) ε0 V (O ) O (3) (4) ∂ − ∫∫ B ⋅ dA ∫∂A E ⋅ dr = ∂t A ∂ B dr µ j dA µ ε E dA ⋅ = ⋅ + ⋅ 0 0 0 ∫∂A ∫∫A ∫∫ ∂t A 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Differentielle Form der Maxwell-Gleichungen ρ (1) ∇ ⋅ E = ε0 (2) ∇ ⋅ B = 0 ∂B (3) ∇ × E = − ∂t ∂E (4) ∇ × B = µ 0 j + ε 0 ∂ t 3 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ladungserhaltung & Maxwell-Gleichungen ∂E ∇ ×= B µ 0 j + µ 0ε 0 ∂t Die 4. Maxwell‘sche Gleichung lautet: Wenn auf beiden Seiten die Divergenz berechnet wird, dann folgt: ∂E ∇ ⋅ ∇ × B = µ 0 ∇ ⋅ j + µ 0ε 0 ∇ ⋅ ∂t ( ) Für jedes Vektorfeld gilt: Damit folgt sofort: ∇⋅ ∇× B =0 ( ) ∂ 0 = ∇⋅ j + ε 0∇ ⋅ E ∂t ( ) 4 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 ∂ 0 = ∇⋅ j + ε 0∇ ⋅ E ∂t ( ) Wegen der ersten Maxwell-Gleichung ρ ∇ ⋅ E= ⇒ ε 0∇ ⋅ E= ρ ε0 folgt für die rechte Seite der obigen Gleichung: ∂ρ 0 = ∇⋅ j + ∂t Dies ist die Kontinuitätsgleichung, die die Ladungserhaltung eines abgeschlossenen Systems widerspiegelt. Damit ist gezeigt, dass die Ladungserhaltung bereits in den Maxwell-Gleichungen enthalten ist. 5 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Elektrische und magnetische Felder in Materie Bisher wurden aus der Elektronendichte und der Stromdichte ρ (r , t ) und j (r , t ) die elektrischen und magnetischen Felder E (r , t ) und B(r , t ) mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen bestimmt. Diese gelten im Prinzip bis hinab zu atomaren Dimensionen, also bis etwa: d Atom ≈ 10−10 m = 1A 1Å Kristallgitter 6 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die auf atomaren Dimensionen stark variierenden lokalen Felder um die einzelnen Atome werden von einem durch den Kristall fliegenden geladenen Teilchen „gesehen“ (das Teilchen kann soger durch die Potentiale stabil geführt werden ⇒ „Channeling“). 7 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Ladungs- und Stromdichten sind in atomaren Dimensionen also starken Schwankungen unterworfen, d.h. ρ Atom (r , t ) , Riesenmoleküle, Cluster: E jAtom (r , t ) sind sehr stark ortsabhängig. Dies kann folgendermaßen veranschaulicht werden: Atomare Struktur: E E 0 10 Å 100 Å 0 Kristalle: 0 1000 Å 8 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Maxwell-Gleichungen ρ (1) ∇ ⋅ E = ε0 (2) ∇ ⋅ B = 0 ∂B (3) ∇ × E = − ∂t ∂E (4) ∇ × B = µ 0 j + ε 0 ∂ t gelten aber für alle Felder, Ladungen und Ströme. Sie gelten also sowohl für die makroskopischen „von Außen“ vorgegebenen, als auch für die mikroskopischen Ladungsverteilungen und Ströme. In Materie befinden sich aber ungefähr 1023 Teilchen, so dass eine exakte Feldberechnung an jedem Ort nicht sinnvoll erscheint, sondern „gemittelte“ Größen betrachtet werden müssen. Die MaxwellGleichungen lauten dann: (1) ρ ∇⋅ E = (2) ∇ ⋅ B =0 (3) (4) ε0 ∇× E = − ∂ B ∂t ∂ E ∇= × B µ0 j + ε 0 ∂t 9 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS13 atomares Bild + + + + − − − + + − + + − + − + + – + + + + + – – makroskopisches Bild – (Ladung + Dipol + höhere Multipole) 10 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das elektrische Feld in Materie Durch Einbringen eines Materials zwischen die Platten erhöht sich die Kapazität des Kondensators. Versuch: Dielektrikum im Kondensator εr > 1 Dielektrikum +Q U –Q Q C= U 11 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir definieren die Dielektrizitätskonstante εr eines Mediums durch den folgenden Zusammenhang: CDielek. εr = CVakuum Dabei ist CDielek. die Kapazität eines Plattenkondensators, der mit dem Medium zwischen den Platten aufgefüllt wurde, und CVakuum die Kapazität ohne Medium zwischen den Platten. Es ist immer εr ≥ 1 . Für die Kapazität C eines Kondensators mit der Fläche A und dem Plattenabstand d und einem Medium mit der Dielektrizitätskonstanten εr zwischen den Platten gilt daher: A C = ε rε 0 d Die Kapazität des Kondensators vergrößert sich also um den Faktor εr , d.h. es kann bei gleicher Spannung wegen C = Q/U mehr Ladung auf den Kondensatorplatten gespeichert werden. Es stellt sich heraus, dass die Dielektrizitätskonstante εr eines Mediums stark Materialabhängig ist. Wir werden im Folgenden sehen, dass εr mit der Polarisation des Materials zusammenhängt. 12 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 CDielek. εr = CVakuum 13 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir betrachten jetzt die elektrischen Felder im Kondensator und werden aus deren Größe auf die vorhandenen Ladungen zurückschließen. Die elektrischen Felder im Kondensator bei gleicher Ladung Q auf den Platten sind: U Vak Q = = Ohne Dielektrikum: E Vak d d CVak U Vak EVak U Q Q = = = = = < EVak Mit Dielektrikum: E d d C d ε r CVak ε r d εr ⇒ Das Feld E und die Spannung U werden also um den Faktor 1/εr durch das Dielektrikum reduziert. Wegen des Gauß‘schen Satzes ∫∫ Qges E ⋅ dA = ε0 muß dann auch die effektive Gesamtladung Qges um den gleichen Faktor reduziert sein, also Q Qges = εr 14 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Differenz zwischen der aufgebrachten Ladung Q und der effektiven Gesamtladung Qges ist dann: QP =Q − Qges 1 =Q − =Q 1 − εr εr Diese Ladung ist die sog. Polarisationsladung, die durch das elektrische Feld im Dielektrikum erzeugt wird. Das Feld der Polarisationsladungen kompensiert zum Teil das Feld der Ladungen auf den Kondensatorplatten. Q –QP +QP 15 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die 1. Maxwell-Gleichung (Gauß‘ scher Satz) gilt für alle umschlossenen Ladungen, während beispielsweise ein Galvanometer nur die „wahren Ladungen“ mißt. Es wäre daher praktisch, eine MaxwellGleichung für die „wahren Ladungen“ Q auf den Platten zu haben. Hierfür muß ein neues Feld folgendermaßen definiert werden: D = ε rε 0 E ∫∫ Qges Q QP = − E ⋅ dA = ⇒ ∫∫ ⇒ ∫∫ D ε rε 0 ε0 ε0 ε0 Q QP ⋅ dA = − ε0 ε0 1 D ⋅ dA= ε r Q − Q 1 − εr Zusammenfassen der Terme ergibt: ∫∫ D ⋅ dA= Q ⇔ ∇ ⋅ D= ρ Die „Quellen“ des D-Feldes sind also Dabei handelt es sich um das Feld der die „wahren Ladungen“ Q, die Polaridielektrischen Verschiebungsdichte. sationsladungen QP sind in der DefiMit der 1. Maxwell-Gleichung folgt nition des D-Feldes berücksichtigt. 16 jetzt: Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS13 Am Kondensator liegt also jetzt die folgende Situation vor: + – – – – – – – P + + + + + + + – E Durch die Polarisation des Dielektrikums entsteht ein Feld P, welches dem von Außen angelegten Feld E entgegenwirkt. Dieses Feld läßt sich durch die Ladungsdichte ρP der Polarisationsladungen nach der 1. Maxwell‘schen Gleichung folgendermaßen ausdrücken: ∇ ⋅ P = − ρP Dann läßt sich die 1. Maxwell‘sche Gleichung für das gesamte Feld schreiben als: ρges ρfrei + ρ P ∇= ⋅E = ε0 = ∇⋅E 1 ε0 ( ε0 ρfrei − ∇ ⋅ P ) 17 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS13 − ρP = ∇ ⋅ P – – + + ρ frei = ∇⋅D – – – – + P – + + – + + + + E 18 Physik A/B1 PHYSIK B2 = ∇⋅E SS 2017 SS13 1 ρfrei − ∇ ⋅ P ε0 ( ρfrei Mit folgt: E ∇ ⋅= ) = ∇⋅D 1 ∇⋅D −∇⋅P ε0 ( 1 ∇⋅ D − P = ε0 P =αE ⇒ D= ε 0 E + α E = (ε 0 + α ) E ( ) ) ⇒ ∇ ⋅ ε0E − D + P =0 ⇒ D = ε0E + P ( ) Das Polarisationsfeld ist häufig proportional zum äußeren Feld, d.h. Die Größe α ist die Polarisierbarkeit des Mediums. Andererseits gilt für das Feld der dielektrischen Verschiebungsdichte: D = ε rε 0 E Damit folgt für die Dielektrizitätskonstante der Zusamenhang: εr = 1+ α ε0 = 1 + χe Die Dielektrizitätskonstante eines Mediums ist mit seiner Polarisierbarkeit verknüpft, χe ist die Suszeptibilität. 19 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Atomare Mechanismen der dielektrischen Polarisation 20 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Atomare Mechanismen der dielektrischen Polarisation 21 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Verschiebungspolarisation Der negative Ladungsschwerpunkt verschiebt sich in einem äußeren Feld. 22 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Unpolarisiertes Atom – – – – – E =0 – – – polarisiertes Atom – E ≠0 – – – – – – – – + r elektrischer Dipol 23 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Verschiebungspolarisation bei Kristallen. Die positiven Ionen werden durch ein äußeres Feld verschoben. 24 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 25 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Atomare Mechanismen der dielektrischen Polarisation 26 Physik A/B1 PHYSIK B2 CO SS 2017 SS14 SS13 H2 O C2H6 2 SO2 CH3Cl HCl NH3 CH4 C2H2 27 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wasser als permanenter Dipol p 28 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Permanente Dipolmomente einiger Substanzen Ar 29 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Permanente Dipole richten sich im elektrischen Feld aus ! p0 + ϑ E – E – 30 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Polarisierbarkeit α hängt von der Temperatur ab. Es gilt: α (T ) A α (T= +B ) T 1T 31 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 α (ω ) Bei zeitabhängigen externen Feldern hängt die Polarisierbarkeit auch von der Frequenz des Feldwechsels ab. 32 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das elektrische Feld an Grenzflächen Es soll nun das Verhalten des elektrischen Dann gilt im Fall der Elektrostatik Feldvektors an einer Grenzfläche zweier für das Integral über diesen Medien mit den Dielektrizitätskonstanten geschlossenen Weg: εr,1 und εr,2 bestimmt werden. E ⋅ dr = 0 (i) Tangentiale Komponente: Wir betrachten den folgenden, recht ⇒ E1, ⋅ ∆r + E2, ⋅ −∆r = 0 eckigen Weg innerhalb der beiden Medien, wobei die beiden senkrechten − E2, ⋅ ∆r = 0 Wegstücke infinitesimal klein sein sollen: ⇒ E1, ∫ ε r ,1 ∆r ε r ,2 − ∆r E1 E2 ( ⇒ E1, = E2, ) ( ) Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ist an der Grenzfläche zweier Medien stetig. 33 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Senkrechte Komponente: Wir betrachten nun die folgende zylinderförmige „Dose“ innerhalb der beiden Medien, wobei die Höhe der Dose infinitesimal klein sein soll. ε r ,1 ε r ,2 ∆A D1 , E1 − ∆A D2 , E2 0 ∫∫ D ⋅ dA = ⇒ D1,⊥ ⋅ ∆A + D2,⊥ ⋅ −∆A = 0 ⇒ D1,⊥ − D2,⊥ ⋅ ∆A = 0 ⇒ D1,⊥ = D2,⊥ ( Wegen ) ( ) D = ε rε 0 E folgt daraus: Dann gilt wegen der 1. Maxwell‘schen ε r ,1 E1,⊥ = ε r ,2 E2,⊥ Gleichung für das geschlossene Oberflächenintegral über das Feld der Die senkrechte Komponente des elekdielektrischen Verschiedung im Fall, trischen Feldes macht an der Grenzdass sich keine freien Ladungen an der fläche zweier Medien einen Sprung. Grenzfläche befinden: 34 Physik A/B1 PHYSIK B2 ε r ,1 ε r ,2 E1 SS 2017 SS14 SS13 E1,|| Für den Übergang des Feldes an einer Grenzfläche gilt dann: α1 E1,⊥ E : E1 sin α1 = E2 sin α 2 E⊥ : ε r ,1 E1 cos α1 = ε r ,2 E2 cos α 2 Die Division beider Gleichungen ergibt: E2 α2 E2,⊥ E2,|| 1 ε r ,1 tan α1 = 1 ε r ,2 tan α 2 tan α1 ε r ,1 ⇒ = tan α 2 ε r ,2 Dies ist das Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien beim Übergang zwischen zwei Medien. 35 PhysikFeld A/B1 SS 2017 SS13 PHYSIK B2einerSS14 Punktladung vor einer Grenzfläche, die zwei Medien trennt: q q ε (2) r >ε (1) r ε (2) r <ε (1) r 36 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dielektrische Kugel in einem elektrischen Feld 37 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das magnetische Feld in Materie Wie im Fall des elektrischen Feldes gilt das Ampère‘sche Gesetz für alle Ströme: ∇ × B = µ0 j Dabei gibt es zwei prinzipiell unterschiedliche Arten von Strömen, d.h.: = j jTrans. + jMag. Transportstrom (von außen aufgeprägt, Spule usw. ) Transportströme „Magnetisierungsströme“ (Flächenströme) Die mikroskopischen Ströme bestimMikroskopische men das magnetische Verhalten eines Stoffes. Man definiert das Ströme in Magnetisierung durch: Anwesenheit des Feld der Magnetfeldes ∇ × M = jMag. 38 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Einsetzen in das Ampère‘sche Gesetz ergibt: = ∇ × B µ0 jTrans. + ∇ × M B ⇒ ∇ × − M = jTrans. µ0 ( Nun wird durch H = B µ0 ) −M ein neues Feld definiert, dessen Ursache die makroskopischen Transportströme sind, denn es ist jetzt: ∇ × H = jTrans. Ohne mikroskopische Ströme gilt also: B = µ0 H Häufig findet man experimentell, dass die Magnetisierung proportional zu dem durch die Transportströme erzeugten Feld ist, also: M = χm H Dabei ist χm die sog. „magnetische Suszeptibilität“. Sie ist eine Materialkonstante und beschreibt das Bestreben der magnetischen Dipole, sich im Feld auszurichten. Damit folgt: H = B µ0 − χm H ⇒ B= µ0 (1 + χ m ) H= µr µ0 H39 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 B= µ0 (1 + χ m ) H =µr µ0 H Die Permeabilität µr eines Materials hängt also direkt mit der Suszeptibilität χm über µr = 1+χm zusammen. Experimentell findet man, dass es Stoffe gibt mit: χm > 0 : paramagnetische Stoffe (Al, Pt, O2) χm < 0 : diamagnetische Stoffe (H2O, Cu, Bi) Die Permeabilität µr kann also größer oder kleiner als Eins sein, im Gegensatz zur Dielektrizitätskonstante εr , für die immer εr > 1 gilt. Material H2O Cu Bi Al Pt O2 (flüssig) χm⋅106 -9 -7.4 -153 21.2 264 3620 µr 0.999991 0.999993 0.999847 1.000021 1.000264 1.003620 diamagnetisch (Lenz‘sche Regel) paramagnetisch (Dipolmoment) 40 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (i) Diamagnetismus: Das Dipolmoment wird B B durch das äußere Feld N induzierter induziert (Lenz‘sche Strom Regel) N Diamagnetische Stoffe werden im inhomogenen Feld in den Bereich kleinerer Feldstärke gedrängt S S S inhomogenes Feld N F (ii) Paramagnetismus: B eigenes dominantes Dipolfeld N S N S Paramagnetische Stoffe werden in den Bereich höherer Feldstärke gezogen. B N S F 41 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Al-Stab Versuch 3: Dia- und Paramagnetismus Paramagnetische Stoffe richten sich im inhomogenen Magnetfeld in Richtung des Feldes aus, diamagnetische Stoffe dagegen quer zu den Feldlinien. Die Probe hängt leicht drehbar an einem dünnen Faden. Probe Feld aus Al-Stab Magnet Feld ein 42 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 4: Dia- und Paramagnet im inhomogenen Feld Magnetfeld aus: Die paramagnetische Magnetfeld ein: Die Kugel wird in den Al-Kugel hängt frei am Faden Bereich dichterer Feldlinien gezogen. Al-Kugel Magnetpole Bei einem diamagnetischen Stoff (z.B. Glaskugel) wirkt die Kraft in entgegengesetzter Richtung, die Kugel wird aus dem Bereich dichterer Feldlinien verdrängt. 43 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Bei ferromagnetischen Substanzen wie Eisen, Cobalt oder Nickel ist χm, µr >> 1 (etwa 5000 bei Eisen). Außerdem ist der Zusammenhang µr 1 Eisenkern B = µ r µ0 H nicht mehr linear, d.h. µr ist eine Funktion des äußeren Feldes µ r = µ r ( H ) . Es gilt also: B(= H ) µ r ( H ) µ0 H H) ⇒ µr (= I∝ H B B( H ) µ0 H Der Zusammenhang zwischen B und H ist für Eisen sehr kompliziert. Bei einer Spule der Länge l mit N Windungen, durch die ein Strom I fließt, und die einen Eisenkern besitzt, hatten wir bereits gefunden: N N B = µ r ( H ) µ0 I ⇒ H = I∝I l l 44 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das im Eisenkern erregte Dieser Zusammenhang soll jetzt zur Messung von µr ( H ) ausgenutzt werden. Magnetfeld ist: A B(t ) = µ ( H ) µ H (t ) r H I B N1 0 In der Spule N2 wird eine Spannung N2 Der Wechselstrom I (t) erzeugt das Feld H(t) in der Spule N1: N1 I (t ) H= (t ) H= (t ) ∝ I (t ) l Dabei ist l die Feldlinienlänge im Eisen. dB(t ) U (t ) = − N 2 A dt induziert. Das gesuchte MagnetFeld folgt daraus durch Integration: 1 B (t ) = − U (t ) dt ∫ N2 A Elektronisch kann eine solche Integration der Spannung mit einem RC-Glied vorgenommen werden. 45 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 5: Bestimmung von µr(H) für Eisen Oszillograph Wechselstromgenerator Eisenkern I(t) R C vertikal horizontal Uy ∝ B Ux ∝ H R1 46 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 B Erregungsspule Meßspule Sättigung ≈ 2 T Remanenz H Eisenkern Koerzitivkraft Hysteresekurve B H Bei Eisen ist der Zusammenhang von H und B sehr stark nichtlinear und zeigt eine Hysterese. 47 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Qualitativ erhält man den Verlauf der relativen Permeabilität aus der Hysterese nach: 1 dB µr ( H ) = µr BlochWände µ0 dH WeißBezirke 1 H Jedes ferromagnetische Material besteht aus Bereichen mit permanenten magnetischen Momenten, die man als „Weiß‘sche Bezirke“ bezeichnet. Sie sind durch „Bloch‘sche Wände“ getrennt. Durch ein äußeres Magnetfeld können die Weiß‘schen Bezirke in eine Vorzugsrichtung gebracht werden. Das geht solange, bis alle Bezirke in Richtung des erregenden Feldes zeigen. Dann ist die magnetische „Sättigung“ des Materials erreicht. 48 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 H =0 ⇒ B=0 H >0 ⇒ B∝H Alle Richtungen der Weiß‘schen Bezirke sind mit gleicher Wahrscheinlichkeit vertreten. Der ferromagnetische Körper hat nach außen kein Magnetfeld. Durch das äußere Magnetfeld werden die Weiß‘schen Bezirke teilweise in Richtung dieses Feldes orientiert und zwar umso stärker, je stärker das Feld ist. H → ∞ ⇒ B ≈ const. Bei einem extrem starken Feld sind alle Bezirke ausgerichtet. Dann bewirkt eine weitere Erhöhung von H (fast) keine Zunahme mehr von B. Es ist die Sättigung erreicht. 49 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 6: Der Barkhausen-Effekt Die Ursache für das Hystereseverhalten ist das verzögerte Umklappen der Weiß‘schen Bezirke, die wie kleine Dipolmagnete wirken. Das Umklappen kann man akustisch hörbar machen (Barkhausen-Effekt). Lautsprecher Verstärker Halter mit Eisendraht Induktionsspule Magnet Induktionsspule 50 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Umklappen der Weiß‘schen Bezirke erfolgt sprunghaft: B bewegter Stabmagnet ferromagnetischer Stab H dB dt H Induktionsspule Anordnung des Experiments zum Barkhauseneffekt: U ind dB ∝ dt Verstärker Lautsprecher Beim Umklappen gibt es kleine Sprünge in der Feldstärke, die in der Spule Spannungsimpulse induzieren. Man hört das als „Knistern“ im Lautsprecher. 51 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das magnetische Feld an Grenzflächen (i) Senkrechte Komponente: Die 2. Maxwell‘sche Gleichung lautet: B2,⊥ 0 ∫∫ B ⋅ dA = Anwenden auf die „infinitesimale Dose“ rechts ergibt: ∫∫ B ⋅ dA B1,⊥ µr ,1 µr ,2 Dose B1,⊥ ∆A + B2,⊥ ( −∆A = ) 0 ⇒ B1,⊥ ∆A= B2,⊥ ∆A ⇒ B1,⊥= B2,⊥ , µr ,1 H1,⊥= µr ,2 H 2,⊥ Die senkrechte Komponente des B-Feldes ist an einer Grenzfläche stetig. 52 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Tangentiale Komponente: Da an der Grenzfläche keine äußeren Ströme fließen, liefert das Ampère‘sche Gesetz für den Weg entlang des „infinitesimalen Rechtecks“: 0 ∫ H ⋅ dr = µr ,1 H1, H 2, µr ,2 Also folgt: ∆r +H1, ( −∆r )= 0 ⇒ H1, ∆r= H 2, ∆r ∫ H ⋅ dr= H1, B1, B2, ⇒ H1, = H 2, ⇒ = µr ,1 µr ,2 Die tangentiale Komponente des B-Feldes macht an einer Grenzfläche einen Sprung. 53 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Maxwell-Gleichungen in Materie (1) (2) (3) (4) ρ ⋅ E==ρfrei ∇∇⋅ D ε0 ∇ ⋅ B =0 ∂B ∇× E = − ∂t ∂E B µ 0 j + µ 0ε 0 ∇ ×= ∂t 54 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir wollen jetzt die 4. Maxwell‘sche Gleichung umschreiben auf die D- und H-Felder für die freien Ladungen und Ströme. Es war: D= ε 0 E + P, B = µ0 H + M ( ) Weiterhin ist die gesamte Stromdichte gegeben durch j jTrans. + jMag. + = jPol. jTrans. + ∇ × M + jPol. wobei jPol. die Stromdichte ist, die durch die Polarisationsladungen verursacht wird. Einsetzen in die 4. Maxwell-Gleichung ergibt: ∂ D−P = ∇ × B µ0 jTrans. + µ0∇ × M + µ0 jPol. + µ0ε 0 ∂t ε 0 B ∂D ∂P ∇× − = + jPol. − M jTrans. + ∂t ∂t 0 µ =H =? 55 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 ∂D ∂P ⇒ ∇ ×= + jPol. − H jTrans. + ∂t ∂t Für die Ladungsdichte ρP der Polarisationsladungen gilt: ∂ρ P ∂ ∇ ⋅ P = − ρP ⇒ ∇⋅P = − ∂t ∂t ( ) Wegen der Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) ist aber auch: Also: ∂ρ P ∂ρ P ∇ ⋅ jPol. + = 0 ⇒ ∇ ⋅ jPol. = − ∂t ∂t ∂P ∂ ∇ ⋅ P = ∇ ⋅ jPol. ⇒ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ jPol. ∂t ∂t ∂P ∂P ⇒ ∇ ⋅ − jPol. = 0 ⇒ − jPol.= 0 ∂t ∂t ( ) 56 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 = (1) ∇ ⋅ D = (2) ∇ ⋅ B (3) ∇× E = ρ= D ε rε 0 E frei B µ r µ0 H 0= Zusammenstellung der ∂B Maxwell-Gleichungen − in Materie ∂t (differentielle Form) ∂D H jTrans. + (4) ∇×= ∂t 57 Physik A/B1 PHYSIK B2 (1) ∫∫ Qfrei D ⋅ dA = ∫∫ 0 B ⋅ dA = SS 2017 SS14 SS13 O (2) ε0 Zusammenstellung der Maxwell-Gleichungen in Materie (integrale Form) O (3) (4) ∂ ⋅ = − ⋅ E dr B dA ∫∫ ∂∫A ∂t A ∂ ⋅ = + ⋅ H dr I D dA Trans. ∫∫ ∂∫A ∂t A 58 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie (i) Gespeicherte Energie im elektrischen Feld Versuch 7: Entladung eines Kondensators 59 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ladung dQ Ladung auf der Platte: +Q d U Wenn sich eine Ladung Q auf einem Kondensator der Kapazität C befindet, an dem eine Spannung U anliegt, dann gilt: Q = CU ++ + ++ ++ ++ ++ + ++ + ++ ++ ++ ++ + E =U d + - - - - - -- - - - - - -- - - - - - -- - - - - - Die Arbeit dW die notwendig ist, um eine Ladung dQ zu der Ladung Q auf der Platte hinzuzufügen ist: U = dQ ∫ E ⋅ dr = dQ = dW d U dQ d Q ⇒ dW = dQ C 60 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wenn der Kondensator auf die Dieses Ergebnis kann stark verallgeGesamtladung Qges aufgeladen meinert werden. Mit der Formel für die wird, dann ergibt die Integration Kapazität eines Plattenkondensators folgt: für die gesamte aufzuwendende 1 1 A 2 2 „Aufladearbeit“: = W = CU εε ( Ed ) 2 d 1 2 Q = dQ Qges 1 1 2 2 = = ( ) E Ad E V ε ε ε ε C 2 C r r 0 0 0 2 2 Kondensator- Qges W ∫ Wegen Q = CU folgt daraus: 1 2 W = CU 2 Diese Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. 2 r 0 volumen V Für die Energiedichte wE, d.h. die Energie pro Volumen, des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator gilt also: W 1 2 w= = ε rε 0 E E V 2 61 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dieses Ergebnis gilt ganz allgemein, Versuch 8: Flüssigkeit im Kondensator da jeder Raumbereich „infinitesimal eben“ ist. Daher gilt für die Energiedichte wE in einem beliebigen elektrischen Feld: dW 1 wE = = ε rε 0 E 2 dV 2 Dies kann mit dem Feld der dielektrischen Verschiebung auch geschrieben werden als: dW 1 = wE = DE dV 2 In einem Raumbereich mit Dielektrikum ist wegen εr > 1 die Energiedichte höher als außerhalb. 62 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Gespeicherte Energie im magnetischen Feld Wir betrachten die folgende Spule: l A I N Windungen U Wenn sich der Strom zeitlich ändert, dann wird eine Spannung U induziert: dB U = −N A dt 2 N A dI dI = − µ r µ0 = −L l dt dt = L (Selbst) Induktivität einer Spule Die Leistung P ist: Das Magnetfeld im Innern der Spule ist: NI B = µ r µ0 l dW dI = P = U= I L I dt dt ⇒ dW = L I dI 63 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Aus 1 2 1 N2A 2 W = LI = dW = L I dI µ r µ0 I 2 2 l folgt durch Integration sofort für 2 2 die in der Spule gespeicherten 1 N I 2 Al ) = ( µ r µ0 ) ( 2 Arbeit bzw. Energie: 2 µ r µ0 l Spulenvolumen V 1 2 W= = LI 2 2 1 1 NI 2 V B V µ µ = r 0 2 µr µ0 2 µ r µ0 l Magnetfeld B im Diese Energie ist im magnetischen Inneren einer Spule Feld der Spule gespeichert. Für die Energiedichte wB, d.h. die Energie Dieses Ergebnis kann wie im Fall pro Volumen, des magnetischen Feldes der elektrischen Feldes wieder innerhalb einer Spule gilt: stark verallgemeinert werden. Mit W 1 2 der Formel für die Induktivität w= B = B einer stromdurchflossenen Spule V 2 µ r µ0 folgt: 64 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dieses Ergebnis gilt wieder ganz all- Versuch 9: Paramagnetische Flüssigkeit gemein, da jeder Raumbereich Magnetfeld aus „infinitesimal eben“ ist. Daher gilt für die Energiedichte wB in einem beliebigen magnetischen Feld: Flüssigkeits- dW 1 2 wB = B = dV 2 µr µ0 Dies kann auch wieder mit dem HFeld ausgedrückt werden. Wegen folgt: B = µ r µ0 H dW 1 = wB = HB dV 2 stand Magnetfeld ein Flüssigkeitsstand Die paramagnetische Flüssigkeit wird in das Feld hineingezogen. 65 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die im elektrischen und magnetischen Feld gespeicherte Energie kann ineinander umgewandelt werden. Für den Schwingkreis gilt beispielsweise: Energieerhaltung: EC (t ) + EL (t ) = E I (t ) EC (t ) = CU (t ) 1 2 U EL (t ) = L I (t ) 1 2 2 t 66 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die im elektrischen und magnetischen Feld gespeicherte Energie kann ineinander umgewandelt werden. Für den Schwingkreis gilt beispielsweise: Energieerhaltung: EC (t ) + EL (t ) = E I (t ) EC (t ) = CU (t ) 1 2 U EL (t ) = L I (t ) 1 2 2 t 67 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die Energieerhaltung liefert: EC (t ) + EL (t ) = E 1 1 2 2 ⇒ CU + LI = E 2 2 Wegen dQ Q CU = und I dt 2 d Q 1 0 ⇒ Q+L 2 = C dt d 2Q 1 Q= 0 ⇒ 2 + dt LC d 2Q(t ) 2 0 ⇒ + ω Q(t ) = 2 dt Dabei wurde die Frequenz ω2 = 1/LC 2 2 eingeführt. Dies ist die DGL des har1Q 1 dQ ⇒ + L E monischen Oszillators für die Funk = 2 C 2 dt tion Q(t) und damit auch für I(t) und Differenzieren dieser Gleichung ergibt: U(t). Aus der Energieerhaltung kann also, 11 dQ 1 dQ d 2Q genauso wie in der Mechanik, die 2Q + L2 = 0 zeitliche Entwicklung des Systems 2 2C dt 2 dt dt hergeleitet werden. folgt nun: 68 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B1 4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Elektrodynamik: Die Maxwell‘schen Gleichungen Wechselstromnetzwerke Elektromagnetische Wellen & Strahlung 5. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 69 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wechselstromnetzwerke Prinzip eines Wechselspannungsgenerators Versuch 1: Rotierende Spule in einem konstanten Magnetfeld Bei Rotation der Spule wird an ihren Enden eine sinusförmige Spannung gemessen. 70 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir betrachten eine Leiterschleife der Die Rotationsachse zeigt in die Fläche A mit N Windungen (Spule), x-Richtung. Das homogene Magnetdie in einem homogenen Magnetfeld feld hat nur eine z-Komponente, also: mit konstanter Winkelgeschwindigkeit 0 ω rotiert. B=0 z B N Windungen A(t ) Der Fluß durch die Fläche A ist dann: B ϕ(t) Φ mag. (t ) =∫∫ B ⋅ dA =B ⋅ A(t ) y A = B A cos (ϕ (t ) ) ϕ(t) ϕ (t ) = ω t ist hierbei die Phase. ω Einsetzen ergibt: x Φ mag. (t ) = B A cos ( ω t ) 71 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Mit dem Induktionsgesetz kann nun die in der Leiterschleife erzeugte Spannung berechnet werden: d Φ (t ) U ind (t ) = −N = NB Aωsin (ω t ) dt Es entsteht eine periodische Induktionsspannung mit der Amplitude: U ind (t ) 2π T= ω 0 t U 0 = N B Aω Die Spannung ist also proportional zur Rotationsfrequenz ω. Eine periodische Spannung der Form U (t ) = U 0 sin(ωt ) wird „Wechselspannung“ genannt. Beispiel: Die im Haushalt übliche Spannung ist eine Wechselspannung mit der Frequenz: ω 1 f= = = 50s-1 =50Hz 72 2π T Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wechselspannung und Wechselstrom Wechselspannungen und Wechselströme haben die Form: U (t ) U 0 cos (ωt + ϕ ) I (t ) I(t) ≈ U(t) R I 0 cos (ωt + φ ) Dabei sind ϕ und φ Phasen bezüglich An einen Ohm‘schen Widerstand gilt: einer beliebigen Referenz. An einem Ohm‘schen Widerstand sind die Phasen U (t ) U 0 I (t ) = cos(ω t ) = zwischen Strom und Spannung wegen R R U(t) = R·I(t) gleich. In diesem Fall kann einfach ϕ = φ = 0 gesetzt werden. Damit ergibt sich für die elektrische Leistung, die an einem Widerstand R Wir betrachten nun die wirkende verbraucht wird: elektrische Leistung P. U 02 Die Leistung ist gegeben als Produkt = P(t ) U= (t ) I (t ) cos 2 (ω t ) R von Strom und Spannung. 73 Physik A/B1 PHYSIK B2 π ωt = 2 P(t) U 02 R SS 2017 SS14 SS13 3π ωt = 2 Aus der Graphik liest man ab: 5π ωt = 2 P (t ) t 1 P(t ) t = T 4 T 4 ∫ P(t ) dt 0 Einsetzen liefert: 2 T 4 0 t T 4U P(t ) t = T R 0 Mit der Substitution dx ωt =x ⇒ dt = Die Leistung P(t) ist nun eine zeitabhängige, periodische Größe. Entscheidend ist ihr zeitlicher Mittelwert: ω T 2π T π t= ⇒x= = 4 T 4 2 T 1 P(t ) t = ∫ P(t ) dt T 0 ∫ cos 2 (ω t ) dt folgt: 2 0 4U 1 P(t ) t = T R ω π 2 ∫ cos ( x) dx 2 0 74 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Weiterhin gilt (siehe z.B. Bronstein): π 2 ∫ 0 π 2 x 1 = + sin(2 x) cos ( x) dx 2 4 0 2 = π 4 −0 = π 4 Also ergibt sich mit ω = 2π/T : 4U 1 π P(t ) t = T R 2π T 4 2 0 1 U 02 = 2 R Es ergbit sich also für die Wirkleistung: Gleichspannung Wechselspannung P = U 02 = R P ≈ 1 U 02 = 2 R Daher werden jeweils eine „effektive Spannung“ und ein „effektiver Strom“ U= eff U0 2 , I= eff I0 U0 = 2 R 2 definiert, die an einem Ohm‘schen Widerstand dieselbe mittlere Leistung bewirken würden, wie eine gleich große Gleichspannung, d.h.: Dies ist die sog. „Wirkleistung“, die den Widerstand erwärmt. Bei einer 2 U 0 I0 U 0 Gleichspannung hätte sich als Wirk- = = P ≈ U= eff I eff 2 leistung P = U 0 R ergeben. 2 2 2R 75 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch: Effektivwerte von Strom und Spannung Die baugleichen Lampen werden auf gleiche Helligkeit eingestellt. Gleichspannung Netzgeräte Wechselspannung Lampen Gleichspannung Wechselspannung 76 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 I(t) I ≈ U Gleichspannung U(t) Wechselspannung Lampe Lampe „Die Lampen sind gleich hell“ bedeutet genauer, dass sie im zeitlichen Mittel gleich hell leuchten. = P U= I P(t )= ≈ Beispiel: Das Stromnetz liefert eine effektive Spannung von Ueff = 230 V. Die Spitzenspannung ist dann: U (t ) I (t )= U eff I eff ≈ U 0 = 2 U eff = 2 ⋅ 230 V = 325 V (!) Über einen Gleichrichter kann daher ein Kondensator auf über 300 V auf77 geladen werden ! Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Allgemeine, zeitlich periodische Span∞ nungsverläufe können immer auf = sinus- U t un sin nω t + ϕn förmige zurückgeführt werden. Ein n =0 möglicher Verlauf von U(t) sieht so aus: mit Konstanten un und ϕn. Beliebige periodische Vorgänge U(t) können daher immer aus einzelnen Sinusschwingungen aufgebaut t werden. Daher werden in den folgenden T Abschnitten immer nur Spannungsund Stromveräufe der Form Hierbei sind T die Schwingungsdauer () ∑ und ω = 2π/T die Kreisfrequenz. In Abschnitt 2.8.1 hatten wir bereits gesehen, dass eine periodische Größe U(t) immer durch eine sog. „Fourierreihe“ ausgedrückt werden kann: ( ) = U (t ) U 0 cos (ω t + ϕ ) = I (t ) I 0 cos (ω t + φ ) betrachtet. Zwei Beispiele für Fourier-Zerlegungen folgen jetzt.78 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Entsprechend folgt für Ieff: Die Effektivwerte von Strom- und Spannung hängen aber von der From T 1 2 der Wechselspannung ab. Sie waren I eff = I (t ) dt T 0 über den zeitlichen Mittelwert der Beispiel: Leistung ⟨P(t)⟩ definiert worden: Effektivwert für eine Dreiecksspannung T ∫ 1 P(t ) t = ∫ P(t ) dt T 0 T 1 = U (t ) I (t ) dt U eff I eff ∫ T 0 Mit dem Ohm‘schen Gesetz folgt: t T T − ≤t ≤ U0 T 4 , 4 4 U (t ) = U 2 − t , T ≤ t ≤ 3T 0 4 T 4 4 T P (t ) t 2 U eff 1 U 2 (t ) = dt ∫ T 0 R R 3T 4 ⇒ U eff = T ⇒ U eff 1 =∫ U 2 (t ) dt T 0 = 1 2 (t ) dt U ∫ T −T 4 U0 3 79 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Kirchhoff‘sche Regeln für Wechselspannungen und Wechselströme In einem früheren Kapitel wurden die beiden Kirchhoff‘schen Regeln als Grundlagen zur Berechung von elektrischen Netzwerken eingeführt. Sie gelten auch für Wechselspannungen und Wechselströmen. (i) Die Knotenregel Im Fall stationärer Ströme drückt die Kontenregel das Prinzip der Ladungserhaltung aus. Dieses Prinzip muß aber für alle Zeitpunkte erfüllt sein. I2(t) I1(t) I3(t) In jedem Knoten eines elektrischen Netzwerkes verschwindet daher zu jedem Zeitpunkt t die Summe aller N Ströme: N IN(t) Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) ∑ I (t ) = 0 i =1 i 80 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Die Maschenregel U2(t) U1(t) ≈ UN(t) Bei stationären Strömen verschwindet wegen der Rotationsfreiheit des elektrostatischen Feldes in jeder geschlossenen Masche die Summe aller Spannungen. In der Elektrodynamik war: U3(t) U ind ∫ E ⋅ dr = ⇒ 0 ∫ E ⋅ dr − U ind = Wenn Induktivitäten mit berücksichtigt werden, gilt also auch in einer Masche zu jedem Zeitpunkt: N ∑U (t ) = 0 i =1 i 81 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Kondensator im Wechselstromkreis ergibt sich: I(t) ≈ C I (t ) ω CU 0 cos (ω t + π 2 ) = U(t) = I 0 cos (ω t + π 2 ) Am Kondensator läuft der Strom der Spannung um π/2 = 90° voraus. Der Zusammenhang zwischen der Spannung und dem Strom ist: U(t), I(t) U(t) dQ dU (t ) Q = CU ⇒ = I (t ) = C dt dt Da folgt: Mit I(t) U (t ) = U 0 cos(ω t ) I (t ) = −ω CU 0 sin(ω t ) π − sin( x) = cos x + 2 t T 0 T/2 82 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 3: RC-Kreis Spannung Sinusgenerator Kondensator Widerstände Strom Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung voraus, weil sich zunächst Ladungen auf den Platten ansammeln müssen. 83 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die mittlere Leistung am Kondensator ist ( ω = 2π/T ): T P(t ) t Induktivität im Wechselstromkreis T 1 1 = P(t ) dt U (t ) I (t ) dt ∫ ∫ T0 T0 ω CU 02 T cos(ω t ) sin(ω t ) dt 0 = ∫ T 0 I(t) ≈ U(t) L =0 Am Kondensator wird im Mittel also keine elektrische Leistung aufgenommen! Ein idealer Kondensator wird im Gegensatz zu einem Ohm‘schen Widerstand also nicht erwärmt. Diese zeitabhängige Leistung nennt man daher auch „Scheinleistung“ oder „Blindleistung“. Der Zusammenhang von Strom und Spannung ist nun (Maschenregel): dI (t ) = U (t ) − L 0 dt dI (t ) ⇒ U (t ) = L dt 84 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Integration ergibt: t t U0 1 ′ ′ I (t ) = U (t ) dt cos(ω t ′) dt ′ ∫ ∫ L0 L 0 U0 = sin(ω t ) ωL Diesmal ist: sin( = ω t ) cos (ω t − π 2 ) Damit folgt: I (t ) U0 cos (ωt − π 2 ) ωL = I 0 cos (ωt − π 2 ) Am der Spule läuft der Strom der Spannung um π/2 = 90° nach. Es muß also erst eine Spannung anliegen, damit sich der Strom aufbaut. U(t), I(t) U(t) I(t) t T 0 T/2 Wegen der Phasenverschiebung um π/2 zwischen Strom und Spannung gilt hier für die mittlere Leistung wieder: P(t ) t = 0 Bei einer idealen Spule wirkt also auch nur die Blindleistung. 85 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 4: RL-Kreis Spannung Sinusgenerator Spule Widerstände Strom Bei der Spule läuft der Strom der Spannung nach, weil die Induktionsspannung ihrer Ursache entgegenwirkt. 86 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der elektrische Schwingkreis L C R Wir betrachen eine Reihenschaltung aus einer Spule, einem Kondensator und einem Ohm‘schen Widerstand. Gesucht ist die Zeitabhängigkeit des Stromflusses I(t) durch diesen „Schwingkreis“. Aufgrund der Maschenregel gilt: I(t) UC − U L + U R = 0 Q(t ) dI (t ) Einsetzen der jeweiligen Spannungen ergibt: +L + RI (t ) = 0 C dt Differenzieren dieser Gleichung führt mit I(t) = dQ/dt auf die DGL: I (t ) d 2 I (t ) d I (t ) +L +R =0 2 C dt dt I (0) = I 0 , I(0) = I0 87 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Umformen dieser DGL ergibt: In Abschnitt 2.8.5 waren die Vorfakd 2 I (t ) R d I (t ) 1 + + I (t ) = 0 toren in der DGL wie folgt definiert: 2 dt L dt LC α D 2 γ ω = 2 = und Mit den Definitionen 0 m m R 1 2= γ und ω02 L LC folgt: Der Widerstand R entspricht also dem Reibungsfaktor α. Ohne den Widerstand, d.h. für R = 0, ergibt sich eine ungedämpfte harmonische Schwingung 2 d I (t ) d I (t ) 2 für den fließenden Strom, also: 2 I ( t ) 0 + γ + ω = 0 2 dt dt I0 = I (t ) I 0 cos(ω0t ) + sin(ω0t ) ω0 Dies ist dieselbe DGL wie beim gedämpften harmonischen Oszillator. Daher kann die Lösung direkt aus Der Vergleich mit dem gedämpften Abschintt 2.8.5 übertragen werden. harmonischen Oszillator ergibt: 88 Physik A/B1 PHYSIK B2 D SS 2017 SS14 SS13 d 2 I (t ) d I (t ) 2 0 + 2γ + ω0 I (t ) = 2 dt dt Vergleich: gedämpfter harmonischer Oszillator und Schwingkreis mit Ohm‘schem Widerstand C L R −α x x(t) I(t) m x (t ) m D FT α −1 ⇔ ⇔ I (t ) L ⇔ ⇔ C R 89 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Verhältnis von ω0 und γ bestimmt daher wieder, welcher spezielle Fall sich als Lösung für I(t) ergibt. Der Vergleich mit Abschnitt 2.8.5 ergibt: (i) Schwingfall: In diesem Fall ist ω0 > γ . Dann wird I(t) durch eine gedämpfte Schwingung beschrieben. ω0 > γ bedeutet für den elektrischen Schwingkreis: 1 R > ⇒ 2 LC > R C LC 2 L Im Schwingfall muß also die doppelte Periode 2(LC)1/2 des ungedämpften Kreises größer sein als die Zeitkonstante des RC-Teils. (ii) Kriechfall: Dann ist ω0 < γ . Nun ist I(t) eine abfallende Exponentialfunktion. ω0 < γ bedeutet: 1 R < ⇒ 2 LC < R C LC 2 L (iii) Aperiodischer Grenzfall: Es ist ω0 = γ . Dann ist I(t) ebenfalls eine abfallende Exponentialfunktion. ω0 = γ bedeutet jetzt für die Parameter des Schwingkreises: 1 R = ⇒ 2 LC = RC LC 2 L 90 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 5: LCR-Kreis Der elektrische Schwingkreis für verschiedene Kombinationen der Werte für den Widerstand R, die Induktivität L der Spule und der Kapazität C des Kondensators. Anregungsimpuls schwache Dämpfung C R mittlere Dämpfung L „Kriechfall“ 91 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der Schwingkreis kann auch von Außen mit einer Wechselspannung angeregt werden. I(t) ≈ C UE(t) L R UA(t) = RI(t) = ? Die Maschenregel ergibt jetzt: U C − U L + U R = UE Einsetzen der jeweiligen Spannungen liefert: Q(t ) dI (t ) +L + RI (t ) = U E (t ) C dt 92 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Differenzieren dieser Gleichung führt wieder mit I(t) = dQ/dt auf die DGL: 2 I (t ) d I (t ) d I (t ) dU E (t ) +L +R = 2 C dt dt dt R 1 Mit den Definitionen = 2= γ und ω02 folgt wie vorher: L LC d 2 I (t ) d I (t ) 1 dU E (t ) 2 + 2γ + ω0 I (t= = f (t ) ) 2 dt dt L dt Das ist eine lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die Funktion I(t). Sie kann für eine periodische Anregung UE(t) und damit auch für eine periodische Funktion f(t) wie in Abschnitt 2.8.7 ausführlich beschrieben gelöst werden. Die DGL ist analog zu der DGL des gedämpften harmonischen Oszillators mit äußerer Anregung. Dies wird jetzt nicht weiter diskutiert, weil es später in Abschnitt 4.6.8 über sog. „Vierpole“ noch ausführlicher behandelt wird. 93 SS 2017 SS14 SS13 Komplexe Schreibweise Es wird jetzt ein Formalismus vorgestellt, mit dem beliebige R,C,L-Netzwerke berechnet werden können. Dazu wird der Wechselstromwiderstand iϕ Z =| Z |e definiert, der eine komplexe Zahl mit dem Betrag |Z| und der Phase ϕ ist. Der Wechselstromwiderstand eines Stromkreises wird auch als seine „Impedanz“ bezeichnet. Für eine Wechselspannung U (t ) = U 0 cos(ω t ) wird jetzt die komplexe Schreibweise Im(Z) induktive Achse „Blindwiderstand“ Physik A/B1 PHYSIK B2 Z |Z| ϕ ohmsche Achse „Wirkwiderstand“ Re(Z) U (t ) = U 0 ei ω t eingeführt. Dem Realteil von U(t) entspricht jetzt die ursprüngliche Wechselspannung. 94 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Auch für den Strom schreibt man I (t ) = I 0 e iω t (ii) Kapazität: Am Kondensator gilt: dU (t ) I (t ) I= C wobei die Amplitude I0 eine komplexe = 0e dt Zahl sein kann. Wir berechnen jetzt das d Verhältnis der Amplituden Z = U0/I0 U 0 ei ω t =C für einen Ohm‘schen Widerstand, eine dt Kapazität und eine Induktivität. iω t Ci U e ω = 0 Dieses Verhältnis ist die Impedanz. iω t ( (i) Ohm‘scher Widerstand: iω t = U (t ) U= R I0 e 0e iω t U0 ⇒ U 0 = R I0 ⇒ Z = = R I0 Ein Ohm‘scher Widerstand hat also eine relle Impedanz, d.h. |Z| = R und ϕ = 0. ) Dann folgt für die Impedanz: U0 1 1 ⇒Z = = = −i ωC I 0 iω C Diese Impedanz ist rein imaginär, mit: 1 | Z |= ωC lim | Z | = 0 ω →∞ ϕ= − π 2 lim| Z | = ∞ ω →0 95 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (iii) Induktivität: An einer Spule gilt: dI (t ) U (t ) U= L = 0e dt d I 0 ei ω t =L dt = Li ω I 0 ei ω t iω t ( ) Mit der Impedanz und dem Ohm‘schen Gesetz kann rückwärts wieder der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung berechnet werden. Beispiel: Strom und Spannung am Kondensator 1 1 i ( −π 2) Es war: = ZC = e iω C ω C Mit dem Ohm‘schen Gesetz folgt: Dann folgt für die Impedanz: iω t = = U ( t ) Re U e U 0 cos(ω t ) 0 U ⇒Z= 0 I0 = iω L ( ) U0 U0 ⇒ I0 = = U 0ω C eiπ ZC = I0 ZC 2 Diese Impedanz ist wieder rein imaginär, mit: iω t iπ 2 i ω t = = ω I t I e U C e e ( ) Re Re 0 0 π | Z |= ω L ϕ= + ( ( ) ( ) ) = C ei (ω t +π 2) U 0ω C cos(ω t + π 2) Re U 0ω= 2 lim | Z | = lim| Z | = 0 ⇒ Strom eilt Spannung um π/2 voraus.96 ∞ ω →∞ ω →0 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Zusammenfassung der Werte für die Impedanzen eines Ohm‘schen Widerstandes, einer Induktivität und einer Kapazität. ϕ |Z | 1 | ZC | = ωC | ZL | = ωL | ZR | = R + π 2 0 ω π − 2 ϕL ϕR ω ϕC 97 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dieses Vorgehen läßt sich jetzt auf beliebige RCL-Kreise übertragen. Dies soll anhand von zwei Beispielen verdeutlicht werden. Beispiel 1: Serienschaltung aus einem Ohm‘schen Widerstand und einer Induktivität: L ≈ U(t) I(t) Die Gesamtimpedanz ZRL ergibt sich durch Addition der Einzelimpedanzen wie bei der Serienschaltung von Ohm‘schen Widerständen. Also folgt: Z RL =Z R + Z L =R + iω L Z= RL R 2 + ω 2 L2 Im( Z RL ) ωL = ϕ RL arctan = arctan Re( ) Z R RL R Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist dann: I (t ) = I 0 cos(ω t ) ⇒ = U (t ) Z RL I 0 cos(ω t + ϕ RL ) 98 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Frequenzgang eines RL-Kreises Z RL ω → 0 ⇒ Z RL → R R π 2 ω → ∞ ⇒ Z RL → ω L = Z L ϕRL ω ω → 0 ⇒ ϕ RL → 0 ω → ∞ ⇒ ϕ RL → π 2 =ϕ L ω 99 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 1 1 1 1 1 1 Beispiel 2: Parallelschaltung aus = + = + = + iω C einem Ohm‘schen Widerstand und Z RC Z R Z C R 1 iω C R einer Kapazität: R 1 Z RC = = 1 R + iω C 1 + iω RC I(t) ≈ U(t) C R Z RC R (1 − iω RC ) = 1 + (ω RC ) 2 R = 1 + ω 2 R2 C 2 −ω R 2C = −ω RC tan(ϕ RC ) = R Die Gesamtimpedanz ZRC ergibt sich durch Addition der Kehrwerte der Einzelimpedanzen wie bei der Parallelschaltung von Ohm‘schen Widerständen. Es folgt: Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung ist dann: I (t ) = I 0 cos(ω t ) = ⇒ U (t ) Z RC I 0 cos(ω t + ϕ RC ) 100 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Frequenzgang eines RC-Kreises Z RC ω → 0 ⇒ Z RC → R R ω → ∞ ⇒ Z RC → 0 ϕRC ω ω ω → 0 ⇒ ϕ RC → 0 ω → ∞ ⇒ ϕ RC → − π 2 − π 2 101 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Der Transformator Ein Transformator besteht aus zwei Spulen mit den Windungszahlen N1 und N2, die auf ein Eisenjoch gewickelt sind. Er dient dazu, Spannungen und Ströme zu Verstärken. A=const. I1 U1 N1 N2 U2 Primärspule R I2 B(t) Sekundärspule 102 Physik A/B1 SS 2017 SS14 SS13 PHYSIK B2 Transformators Aufbau eines B≈0 Φ mag B(t ) =B ⋅ A B≈0 B(t ) 103 Physik A/B1 PHYSIK B2 Primärspule I1 U1 SS 2017 SS14 SS13 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) I2 Eisenjoch U2 R Die Funktionsweise des Transformators kann qualitativ durch die folgenden drei Prozesse beschrieben werden: 1. Die Primärspule Wird eine zeitlich variable Spannung U1(t) an die Primärspule gelegt, fließt ein Strom I1(t). Dieser erzeugt das Magnetfeld B(t) nach dem Ampère‘chen-Gesetz (4. Maxwell‘sche Gleichung): ∇ × B ( r , t ) = µ r µ0 j ( r , t ) 2. Das Eisenjoch Magnetische Feldlinien bevorzugen Bereiche, in denen µr sehr groß ist, d.h. Bereiche in ferromagnetischen Materialien (Fe, Co, Ni). Der Grund dafür ist die im Feld gespeicherte Energie (Abschnitt 4.7.6). 3. Die Sekundärspule Das zeitlich veränderliche Magnetfeld im Eisenjoch induziert in der Sekundärspule die Spannung U2(t) nach der 3. Maxwell‘schen Gleichung: 104 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 ∂B ∇× E = − ⇒ E ⇒ U 2 (t ) ∂t Bei der folgenden quantitativen Berechnung wird der „ideale Transformator“ angenommen, d.h.: Wirbelstrom IWirb(t) B (t ) (i) Es gibt keine Streuverluste des magnetischen Flusses. Das Magnetfeld B(t) ist im Eisenjoch überall gleich groß und im Außenraum vernachlässigbar. (ii) Es gibt weder Ohm‘sche Verluste noch Streukapazitäten in den Leitungen. (iii) Es gibt keine Wirbelströme im Eisenjoch. Wirbelstromverluste können durch Lamellen minimiert werden. Lamellen Isolation 105 Physik A/B1 PHYSIK B2 Primärspule I1 U1 SS 2017 SS14 SS13 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) I2 U2 R Eisenjoch Eine geschlossene Feldlinie der Länge l im Eisenjoch umschließt die Ströme durch beide Spulen. Das Ampère‘che-Gesetz ergibt dann: ∫ B ⋅ dr = Bl = µr µ0 ( N1 I1 + N 2 I 2 ) Eisenkern = ⇒ B µ r µ0 l ( N1I1 + N 2 I 2 ) Beim idealen Transformator ist der magnetische Fluß durch die Primär- und Sekundärspule gleich groß: Φ Primär = ΦSekundär = Φ ⇒ Φ (t ) = B(t ) A Primärseite: U1 (t ) + U ind (t ) = 0 (t ) U (t ) = −U (t ) = NΦ 1 ind 1 ⇒ U1 (t ) = N1 AB (t ) 106 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Einsetzen des Ausdruckes für B(t) ergibt (Ableitungen nach der Zeit werden ab jetzt mit Punkten gekennzeichnet): U1 N1 A µ r µ0 l ( N I + N I ) 1 1 2 2 Auflösen der Klammer führt auf: Primärspule I1 U1 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) U2 I2 Eisenjoch R N12 A N1 N 2 A µ r µ0 U1 = I1 + µr µ0 I2 = L11 I1 + L12 I2 l l L11 − Selbstinduktivität der Primärspule L12 − Gegeninduktivität Sekundärseite: Auf der Sekundärseite wird die Spannung U2 induziert. µ r µ0 U2 = − N 2 Φ (t ) = − N 2 AB (t ) = − N2 A N1 I1 + N 2 I2 ) ( l 107 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Auflösen der Klammer führt wieder auf: N 2 N1 A N 22 A − µ r µ0 − L21 I1 − L22 I2 U2 = I1 − µr µ0 I2 = l l L21 − Gegeninduktivität L22 − Selbstinduktivität der Sekundärspule Zusammengefaßt ergeben sich die sog. „Transformatorgleichungen“: U1 (t ) = + L11 I1 (t ) + L12 I2 (t ) U (t ) = − L I (t ) − L I (t ) 2 21 1 22 2 N j Nk A mit L jk µ= ( j , k 1, 2) = r µ0 l Die beiden Gegeninduktivitäten sind beim idealen Transformator gleich groß: N1 N 2 A N 2 N1 A = µ= L12 µ= L21 r µ0 r µ0 l l 108 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Primärspule I1 Wir verwenden jetzt wieder die komplexe Schreibweise für die Ströme und Spannungen: iω t U1 (t ) U= U 2 (t ) U 2 e 1e I1 (t ) mit iω t I= I 2 (t ) I 2 e 1e iω t U1 , U 2 , I1 , I 2 ∈ iω L11 I1 + iω L12 I 2 U2 = −iω L21 I1 − iω L22 I 2 Sekundärspule N1 N2 iω t Einsetzen in die Transformatorgleichungen ergibt: U1 U1 A=const. B(t) U2 I2 Eisenjoch Einsetzen in die zweite Gleichung und Auflösen nach I2 ergibt: R iω L21 I2 = − I1 R + iω L22 Dieses Resultat kann jetzt in die erste Auf der Sekundärseite gilt wegen Transformatorgleichung eingsetzt werden: des Ohm‘schen Gesetzes: U 2 = RI 2 −iω L21 U1 iω L11 I1 + L12 I1 = R + iω L22 109 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 iω I1 = ⇒ U1 ( L11R + iω L22 L11 − iω L21L12 ) R + iω L22 Beim idealen Transformator ist: L11L22–L12L21 = 0 Also folgt iω L R ⇒= U1 = I1 Z Primär I1 R + iω L22 11 mit der Impedanz der Primärseite: Primärspule I1 U1 A=const. N1 Sekundärspule Einsetzen des Ausdruckes für I2 in das Ohm‘sche Gesetz liefert auf der Sekundärseite: N2 B(t) I2 Eisenjoch Z Primär iω L11 R = R + iω L22 iω L21 U 2 = RI 2 = − R I1 R + iω L22 U2 R 110 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Damit ergibt sich für das Verhältnis der Sekundärspannung zu der Primärspannung: iω L21 I1 −R U2 R + iω L22 L21 = = − iω L11 R U1 L11 I1 R + iω L22 Primärspule I1 U1 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) I2 Eisenjoch U2 R Die Induktivitäten waren definiert durch: L21 N 2 N1 A N12 A µ= L11 µr µ0 r µ0 l l Damit transformieren sich die Spannungen wie folgt: U2 N2 = − U1 N1 ⇒ Die Spannungen transformieren sich also im Verhältnis der Windungszahlen. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Primär- und Sekundärspannung um π = 180° phasenverschoben sind. 111 Physik A/B1 SS 2017 von Hochspannungen durch Transformation SS14 SS13 PHYSIK Versuch 9:B2Erzeugung Lichtbogen Primärspule mit wenigen Windungen Sekundärspule mit vielen Windungen 112 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Verhältnis der Ströme auf der Primär- und Sekundärseite läßt sich sofort mit der Gleichung iω L21 I2 = − I1 R + iω L22 angeben. Es ergibt sich: Primärspule I1 U1 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) I2 Eisenjoch U2 R I2 iω L21 L21 1 = − = − I1 R + iω L22 L22 1 + R (iω L22 ) Für große Frequenzen ωL22 >> R gilt nun also (kein „Leerlaufstrom“): I2 L21 N1 = − = − I1 L22 N2 ⇒ Die Ströme transformieren sich daher im ungekehrten Verhältnis der Windungszahlen. Das negative Vorzeichen bedeutet, wieder dass der Primär- und Sekundärstrom um 113 π = 180° phasenverschoben sind. Physik A/B1 SS 2017 hoher SS14 SS13 PHYSIK B2 Erzeugung Versuch 10: Ströme durch Transformation Nagel als ohmscher Widerstand Sekundärspule mit wenigen Windungen Primärspule mit vielen Windungen 114 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Verhältnis der Widerstände auf der Primär- und Sekundärseite ist: R Z Primär R = iω L11 R R + iω L22 Also ergibt sich: R Z Primär Primärspule I1 U1 A=const. Sekundärspule N1 N2 B(t) I2 Eisenjoch U2 R R + iω L22 L22 N 22 R R = = + =2 + iω L11 L11 iω L11 N1 iω L11 Für große Frequenzen ωL11 >> R gilt dann: R Z Primär N 22 = 2 N1 Beispiel: Ein Lautsprecher mit einem Widerstand von R2 = 4Ω soll mit einem hochohmigen Verstärker mit R1 = 2500Ω betrieben werden. Das bedeutet für das Verhältnis der Windungzahlen: R2 N 22 N2 4Ω 2 1 = = 2⇒ = = R1 2500Ω N1 N1 50 25 115 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Für die Leistung auf der Primärund Sekundärseite gilt: Primärspule I1 PPrimär = U1 I1 U1 PSek Sekundärspule N1 = U2 I2 N2 Einsetzen der bisherigen Resultate ergibt: PSek A=const. B(t) U2 I2 Eisenjoch R 2 21 L21 L21 L 1 1 U1 I1 PPrimär = L11 L22 1 + R (iω L22 ) L11 L22 1 + R (iω L22 ) Beim jedem Transformator ist L11L22 ≥ (L21)2 und ferner gilt für alle x ∈ : 1 ≤1 1+ i x Also folgt: PSek ≤ PPrimär (realer Trafo: PSek PPrimär ≈ 90% − 95%) Beim idealen Transformator ist L11L22=(L12)2 und im Fall ωL22 >> R folgt: P =P Sek Primär 116 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Ersatzschaltbild eines realen Transformators 117 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Frequenzgang eines realen Transformators Verlauf der Ausgangsspannung & der Phase als Funktion der Frequenz („Bode-Diagramm“) 118 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 11: Der Tesla-Transformator Mit dem Tesla-Transformator können extrem hohe Spannungen erzeugt werden. Prinzip des Tesla-Transformators Funkenstrecke Nicola Tesla (1856-1943) Schwingkreis TeslaTrafo Netztrafo 119 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Einzelkomponenten des Tesla-Transformators Funkenstrecke Kondensator Induktivität Netztrafo 120 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Koronabildung TeslaTransformator Gasentladungsröhre 121 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 122