Ubungsaufgaben 3.

Topologie I
SS 2003
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/top/
Übungsaufgaben 3.
1. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Zeige, daß gilt: Sind A1 , A2 disjunkte,
abgeschlossene Mengen, so gibt es disjunkte, offene Mengen U1 , U2 mit A1 ⊆ U1 und
A2 ⊆ U2 (man sagt: X ist ein T4 -Raum).
Hinweis. Man zeige zuerst: X ist ein T3 -Raum: Zu jeder abgeschlossenen Menge
A und jedem Punkt x ∈ X \ A gibt es offene, disjunkte Mengen U, U 0 mit A ⊆ U
und x ∈ U 0 (ganz wie im Beweis, daß kompakte Teilmengen eines Hausdorff-Raums
abgeschlossen sind...). Dann wendet man den gleichen Trick noch einmal an, um aus
der T3 -Eigenschaft die T4 -Eigenschaft abzuleiten.
2. Sei X eine Menge, sei S eine Menge von Teilmengen von X. Sei T (S) die
Menge aller Teilmengen von X, die sich als Vereinigungen von endlichen Durchschnitten von Mengen in S schreiben lassen. Zeige:
(a) Das Mengensystem T (S) ist eine Topologie auf X.
(b) Ist T 0 eine Topologie auf X, in der die Mengen aus S offen sind, so ist
T (S) ⊆ T 0 .
(c) Ist (Y, O) ein topologischer Raum, so ist eine Abbildung f : Y → X genau
dann eine stetige Abbildung (Y, O) → (X, T (S)), wenn die Urbilder der Mengen aus
S zu O gehören.
Bemerkung. Ist (X, T ) ein topologischer Raum, und S eine Menge von Teilmengen von X mit T = T (S), so nennt man S eine Subbasis von T .
3. Zeige: (a) Die Mengen U (x) = {y | |y−x| < } mit ∈ Q+ = {r ∈ Q | r > 0}
und x ∈ Qn bilden eine Subbasis von Rn .
(b) Der Rn besitzt also eine abzählbare Subbasis.
4. Sei X = {a, b, c, d, e} (fünf-elementig) und Y = {y, z} (zwei-elementig).
Bestimme alle stetigen Abbildungen
(X, {∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, X}) −→ (Y, {∅, {y}, Y })