Theorie der kondensierten Materie II - I. Institut für Theoretische Physik

Theorie der kondensierten Materie II
Skript zur Vorlesung
Sommersemester 2016
Universität Hamburg
Prof. Dr. Michael Potthoff
Theorie der kondensierten Materie II
Übersicht
• Motivation und Grundlagen
• Zweite Quantisierung
• Exakte Diagonalisierung
• Wechselwirkende Vielelektronensysteme
• Variation von Vielteilchenzuständen
• Statische Mean-Field-Theorie
• Green-Funktionen
• Einfache Anwendungen
• Diagrammatische Störungstheorie
• Dynamische Mean-Field-Theorie
• Quanten-Monte-Carlo-Methode
Literaturauswahl
umfassend, einführend:
• A. L. Fetter, J. D. Walecka: Quantum Theory of Many-Particle Systems
(McGraw-Hill)
• G. D. Mahan: Many-Particle Physics (Plenum)
• W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 (Vieweg)
• E.K.U. Gross, E. Runge: Veilteilchentheorie (Teubner)
• A. Altland, B. Simons: Condensed Matter Field Theory (Cambridge)
• E. Fradkin: Field Theories of Condensed Matter Physics (Cambridge)
spezielle Themen:
• P. Nozières, D. Pines: The Theory of Quantum Liquids (Addison-Wesley)
• E. H. Lieb, D. C. Mattis: Mathematical Physics in One Dimension
(Academic)
• F. Gebhard: The Mott Metal-Insulator Transition (Springer)
• A. C. Hewson: The Kondo Problem to Heavy Fermions
(Cambridge University Press)
• H. E. Stanley: Phase Transitions and Critical Phenomena (Academic)
• W. Nolting: Quantentheorie des Magnetismus I, II (Teubner)
• G. Czycholl: Theoretische Festkörperphysik (Vieweg)
spezielle Methoden:
• A. A. Abrikosow and L. P. Gorkov and I. E. Dzyaloshinski:
Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Prentice-Hall)
• R. M. Dreizler and E. K. U. Gross: Density Functional Theory (Springer)
• J. W. Negele, H. Orland: Quantum Many-Particle Systems (Addison-Wesley)
• H. Eschrig: The Fundamentals of Density Functional Theory (Teubner)
4
Motivation:
• reale Systeme sind meist als quantenmechanische Viel-Teilchen-Systeme
aufzufassen
(z.B. Atomkerne, Atome, Moleküle, Nanostrukturen, Mesoskopische Systeme, Festkörper)
• meist Systeme mit (starker) Wechselwirkung
Beschreibung von Vielteilchensystemen daher i.allg. nicht reduzierbar auf Ein-TeilchenKonzepte
Bild unabhängiger Teilchen nicht haltbar
• Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen erzwingt (Anti-)Symmetrisierung
der Viel-Teilchen-Wellenfunktion Ψpr 1, σ1, r 2, σ2, ...q
Formalismus der zweiten Quantisierung (Erzeuger, Vernichter)
• Viel-Teilchen-Wellenfunktion von 1023 Teilchen uninteressant
neue Basisgrößen, z.B. Erwartungswerte, Korrelationsfunktionen, Green-Funktionen,
zu diskutieren
• Ein-Teilchen-Problem (H|Ψy “ E|Ψy) im wesentlichen lösbar (ggfs. numerisch),
Viel-Teilchen-Problem i.allg. nicht exakt lösbar
neue Methodik erforderlich (Mean-Field-Ansätze, Feynman-Diagramme, QMC,
Pfadintegral, Funktionaltheoretische Methoden, etc.)
• qualitativ neue Phänomene:
Fermiflüssigkeiten, Luttinger-Flüssigkeiten, Schwerfermionenverhalten, Kondo-Effekt,
5
Bose-Einstein-Kondensation, Supraleitung, kollektiver Magnetismus, Mott-Isolatoren,
(Quanten-)Phasenübergänge, etc.
6
Motivation und Grundlagen
1.1
Korrelationen
“Standardmodell der elektronischen Struktur eines Festkörpers”
• N Elektronen
• kinetische Energie
• externes Potential (Ionenrümpfe)
• Coulomb-Wechselwirkung
Hamiltonian:
H “ H0 ` H1
mit
H0 “
N
ÿ
j“1
Hamiltonian: bekannt
˜
p2j
2m
¸
` V pr j q
Ø Hochenergiephysik
7
N
ÿ
“
j“1
j‰k
pjq
H0
e2
1ÿ
H1 “
2 j,k |r j ´ r k |
Lösung: unbekannt
————————————————————————————————————
unabhängige, nicht korrelierte Elektronen:
Einelektronennergie für Festkörper mit gitterperiodischem Potenzial:
εmpkq
(Blochsches Theorem)
Wellenvektor k, Bandindex m
Einbandmodell:
εpkq
tight-binding-Approximation Ü
8
6
E 4
2
0
−2
−4
−6
−8
Γ
X
M
k
Γ
8
korrelierte Elektronen, “korrelierte Bandstruktur”:
8
6
E 4
2
0
−2
−4
−6
−8
Γ
X
M
k
Γ
Korrelationseffekte (sichtbar in der “Bandstruktur”):
• Effekte, die durch kein H0 (kein V prq) beschrieben werden können
• “band narrowing”
• Satelliten
• endliche Lebensdauer, Resonanzen
• dichteabhängiger Transfer von spektralem Gewicht
• Auftreten neuer Energieskalen
• ...
————————————————————————————————————
9
Thermodynamik unkorrelierter Teilchen
(großkanonische) Zustandssumme:
Z “ Sp e´βpH´µN q
β “ 1{T
unabhängige (unterscheidbare) Teilchen: H0 “
N
ÿ
pjq
H0
j“1
N
Z “ ZTeilchen
• keine Singularitäten
• keine Phasenübergänge
• keine kollektiven Phänomene
unabhängige Fermionen : 4
unabhängige Bosonen : BEC
Ü Phasendiagramme von Fermi-Systemen: Wechselwirkungs-/Korrelationseffekt
10
T*
Tc
Elektronenkonfigurationen:
La: 5d16s2
Sr: 5s2
O: 2p4
Cu: 3d104s1
11
Thermodynamik: Korrelationseffekte
• kollektiver Magnetismus
• spontane Ordnung von Ladungs- und von orbitalen Freiheitsgraden
• Supraleitfähigkeit, Suprafluidität
• Mott-Metall-Isolator-Übergänge
• Kondo-Abschirmung lokaler Momente
• Nicht-Fermi-Flüssigkeitsverhalten
• Luttinger-Flüssigkeiten
• ¨¨¨
12
Beschränkung auf wesentliche Bestandteile zur prinzipiellen Untersuchung
von Korrelationseffekten und zur Methodenentwicklung:
Ausgangspunkt:
H “ H0 ` H1
H0 “
N
ÿ
˜
j“1
energy
atom
¸
p2j
2m
` V pr j q
“
j‰k
1ÿ
e2
H1 “
2 j,k |r j ´ r k |
pjq
H0
j“1
Hubbard model
solid
(L atoms)
N=L
N
ÿ
EF
i
j
valence band
t ij
U
x
HAtom
Dimension:
4
piq
H “ bLi“1HAtom
4L
H “ H0 ` H1
13
y
Hubbard-Modell – Standardmodell der Quanten-Vielteilchentheorie
U
t
H“
ÿ
tij c:iσ cjσ
ijσ
• i, j: Gitterplätze, i “ 1, ..., L
• Spinprojektion σ “Ò, Ó
• Hopping tij Ü tight-binding-Band
• Hubbard-U Ü (abgeschirmte) lokale Coulomb-Wechselwirkung
• Besetzungszahloperator niσ “ c:iσ ciσ
• ciσ , c:iσ : Vernichter, Erzeuger
14
Uÿ
`
niσ ni´σ
2 iσ
Hubbard-Modell – Standardmodell der Quanten-Vielteilchentheorie
U
t
H“
ÿ
ijσ
• “kinetische” Energie vs. Coulomb-Wechselwirkung
• Fermi-Statistik
• Hilbert-Raum-Dimension: 4L
• beinhaltet (potenziell/real) sämliche Korrelationseffekte
15
tij c:iσ cjσ
Uÿ
`
niσ ni´σ
2 iσ
Prinzipien der Quantenmechanik
1.2
Zustand
|Ψy P H
mit xΨ|Ψy “ 1
bzw.
|ΨyxΨ|
(Projektor)
Zustandsraum:
t|Ψyu “ H
Hilbert-Raum
Observable: hermitesche Operatoren auf H:
A “ A:
mögliche Messwerte: Eigenwerte ar von A
A|ar , γy “ ar |ar , γy
(γ “ 1, ..., gr , gr : Entartung von ar )
|ar , γy Eigenzustand von A zum Eigenwert ar
————————————————————————————————————
Quantenmechanik:
• keine sichere Vorhersage einzelner Messungen
• prinzipielle Unvorhersagbarkeit, auch bei vollständiger Präparation eines reinen
16
Zustands |Ψy
• objektive WK
• Quantenstatistik: gemischte Zustände mit weiteren (“subjektiven”) WK
————————————————————————————————————
Messung von A am System im Zustand |Ψy liefert ar mit WK
P par q “ |xar |Ψy|2 “ xΨ|ar yxar |Ψy “ xΠpar qyΨ
Πpar q: Projektor auf den Unterraum zum Eigenwert ar
bei Entartung von ar :
gr
ÿ
ÿ
2
P par q “
|xar , γ|Ψy| “ xΨ|
|ar , γyxar , γ|Ψy “ xΠpar qyΨ
γ
γ“1
Systemzustand nach der Messung (mit Resultat ar ):
Πpar q|Ψy
“Kollaps”, akausale Entwicklung
Präparation eines reinen Zustands |Ψy.
Messung eines vollständigen Satzes kommutierender Observabler
|ar , bs, ...y “ Πpar qΠpbsq ¨ ¨ ¨ |Ψy
Erwartungswert von A bei Messung im Zustand Ψ:
17
ÿ
xAyΨ “
P par qar “
r
ÿ
“
ÿ
|xar , γ|Ψy|2ar
r,γ
xΨ|ar , γyar xar , γ|Ψy “ xΨ|A|Ψy
r,γ
————————————————————————————————————
zeitliche Entwicklung des Zustands:
|Ψy “ |Ψptqy
Anfangsbedingung:
|Ψpt0qy “ |Ψ0y
Dynamik: Hamilton-Operator
H “ Hpq, pq
klassische Hamilton-Fkt. aber rq, ps “ i~
Bewegungsgleichung
d
i~ |Ψptqy “ H|Ψptqy
Schrödinger-Gleichung
dt
formale Lösung:
˙
ˆ
i
|Ψptqy “ exp ´ Hpt ´ t0q |Ψpt0qy “ U pt ´ t0q|Ψpt0qy
~
mit Zeitentwicklungsoperator U (H nicht explizit zeitabhängig)
Zeitabhängigkeit eines Erwartungswerts:
18
Schrödinger-Bild
xAyt “ xΨptq|A|Ψptqy
i
i
“ xΨp0q|e ~ HtAe´ ~ Ht|Ψp0qy
“ xΨp0q|Aptq|Ψp0qy
i
Heisenberg-Bild
i
mit: Aptq ” e ~ HtAe´ ~ Ht
————————————————————————————————————
Schrödinger-Bild:
– A “ Apq, pq Operatoren zeitunabhängig
– |Ψptqy Zustände zeitabhängig Ü Schrödinger-Gleichung
————————————————————————————————————
Heisenberg-Bild
– Operatoren zeitabhängig Ü Heisenberg-Gleichung
– Zustände |Ψy zeitunabhängig
Heisenberg-Gleichung (A nicht explizit zeitabhängig):
d
d ´ i Ht ´ i Ht¯
i~ Aptq “ i~
e ~ Ae ~
“ rA, Hsptq
dt
dt
Erhaltungsgrößen:
rA, Hs “ 0
Ü A “ const.
19
Energieerhaltung:
rH, Hs “ 0
1.3
Ü H “ const.
Quantenmechanisches N -Teilchen-System
Ein-Teilchen-Hilbert-Raum: H1
ONB von H1:
t|φα yu
xφα |φβ y “ δαβ
ÿ
|φα yxφα | “ 1
(Orthonormierung)
(Vollständigkeit)
α
α: diskreter Index! (konzeptionell: Teilchen in einer (makroskopischen) Box
vermeidet formale Schwierigkeiten bei überabzählbaren Basis)
————————————————————————————————————
piq
Ein-Teilchen-Hilbert-Raum des i-ten Teilchens: H1
piq
ONB von H1 :
t|φpiq
α yu
————————————————————————————————————
20
N -Teilchen-Hilbert-Raum:
p1q
p2q
pN q
HN “ H1 b H1 b ¨ ¨ ¨ b H1
(Tensorprodukt)
ONB von HN :
pN q
p2q
t|φp1q
α1 y|φα2 y ¨ ¨ ¨ |φαN yu
Produktzustände
Index oben: Teilchen
Index unten: vollständiger Satz von Quantenzahlen
es folgt:
dim HN “
N
ź
piq
dim H1 “ pdim H1qN
i“1
piq
falls H1 endlichdimensional bzw. dim H1 “ dim H1
beachte: Definition von HN nur für unterscheidbare Teilchen (s.u.)
Orthogonalität:
p1q
p2q
pN q
p1q
pN q
p1q
pN q
p2q
pN q
xφp1q
α1 |xφα2 | ¨ ¨ ¨ xφαN | ¨ |φβ1 y|φβ2 y ¨ ¨ ¨ |φβN y “ xφα1 |φβ1 y ¨ ¨ ¨ xφαN |φβN y “ δα1 β1 ¨ ¨ ¨ δαN βN
Vollständigkeit:
21
ÿ
pN q
p1q
pN q
|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN yxφα1 | ¨ ¨ ¨ xφαN | “ 1
α1 ,...,αN
————————————————————————————————————
Bestimmung eines Energie-Eigenzustands:
Ü Darstellung des Hamilton-Operators H in ONB
ÿ
p1q
pN q
p1q
pN q
pN q
p1q
pN q
|H|φ
|
¨
¨
¨
xφ
y
¨
¨
¨
|φ
yxφ
yxφ
|
¨
¨
¨
xφ
y
¨
¨
¨
|φ
H“
|φp1q
αN
α1
αN
α1
β1
βN
β1
βN |
α1 ,...,αN ,β1 ,...,βN
mit r “ pα1, ..., αN q, s “ pβ1, ..., βN q ist:
ÿ
H“
Hrs|ryxs|
rs
Eigenwerte/-zustände von H Ø Eigenwerte/-zustände der Matrix Hrs
Hrs “ xr|H|sy
Matrixdimension:
N
ź
piq
dim H1 “ pdim H1qN
(bei gleichen Dimensionen)
i“1
für Diagonalisierung von Matrizen 9 Matrixdimension3, also:
Aufwand „ pdim H1q3N
Aufwand „ eN
22
————————————————————————————————————
Bestimmung der Grundzustandsenergie mit Hilfe des Ritzschen Prinzips:
xΨ|H|Ψy
E0 “ min
xΨ|Ψy
mit
ÿ
pN q
|Ψy “
cα1,...,αN |φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
α1 ,...,αN
cα1,...,αN Variationsparameter, Anzahl 9eN Ü
Minimierung der Funktion E0ptcα1,...,αN uq:
Aufwand „ eN
————————————————————————————————————
ÿ
pN q
gegeben N -Teilchen-Zustand
|Ψy “
cα1,...,αN |φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
α1 ,...,αN
Berechnung des Erwartungswerte einer Observablen A:
ÿ
p1q
pN q
pN q
xΨ|A|Ψy “
c˚α1,...,αN cβ1,...,βN xφp1q
α1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |A|φβ1 y ¨ ¨ ¨ |φβN y
α1 ,...,αN ,β1 ,...,βN
2N -fache Summe mit jeweils dim H1 Termen Ü 9eN Summanden
Aufwand „ eN
23
————————————————————————————————————
Operieren mit N -Teilchen-Zuständen:
Aufwand „ eN
1.4
Gemischter Zustand, Dichteoperator
reiner Zustand enthält “zu viel” Information (N „ 1023)
Mikrozustand:
reiner Zustand
|Ψy
bei unvollständiger Information:
|Ψk y mit WK pp|Ψk yq “ pk
gemischter Zustand
Ü gemischter Zustand “ Satz von reinen Zuständen mit zugehörigen WK
Ü Zustand |Ψk y ist eine Zufallsgröße
Ü zusätzliche statistische Beschreibung
definiere Dichteoperator
ÿ
ρ“
pk |Ψk yxΨk |
k
Operator im Hilbert-Raum (aber nicht als Observable aufzufassen)
24
————————————————————————————————————
Eigenschaften:
Normierung : (t|Ψk yu ONB)
ÿ
ÿ
Sp ρ “ xΨk |ρ|Ψk y “
pk “ 1
k
k
Sp ρ “ 1
Positive Definitheit : sei |Φy beliebig:
ÿ
ÿ
xΦ|ρ|Φy “ xΦ| pk |Ψk yxΨk ||Φy “
pk |xΦ|Ψk y|2 ě 0
k
k
ρě0
Hermitizität :
˜
¸:
ÿ
ÿ
:
pk |Ψk yxΨk | “
pk |Ψk yxΨk | “ ρ
ρ “
k
k
ρ “ ρ:
umgekehrt:
ρ “ ρ:, ρ ě 0, Sp ρ “ 1 Ü Eigenwerte reell, nicht negativ, Summe: 1
Ü Eigenwerte als WK interpretierbar
Ü Operator mit diesen Eigenschaten charakterisiert (eindeutig!) einen gemischten Zus25
tand t|Ψk y, pk u
————————————————————————————————————
reiner Zustand als Spezialfall:
Ü
pk “ δkk0
ρ“
ÿ
pk |Ψk yxΨk | “ |Ψk0 yxΨk0 |
k
weiter gilt:
2
Sp pρ q “
ÿ
ÿ
xΨk |ρ|Ψl yxΨl |ρ|Ψk y “
k,l
p2k
ÿ
xΨk |Ψk y “
k
p2k ď 1
k
Sp pρ2q “ 1 ô ρ “ |ΨyxΨ| für ein |Ψy ô ρ reiner Zustand
————————————————————————————————————
Motivation der Definition von
ÿ
ρ“
pk |Ψk yxΨk |
k
alle messbare Größen: direkt durch ρ darstellbar!
System mit WK pk im Zustand |Ψk y. Messung von A. WK ar zu messen:
ÿ
P par q “
P par | System im Zustand |Ψk yq ¨ pk
k
es ist:
26
P par q “
ÿ
xΠpar qyΨk pk
mit
Πpar q “
gr
ÿ
|ar , γyxar , γ|
γ“1
k
also:
P par q “
ÿÿ
k
n
ÿ
“
xΨk |nyxn|Πpar q|Ψk y pk
ÿ
xn|Πpar q
n
|Ψk ypk xΨk |ny “ Sp pΠpar qρq “ Sp pρΠpar qq
k
P par q ist also nur über den Dichteoperator von |Ψk y und pk abhängig
Erwartungswert einer Observablen A:
˜
¸
ÿ
ÿ
ÿ
xAy “
ar P par q “
ar Sp pρΠpar qq “ Sp ρ ar Πpar q “ Sp pρAq
r
r
r
nur über Dichteoperator von |Ψk y und pk abhängig
somit:
xAyρ “ Sp pρAq
und
P par q “ xΠpar yρ
————————————————————————————————————
speziell für einen reinen Zustand ρ “ |ΨyxΨ|:
27
xAyΨ “ Sp p|ΨyxΨ|Aq “
ÿ
ÿ
xn|ΨyxΨ|A|ny “
n
xΨ|A|nyxn|Ψy “ xΨ|A|Ψy
n
und:
P par q “ xΠpar qyΨ “ ... “ xΨ|
ÿ
|ar , γyxar , γ|Ψy “
γ
ÿ
|xar , γ|Ψy|2
γ
————————————————————————————————————
großkanonische Gesamtheit
thermodynamisches Gleichgewicht
Wahrscheinlichkeiten für gemischten Zustand der GK Gesamtheit:
pk “ const.e´pEk ´µNk q{kB T
normierte Wahrscheinlichkeiten:
1
pk “ e´βpEk ´µNk q
Z
mit:
T : Temperatur
µ: chemisches Potenzial
inverse Temperatur, Einheiten:
1
, kB “ 1
T
Zustandssumme :
β“
28
ZpT, µq “
ÿ
e´βpEk ´µNk q “ e´βΩ
k
großkanonisches Potenzial
ΩpT, µq “ ´T ln ZpT, µq
Formulierung mit Dichteoperator:
1 ´βpH´µNp q
p
e
Z “ Sp e´βpH´µN q
Z
————————————————————————————————————
ρ“
Berechnung des Erwartungswerts einer Observablen A
es sei (o.B.d.A.)
H “ H0 ` λA
dann folgt:
xAy “ Sp pρAq “
B
1
Sp Ae´βpH0`λA´µN q “
p´T q ln Sp e´βpH0`λA´µN q
Z
Bλ
also
BΩ
Bλ
Berechnung von ΩpT, µ, λq bzw. von ZpT, µ, λq:
xAy “
29
+ Übung
´βpH´µN q
Z “ Sp e
ÿ
“
pN q ´βpH´µN q p1q
q
xφp1q
|φα1 y ¨ ¨ ¨ |φpN
α1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |e
αN y
α1 ,...,αN
Aufwand „ eN
Fazit Quantenstatistik:
keine “Verbesserung” bzgl. des Komplexitätsproblems
aber: angemessene Beschreibung eines Viel-Teilchen-Systems
30
Zweite Quantisierung
identische Teilchen: (Anti-)symmetrisierung der Zustände notwendig
Umformulierung der üblichen QM mit Erzeugern und Vernichtern
Quantisierung der Schrödinger-Gleichung als klassische Feldgleichung (s.u.)
2.1
Systeme identischer Teilchen
identische Teilchen : Teilchen mit vollständig übereinstimmenden inneren Teilcheneigenschaften (Masse, Ladung, Spin,...)
Identische Teilchen sind ununterscheidbar
• klassisch: unterscheidbar, da (prinzipiell) Trajektorie jedes einzelnen Teilchens verfolgt werden kann
31
p
KM
t>0
2
1
3
t=0
q
• quantenmechanisch: Konzept der Trajektorie sinnlos
• Vertauschung von Teilchen darf zu keinen messbaren Konsequenzen führen
N -Teilchen-Hilbert-Raum:
p1q
p2q
pN q
p1q
HN “ H1 b H1 b ¨ ¨ ¨ b H1
p2q
pN q
ONB t|φα1 y|φα2 y ¨ ¨ ¨ |φαN yu
Ein-Teilchen-Hilbert-Raum:
piq
H1
piq
ONB t|φα1 yu
piq
pjq
identische Teilchen: H1 isomorph zu H1
————————————————————————————————————
definiere Vertauschungsoperator Pij : (auf Basis)
piq
pjq
pN q
p1q
pjq
piq
pN q
Pij |φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ |φαN y “ |φα1 y ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ |φαN y
32
oder (Wirkung auf Ein-Teilchen-Zustände):
piq
pjq
pN q
p1q
piq
pjq
pN q
Pij |φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ |φαN y “ |φα1 y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαN y
(es wird vereinbart, dass Zustände in einem Tensorprodukt kommutieren)
es gilt:
Pij: “ Pij
und
Pij2 “ 1
(Beweis: Auswerten auf Produktbasis)
Teilchenvertauschung darf Messwerte nicht ändern!
Ü
xΨ|A|Ψy “ xPij Ψ|A|Pij Ψy
für beliebige physikalische Observable A und beliebigen physikalischen Zustand
|Ψy P HN :
Ü
xΨ|A|Ψy “ xΨ|Pij: APij |Ψy
Ü
A “ Pij: APij
Ü
rPij , As “ 0
also auch:
|ΨyxΨ|Pij “ Pij |ΨyxΨ|
Ü
|ΨyxΨ|Pij |Ψy “ Pij |ΨyxΨ|Ψy
Ü
Pij |Ψy “ ε|Ψy
aber ε “ ˘1, denn Pij: “ Pij und Pij2 “ 1
33
somit:
Pij |Ψy “ ˘|Ψy
————————————————————————————————————
Beispiel: (für αi ‰ αj )
¯
¯
´
¯ ´
´
pjq
piq
piq
pjq
pjq
piq
Pij ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ “ ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨ ‰ ˘ ¨ ¨ ¨ |φαi y ¨ ¨ ¨ |φαj y ¨ ¨ ¨
Ü Produktzustände nicht physikalisch
Beispiel:
r piq
Ortsoperator des i-ten Teilchens
Pij: r piqPij “ r pjq ‰ r piq
(Beweis: Auswerten auf Produktbasis)
Ü r piq nicht physikalisch
Beispiel:
H“
2
N
ÿ
ppiq
i“1
1ÿ
α
`
2m
2 i‰j |r piq ´ r pjq|
Pij: HPij “ H
Ü H physikalisch
————————————————————————————————————
34
Fermionen
Pij |Ψy “ ´|Ψy
antisymmetrische
p´q
Hilbert-Raum HN
ε “ ´1
halbzahliger Spin
2.2
Bosonen
Pij |Ψy “ `|Ψy
symmetrische Zustände (Observable stets symmetrisch)
p`q
Hilbert-Raum HN
ε “ `1
Vorzeichenkonvention!
ganzzahliger Spin
(Spin-Statistik-Theorem)
Hilbert-Raum der physikalischen Zustände
physikalisch erlaubte Zustände aus:
pεq
HN Ă HN
pεq
|Ψy P HN ist (anti-)symmetrisch
Beispiel:
p`q
p2q
|φp1q
α y|φα y P H2
¯
1 ´ p1q p2q
p1q
p2q
? |φα y|φβ y ˘ |φα y|φβ y P H2p˘q
(normiert für α ‰ β)
2
N “ 2: (anti-)symmetrisierte Produktzustände P Hpεq
Verallgemeinerung auf N ą 2:
35
definiere Permutationsoperator P (auf Basis)
pN q
pi1 q
piN q
P|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y “ |φα1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
wobei pi1, ..., iN q Permutation P der Zahlen 1, ..., N
definiere Vorzeichen der Permuation :
p´1qP “ p´1qp
mit p “ Anzahl der Transpositionen, aus denen sich die Permutation aufbaut
P ist unitär, P ´1 “ P :
(schreibe P als Produkt von Vertauschungsoperatoren)
definiere damit
pεq
(Anti-)Symmetrisierungsoperator SN
1 ÿ P
pεq
SN “
ε P
N! P
Eigenschaften:
pεq
pεq
pεq
pεq
• pSN q2 “ SN (Idempotenz)
• pSN q: “ SN (Hermitizität)
pεq
also: SN Projektoren
p`q p´q
p´q p`q
• SN SN “ SN SN “ 0
36
+ Übung
also: orthogonale Projektoren
weiter gilt:
pεq
pεq
|Ψy P HN Ü SN |Ψy P HN
————————————————————————————————————
Beweis:
sei |Ψy P HN beliebig, es gilt:
1 ÿ P 1
1 ÿ P
pεq
ε P|Ψy “
ε P |Ψy
Pij SN |Ψy “ Pij
N! P
N! P
mit P 1 “ Pij P
1
wegen εP “ εεP ist also:
1 ÿ P1 1
1 ÿ P1 1
pεq
pεq
Pij SN |Ψy “ ε
ε P |Ψy “ ε
ε P |Ψy “ εSN |Ψy
N! P
N ! P1
pεq
pεq
pεq
also ist SN |Ψy (anti-)symmetrisch und somit SN |Ψy P HN
————————————————————————————————————
es gilt auch:
pεq
pεq
|Ψy P HN Ü SN |Ψy “ |Ψy
————————————————————————————————————
37
Beweis:
pεq
sei |Ψy P HN , dann ist
Pij |Ψy “ ε|Ψy
und P|Ψy “ εP |Ψy, und somit
pεq
SN |Ψy “ |Ψy
————————————————————————————————————
und damit insgesamt:
pεq
pεq
HN “ SN HN
p0q
p`q
p´q
sei SN “ 1 ´ SN ´ SN
p0q
pεq
+ Übung
SN ist ein zu SN orthogonaler Projektor
Zerlegung des N -Teilchen-Hilbert-Raums in physikalische und unphysikalische Unterräume:
p`q
p´q
p0q
HN “ HN k HN k HN
(orthogonale Summe)
mit:
p`q
p`q
p´q
p´q
p0q
p0q
HN “ SN HN
HN “ SN HN
HN “ SN HN
38
(Anti-)symmetrisierte Produktzustände
2.3
Produktzustände (bilden Basis von HN )
pN q
|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
definiere (anti-)symmetrisierte Produktzustände :
pεq
pN q
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq “ SN |φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
es ist
pεq
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq P HN
beachte: t|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεqu bilden keine Basis, sind i. allg. linear abhängig!
beachte:
pεq
dimHN ă dimHN
| ¨ ¨ ¨ φαi ¨ ¨ ¨ φαj ¨ ¨ ¨ypεq “ ε| ¨ ¨ ¨ φαj ¨ ¨ ¨ φαi ¨ ¨ ¨ypεq
————————————————————————————————————
p´q
Beispiel: HN
p´q
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN y
1 ÿ
pN q
“
p´1qP P|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
N! P
39
¨
p1q
|φα1 y
˚
1
˚
“
det ˚
˝
N!
¨¨¨
pN q
|φα1 y
‹
‹
‹
‚
¨
¨
p1q
˛
pN q
|φαN y ¨ ¨ ¨ |φαN y
(mit Entwicklungssatz nach Leibniz)
“Slater-Determinante”
falls αi “ αj für i ‰ j, folgt |φα1 ¨ ¨ ¨ φαN yp´q “ 0 Ü Pauli-Prinzip
————————————————————————————————————
damit ist auch:
|||φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq||2 ‰ 1
i.allg.
Ü Zustände nicht normiert
————————————————————————————————————
pεq
sei |ΨN ypεq P HN
40
dann gilt:
pεq
|ΨN y
ÿ
pN q
p1q
pN q
pεq
|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN yxφα1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |ΨN y
“
α1 ,...,αN
ÿ
pεq
pεq
p1q
pN q
pN q
|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN yxφα1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |SN |ΨN y
“
α1 ,...,αN
ÿ
pN q
|φp1q
α1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
“
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |ΨN ypεq
α1 ,...,αN
pεq
nach Anwenden von SN auf beiden Seiten folgt:
ÿ
pεq
|ΨN y “
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq pεqxφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |ΨN ypεq
α1 ,...,αN
Zerlegung der Eins :
ÿ
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN | “ 1Hpεq
N
α1 ,...,αN
pεq
beachte: Summe enthält mehr Terme als Dimensionen in HN , Zustände nicht normiert
2.4
Besetzungszahldarstellung
Vereinbarung einer Anordnung der Basiszustände: α “ 1, ..., d
d “ dim H1
Standardordnung: |φ1y, |φ2y, ¨ ¨ ¨ , |φdy
Besetzungszahldarstellung eines (anti-)symmetrisierten Produktzustands:
41
|n1, n2, ..., ndy “ Kε |φ1φ1 ¨ ¨ ¨ φ1φ2 ¨ ¨ ¨ φ2 ¨ ¨ ¨ φd ¨ ¨ ¨ φdypεq
mit Normierungskonstante Kε (xn1, n2, ..., nd|n1, n2, ..., ndy “ 1)
und:
ni “ Anzahl der Teilchen im Zustand |φiy
Besetzungszahl
für |φα1 , ..., φαN ypεq:
ni “ Anzahl Indizes mit αj “ i
Produktzustand:
φ8 φ4 φ1 φ5 φ4 φ8 φ8
Teilchen
1
2
3 ...
N
(anti-)symmetrisierter Produktzustand in Besetzungszahldarstellung:
φ 1 φ 2 φ 3 ...
φd
Ein−Teilchen−
Zustände
(Teilchen ohne Identität)
————————————————————————————————————
es gilt: (Beweis s.u.)
pεq
t|n1, n2, ..., ndyu ist ONB von HN
(NB:
42
ř
α nα
“ N)
Orthonormalität :
xn1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα , ¨ ¨ ¨ |n11, n12, ¨ ¨ ¨ , n1α , ¨ ¨ ¨y “ δn1n11 δn2n12 ¨ ¨ ¨
Vollständigkeit :
ř
ÿ
α nα “N
ÿ
ÿ
¨¨¨
n1
n2
¨ ¨ ¨ |n1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα , ¨ ¨ ¨yxn1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα , ¨ ¨ ¨ | “ 1Hpεq
N
nα
————————————————————————————————————
Beispiel: N “ 2 Teilchen
Produktzustand:
p2q
|φp1q
α y|φβ y P HN “2
(Anti-)symmetrisierter Produktzustand:
¯
1 ´ p1q p2q
p˘q
p1q
p˘q p1q
p2q
p1q
p2q
y|φ
S2 |φα y|φβ y “
|φα y|φβ y ˘ |φα y|φβ y “ ˘S2 |φp2q
α
β y
2!
p˘q
“ K˘´1|0 ¨ ¨ ¨ nα “ 1 ¨ ¨ ¨ nβ “ 1 ¨ ¨ ¨ 0y P H2
Normierung: (K˘ reell)
› p˘q p1q p2q ›2
´2
K˘ “ ›SN |φα y|φβ y›
¯´
¯
1 ´ p1q p2q
p1q
p2q
p1q
p2q
p1q
p2q
“
xφα |xφβ | ˘ xφα |xφβ | |φα y|φβ y ˘ |φα y|φβ y
4
43
1 ´ p1q p2q
p2q
p1q
p1q
p2q
p2q
“ xφα |xφβ | ¨ |φp1q
y|φ
y
`
xφ
|xφ
|
¨
|φ
y|φ
α
α
α
β
β
β y
4
¯
p2q
p1q
p1q
p2q
p2q
p2q
p1q
˘xφp1q
α |xφβ | ¨ |φα y|φβ y ˘ xφα |xφβ | ¨ |φα y|φβ y
1
1
“ p1 ` 1 ˘ δαβ ˘ δαβ q “ p1 ˘ δαβ q
4
2
d
2
Ü K˘ “
1 ˘ δαβ
allgemein: (s.u.)
d
Kε “
?
K´ “ N !
N!
ś
α nα !
————————————————————————————————————
Fermionen: nα “ 0, 1 (aufgrund des Pauli-Prinzips)
φ 1 φ 2 φ 3 ...
Ein−Teilchen−
Zustände
φd
ˆ
p´q
M “ dim HN “
d
N
˙
44
————————————————————————————————————
Bosonen: nα “ 0, 1, 2, ...
Ein−Teilchen−
φ 1 φ 2 φ 3 ...
φd
Zustände
ˆ
˙
d
`
N
´
1
p`q
M “ dim HN “
N
45
Beispiel: N=2 Teilchen, d=3 Orbitale (also dimH1 “ d “ 3)
Kε|φ1φ1ypεq
Kε|φ1φ2ypεq
Kε|φ1φ3ypεq
ε Kε|φ2φ1ypεq
Kε|φ2φ2ypεq
Kε|φ2φ3ypεq
ε Kε|φ3φ1ypεq
ε Kε|φ3φ2ypεq
Kε|φ3φ3ypεq
“ |200y “ 0 für Fermionen
“ |110y
“ |101y
“ |110y
“ |020y “ 0 für Fermionen
“ |011y
“ |101y
“ |011y
“ |002y “ 0 für Fermionen
dimHN “ 9 “ 32
ˆ
˙
3
`
2
´
1
p`q
dimHN “ 6 “
2
ˆ ˙
3
p´q
dimHN “ 3 “
2
p0q
dimHN “ 0 (nicht typisch!)
46
Beweis
Normierung :
es seien α1, ..., αN standardgeordnet
xn1, . . . , nd|n1, . . . , ndy
“ Kε2
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
ÿ
pN q
p1q
pN q
2 1
εP xφp1q
“ Kε
α1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |P|φα1 y ¨ ¨ ¨ |φαN y
N! P
x¨|¨y “ 1 für P “ 1 (für Fermionen einzige Möglichkeit, Ü εP “ `1)
x¨|¨y “ 1 für P mit Teilchenpermutationen innerhalb von nα gleichen Zuständen
x¨|¨y “ 0 sonst
Anzahl der P, die 1 liefern: Πα pnα !q
also: xn1, . . . , nα , . . . , nd|n1, . . . , nα , . . . , ndy “ Kε2
Ü
Kε “ b
1
1
N ! Πα pnα !q
47
1
Πα pnα !q
N!
Vollständigkeit :
ř
ÿ
α nα “N
ÿ
ÿ
¨¨¨
n1
“
n2
ř1
nα
2
α1 ,...,αN Kε
ÿ
“
α1 ,...,αN
“ 1Hpεq
¨ ¨ ¨ |n1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα , ¨ ¨ ¨yxn1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα , ¨ ¨ ¨ |
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
Kε2
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
kε
pεq
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |
pKε “ Kεpn1, n2, ...qq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |
(Vollständigkeitsrelation von oben)
N
ř
α1 ,...,αN :
ř1
α1 ,...,αN :
alle Indizes unabhängig
nur standardgeordnete Indextupel
ř
Ü Mehrfachzählung in α1,...,αN :
kε “ Anzahl der Möglichkeiten, die N Teilchen so zu verteilen, dass n1 sich in |φ1y
befinden, n2 sich in |φ2y befinden, etc.
N!
das sind gerade
“ Kε2 Möglichkeiten
Πα pnα !q
48
Orthogonalität :
xn1, ¨ ¨ ¨ , nd|n11, ¨ ¨ ¨ , n1dy
“ Kε2
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |φα11 ¨ ¨ ¨ φαN1 ypεq
ÿ 1
2 1
εP P 1pδα1α11 ¨ ¨ ¨ δαN αN1 q
“ Kε
N ! P1
“ δn1n11 ¨ ¨ ¨ δndn1d Kε2
1
Πα pnα !q
N!
“ δn1n11 ¨ ¨ ¨ δndn1d
————————————————————————————————————
definiere Fock-Raum
pεq
Hpεq “ kN “0,1,...HN
(direkte, orthogonale Summe)
Hilbert-Raum aller N “ 0, N “ 1, ... - Zustände
pεq
pεq
dimHpεq “dimH0 `dimH1 ` ¨ ¨ ¨ “ 8
pεq
pεq
speziell: dimH0 “ 1 (Vakuumzustand), dimH1 “ d (s.o.)
t|n1, ¨ ¨ ¨ , ndyu
(ohne NB) ist eine ONB des Fock-Raums!
49
2.5
Erzeuger und Vernichter
ONB von Hpεq: t|n1n2 ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ ndypεqu
Definition von c:α und cα auf ONB
Erzeuger c:α
c:α |n1, n2, ¨ ¨ ¨
“
?
, nα , ¨ ¨ ¨y “ ε
nα ` 1|N ` 1; n1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα ` 1, ¨ ¨ ¨y
Nα
?
nα ` 1|N ` 1; n1, n2, ¨ ¨ ¨ , nα ` 1, ¨ ¨ ¨yp`q
“ p´1qNα |N ` 1; n1, n2, ¨ ¨ ¨ , 1, ¨ ¨ ¨yp´q
(Bosonen)
(Fermionen)
mit:
Nα “
α´1
ÿ
nβ
β“1
Die Bedeutung von Nα zeigt sich z.B. bei der
Herleitung der fundamentalen Antikommutatorrelationen.
beachte
pεq
pεq
c:α : HN Ñ HN `1
+ Übung
es folgt (mit vollständiger Induktion)
50
pc:dqnd
pc:1qn1
|n1, . . . , ndy “ ?
¨ ¨ ¨ ? |0y
n1!
nd !
Die Reihenfolge im Produkt ist strikt zu beachten!
c:1 ist der Erzeuger für der erste Basisorbital |φ1y
gemäß der Standardordnung.
|0y P H0 ist der Vakuumzustand, x0|0y “ 1, dim H0 “ 1, 0 ¨ |0y “ 0
————————————————————————————————————
Vernichter
cα “ pc:α q:
es gilt:
xN ; ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ |cα |N 1; ¨ ¨ ¨ n1α ¨ ¨ ¨y
?
“ εNα nα ` 1 xN ` 1; ¨ ¨ ¨ nα ` 1 ¨ ¨ ¨ |N 1; ¨ ¨ ¨ n1α ¨ ¨ ¨y
?
“ εNα nα ` 1 δN `1,N 1 p¨ ¨ ¨ δnα `1,n1α ¨ ¨ ¨ q
a
Nα1
“ε
n1α δN,N 1´1p¨ ¨ ¨ δnα ,n1α ´1 ¨ ¨ ¨ q
a
Nα1
“ε
n1α xN ; ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ |N 1 ´ 1; ¨ ¨ ¨ n1α ´ 1 ¨ ¨ ¨y
@|N ; ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨y
also:
?
cα |N ; ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨y “ εNα nα |N ´ 1; ¨ ¨ ¨ nα ´ 1 ¨ ¨ ¨y
51
“
?
nα |N ´ 1; ¨ ¨ ¨ nα ´ 1 ¨ ¨ ¨yp`q
(Bosonen)
“ p´1qNα |N ´ 1; ¨ ¨ ¨ nα ´ 1 ¨ ¨ ¨yp´q
(Fermionen)
beachte:
pεq
pεq
cα : HN Ñ HN ´1
und:
cα , c:α
sind keine Observablen!
————————————————————————————————————
Vertauschungsrelationen:
für Bosonen und α ‰ β ist:
c:α c:β | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ nβ ¨ ¨ ¨yp`q
a
“ nβ ` 1 c:α | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ nβ ` 1 ¨ ¨ ¨yp`q
a
?
“ nβ ` 1 nα ` 1 | ¨ ¨ ¨ nα ` 1 ¨ ¨ ¨ nβ ` 1 ¨ ¨ ¨yp`q
“ c:β c:α | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ nβ ¨ ¨ ¨yp`q
Ü
rc:α , c:β s´ “ 0
für α ‰ β und (trivial) für α “ β
analog:
rcα , cβ s´ “ 0
für α, β beliebig
analog:
rcα , c:β s´ “ 0
für α ‰ β
52
für α “ β ist:
cα c:α | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨yp`q
?
“ nα ` 1 cα | ¨ ¨ ¨ nα ` 1 ¨ ¨ ¨yp`q
?
?
“ nα ` 1 nα ` 1 | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨yp`q
und
c:α cα | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨yp`q
?
“ nα c:α | ¨ ¨ ¨ nα ´ 1 ¨ ¨ ¨yp`q
? ?
“ nα nα | ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨yp`q
Ü
cα c:α ´ c:α cα “ nα ` 1 ´ nα “ 1
Ü
rcα , c:β s´ “ δαβ
+ Übung
analog: Fermionen
für Bosonen und Fermionen gilt also:
rcα , cβ s´ε “ 0
rc:α , c:β s´ε “ 0
rcα , c:β s´ε “ δαβ
(rA, Bs` “ AB ` BA Antikommutator)
————————————————————————————————————
Wirkung von c:α auf (anti-)symmetrisierte Produktzustände
53
es seien α1, ..., αN standardgeordnet, dann ist
c:α |φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
1
“ c:α |n1n2 ¨ ¨ ¨ nα ¨ ¨ ¨ypεq
Kε
c
n1!n2! ¨ ¨ ¨ nα ! ¨ ¨ ¨ Nα ?
“
ε
nα ` 1 |n1n2 ¨ ¨ ¨ nα ` 1 ¨ ¨ ¨ypεq
N!
d
c
n1!n2! ¨ ¨ ¨ nα ! ¨ ¨ ¨ Nα ?
pN ` 1q!
ε
| ¨ ¨ ¨ φα ¨ ¨ ¨ φα ¨ ¨ ¨ypεq
“
nα ` 1
N!
n1!n2! ¨ ¨ ¨ pnα ` 1q! ¨ ¨ ¨
(nα ` 1-mal)
?
“ N ` 1 εNα | ¨ ¨ ¨ φα ¨ ¨ ¨ φα ¨ ¨ ¨ypεq
?
“ N ` 1 |φα φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
also:
c:α |φα1
pεq
¨ ¨ ¨ φαN y
?
“ N ` 1 |φα φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
54
Mit dem Einfügen von φα an die erste Position geht evtl. die Standardordnung verloren.
Bezüglich der φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ist die Standardordnung noch gegeben. Das Resultat gilt aber auch
allgemein, denn bei Permutation der Orbitale
tritt links und rechts in der Gleichung dasselbe
Vorzeichen auf.
damit gilt auch (durch Iterieren der Formel):
1
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq “ ? c:α1 ¨ ¨ ¨ c:αN |0y
N!
vergleiche:
pc:dqnd
pc:1qn1
|n1, . . . , ndy “ ?
¨ ¨ ¨ ? |0y
n1!
nd !
2.6
Darstellung von Observablen
eine allgemeine physikalische Observable besteht aus Ein- und Zwei-Teilchen-Anteilen:
55
A“
N
ÿ
piq
A1
i“1
i‰j
1 ÿ
pi,jq
`
A2
2 i,j“1,..,N
i: Teilchenindex
beachte: rA, Ps´ “ 0
Beispiel: Hamilton-Operator
i‰j
N
ÿ
p2i
1 ÿ
e2
1
H“
`
2m 2 i,j“1,..,N 4πε0 |ri ´ rj |
i“1
allgemein ist:
A“1¨A¨1
(1 “ 1Hpεq )
N
ÿ
ÿ
“
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεqpεqxφα1 ¨ ¨ ¨ φαN |A|φβ1 ¨ ¨ ¨ φβN ypεqpεqxφβ1 ¨ ¨ ¨ φβN |
α1 ,...,αN β1 ,...,βN
Matrixelement des Ein-Teilchen-Anteils:
N
ÿ
piq
pεq
xφα1 ¨ ¨ ¨ φαN | A1 |φβ1 ¨ ¨ ¨ φβN ypεq
i“1
56
pN q
“ xφp1q
α1 | ¨ ¨ ¨ xφαN |
N
ÿ
piq
A1 |φβ1 ¨ ¨ ¨ φβN ypεq
denn:
i“1
N
ÿ
“
«
ÿ
ff
piq
pεq
A1 , SN
i
“0
´
piq
pεq
pN q
piq
xφp1q
α1 | ¨ ¨ ¨ xA1 φαi | ¨ ¨ ¨ xφαN |φβ1 ¨ ¨ ¨ φβN y
i“1
N
ÿ
“
piq piq
pN q
xφp1q
α1 | ¨ ¨ ¨ xA1 φαi | ¨ ¨ ¨ xφαN |
i“1
1 ÿ P
p1q
pN q
ε P|φβ1 y ¨ ¨ ¨ |φβN y
N! P
1 ÿ Pβ ´ p1q p1q p1q p2q p2q
q pN q
“
ε Pβ xφα1 |A1 |φβ1 yxφα2 |φβ2 y ¨ ¨ ¨ xφpN
αN |φβN y ` ¨ ¨ ¨
N! P
β
¯
p1q p1q
pN ´1q pN ´1q
pN q pN q pN q
`xφα1 |φβ1 y ¨ ¨ ¨ xφαN ´1 |φβN ´1 yxφαN |A1 |φβN y
Pβ wirkt hier (äquivalenterweise) auf β- statt auf
Teilchenindizes.
1 ÿ Pβ ´
“
ε Pβ xφα1 |A1|φβ1 yδα2β2 ¨ ¨ ¨ δαN βN
N! P
β
`
¨¨¨
¯
` δα1β1 ¨ ¨ ¨ δαN ´1βN ´1 xφαN |A1|φβN y
57
einsetzen ...
Ü jeder der N Terme liefert gleichen Beitrag!
• z.B. letzter Term: Umbenennung der Summationsvariablen:
α1 Ñ α2 und β1 Ñ β2
¨¨¨
αN Ñ α1 und βN Ñ β1
• 2N Vertauschungen, so dass ursprüngliche Ordnung von |φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq und pεqxφβ1 ¨ ¨ ¨ φβN |
wiederhergestellt wird
Faktor ε2N “ 1
Ü jeder der N ! Terme der P-Summe liefert gleichen Beitrag!
• für jedes P: Umbenennung der βi Ü ursprüngliche Ordnung im Matrixelement
• p Vertauschungen der φβi Ü ursprüngliche Ordnung in
damit Faktor εp, sowieso expliziter Faktor εp
also: ε2p “ 1
also folgt:
N
ÿ
piq
A1 “ N
i“1
ÿ
ÿ
pεq
xφβ1 ¨ ¨ ¨ φβN |
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεqxφα1 |A1|φβ1 yδα2β2 ¨ ¨ ¨ δαN βN pεqxφβ1 ¨ ¨ ¨ φβN |
α1 ,...,αN β1 ,...,βN
58
“N
ÿ
ÿ
|φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq xφα1 |A1|φβ1 y pεqxφβ1 φα2 ¨ ¨ ¨ φαN |
α1 β1 α2 ,...,αN
mit
c:α |φα1
N
ÿ
pεq
¨ ¨ ¨ φ αN y
?
“ N ` 1|φα φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq (s.o.) folgt weiter:
piq
A1
i“1
“N
ÿ
ÿ
α1 β1 α2 ,...,αN
ÿ
“
c:α1 1Hpεq
N ´1
α 1 β1
1
1
? c:α1 |φα2 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq xφα1 |A1|φβ1 y pεqxφα2 ¨ ¨ ¨ φαN | ? cβ1
N
N
ÿ
xφα1 |A1|φβ1 y cβ1 “
c:α1 xφα1 |A1|φβ1 y cβ1
α1 β1
also:
N
ÿ
i“1
piq
A1
ÿ
“
xφα |A1|φβ yc:α cβ
αβ
Interpretation: Teilchen hüpft mit Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude xφα |A1|φβ y vom Orbital |φβ y nach |φα y
+ Übung
analog:
59
i‰j
1 ÿ
1 ÿ
pi,jq
A2 “
xφα φβ |A2|φγ φδ yc:α c:β cδ cγ
2 i,j“1,...,N
2 αβγδ
Beachte unterschiedliche Reihenfolge der Indizes!
mit
p2q
p1,2q
xφα φβ |A2|φγ φδ y “ xφp1q
α φβ |A2
p2q
|φp1q
γ φδ y
Interpretation: Das Wechselwirkungsmatrixelement xφα φβ |A2|φγ φδ y bewirkt eine Streuung
zweier Teilchen aus den Orbitalen |φγ y, |φδ y in die Orbitale |φα y |φβ y
————————————————————————————————————
Beispiel: Nichtwechselwirkende Teilchen in äußerem Potenzial
¯ ÿ
ÿ ´ p2
piq
i
` V priq “
H1
H“
2m
i
i
p2
H1 “
` V prq
2m
ONB von H1: t|εnyu mit H1|εny “ εn |εny
Erzeuger, Vernichter: c:n, cn
60
H“
ÿ
xεm|H1|εnyc:mcn
ÿ
“
mn
εnc:ncn
n
————————————————————————————————————
Beispiel: System mit Coulomb-Wechselwirkung
ÿ
1 ÿ
:
Uαβγδ c:α c:β cδ cγ
H“
tαβ cα cβ `
2 αβγδ
αβ
mit
tαβ “ xφα |H1|φβ y
“Hopping”
und
Uαβγδ “ xφα φβ |H2|φγ φδ y
“Coulomb-WW-Parameter”
Auswertung in Ortsdarstellung (formal nicht ganz korrekt wegen überabzählbarer ONB):
Uαβγδ “ xφα φβ |H2|φγ φδ y “
p2q
xφp1q
α |xφβ |
e2
1
p2q
p1q
|φ
y|φ
γ
δ y
4πε0 |r̂ p1q ´ r̂ p2q|
ĳ
“
3 p1q 3 p2q
dr dr
e2
“
4πε0
ĳ
e2
“
4πε0
ĳ
p2q p1q
p1q
p2q
p2q
xφp1q
α |xφβ |r yxr ||r yxr |
d3rp1qd3rp2qφ˚α pr p1qqφ˚β pr p2qq
d3rd3r1φ˚α prqφ˚β pr 1q
e2
1
p2q
p1q
|φ
y|φ
γ
δ y
4πε0 |r̂ p1q ´ r̂ p2q|
1
φγ pr p1qqφδ pr p2qq
p1q
p2q
|r ´ r |
1
1
φ
prqφ
pr
q
γ
δ
|r ´ r 1|
61
————————————————————————————————————
Beispiel: Nur ein Orbital: dimH1 “ 1, ONB: t|1yu
beliebiger Operator:
A “ ωc:c ` vc:c:cc
(ω, v reell)
für Fermionen:
A “ ωc:c
Bosonen, harmonischer Oszillator:
˙
ˆ
1
H “ ω n̂ `
2
Spezielle Observablen
2.7
Besetzungszahloperator
pα “ c:α cα
n
es ist
p:α “ pc:α cα q: “ n
pα
n
hermitesch, Observable
und
pα |n1, . . . , ndypεq “ c:α cα |n1, . . . , ndypεq
n
62
?
“ εNα nα c:α |n1, . . . , nα ´ 1, . . . , ndypεq
?
“ ε2Nα nα 2|n1, . . . , nα , . . . , ndypεq
also:
pα |n1 . . . nα . . . ndypεq “ nα |n1 . . . nα . . . ndypεq
n
pα
Basiszustände sind Eigenzustände von n
————————————————————————————————————
Teilchenzahloperator
ÿ
p
pα
N“
n
α
es ist:
ÿ
pεq
p
nα |n1 ¨ ¨ ¨ ndypεq “ N |n1 ¨ ¨ ¨ ndypεq
N |n1 ¨ ¨ ¨ ndy “
α
+ Übung
es gilt: (für Fermionen und Bosonen!)
pβ s´ “ δαβ cα
rcα , n
Ü cα sind Leiteroperatoren!
(vergleiche: rJ˘, Jz s´ “ ¯~J˘ für Drehimpuls, J˘ “ Jx ˘ iJy )
————————————————————————————————————
63
Spin-1/2-Fermionen
Hilbert-Raum eines Spin-1/2-Teilchens (ε “ ´1, Fermion):
pBahnq
H1 “ H1
pSpinq
b H1
ONB von H1:
t|ϕα yu “ t|ψiy|χσ yu
mit α “ pi, σq
i indiziert räumliche Orbitale
σ “Ò, Ó indiziert Spin-Orbitale
ˆ ˙
ˆ ˙
1
0
|χÒy “
, |χÓy “
0
1
Erzeuger, Vernichter, Besetzungszahloperator, Teilchenzahloperator:
ÿÿ
:
n̂iσ
ciσ , ciσ , n̂iσ , N̂ “
i
σ
————————————————————————————————————
Hubbard-Modell:
ÿ
Uÿ
:
H“
tij ciσ cjσ `
n̂iσ n̂i´σ
2
ijσ
iσ
Hopping ist diagonal bzgl. des Spinindex und unabhängig vom Spinindex:
64
tiσi,jσj “ xφi|xχσi |H1|φj y|χσj y “ xφi|H1|φj yxχσi |χσj y “ tij δσiσj
falls H1 keine Spinfreiheitsgrade involviert, H1 : H1Bahn Ñ H1Bahn
Hubbard-Wechselwirkung: nur für 2 Fermionen im gleichen Orbital i
Coulomb-Wechselwirkung:
Uαβγδ “ Uiα iβ iγ iδ δσα σγ δσβ σδ
damit ist:
1 ÿ
1 ÿ
: :
H2 “
Uαβγδ cα cβ cδ cγ “
2 αβγδ
2i i i i
α β γ δ
ÿ
Uiα iβ iγ iδ δσα σγ δσβ σδ c:iα σα c:iβ σβ ciδ σδ ciγ σγ
σα σβ σγ σδ
1 ÿÿ
Uijkl c:iσ c:jσ1 ckσ1 clσ
“
2 ijkl σσ1
mit Uijkl “ δij δik δil Uiiii “ δij δik δil U ist:
Uÿ
U ÿÿ : :
n̂iσ n̂i´σ
c c 1 ciσ1 ciσ “
H2 “
2 i σσ1 iσ iσ
2 iσ
————————————————————————————————————
definiere Doppelbesetzung
di “ n̂iÒn̂iÓ “ n̂iÓn̂iÒ
es ist:
di “ d:i “ d2i
65
Erwartungswert in einem beliebigen Zustand:
+ Übung
0 ď xdiy ď 1
beachte: xdiy “ xn̂iÒn̂iÓy ‰ xn̂iÒyxn̂iÓy i.allg.
definiere (“e”: empty)
ei “ p1 ´ n̂iÒqp1 ´ n̂iÓq
es ist
1 “ ei ` n̂iÒ ` n̂iÓ ´ di
————————————————————————————————————
für Spin-1/2-Fermionen definiere:
S i “ pSix, Siy , Siz q
mit
~
Siz “ pniÒ ´ niÓq
2
1
Six “ pSi` ` Si´q
2
1
Siy “ pSi` ´ Si´q
2i
:
Si` “ ~c:iÒciÓ
Si´ “ ~c:iÓciÒ “ Si`
66
es gilt:
S i “ S :i
Si˘ “ Six ˘ iSiy
kompakt:
~ ÿ : pµq
c σ 1 ciσ1
Siµ “
2 σσ1 iσ σσ
µ “ x, y, z
mit den Pauli-Matrizen:
ˆ
˙
ˆ
˙
0
1
0
´i
σ pyq “
σ pxq “
1 0
i 0
ˆ
σ pzq “
1 0
0 ´1
+ Übung
Drehimpulsalgebra:
rSix, Siy s´ “ i~Siz
rSix, Sjy s´ “ i~δij Siz
˙
(und zyklisch)
(und zyklisch)
S i: Spin des Orbitals i
falls i die Plätze eines Gitters indiziert (ein Orbital |ψiy pro Platz): lokaler Spin
mi “ xS iy{~ bzw. µi “ gµB xS iy{~: “lokales magnetisches (Spin-)Moment”
Eigenwerte von Siz “ ~pniÒ ´ niÓq{2: 0, ˘~{2
Eigenwerte von Siz2 : 0, ~2{4
Eigenwerte von S 2i “ 3Siz2 : 0, 3~2{4, also S “ 0 und S “ 1{2
67
+ Übung
Ü S i ist kein Spin-1{2!
————————————————————————————————————
beachte:
• S pjq: Spin des j-ten Elektrons, j “ 1, ..., N (keine Observable), pS pjqq2 “ 3~2{4
• S i: Spin am i-ten Gitterplatz, i “ 1, ..., L (Observable), S 2i ‰ const.
definiere Gesamtspin S “
N
ÿ
S pjq
j“1
2. Quantisierung:
ÿ~ÿ :
ÿ
ÿ
~
p1q 1 1 p1q :
1 :
p1q
S “
ciσ~σσσ1 ciσ1
xiσ|S |i σ y ciσ ci1σ1 “
xiσ| ~σ |iσ yciσ ciσ1 “
2
2
i
σσ 1
ii1 σσ 1
iσσ 1
also:
S“
N
ÿ
j“1
S
pjq
L
ÿ
“
Si
i“1
————————————————————————————————————
Gruppierung der Pätze i “ 1, ..., L in Paaren (“Bonds”)
pi, jq
(wobei i ‰ j)
symmetrische / antisymmetrische Linearkombination der Bahn-Orbitale:
68
1
1
|ij, sy “ ? p|iy ` |jyq
|ij, ay “ ? p|iy ´ |jyq
2
2
Ü L{2 symmetrische Bonds und L{2 antisymmetrische Bonds
dies definiert eine unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis (s.u.):
1
1
cij,a,σ “ ? pciσ ´ cjσ q
cij,s,σ “ ? pciσ ` cjσ q
2
2
also: α “ pij, b, σq mit b “ s, a
Spin im symmetrischen / antisymmetrischen Bond:
1ÿ :
σ σσ1 cij,b,σ1
c
S ij,b “
2 σσ1 ij,b,σ
————————————————————————————————————
es gilt:
rSij,b,x, Sij,b1,y s´ “ iδbb1 Sij,b,z
(und zyklisch)
und falls i ‰ k, l und j ‰ k, l
rSij,b,x, Skl,b1,y s´ “ 0
(und zyklisch)
es gilt:
S :ij,b “ S ij,b “ S ji,b
69
und:
2
S 2ij,b “ 3Sij,b,z
¯
1´ :
:
:
:
Sij,b,z “ pciÒ ˘ cjÒqpciÒ ˘ cjÒq ´ pciÓ ˘ cjÓqpciÓ ˘ cjÓq
4
es gilt:
S ij,b ist ein delokaler Spin!
Gesamtspin:
ÿ
S“
ÿ
S ij,b
Bondspi,jq b“s,a
Unitäre Transformationen
2.8
abkürzende Schreibweise: |αy ” |φα y
ONB von H1
t|αyu
unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis:
ÿ
1
Uαα1 |αy
mit U unitär
|α y “
α
also:
t|α1yu
ONB von H1
70
wie transformieren sich Erzeuger und Vernichter?
betrachte:
c:α1 |0y
ÿ
1
“ |α y “
Uαα1 |αy “
α
ÿ
1
also:
|α y “
Uαα1 |αy
ÿ
Uαα1 c:α |0y
α
c:α1
ÿ
“
α
Uαα1 c:α
cα 1 “
α
ÿ
˚
Uαα
1 cα
α
Ableitung der letzten Gleichung durch Adjungieren, p...q˚: konjugiert komplex.
?
Alternative: Die Gleichung c:α |φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq “ N ` 1|φα φα1 ¨ ¨ ¨ φαN ypεq
zeigt, dass sich c:α genauso transformiert wie |φα y
es gilt:
˛
¸
¸¨
˜
ÿ
ÿÿ ÿ
ÿ
ÿ ÿ
˚
´1
1
1
˝ pU ´1
1‚ “
1
U
|α
ycβ 1 “
q
c
U
|αycα “
Uα´1
1 α |α y
1
1
αβ
β
αα
βα
˜
α
ÿ
α
α1
β1
α1 β 1
|α1ycα1
α1
also:
71
α
ÿ
ÿ
|αycα “
α
ÿ
1
|α ycα1
c:α xα|
ÿ
“
α
α1
c:α1 xα1|
α1
und damit:
ÿ
1 ÿ : :
:
A“
cα xα|A1|βycβ `
cα cβ xαβ|A2|δγycγ cδ
2
αβ
αβγδ
ÿ
“
c:α1 xα1|A1|β 1ycβ 1
α1 β 1
1 ÿ : : 1 1
cα1 cβ 1 xα β |A2|δ 1γ 1ycγ 1 cδ1
`
2 α1 β 1 γ 1 δ 1
forminvariant!
fundamentale Vertauschungsrelationen:
rcα1 , c:β 1 s´ε “ δα1β 1
etc.
Transformation der Matrixelemente:
ÿ
1
1
xα |A1|β y “
Uα´1
1 α xα|A1 |βyUββ 1
αβ
2.9
Feldoperatoren
ONB t|αyu, unendlichdimensional und kontinuierlich
ONB t|ryu, kontinuierlich, Ortseigenzustände
72
Spinfreiheitsgrade werden der Einfachheit halber in diesem Abschnitt nicht berücksichtigt.
Wegen der Überabzählbarkeit der Basis sind
die Betrachtungen hier nur mit eventuellen
Zugeständnissen an die mathematische Exaktheit
durchführbar. Vorsicht ist auf jeden Fall geboten
bei naiver Übertragung von Resultaten, die nur
für den diskreten Fall Sinn machen (z.B. Besetzungszahldarstellung).
xr|r 1y “ δpr ´ r 1q
ż
d3r |ryxr| “ 1
Transformation:
ż
ż
|αy “ d3r |ryxr|αy “ d3r Urα |ry
mit:
Urα “ xr|αy “ φα prq
(“8 ˆ 8”, kontinuierlich)
definiere Feldoperatoren : Vernichter, Erzeuger in neuer Darstellung, d.h.
ψprq ” cr
ψ :prq ” c:r
73
(in jedem Raumpunkt sind Operatoren ψ und ψ : definiert)
es ist:
ff
«
ÿ
ÿ
“
‰
ψprq, ψ :pr 1q ´ε “
xα|ry˚cα , xα1|r 1yc:α1
α
ÿÿ
“
α
xα|ry˚xα1|r 1yδαα1 “
α1
ÿ
´ε
xr|αyxα|r 1y “ xr|r 1y
α
α1
“
‰
: 1
ψprq, ψ pr q ´ε “ δpr ´ r 1q
Ü Quantenfeldtheorie
————————————————————————————————————
Beispiel:
Hamilton-Operator für System mit Coulomb-WW in äußerem Potenzial (~ “ 1):
˙
ˆ
ż
ż
ż
2
:
: 1
1
1
1
3
3 1 e ψ prqψ pr qψpr qψprq
3
:
H “ d r ψ prq ´ ∆ ` V prq ψprq`
dr dr
2m
2
4πε0
|r ´ r 1|
Beispiel:
definiere Teilchendichteoperator :
ÿ
n̂prq “
δpr ´ r̂ iq
i
74
Man beachte den Unterschied zwischen dem
Ortsvektor und dem Ortsoperator des i-ten
Teilchens!
Darstellung in zweiter Quantisierung:
ż
ż
n̂prq “ d3r1 d3r2 ψ :pr 1q xr 1|δpr ´ r̂q |r 2yψpr 2q
ż
ż
ż
“ d3r1 d3r2 ψ :pr 1q xr 1|δpr ´ r 2q |r 2yψpr 2q “ d3r1 ψ :pr 1q xr 1|ry ψprq
also:
n̂prq “ ψ :prqψprq
75
76
Statische Mean-Field-Theorie
• Standardmethode, erste Approximation, oft einzig durchführbare Approximation
• Grundlage: verallgemeinertes (T ą 0) Ritz-Prinzip
• konzeptionell klar, thermodynamisch konsistent: “vorbildliche Theorie”
• wichtige Konzepte: statischer Response, Wick-Theorem, Trotter-Zerlegung
• gültig im Hochfrequenzlimes
3.1
Ideale Quantengase
allgemeines “freies” System:
ÿ
H“
tαβ c:α cβ
αβ
t: Matrix
H hermitesch Ü t hermitesch Ü DU unitär, so dass
77
U :tU “ ε
ε Diagonalmatrix mit Elementen εm
sei
c:m
ÿ
“
Uαmc:α
(unitäre Transformation der Ein-Teilchen-Basis)
α
dann ist:
¸
˜
H“
ÿ
c:α pU εU :qαβ cβ
ÿ ÿ
“
αβ
m
Uαmc:α
˜
εm
α
¸
ÿ
:
Umβ
cβ
ÿ
“
εmc:mcm
m
β
Ü H ist diagonal
Ü Eigenzustände im Ein-Teilchen-Raum: |my “ c:m|0y “
ř
α Uαm |αy
————————————————————————————————————
oder:
wechselwirkungsfreie Teilchen in äußerem Potenzial:
H in erster Quantisierung:
˙
ÿ ˆ p2
i
H“
` V pr iq
2m
i
Lösen der Schrödinger-Gleichung:
ˆ 2
˙
p
` V prq |εny “ εn|εny
2m
78
Ü Ein-Teilchen-Basis t|nyu
Ü H in zweiter Quantisierung bereits diagonal:
ÿ
H“
εmc:mcm
m
————————————————————————————————————
Ideales Quanten-Gas:
ÿ
H“
εmc:mcm
m
• exakt lösbares Modell (für Fermionen oder Bosonen)
• Demonstrationsmodell der statistischen Physik
• insbesondere Bosonen: Phasenübergang in freiem System
• Fermionen: approximative Beschreibung von Leitungselektronen
• Bezugspunkt für wechselwirkende (nicht-ideale) Systeme
————————————————————————————————————
großkanonischer Hamilton-Operator:
H “ H ´ µN̂
Zustandssumme:
Z “ Sp e
´βH
ÿ
“
xn1n2 ¨ ¨ ¨ |e´βpH´µN̂ q|n1n2 ¨ ¨ ¨y
n1 ¨¨¨nd
79
ÿ
“
xn1n2 ¨ ¨ ¨ |e
´β
ř
m pεm ´µqn̂m
|n1n2 ¨ ¨ ¨y
xn1n2 ¨ ¨ ¨ |e
´β
ř
m pεm ´µqnm
|n1n2 ¨ ¨ ¨y
n1 n2 ¨¨¨
ÿ
“
n1 n2 ¨¨¨
ÿ ź
“
e´βpεm´µqnm
n1 n2 ¨¨¨ m
źÿ
“
e´βpεm´µqnm
m nm
————————————————————————————————————
Fermionen:
1
ź ÿ
pe´pεm´µq{T qnm
“
m nm “0
ź
“
p1 ` e´pεm´µq{T q
m
großkanonisches Potenzial:
ÿ
Ω “ ´T ln Z “ ´T
lnp1 ` e´βpεm´µqq
m
Ü es folgt die komplette Thermodynamik des Fermi-Gases
————————————————————————————————————
80
mittlere Besetzungszahl:
BΩ
nm “ xn̂my “ xc:mcmy “
(xAy “ BΩ{Bλ, H “ H0 ` λA)
Bεm
1
1
´βpεm ´µq
“ ´T
p´βqe
“
“ f pεm ´ µq
1 ` e´βpεm´µq
eβpεm´µq ` 1
Fermi-Verteilungsfunktion
f pEq “
1
eβE ` 1
im Sommerfeld-Modell (freie Elektronen in Volumen V ) ist:
k2
εm Ñ εpkq “
2m
ONB: t|k, σyu ebene Wellen
nm Ñ npkq
k diskret, aber ∆3k “ p2πq3{V Ñ 0 für V Ñ 8
n(k)
T=0
T>0
kF
81
k
Definitionen für T “ 0:
• f pεpkq ´ µq “ Θpµ ´ εpkqq
• εF ” µpT “ 0q: Fermi-Energie
• k mit εpkq “ εF : Fermi-Wellenvektor
• tk|εpkq “ εF u: Fermi-Fläche (Sommerfeld-M.: Kugeloberfläche)
Ü machen diese Konzepte Sinn für wechselwirkende Systeme?
————————————————————————————————————
Teilchenzahl:
N “ xN̂ y “
ÿ
kσ
npkq “ 2
ÿ
npkq
k
für T “ 0 gilt:
ż
V
V
3
d
kΘpε
´
εpkqq
“
2
VFS
N “2
F
p2πq3
p2πq3
Teilchenzahl “ von der Fermi-Fläche eingeschlossenes Volumen im k-Raum!
Ü wechselwirkende Systeme: Luttinger-Theorem
————————————————————————————————————
Innere Energie:
82
BΩ ÿ
U “ xĤy “ xĤy “
“
npkqεpkq
Bλ
kσ
(mit H Ñ λH, λ “ 1)
Temperaturabhängigkeit?
definiere Ein-Teilchen-Zustandsdichte
ρ0pωq “ Anzahl Zustände m mit ω ă εm ă ω ` ∆ pro ∆
˜
¸
ÿ
ÿ
ÿ
1
Θpω ` ∆ ´ εmq ´ Θpω ´ εmq “
δpω ´ εmq
“
∆ m
m
m
für ∆ Ñ 0
damit ist:
ż
N“
ż
dωf pω ´ µqρ0pωq
U“
dωf pω ´ µqωρ0pωq
Sommerfeld-Entwicklung: (F pωq: T -unabhängig, regulär in Fermi-Schicht)
ż8
żµ
8
ÿ
dωf pω ´ µqF pωq “
dωF pωq `
αnT 2nF p2n´1qpµq
´8
´8
ˆ
mit αn “ 2 1 ´
1
22n´1
˙
ζp2nq und ζpnq “
żµ
n“1
8
ÿ
1
(Riemannsche ζ-Fkt.)
n
p
p“1
π2 2 1
dωf pω ´ µqF pωq “
dωF pωq ` T F pµq ` OpT {µq4
6
´8
´8
ż8
83
damit gilt für tiefe T (N “ N pµq Ü µ “ µpN q, N fest):
π 2 2 ρ10pεF q
µ “ εF ´ T
` ¨¨¨
6 ρ0pεF q
+ Übung
π2 2
U “ E0 ` T ρ0pεF q ` ¨ ¨ ¨
6
ˆ ˙
BU
π2
CV “
“ T ρ0pεF q ` ¨ ¨ ¨ “ γT ` ¨ ¨ ¨
BT N,V
3
vergleiche klassisches ideales Gas: U “ 3N 21 T , CV “ 3N {2
extrem starke Unterdrückung von CV !
Abschätzung für T Ñ 0
∆U
∆U
CV „
„
∆T
T
Pauli-Prinzip: nur Elektronen in der Fermi-Schicht werden thermisch angeregt:
1
CV „ pAnzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht ˆ T q
T
Breite der Fermi-Schicht: „ T , Höhe der Zustandsdichte „ ρpεF q
CV „ Anzahl der Elektronen in der Fermi-Schicht „ ρ0pεF qT
allgemeine Argumente!
Ü gültig für wechselwirkende Elektronensysteme?
84
analog: Kompressibilität, Spin-Suszeptibilität, Schall-Geschwindigkeit, etc.
————————————————————————————————————
Bosonen
s.o.:
´βpH´µN̂ q
Z “ Sp e
8
ź ÿ
pe
“
´βpεm ´µq nm
q
ź
“
m
m nm “0
Konvergenz: e´βpεm´µq ă 1
@m Ü e´βpε0´µq ă 1
µ ă ε0 (ansonsten unphysikalische Resultate)
großkanonisches Potenzial:
ÿ
Ω “ ´T ln Z “ T
lnp1 ´ e´βpεm´µqq
m
Ü komplette Thermodynamik des Bose-Gases
mittlere Besetzungszahl:
nm “ xnmy “ xc:mcmy “
BΩ
“ bpεm ´ µq
Bεm
Bose-Verteilungsfunktion
bpEq “
1{p1 ´ e´βpεm´µqq
1
eβE ´ 1
85
pε0 ď εmq
0 ď bpεm ´ µq ă 8 mit µ ă ε0 ď εm
————————————————————————————————————
T “ 0:
bpεm ´ µq “ 0 für m ě 1
für N “ const muss n0 “ N sein, also µ “ ε0 ´ 0`
Ü alle Teilchen im (Ein-Teilchen-)GZ |m “ 0y
T Ñ 8:
nm “ bpεm ´ µq “ Op1q
T “ TC :
Phasenübergang: Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
T ă TC : |m “ 0y makroskopisch besetzt, n0 “ OpN q
Exp: Rb, TC „ µK, 1995
Phasenübergang in nicht-wechselwirkendem System
Bestimmung von TC :
ÿ
ÿ
ÿ
N “ xN̂ y “
nm “
bpεm ´ µq “
m
m
mit der Zustandsdichte ρ0pωq “
m
ÿ
1
eβpεm´µq ´ 1
δpω ´ εmq
m
freie (V prq “ 0) spinlose Bosonen: m Ñ k, εpkq “ k 2{2m
˙
ÿ ˆ
k2
ρ0pωq “
δ ω´
2m
k
86
ż
“
dω
ρ0pωq
eβpω´µq ´ 1
´
¯
ÿ
?
?
V
3
“
∆ k 2mδ pk ` 2mωqpk ´ 2mωq
p2πq3
k
ż
´
¯
?
V
1
2
“
δ k ´ 2mω
4π dk k 2m ?
p2πq3
2 2mω
V
V
1
3{2 1{2
?
“
“
4π2mω2m
p2mq
ω
p2πq3
2 2mω 4π 2
damit:
ż8
ω 1{2
V
3{2
dω βpω´µq
N “ 2 p2mq
“ N pµ, T q
4π
e
´1
0
Ü µ “ µpN, T q bzw. (N fest) µ “ µpT q
87
µ /T
klassisch
Fermi
T
Tc
Bose
kritische Temperatur: µpTC q “ 0 “ εpk “ 0q
(denn, falls µ ą 0, ist npk “ 0q “ Op1q für T ą 0)
————————————————————————————————————
beachte:
für T ă TC ist die Rechnung nicht korrekt, denn für ω Ñ 0 und µ “ 0 gilt:
?
ρ0pωq 9 ω Ñ 0 Ü n0 liefert keinen Beitrag zum Integral aber n0 9 N !
————————————————————————————————————
es gilt:
88
ż8
1
ω 1{2
1
N
3{2
“ 2 p2mq
dω β ω
“ 2 p2mTC q3{2ζp3{2qΓp3{2q
V
4π
e C ´ 1 4π
0
Ü (mit Einführung von ~ und kB )
~2
pN {V q2{3
TC « 3.31
mkB
Interpretation:
˙3
~
~3
V
3
λpTC q “ ?
“
„
p2π3.31~2pN {V q2{3q3{2 N
2πmkB TC
Ü bei TC : thermische deBroglie-Wellenlängle „ Volumen pro Teilchen
ˆ
weitere einfache Rechnungen liefern:
˜
ˆ ˙3{2¸
T
• für T ă TC : n0 “ N 1 ´
“ OpN q
TC
Zwei-Phasen-Gemisch (im k-Raum!)
für T ą TC ist n0 “ Op1q
• Sprung der Steigung von CV bei TC !
` BS ˘
(dritte Ableitung von Ω unstetig: CV “ T BT
)
V
• für 4He: TC “ 3.14K
Exp: λ-Übergang bei TC “ 2.2K (zwischen He I und He II)
• Problem: 4He ist stark w.w. BG! (Bose-Flüssigkeit)
89
• Phasenübergänge in wechselwirkenden Fermi-Systemen?
?
• in D “ 2 und D “ 1 ist ρpωq 9 const., 1{ ω für ω Ñ 0
Keine BEC in einer oder zwei Dimensionen
3.2
Response-Größen und Korrelationsfunktionen
betrachte quantenmechanisches Viel-Teilchen-System mit Hamiltonian:
ÿ
1 ÿ
:
H“
tαβ cα cβ `
Uαβγδ c:α c:β cδ cγ
2 αβγδ
αβ
großkanonischer Hamiltonian
H “ H ´ µN̂
großkanonische Zustandssumme und großkanonisches Potenzial:
Z “ Sp e´βpH´µN q
(β “ 1{T )
Ω “ ´T ln Z “ ΩpT, V, µ, ttαβ u, tUαβγδ uq
• statische Mean-Field-Theorie folgt aus verallgemeinertem Variationsprinzip
• notwendig dafür: zweite Ableitungen von Ω
• das sind Responsegrößen:
(statische) “Antwort” des Viel-Teilchen-Systems auf (statische, schwache) “Störung”
90
• Wie ändert sich der Erwartungswert einer Observablen A bei kleiner Änderung des
Hamiltonians?
————————————————————————————————————
Erwartungswert einer Observable
1
xAy “ Sp Ae´βH
Z
kann stets als Ableitung von Ω geschrieben werden
betrachte dazu die Zerlegung:
H “ H0 ` λA
(H “ Hpλ “ 1q mit Hpλq “ H ´ A ` λA, “physikalisches” System für λ “ 1)
es gilt:
BΩ
“ xAy
Bλ
Beweis:
BΩ
B
1
B
“ ´T
ln Z “ ´T Sp e´βpH0`λA´µN̂ q
Bλ
Bλ
Z
Bλ
und:
8
ÿ
B ´βpH0`λA´µN̂ q
1
B
“ Sp
p´βqk pH0 ` λA ´ µN̂ qk
Sp e
Bλ
k!
Bλ
k“0
91
k
8
ÿ
ÿ
1
p´βqk
Hk´r AHr´1
“ Sp
k!
r“1
k“0
8
ÿ
1
“ Sp
p´βqk kHk´1A
k!
k“0
“ Sp
8
ÿ
1
p´βqk´1Hk´1p´βAq
pk ´ 1q!
k“0
“ ´β Sp Ae´βH
also:
˘
BΩ
1`
1
´βH
“ ´T
´β Sp Ae
“ Sp Ae´βH “ xAy
Bλ
Z
Z
————————————————————————————————————
Änderung von xAy bei kleiner Änderung von λ?
B2Ω
“?
Bλ2
Problem:
In Ausdrücken der Form H ¨ ¨ ¨ HAH ¨ ¨ ¨ HAH ¨ ¨ ¨ H hilft die zyklische Invarianz der
Spur nicht weiter (falls rA, Hs´, rA, N̂ s´ ‰ 0).
es ist:
92
B
B2Ω
“
Bλ2
Bλ
ˆ
´
¯˙
1
1
B
1 BZ
Sp Ae´βpH0`λA´µN̂ q
SpAe´βH ` SpA e´βpH0`λA´µN̂ q
“´ 2
Z
Z Bλ
Z
Bλ
und mit
BZ
“ ´β Sp Ae´βH
Bλ
folgt
B2Ω
1
B ´βpH0`λA´µN̂ q
2
“
βxAy
`
Sp
A
e
Bλ2
Z
Bλ
hier hilft die Trotter-Zerlegung:
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
ˆ ˙
1
1
1
1
exp
pA ` Bq “ exp
A exp
B `O
m
m
m
m2
damit folgt:
SpA
B ´βH
e
Bλ
+ Übung
β
β
(X “ e´ m λAe´ m pH0´µN̂ q)
m
´ β
¯m
ÿ
β
B
BX r´1
´ m λA ´ m
pH0 ´µN̂ q
“ lim SpA
X m´r
“ SpA
lim e
e
X
mÑ8
Bλ mÑ8
Bλ
r“1
und mit
BX
B ´ ´ β λA ´ β pH0´µN̂ q¯
B ´ ´ β λA¯ ´ β pH0´µN̂ q
β
e m e m
e m
“
“
e m
“ ´ AX
Bλ
Bλ
Bλ
m
ist:
93
˙
ˆ
m
m
ÿ
ÿ
β
B ´βH
β
m´r
r´1
SpA e
“ lim SpA
X
“ ´ Sp lim
AX m´r AX r
´ A XX
mÑ8
mÑ8
Bλ
m
m
r“1
r“1
Kontinuumslimes:
mÑ8
definiere
τ “r
β
P r0, βs
m
β
X r “ e´r m H “ e´Hτ
dτ “
β
m
X m “ e´βH
und
żβ
B ´βH
Sp A e
“ ´ Sp
dτ Ae´βH eHτ Ae´Hτ
Bλ
0
żβ
“´
dτ Sp e´βH eHτ Ae´Hτ A
0
żβ
dτ xApτ qAp0qy
“ ´Z
0
mit der Definition der
modifizierten Heisenberg-Darstellung
Apτ q “ eHτ Ae´Hτ
• fehlendes i, keine unitäre Transformation, H statt H
94
X m´r “ e´βH eHτ
• imaginäre Zeit t “ ´iτ Ü exppiHtq “ exppHτ q
d.h. τ ist der negative Imaginärteil der ins Komplexe fortgesetzten Zeit t
damit folgt:
B2Ω
“ βxAy2 ´
2
Bλ
allgemeiner:
sei
żβ
dτ xApτ qAp0qy “
0
H “ H0 ` λAA ` λB B
dann ist:
BΩ
“ xAy
BλA
und:
BxAy
Bλ
Ü Ω “ ΩpλA, λB q
BΩ
“ xBy
BλB
B2Ω
BxAy
“
“ βxByxAy ´
BλB BλA
BλB
żβ
0
BxBy
B2Ω
dτ xBpτ qAp0qy “
“
BλA
BλABλB
pBxAy{BλB qdλB : ist die Änderung von xAy bei kleiner Störung λB Ñ λB ` dλB
Ü KM: Response-Größen sind Korrelationsfunktionen
Ü QM: zeitabhängige Korrelationsfunktionen
————————————————————————————————————
das Resultat kann auch in folgender Form geschrieben werden:
95
BxAy
“´
BλB
żβ
dτ xpB ´ xByqpτ qpA ´ xAyqp0qy
0
auch: “Dissipations-Fluktuations-Theorem”
3.3
Verallgemeinertes Ritzsches Prinzip
speziell für rA, Hs´ “ 0 folgt Apτ q “ Ap0q “ A und
B2Ω
2
2
2
“
βxAy
´
βxA
y
“
´βxpA
´
xAyq
yď0
Bλ2
das Resultat gilt aber auch allgemein (auch für rA, Hs´ ‰ 0):
B2Ω
ď 0 Ü Ω als Funktion von λ konkav!
Bλ2
————————————————————————————————————
Beweis:
schreibe ∆A “ A ´ xAy, dann ist (mit A “ A:):
żβ
B2Ω
“´
dτ xpA ´ xAyqpτ qpA ´ xAyqp0qy
Bλ2
0
żβ
` ´βH
˘
1
∆Apτ q∆Ap0q
“´
dτ Sp e
Z
0
96
żβ
` ´βH Hτ
˘
1
´Hτ
“´
dτ Sp e
e ∆Ae
∆A
Z
0
żβ
´
¯
1
´βH Hτ {2
´Hτ {2 ´Hτ {2
Hτ {2
dτ Sp e
e
∆Ae
e
∆Ae
“´
Z
0
żβ
` ´βH
˘
1
:
“´
dτ Sp e
∆Apτ {2q∆Apτ {2q
Z
0
żβ
1 ÿ ´βEm
“´
dτ
e
xm|∆Apτ {2q|nyxn|∆Apτ {2q:|my
Z mn
0
żβ
1 ÿ ´βEm
e
|xm|∆Apτ {2q|ny|2 ď 0
“´
dτ
Z mn
0
wobei H|my “ Em|my
————————————————————————————————————
Hamilton-Operator:
ÿ
1 ÿ
:
Ht,U “
tαβ cα cβ `
Uαβδγ c:α c:β cγ cδ
2 αβγδ
αβ
großkanonische Dichtmatrix:
ρt,U “
expp´βpHt,U ´ µN̂ qq
Sp expp´βpHt,U ´ µN̂ qq
97
großkanonisches Potenzial
Ωt,U “ ´T ln Zt,U “ ´T ln Sp expp´βpHt,U ´ µN̂ qq
definiere das Dichtematrix-Funktional
´
¯
Ωt,U rρs “ Sp ρpHt,U ´ µN̂ ` T ln ρq
• ρ ist hier als eine (Operator-)Variable aufzufassen
• für jedes ρ liefert Ωt,U rρs einen Wert, der parametrisch von t und U abhängt
• µ und T sind beliebig aber fest
Extremalprinzip:
Ωt,U rρs “ min. für ρ “ ρt,U und Ωt,U rρt,U s “ Ωt,U
————————————————————————————————————
Beweis:
zunächst gilt:
´
¯
Ωt,U rρt,U s “ Sp ρt,U pHt,U ´ µN̂ ` T ln ρt,U q
´
¯
“ Sp ρt,U rHt,U ´ µN̂ ` T p´βqpHt,U ´ µN̂ q ´ T ln Zt,U s
“ Sp ρt,U p´T q ln Zt,U “ Ωt,U
es bleibt zu zeigen, dass Ωt,U rρs ě Ωt,U für beliebiges ρ
98
• ρ soll eine physikalisch sinnvolle Dichtematrix darstellen:
ρ normiert ( Sp ρ “ 1), positiv definit, hermitesch
• allgemeinster Ansatz:
ρ ist die großkanonische Dichtematrix eines beliebigen Hamiltonians H 1
also:
ρ “ ρt1,U 1
expp´βpHt1,U 1 ´ µN̂ qq
expp´βpHt1,U 1 ´ µN̂ qq
“
“
Zt1,U 1
Sp expp´βpHt1,U 1 ´ µN̂ qq
damit folgt:
´
¯
Ωt,U rρt1,U 1 s “ Sp ρt1,U 1 pHt,U ´ µN̂ ` T ln ρt1,U 1 q
´
¯
“ Sp ρt1,U 1 pHt,U ´ µN̂ ` T p´βqpHt1,U 1 ´ µN̂ q ´ T ln Zt1,U 1 q
´
¯
“ Sp ρt1,U 1 pHt,U ´ Ht1,U 1 q ` Ωt1,U 1
“ xHt,U ´ Ht1,U 1 yt1,U 1 ` Ωt1,U 1
(*)
betrachte die folgende Zerlegung:
Hpλq “ Ht1,U 1 ` λpHt,U ´ Ht1,U 1 q
es ist Hp0q “ Ht1,U 1 und Hp1q “ Ht,U und für
Ωpλq “ ´T ln Sp expp´βpHpλq ´ µN̂ qq
ist Ωp0q “ Ωt1,U 1 und Ωp1q “ Ωt,U
99
damit gilt jetzt (siehe (*)):
ˇ
BΩpλq ˇˇ
Ωt,U rρt1,U 1 s “ Ωp0q `
ˇ
Bλ ˇ
λ“0
andererseits gilt, dass Ωpλq konkav ist,
und da eine konkave Funktion überall kleiner ist als ihre lineare Approximation in einem
festen Punkt, hat man
ˇ
BΩpλq ˇˇ
Ωp0q `
¨ λ ě Ωpλq
ˇ
Bλ ˇ
λ“0
setze λ “ 1, dann folgt:
ˇ
BΩpλq ˇˇ
Ωt,U rρt1,U 1 s “ Ωp0q `
ˇ
Bλ ˇ
ě Ωp1q “ Ωt,U
λ“0
q.e.d.
————————————————————————————————————
Das Extremalprinzip stellt eine Verallgemeinerung des Ritzschen Variationsprinzips auf
endliche Temperaturen dar.
100
3.4
Wick-Theorem
• notwendig zur Auswertung des Ritz-Prinzips
Ausgangspunkt für Formulierung der statischen Mean-Field-Theorie
• zentrales Theorem für diagrammatische Störungstheorie
• Idee: Rückführung von höheren auf Ein-Teilchen-Korrelationsfunktionen
für freies System
Zusammenstellung von Ergebnissen für freie Systeme
Ein-Teilchen-Hamiltonian (“freier” Hamiltonian):
ÿ
H0 “
tαβ c:α cβ
αβ
Diagonalisierung der Hopping-Matrix:
t “ U εU :
dies ergibt:
ÿ
H0 “
εpkqc:k ck
freies Fermi-Gas
k
diagonale Korrelationsfunktion:
1
xc:k ck yp0q “ βpεpkq´µq
e
`1
Fermi-Funktion
101
Rücktransformation:
ÿ
:
p0q
xcα cβ y “
Uβ,k
k
xcα c:β yp0q “
ÿ
Uα,k
k
1
eβpεpkq´µq ` 1
ˆ
:
Uk,α
“
1`e
eβpt´µq ` 1
ˆ
1
:
U
“
k,β
´βpεpkq´µq
˙
1
βα
1
˙
1 ` e´βpt´µq
αβ
————————————————————————————————————
(modifizierte) Heisenbergsche freie (imaginäre) Zeitabhängigkeit:
ř
H0 τ
´H0 τ
cα pτ q “ e cα e
H0 “ H0 ´ µN “ αβ ptαβ ´ µδαβ qc:α cβ
mit der Baker-Hausdorff-Formel folgt:
cα pτ q “ e´τ LH0 cα
wobei
LH0 cα ” rcα , H0s´ “
ÿ
ptαβ ´ µδαβ qcβ
β
somit:
ÿ 1
ÿ
ÿ 1
k k
k
p´τ q LH0 cα “
p´τ q
pt ´ µ1qkαβ cβ
cα pτ q “
k!
k!
k
β
k
also:
102
¯
ÿ´
´pt´µ1qτ
cα pτ q “
e
αβ
β
c:α pτ q
“
eH0τ c:α e´H0τ
cβ
¯
ÿ´
`pt´µ1qτ
“
e
αβ
β
c:β
einfache, exponentielle Zeitabhängigkeit
————————————————————————————————————
freie zeitabhängige Ein-Teilchen-Korrelationsfunktion:
¯
ÿ´
:
p0q
´pt´µ1qτ
e
xcγ c:β yp0q
xcα pτ qcβ p0qy “
γ
αγ
:
1
Uγ,k 1`e´βpεpkq´µq
Uk,β
ist:
¯
ÿ´
:
p0q
´pt´µ1qτ
xcα pτ qcβ p0qy “
Uγ,k
e
mit xcγ c:β yp0q “
ř
k
γ,k
αγ
1
1`e
:
U
k,β
´βpεpkq´µq
und:
ˆ
xcα pτ qc:β p0qyp0q “
e´pt´µ1qτ
1 ` e´βpt´µ1q
˙
αβ
analoge Ausdrücke für xcα p0qc:β pτ qyp0q, xc:α pτ qcβ p0qyp0q, ...
————————————————————————————————————
103
Wicks Theorem: (genaue Formulierung: siehe unten)
xT pdα1 pτ1q ¨ ¨ ¨ dαs pτsqyp0q “ tSumme über alle vollständig kontrahierten Termeu
• dα pτ q: Erzeuger oder Vernichter mit freier (Heisenbergscher) Zeitabhängigkeit
• freier Erwartungswert x¨ ¨ ¨ yp0q
• eine freie N -Teilchen-Korrelationsfunktion wird auf eine Summe von Produkten freien
Ein-Teilchen-Korrelationsfunktionen zurückgeführt
• Korrelationsfunktionen separieren, zerfallen: das System ist unkorreliert (“frei”)
• wesentlich für Aufbau der diagrammatischen Störungstheorie
• Anwendung zunächst zur Konstruktion der statischen Mean-Field-Theorie
————————————————————————————————————
Beweis:
für Fermionen ε “ ´1 und Bosonen ε “ `1
definiere für cα mit α “ 1, ..., d:
dd`i “ c:i
di “ ci
Hamilton-Operator:
ÿ
H0 “
hij didj
(freies System)
ij
mit i, j “ 1, ..., 2d
104
• H0 kann (abhängig von h) neben den üblichen Termen der Form c:c auch nichtteilchenzahlerhaltende Terme der Form cc und c:c: enthalten
• wichtig: H ist quadratisch in den di (und hermitesch)
Ein-Teilchen-Korrelationsfunktion: xdidj yp0q
N -Teilchen-Korrelationsfunktion: xdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q mit s “ 2N
x¨ ¨ ¨yp0q: freier Erwartungswert, großkanonischer Erwartungswert mit H0
mit H0 “ H0 ´ µN gilt:
Ldi “ rdi, H0s´ “
ÿ
Dij dj mit einer Matrix D
j
für freie Systeme kommen nur Terme linear in di vor
damit folgt:
βH0
e
die
´βH0
“e
´βL
8
ÿ
p´βqn n
di “
L di
n!
n“0
8
ÿ`
ÿ
˘
p´βqn ÿ n
“
pD qij dj “
e´βD ij dj
n! j
n“0
j
also:
105
die
´βH0
“
ÿ`
e´βD
˘
´βH0
e
dj
ij
j
weiter gilt:
` ´βH
˘
1
0
xdidj y “ rdi, dj s´ε ` εxdj diy “ rdi, dj s´ε ` ε Sp e
dj di
Z
` ´βH ˘
` ´βH
˘
1
1 ÿ ` ´βD ˘
0
0d d
“ rdi, dj s´ε ` ε Sp die
dj “ rdi, dj s´ε ` ε
e
Sp
e
k j
ik
Z
Z k
ÿ`
˘
´βD
p0q
“ rdi, dj s´ε ` ε
e
xd
d
y
k
j
ik
p0q
p0q
k
damit folgt:
rdi, dj s´ε “
ÿ
p0q
Mik xdk dj y
` ´βD ˘
mit Mij “ δij ´ ε e
ij
k
oder:
p0q
xdidj y
ÿ
“
Mik´1rdk , dj s´ε
k
• beachte: der (Anti-)Kommutator ist eine Zahl
• die Ein-Teilchen-Korrelationsfunktion wird durch eine Zahl
(also durch eine 0-Teilchen-Korrelationsfunktion) ausgedrückt
• gleiches Schema zur Rückführung einer N -Teilchen-Korrelationsfunktion
106
auf eine N ´ 1-Teilchen-Korrelationsfunktion
————————————————————————————————————
N -Teilchen-Korrelationsfunktion (s “ 2N ist gerade):
xdi1 ¨ ¨ ¨ dis yp0q “ xrdi1 , di2 s´εdi3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q ` εxdi2 di1 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
“ xrdi1 , di2 s´εdi3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
`ε1xdi2 rdi1 , di3 s´εdi4 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
¨¨¨
`εs´2xdi2 ¨ ¨ ¨ dis´1 rdi1 , dis s´εyp0q
`εs´1xdi2 ¨ ¨ ¨ dis di1 yp0q
letzter Summand:
s´1
ε
p0q
xdi2 ¨ ¨ ¨ dis di1 y
`
˘ ÿ ` ´βD ˘
1
´βH0
di2 ¨ ¨ ¨ dis “
e
xdj1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
“ ε Sp di1 e
i
j
1 1
Z
j
1
Zusammenfassen mit Term auf der linken Seite:
ÿ
Mi1j1 xdj1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
j1
“ xrdi1 , di2 s´εdi3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
`ε1xdi2 rdi1 , di3 s´εdi4 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
107
¨¨¨
`εs´2xdi2 ¨ ¨ ¨ dis´1 rdi1 , dis s´εyp0q
(Anti-)Kommutatoren als Erwartungswerte schreiben:
ÿ
Mi1j1 xdj1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
j1
ÿ
“ x Mi1k xdk di2 yp0qdi3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
k
`¨¨¨`
`ε
s´2
xdi2 ¨ ¨ ¨ dis´1
ÿ
Mi1k xdk , dis yp0qyp0q
k
Multiplikation mit Mli´1
, Summation über i1, Umbenennen l Ñ i1:
1
xdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
“ xxdi1 di2 yp0qdi3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
`¨¨¨`
`εs´2xdi2 ¨ ¨ ¨ dis´1 xdi1 dis yp0qyp0q
————————————————————————————————————
zum Eleminieren der Vorzeichen:
Definition von Ordnungsoperator und Kontraktion
108
Ordnungsoperator:
T pdidj q “ εdj di
T pdidj q “ didj
falls di Vernichter, dj Erzeuger
sonst
T ordnet die Erzeuger links von den Vernichtern an (beachte: ε)
es gilt:
T pdidj q “ εT pdj diq
• Erzeuger und Vernichter verhalten sich unter T wie (anti-)kommutierende Zahlen
————————————————————————————————————
Verallgemeinerung auf Produkte von s Erzeugern oder Vernichtern:
T pdi1 ¨ ¨ ¨ dis q “ εpdk1 ¨ ¨ ¨ dks
wobei dk1 ¨ ¨ ¨ dks geordnet ist (alle Erzeuger links von allen Vernichtern)
p: Anzahl der Vertauschungen für pi1, ..., isq Ñ pk1, ..., ksq
————————————————————————————————————
Verallgemeinerung auf Linearkombinationen aus Produkten:
˜
¸
ÿ
ÿ
T
λi1,...,is di1 ¨ ¨ ¨ dis “
λi1,...,is T pdi1 ¨ ¨ ¨ dis q
i1 ,...,is
i1 ,...,is
beachte:
109
in T gelten nicht die üblichen (Anti-)Vertauschungsrelationen
Beispiel:
es ist c:c “ ´ε ` εcc:, aber:
c:c “ T pc:cq ‰ T p´ε ` εcc:q “ T p´εq ` εT pcc:q “ ´ε ` c:c
————————————————————————————————————
definiere Kontraktion zweier Erzeuger/Vernichter:
didj “ xT pdidj qyp0q
die Kontraktion ist eine c-Zahl
es gilt:
didj “ εdj di
für ein Produkt aus k Erzeugern oder Vernichtern A “ di1 ¨ ¨ ¨ dik sei
diAdj “ εk didj A “ εk Adidj
beachte: Im Falle von Teilchenzahlerhaltung sind nur Kontraktionen zwischen Erzeugern
und Vernichtern ungleich Null.
————————————————————————————————————
betrachte Erwartungswert von s bereits geordneten Erzeugern/Vernichtern:
xT pdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis qyp0q “ xdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
110
mit den Überlegungen weiter oben ist:
xdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q “ xdi1 di2 di3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q ` ¨ ¨ ¨ ` εs´2xdi2 ¨ ¨ ¨ dis´1 di1 dis yp0q
denn die kontrahierten Operatoren sind geordnet
also:
xT pdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis qyp0q
“ xdi1 di2 di3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
`xdi1 di2 di3 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
`¨¨¨`
`xdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis yp0q
nach Herausziehen der Kontraktionen (c-Zahlen!) und Iteration ist:
xT pdi1 di2 ¨ ¨ ¨ dis qyp0q “ tSumme über alle vollständig kontrahierten Termeu
Wick Theorem
• gültig auch falls Operatoren links nicht bereits geordnet sind, denn
Ordnung führt links und rechts zu gleichem Vorzeichenfaktor
• Voraussetzungen sind:
– s gerade
– Erwartungswerte sind freie Erwartungswerte
111
– H0 quadratisch in Erzeugern und Vernichtern
• Anzahl Terme: ps ´ 1qps ´ 3q ¨ ¨ ¨ 3 ¨ 1
• Anzahl der Terme bei Teilchenzahlerhaltung: ps{2q!
Beispiel:
Fermionen, H0 “
ÿ
tαβ c:α cβ , Teilchenzahlerhalung:
αβ
xnα nβ yp0q “ xc:α cα c:β cβ yp0q “ xc:α pδαβ ´ c:β cα qcβ yp0q “ δαβ xc:α cβ yp0q ´ xc:α c:β cα cβ yp0q
“ δαβ xc:α cβ yp0q ´ xT pc:α c:β cα cβ qyp0q
“ δαβ xc:α cβ yp0q ´ p´c:α cα c:β cβ ` c:α cβ c:β cα q
“ δαβ xc:α cβ yp0q ` xT pc:α cα qyp0qxT pc:β cβ qyp0q ´ xT pc:α cβ qyp0qxT pc:β cα qyp0q
“ δαβ xc:α cβ yp0q ` xc:α cα yp0qxc:β cβ yp0q ´ xc:α cβ yp0qxc:β cα yp0q
————————————————————————————————————
Verallgemeinerung auf den Fall zeitabhängiger Erzeuger und Vernichter
mit dipτ q “ exppH0τ qdi expp´H0τ q laufen wegen
rdipτ q, H0s´ “ exppH0τ qrdi, H0s´ expp´H0τ q “
ÿ
j
alle Rechnungen analog
112
Dij dj pτ q
• Die Art der vereinbarten Ordnung ist für die Gültigkeit des Wickschen Theorems nicht
wichtig. Üblich ist bei zeitabhängigen Erzeugern/Vernichtern aber die Zeitordnung
im tatsächlichen Wortsinn.
Zeitordnungsoperator :
T pd1pτ1qd2pτ2qq “ Θpτ1 ´ τ2qd1pτ1qd2pτ2q ` ε Θpτ2 ´ τ1qd2pτ2qd1pτ1q
Merksatz:
Frühere Operatoren operieren früher.
bei Gleichzeitigkeit: Erzeuger links vom Vernichter (konsistent mit Def. oben)
alternativ:
τErzeuger “ τVernichter ` 0`
0`: positives Infinitesimal
Wick-Theorem für zeitabhängige/zeitgeordnete N -Teilchen-Korrelationsfunktion
(s “ 2N ):
xT pdi1 pτ1q ¨ ¨ ¨ dis pτsqyp0q “ tSumme über alle vollständig kontrahierten Termeu
mit der Kontraktion:
dipτiqdj pτj q “ xT pdipτiqdj pτj qqyp0q
“ Θpτi ´ τj qxdipτiqdj pτj qyp0q ` εΘpτj ´ τiqxdj pτj qdipτiqyp0q
man nennt
113
p0q
´cα pτ qc:β pτ 1q “ ´xT pcα pτ qc:β pτ 1qqyp0q ” Gαβ pτ, τ 1q
freie Ein-Teilchen-Green-Funktion
(Matsubara-Funktion, thermische Green-Funktion, imaginär zeitabhängige Green-Funktion)
3.5
Mean-Field-Theorie
Konstruktion von Näherungen:
• Variationsprizip
δΩt,U rρs “ 0
• allgemeinster Ansatz ρ “ ρt1,U 1 mit t1 und U 1 beliebig Ü exakte Lösung ρ “ ρt,U
• (eingeschränkter) Ansatz ρ “ ρλ mit Parameter(n) λ liefert gemäß
B
Ωt,U rρλs “ 0
für λ “ λ0
Bλ
ein optimales ρλ0 mit
Ωt,U rρλ0 s ě Ωt,U
• Ansatz für ρ durch Wahl eines Referenzsystems: H 1 “ Hλ1
ρλ “ expp´βpHλ1 ´ µN̂ qq{Zλ
• Berechnung von Korrelationsfunktionen für Hλ1 0 (statt H) als Approximation sinnvoll,
falls Hλ1 0 einfach (lösbar)
114
Mean-Field-(Hartree-Fock-)Näherung :
ÿ
1
H “ Ht1,0 “
t1αβ c:α cβ
t1 beliebig
αβ
• gesucht wird der optimale Ein-Teilchen-Hamiltonian
• sämtliche Ein-Teilchen-Parameter t1 sind als freie Variationsparameter aufzufassen
sei ρt1 “
1 ´βpH 1 ´µN̂ q
Z1 e
1
und x¨ ¨ ¨y1 “ Sp pρt1 ¨ ¨ ¨ q
Bestimmung von t :
B
0 “ 1 Ωt,U rρt1 s
Btµν
¯
´
B
“ 1 Sp ρt1 pHt,U ´ µN̂ ` T ln ρt1 q
Btµν
¯
B ´
“ 1 xHt,U ´ µN̂ y1 ` Sp rρt1 T pp´βqpH 1 ´ µN̂ q ´ ln Z 1qs
Btµν
¯
B ´
1
1
1
“ 1 xHt,U ´ µN̂ y ´ xH ´ µN̂ y ` Ωt1,0
Btµν
E1
ÿ
ÿ
1
B Aÿ
:
tαβ c:α cβ `
“ 1
Uαβδγ c:α cβ cγ cδ ´ t1αβ c:α cβ ` xc:µcν y1
Btµν αβ
2 αβδγ
αβ
denn BΩt1,0{Bt1µν “ xc:µcν y1
115
definiere:
1
Kανµβ
1 : 1 : 1
Bxc:α cβ y1
“
xc cβ y xcµcν y ´
“
Bt1µν
T α
żβ
dτ xc:α pτ qcβ pτ qc:µcν y1
0
dann ist:
0“
ÿ
αβ
1
tαβ Kανµβ
ÿ
1 ÿ
B
: :
1
1
`
Uαβδγ 1 xcα cβ cγ cδ y ´ t1αβ Kανµβ
2 αβγδ
Btµν
αβ
H 1 bilinear Ü Wick-Theorem anwendbar:
xc:α c:β cγ cδ y1 “ xc:α cδ y1xc:β cγ y1 ` εxc:α cγ y1xc:β cδ y1
also:
B ÿ
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1
1
Btµν αβγδ
´
¯
B ÿ
:
1 :
1
:
1 :
1
Uαβδγ xcα cδ y xcβ cγ y ` εxcα cγ y xcβ cδ y
“ 1
Btµν αβγδ
B ÿ
pUαβδγ ` εUαβγδ q xc:α cδ y1xc:β cγ y1
“ 1
Btµν αβγδ
´
¯
ÿ
:
:
1 1
1
1
pUαβδγ ` εUαβγδ q xcα cδ y Kβνµγ ` Kανµδ xcβ cγ y
“
αβγδ
116
ÿ
pUγαδβ `
“
1
εUγαβδ q xc:γ cδ y1Kανµβ
ÿ
`
αβγδ
1
pUαγβδ ` εUαγδβ q Kανµβ
xc:γ cδ y1
αβγδ
mit pαβγq Ñ pγαβq (1.Term) und pβγδq Ñ pγδβq (2.Term)
ÿ
1
ppUγαδβ ` Uαγβδ q ` εpUγαβδ ` Uαγδβ qq xc:γ cδ y1Kανµβ
“
αβγδ
“2
ÿ
1
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1Kανµβ
αβγδ
mit Uαβδγ “ Uβαγδ
also folgt insgesamt:
ÿ
ÿ
ÿ
1
1
1
1
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1Kανµβ
0“
tαβ Kανµβ ´ tαβ Kανµβ `
αβ
αβ
αβγδ
˜
0“
ÿ
¸
tαβ ´
t1αβ
αβ
ÿ
`
1
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1 Kανµβ
γδ
Invertierbarkeit von K vorausgesetzt, bedeutet dies:
ÿ
1
tαβ “ tαβ ` pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1
γδ
der optimale Ein-Teilchen-Hamiltonian ist also:
¯
ÿ´
pHFq
1
H “
tαβ ` Σαβ c:α cβ
αβ
117
mit
pHFq
Σαβ
ÿ
“
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1
γδ
ΣpHFq Hartree-Fock-Selbstenergie
beachte: die Bestimmung von ΣpHFq muss selbstkonsistent erfolgen:
ΣpHFq Ü H 1 Ü xc:α cβ y1 Ü ΣpHFq
————————————————————————————————————
Kochrezept: Entkopplung des Wechselwirkungsterms
˜
¸
ÿ ÿ
1 ÿ
: :
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1 c:α cβ
Uαβδγ cα cβ cγ cδ ÞÑ
2 αβγδ
αβ
γδ
ergibt sich aus der Ersetzung:
c:α c:β cγ cδ ÞÑ c:α c:β cγ cδ ` c:α c:β cγ cδ ` c:α c:β cγ cδ ` c:α c:β cγ cδ
(ala Wick-Theorem, aber nicht ganz vollständige Kontraktion)
• Hartree-Fock-Selbstenergie: hermitesch und frequenzunabhängig
• effektives Ein-Teilchen-Potenzial (“mean-field”)
• erster Term: Hartree-Potenzial
zweiter Term: Austausch-Potenzial
118
————————————————————————————————————
Übergang zur kontinuierlichen Ein-Teilchen-ONB t|ryu (Ortseigenzustände)
U : Coulomb-Wechselwirkung, spinlose Teilchen Ü
ˆ
2 ż ż
1
e
1 p1q 3 p2q
d3r2d3r3 p1qxr|p2qxr 2| p1q
|r
y |r y
ΣpHFqpr, r 1q “
4πε0
|r ´ r p2q|
˙
1
`εp1qxr 2|p2qxr| p1q
|r 1yp1q|r 3yp2q xΨpr 2q:Ψpr 3qy
p2q
|r ´ r |
Ψprq: Feldoperator (Vernichter am Ort r)
r piq: Ortsoperatoren der Teilchen i “ 1, 2
ˆ
2 ż ż
e
1
d3r2d3r3 δpr ´ r 1qδpr 2 ´ r 3q
ΣpHFqpr, r 1q “
4πε0
|r ´ r 2|
˙
1
`εδpr 2 ´ r 1qδpr ´ r 3q 1
xΨpr 2q:Ψpr 3qy
|r ´ r|
also:
ż
2
2
e
1
e2
pHFq
1
1
3 2 xnpr qy
Σ
pr, r q “
δpr ´ r q d r
`
ε
xΨpr 1q:Ψprqy
2
1
4πε0
|r ´ r |
4πε0 |r ´ r |
• erster Term: lokal, Hartree-Potenzial,
elektrostatisches Potenzial der Ladungsdichteverteilung xnpr 2qy
• zweiter Term: Austausch-Term, nicht klassisch interpretierbar
119
• Darstellung des Dichteoperators in 1.Quantisierung:
N
ÿ
2
npr q “
δpr 2 ´ r piqq
i“1
Hartree-Term:
pHq
Σ
N
e2 ÿ
1
pr, r q “ δpr ´ r q
4πε0 i“1 |r ´ r piq|
1
1
————————————————————————————————————
Berechnung des großkanonischen Potenzials in Hartree-Fock-Näherung
es ist:
¯
´
Ωt,U rρt1 s “ Sp ρt1 pHt,U ´ µN̂ ` T ln ρt1 q
Aÿ
E1
ÿ
1 ÿ
:
: :
1
:
“ Ωt1,0 `
tαβ cα cβ `
Uαβδγ cα cβ cγ cδ ´ tαβ cα cβ
2
αβ
αβδγ
αβ
“ Ω
t1 ,0
ÿ
`
tαβ xc:α cβ y1
αβ
und mit t1αβ “ tαβ `
ÿ
1 ÿ
:
1 :
1
pUαβδγ ` εUαβγδ q xcα cδ y xcβ cγ y ´
t1αβ xc:α cβ y1
`
2 αβγδ
αβ
ř
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1 folgt:
1 ÿ
pUαβδγ ` εUαβγδ q xc:α cδ y1xc:β cγ y1
Ωt,U rρt1 s “ Ωt1,0 `
2 αβγδ
γδ
120
ÿ
´
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1xc:α cβ y1
αβγδ
2.Term: pαβγq Ñ pβγαq Ü
1 ÿ pHFq : 1
1 ÿ
1 :
1
:
pUαβδγ ` εUαβγδ q xcα cδ y xcβ cγ y “ Ωt1,0´
Σ
xcα cβ y
Ωt,U rρt1 s “ Ωt1,0´
2 αβγδ
2 αβ αβ
Wick-Theorem, aber “invers” Ü
1 ÿ
1 ÿ pHFq : 1
: :
1
Uαβδγ xcα cβ cγ cδ y “ Ωt1,0 ´
Σ
xcα cβ y
Ωt,U rρt1 s “ Ωt1,0 ´
2 αβγδ
2 αβ αβ
• erster Term: großkanonisches Potenzial des effektiven Modells unabhängiger Teilchen
beinhaltet über die Renormierung der Ein-Teilchen-Energien, t Ñ t1, schon Wechselwirkungseffekte.
• zweiter Term: Korrektur zur Vermeidung von Doppelzählungen
• exakte obere Schranke für das großkanonische Potenzial:
1 ÿ
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ě Ωt,U
Ωt1,0 ´
2 αβγδ
————————————————————————————————————
setze Uαβδγ Ñ λUαβδγ
Entwicklung des großkanonischen Potenzials in der Wechselwirkungsstärke λ:
121
Ωt,U “ Ωt,0 ` λ
BΩt,0
` Opλ2q
Bλ
1 ÿ
“ Ωt,0 ` λ
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ` Opλ2q
2 αβγδ
“ Ωt1,0 `
ÿ
ptαβ ´
αβ
denn tαβ ´ t1αβ “ ´
BΩt1,0
t1αβ q
Btαβ
ř
γδ
1 ÿ
` Opλ q ` λ
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ` Opλ2q
2 αβγδ
2
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1 “ Opλq
mit BΩt1,0{Btαβ “ xc:α cβ y1 (und λ “ 1) folgt also:
ÿ
1 ÿ
1
:
1
Ωt,U “ Ωt1,0 ` ptαβ ´ tαβ qxcα cβ y `
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ` Opλ2q
2 αβγδ
αβ
“ Ωt1,0 ´
ÿ
pHFq
Σαβ xc:α cβ y1
αβ
1 ÿ
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ` Opλ2q
`
2 αβγδ
1 ÿ
“ Ωt1,0 ´
Uαβδγ xc:α c:β cγ cδ y1 ` Opλ2q
2 αβγδ
“ Ωt,U rρt1 s ` Opλ2q
Hartree-Fock liefert also das bis auf Opλ2q korrekte großkanonische Potenzial
122
Wechselwirkende Viel-Elektronen-Systeme
4.1
Gittermodelle
Gitterplätze: i “ 1, ..., L
Ortsvektoren zu Gitterplätzen:
D
ÿ
Ri “
ik ak
mit ik P Z
k“1
Basisvektoren a1, ..., aD spannen Einheitszelle (EZ) auf
Volumen der Einheitszelle:
VEZ “ | detpa1, ..., aD q|
Systemvolumen V “ LVEZ
reziprokes Gitter:
123
Gi “
D
ÿ
ik b k
mit ik P Z
k“1
Basis b1, ..., bD spannen reziproke Einheitszelle (rEZ) auf
aibj “ 2π δij
spezielle rEZ: 1. Brillouin-Zone (1BZ)
V1BZ “ | detpb1, ..., bD q|
es ist
VEZV1BZ “ p2πqD
periodische Randbedingungen auf dem Volumen V Ü
V
V1BZ p2πqD {VEZ
“
“
“L
∆k
p2πqD {V
VEZ
Anzahl der k-Punkte in der 1BZ: L
(diskrete) Fourier-Transformation zwischen realem und reziprokem Raum:
1
Uik “ ? eikRi k P1BZ
L
U ist quadratisch!
U ist unitär:
124
ÿ 1
1
? eikRi ? e´ikRj “ δij
“
“
L
L
k
k
k
ÿ 1
ÿ :
ÿ
1
1
˚
? e´ikRi ? eik Ri “ δkk1
UkiUik1 “
Uik Uik1 “
L
L
i
i
i
ÿ
:
Uik Ukj
ÿ
˚
Uik Ujk
mit der Darstellung des Kronecker-Deltas:
1 ÿ ikpRi´Rj q
1 ÿ ´ipk´k1qRi
δij “
e
δkk1 “
e
L k
L i
Diese Relationen gelten mit der Vereinbarung,
alle Wellenvektoren stets auf die 1BZ zu
beschränken.
+ Übung
————————————————————————————————————
Gittermodell: Ein-Teilchen-ONB t|αyu mit α “ pi, m, σq, wobei
i: Gitterplatz
m: orbitaler Freiheitsgrad am Platz i
σ: Spinfreiheitsgrad (σ “Ò, Ó für Spin-1/2-Teilchen)
es ist
pBq
|imσy “ |imy|σy P H1 “ H1
b HpSq
125
Orbital |imy zentriert am Platz i
Hopping-Matrixelemente:
ˆ 2
˙
p
timσ,i1m1σ1 “ ximσ|
` V prq |i1m1σ 1y
2m
V spindiagonal und spinunabhängig:
tii1mm1σσ1 “ δσσ1 tii1mm1
V gitterperiodisch:
timσ,i1m1σ1 “ tmm1 pRi ´ R1iq
also:
H0 “
ÿ
tii1mm1 c:imσ ci1m1σ
ii1 mm1 σ
————————————————————————————————————
Fourier-Transformation der Ein-Teilchen-Basis:
ÿ
1 ÿ ikRi
|kmσy “
Uik |imσy “ ?
e
|imσy
L i
i
bzw.
c:kmσ
ÿ
“
i
Uik c:imσ
1 ÿ ikRi :
“?
e
cimσ
L i
(m und σ fest)
126
damit (hier der Einfachheit halber nur ein Orbital pro Platz, m weglassen):
ÿÿ
H0 “
εpk, k1qc:kσ ck1σ
k,k1 σ
H0 “forminvariant” unter unitären Transformationen der Ein-Teilchen-Basis
Ein-Teilchen-Matrixelement:
ÿ
1 ÿ ´ikRi ik1Rj
1
´1
εpk, k q “
Uki tij Ujk1 “
tij e
e
L
ij
ij
1 ÿ ´ikpRi´Rj q
1
e
tpRi ´ Rj qeipk ´kqRj
“
L ij
ÿ
1 ÿ ´ikRi
ipk1 ´kqRj
“
e´ikRi tpRiqδkk1
“
tpRiqe
e
L ij
i
iÑi`j
ÿ
1 ÿ ´ikRi
iÑi´j 1
“
e
tpRiqδkk1 “
e´ikpRi´Rj qtij δkk1
L ij
L ij
“ δkk1 εpk, kq ” δkk1 εpkq
also:
1 ÿ ´ikpRi´Rj q
εpkq “
e
tij
L ij
1 ÿ ikpRi´Rj q
tij “
e
εpkq
L k
(diskrete) Fourier-Transformation diagonalisiert H0:
127
H0 “
ÿ
tij c:iσ cjσ
ijσ
ÿ
“
εpkqc:kσ ckσ
kσ
————————————————————————————————————
unter Ausnutzung der Translationsinvarianz ist:
ÿ
1 ÿ ´ikpRi´Rj q
e´ikRi ti0
e
tij “
εpkq “
L ij
i
Tight-Binding-Näherung: nur nächst-Nachbar-Hüpfen ti0 “ ´t
(kubisches Gitter, D “ 3):
ÿ
εpkq “ ´t
e´ikRi “ ´2tpcos kxa ` cos ky a ` cos kz aq
n.n.
Wahl des Energienullpunkts: tii “ 0
————————————————————————————————————
mehrere Orbitale:
ÿ
ÿ
:
H0 “
tii1mm1 cimσ ci1m1σ “
εmm1 pkqc:kmσ ckm1σ
ii1 mm1 σ
kmm1 σ
eine weitere unitäre Transformation (k-abhängig) zur Diagonalisierung der Matrix εmm1 pkq
wird notwendig
ÿ
H0 “
εr pkqc:krσ ckrσ
krσ
128
r: Bandindex
Diskussion:
• k P 1BZ per Definition (damit wird Uik quadratisch)
• Dies ist auch Ausdruck des Bloch-Theorems:
– Für ein gitterperiodisches Potenzial, V pr ` Riq “ V prq, vertauscht H0 mit den
diskreten Translationsoperatoren.
– Eigenzustände können daher durch die Eigenwerte der Ti, also durch exppikRiq,
bzw. durch k charakterisiert werden.
– Eigenzustände mit k und k ` Gi liegen im gleichen gemeinsamen Eigenraum von
H und von allen Ti.
– Also Beschränkung auf k P 1BZ möglich. Eigenzustände sind also charakterisierbar durch k P 1BZ und Bandindex r (Bloch-Theorem).
ř
ř
• P ” kσ kc:kσ ckσ vertauscht mit H0 “ kσ εpkqc:kσ ckσ aber i. Allg. nicht mit dem
Wechselwirkungsterm (eines gitterperiodischen Systems)!
• P ist keine Erhaltungsgröße
• aber: Ti ” expp´iP Riq vertauscht mit H0 ` H1
————————————————————————————————————
Wechselwirkungsterm:
129
1 ÿ
H1 “
Uαβγδ c:α c:β cδ cγ
2 αβγδ
mit α “ piσq:
p1q p2q
p1,2q
p1q
p2q
Uαβγδ “ Uiσ,jσ1,kσ2,lσ3 “ xφiσ φjσ1 |Hint |φkσ2 φlσ3 y
p1,2q
Hint
spin-unabhängig (z.B. Coulomb-WW) Ü
p1q p2q
p1,2q
p1q p2q
Uαβγδ “ xφiσ φjσ1 |Hint |φkσ φlσ1 yδσσ2 δσ1σ3 “ Uijkl δσσ2 δσ1σ3
also:
1ÿ ÿ
Uijkl δσσ2 δσ1σ3 c:iσ c:jσ1 clσ3 ckσ2
H1 “
2 ijkl σσ1σ2σ3
1 ÿÿ
Uijkl c:iσ c:jσ1 clσ1 ckσ
H1 “
2 ijkl σσ1
Translationsinvarianz Ü Matrix-Elemente der Wechselwirkung im k-Raum:
+ Übung
Ukk1k2k3 “ δk`k1,k2`k3 Ukk1k2k3
mit Uk,ppqq “ Uk`qp´qkp (q: Impulsübertrag) ist:
1ÿÿ
H1 “
Uk,ppqqc:k`qσ c:p´qσ1 cpσ1 ckσ
2 kpq σσ1
für Uijkl “ δij δik δil U (lokale Wechselwirkung) folgt:
130
Ukk1k2k3 “ δk`k1,k2`k3
U
L
Uk,ppqq “
U ÿÿ :
H1 “
ck`qσ c:p´qσ1 cpσ1 ckσ
2L kpq σσ1
4.2
U
L
+ Übung
Hubbard-Modell
spinunahbängiges, gitterperiodisches Potenzial
nur ein Orbital m pro Platz (m weglassen)
tight-binding-Näherung
n.N.
ÿÿ :
ÿÿ
:
ciσ cjσ
H0 “
tij ciσ cjσ “ ´t
σ
ij
ij
σ
lokale Wechselwirkung Uijkl “ δij δik δil U
Motivation: metallische Abschirmung
1 ÿÿ
U ÿÿ : :
U ÿÿ
: :
H1 “
U δij δik δil ciσ cjσ1 clσ1 ckσ “
c c 1 ciσ1 ciσ “
niσ ni´σ
2 ijkl σσ1
2 i σσ1 iσ iσ
2 i σ
ÿ
H1 “ U
niÒniÓ
i
131
Hubbard-Modell
H “ ´t
n.N.
ÿ
ijσ
c:iσ cjσ
Uÿ
`
niσ ni´σ
2 iσ
• 1963: J. Hubbard, J. Kanamori, M.C. Gutzwiller
• qualitative Beschreibung von:
Magnetismus, Mott-Isolatoren, unkonventionelle Supraleitung, etc.
• Motivation der Approximationen:
– stark lokalisierte 3d- oder 4f-Orbitale
– Abschirmung
– möglichst starke Vereinfachung
– Beibehaltung des nichttrivialen Wechselspiels zwischen H0 und H1
• für H0 ‰ 0 und H1 ‰ 0 nicht allgemein lösbar
• einfachstes nicht-triviales Gitter-Modell
• das Demonstrationsmodell der Vielteilchen-Theorie
4.3
Grenzfälle und Phasendiagramm
Parameter:
• Wechselwirkungsstäke U {t (“Hubbard-U ”)
132
• Teilchenzahl N “ 1, ..., 2L bzw. µ (konjugierte Variablen)
TD Limes: N, L Ñ 8, N {L “ n “const.
n: “Füllung”, n , n “ 0 ´ 2
n “ 1: Halbfüllung
• Temperatur T
• Gitter-Dimension D und Gitterstruktur
U -n-T -Phasendiagramm? Anregungen (Spektroskopien)? Dynamik?
————————————————————————————————————
Liste der Grenzfälle des Hubbard-Modells, Spekulationen zum Phasendiagramm:
1) Band-Limes U “ 0
H “ ´t
n.N.
ÿ
c:iσ cjσ
ijσ
Ü Fermi-Gas (tight-binding-Bild)
————————————————————————————————————
2) Atomarer Limes tij “ δij ε0
ÿ
Uÿ
niσ ni´σ
H “ ε0 niσ `
2
iσ
iσ
ř
Ü H “ i Hi, exakt lösbar
+ Übung
133
————————————————————————————————————
3) Leeres Band n “ 0
|E0y “ |0, 0, ...y
————————————————————————————————————
4) Volles Band n “ 2
|E0y “ |1, 1, ...y
Uÿ
1 “ Lp2ε0 ` U q
E0 “ xE0|H|E0y “
ε0 `
2
iσ
iσ
————————————————————————————————————
ÿ
5) N klein
ˆ
p´q
dimHN “
2L
N
˙
Ü kleiner Hilbert-Raum für N “ 0, 1, 2, ... und N “ 2L, 2L ´ 1, 2L ´ 2, ...
————————————————————————————————————
6) D “ 1 (siehe unten: Luttinger-Flüssigkeit)
nicht-trivialer Grenzfall, viele Größen exakt berechenbar
————————————————————————————————————
7) D “ 8 (siehe unten: dynamische Mean-Field-Theorie)
134
nicht-trivialer Grenzfall
Abbildung auf einfacheres Modell möglich (Störstellen-Anderson-Modell)
sehr gut numerisch zu behandeln
————————————————————————————————————
8) niedrige Gitterdimension
D “ 1: keine LRO
D “ 2: keine LRO für T ą 0
————————————————————————————————————
9) n “ 1, U Ñ 8
Abbildung auf das einfachere Heisenberg-Modell möglich (s.u.)
Ü antiferromagnetische Ordnung (nicht-frustriertes Gitter!)
n Ñ 1: t-J-Modell
————————————————————————————————————
10) n “ 1, U Ñ 0
Störungstheorie in U Ü antiferromagnetische Instabilität
————————————————————————————————————
11) n “ 1, T ą TN
135
crossover Metall Ø Isolator (s.u.)
Phasenübergang in metastabiler PM Phase bei T “ 0 und U “ Uc
(Mott-Übergang)
————————————————————————————————————
12) U klein: schwach korreliertes System
Störungstheorie in U (s.u.)
Fermi-Flüssigkeit
————————————————————————————————————
13) U groß, n ‰ 1
Konkurrenz verschiedener langreichweitiger Ordnungen (LRO), normaler und
“seltsamer” metallischer Phasen:
- magnetische Phasen (dimensionsabhängig!!): AF, F
- inhomogene Phasen: Streifen, CDW
- (Hochtemperatur-)Supraleitung? (D “ 2)
- Spinglas
- Pseudogap
136
Symmetrien
4.4
Symmetrie, Symmetrietransformation
Transformation T von Observablen und Zuständen, so dass Messresultate unverändert
bleiben:
T : A Ñ A1
T : |Ψy Ñ |Ψ1y
Wigner: T ist eine (anti-)unitäre Transformation!
DU unitär: A1 “ U AU : und |Ψ1y “ U |Ψy
Antiunitäre
Transformationen
treten
in
Verbindung mit der Zeitumkehr auf und
werden hier nicht weiter betrachtet.
es ist:
A “ Arcα , c:α s
also:
:
A1 “ U Arcα , c:α sU : “ ArU cα U :, U c:α U :s “ Arc1α , c1α s
und:
1
A: “ U A:U : “ pU AU :q: “ A1
:
137
und:
|ΨyxΨ| Ñ |Ψ1yxΨ1| “ U |ΨyxΨ|U :
also
Angabe von cα Ñ c1α ist hinreichend zur Def. von T
... aber nicht notwendig, d.h. die Unitarität der
Transformation muss dann noch nachgewiesen
werden.
————————————————————————————————————
Beispiel: Teilchen-Loch-Transformation
cα Ñ c1α “ c:α
es folgt: c:α Ñ cα
Symmetrietransformation?
DU unitär mit c:α “ U cα U :, cα “ U c:α U :,
@α ?
es gilt:
ÿ
ÿ
ÿ
:
1
:
N̂ “ p cα cα q “
cα cα “ p1 ´ c:α cα q “ d ´ N̂
1
α
α
α
mit d: Anzahl der Orbitale (Hubbard-Modell: d “ 2L)
138
betrachte das Vakuum:
N̂ |0y “ N |0y “ 0|0y
Eigenwertgleichung nach der Transformation:
N̂ 1|0y1 “ N 1|0y1 “ 0|0y1
(Eigenwerte sind invariant)
es ist also:
N̂ |0y1 “ pd ´ N̂ 1q|0y1 “ pd ´ 0q|0y1 “ d|0y1
|0y1 ein Eigenzustand von N̂ zum Eigenwert d
der Eigenraum ist nicht entartet, also:
|0y1 “ |1, 1, 1, ....y “ |1y
und damit:
1
1
|n1, n2, ...y1 “ pc:1 qn1 pc:2 qn2 ¨ ¨ ¨ |0y1 “ cn1 1 cn2 2 ¨ ¨ ¨ |1y “ ˘|1 ´ n1, 1 ´ n2, ...y
Ü T permutiert die Basiszustände in Hp´q
Ü T ist eine unitäre Transformation!
————————————————————————————————————
Beispiel: U p1q-Eichtransformation
cα Ñ e´iφcα mit reeller Zahl φ
es ist c:α Ñ c1α : “ eiφc:α
139
T “ Tφ (kontinuierliche, abelsche) Transformationsgruppe U(1)
Symmetrietransformation, denn:
– U “ Uφ “ eiφN̂
– U unitär: klar
– U cα U : “ e´iφcα
letzteres folgt aus dem
Baker-Hausdorff-Theorem:
eλABe´λA “ e´λLA B mit LApXq “ rX, As´
denn es ist:
rcα , N̂ s´ “
ÿ
rcα , n̂β s “ cα
β
also: LN̂ cα “ cα und somit
ÿ 1
ÿ 1
k k
p´iφq LN̂ cα “
p´iφqk cα “ e´iφcα
U c α U “ e cα e
“e
cα “
k!
k!
k
k
————————————————————————————————————
:
iφN̂
´iφN̂
´iφLN̂
Beispiel: lokale U p1q-Eichtransformation
cα Ñ e´iφα cα mit reeller Zahl φα
140
i
analog mit U “ e
ř
α φα n̂α
————————————————————————————————————
Beispiel: hermitesche Matrix als Generator für unitäre Transformation
für eine hermitesche
Matrix ¸
T definiere
˜
ÿ
U “ exp i Tαβ c:α cβ
αβ
dann ist U ein unitärer Operator und
U cα U : “ e´iLT cα
mit
LT cα “ rcα ,
ÿ
Tαβ c:α cβ s
αβ
ÿ
“
Tαβ cβ
β
und damit
:
U cα U “
ÿ`
e
´iT
˘
c
αβ β
β
definiere die unitäre Matrix
S “ eiT
dann ist
141
:
U cα U “
ÿ
β
:
Sαβ
cβ
ÿ
“
˚
Sβα
cβ
β
und
U c:α U :
ÿ
“
Sβα c:β “ c1α
:
β
c1α : ist der Erzeuger für Teilchen im Ein-Teilchen-Zustand
ÿ
1
|α y “
Sβα |βy
β
————————————————————————————————————
Diskussion:
• eine Symmetrietransformation (Hp´q Ñ Hp´q) ist formal zu unterscheiden von
einer unitären Transformation der Ein-Teilchen-Basis (H1 Ñ H1)
• das letzte Beispiel zeigt: Symmetrietransformationen können sehr ähnlich
zu Darstellungswechseln sein
• Symmetrietransformationen sind das allgemeinere Konzept
siehe z.B. Teilchen-Loch-Transformation: c1α ist ein Erzeuger!
• H1 Ñ H1: Wechsel der “Darstellung” (Ort Ø Impuls Ø Energie Ø ¨ ¨ ¨ )
Übergang zwischen zwei 1-T-ONB’s: t|αyu Ñ t|α1yu bzw. cα Ñ c1α
H in zweiter Quantisierung dargestellt durch cα , c:α
Forminvarianz bei Darstellungswechsel
142
• Hp´q Ñ Hp´q: feste Darstellung, feste 1-T-ONB t|αyu
tαβ , Uαβγδ fest, aber cα Ñ c1α “ U cα U :
unitäre Transformation im gesamten Hp´q bei fester Darstellung
es gilt immer: rc1α , c1β :s` “ rU cα U :, U cβ :U :s` “ δαβ
————————————————————————————————————
Beispiel: Spinrotation
cα Ñ U cα U :
U “ U pϕq “ eiϕS
mit
S: Gesamtspin
U ist unitär, SU(2)-Transformationsgruppe (nicht-abelsch)
mit dem Baker-Hausdorff-Theorem folgt für α “ piσq:
U ciσ U : “ e´iLϕS ciσ
und mit
ˆ
LϕS
ciÒ
ciÓ
˙
ˆ
˙
ˆ
˙
1
ciÒ
ciÒ
“r
, ϕSs´ “ ϕ σ
ciÓ
ciÓ
2
ist
ˆ
c1iÒ
c1iÓ
˙
ˆ
“ eiϕS
ciÒ
ciÓ
˙
ˆ
e´iϕS “ e´iϕσ{2
analog:
143
ciÒ
ciÓ
˙
+ Übung
:
:
pc1iÒ , c1iÓ q “ pc:iÒ, c:iÓqe`iϕσ{2
————————————————————————————————————
Invarianz von H unter Symmetrietransformationen?
H ist invariant unter T (beschrieben durch U ), falls
H Ñ H 1 “ U HU : “ H
bzw.
rU, Hs´ “ 0
Invarianz Ü Generatoren sind Erhaltungsgrößen (für kontinuierliche Gruppen!)
• U(1): cα Ñ e´iφcα , c:α Ñ eiφc:α
Ü (falls H „ c:c ` c:c:cc) H Ñ U HU : “ H
Ü 0 “ rU, Hs´ “ reiφN̂ , Hs´ @φ
Ü rN̂ , Hs´ “ 0
Ü N̂ Erhaltungsgröße
• SU(2): cα Ñ U cα U : mit U “ eiφS
für das Hubbard-Modell gilt: rS, Hs´ “ 0
(direkte Rechnung oder manifest SU(2)-invariante Umformulierung)
Ü S Erhaltungsgröße!
• Teilchen-Loch-Transformation: ciσ Ø c:iσ (diskrete Transformation!)
ÿ
Uÿ
:
1
HÑH “
tij ciσ cjσ `
ciσ c:iσ ci´σ c:i´σ
2 iσ
ijσ
144
+ Übung
Uÿ
“ 2Lε0 ´
`
p1 ´ niσ qp1 ´ ni´σ q
2
ijσ
iσ
ÿ
Uÿ
:
“ ´ tij ciσ cjσ `
niσ ni´σ ` U pL ´ N̂ q ` 2Lε0
2
ijσ
iσ
ÿ
‰H
tij c:jσ ciσ
nicht invariant!
• Spezialfall: bipartites Gitter, n.N.-Hopping, ε0 “ 0, Halbfüllung: N “ L
Ein Gitter heisst bipartit, falls es zwei Untergitter A, B gibt, in die es zerlegt werden kann, so
dass jeder nächste Nachbar von A in B liegt und
umgekehrt. Beispiel: sc, Gegenbeispiele: fcc,
Dreiecksgitter.
Symmetrietransformation T mit
ciσ Ñ ciσ , falls i P A, ciσ Ñ ´ciσ , falls i P B
es gilt: niσ Ñ niσ und für n.N. i, j ist: c:iσ cjσ Ñ ´c:iσ cjσ
Ü H invariant unter kombinierter Transformation. T und T-L-Transformation!
• H invariant unter Gittertranslationen, -rotationen, -spiegelungen, falls dies Symmetrien des Gitters selbst sind.
z.B.: ciσ Ñ ci`i0σ , Translation um Ri0
H invariant, falls tij “ ti`i0,j`i0
145
4.5
Anderson-Modelle
oft mehr als ein Orbital pro Platz für qualitativ korrekte Beschreibung wichtig
Beispiel: Ce
Elektronenkonfiguration von Ce: [Xe]4f15d16s2
Ü 2 Gruppen von Orbitalen:
:
4f: stark lokalisiert, großes U : Erzeuger fiσ
5d, 6s: breites Band, U „ 0: Erzeuger c:iσ
Modell (ohne Entartungen):
ÿ
U ÿ pf q pf q ÿ
:
H“
εf fiσ fiσ `
niσ ni´σ ` tij c:iσ cjσ ` Hsf
2 iσ
iσ
ijσ
Hsf ist eine Kopplung zwischen den f - und s-Subsystemen
Möglichkeiten: (U(1)-, SU(2)-invariant, lokal)
• Hsf Hybridisierung Ü periodisches Anderson-Modell
• Hsf Interband-Austausch Ü Kondo-Gitter-Modell
• denkbar ist auch eine Dichte-Dichte-Interband-WW
————————————————————————————————————
146
periodisches Anderson-Modell (PAM):
ÿ
ÿ
U ÿ pf q pf q ÿ
:
:
H“
εf fiσ fiσ `
niσ ni´σ ` tij ciσ cjσ ` Vij pc:iσ fjσ ` H.c.q
2 iσ
iσ
ijσ
ijσ
oft: Vij “ V δij als Modellannahme
Beschreibung von seltenen Erden und Aktiniden
Valenzfluktuationen:
εf „ εF
Ü Hybridisierung sehr effektiv
Kondo-Limes:
εf ! εF ! εf ` U
Ü stabiles lokales f -Moment
————————————————————————————————————
Kondo-Gitter-Modell (KLM):
ÿ
ÿ
pf q psq
:
H“
tij ciσ cjσ ´ JS i S i
ijσ
i
mit J ă 0: (antiferromagnetisches) KLM
147
Letzteres kann als ein effektives Niederenergiemodell zum periodischen Anderson-Modell
aufgefasst werden, wie weiter unten gezeigt wird.
mit J ą 0: ferromagnetisches KLM
Beispiel: LaMnO3
atomare Elektronenkonfigurationen: La 5d16s2, Mn 3d54s2, O 2p4
im Festkörper: La3`Mn3`O2´
3
Ü Mn 3d4-Konfiguration
Band
eg
g=2
t 2g
g=3
J>0
Core
S=3/2
————————————————————————————————————
Störstellenmodelle Ü keine Translationsinvarianz
Störstellen Anderson-Modell (SIAM):
ÿ
ÿ
U ÿ pf q pf q ÿ
:
:
H“
εf fσ fσ `
nσ n´σ ` tij ciσ cjσ ` Vipc:iσ fσ ` H.c.q
2 σ
σ
ijσ
iσ
148
korrelierte (U ą 0) Störstelle (fσ: ) an einem (Zwischen-)Gitterplatz
gekoppelt (Vi) an ein Band (tij ) von Leitungselektronen (c:iσ )
149
150
Green-Funktionen
Spektroskopien
5.1
(großkanonischer) Hamiltonian des Systems:
H “ H ´ µN “ H0 ` H1
Eigenenergien, -zustände:
H|my “ Em|my
ONB: t|myu
|my: Viel-Teilchen-Zustand, zu viel Information
Idee:
(schwache) Störung Ü Antwort des Systems
Anregungsprozess R Ü Wirkungsquerschnitt, Intensität I
Anregungen liefern komprimierte und messbare Information über das System
————————————————————————————————————
151
Photoemission:
R “ cα
winkel- und spinaufgelöst: α “ pk, σq
inverse Photoemission:
R “ c:α
komplementäre Spektroskopie
Auger-Prozess:
R “ cα cβ
Auftrittspotenzialspektroskopie:
R “ c:α c:β
Transport, Raman, Neutronenstreuung, etc.:
R “ c:α cβ
————————————————————————————————————
dies sind elementare Anregungsprozesse
Ein-Teilchen-Anregungen: c:α , cα
Zwei-Teilchen-Anregungen: cα cβ , c:α c:β , c:α cβ
dazu kommen muss eine “Spektroskopie-Theorie”
152
z.B. für die Photoemission in etwa so:
• elektronischer Übergang induziert durch Ankopplung an Strahlungsfeld:
p Ñ p ´ qA
• Vernachlässigung des A2-Terms, Coulomb-Eichung, Dipol-Approximation:
HÑH`V ,
V1 “ A0p
• zweite Quantisierung:
ÿ
ÿ
:
Mβγ a:β cγ ` h.c.
V “ xβ|A0p|γyaβ cγ ` h.c. “
βγ
βγ
mit: a „ hochenergetische Zustände, c „ Valenzzustände
• Endzustand in “sudden approximation”
(keine Wechselwirkung zwischen Photoelektron und Restsystem):
Ef “ Em ` ε α
|f y « a:α |my
• Anfangszustand:
|iy “ |ny
Ei “ En ` hν
mit
aα |ny « 0
• also:
ÿ
ÿ
:
xf |V |iy “ xm|aα pMβγ aβ cγ ` h.c.q|ny “ xm| Mαγ cγ |ny
γ
βγ
• ohne Matrixelemente:
xf |V |iy “ xm|cγ |ny
153
d.h.
R “ cγ
als elementarer Baustein der Photoemission
————————————————————————————————————
Berechnung der Intensität für schwache Störung R:
zunächst T “ 0: System im GZ |0y
Wahrscheinlichkeit für Übergang |0y Ñ |my
|xm|R|0y|2
(Störungstheorie 1. Ordnung in R)
Anregungsenergie:
ω “ E m ´ E0
Intensität „ Dichte der Übergänge mit Anregungsenergie zwischen ω und ω ` dω:
ÿ
IR pωq “
|xm|R|0y|2δpω ´ pEm ´ E0qq
m
(es ist ω ě 0, Em “ Em1 möglich)
• dies ist Fermis goldene Regel, also
zeitabhängige Störungstheorie 1. Ordnung in R
• gültig für schwache Störung
————————————————————————————————————
154
für T ě 0 ist das System anfänglich mit Wahrscheinlichkeit
1
pn “ e´βEn
Z
im Zustand |ny
also:
1 ÿ ´βEn
IR pωq “
e
|xm|R|ny|2δpω ´ pEm ´ Enqq
Z mn
jetzt ist ω ă 0 möglich
————————————————————————————————————
für die komplementäre Spektroskopie mit Operator R: ist:
1 ÿ ´βEn
IR: pωq “
e
|xm|R:|ny|2δpω ´ pEm ´ Enqq
Z mn
1 ÿ ´βEn
e
|xn|R|my|2δpω ´ pEm ´ Enqq
“
Z mn
1 ÿ ´βEm
“
e
|xm|R|ny|2δpω ´ pEn ´ Emqq
(m Ø n)
Z mn
ÿ
βω 1
“e
e´βEn |xm|R|ny|2δp´ω ´ pEm ´ Enqq
Z mn
Ü
IR: pωq “ eβω IR p´ωq
155
bzw.
IR pωq “ eβω IR: p´ωq
Diskussion für R “ cα (Photoemission), R: “ c:α (inverse PE)
• IR: pωq ist für ω ą 0 das normale (IPE) Spektrum
• IR: p´ωq ist für ω ą 0 exponentiell unterdrückt, aber messbar
• Multiplikation mit Exponentialfaktor liefert das normale PE Spektrum
IR pωq “ eβω IR: p´ωq
• aber: die Messfehler werden ebenfalls exponentiell größer, Methode nur geeignet für
ωÑ0
5.2
Spektraldichte
Zusammenfassen von Spektroskopie und komplementärer Spektroskopie durch
Spektraldichte:
ÿ e´βEm ´ ε e´βEn
SAB pωq “
xm|A|nyxn|B|myδpω ´ pEn ´ Emqq
Z
mn
für beliebige Operatoren A, B (hier meist A “ R, B “ R:)
Lehmann-Darstellung
ε “ `1: Kommutator-Spektraldichte
156
ε “ ´1: Antikommutator-Spektraldichte
übliche Wahl:
ε “ εk
k: die Anzahl der Erzeuger/Vernichter sind, aus denen sich A bzw. B aufbaut
————————————————————————————————————
es gilt (A “ R, B “ R:):
1 ÿ ´βEn
SRR: pωq “
e
xn|R|myxm|R:|nyδpω ´ pEm ´ Enqq
Z mn
1 ÿ ´βEm
´ε
e
xn|R|myxm|R:|nyδpω ´ pEm ´ Enqq
Z mn
(nach Umbenennung m Ø n)
und somit:
SRR: pωq “ IR: pωq ´ ε e´βω IR: pωq “ p1 ´ ε e´βω qIR: pωq
es folgt:
eβω
IR: pωq “ βω
S : pωq
e ´ ε RR
mit IR p´ωq “ e´βω IR: pωq ist
157
IR p´ωq “
1
S : pωq
eβω ´ ε RR
und
SRR: pωq “ IR: pωq ´ ε IR p´ωq
Spektraldichte
_
− ε IR(− ω )
IR+( ω )
PE
IPE
ω
0
Diskussion Spektraldichte:
• zentrale formale Größe (äquivalent zur Green-Funktion)
• notwendig für diagrammatische Störungstheorie
• Bezug zum Experiment
• elementare Anregungen des Systems aus dem Gleichgewicht
158
• konzeptionell Nichtgleichgewichtsgröße, für schwache Störung aber gemäß Störungstheorie
1. Ordnung (Fermis goldener Regel) ein thermodynamischer Erwartungswert
————————————————————————————————————
weitere Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Lehmann-Darstellung:
SAB pωq “ ´ε SBAp´ωq
für die Antikommutator-Spektraldichte:
SAA: pωq reell und nicht-negativ (ε “ ´1)
für die Kommutator-Spektraldichte (signpωq “ ˘1 für ω ą 0, ω ă 0):
signpωqSAA: pωq reell und nicht-negativ (ε “ 1)
————————————————————————————————————
Fourier-Transformation:
ż
Xpωq “ exppiωtqXptqdt
1
Xptq “
2π
ż
expp´iωtqXpωqdω
mit der Lehmann-Darstellung ist:
ż
ÿ e´βEm ´ ε e´βEn
1
eipω´pEn´Emqqtdt
SAB pωq “
xm|A|nyxn|B|my
Z
2π
mn
also
159
1 ÿ e´βEm ´ ε e´βEn
xm|A|nyxn|B|mye´iEnteiEmt
SAB ptq “
2π mn
Z
1 ÿ e´βEm ´ ε e´βEn
“
xm|eiHtAe´iHt|nyxn|B|my
2π mn
Z
˘
1 1 ÿ ` ´βEm
´βEn
“
xm|Aptq|nyxn|B|my
e
xm|Aptq|nyxn|B|my ´ ε e
2π Z mn
1
pxAptqBp0qy ´ ε xBp0qAptqyq
2π
und somit:
1
xrAptq, Bp0qs´εy
SAB ptq “
2π
wobei:
“
Aptq “ exppiHtqA expp´iHtq
(großkanonische Heisenberg-Darstellung)
• SAB hat in Zeitdarstellung einfache Form: zeitabhängige Korrelationsfunktion
• zeitabhänigige Korrelationsfunktionen sind Fourier-transformierte Spektren
• (Anti-)Kommutator-Spektraldichte: Namensgebung offsichtlich
• die Vereinbarung ε “ εk macht Sinn:
der auftretende (Anti-)Kommutator kann so auf die fundamentalen (Anti-)Vertauschungsrelationen
zurückgeführt werden
160
————————————————————————————————————
Beispiel: Fermi-Gas
ÿ
H “ pεα ´ µqc:α cα
α
Ein-Teilchen-(Antikommutator)Spektraldichte
ż
ż
1
Aαβ pωq “ Sc c: pωq “ dt eiωtSc c: ptq “
dt eiωtxrcα ptq, c:β p0qs`y
α β
α β
2π
es ist (Lcα “ rcα , Hs´ “ pεα ´ µqcα )
cα ptq “ eiHtcα e´iHt “ e´itLcα “ e´ipεα ´µqtcα
und somit
xrcα ptq, c:β p0qs`y “ e´ipεα ´µqtxrcα , c:β s`y “ e´ipεα ´µqtδαβ
also:
1
Aαβ pωq “
2π
ż
dt eiωte´ipεα ´µqtδαβ
und
Aαβ pωq “ δαβ δpω ´ pεα ´ µqq
ř
für α “ β “ k, H “ k εpkqc:k ck :
Ak pωq “ δpω ´ pεpkq ´ µqq
161
————————————————————————————————————
freies System (keine Wechselwirkung H1) Ü ein δ-Peak
mit H1 ‰ 0 ist allgemein (gemäß Lehmann-Darstellung):
ÿ
Ak pωq “ Sc ,c: pωq “
zr pkqδpω ´ ωr pkqq
k k
r
ωr pkq: Anregungsenergie
zr pkq: spektrales Gewicht
im thermodynamischen Limes, V Ñ 8:
ż
Ak pωq Ñ drzr pkqδpω ´ ωr pkqq
evtl. glatte Funktion von ω Ü Lebensdauerverbreiterung von Bändern
————————————————————————————————————
Lehmann-Darstellung für T “ 0:
ą
ă
SAB pωq “ SAB
pωq ´ ε SAB
pωq
mit
ą
SAB
pωq
ÿ
“
x0|A|myxm|B|0yδpω ´ pEm ´ E0qq (ω ą 0)
m
162
ă
SAB
pωq
ÿ
“
x0|B|myxm|A|0yδpω ´ pE0 ´ Emqq (ω ă 0)
m
————————————————————————————————————
globale Eigenschaften der Spektraldichte:
mit LA “ rA, Hs´ ist ipd{dtqAptq “ LAptq, also
k-tes Moment der Spektraldichte:
ˆ ˙k
ż
ż
ˇ
d
k
´iωt ˇ
dω ω SAB pωq “ dω i
e ˇ SAB pωq
t“0
dt
ˆ ˙k
ż
ˇ
1
d
ˇ
´iωt
“ 2π i
dω e SAB pωqˇ
t“0
dt 2π
ˆ ˙k
ˇ
d
ˇ
SAB ptqˇ
“ 2π i
t“0
dt
ˆ ˙k
ˇ
d
1
ˇ
“ 2π i
xrAptq, Bp0qs´εyˇ
t“0
dt 2π
ˇ
ˇ
“ xrLk Aptq, Bp0qs´εyˇ
t“0
Ü
ż
dω ω k SAB pωq “ xrLk A, Bs´εy
163
0-tes Moment:
ż
dω SAB pωq “ xrA, Bs´εy
Beispiel: A “ ciσ , B “ c:jσ Ü
Ein-Teilchen-Spektraldichte Sc c: pωq “ Aijσ pωq
iσ jσ
ż
dω Aijσ pωq “ xrciσ , c:jσ s´εy “ δij
————————————————————————————————————
Spektraltheorem
betrachte Lehmann-Darstellung:
ÿ e´βEm ´ ε e´βEn
xm|A|nyxn|B|my δpω ´ pEn ´ Emqq
SAB pωq “
Z
mn
für ε “ ´1 (Antikommutator-Spektraldichte) gilt:
1 ÿ ´βEn
βω
SAB pωq “ pe ` 1q
e
xm|A|nyxn|B|my δpω ´ pEn ´ Emqq
Z mn
Ü
ż
ÿ e´βEn
1
dω βω
SAB pωq “
xm|A|nyxn|B|my “ xBAy
e `1
Z
mn
164
————————————————————————————————————
für ε “ `1 (Kommutator-Spektraldichte) gilt:
SAB pωq “
Emÿ
‰En
mn
“ pe
βω
e´βEm ´ e´βEn
xm|A|nyxn|B|my δpω ´ pEn ´ Emqq
Z
E ‰E
1 mÿ n ´βEn
´ 1q
e
xm|A|nyxn|B|my δpω ´ pEn ´ Emqq
Z mn
(beachte, dass Em ‰ En für die Summation, Terme mit Em “ En liefern keinen Beitrag)
somit ist:
(beachte, dass das folgende Integral wohldefiniert ist (für ω Ñ 0), denn in einer Umgebung von ω “ 0 ist SAB pωq “ 0)
ż
Emÿ
‰En ´βEn
e
1
dω βω
SAB pωq “
xm|A|nyxn|B|my “ xBAy ´ DAB
e ´1
Z
mn
mit
DAB “
Emÿ
“En
mn
e´βEn
xm|A|nyxn|B|my
Z
————————————————————————————————————
zusammen:
165
ż
xBAy “
dω
1`ε
1
S
pωq
`
DAB
AB
eβω ´ ε
2
Spektraltheorem
für ε “ `1 treten die Diagonalelemente DAB als Korrekturterm auf!
• vergleiche
ż freies Fermi-Gas:
xN y “
dω f pω ´ µqρ0pωq
• Bedeutung der Fermi(Bose)-Funktion für wechselwirkende Systeme
• Zustandsdichte ρ0pωq ÞÑ SAB pωq Spektraldichte
aber für allgemeine A, B
5.3
Linear-Response-Theorie
• B 2Ω{BλABλB :
statische Störung Ü statische Antwort Ü imag. zeitabh. Korrelationsfunktion
• Theorie elementarer Spektroskopien:
elementare Anregung R Ü Intensität I Ü Spektraldichte
• linear-response-Theorie:
zeitabhängige Störung Ü zeitabhängige Antwort Ü Green-Funktion
166
————————————————————————————————————
betrachte
rt “ H ` λB ptqB mit λB ptq klein und H zeitunabhängig
H
gegeben: zeitabhängige lineare Kopplung an Observable B
gegeben: Observable A, nicht explizit zeitabhängig
gesucht: Antwort xAyt bis zu erster Ordnung in λB ptq (“linear response”):
ˇ
δxAyt ˇˇ
ˇ
δλB pt1q ˇ 1
λB pt q”0
offensichtlich ist
ˇ
xAytˇλ pt1q”0 “ xAy0
B
zeitunabhängig
beachte:
für explizit zeitabhängigen Hamiltonian erfüllt der Gleichgewichts-Dichteoperator nicht
die von Neumannsche Differenzialgleichung:
i
d
rt, ρptqs´
ρptq “ rH
dt
d.h.:
ρptq ‰
1 ´β Hrt
e
Z
167
————————————————————————————————————
Herleitung der Bewegungsgleichung:
ÿ
d ÿ
d
rt|myxm|´|myxm|H
rtq “ rH
rt, ρptqs´
pm|myxm| “
p m pH
i ρptq “ i
dt
dt m
m
————————————————————————————————————
Bestimmung von ρptq?
• Lösen der von Neumannschen DGL mittels zeitabhängiger Störungstheorie
(1. Ordnung)
• gerechtfertigt bei schwacher Zeitabhängigkeit (langsam oder schnell)
(hinreichend allgemeiner) Ansatz für ρptq:
ρptq “ e´iHtρ1ptqeiHt
entspricht Übergang zum Wechselwirkungs- bzw. Dirac-Bild
damit ist:
ˆ
˙
d
d
i ρptq “ Hρptq ´ ρptqH ` e´iHt i ρ1ptq eiHt
dt
dt
und:
rt, ρptqs´ “ rH, ρptqs´ ` λB ptqrB, ρptqs´
rH
mit der von Neumannschen DGL für ρptq folgt:
168
ˆ
e´iHt
˙
d
i ρ1ptq eiHt “ λB ptqrB, ρptqs´ “ λB ptqrB, e´iHtρ1ptqeiHts´
dt
also:
d
ρ1ptq “ eiHt rλB ptqB, e´iHtρ1ptqeiHts´ e´iHt
dt
und somit:
d
i ρ1ptq “ rλB ptqeiHtBe´iHt, ρ1ptqs´
dt
Bewegungsgleichung für ρ1ptq
i
————————————————————————————————————
Umwandeln in Integralgleichung
Anfangsbedingung:
λB ptq Ñ 0 für t Ñ ´8 (“Einschalten der Störung”)
dann ist:
ρptq Ñ e´βH {Z
bzw.
ρ1ptq Ñ e´βH {Z für t Ñ ´8
also:
żt
1 ´βH
1
1
ρ1ptq “ e
´i
dt1 rλB pt1qeiHt Be´iHt , ρ1pt1qs´
Z
´8
Iterieren und Abbrechen nach 1. Ordnung:
169
żt
1 ´βH
1
1 1
ρ1ptq “ e
´i
dt1 rλB pt1qeiHt Be´iHt , e´βH s´ ` Opλ2B q
Z
Z
´8
nach der Bestimmung von ρ1ptq folgt für ρptq:
żt
1 ´βH
1
1 1
´i
dt1 e´iHtrλB pt1qeiHt Be´iHt , e´βH s´eiHt ` Opλ2B q
ρptq “ e
Z
Z
´8
also:
żt
1
1 ´βH
1
1
dt1 λB pt1qre´iHpt´t qBeiHpt´t q, e´βH s´ ` Opλ2B q
ρptq “ e
´i
Z
Z
´8
————————————————————————————————————
jetzt ist der Zustand bekannt, es folgt die Berechnung von xAyt:
xAyt “ Sp pρptqAq
also
`
˘
1
xAyt “ Sp e´βH A ´ i
Z
żt
ˆ
dt1 λB pt1q Sp
´iHpt´t1 q
re
´8
Be
iHpt´t1 q
1
, e´βH s´A
Z
unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung Opλ2B q
erster Term: Gleichgewichtserwartungswert für λB ptq ” 0
˙
ˆ
żt
1
1
1
xAyt “ xAy0 ´ i
dt1 λB pt1q Sp re´iHpt´t qBeiHpt´t q, e´βH s´ A
Z
´8
zweiter Term: Ausnutzen der zyklischen Invarianz der Spur
170
˙
Z Sp p¨ ¨ ¨ q
´
¯
´
¯
´iHpt´t1 q
iHpt´t1 q ´βH
´βH ´iHpt´t1 q
iHpt´t1 q
Be
e
A ´ Sp e
e
Be
A
“ Sp e
´
¯
´
¯
´βH
´iHpt´t1 q
iHpt´t1 q
´βH ´iHpt´t1 q
iHpt´t1 q
“ Sp e
Ae
Be
´ Sp e
e
Be
A
´
¯
´
¯
´βH iHt
´iHt iHt1
´iHt1
´βH iHt1
´iHt1 iHt
´iHt
“ Sp e
e Ae
e Be
´ Sp e
e Be
e Ae
“ ZxAptqBpt1qy ´ ZxBpt1qAptqy
“ ZxrAptq, Bpt1qs´y
beachte:
Aptq “ eiHtAe´iHt
“freie” (Heisenbergsche) Zeitabhängigkeit
1
“freier” Erwartungswert
xAy “ Sp e´βH A “ xAy0
Z
damit folgt (bis auf Terme der Ordnung Opλ2B q):
żt
xAyt “ xAy0 ´ i
dt1 λB pt1qxrAptqBpt1qs´y
´8
oder:
ˇ
δxAyt ˇˇ
ˇ
δλB pt1q ˇ
pretq
“ ´iΘpt ´ t1qxrAptqBpt1qs´y “ GAB pt, t1q
λB pt1 q”0
171
Kubo-Formel
• Nichtgleichgewichtseigenschaften des gestörten Systems H ` λB ptqB werden bis
zu linearer Ordnung in λB ptq durch Gleichgewichtseigenschaften des Systems H
bestimmt !
der lineare Response ist gegeben durch die:
retardierte Kommutator-Green-Funktion
pretq
GAB pt, t1q “ ´iΘpt ´ t1qxrAptqBpt1qs´y “ xxAptq; Bpt1qyypretq
da H nicht explizit zeitabhängig ist, gilt
pretq
pretq
GAB pt, t1q “ GAB pt ´ t1q
Homogenität der Green-Funktion
+
Übung
der Faktor Θpt ´ t1q ist Ausdruck des Kausalitätsprinzips
Die Reaktion des Systems zur Zeit t kann nicht von einer zur Zeit t1 ą t vorliegenden
Störung verursacht werden.
————————————————————————————————————
Diskussion:
• Zusammenhang mit Spektraldichte:
pretq
GAB pt, t1q “ ´iΘpt ´ t1qxrAptqBpt1qs´y “ ´2πiΘpt ´ t1qSAB pt ´ t1q
pretq
• GAB pt, t1q und SAB pt ´ t1q haben gleichen Informationsgehalt
(Formel zur Berechnung von S bei gegebenem G: siehe unten)
172
• linear-response-Theorie systematischer als Theorie der elementaren Anregungen oben
pretq
• linear-response-Theorie motiviert GAB pt, t1q nur für hermitesche A, B,
nicht für A “ cα , B “ c:β
————————————————————————————————————
definiere:
∆Aptq “ xAyt ´ xAy
Fourier-Transformation:
ż
1
∆Aptq “
dω e´iωt∆Apωq
2π
ż
1
1
λB pt1q “
dω e´iωt λB pωq
2π
ż
1
1
pretq
pretq
dω e´iωpt´t qGAB pωq
GAB pt ´ t1q “
2π
damit gilt:
ż8
pretq
∆Aptq “
dt1 GAB pt ´ t1qλB pt1q
´8
ż8
ż
1
1
pretq
“
dt1 GAB pt ´ t1q
dω e´iωt λB pωq
2π
´8
ż
ż
1
1 pretq
“
dω e´iωtλB pωq dt1 eiωt GAB pt1q
2π
173
mit der Substitution t1 Ñ t ´ t1
ż
1
pretq
“
dω e´iωtGAB pωqλB pωq
2π
damit ist also:
pretq
∆Apωq “ GAB pωqλB pωq
also:
• Im linear-response-Bereich bewirkt eine mit ω oszillierende zeitabhängige Störung
eine Antwort des Systems, die mit gleicher Frequenz oszilliert!
• Ein response bei anderen Frequenzen als ω zeigt, dass die Störung zu stark ist, um in
erster Ordnung behandelt werden zu können (Beispiele: Spektroskopien mit starken
Laser-Feldern, Frequenzverdopplung, nichtlineare Optik).
5.4
Frequenzabhängige Green-Funktion
Systematische Diskussion der Green-Funktion als zentraler Größe der Viel-Teilchen-Theorie,
zunächst die retardierte Green-Funktion.
pretq
Darstellung von GAB pωq mit Hilfe der Spektraldichte:
ż
ż
pretq
pretq
GAB pωq “ dt eiωtGAB ptq “ dt eiωtp´2πiqΘptqSAB ptq
174
ż
ż
1
1
“ dt eiωtp´2πiqΘptq
dω 1 e´iω tSAB pω 1q
2π
ż
ż
1
“ dω 1 SAB pω 1q dt eipω´ω qtp´iqΘptq
das t-Integral ist eine Distribution:
pretq
pretq
(nach physikalisch sinnvoller Regularisierung: GAB ptq ÞÑ limηŒ0 GAB ptqe´ηt)
ż
ż
1
1
dt eipω´ω qtp´iqΘptq “ lim dt eipω´ω `iηqtp´iqΘptq
ηŒ0
ˇ8
1
ipω´ω 1 `iηqt ˇ
“ lim p´iq
e
ˇ
ηŒ0
0
ipω ´ ω 1 ` iηq
1
“ lim
ηŒ0 ω ´ ω 1 ` iη
1
“
ω ´ ω 1 ` i0`
damit folgt:
ż
SAB pω 1q
pretq
1
GAB pωq “ dω
ω ´ ω 1 ` i0`
Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion
Verallgemeinerung:
zu beliebigem A, B definiere
175
(Anti-)Kommutator-Green-Funktion
ż8
1
1 SAB pω q
dω
GAB pωq “
ω 1 P R, ω R R !
1
ω´ω
´8
Spektraldarstellung der Green-Funktion
dies ist die Green-Funktion schechthin, sie umfasst:
retardierte Green-Funktion
pretq
GAB pωq “ GAB pω ` i0`q (ω reell)
avancierte Green-Funktion
pavq
GAB pωq “ GAB pω ´ i0`q (ω reell)
thermische Green-Funktion, Matsubara-Funktion
pMq
GAB pωnq “ GAB piωnq
mit
ωn “ p2n ` 1qπT
ωn “ 2nπT
n P Z (Fermionen)
n P Z (Bosonen)
————————————————————————————————————
Eigenschaften von GAB pωq ?
176
es ist:
1 ÿ ´βEm
SAB pωq “
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|myδpω ´ pEn ´ Emqq
Z mn
durch Einsetzen folgt unmittelbar:
1 ÿ ´βEm
1
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|my
GAB pωq “
Z mn
ω ´ pEn ´ Emq
Lehmann-Darstellung der Green-Funktion
————————————————————————————————————
analytische Eigenschaften von GAB pωq
• GAB pωq ist eine analytische Funktion auf CzR
• für L ă 8 (vor dem thermodynamischen Limes):
diskrete Eigenenergien En, diskrete Anregungsenergien ωnm “ En ´ Em
GAB pωq besitzt Pole erster Ordnung bei ω “ ωnm P R
• im thermodynamischen Limes: ggfs. kontinuierliches Anregungsspektrum
mit Verzweigungsschnitten der Green-Funktion auf der reellen Achse
• Pole von GAB pωq: Anregungsenergien des Systems
• Residuum von GAB pωq in ω “ En ´ Em:
anm “ limωÑEn´Em pω ´ En ´ EmqGAB pωq
1
anm “ pe´βEm ´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|my
Z
177
nur bestimmte Pole besitzen ein nichtverschwindendes Residuum
(d.h. sind nicht hebbar)
Green-Funktion beschreibt die für die jeweilige Spektroskopie, zeitabhängige Störung
charakteristischen Anregungen
• GAB pωq “
anm
ω ´ ωnm
nm
ÿ
• häufiger Spezialfall: B “ A:
hier ist:
anm “
1 ´βEm
pe
´ ε e´βEn q|xm|A|ny|2
Z
Antikommutator-Green-Funktion (ε “ ´1): anm ě 0
Kommutator-Green-Funktion (ε “ `1):
anm ě 0 für ωnm ě 0 (En ě Em)
anm ď 0 für ωnm ď 0 (Em ě En)
178
Im ω
Pole von G
Re ω
Ü Anwendungen der Funktionentheorie
————————————————————————————————————
Schreibweise:
GAB pωq “ xxA; Byyω
Bilinearität der Green-Funktion bezüglich der Operatoren A und B:
xxc1A1 ` c2A2; Byyω “ c1xxA1; Byyω ` c2xxA2; Byyω
xxA; c1B1 ` c2B2yyω “ c1xxA; B1yyω ` c2xxA; B2yyω
————————————————————————————————————
A, B Erhaltungsgrößen Ü Green-Funktion trivial
179
Beispiel: rB, Hs´ “ 0
dies impliziert:
1 ÿ ´βEm
1
xxA; Byyω “
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nybmxn|my
Z mn
ω ´ pEn ´ Emq
ÿ
1
1
“ p1 ´ εq e´βEm xm|AB|my
Z
ω
m
xABy
xBAy
“ p1 ´ εq
ω
ω
für ε “ `1 (Kommutator-Green-Funktion): der linear response verschwindet
(außer für ω “ 0)
“ p1 ´ εq
betrachte z.B.
ř
• homogenes Magnetfeld koppelt an B “ Stot,z “ i Siz (kommutiert mit H)
Ü nur statischer response (ω “ 0)
ř
• (hypothetisches) alternierendes Magnetfeld koppelt an B “ ip´1qiSiz (kommutiert nicht mit H)
Ü dynamischer response möglich
————————————————————————————————————
weitere Eigenschaften?
es gilt:
180
1 ÿ ´βEm
1
GBApωq “
pe
´ ε e´βEn qxm|B|nyxn|A|my
Z mn
ω ´ pEn ´ Emq
1
1 ÿ ´βEn
pe
´ ε e´βEm qxm|A|nyxn|B|my
“
Z mn
ω ´ pEm ´ Enq
1ÿ
1
“ ´ε
pε e´βEn ´ e´βEm qxm|A|nyxn|B|my
Z mn
´ω ´ pEn ´ Emq
1 ÿ ´βEm
1
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|my
“ε
Z mn
´ω ´ pEn ´ Emq
also:
GBApωq “ ε GAB p´ωq
————————————————————————————————————
Verhalten von GAB pωq für ω Ñ 8
ż8
1
1 SAB pω q
GAB pωq “
dω
ω ´ ω1
´8
ż
1 8
1
“
dω 1 SAB pω 1q
ω ´8
1 ´ ω 1{ω
ż
8
ÿ
1 8
“
dω 1 SAB pω 1q pω 1{ωqk
ω ´8
k“0
181
8
ÿ
“
k“0
1
ż8
ω k`1
dω 1 SAB pω 1q ω 1
k
´8
k-tes Moment der Spektraldichte :
ż8
k
dω 1 SAB pω 1q ω 1 “ xrLk A, Bs´εy
´8
mit LA “ rA, Hs´
also:
8
ÿ
xrLk A, Bs´εy
GAB pωq “
k`1
ω
k“0
insbesondere:
xrA, Bs´εy
für ω Ñ 8
ω
————————————————————————————————————
GAB pωq Ñ
Verhalten von GAB pωq für ω Ñ 0
pDq
GAB pωq “ G1AB pωq ` GAB pωq
wobei:
G1AB pωq
E ‰E
1 mÿ n ´βEm
1
“
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|my
Z mn
ω ´ pEn ´ Emq
182
pDq
GAB pωq
E “E
1 mÿ n ´βEm
1
“
pe
´ ε e´βEn qxm|A|nyxn|B|my
Z mn
ω ´ pEn ´ Emq
es ist:
lim G1AB pωq “ G1AB p0q
ωÑ0
lim ωG1AB pωq “ 0
ωÑ0
(kein Pol bei ω “ 0)
andererseits ist für ω ‰ 0:
pDq
GAB pωq
E “E
1 mÿ n ´βEn
1´ε
1
“ p1 ´ εq
DAB
e
xm|A|nyxn|B|my “
Z mn
ω
ω
insgesamt:
lim ωGAB pωq “ p1 ´ εq DAB
ωÑ0
Antikommutator-Green-Funktion (ε “ ´1):
GAB pωq hat bei ω “ 0 einen Pol 1. Ordnung mit Residuum 2DAB
Kommutator-Green-Funktion (ε “ `1):
GAB pωq ist analytisch bei ω “ 0
• beachte: bei Anwendung des Spektraltheorems wird DAB im Falle der KommutatorSpektraldichte benötigt
183
5.5
Retardierte und avancierte Green-Funktion
• Für gegebene Spektraldichte ist die Green-Funktion über die Spektraldarstellung
bestimmt. Diese Relation lässt sich (zumindest für reelle Spektraldichte) auch invertieren. Damit besitzen Green-Funktion und Spektraldichte den gleichen Informationsgehalt.
Dirac-Identität:
1
1
1
1
“
P
´
iπδpxq
analog:
“
P
` iπδpxq
x ` i0`
x
x ´ i0`
x
beachte:
ż
ż
1
1
f
pxq
“
lim
dx
f pxq
dx
ηŒ0
x ` i0`
x ` iη
ˆż ´η ż 8˙
ż
1
1
dxP f pxq “ lim
`
dx f pxq
ηŒ0
x
x
´8
η
ż
dxδpxqf pxq “ f p0q
für ω P R und SAB pωq reell gilt:
ż
ż
1
1
1
S
pω
q
AB
´ Im GAB pω ` i0`q “ ´ Im dω 1
“ dω 1SAB pω 1qδpω ´ ω 1q
`
1
π
π
ω ` i0 ´ ω
also:
184
1
1
pretq
SAB pωq “ ´ Im GAB pω ` i0`q “ ´ Im GAB pωq (ω reell)
π
π
(Darstellung von S mit retardierter Green-Funktion)
und:
1
1
pavq
Im GAB pω ´ i0`q “ Im GAB pωq (ω reell)
π
π
(Darstellung von S mit avancierter Green-Funktion)
SAB pωq “
————————————————————————————————————
pretq
pavq
GAB pωq (GAB pωq) kann in die obere (untere) komplexe Halbebene analytisch fortgesetzt werden (und ist dort mit GAB pωq identisch)
185
Im ω
Im ω
Pole von G(av)
Re ω
Re ω
Pole von G(ret)
• Man kann die analytischen Eigenschaften von retardierter und avancierter GreenFunktion ausnutzen, um eine Relation zwischen ihren Real- und Imaginärteilen herzuleiten.
pretq
GAB pωq analytisch für Im ω ě 0
also:
¿
0“
pretq
G pωq
dω 1 AB
ω ´ ω ´ i0`
(ω 1 reell)
C
pretq
– Pole von GAB pωq unterhalb der reellen Achse
– weiterer Pol des Integranden bei ω “ ω 1 ´ i0`
186
Im ω
C
Re ω
Pole von G
pretq
wegen GAB pωq Ñ
ż8
xrA, Bs´εy
für ω Ñ 8 folgt:
ω
pretq
G pωq
0“
dω 1 AB
ω ´ ω ´ i0`
´8
Ausnutzen der Dirac-Identität
ż
pretq
GAB pωq
pretq
0 “ P dω 1
` iπGAB pω 1q
ω ´ω
somit:
ż
pretq
1
i
pretq
1 GAB pω q
GAB pωq “ P dω
(ω reell)
π
ω ´ ω1
187
(ret)
und:
ż
pretq
1
1
pretq
1 Im GAB pω q
Re GAB pωq “ ´ P dω
π
ω ´ ω1
ż
pretq
1
Re
G
1
pretq
1
AB pω q
Im GAB pωq “ P dω
(Kramers-Kronig-Relationen)
π
ω ´ ω1
avancierte Green-Funktion: analoge Relationen
————————————————————————————————————
Fourier-Transformation
ż
Gpωq “ dt eiωtGptq
ż
1
Gptq “
dω e´iωtGpωq
2π
pretq
pavq
ω reelle Variable! Ü Fourier-Transformation nur für GAB pωq und GAB pωq
es gilt:
1
2π
ż
dω e´iωt
1
´iω 1 t ¯0` t
“
¯iΘp˘tqe
e
ω ´ ω 1 ˘ i0`
Beweis (für oberes Vorzeichen):
schon oben wurde gezeigt:
188
`t
´iΘptqe´0
ùñ
1
ω ` i0`
also auch:
1
´0` t
ùñ
´iΘptqe
ω ` i0`
————————————————————————————————————
direkter Beweis:
Integrationswege:
t>0
t<0
sei t ą 0, Im ω ă 0 auf dem Integrationsweg Ü
ż
¿
1 8
1
1
1
´iωt
dω e´iωt
“
dω
e
2π ´8
ω ´ ω 1 ` i0` 2π
ω ´ ω 1 ` i0`
C
“
1
1
2πip´1qresω1 pe´iωt
q
2π
ω ´ ω 1 ` i0`
1
`t
“ ´ie´iω te´0
sei t ă 0, Im ω ą 0 auf dem Integrationsweg Ü
189
1
2π
ż8
1
1
dω e´iωt
“
ω ´ ω 1 ` i0` 2π
´8
¿
dω e´iωt
1
“0
ω ´ ω 1 ` i0`
C
insgesamt:
ż
1
1 8
´iω 1 t ´0` t
dω e´iωt
“
´iΘptqe
e
2π ´8
ω ´ ω 1 ` i0`
zweites Vorzeichen: analog
————————————————————————————————————
damit gilt:
ż
1
pretq
pretq
GAB ptq “
dω e´iωtGAB pωq
2π
ż
ż
SAB pω 1q
1
´iωt
1
dω e
dω
“
2π
ω ` i0` ´ ω 1
ż
1
`
“ dω 1SAB pω 1qp´iqΘptqe´iω te´0 t
`t
“ p´iqΘptq2π SAB ptqe´0
`t
“ ´iΘptqxrAptq, Bp0qs´εye´0
unter Ausnutzung der Homogenität der Green-Funktion:
` pt´t1 q
pretq
GAB pt ´ t1q “ ´iΘpt ´ t1qxrAptq, Bpt1qs´εye´0
190
analog:
` pt´t1 q
pavq
GAB pt ´ t1q “ iΘpt1 ´ tqxrAptq, Bpt1qs´εye0
` pt´t1 q
• der konvergenzerzeugende Faktor e¯0
5.6
kann in vielen Fällen weggelassen werden
Bewegungsgleichung
mit der Heisenberg-Gleichung gilt:
d
d pret{avq
i GAB ptq “ i r¯iΘp˘tqxrAptq, Bp0qs´εys
dt „
 dt
„

d
d
Θp˘tq xrAptq, Bp0qs´εy ¯ iΘp˘tq i xrAptq, Bp0qs´εy
“˘
dt
dt
“ δptqxrAptq, Bp0qs´εy ¯ iΘp˘tqxrrA, Hs´ptq, Bp0qs´εy
also:
i
d
xxAptq; Bp0qyypret{avq “ δptqxrA, Bs´εy ` xxrA, Hs´ptq; Bp0qyypret{avq
dt
Bewegungsgleichung der Green-Funktion
Randbedingung:
xxAptq; Bp0qyypret{avq “ 0 für t ă 0/t ą 0
191
• xxrA, Hs´ptq; Bp0qyypret{avq: “höhere” Green-Funktion
• Die “höhere” Green-Funktion ist i.allg. (nämlich wenn H nicht nur bilinear ist) aus
mehr Erzeugern/Vernichtern aufgebaut als xxrAptq; Bp0qs´εyypret{avq
Fourier-Transformation:
xxAptq; Bp0qyypret{avq Ø xxA; Byypret{avq
ω
δptq Ø 1
d
i Øω
dt
Bewegungsgleichung für die frequenzabhängige Green-Funktion:
ωxxA; Byyωpret{avq “ xrA, Bs´εy ` xxrA, Hs´; Byypret{avq
ω
• rein algebraisch
• sowohl der Kommutator als auch der Kommutator/Antikommutator treten auf
Bewegungsgleichung für höhere Green-Funktion:
ωxxrA, Hs´; Byypret{avq
“ xrrA, Hs, Bs´εy ` xxrrA, Hs, Hs´; Byypret{avq
ω
ω
• Dies ergibt eine Kette von immer komplexeren Bewegungsgleichungen. In Spezialfällen
kann die Hierarchie der Bewegungsgleichungen abbrechen; dann liefert das Lösen der
Bewegungsgleichungen ein einfaches und elegantes Verfahren zur Bestimmung von
Green-Funktionen.
192
• Retardierte und avancierte Green-Funktion erfüllen dieselbe Bewegungsgleichung der
Unterschied liegt in den spezifischen Randbedingungen:
ω Ñ ω ˘ i0`
Ü retardierte/avancierte Green-Funktion
pret{avq
• die Green-Funktion GAB pωq ist die analytische Fortsetzung von GAB
obere bzw. untere komplexe Halbebene, also:
pωq in die
Ü Green-Funktion GAB pωq
ω P CzR
————————————————————————————————————
Beispiel: Ein-Teilchen-Green-Funktion
Gαβ pωq “ xxcα ; c:β yyω
ε“ε!
Bewegungsgleichung:
ωxxcα ; c:β yyω “ xrcα , c:β s´εy ` xxrcα , Hs´; c:β yyω
betrachte bilinearen Hamiltonian ohne Wechselwirkung:
ÿ
H“
tαβ c:α cβ
αβ
dann ist:
rcα , Hs´ “
ÿ
ptα1β 1 ´ µδα1β 1 qrcα , c:α1 cβ 1 s´
α1 β 1
für ε “ ´1 (Fermionen) und ε “ 1 (Bosonen) ist gleichermaßen:
193
rcα , c:α1 cβ 1 s´ “ δαα1 cβ 1
also:
rcα , Hs´ “
ÿ
ptαβ 1 ´ µδαβ 1 qcβ 1
β1
und
ωxxcα ; c:β yyω
“ δαβ `
ÿ
ptαβ 1 ´ µδαβ 1 qxxcβ 1 ; c:β yyω
β1
• Die Kette der Bewegungsgleichungen bricht also ab. Wegen des fehlenden Wechselwirkungsterms tritt keine neue höhere Green-Funktion auf.
Matrixschreibweise:
ωGpωq “ 1 ` pt ´ µ1qGpωq
Lösen der Gleichung durch Matrixinversion:
Gpωq “
1
(Green-Funktion für ω P CzR)
ω`µ´t
retardierte/avancierte Green-Funktion:
Gpωqpret{avq “
1
ω ˘ i0` ` µ ´ t
• Diese besonders einfache Form für die Green-Funktion ohne Temperaturabhängigkeit
194
und mit trivialer µ-Abhängigkeit ist eine Konsequenz der nicht betrachteten Wechselwirkung.
————————————————————————————————————
unitäre Transformation der Ein-Teilchen-ONB:
ÿ
ÿ
:
1
Uαα1 c:α
|α y “
Uαα1 |αy
cα 1 “
α
α
damit:
xxcα1 ; c:β 1 yyω
ÿ
ÿ
ÿ :
:
˚
“ xx Uαα1 cα ; Uββ 1 cβ yyω “
Uα1α xxcα ; c:β yyω Uββ 1
α
β
αβ
also:
G1pωq “ U :GpωqU
• Die Ein-Teilchen-Green-Funktion transformiert sich bei unitärer Transformation der
ONB genauso wie die Hopping-Matrix t.
Konsistenzcheck:
1
1
“
ω ` µ ´ t1 ω ` µ ´ U :tU
1
1
1
1
“ :
“
U ω ` µ ´ t U:
U pω ` µ ´ tqU
G1pωq “
195
1
U “ U :GpωqU
ω`µ´t
(beachte: 1{pABCq “ p1{Cqp1{Bqp1{Aq für Matrizen A, B, C.)
“ U:
sei U die Transformation, die t diagonalisiert:
(bei translationsinvariantem Gitter: Fourier-Transformation i Ø k)
ε “ U :tU diagonal Ü G1 diagonal mit Elementen
1
Gmpωq “
ω ` µ ´ εm
retardierte Green-Funktion:
1
pretq
Gm
pωq “ Gmpω ` i0`q “
ω ` i0` ` µ ´ εm
Ein-Teilchen-Spektraldichte:
1
Ampωq “ ´ ImGpretq
m pωq “ δpω ` µ ´ εm q
π
(Die übliche Bezeichnung für die Ein-Teilchen-Spektraldichte: A...pωq)
Bilinearität der Spektraldichte SAB pωq bzgl. A, B Ü
ÿ
:
Aαβ pωq “
Uαmδpω ` µ ´ εmqUmβ
m
196
5.7
Selbstenergie und Dyson-Gleichung
• Ein Wechselwirkungsterm im Hamiltonian führt i.allg. dazu, dass die Kette der
Bewegungsgleichungen nicht mehr abbricht, dass also die höhere Green-Funktion sich
nicht durch die Ausgangs-Green-Funktion ausdrücken lässt. Für die Ein-TeilchenGreen-Funktion kann dieses Problem auf die sogenannte Selbstenergie verschoben
werden, die hier kurz diskutiert werden soll. Die volle Bedeutung der Selbstenergie
zeigt sich aber erst in Zusammenhang mit der diagrammatischen Störungstheorie.
Hamiltonian H “ H0 ` H1:
ÿ
1 ÿ
:
H“
tαβ cα cβ `
Uαβγδ c:α c:β cδ cγ
2 αβγδ
αβ
Bewegungsgleichung der Ein-Teilchen-Green-Funktion xxcα ; c:β yyω :
ωxxcα ; c:β yyω “ δαβ ` xxrcα , H0s´; c:β yyω ` xxrcα , H1s´; c:β yyω
(H “ H0 ` H1)
es ist:
rcα , Hs´ “
ÿ
ptαγ ´ µδαγ qcγ
γ
Dieser Term bereitet also keine Schwierigkeiten und führt wieder auf die Ein-TeilchenGreen-Funktion.
————————————————————————————————————
197
Definition der Selbstenergie Σαβ pωq:
ÿ
:
Σαγ pωq xxcγ ; c:β yyω
xxrcα , H1s´; cβ yyω ”
für ω P CzR
γ
pretq
retardierte Selbstenergie Σαβ pωq “ Σαβ pω ` i0`q
pavq
avancierte Selbstenergie Σαβ pωq “ Σαβ pω ´ i0`q
————————————————————————————————————
damit ist:
ωxxcα ; c:β yyω
“ δαβ `
ÿ
ptαγ ´
µδαγ qxxcγ ; c:β yyω
γ
ÿ
`
Σαγ pωq xxcγ ; c:β yyω
γ
Matrix-Schreibweise (Matrix Gpωq mit Elementen Gαβ pωq “ xxcα ; c:β yyω ):
ω Gpωq “ 1 ` pt ´ µ1q Gpωq ` Σpωq Gpωq
auflösen:
Gpωq “
1
ω ` µ ´ t ´ Σpωq
H1 “ 0 Ü Gpωq “ Gp0qpωq “
1
Ü Σpωq “ 0
ω`µ´t
• Die Selbstenergie beschreibt also sämtliche Wechselwirkungseffekte. Die wechselwirkende Green-Funktion erscheint als freie Green-Funktion eines effektiven Hamil198
peffq
tonians H0 , der aus H0 durch die Ersetzung t Ñ t ` Σpωq hervorgeht. Diese
Sichtweise ist allerdings wegen der ω-Abhängigkeit und vor allem wegen der für
peffq
nicht-reelle ω vorliegenden Nicht-Hermitizität von H0 problematisch.
mit
Gp0qpωq “
1
ω`µ´t
freie Green-Funktion
folgt:
Gpωq “
1
Gp0qpωq´1 ´ Σpωq
also:
Σpωq “ Gp0qpωq
´1
´ Gpωq´1
(alternative Definitionsmöglichkeit für die Selbstenergie)
Multiplikation mit Gp0q (von links) und mit G (von rechts):
Gp0qpωqΣpωqGpωq “ Gpωq ´ Gp0qpωq
und damit:
Gpωq “ Gp0qpωq ` Gp0qpωqΣpωqGpωq (Dyson-Gleichung)
iterieren:
´
¯
p0q
p0q
Gpωq “ G pωq ` G pωqΣpωq G pωq ` G pωqΣpωqGpωq
p0q
p0q
199
“ Gp0qpωq ` Gp0qpωqΣpωqGp0qpωq ` ¨ ¨ ¨
• Die Entwicklung zeigt, dass sich die volle Green-Funktion aus der freien GreenFunktion durch wiederholte “Wechselwirkungsprozesse” ergibt. Dies hat in der
Diagrammtheorie eine tiefere Bedeutung.
————————————————————————————————————
Verhalten von Σpωq für große |ω|
es ist:
Gαβ pωq “
8
ÿ
xrLk cα , c:β s´εy
k“0
ω k`1
k “ 0:
xrcα , c:β s´εy “ δαβ
k “ 1:
Lcα “ rcα , H0s´ ` rcα , H1s´
es ist (für ε “ ˘1):
ÿ
rcα , H0s´ “ ptαγ ´ µδαγ qcγ
γ
und:
200
1ÿ
rcα , H1s´ “
pUαβδγ ` εUβαδγ qc:β cγ cδ
2 βγδ
ÿ
:
rrcα , H1s´, cβ s´ε “ pUαγβδ ` εUγαβδ qc:γ cδ
+ Übung
γδ
und somit:
Gαβ pωq “
1
δαβ
` 2
ω
ω
˜
¸
tαβ ´ µδαβ `
ÿ
pUαγβδ ` εUγαβδ qxc:γ cδ y
γδ
definiere:
pHFq
Σαβ
ÿ
“
pUαγβδ ` εUγαβδ qxc:γ cδ y
γδ
pHFq
• Σαβ war im Zusammenhang mit statischer Mean-Field-Theorie
als effektives Potenzial im Referenzsystem eingeführt worden
damit ist:
¯
1
1 ´
pHFq
Gpωq “ ` 2 t ´ µ ` Σ
` Opω ´3q
ω ω
und es folgt:
1
Σpωq “ ω ` µ ´ t ´
Gpωq
201
` Opω ´3q
“ω`µ´t´
1
´
¯
pHFq
ω ´1 ` ω ´2 t ´ µ ` Σ
` Opω ´3q
ω
´
¯
pHFq
1 ` ω ´1 t ´ µ ` Σ
` Opω ´2q
´
´
¯
¯
pHFq
´1
´2
“ω`µ´t´ω 1´ω
t´µ`Σ
` Opω q
“ω`µ´t´
also:
Σpωq “ ΣpHFq ` Opω ´1q
• statische Mean-Field-Theorie approximiert also die Selbstenergie
durch ihren statischen Hochfrequenzanteil ΣpHFq
————————————————————————————————————
man kann zeigen:
Σpωq analytisch in CzR, Pole 1. Ordnung auf R
also Definition der retardierten/avancierten Selbstenergie sinnvoll
Kramers-Kronig-Relationen für die retardierte Selbstenergie:
• Für den Beweis hat man lediglich GAB pωq durch Σpretqpωq ´ ΣpHFq zu ersetzen.
202
ż
pretq
1
pω 1q
pretq
pHFq
1 Im Σ
Re Σ pωq “ Σ
´ P dω
π
ω ´ ω1
ż
pretq
1
pω 1q ´ ΣpHFq
pretq
1 Re Σ
Im Σ pωq “ P dω
(falls ΣpHFq reell)
1
π
ω´ω
(analoge Relationen gelten für die avancierte Selbstenergie)
203
204
Green-Funktionen: Einfache Anwendungen
• Hier sollen einige Anwendungen des Formalismus der Green-Funktionen vorgestellt
werden, um zu zeigen, wie man (lösbare) Probleme effizient lösen kann und einfache Approximationen (für nicht lösbare Probleme) konstruiert werden können.
Im Vordergrund stehen dabei die Bewegungsgleichungsmethode und Entkopplungsschemata. Weitere methodische Zugänge zur Berechnung von Green-Funktionen (Diagrammtechnik, Pfadintegral funktionaltheoretische Methoden) werden erst später
diskutiert.
6.1
Atomares Hubbard-Modell
atomares Hubbard-Modell (Fermionen, ε “ ´1):
ÿ
Uÿ
:
nσ n´σ
H“
ε0cσ cσ `
2
σ
σ
ř
• Strenggenommen ist ein Modell H “ i Hi voneinander unabhängiger atomarer
205
Modelle Hi mit i “ 1, ..., L zu betrachten, wobei L Ñ 8, um sinnvollerweise
Statistik für T ą 0 diskutieren zu können bzw. um den großkanonischen Dichteoperator als (gemischten) Zustand des Systems rechtfertigen zu können. Die Ergebnisse
ř
sind aber trivial von Hi auf H “ i Hi zu übertragen.
Ein-Teilchen-Green-Funktion:
Gσ pωq “ xxcσ ; c:σ yyω
Kommutator: (nσ “ c:σ cσ )
rcσ , Hs´ “ pε0 ´ µqcσ ` U cσ n´σ
Bewegungsgleichung:
ωGσ pωq “ 1 ` pε0 ´ µqGσ pωq ` U Γσ pωq
höhere Green-Funktion
Γσ pωq “ xxcσ n´σ ; c:σ yyω
Bewegungsgleichung:
ωΓσ pωq “ xrcσ n´σ , c:σ s`y ` xxrcσ n´σ , Hs´; c:σ yyω
“ xn´σ y ` pε0 ´ µqxxcσ n´σ ; c:σ yyω ` U xxcσ n2´σ ; c:σ yyω
“ xn´σ y ` pε0 ´ µ ` U qΓσ pωq
• Kette der Bewegungsgleichungen bricht ab!
206
also:
Γσ pωq “
xn´σ y
ω ` µ ´ ε0 ´ U
einsetzen:
ωGσ pωq “ 1 ` pε0 ´ µqGσ pωq ` U
xn´σ y
ω ` µ ´ ε0 ´ U
mit Partialbruchzerlegung folgt:
Gσ pωq “
1 ´ xn´σ y
xn´σ y
`
ω ` µ ´ ε0 ω ` µ ´ ε0 ´ U
• Die Green-Funktion und damit die Spektraldichte sind also abhängig von der Besetzung der Störstelle und von der Temperatur (über den Erwartungswert xn´σ y)!
Solche Abhängigkeiten sind durch die Wechselwirkung induziert und in einem freien
System nicht möglich, wo die Form der Spektraldichte stets unverändert bleibt. Dies
ist typisch für Viel-Teilchen-Systeme.
1
Ein-Elektronen-Spektraldichte: Aσ pωq “ ´ Im Gσ pω ` i0`q
π
Aσ pωq “ p1 ´ xn´σ yq δpω ` µ ´ ε0q ` xn´σ y δpω ` µ ´ ε0 ´ U q
Es bleibt noch die Bestimmung des Erwartungswerts.
Spektraltheorem (mit Fermi-Funktion f pωq “ 1{pexppβωq ` 1q):
207
ż
xc:σ cσ y “
dω f pωqAσ pωq
also:
xnσ y “ p1 ´ xn´σ yq f pε0 ´ µq ` xn´σ y f pε0 ´ µ ` U q
• Dies sind für σ “Ò, Ó zwei lineare Gleichungen für die Unbekannten xnσ y und xn´σ y.
lösen:
xnσ y “ xn´σ y “
f pε0 ´ µq
1 ` f pε0 ´ µq ´ f pε0 ´ µ ` U q
• keine magnetische Ordnung in einem endlichen oder sogar atomaren System, daher
spinunabhängige Green-Funktion.
Gσ pωq “ G´σ pωq
spinunabhängig
————————————————————————————————————
Interpretation der Spektraldichte
Apωq “ p1 ´ xn´σ yq δpω ` µ ´ ε0q ` xn´σ y δpω ` µ ´ ε0 ´ U q
• Ein-Elektronen-Spektraldichte:
Photoemission (PES), inverse Photoemission (IPE)
allgemein ist:
208
1
eβω
SRR: pωq
und
IR: p´ωq “ βω
S : pωq
IR pωq “ βω
e ´ε
e ´ ε RR
hier: (R “ c:, Fermionen)
eβω
1
IIPEpωq “ βω
Apωq
und
IPESp´ωq “ βω
Apωq
e `1
e `1
für T “ 0:
IIPEpωq “ ΘpωqApωq
und
IPESpωq “ ΘpωqAp´ωq
also:
ω ą 0: IPE-Spektrum und ω ă 0: PES-Spektrum
• µ ă ε0
Ü xn´σ y “ 0
Ü Apωq “ δpω ` µ ´ ε0q
ω “ ε0 ´ µ ą 0
Ü nur IPE-Spektrum
• µ ą ε0 ` U
Ü xn´σ y “ 1
Ü Apωq “ δpω ` µ ´ ε0 ´ U q
ω “ ε0 ´ µ ` U ă 0
Ü nur PES-Spektrum
• ε0 ă µ ă ε0 ` U
Ü xn´σ y “ 1{2
Ü Apωq “ p1{2qδpω ` µ ´ ε0q ` p1{2qδpω ` µ ´ ε0 ´ U q
Ü IPE- und PES-Spektrum
209
————————————————————————————————————
Berechnung der Selbstenergie:
ˆ
Σpωq “ Gp0qpωq´1 ´ Gpωq´1 “ ω ` µ ´ ε0 ´
xn´σ y
1 ´ xn´σ y
`
ω ` µ ´ ε0 ω ` µ ´ ε0 ´ U
˙´1
nach kurzer Rechnung:
U 2xn´σ yp1 ´ xn´σ yq
Σpωq “ U xn´σ y `
ω ` µ ´ ε0 ´ U p1 ´ xn´σ yq
• Der erste Term ist die Hartree-Fock-Selbstenergie. Der zweite Term ist von der
Ordnung Op1{ωq. Der Imaginärteil der retardieren Selbstenergie ist, bis auf den
Faktor ´1{π, eine Delta-Funktion: δpω ` µ ´ ε0 ´ U p1 ´ xn´σ yqq. Eine retardierte
Selbstenergie, deren Imaginärteil aus einer endlichen Anzahl von Delta-Peaks besteht,
ist typisch für endliche Systeme. Fermi-Flüssigkeitsverhalten, d.h. Im Σpω `i0`q9ω 2
kann sich erst im thermodynamischen Limes ergeben.
6.2
Hubbard-I-Näherung und Mott-Isolator
• Die Einfachheit der Rechnung für das atomare Problem verführt zu einer einfachen
Näherung für das entsprechende Gitter-Modell.
Idee der Hubbard-I-Näherung :
210
• freie (U “ 0) Ein-Teilchen-Green-Funktion des Hubbard-Modells:
1
Gp0qpωq “
ω`µ´t
• volle Green-Funktion: Gpωq gegeben mittels Dyson-Gleichung:
Gpωq “ Gp0qpωq ` Gp0qpωqΣpωqGpωq
• Approximation:
Σpωq « Σatom.pωq
Σatom.,ijpωq “ δij Σatom.pωq
U 2xn´σ yp1 ´ xn´σ yq
Σatompωq “ U xn´σ y `
ω ` µ ´ ε0 ´ U p1 ´ xn´σ yq
wobei ε0 “ tii
• selbstkonistente
ż Bestimmung von xn´σ y:
1
xn´σ y “ ´
f pωq ImGiipω ` i0`q
π
mit Giipωq “ pGpωqqii
• Es fragt sich natürlich, wie eine solche Näherung zu rechtfertigen ist. Antwort:
Die Hubbard-I-Näherung kann als erster Schritt in einem systematischen Verfahren
verstanden werden, das letztlich zur exakten Lösung für Gpωq konvergieren muss.
————————————————————————————————————
Idee der Cluster-Störungstheorie :
Verallgemeinerung der Hubbard-I-Näherung für endliche Cluster:
211
Gpωq “
1
Gp0qpωq´1 ´ Σpωq
mit
Σpωq « Σclusterpωq
Σclusterpωq ist die Selbstenergie eines Systems enkoppelter Cluster:
Hubbard−Modell
System entkoppelter Cluster
Σclusterpωq kann exakt berechnet werden:
p0q
Σclusterpωq “ Gclusterpωq´1 ´ Gclusterpωq´1
p0q
• Es versteht sich, dass Gclusterpωq, bzw. Gclusterpωq für ein endliches (und nicht zu
großes) System exakt aus der Lehmann-Darstellung berechenbar sind, wenn nötig
mit numerischer Bestimmung der Eigenenergien und Eigenzustände des einzelnen
Clusters.
212
Hubbard-Modell: H “ H0ptq ` H1pU q
Cluster-System: H 1 “ H0pt1q ` H1pU q
V “ t ´ t1
Inter-Cluster-Hopping
einsetzen:
Gpωq “
1
p0q
Gp0qpωq´1 ´ Gclusterpωq´1 ` Gclusterpωq´1
1
“
ω ` µ ´ t ´ pω ` µ ´ t1q ` Gclusterpωq´1
1
“
Gclusterpωq´1 ´ t ` t1
also:
1
Gpωq “
CPT-Gleichung
Gclusterpωq´1 ´ V
Diskussion:
• korrekt im Limes großer Cluster Nc Ñ 8 (Nc: Anzahl Plätz pro Cluster)
• Hubbard-I-Näherung
• Nachteil (für Nc ‰ 1 und Nc ‰ 8):
die Translationssymmetrie der Green-Funktion wird durch die Näherung gebrochen
213
• selbstkonsistente Erweiterung des Verfahrens?
spontane Symmetriebrechung?
————————————————————————————————————
Diskussion für Nc “ 1:
mit der Hubbard-I-Näherung ist:
1 ÿ ´ikpRi´Rj q
Σk pωq “
e
Σij pωq “ Σatom.pωq
L ij
Ü k-unabhängige Selbstenergie
1
1
Gk pωq “
“
U 2 xn´σ yp1´xn´σ yq
p0q ´1
ω
`
µ
´
εpkq
´
U
xn
y
´
´σ
Gk pωq ´ Σk pωq
ω`µ´U p1´xn´σ yq
ř
(mit ε0 “ tii “ k εpkq “ 0) durch Wahl des Energie-Nullpunkts)
mit Partialbruchzerlegung folgt:
α1pkq
α2pkq
Gk pωq “
`
ω ´ ω1pkq ω ´ ω2pkq
mit
c
1
1
ω1,2pkq “ pU ` εpkqq ¯
pU ´ εpkqq2 ` U xn´σ yεpkq ´ µ
2
4
ω1,2pkq ´ U p1 ´ xn´σ yq
α1,2pkq “ ¯
ω2pkq ´ ω1pkq
214
beachte: exaktes Resultat für Grenzfälle:
• U “ 0 (Band-Limes)
• εpkq “ ε0 “ 0 (atomarer Limes)
• xn´σ y “ 0
• xn´σ y “ 1
————————————————————————————————————
vereinfachte Diskussion für U Ñ 8:
ω1pkq “ p1 ´ xn´σ yqεpkq ´ µ
ω2pkq “ U ` xn´σ yεpkq ´ µ
α1pkq “ 1 ´ xn´σ y “ 1 ´ α2pkq
also:
xn´σ y
1 ´ xn´σ y
`
ω ` µ ´ p1 ´ xn´σ yqεpkq ω ` µ ´ xn´σ yεpkq ` U
lokale Spektraldichte:
ż
1ÿ
Aiipωq “
Ak pωq “ dz ρ0pzqAz“εpkqpωq
L k
Gk pωq “
wobei
215
1ÿ
ρ0pzq “
δpz ´ εpkqq
L k
denn die k-Abhängigkeit von Ak pωq ist nur mittels z “ εpkq gegeben
also:
ż
Aiipωq “ dz ρ0pzq p1 ´ xn´σ yq δpω ` µ ´ p1 ´ xn´σ yqzq
ż
` dz ρ0pzq xn´σ y δpω ` µ ´ xn´σ yz ` U q
und somit:
ż
Aiipωq “
« ˆ
dz ρ0pzq δ z ´
ω`µ
1 ´ xn´σ y
˙
ˆ
`δ z´
also:
ˆ
Aiipωq “ ρ0
ω`µ
1 ´ xn´σ y
˙
ˆ
` ρ0
ω`µ´U
xn´σ y
216
˙
ω`µ´U
xn´σ y
˙ ff
U=0
U groß
A( ω )
A( ω )
~U
<n> klein
0
0
ω
A( ω )
ω
A( ω )
~U
<n> groß
0
0
ω
Viel-Teilchen-Effekte:
– band-narrowing
– Satellit Ü oberes und unteres “Hubbard-Band”
– füllungsabhängige Zustanddichte “spectral-weight transfer”
– temperaturabhängige Zustanddichte (via xn´σ y)
– korrelationsinduzierter Mott-Isolator bei Halbfüllung
217
ω
xn´σ y “ 1{2 für µ “ U {2 Ü
ˆ
˙
ˆ
˙
ω ` U {2
ω ´ U {2
Aiipωq “ ρ0
` ρ0
“0
1{2
1{2
xn´σ y “ 0, xn´σ y “ 1: Band-Isolator
für ω “ 0
xn´σ y “ 1{2: Mott-Isolator
• Dies ist eine qualitativ korrekte Vorhersage der Hubbard-I-Näherung, die in besseren
Approximationen bestätigt werden kann. Ein Defekt der Näherung ist aber, dass der
Mott-isolierende Zustand bei Halbfüllung für alle U , also insbesondere für kleine
U ‰ 0 bestehen bleibt. Plausibler ist, dass es einen kritischen Wert Uc ą 0
gibt, an dem der Übergang zum Metall stattfindet. Die Hubbard-I-Näherung liefert
(fälschlicherweise) Uc “ 0.
————————————————————————————————————
Resultate der Cluster-Störungstheorie:
(D. Senechal, D. Perez, M. Pioro-Ladriere, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 522)
Hubbard-Modell, D “ 1, n.n.-Hopping t, U “ 4t, Nc “ 12
218
n “ 1:
219
n “ 5{6:
220
• n “ 1: Mott-Isolator, n ‰ 1: Metall
• freie Dispersion: εpkq “ ´2t cos k
• A: Spinon, B: Holon (D: Spiegelband), C: Hubbard-Band (kein LL-Feature!)
6.3
Lebensdauereffekte
• Ein weiterer Defekt der Hubbard-I-Näherung ist, dass die retardierte Selbstenergie
nur einen δ-förmigen Imaginärteil besitzt. Die retardierte Selbstenergie eines Systems
wechselwirkender Fermionen ist im allgemeinen aber eine Funktion mit kontinuierlichem Imaginärteil. Hier soll diskutiert werden, welche physikalischen Konsequenzen
dies zur Folge hat.
Situation: wechselwirkende Fermionen, translationsinvariantes Ein-Band-Gitter-Modell
Ein-Teilchen-Green-Funktion:
Gij pωq “ xxciσ ; c:jσ yyω
im paramagnetischen Zustand: Gijσ pωq “ Gij pωq spinunabhängig
Fourier-Transformation in den k-Raum:
1 ÿ ikRi :
:
ckσ “ ?
e
ciσ
L i
• Aus der Translationsinvarianz von Gij pωq folgt wie bei der Hopping-Matrix die Di221
agonalität von Gkk1 pωq “ δkk1 Gk pωq im reziproken Raum.
es ist:
1 ÿ ´ikpRi´Rj q
Gk pωq “
“
e
Gij pωq
L k
ÿ
freie Green-Funktion: Green-Funktion zu H “ H0 “
εpkqc:kσ ckσ :
xxckσ ; c:kσ yyω
kσ
1
ω ` µ ´ εpkq
freie Spektraldichte:
p0q
Gk pωq “
p0q
Ak pωq “ δpω ` µ ´ εpkqq
wechselwirkende Green-Funktion:
1
Gk pωq “
ω ` µ ´ εpkq ´ Σk pωq
Σk pωq komplex, analytisch für nicht-reelle ω
pretq
ImΣk pω ` i0`q “ ImΣk pωq ď 0
einfaches Modell:
pretq
Σk pωq “ ´i∆k mit ∆k ą 0 (konstant, reell)
es folgt:
222
pretq
Gk pωq “
1
1
“
ω ` i0` ` µ ´ εpkq ` i∆k ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
und
1
1
1
pretq
Ak pωq “ ´ ImGk pωq “ ´ Im
π
π ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
Ak pωq “
∆k
1
π pω ` µ ´ εpkqq2 ` ∆2k
normierte Lorentz-Kurve mit Zentrum bei ω “ εpkq ´ µ und “Breite” ∆k
• Der Imaginärteil der Selbstenergie bewirkt also eine Verbreiterung der Spektraldichte.
Dies bedeutet, dass der Zustand, in den die Anregung stattfindet kein Eigenzustand
von H ist. Damit muss die Anregung zeitlich zerfallen. Diese Tatsache zeigt z.B. in
den entsprechenden zeitabhängigen Größen.
zeitabhängige retardierte Green-Funktion
ż
ż
1
1
1
pretq
pretq
dω e´iωtGk pωq “
dω e´iωt
Gk ptq “
2π
2π
ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
t ă 0: Integration in der oberen ω-Halbebene schließen Ü Gpretqptq “ 0
t ą 0: Integration in der unteren ω-Halbebene schließen Ü Pol bei ω “ εpkq ´ µ´i∆k
¿
1
1 ´ipεpkq´µ´i∆k qt
1
pretq
Gk ptq “
dω e´iωt
“
e
p´1q 2πi
2π
ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
2π
unten
223
insgesamt:
pretq
Gk ptq “ ´iΘptqe´ipεpkq´µqte´∆k t
also:
pretq
pret,0q
Gk ptq “ Gk
ptq e´∆k t
Im Vergleich zur freien retardierten Green-Funktion kommt also ein Faktor dazu, der den
exponentiell schnellen Zerfall der Anregung beschreibt.
1
∆k
————————————————————————————————————
Ü Lebensdauer :
τk “
analytische Struktur der Green-Funktion?
für ω P CzR ist:
ż
ż
1 1
∆k
Apzq
Gk pωq “ dz
“ dz
ω´z
ω ´ z π pz ` µ ´ εpkqq2 ` ∆2k
ż
1
1
1
1
“ ∆k dz
π
ω ´ z z ` µ ´ εpkq ´ i∆k z ` µ ´ εpkq ` i∆k
Auswertung mit Hilfe des Residuensatzes liefert:
1
für Im ω ą 0
Gk pωq “
ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
224
+ Übung
Gk pωq “
1
ω ` µ ´ εpkq ´ i∆k
für Im ω ă 0
• Gk pωq analytisch in CzR
Verzweigungsschnitt von Gk pωq auf R
• das Modell beschreibt also ein System im thermodynamischen Limes;
die Polstellenmenge von Gk pωq dicht und zu einem Schnitt geworden
pretq
• für Im ω ą 0 ist Gk pωq “ Gk pωq
1
pretq
bei ω “ εpkq ´ µ ´ i∆k ist also ein
• der Pol von Gk pωq “
ω ` µ ´ εpkq ` i∆k
Pol der in den Im ω ď 0-Bereich analytisch fortgesetzten retardierten Green-Funktion
• Konsequenzen:
1) Polstellen der analytischen Fortsetzung der retardierten Green-Funktion
im Im ω ď 0-Bereich mit endlichem Imaginärteil sind möglich
2) Der Imaginärteil ´∆k ď 0 der Polstelle entspricht der inversen Lebensdauer
• Analoge Aussagen gelten entsprechend für die avancierte Green-Funktion.
6.4
Modell einer Fermi-Flüssigkeit
wechselwirkendes Fermi-System:
225
H“
ÿ ÿ
k σ“Ò,Ó
εpkqc:kσ ckσ
1 ÿÿ
`
Uk,k1 pqqc:k`qσ c:k1´qσ1 ck1σ1 ckσ
2 1 σσ1
kk q
qualitative Diskussion der inversen Photoemission:
• betrachte nicht-wechselwirkendes System im Grundzustand:
Ein-Teilchenzuände |ky besetzt, falls εpkq ď εF
Fermi-Fläche: tk | εpkq “ εFu
• Hinzufügen eines Elektrons mit Wellenvektor k
(Einteilchenanregung beschrieben durch Ein-Teilchen-Green-Funktion)
• das Photoelektron kann durch Elektron-Elektron-Streuung (Wechselwirkung)
Elektronen aus dem Fermi-See anregen
ky
k
k+q
k’−q
k’
kx
• Energie- und Impulserhaltung sind zu beachten
226
kσ
k+q σ
q
k’σ’
k’−q σ ’
• für ω Ñ 0 (Photoelektronenenergie nahe der Fermi-Energie)
schrumft damit das “Phasenvolumen” für Streuprozesse mit q ‰ 0 auf Null
kσ
kσ
q=0
k’σ’
k’σ’
• effektives Niederenergiemodell mit reiner Dichte-Dichte-Wechselwirkung:
(hier werden Spin-Streu-Terme der Einfachheit halber vernachlässigt)
ÿÿ
1 ÿ ÿ σσ1
:
Fkk1 nkσ nk1σ
HFL “
εpkqckσ ckσ `
2
1 σσ 1
k σ
k,k
• keine Fluktuationen! nkσ ist Erhaltungsgröße
exakte Lösung analog zu Hartree-Fock (nkσ kann aus höherer Green-Funktion in der
Bewegungsgleichungsmethode als Erfahrungswert “herausgezogen” werden)
• für ω Ñ 0: effektiv nicht-wechselwirkende Fermionen (mit renormierten Parametern)
Landausches Fermi-Flüssigkeitskonzept
————————————————————————————————————
227
Fermi-Flüssigkeit bei T “ 0:
Im Σpω ` i0`q 9 ω 2 (ω Ñ 0 reell)
• Das Resultat kann (unter gewissen sehr allgemeinen Annahmen) im Rahmen der
diagrammatischen Störungstheorie bewiesen werden. Hier sollen nur einige Konsequenzen abgeleitet werden.
————————————————————————————————————
translationsinvariantes Ein-Band-Gitter-Modell: Σk pω ` i0`q
Entwicklung um ω “ 0:
Σk pω ` i0`q “ ak ` bk ω ´ ick ω 2 ` ¨ ¨ ¨
mit ak , bk , ck reell
weiter ist ck ě 0, denn die retardierte Selbstenergie ist negativ definit
ak , bk , ck werden hier als gegeben angenommen.
im Limes ω Ñ 0 ist also:
1
ω ` i0` ` µ ´ εpkq ´ Σk pω ` i0`q
1
“
ω ` µ ´ εpkq ´ ak ´ bk ω ` ick ω 2
pretq
Gk pωq “
kann auch noch der Opω 2q-Term vernachlässigt werden, gilt:
228
1
ω ` i0` ` µ ´ εpkq ´ ak ´ bk ω
(hier muss dann natürlich wieder das Infinitesimal eingefügt werden)
pretq
Gk pωq “
definiere:
Quasiteilchen-Energie
ηk ´ µ “ zk pεpkq ´ µ ` ak q
Quasiteilchen-Gewicht
˜
¸´1
pretq
ˇ
BΣ pωq ˇ
1
“ 1´ k
zk “
ˇ
ω“0
1 ´ bk
Bω
dann gilt:
pretq
Gk pωq “
zk
ω ` i0` ` µ ´ ηk
pretq
• Gk pωq ist formal eine freie Green-Funktion mit renormierten Parametern ηk und
zk , ganz im Sinne der Fermi-Flüssigkeitstheorie
pretq
Gk pωq beschreibt eine stabile (“kohärente”) Anregung mit unendlicher Lebensdauer: “ Quasiteilchen ”
• Norm der entsprechenden Spektraldichte : zk ď 1
Ü weiteres spektrales Gewicht für höhere Anregungsenergien
229
Aufteilung für beliebige ω in “ kohärenten und inkohärenten Anteil ”:
zk
pretq
pret,incoh.q
Gk pωq “
`
G
pωq
k
ω ` i0` ` µ ´ ηk
• zk ă 1 Ü Quasiteilchen-Dispersion ηk flacher als freie Dispersion εpkq
Ü höhere effektive Masse
“Schwerfermionensysteme”:
Effektive Massen z.B. in der Größenordnung 10-1000 möglich.
————————————————————————————————————
wechselwirkungsfreies System: Fermi-Fläche gegeben durch
p0q
tkF | εpkF q “ µu “ tkF | Pol von GkF pωq bei ω “ 0u
System mit Wechselwirkung: Definition der Fermi-Fläche durch:
Fermi-Fläche “ tkF | Pol von GkF pωq bei ω “ 0u
also:
Fermi-Fläche “ tkF | ηkF “ µu
mit ηk ´ µ “ zk pεpkq ´ µ ` ak q und ak “ Σk pi0`q gilt auch:
Fermi-Fläche “ tkF | εpkF q ` ΣkF pi0`q “ µu
————————————————————————————————————
Impulsverteilungsfunktion:
230
npkq “ xc:kσ ckσ y
freies System:
np0qpkq “
1
Ñ Θpµ ´ εpkqq
für T Ñ 0
eβpεpkq´µq ` 1
Sprung an der Fermi-Fläche k “ kF (εpkF q “ µ)!
System mit Wechselwirkung:
ż
npkq “ dωf pωq Akσ pωq
(Spektraltheorem)
für T “ 0 ist:
ż0
ż
1 0
pretq
dω Akσ pωq “ ´
npkq “
dω ImGkσ pωq
π ´8
´8
also:
ˆ
˙
ż
zk
1 0
pret,incoh.q
pωq
dω Im
`
G
npkq “ ´
k
π ´8
ω ` i0` ` µ ´ ηk
˙
ˆ
ż0
1
pret,incoh.q
“
pωq
dω zk δpω ` µ ´ ηk q ´ ImGk
π
´8
ˇ0
ˇ
rpkq
“ zk Θpω ` µ ´ ηk qˇ ` n
´8
wobei
231
1
rpkq “ ´
n
π
also:
ż0
pret,incoh.q
dω ImGk
regulär für k Ñ kF
pωq
´8
rpkq
npkq “ zk Θpµ ´ ηk q ` n
n(k)
• Sprung bei k “ kF , denn ηkF “ µ
z kF
• Fermi-Flüssigkeit: Fermi-Fläche durch Sprung
in der Impulsverteilungsfunktion charakterisiert
kF
k
• Höhe des Sprungs bei k “ kF :
Quasiteilchen-Gewicht zkF
————————————————————————————————————
Terme der Ordnung Opω 2q Ü Quasiteilchen-Lebensdauer
zk
pretq
Gk pωq “
ω ` µ ´ ηk ` izk ck ω 2
232
Spektraldichte:
zk2 ck ω 2
1
Ak pωq “
π pω ` µ ´ ηk q2 ` zk2 c2k ω 4
Plot für:
1
zk “ z “
2
ck “ c “ 1
ηk − µ
A k( ω)
−2.5
−1.5
• für ηk ă µ
(k innerhalb der Fermi-Fläche):
das meiste spektrale Gewicht im Bereich ω ă 0
(freies System: gesamtes Gewicht)
• Wechselwirkung Ü
Zustände (k) innerhalb der FS unbesetzt (ω ą 0)
Zustände außerhalb der FS besetzt (ω ă 0)
−0.7
−0.3
−0.1
0.1
0.3
k innerhalb FS
k außerhalb FS
• k Ñ kF : beliebig scharfes Spektrum
Lebensdauer der Anregung (des Quasiteilchens) geht gegen unendlich
0.7
−2 −1 0
0
−2
ω
Approximation für ω Ñ ηk ´ µ:
zk2 ck ω 2
zk
zk ck pηk ´ µq2
1
Ak pωq “
«
π pω ` µ ´ ηk q2 ` zk2 c2k ω 4
π pω ` µ ´ ηk q2 ` zk2 c2k pηk ´ µq4
233
1
2
2
Ü Lorentz-Kurve
∆
z
π pω ´ ω0q2 ` ∆2
zentriert bei ω0 “ ηk ´ µ, Gesamtgewicht z “ zk , Breite ∆ “ zk ck pηk ´ µq2
definiere also: Quasiteilchen-Lebensdauer
1
τk “
τk´19pηk ´ µq2
2
zk ck pηk ´ µq
234
Diagrammatische Störungstheorie
Ziele:
• Berechnung der Zustandssumme und statischer Ein-Teilchen-Korrelationen xc:α cβ y
• Berechnung der Ein-Teilchen-Spektraldichte Aαβ pωq bzw. Green-Funktion
• Berechnung von Mehrteilchen-Green-Funktionen und Korrelationen
für ein wechselwirkendes System von Fermionen ε “ ´1 oder Bosonen ε “ `1
mit Hamiltonian H “ H0 ` V :
ÿ
1 ÿ
:
H“
tαβ cα cβ `
Uαβγδ c:α c:β cδ cγ
2 αβγδ
αβ
durch Entwicklung in der Wechselwirkungsstärke und
• effiziente Organisation der Berechnung der Entwicklungskoeffizienten
• renormierte, effektive Entwicklungen durch Re-Summation von Teilreihen
• vollständige (formale) Re-Summation
235
7.1
Matsubara-Funktion
Formulierung der Störungstheorie für Matsubara-Funktionen - warum?
• Matsubara-Funktion und Green-Funktion haben den gleichen Informationsgehalt
und können ineinander umgerechnet werden
• die Matsubara-Funktion des wechselwirkenden Systems kann in Potenzen
der Wechselwirkungsstärke entwickelt werden
• die Koeffizienten sind durch freie N -Teilchen-Korrelationenfunktionen
mit freier (imaginärer) Zeitabhängigkeit gegeben
• das Wick-Theorem kann angewendet werden
• und liefert als Resultat freie Ein-Teilchen-Matsubara-Funktionen
• also: geschlossene Formulierung der Theorie für Matsubara-Funktionen
• Renormierungen (Ersetzungen der freien durch die wechselwirkenden)
Matsubara-Funktionen möglich
————————————————————————————————————
imaginäre Zeit - warum?
• zeitunabhängiger Hamiltonian H “ H0 ` V
• Matsubara-Funktion: thermischer Erwartungswert zeitabhängiger Operatoren
236
• V geht ein in den thermischen Erwartungswert:
1
xAy “ Sppe´βH Aq
Z
• V geht ein in die Zeitentwicklung:
Aptq “ eiHtAe´iHt
• für imaginäre Zeit t “ ´iτ mit τ P R können
thermischer Erwartungswert und Zeitentwicklung vereinheitlicht beschrieben werden:
e´iHt “ e´βH
für
t “ ´iτ
und
τ “β
Im t = − τ
Re t
t=−i τ
Wick
rotation
• aus dem gleichen Grund: großkanonischer Hamiltonian
H “ H ´ µN
nicht nur im thermischen Erwartungswert sondern auch für Zeitabhängigkeiten
————————————————————————————————————
für Operator A definiere:
Apτ q “ eHτ Ae´Hτ
modifiziertes Heisenberg-Bild
237
Vernichter:
cα pτ q “ eHτ cα e´Hτ
Erzeuger:
c:α pτ q “ eHτ c:α e´Hτ
beachte:
c:pτ q ‰ cpτ q:
————————————————————————————————————
Bewegungsgleichung?
d
d
Apτ q “ peHτ Ae´Hτ q “ eHτ pHA ´ AHqe´Hτ “ HApτ q ´ Apτ qH
dτ
dτ
Bloch-Gleichung:
d
Apτ q “ rApτ q, Hs´
dτ
————————————————————————————————————
´
Beispiel: freies System
H0 “ H0 ´ µN “
ÿ
ptαβ ´
µδαβ qc:α cβ
αβ
ÿ
“
k
mit
238
pεpkq ´ µqc:k ck
ε “ U :tU
und
c:k
ÿ
ck “
ÿ
α
α
ÿ
cα “
ÿ
“
c:α “
Uαk c:α
˚ :
Uαk
ck
k
˚
Uαk
cα
Uαk ck
k
es ist:
rck , H0s´ “ pεpkq ´ µqck
und
rck pτ q, H0s´ “ pεpkq ´ µqck pτ q
also:
c:k pτ q “ epεpkq´µqτ c:k
ck pτ q “ e´pεpkq´µqτ ck
und
cα pτ q “
ÿ
“
k
ÿ
“
k
ÿ
Uαk ck pτ q “
ÿ
k
k
Uαk e´ppU
ÿ
: tU q
kk ´µqτ
Uαk e´pεpkq´µqτ ck
˚
Uβk
cβ
β
´
¯ ÿ
:
: ´pt´µqτ
Uαk U e
U
Ukβ
cβ
kk
β
239
¯
ÿ´
: ´pt´µqτ
:
“
UU e
UU
αβ
βk
cβ
somit:
¯
ÿ´
´pt´µqτ
cα pτ q “
e
β
αβ
cβ
c:α pτ q
¯
ÿ´
`pt´µqτ
“
e
β
αβ
c:β
freie imaginäre Zeitabhängigkeit
————————————————————————————————————
definiere Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion
Gαβ pτ q “ ´xT cα pτ qc:β p0qy
• Vorzeichen: Konvention
• τ P r´β, βs
• T : (imaginärer) Zeitordnungsoperator - “spätere Operatoren später”,
Vorzeichen ε, Vorbereitung für Anwendung des Wickschen Theorems
————————————————————————————————————
Homogenität:
xApτ qBpτ 1qy “
“
1
1
1
Sppe´βH eHτ Ae´Hτ eHτ Be´Hτ q
Z
1
1
1
Sppe´βH eHpτ ´τ qAe´Hpτ ´τ qBq “ xApτ ´ τ 1qBp0qy
Z
240
————————————————————————————————————
Zwei-Teilchen-Matsubara-Funktion
Gαβγδ pτ q “ xT cα pτα qcβ pτβ qc:γ pτγ qc:δ pτδ qy
N -Teilchen-Matsubara-Funktion: analog
————————————————————————————————————
freies System:
H0 “ H0 ´ µN “
ÿ
ptαβ ´
µδαβ qc:α cβ
ÿ
“
pεpkq ´ µqc:k ck
k
αβ
freie Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion:
p0q
Gk pτ q “ ´xT ck pτ qc:k p0qyp0q
“ ´Θpτ qxck pτ qc:k p0qyp0q ´ εΘp´τ qxc:k p0qck pτ qyp0q
“ ´Θpτ qe´pεpkq´µqτ xck c:k yp0q ´ εΘp´τ qe´pεpkq´µqτ xc:k ck yp0q
´
¯
:
:
´pεpkq´µqτ
p0q
p0q
“ ´e
Θpτ qp1 ` εxck ck y q ` εΘp´τ qxck ck y
mit
xc:k ck yp0q “
1
eβpεpkq´µq ´ ε
(Fermi/Bose-Funktion)
folgt:
241
ˆ
p0q
Gk pτ q “ ´e´pεpkq´µqτ
1
Θpτ q
1 ´ εe´βpεpkq´µq
Beispiel: εpkq ´ µ “ 1, β “ 2, Fermionen:
` εΘp´τ q
˙
1
eβpεpkq´µq ´ ε
1
0.8
0.6
Matsubara function
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
tau
0.5
weiter ist mit η “ U :tU und ηkk1 “ δkk1 εpkq
242
1
1.5
2
ˆ
p0q
Gk pτ q “
ˆ
´e´pη´µqτ
1
1
`
εΘp´τ
q
Θpτ q
1 ´ εe´βpη´µq
eβpη´µq ´ ε
˙˙
kk
und somit
ˆ
Gp0qpτ q “ ´e´pt´µqτ
Θpτ q
1
1
`
εΘp´τ
q
1 ´ εe´βpt´µq
eβpt´µq ´ ε
˙
p0q
(Matrix Gp0qpτ q mit Elementen Gαβ pτ q)
freie Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion
————————————————————————————————————
p0q
Sprung von Gk pτ q bei τ “ 0:
p0q
p0q
Gk p0`q ´ Gk p0´q “ ´xck c:k yp0q ` εxc:k ck yp0q “ ´1
allgemein:
Gαβ p0`q ´ Gαβ p0´q “ ´xT cα p0`qc:β p0qy ` xT cα p0´qc:β p0qy
“ ´xcα p0`qc:β p0qy ` εxc:β p0qcα p0´qy
“ ´xcα c:β ´ εc:β cα y “ ´δαβ
also:
Gαβ p0`q ´ Gαβ p0´q “ ´δαβ
Sprung bei τ “ 0
————————————————————————————————————
243
Matsubara-Funktion für τ ă 0:
e´pεpkq´µqτ
e´pεpkq´µqpτ `βq
p0q
p0q
Gk pτ q “ ´ε βpεpkq´µq
“ ´ε
“
εG
k pτ ` βq
e
´ε
1 ´ εe´βpεpkq´µq
allgemein ist für ´β ă τ ă 0:
Gαβ pτ q “ ´xT cα pτ qc:β p0qy
“ ´εxc:β p0qcα pτ qy
1
Sp pe´βH c:β eHτ cα e´Hτ q
Z
1
“ ´ε Sp peHτ cα e´Hτ e´βH c:β q
Z
1
“ ´ε Sp pe´βH eHpτ `βqcα e´Hpτ `βqc:β q
Z
“ ´εxcα pτ ` βqc:β p0qy
“ ´ε
“ εGαβ pτ ` βq
also:
Gαβ pτ q “ εGαβ pτ ` βq
für ´β ă τ ă 0
244
negative imaginäre Zeit
Frequenzabhängige Matsubara-Funktion
7.2
beachte:
p0q
Gk pτ q
divergiert für τ Ñ `8{ ´ 8, falls εpkq ´ µ ă 0{ ą 0!
allgemein:
τ P r´β, βs
ursprünglicher Definitionsberech
definiere:
!
Gαβ pτ ˘ 2βq “ Gαβ pτ q
periodische Fortsetzung auf τ P R
p0q
damit ist für die freie Matsubara-Funktion für Fermionen Gk pτ q:
1
1
G(τ)
G(τ)
β=2
ε−µ=1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-6
-4
-2
0
2
4
β=2
ε−µ=-1
-1
-6
6
τ
-4
-2
0
2
4
6
τ
245
für tiefere Temperatur T “ 1{β:
1
G(τ)
β=20
ε−µ=-1
0.5
0
-0.5
-1
-60
-40
-20
0
20
40
60
τ
————————————————————————————————————
die Matsubara-Funktion ist periodisch mit Periode 2β Ü diskrete Fourier-Transformation
Orthonormalbasis periodischer Funktionen mit Periode T “ 2β:
1
? e´imπ τ {β
2β
m “ ..., ´1, 0, 1, ...
somit gilt:
8
1 ÿ pmq ´imπ τ {β
Gαβ pτ q “
a e
β m“´8 αβ
mit Koeffizienten:
246
(ohne Beweis)
żβ
ż0
1
1
dτ Gαβ pτ q eimπ τ {β “
dτ p¨ ¨ ¨ q `
dτ p¨ ¨ ¨ q
2 0
2 ´β
´β
1
1
11
auf Hin/Rücktransformation
beachte: asymmetrische Aufteilung ? ? “
2β
2β 2β
mit
pmq
aαβ
1
“
2
żβ
Gαβ pτ q “ εGαβ pτ ` βq
für τ ă 0 und
eimπ τ {β “ eimπ pτ `βq{β e´imπ
gilt:
ż0
1
pmq
dτ p¨ ¨ ¨ q ` εe´imπ
dτ Gαβ pτ ` βqeimπ pτ `βq{β
aαβ
2 ´β
0
żβ
1
“ p1 ` εe´imπ q
dτ Gαβ pτ q eimπ τ {β
2
0
also: nichtverschwindende Fourier-Koeffizienten
żβ
pmq
Gαβ piωnq ” aαβ “
dτ Gαβ pτ q eimπ τ {β
1
“
2
żβ
0
nur für ungerade m “ 2n ` 1 mit n P Z (Fermionen, ε “ ´1)
nur für gerade m “ 2n mit n P Z (Bosonen, ε “ `1)
247
Gαβ piωnq
frequenzabhängige Matsubara-Funktion
also:
8
1 ÿ
Gαβ piωnq e´iωnτ
Gαβ pτ q “
β n“´8
und
żβ
dτ Gαβ pτ q eiωnτ
Gαβ piωnq “
0
mit:
iωn “ ip2n ` 1qπ{β für Fermionen
fermionische Matsubara-Frquenzen
iωn “ i2nπ{β für Bosonen
bosonische Matsubara-Frquenzen
248
Im ω
iω n
Re ω
2π / β
(fermionic)
Matsubara
frequencies
z.B. für Fermionen:
————————————————————————————————————
Beispiel: freie Matsubara-Funktion
mit
ˆ
p0q
Gk pτ q “ ´e´pεpkq´µqτ
Θpτ q
1
1 ´ εe´βpεpkq´µq
folgt:
żβ
p0q
Gk piωnq “
dτ Gk pτ q eiωnτ
0
249
` εΘp´τ q
1
eβpεpkq´µq ´ ε
˙
żβ
0
“´
1
dτ e´pεpkq´µqτ
“´
1 ´ εe
εe´βpεpkq´µq
eiωnτ
1´
żβ
1
riωn ´pεpkq´µqsτ
dτ
e
´βpεpkq´µq
0
ˇβ
ˇ
1
1
riωn ´pεpkq´µqsτ ˇ
e
“´
ˇ
ˇ
1 ´ εe´βpεpkq´µq iωn ´ pεpkq ´ µq
0
´
¯
1
1
iβωn ´βpεpkq´µq
“´
e e
´1
1 ´ εe´βpεpkq´µq iωn ´ pεpkq ´ µq
es ist:
eiβωn “ ε
also:
p0q
Gk piωnq “
1
iωn ´ pεpkq ´ µq
die Matsubara-Funktion ist offensichtlich die Green-Funktion an den Matsubara-Frequenzen:
ˇ
ˇ
ˇ
p0q
p0q
Gk piωnq “ Gk pωqˇ
ˇ
ω“iωn
————————————————————————————————————
dies gilt auch allgemein:
250
Matsubara-Funktion “ Green-Funktion an den Matsubara-Frequenzen
Ein-Teilchen-Green-Funktion (für ω R R)
ż8
Aαβ pzq
Gαβ pωq “
dz
ω´z
´8
mit
ÿ e´βEm ´ εe´βEn
xm|cα |nyxn|c:β |myδpω ´ pEn ´ Emqq
Aαβ pωq “
Z
mn
also ist:
Gαβ piωnq “
ÿ e´βEm ´ εe´βEn
mn
Z
xm|cα |nyxn|c:β |my
1
iωn ´ pEn ´ Emq
Spektraldarstellung der Matsubara-Funktion
————————————————————————————————————
Beweis:
żβ
dτ Gαβ pτ q eiωnτ
Gαβ piωnq “
0
żβ
“´
0
żβ
“´
0
dτ xT cα pτ qc:β p0qy eiωnτ
´
¯
1
´βH Hτ
´Hτ :
e cα e
cβ eiωnτ
dτ Sp e
Z
251
żβ
1 ÿ ´βEr Er τ
“´
dτ
e
e xr|cα |sye´Esτ xs|c:β |ry eiωnτ
Z rs
0
żβ
1 ÿ ´βEr
dτ epiωn`Er ´Esqτ
e
xr|cα |syxs|c:β |ry
“´
Z rs
0
τ -Integral: für Fermionen ist eiβωn “ ´1, daher:
żβ
´
¯
´
¯
1
´1
piωn `Er ´Es qτ
piωn `Er ´Es qβ
pEr ´Es qβ
dτ e
“
e
´1 “
e
`1
iω
`
E
´
E
iω
`
E
´
E
n
r
s
n
r
s
0
und somit:
´
¯
1 ÿ ´βEr
1
:
pEr ´Es qβ
Gαβ piωnq “
e
`1
e
xr|cα |syxs|cβ |ry
Z rs
iωn ` Er ´ Es
˘
1 ÿ ` ´βEs
1
e
“
` e´βEr xr|cα |syxs|c:β |ry
Z rs
iωn ´ pEs ´ Er q
also:
ż8
Gαβ piωnq “
dz
´8
Aαβ pzq
iωn ´ z
q.e.d.
für Bosonen ist eiβωn “ 1, und:
252
żβ
´
¯
1
piωn `Er ´Es qβ
e
´1
dτ e
“
iωn ` Er ´ Es
0
´
¯
` ´βE
˘
´1
1
pEr ´Es qβ
e
´ 1 “ eβEr
“
e r ´ e´βEs
iωn ` Er ´ Es
iωn ´ pEs ´ Er q
falls iωn ´ pEs ´ Er q ‰ 0 und
żβ
dτ epiωn`Er ´Esqτ “ β
piωn `Er ´Es qτ
0
falls nicht!
für n ‰ 0, iωn ‰ 0 gilt die Spektraldarstellung genauso wie für Fermionen!
und, für n “ 0:
żβ
ˇ
1 ÿ ´βEr
:
piωn `Er ´Es qτ ˇ
dτ e
e
xr|cα |syxs|cβ |ry
Gαβ p0q “ ´
ˇ
n“0
Z rs
0
E “E
E ‰E
β rÿ s ´βEr
1 rÿ s
e´βEr ´ e´βEs
:
:
“´
e
xr|cα |syxs|cβ |ry `
xr|cα |syxs|cβ |ry
Z rs
Z rs
0 ´ pEs ´ Er q
der erste Term ist durch die weiter oben definierte Konstante
1 ÿ ´βEn
DAB “
e
xn|B|myxm|A|ny
Z m,n,
gegeben: ´βDc: c ” ´βDβα , also ist:
β α
253
E ‰E
` ´βE
˘
1 rÿ s
1
:
´βEs
r
Gαβ p0q “
e
xr|cα |syxs|cβ |ry `
´e
´βDβα
Z rs
i0 ´ pEs ´ Er q
beachte: das Infinitesimal kann ohne Probleme eingefügt werden
in Gegenwart des Infinitesimals können jetzt die Diagonalterme hinzugefügt werden:
` ´βE
˘
1
1ÿ
xr|cα |syxs|c:β |ry `
e r ´ e´βEs ´ βDβα
Gαβ p0q “
Z rs
i0 ´ pEs ´ Er q
zusammenfassend gilt für ε “ ˘1 (keine BEC):
ż8
ż8
Aαβ pzq
Aαβ pzq
dz
dz `
Gαβ piωnq “
pn ‰ 0q
Gαβ piω0q “
´ βDβα
iω
´
z
i0
´
z
n
´8
´8
“q.e.d.” (bis auf die “zero-frequency anomaly”)
————————————————————————————————————
Zusammenhänge:
p1q
pretq
p2q
p3q
p4q
Gαβ pωq Ñ Gαβ pωq Ñ Aαβ pωq Ñ Gαβ piωnq Ñ Gαβ pωq
mit ω nicht-reell / reell / reell / rein imaginär / nicht-reell
durch
1 - Spezialisierung
2 - Dirac-Identität
254
3 - Spektraldarstellung
4 - analytische Fortsetzung
7.3
S-Matrix
Problem: die Zeitabhängigkeit in
Gαβ pτ q “ ´xT cα pτ qc:β p0qy
ist durch den vollen Hamiltonian gegeben:
H “ H0 ` H1 “ H0 ` V
H “ H0 ` V
Ziel: Transformation aller τ -Abhängigkeiten in freie τ -Abhängigkeiten
Wechselwirkungsbild:
AI ptq “ eiH0tAe´iH0t
analog:
modifiziertes Wechselwirkungsbild:
AI pτ q “ eH0τ Ae´H0τ
A: nicht explizit zeitabhängiger Operator im Schrödinger-Bild
————————————————————————————————————
255
Transformation vom Heisenberg zum Wechselwirkungsbild vermittelt durch die S-“Matrix”
definiere:
1
Spτ, τ 1q “ eH0τ e´Hpτ ´τ qe´H0τ
1
S-Matrix
damit folgt:
Apτ q “ eHτ Ae´Hτ
“ eHτ e´H0τ eH0τ Ae´H0τ eH0τ e´Hτ
“ eHτ e´H0τ AI pτ qeH0τ e´Hτ
“ Sp0, τ qAI pτ qSpτ, 0q
und insbesondere:
cα pτ q “ Sp0, τ qcI,α pτ qSpτ, 0q
c:α pτ q “ Sp0, τ qc:I,α pτ qSpτ, 0q
mit freier (und somit bekannter) Zeitabhängigkeit:
¯
¯
ÿ´
ÿ´
:
´pt´µqτ
`pt´µqτ
cI,α pτ q “
e
cβ
cI,α pτ q “
e
β
αβ
β
αβ
c:β
es bleibt das Problem, dass die τ -Abhängigkeit der S-Matrix nicht “frei” ist
————————————————————————————————————
Eigenschaften der S-Matrix:
• Spτ, τ 2q “ Spτ, τ 1qSpτ 1, τ 2q
256
• Spτ, τ q “ 1
• Spτ, τ 1q ist nicht unitär
• Spτ, τ 1q: “ Sp´τ 1, ´τ q
• Spτ, τ 1q ist nicht homogen in der Zeit
1
• Spτ, τ 1q ist der (“imaginäre”) Zeitentwicklungsoperator e´Hpτ ´τ q
im (modifizierten) Wechselwirkungsbild
————————————————————————————————————
Bestimmung der S-Matrix durch Lösen ihrer Bewegungsgleichung
es ist:
B ´ H0τ ´Hpτ ´τ 1q ´H0τ 1 ¯
B
1
e e
e
´ Spτ, τ q “ ´
Bτ
Bτ
1
1
“ eH0τ pH ´ H0qe´Hpτ ´τ qe´H0τ
1
“ eH0τ V e´H0τ eH0τ e´Hpτ ´τ qe´H0τ
1
“ VI pτ qSpτ, τ 1q
damit folgt die Bewegungsgleichung
B
Spτ, τ 1q “ VI pτ qSpτ, τ 1q
Bτ
mit der Anfangsbedingung
´
257
Spτ, τ q “ 1
————————————————————————————————————
Lösung? Falls VI pτ q kein Operator wäre, könnte die Differenzialgleichung durch
ˆ żτ
˙
Spτ, τ 1q “ exp ´
dτ 2VI pτ 2q
τ1
gelöst werden, und Spτ, τ q “ 1
das “Problem” rVI pτ q, VI pτ 1qs´ ‰ 0
kann mittels des Zeitordnungsoperators umgangen werden:
ˆ żτ
˙
Spτ, τ 1q “ T exp ´
dτ 2VI pτ 2q
τ1
explizite Darstellung der S-Matrix
• T ordnet Erzeuger und Vernichter mit freier Zeitabhängigkeit!
• unter T gilt: rVI pτ q, VI pτ 1qs´ “ 0 (ohne Vorzeichen), denn
1 ÿ
VI pτ q “
Uαβδγ c:α,I pτ qc:β,I pτ qcγ,I pτ qcδ,I pτ q
2 αβγδ
ist quartisch
• T ordnet im Anschluss an die Entwicklung der Exponentialfunktion:
żτ
8
k żτ
ÿ
p´1q
Spτ, τ 1q “ T
dτ1 ¨ ¨ ¨
dτk VI pτ1q ¨ ¨ ¨ VI pτk q
k!
1
1
τ
τ
k“0
258
• das so definierte S ist ein Operator, es ist S “ Spτ, τ q “ 1
• S “ Spτ, τ 1q ist Lösung der DGL:
ˆ
˙k
8
k żτ
ÿ
p´1q
B
B
´ Spτ, τ 1q “ ´T
dτ 2VI pτ 2q
Bτ
Bτ k“0 k!
τ1
˙k´n
˙n´1
ˆż τ
8
k ˆż τ
ÿ
p´1qk ÿ
dτ 2VI pτ 2q
VI pτ q
dτ 2VI pτ 2q
“ ´T
k! n“1 τ 1
τ1
k“0
˙k´1
ˆż τ
8
ÿ
p´1qk
“ ´T
dτ 2VI pτ 2q
kVI pτ q
k!
τ1
k“0
“ VI pτ qSpτ, τ 1q ... falls τ ą τ 1
denn B{Bτ und T sind unabhängige Operationen und die V ’s vertauschen unter T
7.4
Störungstheorie
mit der S-Matrix
ˆ żτ
˙
Spτ, τ 1q “ T exp ´
dτ 2VI pτ 2q
(τ ą τ 1)
τ1
kann die Zustandssumme
Z “ Sp e´βH
geschrieben werden als:
259
`
´βH0 βH0 ´βH
Z “ Sp e
e
e
˘
` ´βH
˘
0
“ Sp e
Spβ, 0q “ Z0xSpβ, 0qyp0q
Z0 “ Sp e´βH0 ist die freie Zustandssumme
x¨ ¨ ¨y “ Z0´1 Sp pe´βH0 ¨ ¨ ¨ q ist der freie Erwartungswert
also:
ˆ żβ
˙E
A
p0q
Z
“ T exp ´
dτ 2VI pτ 2q
Z0
0
• nach Entwicklung der Exponentialfunktion ist Z{Z0 als Reihe
in Potenzen der Wechselwirkungsstärke gegeben
————————————————————————————————————
für die Matsubara-Funktion
Gαβ pτ q “ ´xT cα pτ qc:β p0qy
und 0 ă τ ă β gilt:
1 ´ ´βH Hτ ´Hτ : ¯
Gαβ pτ q “ ´ Sp e
e cα e
cβ p0q
Z
1 ´ ´βH0 βH0 ´βH Hτ ´H0τ H0τ ´H0τ H0τ ´Hτ : ¯
“ ´ Sp e
e e
e e
e cα e
e e
cβ
Z
¯
1 ´ ´βH0
:
“ ´ Sp e
Spβ, 0qSp0, τ qcα,I pτ qSpτ, 0qcβ,I p0q
Z
260
¯
1 ´ ´βH0
:
“ ´ Sp e
T Spβ, τ qcα,I pτ qSpτ, 0qcβ,I p0q
Z
(wobei T auf Operatoren mit freier Zeitabhängigkeit wirkt)
¯
´
Z0 1
:
´βH0
Sp e
T Spβ, 0qcα,I pτ qcβ,I p0q
“´
Z Z0
“´
xT Spβ, 0qcα,I pτ qc:β,I p0qyp0q
Sp pe´βH0 Spβ, 0qq{Z0
also:
Gαβ pτ q “ ´
xT Spβ, 0qcα,I pτ qc:β,I p0qyp0q
xSpβ, 0qyp0q
• nach Entwicklung der Exponentialfunktionen ist die wechselwirkende
Matsubara-Funktion durch einen Quotienten freier Erwartungswerte
von Operatoren mit freier Zeitabhängigkeit gegeben
————————————————————————————————————
Vereinbarung für das Folgende:
Alle τ -Abhängigkeiten als freie Zeitabhängigkeiten zu verstehen!
es gilt:
261
ˆ żβ
˙E
A
p0q
Z
“ T exp ´
dτ V pτ q
Z0
0
und
A
´ ş
¯
Ep0q
β
:
T exp ´ 0 dτ V pτ q cα pτ qcβ p0q
Gαβ pτ q “ ´
A
´ ş
¯ Ep0q
β
T exp ´ 0 dτ V pτ q
die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben als
freie Erwartungswerte und freie (imaginäre) Zeitabhängigkeiten
• beachte:
Der Konvergenzradius der Exponentialfunktion ist unendlich
• also:
Die Störungstheorie, d.h. die Entwicklung in Potenzen von V
konvergiert für jedes endliche β
(und für endliche Dimension des Ein-Teilchen-Hilbert-Raums)
262
7.5
Feynman-Diagramme für die Zustandssumme
Für die Berechnung von zeitgeordneten freien Erwartungswerten von Produkten von
Erzeugern und Vernichtern mit freier Zeitabhängigkeit kann das Wicksche Theorem
verwendet werden!
betrachte zunächst den Nenner:
ˆ żβ
˙E
A
p0q
Z
dτ V pτ q
T exp ´
“
Z0
0
żβ
ż
8
ÿ
p´1qk β
dτk xT pV pτ1q ¨ ¨ ¨ V pτk qqyp0q
“
dτ1 ¨ ¨ ¨
k!
0
0
k“0
ż
żβ
8
ÿ
ÿ
ÿ
p´1qk β
“
dτ1 ¨ ¨ ¨
dτk
¨¨¨
Uα1β1δ1γ1 ¨ ¨ ¨ Uαk βk δk γk
k k!
2
0
0
k“0
α β γ δ
α β γ δ
1 1 1 1
k k k k
ˆxT pc:α1 pτ1qc:β1 pτ1qcγ1 pτ1qcδ1 pτ1q ¨ ¨ ¨ c:αk pτk qc:βk pτk qcγk pτk qcδk pτk qqyp0q
Matrixelement:
xT p¨ ¨ ¨ qyp0q “ tSumme über alle vollständig kontrahierten Termeu
(Wicksches Theorem)
Kontraktion:
263
cαi pτiqc:αj pτj q “ xT pcαi pτiqc:αj pτj qqyp0q “ ´Gp0q
αi αj pτi ´ τj q
————————————————————————————————————
zur Berechnung des Nenners, also Z{Z0
• betrachte den k-ten Term in der Summe (“k-te Ordnung”)
• werte den freien Erwartungswert mit Hilfe des Wickschen Theorems für gegebene
orbitale Indizes αi, βi, ... und gegebene Zeiten τi (i “ 1, ..., k) aus
• organisiere die Summe über alle möglichen Arten für vollständige Kontraktionen
durch Diagramme
• summiere / integriere über alle internen orbitalen Indizes und Zeiten
————————————————————————————————————
Diagrammelemente:
Vertex bei τ
β
γ
α
δ
αi
Propagator
τi
τ
steht für Uαiβiδiγi
αj
τj
p0q
steht für eine Kontraktion ´Gαiαj pτi ´ τj q
264
————————————————————————————————————
die Coulomb-Wechselwirkung ist instantan Ü
plaziere den Vertex auf der Zeitachse:
β
γ
α
δ
β
0
τ
Propagatoren verbinden zwei Anschlüsse
am gleichen oder an verschiedenen Vertices:
β
0
τ2
τ1
————————————————————————————————————
Vertex: 4 Anschlüsse , die den 4 Erzeugern/Vernichtern in V pτ q entsprechen:
265
• 2 Anschlüsse für auslaufende Linien (wegführende Pfeile): 2 Erzeuger
• 2 Anschlüsse für einlaufende Linien (hineinführende Pfeile): 2 Vernichter
am Vertex wird zwischen oben und unten unterschieden:
• 2 Anschlüsse oben: innere Erzeuger/Vernichter in V pτ q
• 2 Anschlüsse unten: äußere Erzeuger/Vernichter in V pτ q
————————————————————————————————————
αi
Propagatoren tragen Pfeile:
τi
αj
τj
p0q
Kontraktion ´Gαiαj pτi ´ τj q “ xT cαi pτiqc:αj pτj qy
• cαi pτiq: Linie endet am Vertex bei τi
• c:αj pτj q: Linie beginnt am Vertex bei τj
• im Argument der freien Matsubara-Funktion steht also stets
τVernichter ´ τErzeuger
————————————————————————————————————
freier Erwartungswert in der k-ten Ordnung:
xT pc:α1 pτ1qc:β1 pτ1qcγ1 pτ1qcδ1 pτ1q ¨ ¨ ¨ c:αk pτk qc:βk pτk qcγk pτk qcδk pτk qqyp0q
“ tSumme über alle vollständig kontrahierten Termeu
266
(Wicksches Theorem)
wird repräsentiert durch die Summe über alle möglichen Diagramme k-ter Ordnung
(also mit k Vertices)
β
0
τ
• es gibt p2kq! verschieden Möglichkeiten, die Anschlüsse an den k Vertices zu verbinden
• p2kq! verschiedene Möglichkeiten für vollständige Kontraktionen
• also p2kq! Diagramme in k-ter Ordnung
Beispiel: k “ 2, 4! “ 24 Diagramme
beachte:
• Vertices sind “fest”
• Propagatoren können beliebig “deformiert” werden
• Pfeilrichtungen sind zu beachten
• oft reichen wenige Pfeile aus, um alle anderen eindeutig festzulegen
267
268
Diagrammregeln
Zur Berechnung des Beitrags k-ter Ordnung zum Nenner (zu Z{Z0):
• Zeichne alle p2kq! verschiedenen Diagramme und indiziere sie mit orbitalen
Indizes αi und Zeitvariablen τi.
(Vertices sind fest, Propagatoren können deformiert werden)
• Damit ist pro Diagramm ein ganz bestimmter Summand gegeben, der einer möglichen
vollständigen Kontraktion entspricht. Jedes Diagramm hat einen numerischen
Wert , der von allen orbitalen Indizes und allen Zeiten abhängt. Die Diagramme
(deren numerische Werte) sind zu summieren .
• Weise jedem Vertex den entsprechenden Wert Uαiβiδiγi zu.
p0q
• Weise jedem Propagator den entsprechenden Wert ´Gαiαj pτi ´ τj q zu.
• Für Propagatoren, die am gleichen Vertex starten und enden, also bei
Gleichzeitigkeit ist: τErzeuger “ τVernichter ` 0` zu setzen.
(denn der Zeitordnungsoperator sortiert in diesem Fall den Erzeuger nach links)
• Summiere über alle orbitalen Indizes αi, βi, ...
• Integriere über alle τi (i “ 1, ..., k) von 0 bis β.
k
.
• Multipliziere den Diagrammwert mit dem Faktor p´1q
2k k!
• Multipliziere mit εL, wobei L die Anzahl der Loops ist.
Beispiel:
269
L“3
————————————————————————————————————
Begründung der Schleifenregel:
• betrache ein Diagramm, das einer vollständigen Kontraktion des Produkts von
Erzeugern/Vernichtern entspricht
• betrachte eine 4er-Einheit c:α pτ qc:β pτ qcγ pτ qcδ pτ q in der vollständigen Kontraktion
diese lässt sich auf c:α pτ qcδ pτ qc:β pτ qcγ pτ q ohne Vorzeichenwechsel transformieren
• 2er-Einheiten der Form c:α pτ qcβ pτ q entsprechen den Anschlüssen oben oder unten an
einem Vertex
• 2er-Einheiten lassen sich ohne Vorzeichenwechsel durch das Produkt ziehen
• halte die 2er-Einheit c:α pτ qcβ pτ q ganz links fest, suche den Partner von cβ pτ q (dies
muss ein Erzeuger sein), und ziehe die entsprechende 2er-Einheit c:α1 pτ 1qcβ 1 pτ 1q an
die erste heran
• halte die 2er-Einheiten c:α pτ qcβ pτ q und c:α1 pτ 1qcβ 1 pτ 1q links fest, suche den Partner
von cβ 1 pτ 1q (dies muss ein Erzeuger sein), und ziehe die entsprechende 2er-Einheit
c:α2 pτ 2qcβ 2 pτ 2q heran
270
• fahre fort bis in der zuletzt herangezogenen 2er-Einheit c:α3 pτ 3qcβ 3 pτ 3q der Vernichter cβ 3 pτ 3q mit dem Erzeuger c:α pτ q der ersten 2er-Einheit gepaart ist
• grafisch entspricht diesem Faktor eine Schleife im Diagramm
die numerische Auswertung dieses Faktors enthält ein Vorzeichen ε
• verfahre mit den restlichen 2er-Einheiten in der vollständigen Kontraktion genauso
• bei L Schleifen ergiben sich L Vorzeichen, also εL
7.6
Feynman-Diagramme für die Green-Funktion
Green-Funktion (Matsubara-Funktion):
A
´ ş
¯
Ep0q
β
:
T exp ´ 0 dτ V pτ q cα pτ qcβ p0q
´Gαβ pτ q “
´ ş
¯Ep0q
A
β
T exp ´ 0 dτ V pτ q
Zähler:
271
α
β
β
τ
τ2
τ1
0
Modifikation der Regeln:
• zeichne zusätzliche externe Anschlüsse an den Zeiten 0 und τ ,
die cα pτ q und c:β p0q repräsentieren
• jetzt gibt es 2k ` 1 Propagatoren in einem Diagramm und somit
p2k ` 1q! Diagramme in k-ter Ordnung
• über die externen Indizes bzw. Zeiten ist nicht zu summieren / integrieren
α, β und τ sind fest
• die Summe der Diagramme ergibt ´Gαβ pτ q ˆ Z{Z0 (beachte das Vorzeichen)
• Zähler und Nenner sind unabhängig voneinander zu entwickeln
• es entstehen “offene Diagramme”
Beispiel: Ordnung k “ 0: 1 Diagramm, k “ 1: 6 Diagramme
+ Übung
————————————————————————————————————
272
der letzte Punkt (Zähler/Nenner separat entwickeln) ist unschön, daher ...
betrachte ein typisches Diagramm, das zum Zähler beiträgt:
(A)
• jedes Diagramm besteht aus genau einem Teil, der mit den äußeren Anschlüssen
zusammenhängt (“offenes, zusammenhängendes Diagrammteil”)
• der Rest ist ein geschlossenes Diagrammteil, das u.U. in mehrere weitere geschlossene
Diagrammteile zerfällt
Linked-Cluster-Theorem:
Die Summe über die geschlossenen Diagrammteile hebt sich gegen den Nenner weg.
Es reicht also aus, die mit den äußeren Anschlüssen zusammenhängenden Diagramme
zu summieren. Das Resultat ist ´Gαβ pτ q.
Beweis:
273
betrachte das Diagramm
(B)
• (A) und (B) sind verschiedene Diagramme, die verschiedenen Möglichkeiten zur
vollständigen Kontraktion entsprechen.
• Nach Summation über die orbitalen Indizes und Integration über die Zeiten liefern
sie aber denselben Wert.
• Zu einem gegebenen zusammenhängenden Diagrammteil der Ordnung n und einem
gegebenen geschlossenen Diagrammteil der Ordnung k ´ n (gesamte Ordnung: k)
k!
verschiedene Diagramme (entsprechend der Anzahl von Möglichkeiten,
gibt es
n!pk ´ nq!
n Vertices aus k auszuwählen), die nach Summation / Integration denselben Wert
liefern.
• beachte: innerhalb des zusammenhängenden Diagrammteils bleibt die Reihenfolge
der Vertices gleich, genauso innerhalb des Rests
• Der Gesamtbeitrag aller dieser Diagramme ist nach Summation / Integration gegeben
durch:
274
p´1qk
k!
ˆ
n!pk ´ nq!
k!
ż
ż
dτ1...
p0q
dτk xT V pτ1q ¨ ¨ ¨ V pτk qcα pτ qc:β p0qyeine dieser vollständigen Kontraktionen, z.B. (A)
k!
p´1qn p´1qk´n
p´1qk
• es ist
“
ˆ
n!pk ´ nq! k!
n!
pk ´ nq!
• Der Gesamtbeitrag faktorisiert also in:
ż
ż
p´1qk´n
p´1qn
p0q
p0q
:
dτ1...dτnxT V pτ1q ¨ ¨ ¨ V pτnqcα pτ qcβ p0qyzus.hgdˆ
dτn`1...dτk xT V pτn`1q ¨ ¨ ¨ V pτk qyRest
n!
pk ´ nq!
• Summiere jetzt die Beiträge aller Diagramme beliebiger Ordnung, die aus einem
ganz bestimmten zusammenhängenden Diagrammteil der Ordnung n bestehen und
aus einem beliebigen (geschlossenem, u.U. weiter zerfallendem) Rest:
ż
ż
ż
mż
ÿ
p´1q
p´1qn
p0q
dτ1... dτnxT V pτ1q ¨ ¨ ¨ V pτnqcα pτ qc:β p0qyzus.hgdˆ
dτ1... dτmxT V pτ1q ¨ ¨ ¨ V pτmqyp0q
n!
m!
m
• Der zweite Faktor ist gerade Z{Z0 “ xSpβ, 0qyp0q. 4
7.7
Topologisch gleiche Diagramme
betrachte die folgenden Diagramme zur Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion:
275
Die Diagramme in jeder Zeile sind verschieden, liefern aber (nach Summation bzw. nach
Integration) denselben numerischen Wert, denn die Operationen
A Flippen eines Vertex
d.h. Uαβδγ c:α c:β cγ cδ “ Uβαγδ c:β c:α cδ cγ
B Austausch zweier Vertices
d.h. Umbenennung der Integrations- und Summationsvariablen τi Ø τj
bzw. αi, βi, ... Ø αj , βj , ...
haben offensichtlich keinen Effekt, i.e.:
ż
żβ
ÿ
ÿ
p´1qk β
dτ1 ¨ ¨ ¨
dτk
¨¨¨
Uα1β1δ1γ1 ¨ ¨ ¨ Uαk βk δk γk
2k k! 0
0
α β γ δ
α β γ δ
1 1 1 1
k k k k
ˆxT pc:α1 pτ1qc:β1 pτ1qcγ1 pτ1qcδ1 pτ1q ¨ ¨ ¨ c:αk pτk qc:βk pτk qcγk pτk qcδk pτk qcα pτ qc:β p0qqyp0q
ist invariant unter A und B
Diagramme, die unter A oder B ineinander transformieren heißen topologisch gleich
276
Ü Operation A generiert 2k verschiedene Diagramme gleichen Werts
Ü Operation B generiert k! verschiedene Diagramme gleichen Werts
(nach Summation bzw. Integration)
daher: Änderung der Diagrammregeln in folgender Weise:
• Summation nur über topologisch verschiedene Diagramme
1
• kein zusätzlicher Faktor k
2 k!
————————————————————————————————————
stetige Deformationen von Diagrammelementen:
• Man kann die topologische Gleichheit bzw. Verschiedenheit von Diagrammen offensichtlich auch dann entscheiden, wenn beliebige, stetige Deformationen der Diagrammelemente zugelassen werden, bei denen die Pfeile an den Propagatoren und
die äußeren Anschlüsse aber fest bleiben.
• Damit bekommt “topologische Gleichheit” einen mathematischen Sinn.
277
alle topologisch verschiedenen zusammenhängenden Diagramme
k“0
k“1
k“2
278
————————————————————————————————————
Endgültige Diagrammregeln:
Zur Berechnung des Beitrags k-ter Ordnung zu ´Gαβ pτ q:
• Zeichne alle topologisch verschiedenen, zusammenhängenden Diagramme ,
die mit zwei äußeren Anschlüssen verbunden sind.
(Vertices und Propagatoren können stetig deformiert werden)
• Indiziere jedes Diagramm mit orbitalen Indizes αi und Zeitvariablen τi.
• Für jeden Vertex schreibe ´Uαiβiδiγi .
p0q
• Für jeden Propagator schreibe ´Gαiαj pτi ´ τj q.
• Für Propagatoren, die am gleichen Vertex starten und enden,
d.h. bei Gleichzeitigkeit : τErzeuger “ τVernichter ` 0`.
• Summiere über alle orbitalen Indizes αi, βi, ...
• Integriere über alle τi (i “ 1, ..., k) von 0 bis β
• Multipliziere mit p´1qL wobei L “ Anzahl der Fermionen- Schleifen .
279
beachte:
Die Diagrammregeln sind in dieser Form “lokal”, d.h. in die Berechnung eines Diagrammteils gehen keine globalen Diagrammeigenschaften ein. Der numerische Wert
eines komplexen Diagramme, das sich aus elementareren Bestandteilen zusammensetzt,
lässt sich daher berechnen, indem zunächst die numerischen Werte der Bestandteile
berechnet werden.
7.8
Diagrammregeln in Frequenzdarstellung
αi
zeitabhängiger Propagator:
´Gp0q
αi αj pτi
αj
τ j “ ´Gp0q pτ ´ τ q
αi αj i
j
τi
8
˘
1 ÿ ´iωnpτi´τj q `
´ τj q “
e
´Gαiαj piωnq
β n“´8
Umformulierung der Diagrammregeln:
Ü ein Propagator wird durch eine Matsubara-Frequenz indiziert
Ü über alle (internen) Frequenzen ist zu summieren
280
αi
αj
p0q
ωn
frequenzabhängiger Propagator:
“ ´Gαiαj piωnq
1
der Faktor ? e´iωnτi wird dem Vertex zugerechnet, an dem der Propagator endet
β
1
der Faktor ? eiωnτj wird dem Vertex zugerechnet, an dem der Propagator beginnt
β
Sammeln der Faktoren an einem Vertex:
żβ
1
1
dτ ? 4 e´ipω1`ω2´ω3´ω4qτ “ δω1`ω2,ω3`ω4 Energieerhaltung am Vertex
β
β
0
Ü “Die Summe der einlaufenden ist gleich der Summe der auslaufenden Frequenzen”
————————————————————————————————————
zwei weitere Faktoren, vom ersten und vom letzten Propagator, treten auf:
1
1
1 1
? e´iωnτ
? eiωnτ
und
(wobei τ 1 “ 0)
β
β
wegen der Energieerhaltung an allen Vertices muss ωn1 “ ωn gelten
also ist:
żβ
dτ r´Gαβ pτ qs eiωnτ
´Gαβ piωnq “
0
281
żβ
1
dτ rfrequenzindizierte Diagrammes ? 2 e´iωnτ eiωnτ
β
0
“ rfrequenzindizierte Diagrammes
“
Ü über die “äußere” Frequenz iωn ist nicht zu summieren
282
Diagrammregeln:
Beitrag k-ter Ordnung zu ´Gαβ piωnq:
• alle topologisch verschiedenen, mit zwei äußeren Anschlüssen zusammenhängenden
Diagramme
• Indiziere jedes Diagramm mit orbitalen Indizes αm und Frequenzen ωm
1
• Vertex : ´Uαβδγ δωα `ωβ ,ωγ `ωδ
β
p0q
• Propagator : ´Gαiαj pωmq
`
p0q
• Gleichzeitigkeit : ´Gαiαj pωmqeiωn0
• Summation über innere Variablen αm und ωm
• L Fermionen- Schleifen : p´1qL
beachte: im Argument der Green-Funktion steht stets τVernichter ´ τErzeuger
dies liefert die Fourier-Faktoren:
e´iωnτVernichter
und
eiωnτErzeuger
bei Gleichzeitigkeit ist τVernichter ´ τErzeuger “ ´0`
also Faktor
`
e´iωnpτVernichter´τErzeugerq “ eiωn0
Beispiel:
283
für ein Diagramm k-ter Ordnung zur Green-Funktion ´Gαβ piωnq gilt:
• k Vertices, k Energieerhaltungsbedingungen
• 2k ` 1 Propagatoren, 2k ` 1 Frequenzen
• Frequenz links “ Frequenz rechts “ iωn
• also:
bleiben 2k ´ 1 innere Frequenzen
1 Energieerhaltung redundant, bleiben k ´ 1 Bedingungen
• also: k “freie” Frequenzen
————————————————————————————————————
Berechnung von Frequenzsummen:
¿
1ÿ
ε
1
F piωnq “
dω βω
F pωq
β n
2πi
e ´ε
C
C umschließt die Matsubara-Frequenzen in mathematisch positivem Sinn
F pωq Ñ 0 für |ω| Ñ 8 stärker als 1{|ω|
284
+ Übung
7.9
Selbstenergie
• bislang: Green-Funktion ist ein Funktional der freien Green-Funktion
• freies System aber ohne jede experimentelle Relevanz
• Coulomb-Wechselwirkung nicht “schwach”
• Störungstheorie nicht sinnvoll?
• Ausweg: Partialsummen, selbstkonsistente Renormierung
definiere Selbstenergieeinschub :
Teil eines Diagramms zur Green-Funktion mit zwei externen Anschlüssen
• k Vertices, k Energieerhaltungsbedingungen, davon
• 1 Bedingung, die ausdrückt, dass die an Frequenzen an den beiden Anschlüssen gleich
sind
• 2k ´ 1 Propagatoren, innere Frequenzen
• k “freie” Frequenzen
————————————————————————————————————
285
definiere uneigentliche Selbstenergie :
Summe aller Selbstenergieeinschübe
~
−Σ =
+
+
+
+ ...
r hängt von zwei externen orbitalen Indizes und einer externen Frequenz ab:
beachte: ´Σ
r αβ piωnq
Σ
————————————————————————————————————
definiere irreduzibler Selbstenergieeinschub:
Selbstenergieeinschub, der bei “Zerschneiden” eines beliebigen Propagators nicht in zwei
Teile zerfällt
reduzibel:
irreduzibel:
Beispiel:
2 irreduzible Selbstenergieeinschübe in Ordnung k “ 1
6 irreduzible Selbstenergieeinschübe in Ordnung k “ 2
286
+ Übung
————————————————————————————————————
definiere
irreduzible Selbstenergie / eigentliche Selbstenergie / Selbstenergie:
Summe aller irreduziblen Selbstenergieeinschübe
−Σ =
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
————————————————————————————————————
definiere
voller Propagator / wechselwirkender Propagator / Green-Funktion :
−G =
————————————————————————————————————
betrachte ein beliebiges Diagramm, das zu ´Gαβ piωnq beiträgt, mit Ordnung k ą 1:
das Diagramm beginnt (links) mit einem freien Propagator, gefolgt von einem
287
irreduziblen Selbstenergieeinschub, und endet mit einem Diagrammteil, der zu ´Gαβ piωnq
beiträgt
Summation über alle Diagramme ergibt:
=
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
+
Übersetzung:
´Gαβ piωnq “
p0q
´Gαβ piωnq
ÿ
`
p´Gp0q
αγ piωn qqp´Σγδ piωn qqp´Gδβ piωn qq
γδ
d.h.
Gαβ piωnq “
p0q
Gαβ piωnq
ÿ
`
Gp0q
αγ piωn qΣγδ piωn qGδβ piωn q
γδ
oder in Matrixnotation:
G “ G0 ` G0ΣG
7.10
Skelettdiagrammentwicklung
definiere Skelett-Diagramm :
Diagramm ohne Selbstenergieeinschübe
288
Dyson-Gleichung
mit Selbstenergie−
Einschub
Skelett
• es macht keinen Sinn, einen Propagator ohne Selbstenergieeinschub zu betrachten
(nur der freie Propagator ist ein Skelett)
• es werden nur Selbstenergie-Skelett-Diagramme diskutiert
————————————————————————————————————
definiere angezogenes Skelett :
Skelett, bei dem die freien durch volle Propagatoren ersetzt sind
Skelett
angezogenes
Skelett
Renormierung von Diagrammen
• ein angezogenes Skelett repräsentiert eine Partialsummation von unendlich vielen
Selbstenergie-Diagrammen
• explizite Ordnung: Anzahl der Vertices im angezogenen Skelett
289
• verschiedene angezogene Skelette beinhalten Summationen über verschiedene Diagramme
d.h. ein Selbstenergie-Diagramm kann nicht zu zwei verschiedenen angezogenen
Skeletten gehören
• jedes Selbstenergie-Diagramm gehört zu einem angezogenen Skelett
————————————————————————————————————
somit gilt:
Selbstenergie “ Summe über alle angezogenen Selbstenergie-Skelett-Diagramme
Skelett-Diagramm-Entwicklung:
−Σ =
+
+
+
• dies definiert die Selbstenergie als ein Funktional der wechselwirkenden Green-Funktion
• Störungstheorie um einen anderen (renormierten) Ausgangspunkt
• der volle Propagator ist natürlich nicht bekannt, kann aber approximativ mittels der
Dyson-Gleichung aus einer Approximation der Skelett-Diagramm-Entwicklung der
Selbstenergie bestimmt werden
• Abbruch der Skelett-Diagramm-Reihe führt zur selbstkonsistenten Störungstheorie
(im Gegensatz zur einfachen Störungstheorie)
290
————————————————————————————————————
Anzahl der Selbstenergie-Skelett-Diagramme in (expliziter) Ordnung
k “ 1: 2
k “ 2: 2
+ Übung
k “ 3: 10
7.11
Hartree-Fock-Näherung
Summation der Diagramme erster Ordnung (explizite erste Ordnung):
Hartree
=
α
β
δ γ
α β
Fock
+
α δ
γ β
Hartree-Term:
pHq
´Σαβ piωq
“ε
ÿÿ`
γδ ω 1
˘ 1 ` ´1
´Gγδ piω 1q eiω 0
Uαδβγ
β
also:
291
pHq
Σαβ piωq
ÿ
“ ´ε
γδ
1 ÿ iω10`
Uαδβγ
e
Gγδ piω 1q
β ω1
es ist:
1 ÿ iω10`
e
Gγδ piω 1q “ Gγδ pτ “ ´0`q “ ´xT cγ p´0`qc:δ y “ ´εxc:δ cγ y
β ω1
und somit:
pHq
Σαβ piωq
ÿ
“
Uαδβγ xc:δ cγ y
ÿ
“
Uαγβδ xc:γ cδ y
γδ
γδ
Fock-Term:
pFq
´Σαβ piωq
ÿÿ`
˘ 1 ` ´1
´Gδγ piω 1q eiω 0
“
Uαγδβ
β
γδ ω 1
also:
pFq
Σαβ piωq
“ε
ÿ
Uαγδβ xc:γ cδ y
γδ
ergibt die Hartree-Fock Selbstenergie:
ÿ
pHFq
pUαγβδ ` εUγαβδ q xc:γ cδ y1
Σαβ “
Hartree-Fock-Selbstenergie
γδ
• die HF-Selbstenergie enthält den vollen (HF) Propagator
• Selbstkonsistenzzyklus: G Ü Σ Ü G
292
• HF “ selbstkonsistente Störungstheorie erster Ordnung
293

Theorie der kondensierten Materie II - I. Institut für Theoretische Physik

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können