Teilchen.

Woche 1
Quanten Mechanik I
Kap. I
Warum ist QM nötig ?
Æ Experimenten
Kap. 2 Schrödinger’sche QM. Æ Wellenfunktion, Shrödinger Gleichung.
Woche 2
Kap. 3 Allgemeine Formulierung der QM.Æ „Mathe“
Kap. 4 QM in einer räumlichen Dimension Æ „Harmonische Oszillator,
Tunnel Effekt, Band Struktur.
Kap. 5 Zentral potential und Drehimpuls. Æ Wasserstoff Atom.
Kap. 6 Symmetrien und Erhaltungsätze.
Woche 3
Kap. 7 Der Spin. Æ Spin-Bahn Kopplung, Dynamik von Spin Systeme (NMR).
Kap. 8 Addition von Drehimpuls. Æ Feinstruktur Aufspaltung.
Kap. 9 Störungstheorie. Æ Zeitunabhängige Störungstheorie
und Fermi Goldene Regel.
Bücher.
1) A. Messiah Quantenmechanik I&II
2) Sakurai, Modern Quantum mechanics.
3) C. Cohen-Tannoudji.
Méchanique Quantique
4) Feynman. The Feynman Lecture Notes
5) F. Schwabl Quantenmechanik.
6) ……
Klausur:
Samstag 13. Oktober
Übungen. T. Ohl
Vorlesung.
8:15
9:05
10:15
11.05
Jeder Tag Hörsaal P 15.-17. Uhr
- 9:00
- 9:50
- 11:00
- 11:50
3. Oktober. Bitte frei halten !
Kap. I.
Teilchen-Welle Dualität
Photoelektrische Effekt, Compton Streuung.
Einstein 1905
Licht hat Teilchen Charakter.
λ
De Broglie 1923
E = ω, p = k (ω = c k )
Teilchen haben Wellen Charakter.
E = ω, p = k
m, v
Davisson-Germer experiment (1927)
Atomspektren. Bohrs Quantenhypothese (1913)
L = n
QM: 1923-1927: Dynamik von einem Teilchen ist durch eine Welle beschrieben.
Bei einer Messung beobachtet man ein Teilchen.
Feynman Doppel-Spalt-Experiment. Teilchen, Wellen und Materie-Wellen.
ρ ( x)
1
ρ
2
( x)
ρ
12
( x) =
ρ ( x)
+ ρ ( x)
1
2
Wellen
A1(x,t )
A1(x,t ) + A 2 (x,t )
A 2 (x,t )
Was passiert bei Elektronen?
Elektron treffen den Bildschirm wie Teilchen.
Verteilung zeigt Interferenz-Muster wie bei Wellen.
Planck 1923.
Elektron ist durch eine Welle beschrieben. Wellenfunktion
Ψ (x, t )
Bei eine Messung beobachtet man eine Teilchen. |Ψ(x,t)|2 ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron am Ort x zu finden.
Die Aussagen des QM sind von statistischer Natur.
Kap.1
Zusammenfassung.
Teilchen ist durch eine Welle beschrieben. Wellenfunktion
Ψ (x, t )
Bei eine Messung beobachtet man eine Teilchen. |Ψ(x,t)|2 ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron am Ort x zu finden.
Die Aussagen des QM sind von statistischer Natur !
De Boglie:
Wellenfunktion für freies Teilchen mit Impuls p und Energie E = p2 /2m
⎛i
⎞
Ψ ( x , t ) = A exp ⎜ [p x − E t ] ⎟
⎝
⎠
da
p = k und E = ω
Schrödingergleichung. Dynamik von Wellenfunktion.
Forderungen:
1) Dgl 1. Ordnung in Zeit. =>
Ψ ( x , t ) ist eindeutig bestimmt durch Ψ ( x , t = 0)
2) Linear. => Interferenz Effekten wie im Elektrodynamik.
3) Erhaltung von Wahrscheinlichkeitsdichte. (Homogen).
4)
⎛i
⎞
Ψ ( x , t ) = A exp ⎜ [p x − E t ] ⎟
⎝
⎠
ist Lösung für Teilchen mit Energie E
und Impuls p
2
∂
i
Ψ(x, t) = −
Δx Ψ(x, t ) + V (x) Ψ(x, t)
∂t
2m
Allgemeine Lösung für Freies Teilchen.
d 3p
⎛i
p
Ψ ( x, t ) = ∫
Ψ
(
,
=
0)
exp
t
⎜
(2π ) 3
⎝
d 3p
⎛i
=∫
Ψ (p , t ) exp ⎜ p x
3
(2π )
⎝
d 3p
Ψ (p , t )
3
(2π )
⎞
⎡⎣ p x − Ep t ⎦⎤ ⎟ =
⎠
⎞
⎟
⎠
2
Wahrscheinlichkeit das Teilchen zum Zeitpunkt t innerhalb
3
des Impulsraum Volumenelement d p um den Impuls p zu
finden.
Observablen / Korrespondenzprinzip in Ortsraum.
x =
3
d
∫ x Ψ ( x, t )
2
d 3p
p = ∫
Ψ (p , t )
3
(2π )
d 3p
Ψ (p , t )
E =∫
3
(2π )
=
x
2
2
3
* ˆ
x
(
x
,
)
d
t
Ψ
X Ψ ( x, t )
∫
p = ∫ d 3 x Ψ ( x , t ) * Pˆ Ψ ( x , t )
ˆ =x
X
Pˆ =
∂
p / 2 m = ∫ d x Ψ ( x, t ) i
Ψ ( x, t )
∂t
2
3
*
Allgemeine Form der Schrödinger Gleichung.
∂
ˆ , t ) Ψ(x, t )
Ψ(x, t ) = H (Pˆ , X
i
∂t
wo H(p,x,t) die Klassische Hamiltonsche Funktion entspricht.
i
∇x
Gauss Wellenpaket.
Wie beim klassisches Teilchen. Beispiel von
Ehrenfest Theorem (siehe Kap. III.)
v0t
Δp Δx =
Aus Rechnung:
2
1+
(
t / 2mD
Beispiel von Heisenberg Unschärfe-Relation.
Δp Δx ≥
Konsequenz.
)
2
≥
2
Allgemein gilt:
(siehe Kap. 3) Unmöglich p und x Gleichzeitig exakt zu bestimmen!
2
Nullpunkt Bewegung, Nullpunktenergie.
Beispiel: Harmonische Oszillator
Hˆ
Pˆ 2
=
2m
mω
+
2
Sogar wenn
2
Xˆ
2
p = x = 0 gilt
E ≥
ω
2
Teilchen im unendlich Potentialtopf.
V(x)
V =∞
-L/2
+L/2
Stationäre Schrödinger Gl.
⎡ Pˆ 2
⎤
ˆ
V
(
X
)
+
⎢
⎥ψ ( x ) = E ψ ( x )
2
m
⎣
⎦
ψ ( x ) = 0 für
Randbedingung:
x > L/2
ψ ( x ) stetig → für ψ ( x = ± L / 2) = 0
Lösungs-Ansatz ( |x|<L/2 )
Stationäre Schr. Gl. Æ
Rand Bedingung
Æ
ψ ( x ) = a e ipx / + b e − ipx /
E = p 2 / 2m
k = p/
= 2n π / L ,
k = p/
= (2 n + 1) π / L
Ungerade Pariät.
k n ( u ) = 2 n π / L , n = 1, 2, 3..
ψ n (u ) ( x ) =
En
(u )
=
2
2
sin( k n x )
L
k n (u ) 2
2m
Gerade Pariät.
k n ( g ) = (2 n + 1) π / L , n = 0,1, 2, 3..
ψ n( g ) ( x) =
En
(g)
=
ψ ( x)
2
2
cos( k n x )
L
kn( g )2
2m
ψ 0( g ) ( x)
ψ 1( u ) ( x )
ψ 1( g ) ( x )
x/L
Comments.
1) Quantization of energy stems from boundary condition!
2) Ground state does not have vanishing energy. (Zero point motion! Uncertainty principle.)
3) The energy Eigenstates build a complete basis (VONS) of
∀ ψ ( x, t = 0), ψ ( x, t = 0) = a0
(g)
ψ 0 ( x) +
(g)
∞
∑a
n =1
(g)
n
L2 ( [ − L / 2, L / 2])
ψ n ( g ) ( x) + an (u ) ψ n (u ) ( x)
and
ψ ( x, t ) = a0
(g)
e
− itE0( g ) /
ψ 0 ( x) +
(g)
∞
∑ an( g ) e−itEn
n =1
(g)
/
ψ n ( g ) ( x) + an (u ) e− itE
n
(u )
/
ψ n (u ) ( x)
is a solution of the time dependent Schrödinger equation with appropriate intial conditions!