Wirtschaftsstatistik I [E2]
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040444-4 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: SoSe2007 Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Wirtschaftsstatistik I [E2] Krall, christoph [email protected] http://homepage.univie.ac.at/christoph.krall March 15, 2007 Krall, christoph [email protected] Wirtschaftsstatistik I [E2] bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Schwab, Harald [Einheit 2] bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Schwab, Harald [Einheit 2] bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig 4 6 3 5 2 6 2 5 Schwab, Harald 4 5 [Einheit 2] x 6 1 5 x 5 bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig 4 6 3 5 2 6 2 5 Schwab, Harald 4 5 [Einheit 2] x 6 1 5 x 5 bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig 4 6 3 5 43 65 2 6 x 6 2 5 4 5 1 5 42 65 24 65 21 65 Schwab, Harald [Einheit 2] x 5 bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig 4 6 3 5 43 65 2 6 x 6 2 5 4 5 1 5 42 65 24 65 21 65 42 65 + Schwab, Harald 24 65 = 16 30 ∼ 53.3̇% [Einheit 2] x 5 bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = Schwab, Harald P(A ∩ B) P(A) [Einheit 2] bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, nämlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren Stichprobenraum. Schwab, Harald [Einheit 2] bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter A ist P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind auch Wahrscheinlichkeiten, nämlich Wahrscheinlichkeiten auf einem kleineren Stichprobenraum. Socken: A=”Beim ersten Ziehen eine rote Socke” B=”Beim zweiten Ziehen eine gelbe Socke” P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Ist A ein Ereignis und sind A1 , A2 , . . ., An einander ausschließende Ereignisse, d.h. P(Ai ∩ Aj ) = 0 für jeweils zwei verschiedene i, j, mit A ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An , dann ist P(A) = P(A|A1 )·P(A1 )+P(A|A2 )·P(A2 )+· · ·+P(A|An )·P(An ) Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Begründung: Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Begründung: (A ∩ Ai ) ∩ (A ∩ Aj ) = {} für i 6= j Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Begründung: (A ∩ Ai ) ∩ (A ∩ Aj ) = {} für i 6= j A = (A ∩ A1 ) ∪ (A ∩ A2 ) ∪ · · · ∪ (A ∩ An ) Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Begründung: (A ∩ Ai ) ∩ (A ∩ Aj ) = {} für i 6= j A = (A ∩ A1 ) ∪ (A ∩ A2 ) ∪ · · · ∪ (A ∩ An ) P(A) = P(A ∩ A1 ) + P(A ∩ A2 ) + · · · + P(A ∩ An ) Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Begründung: (A ∩ Ai ) ∩ (A ∩ Aj ) = {} für i 6= j A = (A ∩ A1 ) ∪ (A ∩ A2 ) ∪ · · · ∪ (A ∩ An ) P(A) = P(A ∩ A1 ) + P(A ∩ A2 ) + · · · + P(A ∩ An ) P(A) = P(A|A1 )·P(A1 )+P(A|A2 )·P(A2 )+· · ·+P(A|An )·P(An ) Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Beispiel: Ein Getränkefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen Altersgruppen A1 , A2 , A3 . 25% der KundInnen gehören zur Altersgruppe A1 , 60% zur A2 und 15% zu A3 . Laut Umfrage würden 80% der Altersgruppe A1 , 60% von A2 und 30% von A3 das neue Erfrischungsgetränk kaufen. ?Wieviel % der KundInnen würden das neue Getränk kaufen? Schwab, Harald [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Beispiel: Ein Getränkefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen Altersgruppen A1 , A2 , A3 . 25% der KundInnen gehören zur Altersgruppe A1 , 60% zur A2 und 15% zu A3 . Laut Umfrage würden 80% der Altersgruppe A1 , 60% von A2 und 30% von A3 das neue Erfrischungsgetränk kaufen. ?Wieviel % der KundInnen würden das neue Getränk kaufen? P(KäuferIn|A1 ) = 0.8 P(KäuferIn|A2 ) = 0.6 P(KäuferIn|A3 ) = 0.3 P(A1 ) = 0.25 P(A2 ) = 0.6 Schwab, Harald P(A3 ) = 0.15 [Einheit 2] totale Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Beispiel: Ein Getränkefachhandel hat KundInnen aus drei verscheidenen Altersgruppen A1 , A2 , A3 . 25% der KundInnen gehören zur Altersgruppe A1 , 60% zur A2 und 15% zu A3 . Laut Umfrage würden 80% der Altersgruppe A1 , 60% von A2 und 30% von A3 das neue Erfrischungsgetränk kaufen. ?Wieviel % der KundInnen würden das neue Getränk kaufen? P(KäuferIn|A1 ) = 0.8 P(KäuferIn|A2 ) = 0.6 P(KäuferIn|A3 ) = 0.3 P(A1 ) = 0.25 P(A2 ) = 0.6 P(A3 ) = 0.15 ⇒ P(KäuferIn) = 0.8 · 0.25 + 0.6 · 0.6 + 0.3 · 0.15 = 0, 605 60.5% der KundInnen würden das neue Getränk kaufen! Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung Möchte man von P(B|A) auf P(A|B) schließen: bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Möchte man von P(B|A) auf P(A|B) schließen: Bayes-Formel Für Ereignisse A und B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) = P(B) P(B|A) · P(A) + P(B|A) · P(A) Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Möchte man von P(B|A) auf P(A|B) schließen: Bayes-Formel Für Ereignisse A und B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) = P(B) P(B|A) · P(A) + P(B|A) · P(A) Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Möchte man von P(B|A) auf P(A|B) schließen: Bayes-Formel Für Ereignisse A und B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) = P(B) P(B|A) · P(A) + P(B|A) · P(A) Beispiel ?Wie hoch ist der Anteil der Altersgruppe A1 unter den KäuferInnen? Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Möchte man von P(B|A) auf P(A|B) schließen: Bayes-Formel Für Ereignisse A und B gilt: P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B|A)P(A) = P(B) P(B|A) · P(A) + P(B|A) · P(A) Beispiel ?Wie hoch ist der Anteil der Altersgruppe A1 unter den KäuferInnen? P(A1 |KäuferInnen) = P(A1 |KäuferInnen) = P(KäuferInnen|A1 )·P(A1 ) P(KäuferInnen) 0.8·0.25 0.605 Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Häufig sind ein Ereignis A und mehrere Ereignisse A1 , . . . , An mit A ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An gegeben und man möchte von P(A|Ak ) und P(Ak ) auf P(Ak |A) schließen. Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Häufig sind ein Ereignis A und mehrere Ereignisse A1 , . . . , An mit A ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An gegeben und man möchte von P(A|Ak ) und P(Ak ) auf P(Ak |A) schließen. Satz von Bayes Ist A ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An für A1 , . . . , An , dann gilt P(Ak |A) = P(A|Ak ) · P(Ak ) P(A) P(A|Ak ) · P(Ak ) = Pn i=1 P(A|Ai )P(Ai ) Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Unfallversicherung Eine Versicherung verwendet folgende Werte: 30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall. Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01. Schwab, Harald [Einheit 2] Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Unfallversicherung Eine Versicherung verwendet folgende Werte: 30% aller AutofahrerInnen fahren schlecht und machen mit Wahrscheinlichkeit 0.6 innerhalb des ersten Versicherungsjahres wenigstens einen Unfall. Die mittleren AutofahrerInnen (60%) machen mind. einen Unfall im ersten Jahr mit Wahrscheinlichkeit 0.1 und die guten (10%) mind. einen mit Wahrscheinlichkeit 0.01. (1) Mit welcher Wahrsch. macht ein/e beliebige/r AutofahrerIn innerhalb des ersten Jahres wenigstens einen Unfall? (2) Wenn ein Unfall innerhalb des ersten Jahres passiert, mit welcher Wahrsch. gehört die Person zu den guten AutofahrerInnen? Schwab, Harald [Einheit 2] Unabhängige Ereignisse: Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Das Ereignis B ist von A unabhängig wenn gilt: P(B|A) = P(B). Umgekehrt ist A von B unabhängig wenn gilt: P(A|B) = P(A). Schwab, Harald [Einheit 2] Unabhängige Ereignisse: Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Das Ereignis B ist von A unabhängig wenn gilt: P(B|A) = P(B). Umgekehrt ist A von B unabhängig wenn gilt: P(A|B) = P(A). Es gilt: P(A|B) = Schwab, Harald P(A ∩ B) P(B) [Einheit 2] = P(A) Unabhängige Ereignisse: Wahrscheinlichkeitsrechnung bedingte W. totale W. Bayes unabhängig Das Ereignis B ist von A unabhängig wenn gilt: P(B|A) = P(B). Umgekehrt ist A von B unabhängig wenn gilt: P(A|B) = P(A). Es gilt: P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) = P(A) Definition Zwei Ereignisse heißen unabhängig wenn gilt: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Schwab, Harald [Einheit 2]
