Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Prof. Dr. G
Werbung
Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Prof. Dr. G. Wunner Vorlesung ,,Theoretische Physik 1: Mechanik”, WS 2005/2006 Blatt 12 vom 25.01.2006: Fragen zum Nachdenken II 1. Gegeben sei a) ein Hohlzylinder, b) ein homogener Vollzylinder (jeweils Länge L, Radius R, Masse M ). Berechnen Sie das jeweilige Trägheitsmoment bezüglich der Zylinderachse. 2. Ein Zylinder mit zur Zylinderachse symmetrischer Massenverteilung (Trägheitsmoment bezüglich der Symmetrieachse J, Masse M ) rolle ohne zu gleiten eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel α hinab. Berechnen Sie die Beschleunigung des Schwerpunktes. Vergleichen Sie speziell die Beschleunigungen für einen Hohlzylinder und einen homogenen Vollzylinder mit gleichen Massen und Radien sowie für einen gleichschweren Würfel, der die schiefe Ebene hinab gleitet. 3. An dem gezeichneten masselosen starren Gestell hängt ein Gewicht der Masse M . Berechnen Sie die Vektoren der Auflagekräfte in den Punkten A und B. 4. Ein homogener Würfel (Masse M , Kantenlänge a, Trägheitsmoment J = 23 M a2 bezüglich Kante A A0 ) gleite reibungsfrei längs der x-Achse (Geschwindigkeit v0 ) und stoße im Punkte H mit seiner Kante A A0 gegen ein Hindernis vernachlässigbarer Höhe, an dem er kleben bleibt. Untersuchen Sie, ob Impuls, Energie und Drehimpuls beim Stoß erhalten bleiben. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß (ϕ ≈ 0). 5. Auf einem starren, masselosen Kreisring vom Radius a sitzen diametral gegenüber 2 gleiche Punktmassen m. Der Ring rollt längs einer Geraden mit der Translationsgeschwindigkeit v. Wie groß ist die kinetische Energie des Systems? 6. Ein Massenpunkt bewege sich auf einer mit konstanter Winkelgeschindigkeit rotierenden Stange im homogenen Schwerefeld (die Drehachse sei parallel zur Erdoberfläche gelagert). Wieviele Freiheitsgrade hat der Massenpunkt? Stellen Sie die Lagrange-Funktion auf und geben Sie die Bewegungsgleichung an. Bestimmen Sie den verallgemeinerten Impuls und leiten Sie die Hamiltonfunktion her. Ist die Hamiltonfunktion eine Konstante der Bewegung? Geben Sie die Energie des Systems an. Stimmen Hamiltonfunktion und Energie überein? 7. Begründen Sie mit Hilfe der Eulerschen Gleichungen, dass bei einem starren Körper kräftefreie Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit nur bezüglich der Hauptträgheitsachsen möglich ist. 8. a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen Halbzylinders bezüglich der gezeichneten Achse (Masse M , Halbkreisradius a). b) Wie groß ist das Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt? (Hinweis: Schwerpunkt einer homogenen halbkreisförmigen 4 a). Scheibe: OS = 3π 9. Eine dünne, massebelegte Stange (Länge L, Masse M ) liegt auf der z-Achse mit dem Mittelpunkt im Ursprung. a) Wie sieht das Trägheitsellipsoid bezüglich der Ursprungs aus? b) Berechnen Sie, wie sich die Halbachse in z-Richtung verändert, wenn der Bezugspunkt auf der x-Achse wandert. 10. Eine homogene Vollkugel (Radius a, Masse M , Trägheitsmoment bezüglich Achse durch Mittelpunkt J = 52 M a2 ) ist frei drehbar um ihre ,,Nord-SüdAchse”gelagert (Rotationswinkel ϕ). Ein Großkreis (,,Längenkreis”) durch die Pole ist als Schiene ausgebildet, auf der sich ein Massenpunkt m mit vorgegebener konstanter Geschwindigkeit v bewegt. a) Stellen Sie die Lagrange- und Hamiltonfunktion des Gesamtsystems auf. b) Suchen Sie Konstanten der Bewegung. c) Berechnen Sie ausgehend von b) die Winkelgeschwindigkeit ω(t) = ϕ̇, wenn zur Zeit t = 0 bei einem Poldurchgang des Massenpunktes die Winkelgeschwindigkeit ω(0) = ω0 vorgegeben ist. 11. Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch? a) Kanonische Transformationen p, q 7→ P, Q — — — — — lassen die Hamiltonfunktion invariant, lassen die Lagrangefunktion invariant, lassen die Form des Hamiltonprinzips invariant, lassen die Form der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen invariant, führen stets auf eine Hamiltonfunktion H(P), die nur von den neuen Impulsen abhängt, — ergeben sich bei geeigneter Wahl der Pk aus beliebigen Punkttransformationen Qk = gk (q), — lassen sich z. B gemäß Qk = ∂S/∂pk , Pk = ∂S/∂qk aus einer Erzeugenden S(q, p) gewinnen.
