Etwas Mathematik

Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik
Werner Struckmann
WS 2014/2015
Etwas Mathematik: Was machen wir?
1. Aussagen, Logik
2. Mengen, Relationen, Funktionen
3. Zahlenmengen, Rechnen
4. Beweise
5. Dualzahlen: Wie rechnet ein Rechner?
Übungsblätter als Hausaufgaben
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Aussagen
Unter einer Aussage versteht man im klassischen Sinn ein sprachliches Gebilde,
dem sich sinnvoll einer der Wahrheitswerte falsch oder wahr zuordnen lässt.
Dies ist keine formale Definition:
Der Begriff sprachliches Gebilde ist genauso wenig definiert, wie der einer
Aussage.
Wahrheitswerte:
{0, 1},{f , t},{f f , tt},{f al se, true},{f al sch, wahr},{f , w}
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Aussagen
Wir betrachten die folgenden Sätze:
Wann ist in diesem Jahr Ostern?
Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren.
2 und −3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x − 6 = 0
Heute ist Vollmond.
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Aussagen
Wir betrachten die folgenden Sätze:
Wann ist in diesem Jahr Ostern?
Dies ist keine Aussage.
Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren.
2 und −3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x − 6 = 0
Heute ist Vollmond.
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Aussagen
Wir betrachten die folgenden Sätze:
Wann ist in diesem Jahr Ostern?
Dies ist keine Aussage.
Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren.
Diese Aussage ist falsch.
2 und −3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x − 6 = 0
Heute ist Vollmond.
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Aussagen
Wir betrachten die folgenden Sätze:
Wann ist in diesem Jahr Ostern?
Dies ist keine Aussage.
Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren.
Diese Aussage ist falsch.
2 und −3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x − 6 = 0
Diese Aussage ist wahr.
Heute ist Vollmond.
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Aussagen
Wir betrachten die folgenden Sätze:
Wann ist in diesem Jahr Ostern?
Dies ist keine Aussage.
Carl Friedrich Gauß wurde 1855 geboren.
Diese Aussage ist falsch.
2 und −3 sind die einzigen Lösungen der Gleichung x 2 + x − 6 = 0
Diese Aussage ist wahr.
Heute ist Vollmond.
Dies ist keine Aussage. Es gibt keinen eindeutigen Wahrheitswert.
Obwohl heute (8. Oktober 2014) um 12:50 Uhr in Deutschland Vollmond ist.
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Aussagen
Verknüpfung von Aussagen, Wahrheitswerte von Aussagen F (φ):
φ
w
f
φ
f
f
w
w
ψ
f
w
f
w
(φ ∧ ψ)
f
f
f
w
Konjunktion
(¬φ)
f
w
Negation
(φ ∨ ψ)
f
w
w
w
Disjunktion
(φ → ψ)
w
w
f
w
Implikation
(φ ←→ ψ)
w
f
f
w
Äquivalenz
Zur einfacheren Lesbarkeit können überflüssige Klammern weggelassen werden.
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Aussagen
Eigenschaften von Aussagen:
φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w.
φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autol ogi e.
Beispiel: Der Ausdruck (φ → ψ) ←→ (¬φ ∨ ψ) ist allgemeingültig.
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Aussagen
Eigenschaften von Aussagen:
φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w.
φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autol ogi e.
Beispiel: Der Ausdruck (φ → ψ) ←→ (¬φ ∨ ψ) ist allgemeingültig.
Gibt es einen Algorithmus, der für einen gegebenen Ausdruck feststellen kann, ob
der Ausdruck erfüllbar ist?
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Aussagen
Eigenschaften von Aussagen:
φ ist erfüllbar gdw. es ex. F mit F (φ) = w.
φ ist allgemeingültig gdw. für alle F gilt F (φ) = w, T autol ogi e.
Beispiel: Der Ausdruck (φ → ψ) ←→ (¬φ ∨ ψ) ist allgemeingültig.
Gibt es einen Algorithmus, der für einen gegebenen Ausdruck feststellen kann, ob
der Ausdruck erfüllbar ist?
Antwort: Ja, einfach alle Möglichkeiten ausprobieren.
n
Im schlimmsten Fall müssen 2 Möglichkeiten geprüft werden.
Resolution: Für spezielle Mengen von Ausdrücken gibt es schnelle Verfahren.
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Logik
Aussagenlogik
Menge der Aussagenvariablen {p1 , p2 , p3 , . . .}
Ausdrücke, s. oben.
Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit
Normalformen, Resolution, Hornausdrücke, Deduktion, . . .
Prädikatenlogik 1. Stufe
Menge der Individuenvariablen {v1 , v2 , v3 , . . .}
Verknüpfungen (s. oben)
Quantoren: ∃, ∀
Konstante, Relations- und Funktionssymbole
Syntax, Semantik, Strukturen, Normalformen, Resolution, . . .
Ein Beispiel für die Prädikatenlogik sehen wir uns an.
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Logik
Gruppentheorie: (G, ◦, e)
Konstante
e
Funktionssymbol
◦:G×G →G
Axiome:
Assoziativität:
Neutrales Element:
Rechtsinverses Element:
∀x∀y∀z.(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
∀x.x ◦ e = x
∀x∃y.x ◦ y = e
Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0}, ·, 1) sind Gruppen: Strukturen.
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Logik
Gruppentheorie: (G, ◦, e)
Konstante
e
Funktionssymbol
◦:G×G →G
Axiome:
Assoziativität:
Neutrales Element:
Rechtsinverses Element:
∀x∀y∀z.(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
∀x.x ◦ e = x
∀x∃y.x ◦ y = e
Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0}, ·, 1) sind Gruppen: Strukturen.
Satz: Linksinverses Element: ∀x∃y.y ◦ x = e
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Logik
Gruppentheorie: (G, ◦, e)
Konstante
e
Funktionssymbol
◦:G×G →G
Axiome:
Assoziativität:
Neutrales Element:
Rechtsinverses Element:
∀x∀y∀z.(x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
∀x.x ◦ e = x
∀x∃y.x ◦ y = e
Beispiele: (Z, +, 0), (R \ {0}, ·, 1) sind Gruppen: Strukturen.
Satz: Linksinverses Element: ∀x∃y.y ◦ x = e
Beweis: x sei gegeben. Dann gelten: ∃y.x ◦ y = e und ∃z.y ◦ z = e.
Daraus folgt:
y ◦ x = (y ◦ x) ◦ e = (y ◦ x) ◦ (y ◦ z)
= y ◦ (x ◦ (y ◦ z)) = y ◦ ((x ◦ y) ◦ z)
= y ◦ (e ◦ z) = (y ◦ e) ◦ z) = y ◦ z = e
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Logik
Modul: Einführung in die Logik
Aussagenlogik
Grundlagen der Prädikatenlogik 1. Stufe
Modul: Logik in der Informatik
Kurze Wiederholung des Moduls Einführung in die Logik
Axiomatische Mengenlehre
Zahlenmengen, Kardinal- und Ordinalzahlen, Unendlichkeit
Weiteres zur Prädikatenlogik
Weitere Logiken, Anwendungen in der Informatik
Beispiele: LTL, CTL, Hoaresche Logik (Programmverifikation), . . .
Es gibt viele Logiken.
Rechnerübungen: Prolog
Logik und Mengenlehre sind die Basis für Sprachen der exakten Wissenschaften!
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Mengen
G EORG C ANTOR (1895):
Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden)
zu einem Ganzen: m ∈ M.
Hierbei handelt es sich nicht um eine Definition im strengen Sinn. Der Begriff
„Zusammenfassung“ bedarf natürlich genauso einer Erklärung wie der einer
„Menge“. Dies führte zur Russellschen Antinomie (B ERTRAND R USSELL, 1902):
Enthält die folgende Menge R sich selbst als Element?
R = {z | z ∈
/ z}
Hieraus folgt: R ∈ R ←→ R ∈
/ R. Diese Antinomie führte zu mehreren
axiomatischen Mengenlehren. In den axiomatischen Mengenlehren hat man noch
keinen Widerspruch gefunden. Man kann aber auch nicht beweisen, dass sie
keinen Widerspruch enthalten (Berühmter Satz von K URT G ÖDEL).
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Mengen
Beispiel: Die Menge
M = {5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 7} = {5, 2, 7}
enthält drei Elemente. Man schreibt hierfür: |M| = 3.
Axiomatische Mengenlehren werden in der Prädikatenlogik mit dem
Relationssymbol ∈ formuliert. Beispiel für ein Axiom:
Extensionalitätsaxiom: ∀x∀y.(∀z.(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y)
ZFC (Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem) ist das am häufigsten verwendete
Axiomensystem für die Mengenlehre.
Existenzaxiome (Beispiel: Es ex. eine unendliche Menge)
Struktur von Mengen (Beispiel: Gleichheit durch das Extensionalitätsaxiom)
Konstruktion von Mengen (Beispiel: Potenzmengenaxiom)
Ein DIN-A4-Blatt reicht für die Axiome.
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Zahlenmengen
Beispiele für Zahlenmengen:
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, . . .}
Eventuell 0 ∈ N oder N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Menge der ganzen Zahlen:
Menge der rationalen Zahlen:
Menge der reellen Zahlen:
Q
R
Menge der komplexen Zahlen:
C
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Mengen
Leere Menge: {} oder ∅
Teilmenge: A ⊂ B ↔ ∀.x(x ∈ A → x ∈ B).
Alternatives Zeichen hierfür: ⊆
Schreibweise: {x ∈ B | φ(x)}
Potenzmenge: P (A) = {B | B ⊂ A}
Durchschnittsmenge: A ∩ B = {c | c ∈ A ∧ c ∈ B}
Vereinigungsmenge: A ∪ B = {c | c ∈ A ∨ c ∈ B}
Differenzmenge (Komplement): A \ B = {c | c ∈ A ∧ c ∈
/ B}
(Geordnetes) Paar: (a, b) = {a, {a, b}}
Zweistelliges kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
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Relationen und Funktionen
Zweistellige Relation: R ⊂ A × B
Eine einstellige Funktion f : A → B ist eine zweistellige Relation f ⊂ A × B mit
∀a ∈ A ∃! b ∈ B.(a, b) ∈ f .
Schreibweise: f (a) = b.
Relationen und Funktionen können mehrstellig sein.
Obiges Beispiel: ◦ ist eine zweistellige Funkion für Gruppen.
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Relationen
Schreibweise für Relationen: R ⊂ A × A
aRb gdw. (a, b) ∈ R
Beispiel für Relation: Ordnungsrelation ≤ ⊂ A × A
reflexiv: ∀a. a ≤ a
transitiv: ∀a ∀b ∀c. a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c
antisymmetrisch: ∀a ∀b.a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b
Wenn alle zwei Elemente vergleichbar sind, nennt man diese Relation total.
Beispiele für Ordnungsrelationen:
≤ auf Zahlenmengen
⊂ auf der Potenzmenge P (A) einer Menge A. Diese Relation ist nicht total.
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Relationen
Beispiel für Relation: Äquivalenzrelation R ⊂ A × A
reflexiv: ∀a. aRa
symmetrisch: ∀a ∀b.aRb → bRa
transitiv: ∀a ∀b ∀c. aRb ∧ bRc → aRc
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Relationen
Beispiel für Äquivalenzrelation:
R ⊂ Z×Z
R = {(a, b) | a, b ∈ Z, 5 | (b − a)}
reflexiv: ∀a. 5 | (a − a)
symmetrisch: ∀a ∀b. 5 | (b − a) → 5 | (a − b)
transitiv: ∀a ∀b ∀c. 5 | (b − a) ∧ 5 | (c − b) zu zeigen: 5 | (c − a)
∃k. 5 · k = b − a ∧ ∃l . 5 · l = c − b →
5 · (k + l ) = 5 · k + 5 · l = (b − a) + (c − b) = c − a → 5 | (c − a)
Äquivalenzklasse: [x] = {y ∈ A | yRx}
für x ∈ A und die Äquivalenzrelation R ⊂ A × A
Obiges Beispiel:
[7] = {.... − 8, −3, 2, 7, 12, 17, 22, ....}
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Funktionen
Beispiele für Funktionen (Diese Funktionen kennen Sie wahrscheinlich schon):
n
Potenz: f (x) = x
√
Wurzel: f (x) = n x
Logarithmus: f (x) = logn (x)
Gerade: f (x) = a · x + b
2
Parabel: f (x) = a · x + b · x + c
n
Polynom: f (x) = an · x + an−1 · x
n−1
+ ... + a1 · x + a0
Trigonometrische Funktionen: f (x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = tan(x), . . .
Hintereinanderausführung von Funktionen:
f : A → B, g : B → C :
g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(a) = g(f (a))
Partielle Funktion: f : A →P B
Nicht jedes Element aus A besitzt einen Funktionswert. Nur die Elemente aus dem
Definitionsbereich Df ⊂ A besitzen einen Funktionswert.
Mengensysteme
Mengensystem: Menge von Mengen
Beispiel:
M1 = {2, 3, 4}
M2 = {3, 4, 5}
M3 = {4, 9}
M = {M1 , M2 , M3 }
S
M = {2, 3, 4, 5, 9}
T
M = {4}
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Aussagen, Logik, Mengen
Im Duden steht: Logik ist folgerichtiges Denken.
Jetzt haben wir die ersten Schritte zur Logik und Mengenlehre gemacht:
Aussagen, Wahrheitswerte, Verknüpfungen
Eigenschaften von Aussagen: Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit
Aussagenlogik, Prädikatenlogik 1. Stufe
Beispiel: Gruppentheorie mit einem Beispiel für einen Beweis
Mengenlehre: Mengen, leere Menge, Zahlenmengen, Teilmenge,
Potenzmenge, Durchschnittsmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge,
kartesisches Produkt, Mengensysteme, Relationen, Funktionen,
Hintereinanderausführung von Funktionen, partielle Funktionen,
kleiner Blick und Hinweis auf axiomatische Mengenlehre,
Beispiele für Relationen: Ordnungsrelation, Äquivalenzrelation
Logik und Mengenlehre sind die Basis für Sprachen der exakten Wissenschaften!
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Zahlenmengen
Diese Zahlenmengen haben wir schon gesehen:
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, . . .}
Eventuell 0 ∈ N oder N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Menge der ganzen Zahlen:
Menge der rationalen Zahlen:
Menge der reellen Zahlen:
Q
R
Menge der komplexen Zahlen:
C
Jetzt wollen wir etwas rechnen.
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Rechnen
Die Potenz x n , x ∈ R, n ∈ N wird durch Induktion definiert:
x 0 := 1, x n+1 := x n · x
Die Wurzel
√
n
x, x ∈ R, n ∈ N wird durch die Potenz definiert:
y=
√
n
x gdw. y n = x
Der Logarithmus logn (x), x ∈ R, n ∈ N wird auch durch die Potenz definiert:
y = logn (x) gdw. ny = x
Diese Definitionen werden zum Beispiel auch auf n ∈ R erweitert.
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Rechenregeln
Die folgenden Rechenregeln habe ich aus einem Schulbuch abgeschrieben:
x −n =
x n · x m = x n+m
√
n
n
1
xn
1
x = x( n )
x
= x n−m
xm
p
n
logn (x · y) = logn (x) + logn (y)
logn x y = y · logn (x)
x·y =
logn
√
n
x·
(x n )m = x n·m
p
n
y
x
= logn (x) − logn (y)
y
nlogn (x) = x
Es gibt mehr Rechenregeln.
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Rechenregeln
Die folgende Regel ist wichtig für die Komplexität von Algorithmen:
Logarithmen vom gleichen Argument unterscheiden sich nur um einen Faktor, der
nicht vom Argument abhängt. c hängt hier nicht von x ab.
c · loga (x) = logb (x)
Beweis: Wähle c = logb (a). Dann gilt:
c · loga (x) = logb (a) · loga (x) = logb aloga (x) = logb (x)
Beispiel: Setze a = 10 und b = e. Dann gilt:
logb (a) · loga (x) = logb (x)
→ ln (10) · lg (x) = ln (x)
→ lg (x) =
ln (x)
ln(10)
So haben Sie es vermutlich mit Ihrem Taschenrechner in der Schule gemacht.
Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Wir freuen uns, dass Sie sich für Braunschweig als Studienort entschieden
haben und begrüßen Sie als neue Student(inn)en.
Für Ihr Studium wünschen wir Ihnen viel Erfolg.
WS 2014/2015 | Informatik Vorkurs: Etwas Mathematik | Seite 25