astronomie - Fundus.org

astronomie
Matura-Spezialgebiet aus Physik
Joseph Renner Lucero ([email protected])
8B, 1998/99
Der Doppler-Effekt
Der akustische Doppler-Effekt ist eine alltägliche Erscheinung. Ein Zuhörer nimmt von
einer auf ihn zukommenden Schallquelle eine höhere Frequenz wahr als von einer
ruhenden oder sich entfernenden. Dabei ist die Frequenzänderung vom Verhältnis
Bewegungsgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit abhängig. Der Doppler-Effekt ist
aber nicht auf den akustischen Bereich beschränkt, sondern umspannt zunächst einmal
das ganze Spektrum elektromagnetischer Wellen. Der Doppler-Effekt wird auch gezielt
genutzt. Seine technische Bedeutung ist am vielseitigen Einsatz erkennbar, so
vornehmlich
• im optischen oder Radio-Bereich zur Bestimmung von Translations- und
Rotationsgeschwindigkeiten kosmischer Objekte im Nahbereich
• im Radarbereich zwecks Geschwindigkeitskontrolle von Autos und Flugzeugen.
Der Doppler-Effekt
beschreibt eine
Wellenlängenveränderung
und folglich auch eine
Frequenz- und EnergieVeränderung. Bewegt sich
eine wellenaussendende
Quelle auf einen
Beobachter zu, so werden
die Wellen in
Bewegungsrichtung
zusammengerückt und
werden energiereicher
(Blau- oder
Violettverschiebung), beim
Entfernen werden sie
auseinandergezogen und
energiearmer
(Rotverschiebung).
Doppler-Effekt als Transportphänomen
Für die Betrachtung des
Doppler-Effekts ist es
nützlich zu wissen, dass
es nicht eine spezielle
Lichttheorie ist und dass
sich dieses
Gedankenexperiment
auch auf Boten beziehen
kann, die in gleichen
Abständen von einer
Person A zu einer Person
B gesandt wreden, wobei
diese beiden Personen
sich gegeneinander
bewegen können und
dadurch die
Ankunftszeiten
beeinflussen. Der DopplerEffekt ist also keineswegs
ein Beweis für die Wellennatur des Lichtes, er lässt sich vielmehr auf
Transportphänomene übertragen. Dazu ein Beispiel: Statt einer Quelle, die Wellen
entsendet, haben wir eine Quelle, die Kuchen auf ein mit konstanter Geschwindigkeit
laufendes Förderband stellt. Ein Mann auf der linken Seite stellt mit einer bestimmten
Frequenz (Rate) die Kuchen auf das Band, sagen wir alle fünf Sekunden einen. Ein
zweiter Mann auf der rechten Seite versucht, sie mit derselben Rate herunter zu nehmen.
Wenn der erste Mann sich beim Aufsetzen der Kuchen nach links bewegt, haben die
Kuchen auf dem Band größere Abstände, so dass der Mann am anderen Ende sie mit
geringerer Rate erhält. (Die Geschwindigkeit des Transportbandes und damit die der
Kuchen hat sich natürlich nicht geändert.) Läuft der Mann auf der linken Seite in die
entgegengesetzte Richtung, wobei er die Kuchen immer noch mit derselben Rate
aufsetzt, dann liegen die Kuchen auf dem Fließband dichter zusammen, so dass der
Empfänger sie mit einer höheren Rate erhält. Das Prinzip ist dasselbe, ob beim DopplerEffekt Wellen oder Kuchen ausgesandt und empfangen werden.
Der relativistische Doppler-Effekt
Beim akustischen Doppler-Effekt gibt es zwei Situationen, in denen der Effekt auftreten
kann: „Ruhende Quelle und bewegter Beobachter“ und „Bewegte Quelle und ruhender
Beobachter“. Für die Berechnung der Frequenzänderung gibt es zwei Formeln, die zu
verschiedenen Ergebnissen führen. Das scheint dem Relativitätsprinzip zu
widersprechen. Beim akustischen Doppler-Effekt kommt es jedoch anders als beim
optischen Doppler-Effekt nicht allein auf die relative Bewegung zwischen Quelle und
Beobachter, sondern auch auf die relativen Bewegungen zum Ausbreitungsmedium an.
Das ruhende Ausbreitungsmedium liefert ein ausgezeichnetes räumliches Bezugssystem.
Daher müssen verschiedene Bewegunsmöglichkeiten von Quelle und Beobachter relativ
zum Ausbreitungsmedium unterschieden werden.
Beim optischen oder allgemein beim elektromagnetischen Doppler-Effekt treten
aufgrund der speziellen Relativitätstheorie gegenüber dem akustischen grundlegende
Unterschiede in Erscheinung:
1. Die Frequenzänderung hängt lediglich von der Relativgeschwindigkeit zwischen
Quelle und Beobachter ab, da für Licht kein Übertragungsmedium existiert und die
Lichtgeschwindigkeit von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich ist.
2. Eine Frequenzänderung ist auch dann zu beachten, wenn sich Quelle bzw.
Beobachter im rechten Winkel zu ihrer Verbindungslinie bewegen.
3. Die Bewegung eines vom Licht durchsetzten Mediums hat keinen Einfluss auf die
Frequenz.
Herleitung der relativistischen Doppler-Gleichung
Wir betrachten eine Quelle, die Impulse im Zeitabstand TQ aussendet. Die Signale sollen
mit Lichtgeschwindigkeit c zum Beobachter laufen, der sie im zeitlichen Abstand TB
empfängt. Da es nur auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter
ankommt, wollen wir den Beobachter als ruhend annehmen.
Quelle gegenüber Beobachter in Ruhe
Auf dem Schirm des Beobachters erscheinen die Impulse in Zeitabständen von TB = TQ.
Quelle und Beobachter relativ zueinander in Bewegung
(Zeitdilatation wird noch nicht in die Rechnung einbezogen)
Für den Beobachter hat das Licht immer die gleiche Geschwindigkeit c. Während der Zeit
TQ zwischen dem Aussenden zweier aufeinander folgender signale bewegt sich die
Quelle um v . TQ, so daß die Signalabstände TB sich um ∆TQ = v/c . TQ verändern. Die
veränderten Signalabstände erhält man mit der Formel
 v
TB = TQ 1 ± 
 c
wobei bei Entfernung von Quelle und Beobachter +, bei Annäherung – zu setzen ist.
Quelle und Beobachter relativ zueinander in Bewegung (Zeitdilatation der bewegten
Sendeuhr findet Berücksichtigung)
Aufgrund der Zeitdilatation geht die bewegte Sendeuhr vom Beobachter aus langsamer
und zwar unabhängig von der Bewegungsrichtung. Die Signale weden daher nicht in
zeitlichen Abständen von TQ ausgestrahlt, sondern in Abständen, die um den Faktor
1
1−
v2
c2
größer sind. Das Eintreffen der Signale erfolgt bei gegenseitiger Entfernung von Quelle
und Beobachter daher erst nach
 v
TB = TQ 1 ± 
c

1
1−
v2
c2
Durch Umformung erhält man die „Formel“ für den relativistischen Doppler-Effekt (linke
Formel). Mit der Beziehung T = 1/f erhält man aus der Gleichung auch die
Frequenzverschiebung der von der Quelle emittierten Strahlung (rechte Formel).
v
c
v
1m
c
1±
TB = TQ
fB = fQ
v
c
v
1±
c
1m
Kosmische Rotverschiebungen
Rotverschiebung als Doppler-Effekt
Die Spektren astronomischer Objekte enthalten wichtige Informationen, speziell auch
über ihre Bewegung. Die Astronomen haben zweckmäßigerweise eine
Spektrallinienverschiebungsgroöße, den sogenannten z-Wert
z=
∆λ
λQ
=
λB − λQ λB
=
−1
λQ
λQ
definiert, der den Bruchteil der Wellenlängenverschiebung angibt. Mißt man bei einem
System ein positives z-Wert, so entfernt sich dieses System von uns. Ein negativer zWert bedeutet, dass es sich uns nähert.
Rotverschiebung als Hubble-Effekt
Während die Nachbargalaxien unseres Milchstraßensystems sowohl positive wie
negative z-Werte aufweisen, zeigen alle Messungen nichtlokaler Galaxien positive z-
Werte auf. Um 1929 wies Hubble erfolgreich nach,
dass die Rotverschiebung einer Galaxie
proportional zu ihrer Entfernung von der Erde
(Milchstraße) ist (! Hubble-Gesetz). Das heißt
nichts Anderes als dass die Fluchtbewegung der
Galaxien voneinander um so schneller erfolgt, je
größer ihre Entfernung ist. Man muß jedoch
beachten, dass derartige kosmische
Rotverschiebungen nicht primär vom Doppler-Effekt herrühren. Die Rotverschiebungen
entfernter Ereignisse sind vielmehr durch die allgemeine Expansion von Raum (und Zeit)
verursacht, in dem die Galaxien ihren festen Platz behalten.
Rotverschiebung als Gravitationseffekt
Neben der Doppler-Verschiebung
(Eigenbewegung) und der allgemeinen
Expansion kennt man noch einen
weiteren Effekt, durch den Spektrallinien
zum Roten hin verschoben werden:
Beim Durchlaufen eines
Gravitationsgefälles erfährt ein Photon
eine Energie- und damit auch eine
Frequenzverschiebung.
Stellen wir uns vor, dass ein
Photon von der Oberfläche der Erde
emittiert wird. Um die Gravitation der
Erde zu überwinden und ins All zu
fliegen oder eine bestimmte Höhe zu
erreichen, braucht das Photon Energie.
Diesen Fluchtversuch von der Anziehung der Erde kann auch als Hubarbeit betrachtet
werden, wobei sich das Photon selbst von der Erde zu entfernen bzw. heben versucht.
Erreicht das Photon eine bestimmte Höhe, so ist sein Energiezustand geringer als auf der
Oberfläche und seine Frequenz dementsprechend auch kleiner. Die Formel für die
Berechnung der Rotverschiebung in diesem Fall lautet:
 g .h 
f ' = f 1 − 2 
c 

Spektranalyse
Läßt man Sonnenlicht durch eine spaltförmige Blende und das dahinter austretende
Lichtbündel auf ein Prisma fallen, so wird es in die einzelnen Farbbereiche, in ein
Spektrum zerlegt. Das Sonnenlicht besteht aus verschiedenen Wellenbereichen. Das
menschliche Auge kann davon nur einen bestimmten Bereich erfassen, nämlich den
Wellenlängenbereich zwischen Violett bei ungefähr 0,4 µm und Rot bei circa 0,8 µm. Die
Frequenz und Wellenlänge einer elektromagnetischen Strahlung verhalten sich
umgekehrt proportional zueinander und lassen sich mit Hilfe der Formel λ . ƒ = c
8
berechnen, wobei c die Lichtgeschwindigkeit mit etwa 3.10 m/s ist.
Unter einem Spektroskop versteht man eine Einrichtung, mit der man das Spektrum
eines Gestirns visuell beobachtet, Spektrographen sind Anordnungen zur Gewinnung von
Photographien der Spektren. Zur Analyse der Spektren gibt es aber auch noch andere
geeignete Hilfsmittel wie den Beugungsgitter. Während bei einem
Prismenspektrographen das Spektrum durch die Lichtbrechung entsteht, ist es hier die
ebenfalls wellenlängenabhängige Lichtbeugung.
Betrachtet man nun das Spektrum eines lichtemittierenden Himmelskörpers so sieht
man manchmal einen kontinuerlichen Farbenhintergrund (Kontinuum). Manchmal weist
dieses Kontinuum dunkle Linien auf und bei anderen Himmelskörpern findet man sogar
nur vereinzelte Linien. Das Ganze läßt sich durch das folgende erklären:
1. Ein glühender, fester oder flüssiger Körper sowie Gase unter sehr hohem Druck und
hoher Temperatur erzeugen ein zusammenhängendes, kontinuierliches Spektrum
ohne Linien.
2. Leuchtende Gase unter geringerem Druck oder niedrigerer Temperatur zeigen
einzelne helle Emissionslinien. Jedes chemische Element erzeugt seine eigenen
Linienserien. Das Emissionsspektrum irgendwelcher leuchtender Gase verrät also
deren chemische Zusammensetzung.
3. Durchläuft das Licht eines Körpers, das für sich allein genommen ein kontinuierliches
Spektrum ergibt ein (kühleres) Gas, so zeigen sich auf dem Kontinuum genau bei
denjenigen Wellenlängen dunkle Linien (Absorptionslinien, Fraunhofersche Linien),
bei denen das durchstrahlte Gase im alleinigen Leuchtzustand Emissionlinien
erzeugen würde. Dies gilt auch für die meisten Sterne und die Sonne, wo die von
tieferen Zonen stammenden Lichtstrahlen äußere, kühle Randschichten durchlaufen
und in dieser „umkehrenden Schicht“ die Fraunhofer-Linien entstehen.
Man kann diese Vorgänge am besten verstehen, wenn man die Emission und Absorption
von Licht am Modell des einfachsten Atoms, dem Wasserstoff, erklärt. Hier umkreist ein
einzelnes elektrische negativ geladenes Elektron, den aus einem positiven Proton
bestehenden Kern. Dem Elektron stehen zahlreiche, aber ganz bestimmte Bahnen offen,
die ganz bestimmten Energiestufen entsprechen. Die inerste Bahn 1 (Grundzustand) ist
die energieärmste. Soll eine äußere Bahn erreicht werden, so muß das Elektron von
außen dazu angeregt werden, d.h. es muß Energie zugeführt werden. Umgekehrt wird
bei Elektronensprüngen von einer äußeren auf eine innere Bahn ein jeweils ganz
bestimmter Energiebetrag in Form einer Strahlung bestimmter Wellenlänge frei. Es
entsteht also eine Emissionslinie im Spektrum. Wellenlänge λ und freiwerdender
Energiebetrag E stehen dabei folgendermaßen in Beziehung:
E=h.f
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h ist eine Konstante, das Plancksche Wirkungsquantum (h = 6,62608 . 10 Js) und f die
Frequenz. Eine kontinuierliche Strahlung entsteht bei zahlreichen Sprüngen freier
Elektronen, die sich zuvor zwischen den Atomkernen frei bewegten, auf irgendeine der
möglichen Bahnen eines Atoms. Die Wellenlänge der dabei im Einzelfall emittierten
Strahlung ist abhängig von der Differenz zwischen dem Energiebetrag, den das Elektron
vor dem Sprung hatte, und der Energiestufe der schließlich erreichten Bahn. Da die
ursprünglich freien Elektronen sehr verschiedene Energiebeträge haben können, werden
bei diesen Sprüngen ganz verschiedene Wellenlängen erzeugt, die sich zu einem
Kontinuum „verschmieren“.
Im Inneren eines Sterns gibt es bei den dort vorliegenden hohen Druck- und
Temperaturwerten sehr viele freie Elektronen. So kommt es zu deren Einfang auf die
verschiedensten Bahnen und damit zum Kontinuum. Natürlich handelt es sich nicht nur
um Wasserstoff, sondern auch um schwerere, komplizierter aufgebaute Atome. Das
Prinzip ist jedoch dasselbe. In den äußeren kühleren Schichten des Sterns nehmen nun
aber z.B. die Wasserstoffatome gerade die Energiebeträge aus dem Kontinuum auf, die
sie zur Anregung ihrer Elektronen benötigen. So kommt an bestimmten Stellen zu
Absorptionslinien.
Wiensches Verschiebungsgesetz
Grundsätzlich lassen sich Temperaturn zunächst für
die Oberflächen der Sterne gleichfalls dem Spekturm
entnehmen. Hierzu dient das Wiensche
Verschiebungsgesetz, nach dem das
Intensitätsmaximum im Kontinuum
temperaturabhängig ist und sich mit wachsender
Temperatur T nach kürzeren Wellenlängen verschiebt.
Für die Temperatur gilt
T =
a
λmax
wobei a = 0,289 cm.K ist und für λmax die Wellenlänge
des Intensitätsmaximum zu setzen ist.
Die Keplerschen Gesetze
Die von Johannes Kepler aufgestellten Gesetze der Planetenbewegungen lauten:
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Die Verbindungslinie Planet-Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritte
Potenz) ihrer mittleren Entfernung von der Sonne.
Das 2. Keplersche Gesetz besagt, dass
die Geschwindigkeit eines Planeten in
seinem Aphel (Sonnenferne) am kleinsten,
im Perihel (Sonnennähe) am größten ist,
und zwar gerade so, dass die in einem
bestimmten Zeitabschnitt vom
Radiusvektor überstrichene Fläche stets
konstant ist.
Das 3. Keplersche Gesetz läßt sich auch
in folgender Formel ausdrücken:
a13 : a23 = P12 : P22
Dabei sind P1 und P2 die Umlaufszeiten der Planeten 1 und 2, a1 und a2 die jeweiligen
großen Halbachsen.
Das Gravitationsgesetz
Der Inhalt des von Isaac Newton aufgestellten Gravitationsgesetzes lautet: Alle Massen
im Weltall ziehen sich gegenseitig an, und zwar mit einer Kraft F, die dem Produkt der
beiden beteiligten Massen m1 und m2 proportional und dem Quadrat ihres gegenseitigen
Abstands r umgekehrt proportional ist, also
F =G
m1 . m2
r2
G ist dabei die Gravitationskonstante. Es ist 6,67259 . 10-11 m3/kg . s2. Aus dem
Gravitationsgesetz lassen sich die Keplerschen Gesetze ableiten.
Ein Planet befindet sich auf einer stabilen Bahn, wenn
er weder infolge der Schwerkraft auf die Sonne stürzt,
noch infolge der Zentrifugalkraft, die auf dieser Bahn
entsteht, aus dieser herausgeschleudert wird:
Schwerkraft der Sonne und Zentrifugalkrat müssen
sich gegenseitig aufheben. Die Zentrifugalkraft Z
hängt von der Masse des Planeten m, seiner
Bahngeschwindigkeit v und dem Krümmungsradius r
der Bahn, also der Entfernung Planet-Sonne, ab. Es
ist
Z=
m .v 2
r
Die Kreisbahngeschwindigkeit vk ist die erforderliche Geschwindigkeit zur Erhaltung des
Gleichgewichts Zentrifugalkraft = Sonnenanziehung für einen gegebenen Sonnenabstand
r. Ist die tatsächliche Geschwindigkeit etwas kleiner, so bewegt sich der Planet auf einer
Ellipsse zur Sonne hin. Gleichzeitig nimmt gemäß dem 2. Keplerschen Gesetz die
Bahngeschwindigkeit zu. In sonnennahen Scheitelpunkt der Ellipsenbahn überwiegt
schließlich die entstehende Zentrifugalkraft die Sonnenanziehung, und der Planet bewegt
sich auf der Ellipse wieder von der Sonne weg, bis wieder die Sonnenanziehung durch
die sich jetzt verringernde Bahngeschwindigkeit die Oberhand gewinnt.
Rotation der Sterne
Während man bei unserer Sonne aus der Beobachtung der Sonnenflecken und anderer
Erscheinungen sehr leicht die Rotationsgeschwindigkeit bestimmen kann, ist dies bei den
Sternen auf direkte Weise nicht möglich; man
kann sie nur als Punkte beobachten und daher
keine Oberflächeneinzelheiten sehen. Doch die
Rotationsgeschwindigkeit der Sonne läßt sich
unter Anwendung des Doppler-Effekts
bestimmen: man beobachtet getrennt den Ostund Westrand der Sonne und stellt eine Blaubzw. Rotverschiebung der Spektrallinien fest.
Bei einem Stern läßt sich twar nicht der eine
oder andere Rand der Sternscheibe getrennt
untersuchen. Vielmehr erhält man von den
verschiedensten Teilen der Sterne Licht, also
von Teilen, die sich infolge der Rotation auf die
Erde zu bewgen, und anderen Teilen, die sich
infolge der Rotation von ihr weg bewegen. Das
bedeutet, dass die Spektrallinien sowohl nach Blau (oder Violett) als auch nach Rot
verschoben sind, d.h. die Linien sind verbreitert. Diese Doppler-Verbreiterung ist ein Maß
für die Rotationsgeschwindigkeit.
Allerdings erhält man die wirkliche äquatoriale Rotationsgeschwindigkeit nur für den
Fall, daß die Rotationsachse des Sterns senkrecht zur Beobachtungsrichtung steht. Da
dies in den seltensten Fällen zu erwarten ist, erhält man meist einen zu geringen Wert für
die Rotationsgeschwindigkeit. Würde man genau in Richtung der Rotationsachse blicken,
erfolgt über keine Doppler-Verbreiterung mehr: der Stern würde scheinbar nicht rotieren.
Da es leider prinzipiell keine Möglichkeit gibt, die Neigung der Rotationsachse zu
bestimmen, erhalten wir nur Minimalwerte für die Rotationsgeschwindigkeiten.
Doppelsterne
Diese Systeme bestehen – wie der Name schon sagt – aus zwei Sternen.
Kennzeichnend für ein Doppelsternsystem ist, dass sich eine Masse jeweils um die
andere dreht und dadurch der Schwerpunkt in den Raum zwischen den beiden
Himmelskörpern verlagert wird. Bei der
Beobachtung von solchen Systemen ist jedoch zu
beachten, dass manche nur scheinbar
Doppelsterne sind (optische Doppelsterne). In
Wirklichkeit haben diese beiden Sterne ganz
verschiedene Entfernungen und erscheinen uns
auf der Erde wie Doppelsterne. Im Gegensatz zu
den echten, physischen Doppelsternen besitzt der
Stern keinen Umlaufbahn um den anderen.
Spektroskopische Doppelsterne
Daneben gibt es noch sehr enge Doppelsterne, die
auch in größeren Fernröhren nicht zu trennen sind,
die sich aber oft auf spektroskopischem Wege
verraten. Da sich die beiden Komponenten eines
solchen Systems um den gemeinsamen
Schwerpunkt bewegen, zeigen sie auch relative
Bewegungen zur Erde, es sei denn, die Bahnebenen der beiden Körper stehen senkrecht
zur Blickrichtung. Wie bei der zuvor erwähnten Methode zur Ermittlung der
Rotationsgeschwindigkeit, verfährt man hier auf gleiche Weise:
Sind die beiden Komponenten eines solchen Systems ungefähr gleich hell, dann
überlagern sich zwei Spektren, deren Linien sich wegen dees Doppler-Effekts
gegeneinander verschieben: bewegt sichdie eine Kompnente auf den Beobachter zu,
dann sind deren Spektrallinien nach Blau verschoben. Gleichzeitig muß sich aber die
andere Komponente vom Betrachter weg bewegen und deren Linien sind nach Rot
verlagert. Eine halbe Umlaufsperiod später ist es umgekehrt. Ein Viertel einer
Umlaufsperiode danach bewegn sich dagegen beide Komponenten rechtwinklig zur
Blickrichtung. Jetzt ergeben sich sich keine Doppler-Verschiebeungen: die Spektrallinien
beider Sterne fallen zusammen. Mit anderen Worten: die Spektrallinien spalten bei den
spektroskopischen Doppelsternen innerhalb einer Umlaufsperiode zweimal auf und fallen
zweimal wieder zusammen.
Bedeckungsveränderliche
Ist die Bahnneigung bei einem engen Doppelstern nahe 90°, d.h. liegt die Bahnebene so
im Raum, dasss man von der Erde aus fast in deren Richtung sieht, können sich die
Komponenten während ihres Umlaufs gegenseitig bedecken. Wie bei den
Sonnenfinsternissen, so kommen auch bei den Bedeckungsveränderlichen totale,
ringförmige und partielle Bedeckungen vor. Manche Doppelsternpartner sind so eng
benachbart, dass es zu einem Materieaustausch zwischen ihnen kommen kann.