Einführung in die Topologie Blatt 7 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Einführung in die Topologie
Blatt 7
Übung 1 Die Kleinsche Flasche K ist gegeben durch ein Quadrat, bei dem jeweils gegenüberliegende
Seiten wie in der linken der nachstehenden Figuren identifiziert werden.
a) Geben Sie eine Triangulierung der Kleinschen Flasche an (es genügt, die Simplizes in die gegebene
Figur einzuzeichnen). Hinweis: Es existiert keine Triangulierung mit zwei zweidimensionalen
Simplizes.
b) Üblicherweise wird die Kleinsche Flasche wie im rechten der beiden Bilder gezeichnet. Veranschaulichen Sie, warum dieser Raum homöomorph zu K ist.
c) Der Raum P entstehe aus dem Ring S 1 × [0, 1] durch die Identifikationen (x, 0) ∼ (−x, 0) und
(x, 1) ∼ (−x, 1) für alle x ∈ S 1 . Man zeige, dass P homöomorph zur Kleinschen Flasche K ist.
Vorschlag: Wir fassen S 1 ⊂ C auf. Zeigen Sie zunächst, dass der Teilraum (S 1 \{1, −1})×[0, 1]/ ∼
von P homöomorph zum Raum S 1 × [0, 1] ist (aussagekräftige Bilder genügen). Folgern Sie
daraus, dass P homöomorph zum Raum P 0 := S 1 × [0, 1]/(x, 0) ∼ (−x, 1) ist und benutzen Sie
nun das Ergebnis von Teilaufgabe b).
Übung 2 Wir nennen einen abstrakten Simplizialkomplex (X, Σ) endlich, falls die Menge Σ der Simplizes endlich ist. Man zeige, dass die geometrische Realisierung eines abstrakten Simplizialkomplexes
(X, Σ) genau dann kompakt ist, falls (X, Σ) endlich ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass Simplizialkomplexe metrisierbar sind, so dass die
Konzepte von Kompaktheit und Folgenkompaktheit zusammenfallen.
Übung 3 Betrachten Sie das Möbiusband
M = Y ∪f X
wobei (Bezeichnung wie in der Vorlesung) X := Y := [0, 1]×R, A := {0, 1}×R ⊂ X und die Abbildung
f : A → Y durch
(0, x) 7→ (0, x)
(1, x) 7→ (1, −x)
gegeben ist. Skizzieren Sie M und zeigen Sie für die Einpunktkompaktifizierung
M + ≈ RP 2 .
Abgabe spätestens Montag, den 2. Juni, um 10 Uhr im Übungskasten.