Inhalt der Vorlesung A1 - e2.physik.tu
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Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Inhalt der Vorlesung A1 2. Teilchen A. Einzelne Teilchen B. Mehrteilchensysteme Starrer Körper - Bewegung Translation Rotation Flüssigkeiten Hydrostatik Hydrodynamik 1 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Wir haben uns bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen bisher meist auf einen Massenpunkt beschränkt, auch wenn wir dieses Konzept aufgrund der damit verbundenen Abstraktion nicht konsequent durchhalten konnten. Reale Körper sind eben aus sehr vielen Teilchen zusammengesetzt. Anhand des Massenpunkts haben wir die grundlegenden Bewegungsformen der Translation und der Rotation kennen gelernt und wir haben uns eine Methodik zur quantitativen Beschreibung erarbeitet. Beispiel für Mehrteilchensystme: 3 Körper unter dem Einfluss der Gravitation m1 m2 m3 Es stellt sich heraus, dass die Bewegung von drei freien Massen unter dem Einfluss ihrer Gravitation nicht mehr analytisch exakt auszurechnen ist !!! Dreikörperprobleme sind in der Regel schon extrem 2 kompliziert. Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 OFFENE FRAGEN: (I) Ist die zentrale Annahme von „punktförmigen“ Massen überhaupt gerechtfertigt? (II) Wie sieht die Dynamik von mehr als einem Massepunkten aus? Definition – Starrer Körper Starrer Körper = System von Massepunkten, deren Abstände ri voneinander zeitlich konstant sind Schwerpunkt revisited! ri rj cij const. dcij dt 0 Dies ist eine ausgezeichnete Annnahme für alle festen Körper in der Natur! Eine beliebige Bewegung eines solchen starren Körpers kann zerlegt werden in die Translationsbewegung seines Schwerpunkts + in seine Rotationsbewegung um eine Achse, die durch den Schwerpunkt verläuft. 3 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Wohlbekanntes Beispiel von der Planetenbewegung: Fz m2 Fg R m1 Stark vereinfachtes System bestehend aus: Sonne+Erde Gemeinsamer Schwerpunkt bewegt sich durch das Weltall. In guter Näherung stimmt er mit der Position der Sonne überein ( M S M E ). Erde bewegt sich um die Sonne auf einer Kreisbahn mit der Rotationsachse senkrecht zur Kreisebene. 4 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 zu (II): Wir betrachten zunächst zwei Massen in 1D: m1 m2 Dies wird nun auf N Massen mi , die sich an der Orten ri befinden, in 3D verallgemeinert: m1 m3 x r1 r 2 xs Der sog. „Massenmittelpunkt“ oder Schwerpunkt xs ist definiert als: 0 x1 = 0 x2 = d mges xs m1 x1 m2 x2 , mges m1 m2 m2 xs d m1 m2 1 Speziell : m1 m2 xs d 2 m2 rs r3 ri mi N N mges rs mi ri , mges mi i 1 i 1 N Schwerpunkt : rs mi ri i 1 N m i 1 i 5 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Starrer Körper - Translation Schwerpunkt von N Massen mi , die sich an der Orten ri befinden: m1 m2 r1 r 2 m3 rs r3 ri Kontinuierliche Massenverteilung: Oft betrachtet man nicht ihre mikroskopische Verteilung, sondern schmiert die Masse über den Raum aus: Wie die Masse verteilt ist im Raum, wird dann über eine Massendichte beschrieben: mi dm (r ) dV 0 N N mges rs mi ri , mges mi i 1 i 1 N Schwerpunkt : rs mi ri i 1 N m i 1 i Mit dieser Dichte ergibt sich der Ortsvektor des Schwerpunkts zu: r dm (r ) r dV V rs V dm (r ) dV V V 6 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 1.Beispiel: Die potentielle Energie von N Teilchen mit den Massen mi in den Höhen zi im Schwerefeld der Erde lautet: N N i 1 i 1 Epot mi g zi g mi zi mges g z s Die potentielle Energie der N Teilchen kann durch die potentielle Energie von einem Teilchen mit der Gesamtmasse mges , dass sich im Schwerpunkt zs befindet, ersetzt werden. 2. Beispiel: Zwei starr verbundene Massen im Schwerefeld der Erde: m1 F1 r1 rD r2 m2 F2 Das System ist in Ruhe wenn alle Momente verschwinden, d.h. M1 M 2 0 (rD r1 ) F1 (rD r2 ) F2 F1 m1 g F2 m2 g 7 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 (rD r1 ) m1 g (rD r2 ) m2 g (rD r1 ) m1 (rD r2 ) m2 m1r1 m2 r2 rD rs m1 m1 Dies soll jetzt auch für die Dynamik eines Systems aus N Massepunkten gezeigt werden: Es gilt für den Schwerpunkt: N mges rs mi ri i 1 differenzieren ergibt : Wenn ein System aus zwei Teilchen im Schwerpunkt unterstützt wird, dann befindet es sich im Gleichgewicht. N N mges rs mi ri pi i 1 i 1 nochmal differenzieren : N N N mges rs mi ri pi Fi i 1 i 1 i 1 8 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Fi Fij Fi ,extern mi Fij Damit ergibt sich: N N mges rs Fi ,extern Fij i 1 mj Die wirkende resultierende Kraft Fi auf die Masse mi wird in „interne Kräfte“ Fij , die die N Teilchen untereinander ausüben, und in „externe Kräfte“, die von Außen anliegen, aufgeteilt: Fi Fi , extern Fij j i , j 1 i j Wegen des 3. Newton‘schen Axioms gibt es zu jeder internen Kraft Fij eine Gegenkraft F ji Fij . Die zweite Summe verschwindet daher. Die resultierende externe Kraft ist: N Fextern Fi ,extern i 1 9 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Also folgt nun die Gleichung: mges rs Fextern (*) Der Schwerpunkt eines Systems aus N Massepunkten verhält sich wie ein einzelnes Teilchen der Gesamtmasse mges unter der externen Kraft Fextern . N Teilchen können also durch ihren Massenmittelpunkt ersetzt werden, d.h. die bisherige Annahme von „punktförmigen Massen“ ist jetzt nachträglich durch die Gleichung (*) gerechtfertigt. Die Dynamik der Massen ist auf die Dynamik von rs zurückgeführt. (iii) Die Lage des Schwerpunktes kann oft aus Symmetrieüberlegungen geschlossen werden. Bei homogener Masseverteilung liegt der Schwerpunkt auf einer Symmetrieachse eines Körpers. 1. Beispiel: Drei gleiche Massen m in den Ecken eines gleichseitigen Dreieckes. a/2 y r3 m m r1 0 rs 3a / 2 mges m a r2 0 x 10 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 N rs mi ri i 1 N 2. Beispiel: Zylinder der Masse m mit homogener Dichte. m i 1 i m a/2 a 0 m m m rs a 0 0 3 / 2 mmm 1 0 a a / 2 a 1 3. Beispiel: „Herz“ der Masse m mit homogener Dichte. 3 0 0 a 3 / 2 2 1 / 3 Die x-Koordinate des Schwerpunktes hätte man sofort aus Symmetriegründen angeben können. rs m 11 2013/14 PHYSIK 4: A2Ein WS Beispiel Körper, der im Schwerpunkt unterstützt wird, bewegt sich nicht. 12 PHYSIK A2 WS 2013/14 Beispiel 5: Wenn sich der Schwerpunkt eines Körpers über oder unter seiner Auflagefläche befindet, dann fällt er nicht um. 13 WS 2013/14 PHYSIK 6: A2Unterschiedliche Beispiel Gleichgewichte labil indifferent stabil 14 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 9: Die verschiedenen Techniken beim Hochsprung (1) Der Schersprung: Der Körperschwerpunkt ist relativ hoch über der Latte. 15 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 9: Die verschiedenen Techniken beim Hochsprung (2) Der Straddle: Der Körperschwerpunkt ist nicht so hoch über der Latte wie beim Schersprung. 16 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 9: Die verschiedenen Techniken beim Hochsprung (3) Der Fosbury-Flop: Der Körperschwerpunkt befindet sich beim FosburyFlop nie über der Latte! 17 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 9: Der sog. „Fosbury-Flop“ im Hochsprung basiert auf der Tatsache, dass der Schwerpunkt des Springers im Prinzip durch die spezielle „Haltung“ deutlich tiefer gehalten werden kann, als bei anderen Techniken. Dick Fosbury (Mexiko 1968) Der Schwerpunkt des Springers muß nicht mit über die Latte ! 18 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 10: Der effektive Absprung beim Weitsprung basiert auf einer Absenkung des Schwerpunktes des Springers kurz vor dem Balken, damit es eine möglichst große vertikale Beschleunigungsstrecke gibt. 19 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 5. Beispiel: Der effektive Absprung beim Weitsprung basiert auf einer Absenkung des Schwerpunkts des Springers kurz vor dem Balken, damit es eine möglichst große vertikale Beschleunigungsstrecke gibt. 20 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Versuch: Doppelkegel-Paradoxon Der Schwerpunkt bewegt sich anders als es offensichtlich zu sehen ist! Das Objekt scheint die schiefe Ebene heraufzurollen, während in Wirklichkeit der Schwerpunkt hinabgleitet. 21 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beschreibung von Rotation Nachdem man nun z weiß, wie man die Translation zu behandeln hat, kann man sie zu den Akten legen, d.h. sie abspalten und dadurch Zugang zur reinen Rotation erlangen. Dazu geht man in das Schwerpunktsystem über. z‘ ri rs y‘ Schwerpunktssystem x‘ ri rs ri ' x ri ' Festes y Laborsystem 22 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 z‘ Das Schwerpunktsystem N mgesrs mi ri 0 i 1 y‘ z x‘ S‘ O‘ y S O rs = OO‘ = vs·t x Das Schwerpunktsystem S‘ ist ein sich gegen das Laborsystem S mit der Geschwindigkeit vs rs bewegendes System, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Körpers liegt. Im Schwerpunktsystem verschwindet die Summe aller Einzelimpulse: mi ri pi 0 N N i 1 i 1 23 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 z Beschreibung des Rotationszustands des starren Körpers: mi Für den Gesamtdrehimpuls des starren Körpers gilt: vi N L ri pi ri i 1 Der starre Körper rotiere nun um eine feste Achse . Die Geschwindigkeit des Massenpunktes mi ist dann vi ri y S x Einsetzen liefert N L mi ri ω ri i 1 24 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Wir betrachten jetzt nur den Fall einer symmetrischen Masseverteilung. Als Rotationsachse wird die z-Achse gewählt. Dann gilt: Bei einer symmetrischen Masseverteilung verschwinden die Summen über xi zi und yi zi . Mit ri , xi2 yi2 als senkrechtem Abstand des Masseelementes mi von der Drehachse lässt sich der Drehimpuls folgendermaßen schreiben: N 2 L mi ri , i 1 0 xi yi 0 N 0 ri 0 yi xi 2 Den Ausdruck I mi ri , z 0 i i 1 xi yi xi zi nennt man das Trägheitsmoment des ri ri yi xi yi zi Körpers. Der Drehimpuls wird damit z 0 ( x2 y 2 ) i i i LI 25 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Die Bewegungsgleichung des starren Körpers Die kinetische Energie des rotierenden Körpers ist: Der Drehimpuls ist nach der ursprünglichen Definition: Ekin Mit der Definition des Drehmoments Nach einiger Umformung ergibt sich für die Rotationsenergie: Lrp M r F folgt: dL r F M dt Natürlich gilt dieses Resultat auch für N Massenelemente mi : N N dL ri Fi M i M dt i 1 i 1 2 1 N 2 1 N mi vi mi ω ri 2 i 1 2 i 1 1 Erot L 2 LI Dann ergibt sich die Rotationsenergie in der Form: Erot 1 2 I 2 26 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 ~ z Berechnung von Trägheitsmomenten: Der Satz von Steiner z mi mges xi yi y Bei der Drehung um die durch den Schwerpunkt S = 0 gehende z-Achse ist das Trägheitsmoment N I z mi x y i 1 2 i mi mges 2 i ~ y r0 S=0 x z ~ x S x yi y xi Nun wird um eine neue Achse gedreht, die um r0 parallel zur ursprünglichen Drehachse verschoben ist mit r02 x02 y02 27 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Wie ergibt sich das Trägheitsmoment für die Rotation um die neue Achse aus dem bereits berechneten für die Rotation um die alte Achse? ~ 2 I z I z mges r0 „Steinersche Satz“ Der zweite Term gibt das Trägheitsmoment eines Massenpunkts der Masse mges an, der im Abstand r0 von der Drehachse liegt. Bei kontinuierlichen Massenverteilungen muss bei der Berechnung der Trägheitsmomente wie beim Schwerpunkt auf mehrdimensionale Integrale übergegangen werden: I 2 r dm Kugel 2 r dV Kugel 28 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 2. Beispiel: Trägheitsmoment einer Kugel der Masse m z Die genaue Rechnung ergibt: 2 2 I mR 5 r dm Generell hat das Trägheitsmoment eines starren Körpers immer die Form: y x Aus Symmetriegründen ist das Trägheitsmoment I um jede Achse durch das Zentrum der Kugel gleich groß. I Körper mR 2 Dabei ist ein Geometriefaktor, der von der Form des Körpers abhängt. 29 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 30 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Versuch: Verschiedene Körper rollen eine schiefe Ebene hinab. Vor dem Start Nach dem Start Kugel Vollzylinder Hohlzylinder Nach dem Start rollt die Kugel am schnellsten. Sie hat das kleinste Trägheitsmoment I = 0.4m R2 und damit die geringste Rotationsenergie. Der Hohlzylinder hat das größte Trägheitsmoment I m R2, da seine Masse am weitesten von der Rotationsachse entfernt ist. Der Vollzylinder liegt mit I = 0.5m R2 dazwischen. 31 Physik A/B1 PHYSIK A2 h SS 2017 WS 2013/14 z x m R Quantitative Erklärung: Ein Körper rollt eine schiefe Ebene hinab. Wie groß ist seine Beschleunigung a ? Energieerhaltung: 1 2 1 E Ekin Erot Epot E mv I 2 mgh mg x sin 2 2 v d 2 dv v 2v 2v a folgt : Wegen und R dt dt dE I mR 2 mv a 2 v a mg v sin a g sin 0 dt R mR 2 I 2 5 1 2 2 2 (i) Kugel : I mR a g sin (ii) Zylinder : I mR a g sin 5 7 2 3 1 2 (iii) Dünner Hohlzylinder : I mR a g sin 32 2 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Rotationsbwegungen können aufgrund der Drehimpulserhaltung oft zur Stabilisierung von Bewegungsabläufen eingesetzt werden Es wird ein Kreis mit dem Radius R mit FZ mv2 / R der Geschwindigkeit v durchfahren. Drehmomente : v2 M 1 FZ a cos m a cos R M 2 FG a sin mg a sin Gleichgewicht : M1 M 2 v 2 g R tan FG mg a Reibung & Gleichgewicht : FZ FR FG FZ / tan arctan FR FG FG ' mg 33 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Sandboden : 0.3 17 v 30 km/h R 24 m Asphalt : 0.9 42 v 30 km/h R 8 m Eine genauere Theorie des Fahrradfahrens ist sehr komplex !! Man kann zeigen, dass folgende Ungleichung erfüllt sein muß, damit „Kreiselkräfte“ dafür sorgen, dass ein Radfahrer nicht umfällt: M g RRad v 1 m 4 M Masse des Fahrrades & Fahrers 2 m Masse der Reifen RRad Radius eines Reifens FZ mv 2 / R FG mg a FR FG FG mg 34 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Versuch: Stabilisierungskreisel L rs mg Qualitativ kann man das die Stabilisierung so erklären: (i) Wenn der Kreisel rechts oder links von der Bahn läuft, dann liegt der Schwerpunkt nicht mehr über einem Unterstützungspunkt. (ii) Es wirkt ein Drehmoment: M rs m g (iii) Dadurch findet eine Präzession desKreisels um die Achse senkrecht zu L statt. (iv) Der Kreisel dreht sich wieder auf die Bahn zurück. (v) Dies gilt nur falls der Kreisel entgegengesetzt zu seiner Bewegungsrichtung auf der Bahn rotiert; andernfalls fällt er herunter. 35 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Überlagerung von Translations- und Rotationsbewegungen Die allgemeine Bewegung eines beliebigen starren Körpers kann immer in eine Translation des Schwerpunktes und eine Rotation um den Schwerpunkt zerlegt werden. Dabei ist die Rotationsachse in der Regel nicht mehr Raumfest. z z‘ ri rs y‘ Schwerpunktssystem x‘ ri rs ri ' x ri ' Festes y Laborsystem 36 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 Beispiel 2: Überlagerung einer Translations- und Rotationsbewegung z [m] 3 0 0 x [m] 10 Frage: Welche Anfangsgeschwindigkeit v0 muß der Wagen haben ? 1 2 1 2 Energieerhaltung : E mvs I mgz 2 2 37 Physik A/B1 PHYSIK A2 z [m] SS 2017 WS 2013/14 3 vs v0 vs,x 0 vs,z x [m] 1 2 1 2 1 2 mv0 mvs I 2 2 2 B = 10 I 2 v v m 2 0 2 s Die Winkelgeschwindigkeit ist durch die Forderung definiert, dass der Wagen auf der Länge B einmal um seine Längsachse rotieren soll. Allgemeiner gilt also für n Rotationen: 2 2 n n , B vs , xT (vs cos )T vs cos T B 38 Physik A/B1 PHYSIK A2 z [m] SS 2017 WS 2013/14 3 vs v0 vs,x 0 vs,z x [m] B = 10 2 2 I 4 n 2 2 2 cos v0 vs 1 2 m B Der Schwerpunkt des Autos bewegt sich auf einer Wurfparabel: 1 g gB 2 2 z ( x) x tan x , z (0) z ( B) 0 vs 2 2 2 vs cos sin(2 ) 2 2 gB I 4 n 2 2 1 cos v0 2 sin(2 ) m B 39 Physik A/B1 PHYSIK A2 z [m] SS 2017 WS 2013/14 3 vs v0 vs,x vs,z x [m] 0 B = 10 Das Auto wird näherungsweise als Quader betrachtet: 2b 2a 1 1 2 2 I m a b m a 2 für a 2 b 2 12 6 2 2 gB 2 n a 2 2 1 cos v0 sin(2 ) 3 B 40 Physik A/B1 PHYSIK A2 SS 2017 WS 2013/14 na 1 spielt die Rotation für die Wahl der Anfangsgeschwindigkeit B bei dem James Bond - Filmausschnitt keine große Rolle. Wegen z [m] 3 0 x [m] 10 41 Physik A/B1 PHYSIK A2 v0 [m/s] SS 2017 WS 2013/14 Anfangsgeschwindigkeit: v0(B) n 40 a1m B [m] 42 Physik A/B1 PHYSIK A2 v0 [m/s] SS 2017 WS 2013/14 Anfangsgeschwindigkeit: v0() n B 10 m a1m 43