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Prof. Dr. Berthold Vöcking
Dr. Piotr Krysta
Dortmund, 13. Oktober 2003
Abgabe bis 20. Oktober 2003 um 14.00 Uhr
Übungen zur Vorlesung
Netzwerkalgorithmen – WS 2003/2004
Blatt 5
Wir beziehen uns auf die in der Vorlesung vorgestellte Analyse des Random-Rank-Protokolles in SchichmhW in Schichtennetzwerken. Das
tennetzwerken. Dieses Protokoll hat Routingzeit
Protokoll legt lediglich Prioritäten der Pakete fest. Für jedes Paket wird ein Rank uniform zufällig aus der
Menge
gewählt, dabei muß eine genügend groß gewählte natürliche Zahl sein. Pakete mit kleinerem
Rank werden gegenüber Paketen mit größerem Rank bevorzugt. Im Falle von gleichen Rängen, hat das Paket
mit der kleineren Identifikationsnummer Vorrang.
Das Growing-Rank-Protokoll ist eine Verallgemeinerung des Random-Rank-Protokolls. Wenn immer ein
, wobei wir
Paket einen Schritt vorwärts auf seinem Weg macht, erhöht sich sein Rank um den Wert
so wählen, dass ein Vielfaches von
ist. Wir behaupten, das Growing-Rank-Protokoll hat Routingzeit
mhW in beliebigen Netzwerken, falls alle Routingwege kürzeste Wege zwischen dem
jeweiligen Quell- und Zielknoten sind. Diese Behauptung wollen wir in den folgenden Aufgaben beweisen.
!
Aufgabe 15:
Zeigen Sie die folgenden Aussagen zum Growing-Rank-Protokoll.
a) Der maximale Rank, den ein Paket auf einem Knoten annehmen kann, ist
&.
/
&-,)'
' % .
"$#% .
'()&*#+" b) Bei einer Routingzeit von gibt es eine Delay-Sequenz mit
Paketen, wobei gilt
.
Hinweise: Es gilt
, wobei der Anzahl der “Delays” und der Anzahl der “Hops” in der
Delaysequenz entspricht. Beschränke den Wert von mit Hilfe der Aussage in a).
'
.
Aufgabe 16:
Zeigen Sie folgende Eigenschaften für die Delay-Pakete
0214345767676859:02;<3 .
a) Falls die Routingwege keine kürzesten Wege sind, kann es sich bei
um dieselben Pakete handeln.
b) Falls die Routingwege jedoch kürzeste Wege sind, so sind
Aufgabe 17:
a) Zeigen Sie es gibt Zahlen
Knoten den Rang hat.
Y>
>
02143 5767676L5 02;<3
mit
' %
und
02143 57676K6K59 02;<3
A0 BC3
mit
D:EGFIHJE)'
paarweise verschieden.
DMEN 1 EOQPRETSUSUSVEW ; HN" , so dass Paket 0>X3
b) Wieviele Möglichkeiten gibt es diese Zahlen zu wählen?
c) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass
entsprechen, wie es in a) beschrieben ist.
=0?>@3
vorgegebene Zahlen
021434576767685 02;<3
auf
tatsächlich den Rängen
Aufgabe 18:
Setzen Sie alle oben bewiesenen Eigenschaften zusammen und zeigen Sie, dass die Routingzeit des GrowingRank-Protokolls mit Wahrscheinlichkeit
, für beliebiges festes , durch
beschränkt
ist.
%Z# \[]
^
_`abR
c