Fehleranalyse
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Fehleranalyse - Fehlertypen Grobe Fehler Systematische Fehler Zufällige Fehler 30.10.2001 Vorlesung - 2 1 Fehleranalyse - Fehlertypen Grobe Fehler Meist durch Unachtsamkeit Zahlendreher 14,5 statt 15,4 im Protokoll Beim Ablesen an Maßstäben z.B. 25,1 statt 25,6 Falsch geteilte Maßstäbe oder falsch gehende Uhren 30.10.2001 Vorlesung - 2 2 Fehleranalyse - Fehlertypen Systematische Fehler Schwer zu erkennen Gleiche Messmethode mit verschiedenen Geräten Gleiche physikalische Größe mit unterschiedlichen Methoden Fehler elektrischer Messgeräte (Einteilung in Güteklassen) Unvollkommenheit der Messgeräte Vernachlässigte Einflüsse (Druck, Temperatur u.a.) Elektrische oder Magnetische Streufelder Mangelnde Reinheit von Substanzen (Kalte Fusion) Einfluss des Messgerätes auf das Messobjekt Und vieles mehr (Praktikum: Bestimmung der Wärmekapazität) 30.10.2001 Vorlesung - 2 3 Fehleranalyse - Fehlertypen Zufällige Fehler Falsch eingestellte Messmarken Ursache meist in der Unzulänglichkeit menschlicher Sinnesorgane Schwankungen durch äußere Einflüsse Gebäudeerschütterungen (Gravitationswaage, Nanostrukturtechnik) Spannungsschwankungen, Temperaturschwankungen Fehlerhafte Abschätzung von Zwischenwerten 30.10.2001 Vorlesung - 2 4 Fehlerangabe – Zufällige Fehler Für zufällige Fehler gilt: Positive und negative Abweichungen sind gleich häufig Die Häufigkeit des Vorkommens nimmt mit dem Absolutbetrag des Fehlers ab Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers Null besitzt ein Maximum Die weitere Vorlesung beschäftigt sich nur mit zufälligen Fehlern und deren Fortpflanzung 30.10.2001 Vorlesung - 2 5 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Beispiel: Hörsaaltüre Die Angabe eines Messwertes ohne die Angabe des dazugehörigen Messfehlers ist Unsinn. E = ( x ± ∆x ) x: ∆x: 30.10.2001 Schätzwert oder Bestwert Ist die Messungenauigkeit oder Messabweichung (Fehler oder Messfehler) ∆x heißt auch absoluter Fehler Vorlesung - 2 6 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Relativer Fehler E = ( x ± ∆x ) E = ( 2.75 ± 0.14 ) km Relativer Fehler oder relative Unsicherheit: 0.14 ∆x 0.14 = = 0.50909 = 100 % = 5.1% x 2.75 2,75 Wie genau, d.h. auf wie viele Stellen, kann man den absoluten Fehler angeben ? 30.10.2001 Vorlesung - 2 7 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Genauigkeit des absoluten Fehlers Wie genau, d.h. auf wie viele Stellen, kann man den absoluten Fehler angeben ? E = ( x ± ∆x ) Die Genauigkeit der Angabe von ∆x wird durch die Messmethode bestimmt: Beispiele: Lineal: Stoppuhr: ± 0.5 mm ± 0.1 s Wird der Unsicherheit einer Messmethode geschätzt, wird der absolute Fehler auf eine signifikante Stelle angegeben 30.10.2001 Vorlesung - 2 8 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Genauigkeit des absoluten Fehlers Wie genau, d.h. auf wie viele Stellen, kann man den absoluten Fehler angeben ? E = ( x ± ∆x ) Die Genauigkeit der Angabe von ∆x wird durch die Messmethode bestimmt: Beispiele: Messreihe oder Fehlerrechnung (siehe weitere Vorlesung) Wird der Unsicherheit einer Messung durch eine Messreihe oder durch eine Fehlerrechnung bestimmt, wird der absolute Fehler auf zwei signifikante Stelle angegeben Was ist eine signifikante Stelle ? 30.10.2001 Vorlesung - 2 9 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Signifikante Stellen Was ist eine signifikante Stelle ? Signifikante Stellen sind alle Stellen mit Ausnahme führender Nullen Beispiele: 1,23 0,123 Übungsblatt signifikante Stellen 9205.638 ± 7.445 54852 ± 6453 94.04 ± 4.02 0,0001256 0,0010230 30.10.2001 80000 ± 700 700009 ± 24361 Vorlesung - 2 10 Regeln für die Angabe von Messunsicherheiten Bei der Angabe von Messergebnissen hat die letzte signifikante Stelle des Bestwertes die selbe Größenordnung wie die Messunsicherheit Bestwert 92.8194 Unsicherheit 0.324 92.82 ± 0.32 Bestwert 0.0034216 m Unsicherheit 0.00022612 m (3.42 ± 0.23) 10-3 m Was bedeutet eigentlich (3.42 ± 0.23) 10-3 m ? Dies drückt aus, dass man bei einer Einzelmessung mit etwa 68% Wahrscheinlichkeit einen Messwert zwischen (3.42 - 0.23) 10-3 m und (3.42 + 0.23) 10-3 m erhält. Begründung siehe später bei der Normalverteilung 30.10.2001 Vorlesung - 2 11 Güteklassen elektrischer Messgeräte Die zulässigen Fehler elektrischer Messinstrumente werden durch das Klassenzeichen angegeben. Die Klassenangabe entspricht dem zulässigen Anzeigefehler in %: z.B. 1,5% Fehler bei einem Gerät der Klasse 1,5. Dieser Fehler ist bezogen auf den Endwert oder auf die Summe der Endwerte, wenn der Nullpunkt innerhalb der Skala liegt. Dies ist der Fehler, der auftreten darf !! 30.10.2001 Vorlesung - 2 12 Güteklassen elektrischer Messgeräte Es gibt unterschiedliche Gerätegruppen: Feinmessgeräte der Klassen 0.1, 0.2 und 0.5 Betriebsmessgeräte der Klassen 1, 1.5, 2.5 und 5 Vollausschlag 5 V bedeutet bei Klasse 5 einen Fehler von 0.25 V Infolge äußerer Einflüsse sind Fehler in der gleichen Größe erlaubt: bei Neigung aus der Gebrauchslage um 5% bei Änderung der Raumtemperatur um 10 oC usw. 30.10.2001 Vorlesung - 2 13 Kennzeichnung elektrischer Messgeräte 30.10.2001 Vorlesung - 2 14 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Die wenigsten physikalischen Größen werden direkt, sondern meist mittels mehrerer Einzelmessungen bestimmt Wie gehen die Fehler dieser Einzelmessungen in das Endergebnis ein ? Aufgabe: Messung des Impulses eines Körpers m = (0.623 ± 0.014) kg v = (9.12 ± 0.31) m/s p = mv Bestwert: p = 5.68176 kg m/s Wie groß ist der Fehler des Impulses? 30.10.2001 Vorlesung - 2 15 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Aufgabe: Messung des Impulses eines Körpers m = (0.623 ± 0.014) kg v = (9.12 ± 0.31) m/s Wie groß ist der Fehler des Impulses? Größter Wert des Impulses im Rahmen der Fehlergrenzen der Einzelmessungen p = m v = (0.623 + 0.014) (9.12 + 0.31) kg m/s = 6.00691 kg m/s Kleinster Wert des Impulses im Rahmen der Fehlergrenzen der Einzelmessungen p = m v = (0.623 - 0.014) (9.12 - 0.31) kg m/s = 5.36529 kg m/s Fehler des Impulse entspricht der Hälfte des Intervalls zwischen größtem und kleinstem Wert ∆p = ½ (6.00691-5.36529) kg m/s = 0.32081 kg m/s Endergebnis: p = (5.68 ± 0.32) kg m/s 30.10.2001 Vorlesung - 2 16 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Das bislang vorgestellte Verfahren ist extrem aufwändig und bei komplexen physikalischen Größen äußerst unübersichtlich (gemessenes m) = mBest ∆m ± ∆m = mBest 1 ± mbest ∆v (gemessenes v) = vBest 1 ± vBest (Bestwert von p) = mBest ⋅ vBest 30.10.2001 Vorlesung - 2 17 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Größter Wert für p = m v: ∆m ∆v 1 + mBest ⋅ vBest 1 + mBest vBest ∆m ∆v ∆m ∆v + + ⋅ mBest ⋅ vBest 1 + mBest vBest mBest vBest ∆m ∆v ∆m ∆v 1 + + + ⋅ mBest vBest mBest vBest mBest ⋅ vBest 30.10.2001 Vorlesung - 2 18 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Kleinster Wert für p = m v: ∆m ∆v 1 − mBest ⋅ vBest 1 − mBest vBest ∆m ∆v ∆m ∆v − + ⋅ mBest ⋅ vBest 1 − mBest vBest mBest vBest ∆m ∆v ∆m ∆v 1 − − + ⋅ mBest vBest mBest vBest mBest ⋅ vBest 30.10.2001 Vorlesung - 2 19 Fehlerfortpflanzung Abschätzung über den Größtfehler Zusammenfassung : mBest ⋅ vBest 1 ± ∆p , wobei pBest =1 ± pbest ∆m ∆v + vBest mBest ∆p ∆m ∆v ≈ + pBest mBest vBest Die korrekte Fehlerfortpflanzung wird folgendes Ergebnis liefern : ∆p = pBest 30.10.2001 2 ∆m ∆v + mBest vBest Vorlesung - 2 2 20 Fehlerfortpflanzung - Größtfehler Bei Produkten und Quotienten Der relative Fehler des Impulses ist die Summe der relativen Fehler der Einzelgrößen Dies gilt bei allen Produkten und Quotienten m = (0.623 ± 0.014) kg v = (9.12 ± 0.31) m/s 0.014 ∆m = = 0.02247 = 2.2 % mBest 0.623 0.31 ∆v = = 0.03399 = 3.4 % vBest 9.12 ∆p ∆m ∆v = + = 2.2% + 3.4% = 5.6% p Best mBest vBest ∆p = 5.6 % ⋅ pBest = 0.056 ⋅ 5.682 kg m/s = 0.318 kg m/s p = (5.68 ± 0.32) kg m/s 30.10.2001 Vorlesung - 2 21 Fehlerfortpflanzung - Größtfehler Bei Summen und Differenzen Analoges Vorgehen wie bei Produkt Beispiel aus dem Praktikum: Dichte der Luft mL = mGlas + Luft − mGlas = m1 − m2 Größter Wert für mL Kleinster Wert für mL ∆m1 ∆m2 m1 1 − − m2 1 + m1 m2 m1 − m2 − ∆m1 − ∆m2 ∆m1 ∆m2 m1 1 + − m2 1 − m2 m 1 m1 − m2 + ∆m1 + ∆m2 mLuft ± ∆m = m1 − m2 ± (∆m1 + ∆m2 ) 30.10.2001 Vorlesung - 2 22 Fehlerfortpflanzung - Größtfehler Bei Summen und Differenzen Bei Summen und Differenzen addieren sich die absoluten Fehler C = A + B ∆C = ∆A + ∆B C = A − B ∆C = ∆A + ∆B Die korrekte Fehlerfortpflanzung wird ergeben: C = A + B 30.10.2001 ∆C = Vorlesung - 2 (∆A)2 + (∆B ) 2 23 Fehlerfortpflanzung - Größtfehler Kombination der Näherungsformeln Beispiel aus dem Praktikum: Dichte der Luft V = (16,73 ± 0.21) cm3 m1 = (10,3420 ± 0.0020) g m2 = (10.3210 ± 0.0020) g mL m1 − m2 ρ = = V V mL = 0.0210 g ρ = 1.25523 10-3 g cm-3 Differenz: ∆mL = (∆m1 + ∆m2 ) = 0.0040 g Quotient: ∆ρ ρ = ∆mL ∆V + mL V 0.0040 0.21 = + = 0.190 + 0.013 = 0.203 0.0210 16.73 ρ = (1.26 ± 0.25) ⋅10 −3 g cm −3 30.10.2001 Vorlesung - 2 24 Mittelwerte Der arithmetische Mittelwert 1 n x = ∑ xi n i =1 Der geometrische Mittelwert x = x = Der quadratische Mittelwert Der Median n x1⋅x2 ⋅⋅⋅xn 1 n 2 xi ∑ n i=1 Derjenige Wert, der in der Mitte steht, wenn man die xi der Größe nach sortiert Weitere Möglichkeiten der Angabe von mittleren Werten Der häufigste Wert Das arithmetische Mittel aus dem kleinsten und größten vorkommenden Wert 30.10.2001 Vorlesung - 2 25 Mittelwerte - Eigenschaften Die Summe aller scheinbaren Fehler ist gleich Null n n (xi − x ) = ∑ xi −nx = ∑ xi − ∑ xi ∑ n i =1 i =1 i =1 i =1 n n n Die Summe der Quadrate aller scheinbaren Fehler ist ein Minimum d n d n 2 2 ∑ (xi −x ) = ∑ xi −2xi x + x 2 dx dx i=1 i =1 ( ) n =−2∑ xi +2nx =0 i=1 30.10.2001 Vorlesung - 2 26 Der Mittelwert – Praktisches Beispiel Messung der Länge eines Stabes Das folgende Beispiel ist aus dem Taylor. Es ist sehr übertrieben, dient aber der Beantwortung der Frage: Wie bestimmt man den Fehler einer Messung aus einer Messreihe? Nummer der Messung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L/cm 26 24 26 26 23 24 25 24 25 28 Sortieren der Werte nach Klassen 30.10.2001 Werte xk 23 24 25 26 27 28 Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1 Vorlesung - 2 27 Der Mittelwert – Praktisches Beispiel Messung der Länge eines Stabes Werte xk 23 24 25 26 27 28 Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1 Summation über alle Messwerte: 1 n x = ∑ xi n i =1 ∑x i x = i n = 23 + 24 + 24 + 24 + 25 + .... + 28 = 25.10 10 Summation über alle Klassen: x = ∑ xk ⋅nk ∑ nk = n 30.10.2001 k ∑ x (23 1) + (24 3) + (25 2) + .... + (28 1) = i x = n i * n nk x = ∑ Fk ⋅xk , wobei Fk = n Vorlesung - 2 * * * 10 ∑F k =1 k 28 Das Histogramm - Stabdiagramm Histogramm zu Messreihe: Messung der Länge eines Stabes Werte xk 23 24 25 26 27 28 Anzahl der Messwerte 1 3 2 3 0 1 Anzahl der Messwerte 3 2 1 0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Länge/cm 30.10.2001 Vorlesung - 2 29 Das Histogramm – Zusammenfassung von Werten zu Klassen Weitere Messreihe: Messung der Länge eines Stabes L/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26.4 23.9 25.1 24.6 22.7 23.8 25.2 23.8 25.3 25.4 In diesem Beispiel ist das Zeichnen eines Stabdiagramms wenig sinnvoll Zusammenfassung der Messwerte zu Klassen Klasse Anzahl der Messungen 30.10.2001 22 bis 23 23 bis 24 24 bis 25 25 bis 26 26 bis 27 27 bis 28 1 3 1 4 1 0 Vorlesung - 2 30 Das Histogramm – Zusammenfassung von Werten zu Klassen Klasse Anzahl der Messungen 22 bis 23 23 bis 24 24 bis 25 25 bis 26 26 bis 27 27 bis 28 1 3 1 4 1 0 Das Zusammenfassen von Messwerten zu Klassen ist ein wichtiger Vorgang in der Statistik und wird in den Vorlesungen zu Verteilungsfunktionen und Signifikanztest ausführlich diskutiert. Anzahl der Messwerte 4 3 2 1 0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Länge /cm 30.10.2001 Vorlesung - 2 31 Übergang zur Grenzverteilung Histogramm (10 Messungen) Histogramm (250 Messungen) 100 Messungen 3 Histogramm (1000 Messungen) 20 200 200 150 150 100 100 50 50 0 0 40 15 10 Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit 2 20 3005 3004 3003 3002 3001 3000 2999 2998 2997 3005 3004 3003 3002 3001 3000 2999 2998 2997 2996 3005 3004 3003 3002 0 2995 Länge /mm 3001 3000 2999 2998 2997 2996 3005 3004 3003 3002 3001 3000 2999 2998 2997 2995 2996 Länge / mm 2995 0 0 2996 5 2995 1 Länge / mm Mit zunehmender Anzahl der Messungen wird ein Histogramm glatter und regelmäßiger Die Breite der Kurve ändert sich nicht Mit zunehmender Zahl der Messungen kann die Breite und der Mittelwert verlässlicher angegeben werden Wenn die Anzahl der Messungen gegen unendlich geht, nähert sich die Verteilung einer stetigen Kurve. Eine solche Verteilung heißt Grenzverteilung oder Grundgesamtheit Mehr zur Normalverteilung folgt in den späteren Vorlesungen 30.10.2001 Vorlesung - 2 32 Varianz Die Varianz ist ein Maß für die "Breite" der Verteilung der Messwerte σ x2 1 = n n 2 ( ) x − µ ∑ i i =1 Bei obiger Definition ist µ der wahre Mittelwert der Verteilung. Dieser ist aber nicht bekannt. Daher wird µ durch den gemessenen Mittelwert ersetzt, x Dieser ist jedoch nur mit einer Unsicherheit bekannt. 30.10.2001 Vorlesung - 2 33 Stichprobenvarianz s x2 = 1 ∑ n −1 i = 1 n 2 (xi − x ) Die zusätzliche Änderung von n auf n-1 wird nach der Behandlung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes begründet. Aus Plausibilitätsgründen sei erwähnt, dass durch die Verwendung des Mittelwertes ein Messwert (Freiheitsgrad) verloren geht, also nicht mehr n Messungen (Freiheitsgrade) vorliegen, sondern nur noch n - 1. s wird auch als Stichprobenvarianz bezeichnet, da der Mittelwert mittels einer Stichprobe aus der Grundgesamtheit bestimmt wird. 30.10.2001 Vorlesung - 2 34 Standardabweichung (mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung). Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz sx = ± 1 n 2 ( ) x − x ∑ i n − 1 i=1 (n>1) s wird auch als Stichproben-Standardabweichung bezeichnet. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Messmethode Wie weit entfernt sich der einzelne Messwert vom Mittelwert. Standardabweichung wird auch als mittlerer Fehler einer Einzelmessung bezeichnet Wie genau kann ich die Genauigkeit einer Messmethode angeben ? 30.10.2001 Vorlesung - 2 35 Standardabweichung Genauigkeitsabschätzung Wie groß ist der Fehler des Fehlers ? Für den relativen Fehler der Standardabweichung gilt (Siehe Squires): ∆s 1 = s 2 (n −1) Die Standardabweichung (Genauigkeit einer Messmethode) ist umso genauer angebbar, je mehr Messungen man durchführt Beispiele: Entwicklung des Mittelwertes mit n Entwicklung der Standardabweichung Angabe der Standardabweichung auf zwei signifikante Stellen 30.10.2001 Vorlesung - 2 36 Stellenanzahl bei der Angabe der Standardabweichung Annahme: Der rechnerische Wert der Standardabweichung bei einer Messung sei 6.2431754 ∆s 1 = s 2 (n −1) Wie genau soll ich diesen Wert angeben ? Beispiel a Es sind 5 Messungen durchgeführt worden Beispiel b Es sind 50 Messungen durchgeführt worden ∆s/s = 0,354 , ∆s/s = 0,101 , d.h. s ist auf 35,4% genau 35.4% von s sind 2.2 d.h. s ist auf 10,1% genau 10.1% von s sind 0.6 Daher macht es eigentlich nur Sinn s auf eine signifikante Stelle anzugeben. Daher macht es eigentlich nur Sinn s auf zwei signifikante Stelle anzugeben. s=6 s = 6.2 30.10.2001 Vorlesung - 2 37 Stellenanzahl bei der Angabe der Standardabweichung Obiges Beispiel zeigt, dass es im Praktikum wenig sinnvoll ist, einen Fehler genauer als auf eine Stelle anzugeben. Konvention im Praktikum: Alle Fehler, die aus einer Abschätzung, d.h. aus einer Einzelmessung stammen, werden auf eine Stelle genau angegeben. Alle Fehler, die aus einer Messreihe oder einer Fehlerrechnung bestimmt werden, werden auf zwei signifikante Stellen genau angegeben. 30.10.2001 Vorlesung - 2 38 Standardfehler Die Standardabweichung ist ein Maß für die Genauigkeit der Meßmethode Der Standardfehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Angabe des Mittelwertes sx sx = n Mit zunehmender Anzahl von Messungen wird die Angabe der Standardabweichung, aber auch die Angabe des Mittelwertes der Stichprobe immer verlässlicher. Beispiel der Stablänge Mittelwert = 25.10 cm 1 (li −25.10)2 = 2.10 cm 2 ∑ 10 − 1 sl = 2.18 = 1.45 cm sl2 = sl = sl = n sl = 0.46 cm 10 l = (25.10 ± 0.46) cm 30.10.2001 Vorlesung - 2 39 Standardfehler l = (25.10 ± 0.46) cm Dies ist die Angabe des Bestwertes mit Fehler bei einer Messreihe. Dies sind auch die Werte, die bei weiteren Berechnungen in der Fehlerfortpflanzung verwendet werden. Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler ? Standardabweichung heißt auch Standardfehler der Einzelmessung sx = sx s = x = sx n 1 Merke: Bei einer Messreihe, deren Werte normalverteilt sind, gibt die Standardabweichung s die Grenzen an, innerhalb derer mit 68 % Wahrscheinlichkeit eine Einzelmessung liegen wird. Der Standardfehler ± s x hingegen gibt an, dass der Mittelwert einer neuen Messreihe (mit gleicher Genauigkeit und gleicher Anzahl von Messungen) mit 68 % Wahrscheinlichkeit innerhalb x− s x und x+ s x liegen wird. (Ausführliche Begründung folgt später bei der Behandlung der Normalverteilung). 30.10.2001 Vorlesung - 2 40