Differentialgeometrie

Prof. Dr. J. Heber
M. Scheffel
Wintersemester 2012/13
Übungen zu Differentialgeometrie“
”
Serie 3
8. Es bezeichne O(n) := {A ∈ Rn×n : A · AT = E} ≤ GL(n, R) die orthogonale Gruppe
des Rn . Zeigen Sie:
2
(a) O(n) ist eine n2 -dim. Untermannigfaltigkeit des Rn×n ∼
= Rn und kompakt.
(b) Bestimmen Sie den Tangentialraum TE O(n) ⊂ Rn×n . (Hinweis: Aufgabe 6.)
(c) Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) ist offen in O(n) bzgl. der Relativtopologie, also ebenfalls n2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit. O(n) ist nicht
zusammenhängend. (Hinweis: Determinanten-Abbildung.)
(Hinweis: Stellen Sie O(n) als reguläre Urbildmenge eines h : Rn×n → Rn×n
sym dar;
berechnen Sie das Differential DhA in Termen von Richtungsableitungen.)
9. (Produktmannigfaltigkeiten) Gegeben seien C ∞ -Mannigfaltigkeiten M , N1 und N2
der Dimensionen m, n1 bzw. n2 . Auf N1 × N2 wird eine Topologie, die sogenannte
Produkttopologie, definiert gemäß der Vorschrift: Offen sind die leere Menge, kartesische Produkte offener Teilmengen von N1 bzw. N2 sowie beliebige Vereinigungen
solcher Produkte. Zeigen Sie:
(a) Der euklidische Ball {(x, y) ∈ R × R : x2 + y 2 < 1} ist offen bzgl. der Produkttopologie auf R × R.
(b) N1 × N2 ist C ∞ -Mannigfaltigkeit der Dimension n1 + n2 . (Hinweis: Betrachten
Sie kartesische Produkte von Kartenumgebungen N10 bzw. N20 .)
(c) Die Projektionen πi : N1 × N2 → Ni , πi (p1 , p2 ) = pi , i = 1, 2 , sind differenzierbar.
(d) Eine Abbildung f = (f1 , f2 ) : M → N1 × N2 ist genau dann differenzierbar,
wenn beide Komponentenfunktionen fi = πi ◦ f : M → Ni differenzierbar sind.
10. (Diffeomorphe, nicht C ∞ -verträgliche Atlanten) Zeigen Sie:
(a) Auf R (mit der Standard-Topologie) werden zwei differenzierbare Atlanten
A1 = {(R , x1 )}, A2 = {(R , x2 )} definiert durch
xi : R → R ,
x1 (t) = t ,
x2 (t) = t3 .
(b) Die Atlanten A1 und A2 sind nicht C ∞ -verträglich. Die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (R , A1 ) und (R , A2 ) sind aber zueinander diffeomorph. (Man
ergänzt wie üblich die Atlanten auf eindeutige Art zu maximalen C ∞ -Atlanten.)
11. (Maximale Atlanten) Es sei M ⊂ Rn+k eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit,
versehen mit dem C ∞ -Atlas
A := {(M ∩ V , f −1 ) | f : U → M ∩ V ist Parametrisierung für M } .
Es sei x̃ : M ⊃ M 0 → U 0 ⊂ Rn eine Karte, die C ∞ -verträglich ist mit A . Zeigen Sie,
dass f˜ := x̃−1 Parametrisierung für M ist, d. h. dass der Atlas A maximal ist.
(Hinweis: Lokal ist f˜ von der Gestalt f ◦ (f −1 ◦ x̃−1 ) für geeignetes f .)
Abgabe: Bis Di, 13.11.12, 12:00 Uhr im Postfach von M. Scheffel, LMS4 - 3. Stockwerk.