Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So

Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium (Lehramt GM/So)
SoSe 2010
A. Blunck
Hinweis: Die mit einem Stern ∗ versehenen Aufgaben sind vielleicht etwas schwieriger oder umfangreicher, manchmal hilft eine besondere Idee weiter.
Aus dem ersten Semester:
1)
Gesucht ist für endliche Mengen A und B ein Zusammenhang zwischen |A|, |B|, |A ∪ B| und
|A ∩ B|.
2)
Wieviele Elemente besitzt die Potenzmenge der Potenzmenge einer dreielementigen Menge?
3)
Zeichne ein Venndiagramm (Grundmenge sei N) von M1 := {n ∈ N | n ≤ 10},
M2 := {n ∈ N | n > 100}, M3 := {n ∈ N | n Primzahl } und gib aus jedem möglichen Bereich
ein Element an.
4)
Sei A = {a, b, c}. Welche der Eigenschaften (r), (s), (t), (as) besitzen die Relationen
R1 = {(a, a), (c, c)}, R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b)} und R3 = {(a, b), (b, c), (a, c), (c, a)} ?
5∗ )
Welche der Eigenschaften (r), (s), (t), (as) besitzt die Relation R := {(x, y) ∈ R2 | x+y = x·y}?
6)
Es sei A = {a, b, c}. Ergänze die Relation R = {(a, a), (c, b), (a, c)} ⊂ A × A mit möglichst
wenigen zusätzlichen Elementen zu einer Ordnungsrelation.
7)
Gibt es eine Partition zur Relation {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (d, d)}?
8)
Welche Äquivalenzrelation gehört zur Partition mit den Mengen {a, c}, {b}, {d, e}?
9∗ )
Welche Eigenschaften hat die Relation a ∼ b : ⇐⇒ a2 + b = a(b + 1) auf N?
10)
Auf Z × Z ist mit (a, b) ∼ (c, d) : ⇐⇒ a + d = b + c eine Relation gegeben.
a∗ ) Beweise, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt!
b) Gesucht ist die Menge aller Paare (x, y) ∈ Z × Z mit (x, y) ∼ (4, 1).
c) Welche elementare Rechenoperation steckt hinter dieser Äquivalenzrelation?
11)
Wahr oder falsch? a) Es gibt |A||B| viele Abbildungen von A nach B.
b) Es gibt für endliche Mengen A und B immer genau so viele Abbildungen von A nach B wie
von B nach A.
c) Für Bijektionen f und g gilt immer f ◦ g = g ◦ f .
12)
a) Wieviele Elemente haben A und B, wenn es genau 20 Abbildungen f : A → B gibt?
b∗ ) Wieviele Elemente hat C, wenn es genau 30 surjektive Abbildungen f : C → {x, y} gibt?
13)
Wahr oder falsch? a) Es gibt eine injektive Abbildung von Q nach N.
b) Es gibt eine bijektive Abbildung von Z auf die Menge der Primzahlen.
c) Es gibt eine surjektive Abbildung von Q nach R.
Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem ersten Semester
(Fortsetzung)
14)
a) Gesucht ist eine injektive Funktion von R nach R, die nicht surjektiv ist.
b) Gesucht ist eine surjektive Funktion von R nach R, die nicht injektiv ist.
15)
Untersuche f : R → R, definiert durch f (x) := 25 − x2 , auf Injektivität und Surjektivität.
16)
Sei f : A → B und b ∈ B. Worin unterscheiden sich f −1 , f −1 ({b}) und f −1 (b)?
17)
Seien f : R2 → R gegeben durch f ((x, y)) := x − y und g : R2 → R2 gegeben durch
g((x, y)) := (x + y, x − y)
a) Gesucht sind f −1 ({1}) und g −1 ({(1, 1)}).
b) Untersuche f und g auf Injektivität / Surjektivität.
c) Gib wenn möglich f ◦ f oder g ◦ g an.
18)
Für welche fi : R → R mit f1 (x) := −x, f2 (x) := 1, f3 :=
Umkehrfunktion und wie sieht sie gegebenenfalls aus?
2x
1
2x
für
für
x≤0
existiert die
x>0
19)
Zeige für f : A → B mit A = {a, b, c} und B = {x, y}, dass mit geeigneten Teilmengen
A1 , A2 ⊂ A in f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ) nicht das Gleichheitszeichen gilt.
20)
Gesucht sind
6
P
k,
k=2
21)
6
P
l,
k=2
l
P
k.
k=2
Beweise durch vollständige Induktion
n
P
i=1
2
3i
=1−
1
3n
und
n
P
2k = 2n+1 − 4.
k=2
n
P
2 · 3i = 3(3n − 1).
22)
Beweise mit Hilfe der geometrischen Summenformel (ohne Induktion)
23)
Beweise durch vollständige Induktion 3 | (10n − 1).
24∗ )
Für welche natürlichen Zahlen gilt 3n > n2 > 4n + 1? (mit Beweis)
25)
Finde durch Zeichnung alle x ∈ R für |2x − 3| < x2 .
26)
Finde durch Rechnung und Zeichnung alle x ∈ R∗ mit x < x1 .
27)
Worin unterscheiden sich die Zahlenmengen Q, R, C?
28∗ )
29)
Für welche a, b ∈ R gilt a2 < ab?
n
o
n
o
Sei L := x22+3 | x ∈ N und M := x22−3 | x ∈ N . Gesucht sind inf L, min L, sup L, max L
inf M , min M , sup M , max M (ohne Beweis).
30)
Wahr oder falsch?
31)
Bestimme kgV(297,108) und ggT(105,224) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus.
32)
Schreibe 333 im 2–, 5–, 12–System.
33)
(223)4 = (??)11
34)
Rechne möglichst ohne Umwandlung in das Dezimalsystem:
6 | 12,
10 | 0,
0 | −10,
10 | −10,
i=1
−20 | −10
(102)4 · (23)4 .
Fragen und Aufgaben zum Examenskolloquium aus dem ersten Semester
(Fortsetzung)
35)
In einer Klausur sind 12 Fragen mit wahr oder falsch zu beantworten. Ein Student entschließt
sich, bei genau der Hälfte aller Fragen wahr anzukreuzen. Wieviele verschiedene Möglichkeiten
gibt es für diese Vorgehensweise?
36)
Wieviele verschiedene Buchstabenkombinationen (mit oder ohne Sinn) kann man durch Vertauschung der Buchstaben ANANAS bilden?
37)
Wieviele 4–adische Zahlen kann man mit maximal drei Ziffern darstellen?
38)
Aus einer Schulklasse mit 24 Schüler(innen) sollen drei als Konfliktschlichter“ ausgebildet wer”
den. Wieviele Auswahlmöglichkeiten gibt es?
39∗ )
Wieviele verschiedene Wahlausgänge sind möglich, wenn 50 Personen zwischen vier Parteien
wählen können (mit Stimmenthaltung, möglicherweise ungültige Stimmen)
40∗ )
Wieviele Möglichkeiten gibt es
a) fünf Studierende auf drei Arbeitsgruppen aufzuteilen, wenn jede Arbeitsgruppe aus mindestens einer Person bestehen muss?
b) fünf nicht unterscheidbare Bonbons auf drei Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind mindestens
ein Bonbon erhalten soll?
c) drei Exemplare eines Lehrbuchs unter fünf Studierende aufzuteilen, wenn kein Studierender
mehr als ein Buch benötigt?
d) die drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze) eines Wettbewerbs unter fünf Nationen aufzuteilen,
wenn jede Nation mit drei Sportlern vertreten ist?
e) die drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze) eines Wettbewerbs unter fünf Nationen aufzuteilen,
wenn jede Nation mit zwei Sportlern vertreten ist?
41)
Bei dem Glücksspiel 2 aus 4“ sind zwei Zahlen zu raten, die wie beim Lotto aus {1, 2, 3, 4}
”
gezogen werden. Bei einem Einsatz von einem Euro pro Spiel werden bei zwei richtig geratenen
Zahlen vier Euro ausgezahlt. Wenn keine Zahl richtig ist, wird der Einsatz zurückgezahlt. Lohnt
sich das Spiel für den Anbieter?
42)
Sei z = 2 − 5i, gesucht ist |z| und der Imaginärteil von z −1 .
43∗ )
Beweise oder widerlege: C ist kein angeordneter Körper.
44)
Gesucht sind die Polarkoordinaten von i und (−i)3 .
45)
Untersuche f : C → C, definiert durch f (z) := 25 − z 2 , auf Injektivität und Surjektivität.
46)
Gesucht sind alle x, y ∈ C mit x + y = i und x · y = 1.