Lineare Algebra individuell - Humboldt
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Marko Roczen und Helmut Wolter
unter Mitarbeit von
Wilfred Pohl, Dorin Popescu, Radu Laza
Aufgabensammlung1
Lineare Algebra individuell
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Aufgabe 2/5/030
(S: Varianten)
Matrixordnungen (3)
Index: Monomordnung, Matrixordnung
Stoffeinheiten: 2/5/8 - 2/5/16 Monomordnungen und Division mit Rest
Zeigen Sie, dass durch die Matrix
122
A=
3 3 1
031
eine Monomordnung <A für IR[X1 , X2 , X3 ] gegeben ist. Ordnen Sie die Menge
M = {X13 X2 , X1 X2 X32 , X1 X22 X3 , X12 X3 , X2 X33 , X12 X2 X32 }
bezüglich <A .
Lösung. Wegen det(A) = 12 ist die Matrix A regulär; sie enthält überdies in der
ersten Zeile nur positive Einträge; folglich wird dadurch tatsächlich eine Monomordnung
definiert.
Für ein beliebiges Monom q = X1u1 X2u2 X3u3 bilden wir p = X1v1 X2v2 X3v3 , wobei v1 , v2 , v3
durch
u1
( v1 v2 v3 ) = A· u2
u3
gegeben sind. f sei die Abbildung q 7→ p der Menge der Monome aus IR[X1 , X2 , X3 ] in
sich. Sie ist bijektiv, da A regulär ist. Wir bestimmen nun die lexikographische Ordnung
der Menge N := f (M ),
N = {X15 X212 X33 , X17 X28 X35 , X17 X210 X37 , X14 X27 X3 , X18 X26 X36 , X18 X211 X35 }.
Das größte Monom in N ist X18 X211 X35 .
Das bedeutet, dass X12 X2 X32 = f −1 (X18 X211 X35 ) das größte Monom von M bezüglich <A
ist. Entsprechend erhalten wir die Anordnung aller Monome bezüglich <A ; es ergibt sich
X12 X2 X32 > X2 X33 > X1 X22 X3 > X1 X2 X32 > X13 X2 > X12 X3 .
1
Ver. 0.52 (Januar 2006); ähnliche Aufgaben und den zugrunde liegenden Stoff finden Sie im gleichnamigen
Internetprojekt Lineare Algebra individuell.
Diese Aufgabensammlung entstand an der Humboldt-Universität zu Berlin; die Arbeit daran wurde 2001 - 2004
durch das Bundesministerium für Bildung und Forschung unter dem Kennzeichen 01NM075D gefördert.
