Die strukturelle Hierarchie

Die strukturelle Hierarchie
Wenn die Sequenzen auf der linken Seite des Doppelpfeils als FormelSequenzen aufgefasst werden statt als Mengen, benötigt man noch weitere
strukturelle Regeln:
Aussagenlogik
A⇒A
X⇒A
id
X⇒A
X, B ⇒ A
Y, X, Z ⇒ B
X ⇒A∧B
M
X ⇒A∧B
X⇒B
X⇒A
X ⇒A∧B
Y ⇒A
X, Y ⇒ B
X⇒A
X, A ⇒ B
→E
X⇒A→B
X, A ⇒ B
¬E
Y, A ⇒ C
Y, B ⇒ C
X, Y ⇒ C
X⇒A
X ⇒A•B
A⇒A
∧I
X, A, Y ⇒ B
X, A ⇒ ¬B
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
•E
X⇒A
X, Y ⇒ A • B
X ⇒A∧B
•I
X ⇒ ¬¬A
X⇒A
Y ⇒A
X, A ⇒ B
→E
X⇒A→B
X, A ⇒ B
Y, A ⇒ C
Y, B ⇒ C
X, Y ⇒ C
X ⇒A•B
∧I
→I
X, A ⇒ ¬B
X ⇒ ¬A
X ⇒A∨B
X⇒A
X⇒B
X ⇒A∧B
¬E
X ⇒A∨B
∧E(1)
X⇒A
X, Y ⇒ B
Die Konjunktion ∧ (manchmal auch geschrieben als u) heißt additiv
und die Konjunktion • (auch · oder ⊗) heißt multiplikativ. In der klassischen und intuitionistischen Logik sind sie äquivalent.
∨E
X ⇒A∨B
∨I(1)
X⇒B
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
1
C
∧E(2)
X⇒A→B
∨I(2)
Y ⇒B
P
Logische Regeln
¬I
X ⇒A∧B
X⇒B
X, B, A, Y ⇒ C
Cut
X⇒A
∨E
X ⇒A∨B
X, A, B, Y ⇒ C
M
X, A, A, Y ⇒ B
→I
Y, A, Z ⇒ B
Y, X, Z ⇒ B
X, B ⇒ A
X⇒B
∨I(1)
X⇒A
id
X⇒A
X ⇒ ¬A
X ⇒A∨B
X ⇒A∨B
X⇒B
Strukturelle Regeln
Cut
∧E(1)
X⇒A
∧E(2)
X⇒A→B
X ⇒ ¬¬A
Y, A, Z ⇒ B
•E
2
X⇒A
∨I(2)
Y ⇒B
X, Y ⇒ A • B
•I
¬I
Intuitionismus
Relevanz-Logik (positives Fragment)
Strukturelle Regeln
A⇒A
X⇒A
id
X⇒A
X, B ⇒ A
Strukturelle Regeln
Y, A, Z ⇒ B
Y, X, Z ⇒ B
X, A, B, Y ⇒ C
M
X, A, A, Y ⇒ B
X, A, Y ⇒ B
X, B, A, Y ⇒ C
Cut
A⇒A
X⇒A
id
X, A, A, Y ⇒ B
P
X, A, Y ⇒ B
X, A, B, Y ⇒ C
C
C
X, B, A, Y ⇒ C
X⇒A
Y ⇒A
X ⇒ ¬A
X⇒B
X ⇒A•B
∧E(1)
X⇒B
X ⇒A∧B
X, Y ⇒ B
X⇒A
X⇒A
X⇒A
∧E(2)
X⇒A→B
X, A ⇒ B
→E
X⇒A→B
X, A ⇒ B
¬E
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
P
X ⇒A∧B
X ⇒A∧B
X⇒B
Cut
Logische Regeln
Logische Regeln
X ⇒A∧B
Y, A, Z ⇒ B
Y, X, Z ⇒ B
X ⇒A∧B
X⇒B
∧I
→I
X ⇒A•B
X, A ⇒ ¬B
3
X⇒A
Y ⇒B
X, Y ⇒ A • B
X⇒B
X ⇒A∧B
Y ⇒A
X, Y ⇒ B
X ⇒ ¬A
•E
X⇒A
∧E(2)
X⇒A→B
∧E(1)
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
X, A ⇒ B
→E
X⇒A→B
•E
¬I
•I
4
X⇒A
∧I
→I
Y ⇒B
X, Y ⇒ A • B
•I
Lineare Logik (positives multiplikatives Fragment)
Lambek-Kalkül
Strukturelle Regeln
A⇒A
X⇒A
id
Strukturelle Regeln
Y, A, Z ⇒ B
Y, X, Z ⇒ B
X, A, B, Y ⇒ C
X, B, A, Y ⇒ C
Cut
P
Y ⇒A
X, Y ⇒ B
X ⇒A•B
X⇒A
X, A ⇒ B
→E
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
X⇒A
Y, A, Z ⇒ B
Y, X, Z ⇒ B
Cut
Logische Regeln
Logische Regeln
X⇒A→B
id
A⇒A
X⇒A→B
•E
X⇒A
Y ⇒ A\B
X, Y ⇒ B
→I
Y ⇒B
X, Y ⇒ A • B
X ⇒ B/A
Y ⇒A
X, Y ⇒ B
•I
X ⇒A•B
5
X ⇒ A\B
X, A ⇒ B
/E
Y, A, B, Z ⇒ C
Y, X, Z ⇒ C
A, X ⇒ B
\E
X ⇒ B/A
•E
6
X⇒A
\I
/I
Y ⇒B
X, Y ⇒ A • B
•I