Serie 2

Prof. R. Jeltsch
Numerik partieller Differentialgleichungen II
D-MATH, SS 2003
Serie 2
(1) Entropiebedingungen für die Burgers Gleichung: Betrachten Sie das Anfangswertproblem
für die viskose skalare Erhaltungsgleichung
ut + f (u)x = ε uxx ,
u (x, 0) = u0 (x) ,
in Ω = IR+ × IR
(?)
mit Viskositätskoeffizient ε > 0, und Flussfunktion f (u).
a) Leiten
R 0 0 Sie für (?) die Entropiebilanz für eine Entropie U (u) mit Entropiefluss F (u) =
U f im Falle klassischer Lösungen her.
b) Zeigen Sie, daß für schwache Lösungen im Grenzwert ε → 0 die Entropieungleichung
Z
ZZ
ZZ
U (u0 ) dx ≤ 0
∀ϕ ∈ C01 (Ω)
F (u) ϕx dtdx +
U (u) ϕt dtdx +
Ω
IR
Ω
für konvexe Entropien U 00 (u) > 0 gelten muß.
c) Leiten Sie aus der obigen schwachen Formulierung die Sprungbedingung für die Entropie
s [[U (u)]] − [[F (u)]] ≤ 0
mit s =
[[f (u)]]
[[u]]
(??)
als Stoßgeschwindigkeit her.
d) Wählen Sie zur Einfachheit nun U (u) = u 2 und zeigen Sie: Die Entropieungleichung (??)
ist äquivalent zur Lax-Bedingung
f 0 (u− ) ≥ s ≥ f 0 (u+ )
für konvexe Flussfunktionen f (u).
(2) Rankine-Hugoniot-Bedingungen f ür die Euler-Gleichungen: Die Euler-Gleichungen in
einer Raumdimension sind gegeben durch
∂t ρ
+ ∂x (ρv)
=0
2
∂t (ρv) + ∂x (ρv + p)
=0
∂t E
+ ∂x ((E + p)v) = 0
für die Erhaltungsgrößen Dichte ρ, Impuls ρv und Energie E =
γ ist der Adiabatenkoeffizient.
1
1
2
γ−1 p + 2 ρv .
Die Materialgröße
a) Bestimmen Sie aus den Sprungbedingungen s [[u]] = [[f (u)]] für das System der Eulergleichungen die möglichen Druckverhältnisse pp01 sowie Dichteverhältnisse ρρ10 über einen Stoß
p
hinweg in Abhängigkeit von der Machzahl des Stoßes M = cs0 mit c0 = γ p0 /ρ0 (Schallgeschwindigkeit).
b) Aus der Entropiebedingung für die Eulergleichung folgt die Bedingung ρ 1 > ρ0 für einen
Stoß. Zeigen Sie
ρ1 > ρ 0 ⇔ s > c 0
d.h. Verdichtungsstöße bewegen sich mit Überschallgeschwindigkeit.
c) Die charakteristischen Geschwindigkeit der Euler-Gleichungen sind durch λ 1 = v −c, λ2 = v
und λ3 = v + c gegeben. Überzeugen Sie sich an einer Beipielrechnung (z.B. für M = 3,
γ = 5/3, ρ0 = p0 = 1), daß die Charakteristiken vor und hinter dem Stoß die Lax-Bedingung
erfüllen.
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Numerik partieller Differentialgleichungen II
D-MATH, SS 2003
(3) Anfangswertproblem für die linearen Euler-Gleichungen:
a) Leiten Sie, im Falle klassischer Lösungen, aus den Euler-Gleichungen in Aufgabe 2 die
Formulierung in den sogenannten primitiven Variablen ρ, v, p,



 
v ρ 0
∂t ρ
∂x ρ
1 
 ∂t v  +  0 v
(?)
∂x v  = 0
ρ
∂x p
∂t p
0 γp v
her.
b) Nehmen Sie nun an, daß die Matrix A (ρ, v, p) in (?) in einem konstantem Zustand (ρ̄, v̄, p̄)
ausgewertet wird. Die Lösung (ρ(x, t), v(x, t), p(x, t)) des Systems (?) beschreibt dann die
Entwicklung von Störungen des Zustands (ρ̄, v̄, p̄). Berechnen Sie die Eigenwerte λ̄i und
Eigenvektoren r̄i der konstanten Matrix Ā.
c) Bringen Sie mit den Ergebnissen aus b) das System (?) auf die Diagonalform
∂t αi + λi ∂x αi = 0,
i = 1, 2, 3
und formulieren Sie die Lösung von (?) mit Hilfe der αi .
d) Wählen Sie ρ̄ = 1 und p̄ = 1/γ, sowie nacheinander v̄ = 0, 0.5, 1.0, 1.5. Plotten Sie die
Lösung des Anfangswertproblems für (?) mit den Anfangsbedingungen
ρ0 (x) = 0,
v0 (x) = 0
1 − |x| , |x| < 1
p0 (x) =
0,
sonst
zu verschiedenen Zeiten.
Abgabe: Montag 12. Mai 2003
Organisation der Übung: Manuel Torrilhon
Sprechstunde: Dienstags, 12:30, HG G51.3
oder Mail an: [email protected]
Homepage der Vorlesung unter:
www.sam.math.ethz.ch/~NumPDE MATH SS03
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