Randomisierte Algorithmen SS 2016 – ¨Ubung 7

Rev. 1, 07.07.2016
TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, Dr. C. Mattern
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2016/ra/
Randomisierte Algorithmen SS 2016 – Übung 7
Besprechung: Dienstag, 12. Juli 2016
Hinweis: Für das erfolgreiche Vorrechnen einer mit *“ gekennzeichneten Aufgabe wird ein Bo”
nuspunkt vergeben, es gibt maximal zwei Bonuspunkte pro Studierendem im Semester.
Aufgabe 1 (Lineares Sondieren) *
Wir betrachten eine Hash-Tabelle H[0..m − 1] der Größe m mit n < m Schlüsseln und dem Auslastungsfaktor α = n/m. Jede Zelle der Tabelle speichert ein Schlüssel-Wert-Paar (x, d) ∈ U × R oder ist leer.
Eine Hash-Funktion h : U → {0, 1, . . . , m − 1} ordnet jedem Schlüssel x einen Tabellenplatz H[h(x)] zu.
Um bspw. einen Schlüssel x einzufügen1 , werden beim linearen Sondieren die Positionen
h(x), (h(x) + 1) mod m, (h(x) + 2) mod m, . . . , (h(x) + k) mod m
getestet, bis die im k-ten Schritt untersuchte Zelle entweder leer ist (d.h., der Schlüssel x wurde nicht
gefunden und kann ggf. hier eingefügt werden; erfolglose Suche) oder der in der Zelle gespeicherte
Schlüssel mit x übereinstimmt (erfolgreiche Suche).
(a) Zeigen Sie:
n
nn
.
≤ k
k (n − k)n−k
k
Hinweis: Betrachten Sie einen Term von ∑nl=1 nl xl yn−l = (x+y)n und wählen Sie x und y geschickt.
(b) Wir lassen eine Hashfunktion h die Schlüssel aus S ⊆ U mit |S| = n in die Tabelle werfen“ und von
”
der Einfügeprozedur einfügen. Dabei ist ein Block eine Folge von nicht-leeren Zellen, die von zwei
leeren Zellen eingerahmt wird (im Bild sind schwarze Zellen nicht-leer):
m−1
...
0
1
...
1
1
1
k−1
1
1
...
Betrachten Sie das Segment H[0..k − 1] und zeigen Sie:
k n
k
k n−k
pk := Pr( H[0..k − 1] ist ein Block“ ) ≤
1−
.
”
k
m
m
(c) Folgern Sie aus (a) und (b):
pk ≤ αe1−α
1 siehe
k
.
Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen“ SS 2016, S. 45ff.: http://www.tu-ilmenau.de/fileadmin/
”
public/iti/Lehre/AuD/SS16/AuD-Kap-5-statisch.pdf
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Randomisierte Algorithmen SS 2016 – Übung 7
(d) Nun wird ein neuer“ Schlüssel y ∈ U \ S mit dem Hashwert o.B.d.A h(y) = 0 eingefügt. Die Zu”
fallsvariable L sei die Anzahl der dabei getesteten vollen Zellen. Wir definieren das Ereignis
Ak := { h(y) liegt in einem Block der Länge k }.
Zeigen Sie:
(i) Pr(Ak ) = kpk und
(ii) Wenn Ak eintritt, folgt L ≤ k.
(e) Zeigen Sie:
∞
E(L) ≤
∑ k2 pk .
k=1
(f) Zeigen Sie, dass sich E(L) durch eine von α abhängige Konstante nach oben abschätzen lässt.
Hinweis: Nutzen Sie z.B. das Quotientenkriterium.
Aufgabe 2 (Parameterschätzung bei Bernoulli-Experimenten, z. B. Münzwurf) *
Seien Z1 , Z2 , Z3 , . . . unabhängige Zufallsvariable, die jeweils zum Parameter p, mit 0 < p < 1, geometrisch verteilt sind. Diese Zufallsvariablen modellieren die Wartezeit auf einen Erfolg bei unabhängigen
Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Weiter sei für k ≥ 1 die Zufallsvariable Yk definiert durch
Yk = Z1 + Z2 + · · · + Zk . Dann modelliert Yk die Wartezeit auf k Erfolge bei unabhängigen Versuchen mit
Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wir wollen eine Art Hoeffding-Schranke für Yk ermitteln.
(a) Zeigen Sie: E(Yk ) = k/p.
(b) Finden Sie eine obere Schranke für Pr Yk ≥ (1 + ε) kp .
Hinweis: Wenn X1 , X2 , X3 , . . . unabhängige {0, 1}-wertige Zufallsvariable mit Pr(Xi = 1) = p sind,
dann kann man sich vorstellen, dass Yk wie folgt definiert ist:
Yk = min{i | X1 + X2 + · · · + Xi ≥ k}.
Also gilt für ganzzahlige t, dass Pr (Yk > t) = Pr(X1 + · · · + Xt < k). Nun kann man die HoeffdingSchranke aus der Vorlesung ins Spiel bringen.
(c) Finden Sie eine obere Schranke für Pr Yk ≤ (1 − ε) kp .
(d) Benutzen Sie das Ergebnis von (b) und (c), um folgende Strategie zu analysieren: Gegeben ist eine
unfaire Münze, die mit Wahrscheinlichkeit p Kopf und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p Zahl zeigt. Der
unbekannte Parameter p soll geschätzt werden.
Man wirft die Münze mehrmals, bis genau k-mal Kopf erschienen ist. Die beobachtete Zahl der
Versuche ist Y . Nun gibt man p̂ = k/Y als Schätzwert für p aus. Es soll etwas über die Wahrscheinlichkeit gesagt werden, dass man mit dieser Schätzung weit vom echten p entfernt liegt.