Elektrotechnische Grundlagen der Informatik

A. Steininger
1
1
VO ET Grundlagen der Informatik
Elektrotechnische
Grundlagen
der Informatik
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Vorlesungsüberblick
2
1. Einführung,
Definitionen
2. Widerstandsnetzwerke
3. Kapazität & Induktivität
4. Transiente Vorgänge
5. Wechselspannung
6. Frequenzanalyse
7. Dioden
8. Verstärker
9. Bipolare Transistoren
10. Feldeffekt-Transistoren
11. Operationsverstärker
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Einführung
A. Steininger
•
•
•
•
•
3
Bedeutung und Teilbereiche der Elektrotechnik
Ziele der Lehrveranstaltung
Definition von Ladung, Strom, Spannung
Berechnung von Leistung und Energie
Einführung und Anwendung von
Grundgesetzen der Netzwerktheorie
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Teilbereiche der Elektrotechnik
4
•
•
•
•
•
•
•
Elektromagnetische Feldtheorie
Bauteil- und Schaltungstechnik
Computertechnik
Meßtechnik und Signalverarbeitung
Regelungstechnik
Nachrichtentechnik
Energietechnik
1
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
“Optimaler” Zündzeitpunkt
5
1
VO ET Grundlagen der Informatik
Bedeutung der Elektrotechnik
A. Steininger
(Beispiel KFZ)
6
•
•
•
•
•
•
Sicherheit: ABS, Airbag, ASR, Alarm, Beleuchtung
Kommunikation: Radio, RDS, CD, Telefon, Funk
Komfort: Navigation, Niveauregelung, div. Servos
Motormanagement: Einspritzung, Zündung, Katalysator
Anzeigen: Reifendruck, Öl, Bremsverschleiß, Service
Antrieb: Elektroauto, Hybridauto, Batterien
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Ziele der LVA
A. Steininger
Vermittlung eines Verständnisses für
7
… das Zusammenspiel HW/SW (Rechner-HW)
… analoge Grundfunktion digitaler Bausteine
(Schaltzeiten, Laufzeiten, Schwellwerte, …)
… diverse Störmechanismen
(EMV, Reflexionen, …)
… die Dimensionierung und Analyse von Schaltungen
(Verstärker, Filter, Transistor-Grundschaltungen)
… meß- und regelungstechnische Probleme
(Sensorprinzipien, Rückkopplung, Nichtlinearität)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Der Stromkreis
Schalter
Batterie
Kabel
A. Steininger
Scheinwerfer
8
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Eine Schaltung ...
…besteht aus Schaltungselementen wie
A. Steininger
– Spannungsquellen
– Widerständen
– Transistoren etc.
9
die durch Leitungen zu
geschlossenen Pfaden
(“Stromkreisen”)
verbunden sind.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Elektrische Ladung
10
… ist Transportmittel für
Energie im Stromkreis
… wird im metallischen
Leiter durch Elektronen
transportiert
… eines Elektrons beträgt
-1.602 x 10-19 C
… mißt man in Coulomb
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Elektrischer Strom
… ergibt sich aus der
Ladung, die pro Zeiteinheit transportiert wird
A. Steininger
i(t) = dq(t) / dt
11
… wird in Ampere (A)
gemessen
(1 A = 1 C/s)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.1
A. Steininger
• Angabe:
q(t) = 0
(t<0)
q(t) = 2-2.e-100t C (t>0)
12
• Gesucht:
graph. Darstellung
von i(t) und q(t)
• Lösungsweg:
i(t) = dq(t) / dt
i(t) = 0
(t<0)
i(t) = 200.e-100t A (t>0)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.1 (Ergebnis)
A. Steininger
[C]
13
[A]
[ms]
[ms]
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Elektrische Spannung
14
… erzeugt ein Elektrisches
Feld, dessen Kraft die
Ladungen bewegt
… definiert die Energie die
pro Ladungseinheit
transportiert wird
… wird in Volt gemessen
(1 V = 1 J/C)
1
VO ET Grundlagen der Informatik
Bezugsrichtung für den Strom
• beliebiger Querschnitt
durch Schaltungselement
• willkürliche Festlegung
einer Bezugsrichtung mit
A. Steininger
– Pfeil oder
– Doppel-Index
15
• tatsächl. Stromrichtung
(Ladungstransport) mit
Vorzeichen festgelegt
1
VO ET Grundlagen der Informatik
Bezugsrichtung für die Spannung
• Zwei beliebige Knoten
in der Schaltung
• willkürliche Festlegung
der Bezugspolarität mit
A. Steininger
– Pfeil, (+ / -) oder
– Doppel-Index
16
• tatsächliche Polarität
(Energiefluß) durch
Vorzeichen festgelegt
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Leistung
• Spannung: Energie pro Ladungseinheit
• Strom: Ladung pro Zeiteinheit
• Leistung: Energie pro Zeiteinheit
A. Steininger
p(t) =
17
.
u(t) i(t)
• Einheit: Watt (W)
1 W = 1 VA = 1 J/s
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Quelle und Verbraucher
A. Steininger
• Verbraucher:
tatsächlicher Strom von
positivem zu negativem
Pol
18
Verbraucherbezugssystem
• Quelle:
tatsächlicher Strom von
negativem zu positivem
Pol
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.2
Bestimme die Leistung folgender Schaltungselemente:
+
Ia
+
A. Steininger
19
(a) Ua = 12V
Ia = 2A
Ic
Ub B
Ua A
_
Ib
_
_
(b) Ub = 12V
Ib = 1A
Uc C
+
(c) Uc = 12V
Ic = -3A
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.2 (Ergebnis)
P=U.I
a) P = 24W , Energie wird aufgenommen
A. Steininger
b) P = -12W , Energie wird abgegeben
20
c) P = -36W , Energie wird abgegeben
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Gleich- und Wechselstrom
• Gleichstrom (DC):
zeitlich konstant
i(t) = I = const.
A. Steininger
• Wechselstrom (AC):
zeitlich veränderlich
21
i(t)=2A
2
t
i(t) = f(t)
i(t)=2*cos(2πt) A
2
t
0,5
1
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Arbeit (Energie)
• Die von einem Schaltungselement verbrauchte
/ gelieferte Energie ergibt sich aus dem
zeitlichen Integral über die Leistung
A. Steininger
t2
22
W = ∫ p(t )dt
t1
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.3
• Angabe:
u(t)
A. Steininger
i(t)
23
u(t) = 12V
i(t) = 2e-tA
• Leistung:
p(t) = u(t) .i(t) = 24.e-t W
• Energie:
∞
∞
0
0
−t ∞
W = ∫ p (t )dt = ∫ 24 ⋅ e −t dt
= −24e
0
= 24J
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Technische Größenordnungen
24
Bezeichn. Abk.
GigaG
MegaM
Kilok
Millim
µ
MikroNanon
Pikop
Femtof
Multiplikator
10^9
10^6
10^3
10^-3
10^-6
10^-9
10^-12
10^-15
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Kirchhoff’sche Knotenregel
A. Steininger
Für jeden beliebigen
Knoten in einem
Netzwerk gilt:
25
Die Summe aller zufließenden Ströme ist
null.
i1
Knoten
i3
i2
i1 + i2 - i3 = 0
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Serienschaltung
ia
A
ib
A. Steininger
B
26
C
ic
Aus der Knotenregel
folgt, daß durch in Serie
liegende Schaltungselemente der gleiche
Strom fließen muß.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Kirchhoff’sche Maschenregel
A. Steininger
Für jede beliebige
Masche in einem
Netzwerk gilt:
27
Die Summe aller
Spannungen ist null
(gleicher Umlaufsinn!)
ua A
ub
ud
B
D
uc
1
C
2
E ue
3
-ua + ub + uc = 0
-uc - ud + ue = 0
ua - ub + u d - ue = 0
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Parallelschaltung
A. Steininger
u
28
A
B
C
Aus der Maschenregel
folgt, daß an allen
parallel liegenden
Schaltungselementen
die gleiche Spannung
liegen muß.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Schaltungselemente
29
•
•
•
•
•
•
•
Leiter (Verbindungen)
Spannungsquellen (nicht gesteuert / gesteuert)
Stromquellen (nicht gesteuert / gesteuert)
Widerstände
Kondensatoren und Induktivitäten
Halbleiter
….
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Leiter, Isolation
der ideale Leiter
… wird als durchgezogene Linie dargestellt
… wird auch Kurzschluß genannt
… weist zwischen seinen Enden niemals eine Spannung auf
(selbst bei noch so großem Strom)
A. Steininger
der ideale Isolator
30
Zwischen Knoten, die nicht durch Schaltungselemente
verbunden sind kann niemals ein Strom fließen (selbst bei
noch so großer Spannung).
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Spannungsquelle (nicht gesteuert)
A. Steininger
die ideale Spannungsquelle
31
– weist zwischen den Klemmen
die spezifizierte Spannung auf
– und dies unabhängig von der
weiteren Beschaltung
(“Belastung”).
– Es gibt Spannungsquellen für
Gleichspannung oder für
Wechselspannung
DC
12V
AC
5 cos(2πt)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Grenzen der Idealisierung
A. Steininger
Im Grenzfall kann die
Idealisierung falsche
Ergebnisse oder
Widersprüche liefern !
32
Beispiel: Kurzschluß der
idealen Spannungsquelle
12V
ux
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Gesteuerte Spannungsquelle
Spannungsquelle, deren Nennwert eine Funktion
anderer Größen (Steuergrößen) ist:
– Spannungsgesteuerte Spannungsquelle (“V/V”)
A. Steininger
– Stromgesteuerte Spannungsquelle (“V/A”)
33
2ux
ux
3ix
ix
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Stromquelle (nicht gesteuert)
A. Steininger
die ideale Stromquelle
34
– erzwingt das Fließen eines
spezifizierten Stromes
zwischen ihren Klemmen
(d.h. durch sich hindurch)
– und dies unabhängig von der
weiteren Beschaltung
(“Belastung”).
– Es gibt Stromquellen für
Gleichstrom oder für
Wechselstrom
DC
2A
AC
3 sin (100πt)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Gesteuerte Stromquelle
Stromquelle, deren Nennwert eine Funktion anderer
Größen (Steuergrößen) ist:
– Spannungsgesteuerte Stromquelle (“A/V”)
A. Steininger
– Stromgesteuerte Stromquelle (“A/A”)
35
3ux
ux
2iy
iy
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Ohm’sches Gesetz
u=R
.i
u
u = R.i
i
A. Steininger
u
36
i
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Widerstand
37
– Am Widerstand sind Strom und Spannung direkt
proportional
– Der Proportionalitätsfaktor ist der Widerstand R
– Widerstand wird in Ohm gemessen (1Ω = 1V/A)
– typische Werte für R liegen im Bereich mΩ bis MΩ
– bis auf extreme Ausnahmefälle sind Widerstandswerte positiv
– das Bauelement Widerstand ist ein Verbraucher
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Leitwert
– Der Kehrwert des Widerstandes wird Leitwert
genannt:
A. Steininger
G=1/R
38
– Die Einheit des Leitwertes ist Siemens (1S = 1A/V)
– Das Ohm’sche Gesetz kann mit dem Leitwert
formuliert werden als
.
i=G u
1
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Der Widerstand als Bauelement
39
– Widerstand ergibt sich durch Kollision der
Ladungsträger mit den Gitteratomen, durch die der
Ladungsträgerstrom gebremst und folglich
Feldenergie in Wärme umgesetzt wird.
– Widerstände werden technisch aus Kohle sowie aus
diversen Metallen und deren Legierungen
hergestellt
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Widerstandsberechnung
In einem zylindrischen
Stück (L>>A) gilt:
A. Steininger
R=ρ*L/A
40
Während L und A durch
die Geometrie definiert
sind, hängt der
spezifische Widerstand ρ
vom Material ab.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Spezifischer Widerstand in Ωm
A. Steininger
“Leiter”
41
“Halbleiter”
“Isolator”
Silber
Kupfer
Gold
Aluminium
Wolfram
NiChrom
Kohle
Silizium
Quarz
Glas
Teflon
1,63 E-8
1,72 E-8
2,27 E-8
2,73 E-8
5,44 E-8
1,12 E-6
3,5 E-5
1 E-5 … 1
> 1 E21
1 E12
1 E19
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.4
Zu berechnen ist der Widerstand eines 10 Meter
langen Kupferkabels mit 2,05 mm Durchmesser
(z.B. Schaltdraht in der Elektroinstallation)
A. Steininger
ρ⋅L
42
(1,72 ⋅10−8 ⋅ Ω ⋅ m) ⋅ (10 ⋅ m)
R=
=
= 0,052Ω
−
3
2
1 ⋅ π ⋅ ( 2,05 ⋅10 ⋅ m)
A
4
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Dehnmeßstreifen (DMS)
A. Steininger
• Dehnung ε = ∆L/L
• Konstantan-Mäander auf
flexiblem Träger werden auf
das Meßobjekt geklebt
• Bei Dehnung ändern sich
Länge und Querschnitt
• Sensorkoeffizient ∆R / R0
43
Meßgröße
(Dehnung)
∆L / L
• Auswertung mit Meßbrücke
• => Kraft- und Drucksensoren
Träger
Lötkontakt
(Cu)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Leistung am Widerstand
A. Steininger
p=u.i
u=R.i
44
=>
p = i2 . R
p = u2 / R
Anwendungen: Heizlüfter, Wasserkocher, Herdplatten, Haarfön
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Beispiel 1.5
Auf dem Typenschild eines Wasserkochers ist eine
Leistung von 1500W bei 220V Betriebsspannung
angegeben. Zu berechnen sind Stromaufnahme und
Widerstand dieses Wasserkochers.
A. Steininger
u 2 (220V ) 2
R=
=
= 32,3Ω
p
1500W
45
 u  p 1500W
= 6,8 A
i= = =
220V
 R u
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Widerstand: Terminologie
• Widerstand ist ein Bauelement der Elektronik
• Widerstand ist ein physikal. Effekt, der nicht
nur bei diesem Bauelement in Erscheinung tritt
A. Steininger
(Lautsprecher, Antennen, Batterie,…)
46
• Widerstand kann auch von diversen Betriebsbedingungen abhängen
(Temperatur, Strom, Spannung, Magnetfeld, ...)
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Einführung in die Netzwerkanalyse
Ermittle Spannung, Strom und Leistung an den Schaltungselementen
US =10V
5Ω
A. Steininger
IR
47
10V
UR
5Ω
UR
US =10V
IS
10V
PR = UR . IR = 10V . 2A = 20W = -PS
5Ω
IR
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Zur Wahl der Bezugsrichtung
A. Steininger
Us=10V
48
Ux=-US=-10V
Ix=-Ux/R=2A
Ps= US . Iy=-20W
Ux
Iy
R=5Ω
Ix
Iy=-Ix=-2A
PR=-Ux . Ix=20W
1
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
49
• Die Bedeutung der „Embedded Systems“ nimmt rasant zu.
Um in diesem Bereich Hi-Tech Produkte realisieren zu können,
ist ein fächerübergreifendes Wissen ET/Informatik mehr
gefragt denn je.
• Ladung ist das wichtigste Transportmittel für (leitungsgebundene) elektrische Energie. Ihre Einheit ist das Coulomb.
• Strom ergibt sich aus dem Ladungsfluß. Er wird in Ampere
gemessen.
dq(t )
i (t ) =
dt
• Spannung bestimmt die Energie eines Ladungsträgers. Ihre
Einheit ist das Volt.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Zusammenfassung (2)
A. Steininger
• In einem Verbraucher bewegen sich positive Ladungsträger
entlang der Spannungspfeilrichtung (vom höheren zum
niedrigeren Potential), in einer Quelle entgegengesetzt.
• Im Verbraucherbezugssystem fließt der Strom in den Pluspol.
• Die Leistung ist das Produkt aus Strom und Spannung. Im
Verbraucherbezugssystem hat der Verbraucher positive
Leistung, die Quelle negative.
p(t ) = u (t ) ⋅ i (t )
50
• Energie (Arbeit) ist das zeitliche
Integral der Leistung.
t2
W = ∫ p(t ) ⋅ dt
t1
1
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (3)
51
• Die Summe aller einem Knoten zufließenden Ströme ist gleich
null (Kirchhoff’sche Knotenregel).
• Die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Schleife
ist gleich null (Kirchhoff’sche Maschenregel)
• In Serie liegende Schaltungselemente werden vom gleichen
Strom durchflossen.
• An parallel geschalteten Schaltungselementen liegt die gleiche
Spannung.
ρ⋅ l
• In einem zylindrischen Stück gilt
R=
A
1
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
52
• Die Spannung zwischen den Enden eines idealen Leiters ist
immer null.
• Zwischen den Anschlüssen einer idealen Spannungsquelle liegt
die spezifizierte Spannung (AC oder DC). Bei einer gesteuerten
Spannungsquelle hängt diese von der Steuergröße ab.
• Eine ideale Stromquelle wird stets vom spezifizierten Strom
durchflossen (AC oder DC). Bei einer gesteuerten Stromquelle
hängt dieser von der Steuergröße ab.
• Widerstand ist der Proportionalitätsfaktor zwischen
Spannung und Strom. (Ohm’sches Gesetz). Er wird u = R ⋅ i
in Ohm gemessen.
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.1
A. Steininger
Ein konstanter Strom von 2A fließt durch ein
Schaltungselement. Welche Ladung wird dabei
innerhalb von 10 Sekunden transportiert?
53
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.2
A. Steininger
Die Ladung, die durch ein Schaltungselement
transportiert wird ist durch den Zusammenhang
q(t) = 0,01*sin(200t) C gegeben.
Berechne den zugehörigen Strom !
54
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.3
A. Steininger
I2=1A; I3=-3A
In welche Richtung
bewegen sich positive
Ladungsträger in
Element C bzw. in E ?
55
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.4
A. Steininger
An einem Schaltungselement liegt eine Spannung von Uab = 20V. Eine positive Ladung von
2C bewegt sich von Anschluß b nach Anschluß
a. Wieviel Energie wird transportiert? Handelt
es sich um einen Verbraucher oder eine Quelle?
56
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.5
A. Steininger
Die Anschlüsse eines Schaltungselements sind
mit a und b bezeichnet. Handelt es sich bei den
Bezugsrichtungen Iab und Uab um ein
Verbraucherbezugssystem?
57
VO ET Grundlagen der Informatik
1
A. Steininger
Übung 1.6
58
Für die beiden Elemente
ist die Leistung als
ia(t)
+
Funktion der Zeit zu
ua (t)
berechnen. Welche
Energie wird zwischen
_
t = 0 und t = 10s
umgesetzt?
ua(t)=10t V
Handelt es sich um Veria(t)=2t A
braucher oder Quelle ?
+
u b (t)
_
ib(t)
ub(t)=20-2t V
ib(t)=10 A
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.7
Die unbestimmten Ströme sind mittels der
Knotenregel zu bestimmen:
1A
2A
A. Steininger
ia
59
2A
3A
(a)
3A
ib
(b)
1A
3A
ic
(c)
4A
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.8
Identifiziere in Serie liegende Elemente !
B
A. Steininger
A
60
E
C
F
D
G
D
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.9
A. Steininger
Bestimme uc und ue mit der Maschenregel!
61
5V
-10V
B
D
3V A uc C ue E
F
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.10
A. Steininger
Identifiziere Serien und Parallelschaltungen!
62
5V
-10V
B
D
3V A uc C ue E
F
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.11
A. Steininger
Eine NiChrom-Heizwendel hat einen
Widerstand von 9,6Ω bei einem Durchmesser
von 1,6mm. Welche Länge hat der Draht ?
(ρ = 1,12*10-6 Ωm)
63
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.12
A. Steininger
Berechne Widerstand und Betriebsstrom einer
100W-Glühbirne (für 220V und 120V).
64
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.13
A. Steininger
Ein 1kΩ Widerstand in einem Fernsehgerät hat
eine Leistung von 0,25W. Bei welcher
Spannung und welchem Strom erreicht er seine
Leistungsgrenze ?
65
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.14
Ermittle I1,I2 und U2 ; berechne die Leistungen
der Schaltungselemente !
I2
A. Steininger
I1
66
U1 =25V
U2
R=25Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
1
Übung 1.15
Ermittle IR,UR und US ; berechne die Leistungen
der Schaltungselemente !
IR
A. Steininger
I s =2A
67
Us
UR
R=40Ω
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Widerstandsnetzwerke
1
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Widerstandsnetzwerke
• Serienschaltung und Parallelschaltung von R
• Spannungsteiler, Stromteiler
• Methode der Knotenpotentiale
• Methode der Maschenströme
A. Steininger
• Thevenin- und Norton-Ersatzschaltungen
• Superpositionsprinzip
2
• Wheatstone-Brücke
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Serienschaltung v. Widerständen
u1 = R1
u2 = R2 .i
u3 = R3 .i
A. Steininger
.i
3
u = u1 + u2 + u3
u = R1 .i + R2 .i + R3 .i
u = (R1 + R2 + R3) .i
u=
Req .i
i
R1
i
u1
u
u2
R2
=
u
u3
R3
Req = R1 + R2 + R3
R eq
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Serienschaltung v. Widerständen
Die Serienschaltung einer beliebigen Anzahl
von Widerständen kann gleichwertig durch
einen einzelnen Widerstand ersetzt werden,
dessen Wert sich aus der
A. Steininger
Summe der Einzelwiderstände
4
ergibt.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Widerstände, Parallelschaltung
i
A. Steininger
i1 = u/R1 = u * G1
i2 = u/R2 = u * G2
i3 = u/R3 = u * G3
5
i = i1 + i2 + i3
i = u * (G1 + G2 + G3)
Geq = G1 + G2 + G3
u
i1
i2
i3
R1
R2
R3
i
=
u
1
Req =
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
R eq
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Widerstände, Parallelschaltung
6
Die Parallelschaltung einer beliebigen Anzahl
von Widerständen kann gleichwertig durch
einen einzelnen Widerstand ersetzt werden,
dessen Wert sich als
Kehrwert aus der Summe der
Kehrwerte der Einzelwiderstände
ergibt.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Gegenüberstellung
A. Steininger
• Serienschaltung
7
– äquival. Widerstand ist
größer als größter
Einzelwiderstand
– geringere Leistung
– ein “offener” Defekt
wirkt global und ist
schwer lokalisierbar
• Parallelschaltung
– äquival. Widerstand ist
kleiner als kleinster
Einzelwiderstand
– höhere Leistung
– ein Kurzschluß
wirkt global und ist
schwer lokalisierbar
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel zur Leistungssteuerung
Heizlüfter mit 2 Wendeln zu je 100Ω/220V
A. Steininger
– in Serie:
– einzelne Wendel:
– Parallelschaltung:
8
U2/R = 2202/200 = 242W
U2/R = 2202/100 = 484W
U2/R = 2202/50 = 968W
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.1
Bestimme den Ersatzwiderstand der folgenden Anordnung !
R1=10Ω
R3=5Ω
A. Steininger
R2=20Ω
9
R1=10Ω
R4=15Ω
R2=20Ω
Req1=20Ω
R1=10Ω
Req2=10Ω
Req =20Ω
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Anwendung zur Netzwerkanalyse
• Ein Netzwerk besteht aus einer Anzahl von Schaltungselementen, die in geschlossenen Pfaden untereinander
verbunden sind.
A. Steininger
• Ziel der Netzwerkanalyse ist es, Ströme, Spannungen
und Leistungen im Netzwerk zu ermitteln.
10
• Dazu ist es oft hilfreich, durch (temporäres) Auflösen
von Serien- und Parallelschaltungen Vereinfachungen
vorzunehmen.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.2
Bestimme Strom, Spannung und Leistung für alle Elemente !
A. Steininger
Us =
90V
11
Us =
90V
R1=10Ω
R1=10Ω
Req1=
20Ω
R2=30Ω
Us =
90V
R3=60Ω
Req =
30Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.2 (Lösung)
R1=10Ω
I1
I2
R2=
30Ω
Us =
90V
A. Steininger
R1=10Ω
12
Us =
90V
I1
U2
I3
U2
R3=60Ω
I1=3A
Req1=
20Ω
Us =
90V
Req =
30Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Spannungsteilerregel
i = utotal / (R1 + R2 + R3)
i
R1
u1 = R1 * i
u1
utotal
R1
=
R1 + R2 + R3
u1
u2
utotal
A. Steininger
u3
13
Allg. für k Widerstände:
uk
Rk
=
utotal R1 + R2 +...+ Rn
R3
R2
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Spannungsteilerregel
14
• In einer Serienschaltung (Widerstandskette)
verhalten sich die Teilspannungen an den
Widerständen proportional zu den
Widerstandswerten.
• Das Verhältnis zwischen Teilspannung und
Gesamtspannung an der Kette ist gleich dem
Verhältnis zwischen Einzelwiderstand und
Summe aller Widerstände in der Kette.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.3
Ermittle U1 und U4 in folgender Schaltung:
R 1 =1kΩ
A. Steininger
Utotal=15V
15
U1
R 2 =1kΩ
U4
R 3 =2kΩ
R 4 =6kΩ
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Beispiel 2.3 (Lösung)
R1
1k
U1 =
⋅ U total =
⋅15V = 1,5V
R1 + R2 + R3 + R4
1k + 1k + 2k + 6k
A. Steininger
R4
6k
U4 =
⋅ U total =
⋅15V = 9V
R1 + R2 + R3 + R4
1k + 1k + 2k + 6k
16
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Stromteilerregel
u = itotal / (G1 + G2)
i1 = G1 * u
….
ik
A. Steininger
itotal
17
Gk
=
G1 + G2 +...+ Gn
Spezialfall nur für zwei R
i1
itotal
R2
=
R1 + R2
itotal
u
i1
i2
R1
R2
VO ET Grundlagen der Informatik
2
A. Steininger
Stromteilerregel
18
• In einer Parallelschaltung verhalten sich die
Teilströme durch die Widerstände umgekehrt
proportional zu den Widerstandswerten.
• Das Verhältnis zwischen Teilstrom und
zufließendem Gesamtstrom ist gleich dem
Verhältnis zwischen einzelnem Leitwert und
Summe aller parallelen Leitwerte.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.4
Ermittle Ux mit der Spannungsteilerregel,
daraus Is , und I3 mit der Stromteilerregel !
R1=60Ω
A. Steininger
U s=
100V
19
R1=60Ω
Is
R2=
30Ω
Ux
I3
R3=
60Ω
Is
Us=
100V
Ux
Rx=
20Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.4 (Lösung)
R2 ⋅ R3
Rx = R2 || R3 =
= 20Ω
R2 + R3
A. Steininger
Rx
20
Ux =
⋅U s =
⋅100V = 25V
R1 + Rx
60 + 20
20
Us
100V
Is =
=
= 1,25 A
R1 + Rx 60Ω + 20Ω
 Ux 
R2
30Ω

I3 =
⋅ IS =
⋅1,25 A = 0,417 A  =
R2 + R3
30Ω + 60Ω
 R3 
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Anwendung: Positionsgeber
A. Steininger
US
21
UO
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Methode der Knotenpotentiale
22
(1) Wahl eines Bezugspotentiales (“Masse”)
(2) Zuordnung von Potentialen zu Knoten
(3) Ausdrücken der Spannungen an den
Bauteilen mittels Knotenpotentialen
(4) Anwenden der Knotenregel
(5) Lösen der resultierenden Gleichungen
(6) Berechnung der gesuchten Größen
VO ET Grundlagen der Informatik
2
(1) & (2): Knotenpotentiale
R1
Knoten 1
v1
R2
R3
v2
Knoten 3
v3
A. Steininger
Knoten 2
23
us
R4
v0
"Masse"
R5
VO ET Grundlagen der Informatik
2
(3): Bauteilspannungen /1
R1
uR1
v2
uR2
v1
uR3
A. Steininger
R2
24
uS
v3
R3
R4
uR4
v0
R5
uR5
VO ET Grundlagen der Informatik
2
A. Steininger
(3): Bauteilspannungen /2
25
R1:
R2:
R3:
R4:
R5:
us:
uR1 = v3 - v1
uR2 = v2 - v1
uR3 = v2 - v3
uR4 = v2 - 0
uR5 = v3 - 0
us = v1 - 0
iR1 = (v3 - v1) / R1
iR2 = (v2 - v1) / R2
iR3 = (v2 - v3) / R3
iR4 = v2 / R4
iR5 = v3 / R5
is = ??
Ströme lassen sich durch Knotenpotentiale ausdrücken
VO ET Grundlagen der Informatik
2
(4): Anwenden der Knotenregel / 1
Knoten bei v2 :
(I)
A. Steininger
Knoten bei v3 :
26
(II)
i R 2 + i R 3 + iR 4 = 0
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R2
R4
R3
iR1 + iR 5 − iR 3 = 0
v3 − v1 v3 v2 − v3
+
−
=0
R1
R5
R3
Stromrichtungen entsprechen den eingezeichneten
VO ET Grundlagen der Informatik
2
(4): Anwenden der Knotenregel / 2
A. Steininger
(I)
27
(II)
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R2
R4
R3
v3 − v1 v3 v3 − v2
+
+
=0
R1
R5
R3
R1
v2
v1
R2
v3
R3
R4
R5
R1
v2
v1
R2
v3
R3
R4
R5
Stromrichtung = jeweils weg vom betrachteten Knoten
VO ET Grundlagen der Informatik
2
“Erweiterte” Knotenregel
Der in eine geschlossene Hülle fließende Gesamtstrom ist gleich null.
i R1
v1
R1
v2
i R2
R2
A. Steininger
S
28
v3
R3
i R4
R4
R5
i R5
Knoten bei v1 :
(III)
− iR1 − iR 2 − iR 4 − iR 5 = 0
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Abhängige Gleichungen
(III)
v1 − v2 v1 − v3 v2 v3
+
−
−
=0
R2
R1
R4 R5
ABER:
A. Steininger
(I)
29
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R2
R4
R3
v3 − v1 v3 v3 − v2
+
+
=0
(II)
R1
R5
R3
Gleichungen sind linear abhängig ! => (III) ist wertlos
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Einsetzen von Zahlenwerten
v1
A. Steininger
10V
30
2Ω
10Ω
v 2 10Ω
5Ω
v3
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
(5): Lösen der Gleichungen
A. Steininger
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R2
R4
R3
31
v2
v3
const
(I)
v2 − 10 v2 v2 − v3
+ +
=0
2
5
10
0,8 v2 - 0,1 v3 = 5
(II)
v3 − 10 v3 v3 − v2
+ +
=0
10
5
10
- 0,1 v2 + 0,4 v3 = 1
v3 − v1 v3 v3 − v2
+
+
=0
R1
R5
R3
v2 = 6,77V
v3 = 4,19V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.9
Bestimme die Knotenpotentiale und den Strom Ix :
A. Steininger
V1
32
Ix
5Ω
10Ω
20Ω
V2 10Ω
10A
V3
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.9 (Lösung)
(I)
(II)
V2 − V1 V2 − V3
+
= 10
5
10
V3 V3 − V2 V3 − V1
+
+
=0
5
10
20
A. Steininger
(III)
V1 V1 − V2 V1 − V3
+
+
=0
10
5
20
33
Ix =
0,35 V1 - 0,20 V2 - 0,05 V3 = 0
-0,20 V1+ 0,30 V2 - 0,10 V3 =10
-0,05 V1 - 0,10 V2+0,35 V3 = 0
V1 − V3 45,45 − 27,27
=
= 0,909 A
20
20Ω
V1 = 45,45V
V2 = 72,73V
V3 = 27,27V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Behandlung gesteuerter Quellen /1
2i x
R1
A. Steininger
v1
34
is
R3
v2
R2
ix
v3
R4
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Behandlung gesteuerter Quellen /2
v1 − v2
= iS + 2 ⋅ i x
R1
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R1
R2
R3
A. Steininger
v3 − v2 v3
+
+ 2 ⋅ ix = 0
R3
R4
35
v3 − v2
ix =
R3
v1 − v2
v −v
= iS + 2 ⋅ 3 2
R1
R3
v2 − v1 v2 v2 − v3
+
+
=0
R1
R2
R3
v3 − v2 v3
v −v
+
+ 2⋅ 3 2 = 0
R3
R4
R3
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Maschenstrom-Analyse: Überblick
• planare Darstellung (nach Möglichkeit)
• Maschenstrom in jedem “Fenster”
• Maschengleichungen aufstellen
Bei Stromquelle Ersatzmasche & Zusatzgleichung
A. Steininger
• gesteuerte Größen durch Steuergrößen ersetzen
36
• Standardform, Lösen der Gleichungen
• Berechnung der gesuchten Größen
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Maschenstrom-Analyse
i1 R1
R1
i2 R2
i3
uA
uA
R3
uB
A. Steininger
(a)
37
R1 ⋅ i1 + R3 ⋅ i3 = u A
− R3 ⋅ i3 + R2 ⋅ i2 = − uB
i1 = i2 + i3
R2
u3
i1
uB
R3
i2
(b)
R1 ⋅ i1 + R3 ⋅ (i1 − i2 ) = u A
R3 ⋅ (i2 − i1 ) + R2 ⋅ i2 = −u B
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Wahl der Maschenströme
R1
R2
R1
ub
i3
i1
i2
R2
i4
i2
R5
R6
A. Steininger
38
i1
R4
R4
R3
ua
ua
i3
R7
(a)
(b)
R8
R3
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.13
20Ω
A. Steininger
150V
39
I1
10 (I 2 − I1 ) + 15 ⋅ I 2 + 100 = 0
20 ⋅ I1 + 10 (I1 − I 2 ) − 150 = 0
15Ω
10Ω
I2
100V
−10 I1 + 25 I 2 = −100
30 I1 − 10 I 2 = 150
I 2 = −2,308 A
I1 = +4,231A
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Behandlung von Stromquellen
3Ω
2Ω
A. Steininger
1Ω
40
I1
I3
4Ω
5A
I2
10V
1 ⋅ I1 + 2(I1 − I 3 ) + 4(I 2 − I 3 ) + 10 = 0
3 ⋅ I 3 + 4(I 3 − I 2 ) + 2(I 3 − I1 ) = 0
I 2 − I1 = 5
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Wichtige Grundregel
A. Steininger
Die Spannung an einer Stromquelle ist a priori nicht bekannt.
Insbesondere ist es falsch, sie mit
Null anzunehmen.
41
Gleiches gilt für den Strom durch
eine Spannungsquelle.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Behandlung gesteuerter Quellen
4Ω
A. Steininger
20V
42
I1
Ersatzmasche:
Zusatzbedingung:
Steuergröße:
6Ω
Ux
4
Ux
I2
2Ω
− 20 + 4 I1 + 6 I 2 + 2 I 2 = 0
0,25 ⋅ U x = I 2 − I1
U x = 2 I2
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Ersatzschaltungen für Zweipole
“Ersatzspannungsquelle”
(Thevenin-Äquivalent)
“Ersatzstromquelle”
(Norton-Äquivalent)
Rt
A. Steininger
Ut
43
u oc
In R t
…läßt sich für jeden Zweipol ermitteln, der aus idealen Quellen und
Widerständen aufgebaut ist (Steuergrößen intern)
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Ersatzspannungsquelle
Rt
Ut
u oc
A. Steininger
Rt
44
Ut
isc
uoc = U t
U t = uoc
Ut
isc =
Rt
uoc
Rt =
isc
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.15
Bestimme die Ersatzspannungsquelle für folgende Schaltung
R1=100Ω
R1
I1 =
Us =15V
R2=50Ω U s=15V
I1
R2
u oc
15V
= 100mA
150Ω
uoc = 5V
A. Steininger
i sc R1
45
Rt =33,3Ω
isc =
0
Us =15V
R2
i sc U=5V
t
15V
= 150mA
100Ω
Rt =
uoc
= 33,3Ω
isc
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Direkte Ermittlung von Rt
• Schließe alle Spannungsquellen kurz:
“Spannung Null” = Kurzschluß
A. Steininger
• Entferne alle Stromquellen:
“Strom Null” = keine Verbindung
46
• Ermittle durch Netzwerkumformung den
Widerstand zwischen den Anschlüssen
• Nicht anwendbar bei gesteuerten Quellen !
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.16
Bestimme die Ersatzspannungsquelle:
5Ω
20V
5Ω
20Ω
2A
20Ω
Req=Rt =4Ω
A. Steininger
I2 =
47
I1 5Ω
20V
20Ω
I2
i sc
2A
Rt =4Ω
U=24V
t
0V
= 0A
20Ω
20V
= 4A
5Ω
isc = I1 − I 2 + 2 A = 6 A
I1 =
U t = isc ⋅ Rt = 6A ⋅ 4Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Behandlung gesteuerter Quellen
5Ω
5Ω
Ix
10V
Ix
2Ix
10Ω
10V
A. Steininger
5Ω
48
2Ix
10Ω
2Ix
Rt =1,43Ω
0
Ix
10V
Knoten 1
i sc
10Ω
U t =8,57V
uoc
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.17 (Lösung)
• Leerlauf
uoc
I x + 2I x =
10
10 − uoc uoc
3⋅
=
5
10
10 − uoc
Ix =
5
A. Steininger
• Kurzschluß
49
• Ersatzwiderstand
uoc = 8,57V
10V
= 2A
Ix =
5Ω
isc = 3I x = 6 A
uoc 8,57V
Rt =
=
= 1,43Ω
isc
6A
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Ersatzstromquelle
0
isc
isc = I n
A. Steininger
In R t
50
In R t
uoc
uoc = I n ⋅ Rt
I n = isc
uoc
Rn = Rt =
isc
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.18
20Ω
15Ω
Ux
uoc
4
15V Ux
5Ω
In=0,75A
R t =6,15Ω
A. Steininger
20Ω
51
15Ω
Ux
isc
4
15V Ux
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.18 (Lösung)
• Leerlauf
U x uoc − 15V
uoc
+
+
=0
4
20Ω
15Ω + 5Ω
5Ω
Ux =
⋅ uoc
15Ω + 5Ω
• Kurzschluß
15V
isc =
= 0,75 A
20Ω
• Ersatzwiderstand
uoc 4,62V
Rt =
=
= 6,15Ω
isc 0,75 A
A. Steininger
52
uoc = 4,62V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Äquivalenz der Ersatzschaltungen
Ersatzspannungsquelle und
Ersatzstromquelle
Rt
a
a
In
Ut
A. Steininger
b
53
Rt
b
verhalten sich an den Klemmen nach außen hin
völlig identisch
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.19
R1=5Ω R2=10Ω
I1
I2
A. Steininger
20V
54
U2
10V
20V
R1=5Ω I1
1A
R2=
10Ω
4A
I3
R1=
5Ω
I2
1A
R2=
10Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.19 (Lösung)
(a)
(b)
U 2 − 20V U 2
+
= 1A
5Ω
10Ω
10
50
U 2 = (1 + 4) ⋅ V = V
3
3
R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I1 + 10V − 20V = 0
I2 =
U2
5
= A = 1,67 A
10Ω 3
I1 =
20 − U 2 10
=
A = 0,67 A
5Ω
3⋅ 5
I1 =
20V − 10V 10V
=
= 0,67 A
R1 + R2
15Ω
A. Steininger
I2 = I1 + 1A = 1,67 A ≠ I R2
55
(c)
I2 =
5Ω
R1
⋅ ( 4 A + 1 A) =
⋅ 5 A = 1,67 A
R1 + R2
5Ω + 10Ω
I3 = I2 − 1A = 0,67 A
≠ I R1
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Leistungsanpassung
A. Steininger
Zweipol
56
Rt
Ut
PL =
Ut
IL =
Rt + RL
I L2 ⋅ RL
RL
2
IL
 Ut 
 ⋅ RL
PL = 
 Rt + RL 
dPL
RL = Rt
=0
dRL
RL
PL,max
U t2
=
4 ⋅ Rt
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Leistungsanpassung
• Die maximale Leistung gibt eine Quelle an einen
Lastwiderstand ab, der gleich ihrem eigenen
Innenwiderstand ist.
A. Steininger
• In diesem Fall wird aber die gleiche Leistung auch am
Innenwiderstand der Quelle umgesetzt.
57
• Um den Leistungsverlust an der Quelle zu verringern,
wählt man den Lastwiderstand meist viel größer als
den Quellwiderstand.
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.20
Maximale Leistung = ?
Rt = R1|| R2 =
R1=20Ω
U t = uoc
A. Steininger
50V
58
R2=5Ω
1
1
1
+
R1
R2
= 4Ω
50V ⋅ R2
=
= 10V
R1 + R2
RL = Rt = 4Ω
PL,max
U t2
=
= 6,25W
4 ⋅ Rt
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Lineare Netzwerke
Ein lineares Netzwerk enthält nur lineare Elemente.
Lineare Elemente sind durch lineare Gleichungen
beschrieben:
– Widerstand: Ohmsches Gesetz
– lineare gesteuerte Quelle: Isrc = k*Ix
A. Steininger
Nichtlineare Elemente sind:
59
– nichtlineare gesteuerte Quellen: Isrc = k*Ix3
– Elemente mit spannungs/stromabhängigen
Eigenschaften (R=R(U))
– Transistoren, Dioden
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel zur Nichtlinearität
Ein Bauelement habe die Strom/Spannungskennlinie u = 2i3.
Bestimme die Spannungswerte für Ströme von 1A, 2A und 3A !
A. Steininger
u(1A) = 2.13V = 2V
u(2A) = 2.23V = 16V
u(3A) = 2.33V = 54V
60
u(1A) + u(2A) ≠ u(3A)
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Das Superpositionsprinzip
61
• Der Strom in einem beliebigen Zweig eines
linearen Netzwerkes ergibt sich aus der Summe
der Teilströme, die von den einzelnen nicht
gesteuerten Quellen allein hervorgerufen
werden.
• Ebenso läßt sich die Gesamtspannung an einem
beliebigen Pfad im Netzwerk aus
Teilspannungen zusammensetzen.
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Praktische Anwendung
• Nullsetzen aller nicht gesteuerten Quellen:
A. Steininger
– Stromquellen durch Leerlauf ersetzen
– Spannungsquellen durch Kurzschluß ersetzen
– gesteuerte Quellen lassen
62
• Quellen nacheinander einzeln aktivieren
• Gesuchten Strom / gesuchte Spannung aus den
Teilströmen / -spannungen summieren
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.21
R1=10Ω
Ermittle Ut mittels Superposition:
Us=
15V
R1=10Ω
It
A. Steininger
Us=
15V
63
I1
R2=
5Ω
U1
Is=2A
R2=
5Ω
Ut
R1=10Ω
I2
R2=
5Ω
U2
Is=2A
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.21 (Lösung)
• Direkt:
Ut − Us Ut
+
− Is = 0
R1
R2
Ut
U
15V
+ t =
+ 2 A = 3,5 A
10Ω 5Ω 10Ω
A. Steininger
• (a) Is = 0
64
• (b) Us = 0
U t1 =
Ut =
35
V = 11,67V
3
R2
U s = 5V
R1 + R2
Req = R1|| R2 =
50
R1 ⋅ R2
=
Ω = 3,33Ω
R1 + R2 15
U t 2 = Req ⋅ I s = 6,67V
U t = U t1 + U t 2 = 11,67V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Die Wheatstone-Brücke
i2
i1
R1
A. Steininger
us
65
R2
ig
a
b
i4
R3
i3
Rx
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Wheatstone-Brücke: Abgleich
• Ströme:
• Spannungen:
ig = 0
uab = 0
A. Steininger
• Substitution
66
Abgleichbedingung:
i1 = i3
i2 = i4
R1 ⋅ i1 = R2 ⋅ i2
R3 ⋅ i3 = Rx ⋅ i4
R1 ⋅ i3 = R2 ⋅ i4
R3 Rx
=
R1 R2
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.22
Wheatstone-Brücke
A. Steininger
(a)
67
R1=1kΩ
R2 = 1kΩ / 10kΩ /100kΩ /1MΩ
R3 = 0Ω … 1100Ω in 1Ω-Stufen
R2= 10kΩ; R3 = 732Ω;
Wie groß ist Rx ?
R2
10kΩ
Rx =
⋅ R3 =
⋅ 732Ω = 7320Ω
R1
1kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Beispiel 2.22 (Forts.)
(b)
Was ist der größte meßbare Wert von Rx ?
Rx,max =
A. Steininger
(c)
68
R2 = 1MΩ;
R2,max
R1
⋅ R3,max
1 MΩ
=
⋅1100Ω = 11
, MΩ
1kΩ
Welche Auflösung ist erreichbar ?
Rx ,inc
R2
1 MΩ
=
⋅ R3,inc =
⋅1Ω = 1kΩ
R1
1kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Zusammenfassung (1)
• Serienschaltung von R:
Req = Summe der Ri
• Parallelschaltung von R:
Geq = Summe der Gi
A. Steininger
• Spannungsteilerregel: In einer Serienschaltung von R
ist URi jeweils direkt proportional zu Ri
69
• Stromteilerregel: In einer Parallelschaltung von R ist
IRi jeweils umgekehrt proportional zu Ri
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (2)
70
• Ein Zweipol der intern aus Widerständen und idealen
Quellen besteht, kann dargestellt werden als
– Spannungsquelle mit Serienwiderstand (Thevenin)
– Stromquelle mit Parallelwiderstand (Norton)
• Die Ersatzgrößen werden aus Kurzschlußstrom und
Leerlaufspannung ermittelt.
• Die Darstellungen sind ineinander umwandelbar.
• Maximale Leistung entnimmt man einer Quelle mit einer
Last gleich dem Innenwiderstand (Leistungsanpassung).
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (3)
A. Steininger
Neben den einfachen Netzwerkumformungen haben
wir für die Analyse von Netzwerken folgende
Methoden kennengelernt:
71
– Methode der Knotenpotentiale
– Maschenstromanalyse (für planare Netzwerke)
– Superpositionsprinzip (für lineare Netzwerke)
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
72
Bei der Methode der Knotenpotentiale wird jedem
Knoten ein Potential zugeordnet. Die Bauteilspannungen und -ströme lassen sich mit Hilfe von
Differenzen zwischen diesen Potentialen ausdrücken.
Durch Anwenden der Knotenregel (bzw. erweiterte
Knotenregel bei Spannungsquellen) erhält man ein
System von Gleichungen mit den Knotenpotentialen
als Unbekannte, durch dessen Lösung man schließlich
alle Knotenpotentiale und folglich die gesuchten
Ströme, Spannungen und Leistungen ermitteln kann.
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (5)
73
Für die Maschenstromanalyse wird jedem „Fenster“ im
Netzwerk ein Maschenstrom zugeordnet. Die Bauteilströme und -spannungen lassen sich mit Hilfe von
Summen/Differenzen der Maschenströme ausdrücken.
Durch Anwenden der Maschenregel (bei Stromquelle
Ersatzmasche mit Zusatzgleichung) erhält man ein
System von Gleichungen mit den Maschenströmen als
Unbekannte, durch dessen Lösung man schließlich alle
Maschenströme und folglich die gesuchten Ströme,
Spannungen und Leistungen ermitteln kann.
2
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (6)
74
Gemäß dem Superpositionsprinzip summieren sich in
einem linearen Netzwerk die Beiträge der einzelnen
Quellen zum Gesamtstrom bzw. der Gesamtspannung.
Der Beitrag einer einzelnen Quelle wird durch
Nullsetzen aller anderen (nicht gesteuerten) Quellen
ermittelt. Dazu ersetzt man Stromquellen mit Unterbrechungen und Spannungsquellen mit Kurzschlüssen.
2
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (7)
A. Steininger
• Die Wheatstone-Brücke dient zur Messung von
Widerständen. Sie ist abgeglichen, wenn die in Serie
liegenden Widerstände in beiden Zweigen gleiches
Verhältnis haben. Somit läßt sich ein unbekannter
Widerstand aus den Werten der anderen drei
Widerstände bestimmen.
75
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.1
Berechne die Ersatzwiderstände
R2=8Ω
(a)
(b)
R1=2Ω
R2=6Ω
R3=3Ω
R1=
10Ω
R4=4Ω
R3=
6Ω
R4=3Ω
R1=100Ω
A. Steininger
R1=1kΩ
76
(d)
(c)
R2=50Ω
R3=75Ω
R4=25Ω
R3=
3kΩ
R2=2kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.2(a)
Ermittle die eingezeichneten Ströme durch Netzwerkumformung
R1=10Ω
I1
A. Steininger
Us =20V
77
I2
I3
I
R2=20Ω
R3=30Ω
R4=40Ω
(a)
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.2(b,c)
Ermittle die eingezeichneten Ströme durch Netzwerkumformung
I1
5Ω
I2
10Ω
A. Steininger
2A
78
10Ω
I1
I3 15Ω
I2
25Ω
30V
15Ω
40Ω
10Ω
(c)
(b)
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.3
Ermittle die eingetragenen Spannungen mit der Spannungsteilerregel
U1
U2
R 2 =10Ω
A. Steininger
R 1 =5 Ω
U4
U3
R 3 =15Ω
79
R 4 =30Ω
Us =120V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.4
Ermittle die eingetragenen Ströme mittels Stromteilerregel
I1
I3
10Ω
15Ω
3A
3A
I1
I2
I3
10Ω
10Ω
10Ω
A. Steininger
20Ω
80
(a)
(b)
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.12
Ermittle Ix und Iy mit der Knotenpotentialmethode
5Ω
Iy
5Ω
2Iy
10Ω
A. Steininger
Ix
81
10V
5Ω
2Ix
3A
2Ω
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.12a (Lösung)
Potentiale
- Massepotential unten
- Vx im Schnittpunkt der Widerstände
Vx − 10 Vx
Knotenregel:
+ − 2⋅ I = 0
A. Steininger
Steuergröße:
82
5
5
Ix = −
Vx − 10
5
x
3⋅
Vx − 10 Vx
+ =0
5
5
4⋅
2,5V
Ix =
= 0,5 A
5Ω
Vx 30
=
5
5
Vx = 7,5V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.12b (Lösung)
A. Steininger
V1 − V2 V1 − V3
+
− 3A = 0
10
5
V2 − V1 V2 V3 V3 − V1
+ + +
=0
10
2 5
5
2V 3V
V2 = V3 + 2 ⋅ I y V2 = 1 + 3
5
5
83
V −V
Iy = 1 3
5
30
Iy =
A = 2,3 A
13
3 ⋅V1 − 1⋅ V2 − 2 ⋅ V3 = 30
(I)
− 3 ⋅V1 + 6 ⋅ V2 + 4 ⋅V3 = 0
(II)
2 ⋅V1 − 5 ⋅ V2 + 3 ⋅V3 = 0
(III)
5*(I) - (III):
13 ⋅ V1 − 13 ⋅V3 = 150
150
V1 −V3 =
13
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.20
Ermittle Ix und Iy mit der Maschenstromanalyse
5Ω
Iy
5Ω
2Iy
10Ω
A. Steininger
Ix
84
10V
5Ω
2Ix
3A
2Ω
5Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.20 (Lösung)
− 10 + 5 ⋅ I x + 5 (I x + 2 ⋅ I x ) = 0
20 ⋅ I x = 10
I x = 0,5 A
A. Steininger
5 ⋅ I y − 2 ⋅ I y + 10 (I y − 3) = 0
85
13 ⋅ I y = 30
I y = 2,3 A
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.23
Bestimme jeweils den Innenwiderstand Rt der Ersatzquelle
5Ω
A. Steininger
10V
86
10V
10Ω
20Ω
20Ω
5Ω
5Ω
10Ω
2A
20Ω
6Ω
1A
10Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.24
Bestimme jeweils die zugehörige Ersatzstromquelle
Ux
15Ω
A. Steininger
10V
87
25Ω
10Ω
1A
2Ux
30Ω
2A
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.27
Bestimme Ut und It mit der Superpositionsmethode
15Ω
10Ω
A. Steininger
It
88
Us1=
20V
Ut
5Ω
Us2=
10V
VO ET Grundlagen der Informatik
2
Übung 2.27*
Bestimme Ut und It mit Transformation der Quellen
15Ω
10Ω
A. Steininger
It
89
Us1=
20V
Ut
5Ω
Us2=
10V
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
3
1
Kapazität
und
Induktivität
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Kapazität und Induktivität
• Beziehung zwischen Strom und Spannung an
Kondensator und Spule
• Kapazität eines Plattenkondensators
• Gespeicherte Energie in Kondensator / Spule
A. Steininger
• Technische Realisierung von Kondensator / Spule
2
• Parasitäte Größen
• Gekoppelte Spulen, Gegeninduktion
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Plattenkondensator
A. Steininger
leitende
Platten
3
Dielektrikum
(Isolator)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Funktionsprinzip des Kondensators
Stromrichtung
Analogie:
Elastische
Membran
A. Steininger
Dielektrikum
4
Elektronenstrom
“Eine Anordnung aus zwei Leitern, die im Betrieb entgegengesetzt polarisierte Ladungen von gleichem Betrag erhalten”
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Definition der Kapazität
• Die Spannung U am Kondensator ist direkt
proportional zur gespeicherten Ladung Q:
A. Steininger
Q = C ⋅U
5
• Der Proportionalitätsfaktor C ist die Kapazität.
• Die Einheit der Kapazität ist das Farad
(1F = 1C/V = 1As/V).
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Strom & Spannung am Kondensator
q = C⋅u
A. Steininger
dq d
i=
= (C ⋅ u )
dt dt
6
du
i=C
dt
• Strom fließt im Kondensator bei Änderung der Spannung.
• Am idealen Kondensator gibt es keine Spannungssprünge.
• Der ideale Kondensator wirkt für Gleichspannung wie
eine Unterbrechung.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.1
Berechne Ladungsverlauf und Stromverlauf für folgende Schaltung
u(t) (V)
15
i(t)
A. Steininger
u(t)
7
10
C=1µF
5
0
1
2
3
4
5
t (µs)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.1 (Lösung)
q( t ) = C ⋅ u( t ) = 10 −6 u( t )
q(t) (µC)
du( t )
−6 du( t )
i( t ) = C ⋅
= 10
dt
dt
du( t )
10V
6V
=
=
5
⋅
10
s
dt
2 ⋅10 −6 s
i(t) (A)
A. Steininger
5
10
0
5
-5
8
0
1
2
3
4
5
t (µs) -10
1
2
3
4
5
t (µs)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Spannung & Strom am Kondensator
dq( t )
du( t )
i( t ) =
=C
dt
dt
q( t 0 )
u( t0 ) =
C
t
q (t ) = ∫ i (t )dt + q(t0 )
t0
A. Steininger
t
9
1
u (t ) = ⋅ ∫ i (t )dt + u (t0 )
C t0
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.2
Berechne Ladungs- und Spannungsverlauf für folgende Schaltung
(der Kondensator ist zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen)
i(t) (A)
i(t)=0,5sin(104t)
A. Steininger
u(t)
10
C=0,1µF
π10-4
0,5
t (s)
0
-0,5
2π10
-4
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.2 (Lösung)
t
t
t0
0
(
q (t ) = ∫ i (t )dt + q (t0 ) = ∫ 0,5 ⋅ sin(10 4 t )dt + 0 = ... = 0,5 ⋅10 − 4 1 − cos(10 4 t )
1
u( t ) = q( t )
C
u(t) (V)
q(t) (µC)
1000
A. Steininger
150
11
100
500
50
0
t (s)
t (s)
2π10-4
0
2π10-4
)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Energie im Kondensator
du( t )
p( t ) = u( t ) ⋅ i( t ) = u( t ) ⋅ C ⋅
dt
t
t
A. Steininger
du (t )
w(t ) = ∫ p (t )dt = ∫ u (t ) ⋅ C ⋅
dt =C ⋅
dt
t0
t0
12
u (t )
∫
0
u (t ) 2
u ⋅ du = C ⋅
2
Die im Kondensator gespeicherte
Energie ist porportional der Kapazität
und dem Quadrat der Spannung
C ⋅U
W=
2
2
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.3
Ermittle zum gegebenen u(t) am Kondensator i(t), p(t) und w(t)
u(t) (V)
1500
15
1000
10
500
5
0
C = 10µF
i(t) (mA)
1
2
3
4
5
t (s)
0
1
2
3
4
5
t (s)
-5
A. Steininger
p(t) (W)
13
w(t) (J)
15
10
5
5
0
-5
1
2
3
4
5
t (s)
0
1
3
5
t (s)
3
VO ET Grundlagen der Informatik
Parallelschaltung von Kapazitäten
A. Steininger
Ceq = C1 + C2 + C3
14
du
du
du
du
(
)
i = i1 + i2 + i3 = C1 ⋅ + C2 ⋅ + C3 ⋅
= C1 + C2 + C3 ⋅
dt
dt
dt
dt
3
VO ET Grundlagen der Informatik
Serienschaltung von Kapazitäten
A. Steininger
1
1
1
1
=
+
+
Ceq C1 C2 C3
15
t
t
t
t
 1
1
1
1
1
1 
u = u1 + u2 + u3 = ⋅ ∫ i ⋅ dt + ⋅ ∫ i ⋅ dt + ⋅ ∫ i ⋅ dt = +
+  ⋅ ∫ i ⋅ dt
C1 0
C2 0
C3 0
 C1 C2 C3  0
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Kapazität des Plattenkondensators
A=W.L
ε = ε r ⋅ε0
A. Steininger
ε 0 = 8,85 ⋅10 −12 F m
16
C=
ε⋅A
d
Material
Luft
Diamant
Glimmer
Polyester
Quarz
Wasser
εr
1,0
5,5
7,0
3,4
4,3
78,5
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.4
Berechne die Kapazität eines Plattenkondensators mit
W x L = 10cm x 20cm, d = 0,1mm. Das Dielektrikum ist Luft.
C=
ε⋅A
d
= εr
ε 0 ⋅W ⋅ L
d
8,85 ⋅10 −12 ⋅ 0,1⋅ 0,2
−9
F = 1,77nF
= 1⋅
=
1
,
77
⋅
10
−4
10
A. Steininger
Wie groß wäre die Kapazität mit Glimmer als Dielektrikum ?
17
CGlimmer
ε r ,Glimmer
=
⋅ CLuft = 7 ⋅ CLuft = 12,39 nF
ε r , Luft
3
VO ET Grundlagen der Informatik
Realisierung von Kondensatoren
A. Steininger
hohe Kapazität (≈1µF):
=> große Fläche (rollen)
=> hohes εr (Elektrolyt)
=> kleines d (Folie)
18
Problem: Durchbruch bei Feldstärke E = U/d
=> Tradeoff zwischen Kapazität und Spannungsfestigkeit
VO ET Grundlagen der Informatik
3
DRAM als Anwendungsbeispiel
Funktionsprinzip:
Speicherung eines Bit über
Ladezustand des Kondensators :
A. Steininger
–
–
19
logisch „1“ = geladen
logisch „0“ = ungeladen
Probleme:
Selbstentladung => „Refresh“ erforderlich
hohe Integrationsdichte (256 MBit !)
read & write
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Parasitäre Effekte
• Serienwiderstand Rs von
– Anschlußdrähten
– “Platten”
• Serieninduktivität Ls von
A. Steininger
– Anschlußdrähten
20
• Parallelwiderstand Rp von
– mangelnder Isolation des
Dielektrikuims
3
VO ET Grundlagen der Informatik
Die Maxwell’schen Gleichungen
I)
II)
III)
A. Steininger
IV)
21
v
v v ∂D
(nicht Prüfungsstoff)
rot H = S L +
r ∂t
r
∂B
rot E = −
∂t
r
div D = ρ el
r
div B = 0
r
r
„elektrischer Fluß“
D = ε0 ⋅εr ⋅ E
r
r
„magnetischer Fluß“
B = µ0 ⋅ µr ⋅ H
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Elektrisches / Magnetisches Feld
• Einige Folgerungen aus den
A. Steininger
Maxwell’schen Gleichungen:
22
– Jeder stromdurchflossene Leiter umgibt sich mit
einem Magnetfeld.
– Jede Änderung im magnetischen Fluß durch eine
Leiterschleife induziert eine Spannung die
proportional der zeitlichen Änderung des Flusses ist.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Induktivität
A. Steininger
Drahtwicklungen auf Träger (weichmagnetisch)
23
Das vom Strom hervorgerufene Magnetfeld wird zu
einem magnetischen Fluß “gebündelt”.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Definition der Induktivität
• Der magnetische Fluß Φ durch eine Leiterschleife ist direkt proportional zum Strom I:
A. Steininger
Φ = L⋅ I
24
• Der Proportionalitätsfaktor ist die Induktivität.
• Die Einheit der Induktivität ist das Henry.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Spannung und Strom an der Spule
Φ = L⋅i
A. Steininger
dΦ d
u=
= (L ⋅ i )
dt dt
25
di
u= L
dt
• Die Spannung an der Spule ist proportional zur
Änderung des Stromes.
• An der idealen Spule gibt es keine sprunghafte
Stromänderung.
• Die ideale Spule wirkt für Gleichstrom als Kurzschluß.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Strom & Spannung an der Spule
dΦ( t )
di( t )
u( t ) =
=L
dt
dt
A. Steininger
t
26
1
i (t ) = ⋅ ∫ u (t )dt + i (t0 )
L t0
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Energie in der Spule
di( t )
p( t ) = i( t ) ⋅ u( t ) = i( t ) ⋅ L ⋅
dt
t
t
i (t )
A. Steininger
di (t )
i (t ) 2
w(t ) = ∫ p(t ) ⋅ dt = ∫ i (t ) ⋅ L ⋅
⋅ dt =L ⋅ ∫ i ⋅ di =L ⋅
dt
2
0
t0
t0
27
Die in der Spule gespeicherte Energie
ist porportional der Induktivität
und dem Quadrat des Stromes
L⋅ I
W=
2
2
3
VO ET Grundlagen der Informatik
Serien- und Parallelschaltung von L
Serienschaltung
Leq = L1 + L2 + L3
A. Steininger
Parallelschaltung
28
1
1
1
1
= +
+
Leq L1 L2 L3
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Parasitäre Effekte
• Serienwiderstand Rs von
– gewickeltem Draht
– Zuleitungen
• Parallelkapazität Cp von
– Wicklungskapazität
A. Steininger
• Parallelwiderstand Rp als
29
– Ausdruck innerer Verluste
• Eisenverluste
• Ummagnetisierung
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Elektronischer Blitz
“1000 Watt aus 4 Mignonbatterien”
Auslösen
R t = 4Ω
Blitzröhre
A. Steininger
4V
30
Ersatzschaltung
für die Batterie
Elektronischer
Schalter (Laden)
3
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Physikalisches Vergleichsbeispiel
31
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Gegeninduktivität
Prinzip: Magnetischer Fluß Φ der einen Stromschleife
induziert in einer anderen Stromschleife Spannung.
Die Gegeninduktivität M beschreibt den Grad der
Kopplung:
Φ
Φ
A. Steininger
M 21 =
32
21
I1
= M12 =
12
I2
=M
Fließen Ströme durch beide Spulen, so können die
Magnetfelder einander entgegenwirken oder verstärken
(erkennbar am “Punkt” im Schaltzeichen)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
A. Steininger
Gegeninduktivität: Schaltsymbol
33
di1
u1 = L1
+M
dt
di1
u2 = M
+ L2
dt
di2
dt
di2
dt
di1
di2
u1 = L1
−M
dt
dt
di1
di2
u2 = − M
+ L2
dt
dt
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Zusammenfassung (1)
• Kapazität beruht auf der Wirkung des Elektrischen
Feldes. Sie wird in Farad gemessen.
• Die wichtigsten Zusammenhänge am Kondensator sind
A. Steininger
Q = C ⋅U
34
du
i=C
dt
C ⋅U 2
W=
2
• Bei Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten,
bei Serienschaltung ist das Ergebnis der Kehrwert aus
der Summe der Kehrwerte der Kapazitäten.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Zusammenfassung (2)
• Der ideale Kondensator sperrt für Gleichspannungen
und läßt keine Spannungssprünge zu.
• Die Kapazität des idealen Plattenkondensators ist
A. Steininger
C=
35
ε⋅A
d
wobei ε0 = 8,85*10-12 F/m.
• Parasitäre Effekte begrenzen die Anwendbarkeit realer
Kondensatoren in bei extrem hohen Frequenzen bzw.
als Ladungsspeicher bei Gleichspannung.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Zusammenfassung (3)
• Induktivität beruht auf der Wirkung des
Magnetischen Feldes. Sie wird in Henry gemessen.
• Die wichtigsten Zusammenhänge an der Spule sind
A. Steininger
Φ = L⋅ I
36
di
u= L
dt
L⋅ I2
W=
2
• Bei Serienschaltung addieren sich die Induktivitäten,
bei Parallelschaltung ist das Ergebnis der Kehrwert
aus der Summe der Kehrwerte der Induktivitäten.
3
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
37
• Die ideale Spule ist ein Kurzschluß für Gleichspannung und läßt keine Stromsprünge zu.
• Parasitäre Effekte begrenzen die Anwendbarkeit realer
Induktivitäten in bei extrem hohen und extrem
niedrigen Frequenzen.
• Gegeninduktivität beschreibt die Kopplung der
Magnetfelder zweier Leiterschleifen.
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.1
Die Ladung an einem 2µF-Kondensator verhält sich gemäß
q( t ) = 10 −6 sin(105 t )C
A. Steininger
Ermittle die zugehörigen Verläufe von Strom und Spannung!
38
u( t ) =
q( t )
1
−6
5
5
=
sin(
t
)
C
=
,
⋅
sin(
t)
10
10
0
5
10
−6
C
2 ⋅10
(
)
dq (t ) d
i (t ) =
=
10 −6 sin(105 t ) = 10 −6 ⋅105 ⋅ cos(105 t ) = 0,1 ⋅ cos(105 t )
dt
dt
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.2
Durch einen Kondensator mit 0,1µF fließt der unten dargestellte
Strom. Bei t = 0 ist der Kondensator ungeladen.
Gesucht sind die zugehörigen Zeitverläufe von Ladung,
Spannung Leistung und Energie.
A. Steininger
i(t) (mA)
1
39
0
-1
2
4
t(ms)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.2 (Lösung)
q(t) (µC)
u(t) (V)
2
20
1
10
0
1
2
3
4
5
6
t (ms)
20
20
10
10
0
-10
40
-20
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
t (ms)
w(t) ( µ J )
p(t) (mW)
A. Steininger
0
1
2
3
4
5
6
t (ms)
0
1
t (ms)
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.4
A. Steininger
Gegeben sind ein 2µF-Kondensator und ein 1µF-Kondensator.
Welche Kapazität ergibt sich
(a) aus ihrer Parallelschaltung und
(b) aus ihrer Serienschaltung ?
41
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.5
Wir wollen einen 1µF-Kondensator konstruieren. Dazu
verwenden wir rechteckige Platten mit 2cm Breite. Als
Dielektrikum steht Polyester mit 15µm Dicke zur Verfügung.
Wie lang müssen die Platten sein ?
A. Steininger
C=
42
ε⋅A
D
=
ε r ⋅ε 0 ⋅ L⋅ B
D
15 ⋅10 −6 ⋅10 −6
D⋅C
L=
=
= 24,9m
−12
−2
ε r ⋅ ε 0 ⋅ B 3,4 ⋅ 8,85 ⋅10 ⋅ 2 ⋅10
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.7
Berechne den Stromverlauf i(t) in folgender Anordnung:
A. Steininger
t=0
43
10V
u(t)
i(t)
L=2H
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Beispiel 3.7 (Lösung)
u(t) (V)
t
1
i (t ) = ∫ u (t )dt + i (t0 )
L0
t
A. Steininger
i (t ) =
44
1
10dt + 0 = 5t A
∫
20
10
t
0
i(t) (A)
5
t
0
1
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.6
Der Strom durch eine 10mH-Induktivität betrage i( t ) = 0,1⋅ cos(104 t )
Ermittle die zugehörigen Zeitverläufe von Spannung und Energie !
(Verbraucherpfeilsystem)
A. Steininger
(
45
)
di (t )
−3 d
u (t ) = L ⋅
= 10 ⋅ 10 ⋅
0,1 ⋅ cos(104 t ) = −10 ⋅ sin(104 t ) V
dt
dt
(
)
L ⋅ i (t ) 2
−3
4 2
w(t ) =
= 0,5 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 0,1 ⋅ cos(10 t ) = 5 ⋅ 10−5 ⋅ cos2 (104 t ) Ws
2
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.7
An einer 150µH-Induktivität liegt die dargestellte Spannung, und
i(0) = 0.
Gesucht ist der Zeitverlauf des Stromes (Verbraucherpfeilsystem).
u(t) (V)
i(t) (A)
A. Steininger
15
46
0
-15
0.1
4
1
2
5
t (µs)
t (µs)
0
1
2
3
4
5
VO ET Grundlagen der Informatik
3
Übung 3.10
Bestimme die Gesamtinduktivität der gegebenen Anordnungen !
1H
2H
5H
3H
1H
2H
4H
5H
A. Steininger
6H
47
(a)
(b)
3H
VO ET Grundlagen der Informatik
4
A. Steininger
Transiente
Vorgänge
1
4
VO ET Grundlagen der Informatik
Transiente Vorgänge
• Prinzip und Zweck der Analyse von Systemen
mittels “Sprungantwort”
• Sprungantwort des Systems 1.Ordnung (RC, RL)
• “Zeitkonstante” bei Systemen 1.Ordnung
A. Steininger
• Sprungantwort des Systems 2.Ordnung (z.B. RLC)
2
• “Resonanzfrequenz” und “Dämpfungsgrad”
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RC-Glied: Entladevorgang
t=0
C
uc(t)
Knotenpotential uC(t):
R
C
duC ( t ) uC ( t )
+
=0
dt
R
A. Steininger
duC ( t )
+ uC ( t ) = 0
RC
dt
3
Anfangsbedingung:
uC ( 0) = U 0 ≠ 0
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Lineare Differentialgleichung 1.O.
uC ( t ) = K 2 ⋅ e st + K1 (Ansatz)
duC ( t )
+ uC ( t ) = 0
RC
dt
duC (t )
= K 2 ⋅ s ⋅ e st
dt
K1 = 0
A. Steininger
RC ⋅ K 2 ⋅ s ⋅ e st + K 2 ⋅ e st + K1 = 0
4
1
s=−
RC
uC ( t ) = K 2
−t
⋅ e RC
Anfangsbedingung: uC (0+ ) = U 0 ≠ 0
uC ( t ) = U 0
−t
⋅ e RC
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RC-Entladung: Zeitverlauf uC(t)
uc(t)
U0
A. Steininger
uC ( t ) = U 0
5
−t
⋅ e RC
0,368U0
τ
2τ
t
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Die Zeitkonstante τ = RC
A. Steininger
Definition: “Zeitkonstante” τ = RC
6
– charakterisiert dynamisches Verhalten einer Schaltung
– hat die Einheit [s]
– nach t = τ … Abklingen auf 36,8% von U0
t = 2τ …
13,5%
t = 3τ …
5%
t = 5τ …
0,67% ( ≈ 0)
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RC-Glied: Aufladevorgang
t=0
Us
R
duC ( t )
RC ⋅
+ uC ( t ) = U S
dt
C
uc(t)
uC ( t ) = K 2 ⋅ e st + K1
A. Steininger
(1 + RC ⋅ s ) K 2 ⋅ e st + K1 = U S
7
duC ( t ) uC ( t ) − U S
C⋅
+
=0
dt
R
uC ( 0+ ) = uC ( 0− ) = 0
1
s=−
RC
0 = K 2 ⋅ e 0 + K1
K1 = U S
K 2 = − K1 = −U S
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RC-Aufladung: Zeitverlauf uC(t)
uc(t)
Us
0,632Us
A. Steininger
uC ( t ) = U S
8
τ
2τ
−t
⋅ (1 − e RC
t
)
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Übung 4.1
Ein Kondensator (C = 1µF) wird über einen Widerstand
(R = 5kΩ) entladen. Wann ist die Spannung auf x = 1% ihres
Ursprungswertes abgeklungen ?
A. Steininger
uC ( t ) = U 0
9
−t
⋅ e RC
= U0 ⋅ x
−t
e RC
=x
t = −τ ⋅ ln( x ) = 23ms
Ein ungeladener Kondensator (C = 1µF) wird über einen
Widerstand (R = 5kΩ) geladen. Wann ist der Endwert bis auf
−t
x = 1% genau erreicht ?
e RC = x
−t
uC (t ) = U S ⋅ (1 − e RC ) = U S (1 − x)
t = −τ ⋅ ln( x ) = 23ms
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Übung 4.1*
Die parasitäre Kapazität eines CMOS-Einganges betrage 5pF.
Mit welcher maximalen Taktfrequenz kann der Baustein noch
sinnvoll betrieben werden, wenn der Eingang über einen
Treiber mit 200Ω Ausgangswiderstand angesteuert wird ?
tHiLo
UDD
HI
0,7 UDD
x=0,3
A. Steininger
undefined
10
0,3 UDD
0V
x=0,3
t
LO
tLoHi
t LoHi = t HiLo = −τ ⋅ ln( x) = −200 ⋅ 5 ⋅ 10
−12
⋅ ln(0,3) = 1,2ns
f max
1
= = 833MHz
tr
VO ET Grundlagen der Informatik
4
“Eingeschwungener Zustand”
A. Steininger
Kondensator
11
Spule
duC (t )
iC (t ) = C ⋅
dt
Bei konstanter Spannung
fließt kein Strom mehr:
diL (t )
u L (t ) = L ⋅
dt
Bei konstantem Strom liegt
keine Spannung mehr an:
Der Kondensator verhält sich
im eingeschwungenen Zustand wie eine Unterbrechung
Die Spule verhält sich im
eingeschwungenen Zustand
wie ein Kurzschluß
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.1
Bestimme ix und ux im eingeschwungenen Zustand:
t=0
10V
L=1H
ix
C=10µF
R1=5Ω
ux
R2=5Ω
A. Steininger
ix
12
10V
R1=5Ω
ux
R2=5Ω
ix =
10V
= 1A
R1 + R2
u x = R2 ⋅ i x = 5V
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RL-Glied: Einschaltvorgang
Maschenregel iL(t):
R=50Ω iL(t)
A. Steininger
Us=100V
13
u(t)
L=0,1H
t=0
diL ( t )
R ⋅ iL ( t ) + L
= US
dt
Ansatz:
iL ( t ) = K 2 ⋅ e st + K1
Anfangsbedingung:
iL ( 0 + ) = iL ( 0 ) = 0
VO ET Grundlagen der Informatik
4
RL-Aufladung: Zeitverlauf iL(t), uL(t)
i(t) (A)
u(t) (V)
100
2
63%
t
A. Steininger
t=τ=2ms
14
2τ
3τ
−t
L
US
iL ( t ) =
⋅ (1 − e τ ) τ =
R
R
τ
2τ
3τ
−t
uL ( t ) = U S ⋅ e τ
t
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Netzwerke mit einem C oder L
Ersatzspannungsquelle für das Netzwerk ermitteln
A. Steininger
Schaltung aus
Widerständen
und Quellen
15
R
L
u t(t)
i(t)
L
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Sprungantwort 1.Ordnung allgemein
τ⋅
• Systemgleichung:
• Ansatz:
x(t ) = K1 ⋅ e
−
t
τ
+ K2
A. Steininger
• eingeschwungener Zustand:
16
dx (t )
+ x (t ) = X ∞
dt
K2 = X ∞
x( ∞) = X ∞
• Anfangsbedingung: x (0) = X 0 = K1 + K 2
• Lösung:
x (t ) = ( X 0 − X ∞ ) ⋅ e
−
K1 = X 0 − X ∞
t
τ
+ X∞
VO ET Grundlagen der Informatik
4
5 Schritte zur Sprungantwort 1.O.
(1)
Dynamisches System 1.Ordnung ?
Auf ein wirksames C bzw. L reduzieren
(2)
Ermitteln der Zeitkonstante
Ersatzwiderstand aus der Sicht des C bzw. L
(3)
Eingeschwungenen Zustand X∞ ermitteln
A. Steininger
L = Kurzschluß, C = Unterbrechung
(4)
17
(5)
Anfangsbedingung X0 ermitteln
meist aus Angabe ableitbar
Einsetzen in die allgemeine Lösung
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.3
Ermittle die Zeitverläufe u(t) und i(t) für die folgende Schaltung:
t=0
R1
A. Steininger
Us
18
i(t)
L
u(t)
R2
US ist eine Gleichspannung, die Schaltung war vor dem Zeitpunkt
t=0 im eingeschwungenen Zustand
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.3 (Lösung)
u (t ) = 0
• Anfangsbedingung (t = 0):
i (∞ ) = I ∞ = 0
• Eingeschwungener Zustand:
i (t ) = ( I 0 − I ∞ ) ⋅ e
A. Steininger
i(t)
−
t
τ
i ( 0) = I 0 =
t
U S −τ
+ I∞ =
⋅e
R1
t
di (t )
U s R2 −τ
u (t ) = L ⋅
= −L ⋅
⋅
⋅e
dt
R1 L
u(t)
Us
R1
L
τ=
R2
R
19
τ
2τ
t
US
R1
Us
R
τ
2τ
t
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Behandlung allgemeiner Quellen
R ⋅ iL ( t ) + L
diL ( t )
= US
dt
L diL ( t )
U
+ iL ( t ) = S
R dt
R
RC ⋅
A. Steininger
dx ( t )
τ⋅
+ x(t ) = f (t )
dt
20
Zeitkonstante
duC ( t )
+ uC ( t ) = U S
dt
+ Anfangsbedingung
“Störfunktion”
Lineare Differentialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Allgem. Lösung der Diff.-gleichung
Gesamtlösung =
partikuläre Lösung
+
homogene Lösung
A. Steininger
τ⋅
21
dx p ( t )
dt
+ x p (t ) = f (t )
xp berücksichtigt
die Störfunktion
“eingeschwungener
Zustand”
dx h ( t )
τ⋅
+ xh (t ) = 0
dt
xh berücksichtigt
die Anfangsbedingungen
“Einschwingverhalten”
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.4
Bestimme den Strom in der folgenden Schaltung, wobei uC(0+)=1V
R=5kΩ
t=0
i(t)
A. Steininger
2sin(200t)
22
uc(t)
C=1µF
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.4 (Lösung/1)
t
1
R ⋅ i (t ) + ∫ i (t )dt + uc (0) − 2 sin( 200t ) = 0
C0
Maschenregel:
Ableitung, *C:
RC ⋅
di (t )
+ i (t ) = 400 ⋅ C cos( 200t )
dt
i p (t ) = Ax ⋅ cos( 200t ) + Bx ⋅ sin( 200t )
partikuläre Lösung:
di p (t )
dt
= −200 ⋅ Ax ⋅ sin( 200t ) + 200 ⋅ Bx ⋅ cos( 200t )
A. Steininger
Einsetzen & Ordnen:
23
sin( 200t ) ⋅ ( −200 ⋅ Ax ⋅ RC + Bx ) + cos(200t ) ⋅ ( 200 ⋅ B x ⋅ RC + Ax ) = 400 ⋅ C cos( 200t )
“sin”
−200 ⋅ Ax ⋅ RC + B x = 0
“cos”
200 ⋅ Bx ⋅ RC + Ax = 400 ⋅ C
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.4 (Lösung/2)
Zahlenwerte für R,C: −200 ⋅ Ax ⋅ RC + Bx = 0
200 ⋅ Bx ⋅ RC + Ax = 400 ⋅ C
Lösen nach Ax und Bx :
partikuläre Lösung:
B x = 200 ⋅ Ax ⋅ 5000 ⋅ 10 −6 = Ax
B x + Ax = 400 ⋅ 10 −6
Ax = B x = 200 ⋅ 10 −6
i p (t ) = 200 µA ⋅ cos( 200t ) + 200 µA ⋅ sin( 200t )
t
A. Steininger
homogene
24
−
di (t )
RC ⋅
+ i (t ) = 0
ih (t ) = K ⋅ e τ
Lösung:
dt
t
−
i (t ) = i p (t ) + ih (t ) = 200 µA ⋅ cos(200t ) + 200 µA ⋅ sin( 200t ) + K ⋅ e τ
Gesamt:
Anfangsbedingung:
i (0+ ) =
u R (0+ ) −1V
=
= −200 µA
5kΩ
R
i (0+ ) = 200 µA ⋅ 1 + 200 µA ⋅ 0 + K ⋅ 1
K = −400 µA
4
VO ET Grundlagen der Informatik
Beispiel 4.4 (Lösung/3)
A. Steininger
i (t ) = 200[cos( 200t ) + sin( 200t ) − 2 ⋅ e −200t ]µA
25
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Dynam. Systeme zweiter Ordnung
…enthalten zwei verschiedenartige “Energiespeicher”
(vgl. Feder / Masse):
L
uc
i(t)
R
Feder
Stoßdämpfer
A. Steininger
us(t)
26
Kraft
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Verallgemeinerte Darstellung
t
Maschenregel:
Ableitung, /L
A. Steininger
Ersetzungen:
27
di (t )
1
L
+ R ⋅ i (t ) + ∫ i (t )dt + U C (0) = uS (t )
dt
C0
d 2i (t ) R di (t )
1
1 duS (t )
+
⋅
+
⋅
=
⋅
i
t
(
)
2
L dt
LC
L
dt
dt
α=
R
2L
ω0 =
1
LC
f (t ) =
d 2i (t )
di (t )
2
+
2
α
⋅
+
ω
0 ⋅ i (t ) = f (t )
2
dt
dt
+ 2 Anfangsbedingungen
1 duS
⋅
L dt
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Die Schwingungsgleichung
d 2 x (t )
dx (t )
2
+
2
α
⋅
+
ω
0 ⋅ x (t ) = f (t )
2
dt
dt
A. Steininger
Dämpfungskoeffizient
28
Eigenfrequenz
(Resonanzfrequenz)
Störfunktion
Lineare Differentialgleichung 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lösung: x(t) = xp(t) + xh(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Schwingungsgl. – Partikuläre Lösung
• Vorgangsweise prinzipiell wie bei System 1.Ordnung
(Ansatz ist jedoch schwerer zu finden)
• Praktisch besonders relevant sind:
– Schaltvorgang
A. Steininger
(“eingeschwungener Zustand” siehe vorhin)
29
– Sinusansteuerung
(siehe später)
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Schwingungsgl. – Homogene Lösung
d 2 x (t )
dx (t )
2
+
2
α
⋅
+
ω
0 ⋅ x (t ) = 0
2
dt
dt
Ansatz:
dx (t )
= s ⋅ K ⋅ e st
dt
s 2 ⋅ K ⋅ e st + 2α ⋅ s ⋅ K ⋅ e st + ω 02 ⋅ K ⋅ e st = 0
d 2 x (t )
2
st
s
K
e
=
⋅
⋅
dt 2
( s 2 + 2α ⋅ s + ω 02 ) ⋅ K ⋅ e st = 0
A. Steininger
s1,2
30
x (t ) = K ⋅ e st
α2
2
= −α ± ω 0 ⋅
−
1
=
−
α
±
ω
⋅
D
−1
0
2
ω0
Dämpfungsgrad D =
α
R C
= ⋅
ω0 2 L
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Bedeutung des Dämpfungsgrades
s1,2 = −α ± ω 0 ⋅ D 2 − 1
D>1
2 reelle Lösungen für s
“Kriechfall”
xh = K1 ⋅ e s1t + K 2 ⋅ e s2t
A. Steininger
D=1
31
1 reelle Doppelösung für s “aperiodischer Grenzfall”
xh = K1 ⋅ e s1t + K 2 ⋅ t ⋅ e s1t
D<1
2 komplexe Lösungen für s
“Schwingfall”
xh = K1 ⋅ e −αt ⋅ cos(ω n t ) + K 2 ⋅ e −αt ⋅ sin(ω n t )
ω n = ω 02 − α 2
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Komplexe Lösung
s1,2 = −α ± ω 0 ⋅ D 2 − 1 = −α ± ω 0 ⋅ − 1 ⋅ 1 − D 2 = −α ± ω 0 ⋅ j ⋅ 1 − D 2
s1,2 = −α ± j ⋅ ω 02 − α 2
xh = K ⋅ e st = K ⋅ e −αt ± jω n t = A ⋅ e −αt ⋅ e jω n t + B ⋅ e −αt ⋅ e − jω n t
A. Steininger
Euler’sche Formel:
32
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
…
xh = K1 ⋅ e −αt ⋅ cos(ω n t ) + K 2 ⋅ e −αt ⋅ sin(ω n t )
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.5
Ermittle uC(t) für R=300Ω, 200Ω und 100Ω,
wobei i(0)=0, uC(0)=0
t=0
L=10mH
i(t)
A. Steininger
Us=10V
33
R
t
di (t )
1
L
+ R ⋅ i (t ) + ∫ i (t )dt + U C 0 = U S
dt
C0
C=
1µF
uc(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.5 (Lösung/1)
L
di (t )
+ R ⋅ i (t ) + uC (t ) = U S
dt
i (t ) = C ⋅
duC (t )
d 2 uC (t )
LC
+ RC ⋅
+ uC (t ) = U S
2
dt
dt
L = 10mH
duC
dt
R = 300Ω ; 200Ω ; 100
ω0 =
A. Steininger
2
34
C = 1µF
1
LC
=
1
10 − 2 ⋅ 10 −6
= 104
d uC (t )
duC (t )
2
+
2
α
⋅
+
ω
0 ⋅ uC ( t ) = f ( t )
2
dt
dt
α=
R
= 1,5 ⋅ 10 4 ; 1 ⋅ 10 4 ; 0,5 ⋅ 10 4
2L
eingeschwungener Zustand:
D=
R C
α
= ⋅
= 1,5 ; 1,0 ; 0,5
ω0 2 L
u p (t ) = U S = 10V
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel 4.5 (Lösung/R=300Ω)
s1,2 = −α ± ω 0 ⋅ D 2 − 1 = −1,5 ⋅ 104 ± 104 ⋅ 1,52 − 1 = −2,618 ⋅ 104 ; −0,382 ⋅ 104
xh = K1 ⋅ e s1t + K 2 ⋅ e s2t
uC = 10V + K1 ⋅ e s1t + K 2 ⋅ e s2t
uC (0) = 10V + K1 + K 2 = 0
A. Steininger
i ( 0) =
35
duC
(0) = s1 ⋅ K1 + s2 ⋅ K 2 = 0
dt
K1 = 1,708
K 2 = −11,708
uC (t ) = 10V + 1,708 ⋅ e
−2,618⋅104 t
− 11,708 ⋅ e
−0, 382⋅10 4 t
VO ET Grundlagen der Informatik
4
A. Steininger
Beispiel 4.5 (Lösung/R=200/100Ω)
36
aperiodischer Grenzfall
Schwingfall
4
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Beispiel 4.5 (Lösung/Überblick)
37
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Normierung mittels “Einheitssprung”
Einheitssprung:
allgem. Sprung:
s(t) = 0
s(t) = 1
u(t) = A*s(t)
t<0
t≥0
t=0
A. Steininger
u(t)=Au(t)
38
A
A
t
u(t)
RLCSchaltung
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Normierte Sprungantwort / 2.Ordn.
D = 0,1
A. Steininger
D=
39
0,1
0,5
1,0
2,0
3,0
x (0) = 0
x’(0) = 0
D = 3,0
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Parallelschwingkreis
u(t)
Schaltung
aus
Widerständen
und
Quellen
in
C
L
R
L
C
iL(t)
A. Steininger
t
40
du (t ) 1
1
C
+ u(t ) + ∫ u(t )dt + iL (0) = in (t )
dt
R
L0
d 2 u (t )
1 du(t )
1
1 din (t )
+
+
=
⋅
u
t
(
)
2
RC dt
LC
C dt
dt
1
α=
2 RC
ω0 =
1
LC
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Klassische Zündanlage
Zündspule
Verteiler
Zündkerze
Primärseite
Sekundärseite
A. Steininger
Kondensator
41
Unterbrecher
4
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
42
• Eine Schaltung mit einem oder mehr energiespeichernden
Elementen (L oder C) stellt ein dynamisches System dar.
• Dynamische Systeme werden durch Differentialgleichungen beschrieben. Deren Lösungen bestehen aus
einem homogenen und einem partikulären Anteil.
• Die partikuläre Lösung wird durch die Störfunktion
charakterisiert, die (abklingende) homogene Lösung durch
das System selbst.
• Im eingeschwungenen Zustand verhält sich die Spule wie
ein Kurzschluß, der Kondensator wie eine Unterbechung.
VO ET Grundlagen der Informatik
4
A. Steininger
Zusammenfassung (2)
43
• Eine Schaltung mit nur einem Energiespeicher (C oder L)
bildet ein dynamisches System 1.Ordnung.
• Das transiente Verhalten („Sprungantwort“) eines solchen
Systems wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben.
• Charakteristisch ist die Zeitkonstante τ = RC bzw. L/R.
• Sind Anfangswert X0 und Endwert X∞ (eingeschwungener
Zustand) bekannt, so berechnet sich die Sprungantwort aus
x (t ) = ( X 0 − X ∞ ) ⋅ e
−
t
τ
+ X∞
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Zusammenfassung (3)
• Schaltungen mit zwei verschiedenartigen Energiespeichern
(C und L) bilden ein dynamisches System 2.Ordnung.
Diese werden durch die Schwingungsgleichung
beschrieben: d 2 x(t )
dx (t )
A. Steininger
dt 2
44
+ 2α ⋅
dt
+ ω 02 ⋅ x (t ) = f (t )
• Charakteristisch für ein solches System sind
Dämpfungskoeffizient D und Resonanzfrequenz ω0.
• Die Resonanzfrequenz ω0 ist für Serien- und
Parallelschwingkreis gleich und beträgt
ω0 =
1
LC
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Zusammenfassung (4)
• Beim homogenen Anteil dynamischer Systeme 2. Ordnung
können in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad D (α/ω0)
drei Fälle unterschieden werden:
A. Steininger
– Kriechfall (D > 1),
– aperiodischer Grenzfall (D = 1) und
– Schwingfall (D < 1).
45
Im Kriechfall nähert sich die Sprungantwort asymptotisch
dem Endwert, im Schwingfall kommt es zum Überschwingen. Im aperiodischen Grenzfall tritt gerade noch
kein Schwingen auf.
4
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Laufzeit elektrischer Signale *
46
Elektrische Signale (u, i) sind immer mit einem elektromagnetischen Feld gekoppelt. Ihre Ausbreitung auf einer Leitung als
“elektromagnetische Welle” erfolgt mit der Lichtgeschwindigkeit des Mediums (Vakuum: 3*108 m/s, sonst typ. 2/3 davon).
Laufzeiten (≈ 20cm/ns) stellen zunehmend eine maßgebliche
Begrenzung für die Geschwindigkeit von Schaltungen dar.
Ein in die Leitung eingespeister Impuls “sieht” zunächst den
sogenannten “Wellenwiderstand” der Leitung. Erst nach
mehrfacher Reflexion stellt sich der Endzustand ein.
Daher gibt es auch Vorgaben für maximale Kabellänge /
minimale Nachrichtenlänge bei vielen Netzwerken.
VO ET Grundlagen der Informatik
4
A. Steininger
Reflexion am Leitungsende *
47
• Wellenwiderstand Zw der Leitung:
Verhältnis von Strom und Spannung “im ersten
Moment” nach dem Anlegen des Impulses
(Widerstand der unendlich langen Leitung).
• Die verlustfreie Leitung hat rein ohmschen Wellenwiderstand.
• Leitungsabschluß mit Zw ist nötig, um Reflexionen zu
unterdrücken.
Za − Z w
r=
• Reflexionsfaktor:
Za + Z w
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel zur Reflexion *
Gegeben: Koaxialleitung mit 50Ω Wellenwiderstand, 5m lang,
offenes Leitungsende. Ein Treiber mit 100Ω speist einen Impuls
(a) : 27V / 10ns oder (b) 27V / 10ms ein.
Gesucht: Spannungsverlauf an den beiden Leitungsenden.
A. Steininger
100Ω
48
27V
10ns
0V
r=
5m
Ua
Ue
Zw=50Ω
Ra − Z w 100 − 50
1
=
=+
Ra + Z w 100 + 50
3
r=
∞ − 50
= +1
∞ + 50
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Beispiel zur Reflexion (Lösung) *
T=
Laufzeit:
Ue
5m
20cm
9+3
9
3+1
1 + 0,3
/3
A. Steininger
ns
Ue
/3
Ua
3+1
9+3
9
0
1 + 0,3
= 25ns
50
100
150
t
t
1+1
3+3
Ua
9+9
x1
3+3
49
x1
9+9
1+1
x1
t
t
0
50
100
150
VO ET Grundlagen der Informatik
4
Reflexion: Versuchsaufbau
Abschlußwiderstand
Pulsgenerator
A. Steininger
2m
50
Ch1
8m
Ch3
Oszilloskop
Ch2
A. Steininger
5
1
VO ET Grundlagen der Informatik
Sinusförmige Ansteuerung
&
“Eingeschwungener
Zustand”
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Sinusförmige Ansteuerung
• Kenngrößen der Sinusfunktion
• Darstellung mittels komplexer Zeiger
• Netzwerkanalyse mit komplexen Impedanzen:
A. Steininger
• Impedanz von Widerstand, Spule und Kondensator
• Kirchhoff-Regeln, Knotenregel, Maschenregel
• Ersatzstromquelle und Ersatzspannungsquelle
• Leistung in Wechselstromnetzwerken
2
• Mehrphasenssysteme, Drehstrom
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Kenngrößen der Sinusfunktion
Kreisfrequenz
[rad/s]
Momentanwert [V]
Phasenwinkel
[rad] oder [°]
u (t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt + θ )
A. Steininger
Spitzenwert [V]
3
ωT = 2π
θ [ rad ] =
2π
⋅ θ [°]
360°
Argument [rad]
1 ω
f = =
T 2π
Periodendauer [s]
Frequenz [Hz]
sin(ϕ ) = cos(ϕ − 90°)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Effektivwert: Definition
Definition: Eine Spannung mit periodischem Zeitverlauf
hat einen Effektivwert Ueff (oder URMS root-meansquare), wenn sie an einem Widerstand R (im Mittel)
die gleiche Leistung umsetzt wie eine Gleichspannung
der Höhe Ueff.
A. Steininger
2
U eff
4
u (t ) 2
P=
=
R
R
U eff
1 T
=
⋅ ∫ u (t ) 2 dt
T 0
Dies gilt analog für den Effektivwert Ieff des Stromes.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Effektivwert: Anwendung
Für die Leistungsberechnung an einem ohm’schen
Verbraucher kann man daher mit Effektivwerten
genauso rechnen wie mit Gleichspannungen:
A. Steininger
Pav =
5
2
U eff
R
2
= I eff
⋅ R = U eff ⋅ I eff
Der Zeitverlauf p(t) der am Widerstand umgesetzten
Leistung ist natürlich i.a. nicht konstant, Pav ist der
zugehörige Mittelwert.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Effektivwert einer Sinusspannung
T
U eff
1
=
⋅ ∫ u(t ) 2 dt
T 0
T
U eff
A. Steininger
U eff
6
1
=
⋅ ∫ Uˆ 2 cos 2 (ωt + θ )dt
T 0
Uˆ 2
=
2T
u(t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt + θ )
1 1
cos (ϕ ) = + cos(2ϕ )
2 2
2
T
Uˆ 2 
1
1
1



⋅ t +
sin(2ωt + 2θ ) =
⋅ T +
sin(2ωT + 2θ ) −
sin(2θ )
2ω
2T 
2ω
 2ω
0

Effektivwert der Sinusspannung: U eff ,sin =
Uˆ
2
VO ET Grundlagen der Informatik
5
A. Steininger
Beispiel zum Effektivwert (5.1)
7
Gegeben:
Sinusspannung mit Spitzenwert Û = 100V
und Frequenz f = 50Hz
Lastwiderstand R = 50Ω
Gesucht:
Effektivwert Ueff der Spannung,
Mittelwert Pav der Leistung
Zeitverlauf p(t) der Leistung
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.1 (Lösung)
u(t ) = 100 cos(100πt )
U eff =
A. Steininger
Pav =
8
100
U eff 2
R
2
= 70,71V
70,712
=
= 100W
50
u(t ) 2 1002 cos 2 (100πt )
p (t ) =
=
=
50
R
= 200 cos 2 (100πt) W
= 100 + 100 cos(200πt) W
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.1 /1
u(t ) = 150 ⋅ cos(200π t − 30°)V
A. Steininger
Gesucht sind für obige Spannung folgende Parameter:
9
Kreisfrequenz =
Frequenz =
Periodendauer =
Spitzenwert =
Effektivwert =
erstes Maximum (t > 0) =
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.1 /2
u(t ) = 150 ⋅ cos(200π t − 30°)V
Welche mittlere Leistung bewirkt diese Spannung an einem
Widerstand von 50Ω ?
A. Steininger
Zeitverlauf
der Spannung:
10
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.2
Die folgende Spannung ist als Cosinusfunktion darzustellen:
A. Steininger
u(t ) = 100 ⋅ sin(300π t + 60°)V
11
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.3
A. Steininger
Eine Funktion für die Netzspannung (220Veff , 50Hz) ist
anzugeben. Dabei ist soll angenommen werden, daß bei t = 4ms
ein positives Maximum liegt.
12
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Darstellung als komplexer Zeiger
Û
u(0)
A. Steininger
-Û
13
Û
u(t)
t
Eine Cosinusfunktion läßt sich in
der komplexen Ebene als die
Projektion eines gegen den
Uhrzeigersinn rotierenden
Zeigers auf die reele Achse
darstellen. Dabei bestimmt der
Phasenwinkel θ die Position des
Zeigers für t = 0, die Amplitude
Û die Länge des Zeigers und die
Kreisfrequenz ω die Winkelgeschwindigkeit.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Komplexe Darstellung der Spannung
Euler’sche Formel:
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
u (t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt + θ ) = Re(Uˆ ⋅ e j (ωt +θ ) ) = Re(Uˆ ⋅ e jθ ⋅ e jωt )
A. Steininger
Darstellung als komplexer Vektor:
14
U = Uˆ ⋅ cos(θ ) + Uˆ ⋅ j sin(θ ) = Uˆ ⋅ e jθ
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Die komplexe Ebene
Im (U )
Uˆ ⋅ sin θ
Û
A. Steininger
ω
15
θ
Uˆ ⋅ cosθ
Re (U )
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Addition komplexer Spannungen
u1 (t ) = 20V ⋅ cos(ωt − 45°)
u2 (t ) = 10V ⋅ sin(ωt + 60°)
u2 (t ) = 10V ⋅ cos(ωt + 60° − 90°)
U 1 = 20V ⋅ e − j 45° = 20V ⋅ cos( −45°) + 20V ⋅ j sin( −45°)
U 2 = 10V ⋅ e − j 30° = 10V ⋅ cos( −30°) + 10V ⋅ j sin( −30°)
A. Steininger
U 1 + U 2 = 22,8V − j19,14V = A ⋅ e jθ V
16
A = 22,82 + 19,14 2 = 29,77V
−19,14
θ = arctan
= −40°
22,8
u1 + u2 = 29,77V ⋅ cos(ωt − 40°)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Addition ohne komplexe Darstellung
u1 (t ) = 20V ⋅ cos(ωt − 45°)
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
u2 (t ) = 10V ⋅ sin(ωt + 60°)
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
u1 (t ) + u2 (t ) = 20V ⋅ cos(ωt ) cos( −45°) + 10V ⋅ cos(ωt ) sin(60°) −
−20V ⋅ sin(ωt ) sin( −45°) + 10V ⋅ sin(ωt ) cos( 60°) =
A. Steininger
cos(ωt ) ⋅ [20V ⋅ cos( 45°) + 10V ⋅ sin(60°)] +
17
+ sin(ωt ) ⋅ [20V ⋅ sin( 45°) + 10V ⋅ cos(60°)] =
= 22,8V ⋅ cos(ωt ) + 19,14V sin(ωt ) =
= A ⋅ cos(ωt + θ )V = 29,77V ⋅ cos(ωt − 40°)
θ = arctan
A=
−19,14
= −40°
22,8
22,8
= 29,77
cos(θ )
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Phasenbeziehungen
u1 (t ) = 3V ⋅ cos(ωt + 40°)
U 1 = 3V ⋅ e j 40°
u2 (t ) = 4V ⋅ cos(ωt − 20°)
U 2 = 4V ⋅ e − j 20°
Im(U)
U1
3
40°
Re(U)
20°
A. Steininger
4
18
U2
“U1 eilt U2 um 60° vor” bzw.
“U2 eilt U1 um 60° nach”
u1(t)
u2(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
A. Steininger
Navigationssysteme
19
LORAN-System: 1 Master und
2 Slaves senden synchrone
100kHz-Impulspakete.
Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit =>
Phasenverschiebung (abh. von
Receiver-Position) erlaubt
Bestimmung der Position
(1 “Line of Position” je Slave)
GPS funktioniert gleichartig
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.5
In welcher Phasenbeziehung stehen folgende Spannungen:
u1(t ) = 10 ⋅ cos(ωt − 30°)V
u 2 (t ) = 20 ⋅ cos(ωt + 30°)V
A. Steininger
u 3 (t ) = 10 ⋅ sin(ωt + 45°)V
20
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Die Impedanz
Ohm’sches Gesetz in komplexer Form:
A. Steininger
U = Z ⋅I
21
Die Impedanz Z = Z ⋅ e jθ = R + jX beschreibt
– das Verhältnis der Amplituden
und
– die Phasenbeziehung
zwischen Strom- u. Spannungszeiger.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.6*
• An eine komplexe Impedanz Z = 100Ω ⋅ e j 45°wird eine Spannung
von Uˆ = 100V angelegt. Welcher Strom wird sich einstellen?
I = U Z = 100V ⋅ e j 0° 100Ω ⋅ e j 45° = 1A ⋅ e − j 45°
A. Steininger
(1A, 45° nacheilend)
22
• An einer Motorwicklung wird bei einer Spannung von Uˆ = 100V
ein Strom von 2A, 60° nacheilend gemessen. Welche Impedanz
hat die Wicklung?
Z = U I = 100V ⋅ e j 0° 2 A ⋅ e − j 60° = 50Ω ⋅ e j 60° = (25 + j 43)Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Komplexe Impedanz bei L und C
iL (t ) = Iˆ ⋅ sin(ωt + θ )
I L (t ) = Iˆ ⋅ e j (θ −90°)
diL (t )
U L (t ) = ω ⋅ L ⋅ Iˆ ⋅ e jθ
= ω ⋅ L ⋅ Iˆ ⋅ cos(ωt + θ )
dt
U L ω ⋅ L ⋅ Iˆ ⋅ e jθ
j 90°
ZL =
=
=
ω
⋅
L
⋅
e
= j ⋅ω ⋅ L
j (θ − 90° )
ˆ
IL
I ⋅e
u L (t ) = L ⋅
A. Steininger
uC (t ) = Uˆ ⋅ sin(ωt + θ )
23
U C (t ) = Uˆ ⋅ e j (θ −90°)
duC (t )
I C (t ) = ω ⋅ C ⋅ Uˆ ⋅ e jθ
= ω ⋅ C ⋅ Uˆ ⋅ cos(ωt + θ )
dt
UC
1
1
Uˆ ⋅ e j (θ −90°)
− j 90°
=
=
⋅e
=
ZC =
j ⋅ω ⋅ C
I C ω ⋅ C ⋅ Uˆ ⋅ e jθ ω ⋅ C
iC (t ) = C ⋅
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Impedanz der idealen Spule
A. Steininger
• Die komplexe Impedanz (Reaktanz)
Z L = jωL
der idealen Spule beträgt
Sie ist proportional zur Frequenz.
• An der idealen Spule eilt daher die Spannung dem Strom um
90° voraus.
24
jθ
.
U L=U e
j(θ-90°)
.
I =I e
L
uL(t)
iL(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Impedanz des idealen Kondensators
• Die komplexe Impedanz (Reaktanz)
1
ZC =
des idealen Kondensators beträgt
j
ω
C
Sie sinkt bei steigender Frequenz.
• Am idealen Kondensator eilt daher der Strom der Spannung um
90° voraus.
A. Steininger
uC(t)
25
j(θ+90°)
.
I C =I e
jθ
.
U C=U e
iC(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
“Impedanz” des Widerstandes
A. Steininger
• Die Impedanz des ohm’schen WiderZR = R
standes ist rein reell und beträgt
Sie ist frequenzunabhängig.
• Am ohm’schen Widerstand sind daher Strom und Spannung
genau in Phase.
26
IR
θ
UR
uR(t)
iR(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.6
Gegeben ist folgende Spannung:
u(t ) = 100 ⋅ cos(200t )V
A. Steininger
Bestimme die Impedanz und zeichne ein Zeigerdiagramm für
folgende Lasten:
27
– Induktivität L = 0,25H
– Kapazität C = 100µF
– Widerstand R = 50Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.6 (Lösung)
= j ⋅ 50 =
1
=
jωC
−j
=
=
−6
200 ⋅100 ⋅ 10
= 50 ⋅ e j 90°
= − j ⋅ 50 = 50 ⋅ e − j 90°
Z L = jωL =
= j ⋅ 200 ⋅ 0,25 =
A. Steininger
I L = 2 ⋅ e − j 90°
28
U L=100.e j(0°)
I L=2.e j(-90°)
ZC =
I C = 2 ⋅ e j 90°
IC=2.e j(90°)
U =100.e
C
Z R = R = 50
IR = 2
U R=100.e j(0°)
j(0°)
I R=2.e j(0°)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Komplexe Schaltungsanalyse
A. Steininger
• In komplexer Darstellung gelten:
29
–
–
–
–
–
Kirchhoff’sche Regeln
Serien- und Parallelschaltung
Methode der Knotenpotentiale
Methode der Maschenströme
Ersatzstromquelle, Ersatzspannungsquelle
• Leistungsberechnung erfordert eine Sonderbehandlung
(siehe später)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Einschränkungen der Anwendung
Komplexe Schaltungsanalyse ist nicht geeignet für
– nicht eingeschwungene Systeme
(siehe Kapitel “Transiente Vorgänge”)
A. Steininger
– nicht-sinusförmige Anregung
30
(siehe nächstes Kapitel)
– Anregung mit unterschiedlichen Frequenzen
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.3
Ermittle das Zeigerdiagramm für Ströme und Spannungen:
us (t ) = 100 ⋅ cos(500t + 30°)
R=100Ω
100Ω
A. Steininger
us(t)
31
I
i(t)
Us= .
100.e j 30°
L=0,3H
UR
+j150Ω
UL
UC
C=40µF
ω = 500 rad / s
ZC =
U S = 100 ⋅ e
j 30°
V
1
1
= − j⋅
Ω = − j50Ω
−6
jωC
500 ⋅ 40 ⋅ 10
-j50Ω
Z L = jωL = j ⋅ 500 ⋅ 0,3 Ω = j150Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.3 (Lösung)
Z Serie = R + Z L + Z C = (100 + j150 − j50)Ω
Im
= (100 + j100)Ω = 141 ⋅ e j 45°Ω
UL
106,1
US
100 ⋅ e j 30°
− j15°
=
I=
=
0
,
707
⋅
e
A
Z Serie 141 ⋅ e j 45°Ω
75°
A. Steininger
i (t ) = 0,707 ⋅ cos(500t − 15°) A
32
U R = R ⋅ I = 100Ω ⋅ 0,707 ⋅ e
− j15°
35,4
A = 70,7 ⋅ e
− j15°
V
UC
U L = Z L ⋅ I = 150 ⋅ e j 90°Ω ⋅ 0,707 ⋅ e − j15° A = 106,1 ⋅ e j 75°V
U C = Z C ⋅ I = 50 ⋅ e − j 90°Ω ⋅ 0,707 ⋅ e − j15° A = 35,4 ⋅ e − j105°V
I
Us
100
30°
Re
15°
UR
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.4
Ermittle die Spannung uC(t) am Kondensator:
+j100Ω
IC
L=0,1H
I
us(t)=
10sin(1000t)
A. Steininger
ω = 1000 rad / s
33
C=10µF
R=100Ω
uC
U S = 10 ⋅ e − j 90°V
Z L = jωL = j ⋅ 1000 ⋅ 0,1 Ω = j100Ω
1
1
ZC =
= − j⋅
Ω = − j100Ω
−6
jωC
1000 ⋅ 10 ⋅ 10
10.e
j.(-90°)
IR
-j100Ω
100Ω
+j100
UC
I
j.(-90°)
Z RC
10.e
UC
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.4 (Lösung)
Parallelschaltung R und C:
Z RC = R || Z C =
1
100
1
+ 1
Ω=
− j100
1
Ω = (50 − j50)Ω = 70,71 ⋅ e − j 45°Ω
0,01 + j 0,01
Spannungsteiler L mit RC:
A. Steininger
− j 45°
Z RC
70,71 ⋅ e − j 45°
− j 90°
− j 90° 70,71 ⋅ e
V
UC =US
V
= 10 ⋅ e
= 10 ⋅ e
=
Z L + Z RC
j100 + 50 − j50
50 + j50
34
= 10 ⋅ e
70,71 ⋅ e − j 45°
− j180°
V
=
10
⋅
e
V
j 45°
70,71 ⋅ e
− j 90°
uC (t ) = 10 ⋅ cos(1000t − 180°)V = −10 ⋅ cos(1000t )V = 10 ⋅ sin(1000t − 90°)V
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.5
Ermittle die Spannung u1(t) am Widerstand:
u1(t)
10Ω
A. Steininger
2 sin(100t)
35
ω = 100 rad / s
U1
u2(t)
2000µF
0,1H
10Ω
1,5 cos(100t)
I S 2 = 1,5 A
I S1 = 2 ⋅ e − j 90° A
ZC =
U2
-j5Ω
+j10Ω
2.e j(-90°)
1,5.e j(0°)
1
1
= − j⋅
Ω = − j5Ω
−6
jωC
100 ⋅ 2000 ⋅ 10
Z L = jωL = j ⋅ 100 ⋅ 0,1 Ω = j10Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.5 (Lösung)
A. Steininger
Knotenpotentiale U1 und U2 ; Knotenregel:
36
I
U1 U1 −U 2
+
= 2 ⋅ e − j 90°
10
− j5
II
U 2 U 2 −U1
+
= 1,5
j10
− j5
(0,1 + j 0,2) ⋅ U 1 − j 0,2 ⋅ U 2 = − j 2
− j 0,2 ⋅ U 1 + j 0,1 ⋅ U 2 = 1,5
U 1 = (14 + j8)V = 16,1 ⋅ e j 29,7°V
u1 (t ) = 16,1 ⋅ cos(100t + 29,7°)V
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Übung 5.11
Ermittle die Maschenströme:
0,1H
A. Steininger
100cos(1000t)
37
i1(t) 100Ω
−100 + j ⋅ 1000 ⋅ 0,1 ⋅ I 1 + 100 ⋅ ( I 1 − I 2 ) = 0
100 ⋅ ( I 2 − I 1 ) +
I2
j ⋅ 1000 ⋅ 5 ⋅ 10
−6
5µF
i2(t)
0,1H
I 1 ⋅ (1 + j ) − I 2 ⋅ 1 = 1
+ j ⋅ 1000 ⋅ 0,1 ⋅ I 2 = 0
I 2 = 1A
I 1 ⋅ ( −1) + I 2 ⋅ (1 − j ) = 0
I 1 = 1 − j = 1,41 ⋅ e − j 45° A
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.9
Ermittle Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle:
100Ω
a
A. Steininger
j.(0°)
.
Us =100 e
38
-j100Ω
j.(90°)
.
Is =1 e
b
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.9 (Lösung / 1)
100Ω
a
-j100Ω
Z t = R || Z C =
Zt
=
b
A. Steininger
100Ω
39
1
100
1
+ 1
=
− j100
1
= 50 − j50 = 70,71 ⋅ e − j 45°
0,01 + j 0,01
Isc
IR
Us = .
j (0°)
100.e
I sc = I R − I S =
IC =0
-j100Ω
I s =.
j (90°)
1.e
US
− 1 ⋅ e j 90° =
100
= 1 − j = 1,41 ⋅ e − j 45°
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.9 (Lösung / 2)
U oc = I sc ⋅ Z t = 1,41 ⋅ e − j 45° A ⋅ 70,71 ⋅ e − j 45°Ω = 100 ⋅ e − j 90°V
Z t=50-j50
Zt
a
A. Steininger
j.(-90°)
.
Ut =100 e
40
b
a
j.(-45°)
.
In=1,414 e
Zt Z t=50-j50
b
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Leistung bei Wechselstrom
j.(-θ)
.
Ie
U = U eff ⋅ 2 ⋅ e j 0
Im
j.0°
U.e
R
jX
j. θ
|Z|.e
Z = Z ⋅ e jθ = R + jX
| Z|
X
θ
R
A. Steininger
Scheinleistung
41
Re
2
S = U eff ⋅ I eff = Z ⋅ I eff
I=
U eff
Z
⋅ 2 ⋅ e − jθ
[VA]
Wirkleistung
2
P = U R,eff ⋅ I eff = R ⋅ I eff
Blindleistung
2
[var]
Q = U X ,eff ⋅ I eff = X ⋅ I eff
[W]
VO ET Grundlagen der Informatik
5
AC-Leistung an der ohm’schen Last
u(t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt )
+Û
Uˆ
i (t ) = ⋅ cos(ωt ) = Iˆ ⋅ cos(ωt )
R
+Î
i(t)
p(t ) = u(t ) ⋅ i (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos (ωt )
A. Steininger
2
42
-Î
1 + cos(2ωt )
= Uˆ ⋅ Iˆ ⋅
2
Uˆ ⋅ Iˆ Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos(2ωt )
=
+
2
2
Uˆ ⋅ Iˆ Uˆ
Iˆ
Pav = p(t ) =
=
⋅
= U eff ⋅ I eff
2
2 2
u(t)
-Û
ÛÎ
Pav =
ˆ ⋅ Iˆ
UÛÎ
2
VO ET Grundlagen der Informatik
5
AC-Leistung an der induktiven Last
+Û
u(t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt )
Uˆ
i (t ) =
⋅ cos(ωt − 90°) = Iˆ ⋅ sin(ωt )
ωL
p(t ) = u(t ) ⋅ i (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos(ωt ) ⋅ sin(ωt )
sin(2ωt )
= Uˆ ⋅ Iˆ ⋅
2
A. Steininger
Pav = p (t ) = 0
43
+Î
-Î
-Û
Die Spule verbraucht
keine Leistung !
“induktive Blindleistung”:
Uˆ ⋅ Iˆ Uˆ
Iˆ
Q=
=
⋅
= U eff ⋅ I eff
2
2 2
ÛÎ
Pav = 0
ÛÎ
u(t)
i(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
AC-Leistung an der kapazitiven Last
u(t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt )
i (t ) = Uˆ ⋅ ωC ⋅ cos(ωt + 90°) = − Iˆ ⋅ sin(ωt )
p(t ) = u(t ) ⋅ i (t ) = −Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos(ωt ) ⋅ sin(ωt )
sin(2ωt )
= −Uˆ ⋅ Iˆ ⋅
2
A. Steininger
Pav = p (t ) = 0
44
Der Kondensator verbraucht keine Leistung!
“kapazitive Blindleistung”:
Uˆ ⋅ Iˆ
Uˆ
Iˆ
Q=−
=−
⋅
= −U eff ⋅ I eff
2
2 2
+Û
+Î
-Î
-Û
ÛÎ
Pav = 0
ÛÎ
u(t)
i(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
AC-Leistung bei allgemeiner Last
u(t ) = Uˆ ⋅ cos(ωt )
Z = Z ⋅ e jθ = R + jX
Uˆ
i (t ) =
⋅ cos(ωt − θ ) = Iˆ ⋅ cos(ωt − θ )
Z
p(t ) = u(t ) ⋅ i (t ) = Uˆ ⋅ Iˆ ⋅ cos(ωt ) ⋅ cos(ωt − θ )
...
Im
| Z|
θ
A. Steininger
Uˆ ⋅ Iˆ
Uˆ ⋅ Iˆ
=
⋅ cos(θ ) ⋅ [1 + cos(2ωt )] +
⋅ sin(θ ) ⋅ sin(2ωt )
2
2
45
Uˆ ⋅ Iˆ
P=
⋅ cos(θ ) = U eff ⋅ I eff ⋅ cos(θ )
2
R
cos(θ ) =
Z
X
R
Re
Uˆ ⋅ Iˆ
Q=
⋅ sin(θ ) = U eff ⋅ I eff ⋅ sin(θ )
2
X
sin(θ ) =
Z
5
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Der Leistungsfaktor cosϕ
46
• Wirkleistung wird nur durch jene Komponente des Stromes
hervorgerufen, die mit der Spannung in Phase ist.
• Für eine Spannung mit Phasenwinkel θu = 0 ergibt sich diese
Stromkomponente als Projektion des Stromzeigers (Phase θi )
auf die reelle Achse, also durch Multiplikation mit cosθi .
• Dies gilt ebenso für eine Spannung allgemeiner Phasenlage θu,
wobei dann die Phasenverschiebung ϕ = θu - θi maßgeblich ist.
• Der Wert cosϕ wird allgemein als Leistungsfaktor bezeichnet.
• Da cosϕ das Vorzeichen von ϕ nicht mehr erkennen läßt, gibt
man zusätzlich an, ob es sich um kapazitive Last (voreilender
Strom) oder induktive Last (nacheilender Strom) handelt.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
A. Steininger
Wirkleistung
47
… wird nur von dem in Phase mit der Spannung liegenden
Stromanteil hervorgerufen.
… ist daher die von den ohm’schen Anteilen einer allgemeinen
Last verbrauchte Leistung.
… ist der Mittelwert des bei genauer Betrachtung mit
Kreisfrequenz 2ω pendelnden Zeitverlaufes der Leistung.
… kann mittels der Effektivwerte von Strom und Spannung sowie
dem Leistungsfaktor berechnet werden:
P = U eff ⋅ I eff
Uˆ ⋅ Iˆ
⋅ cos ϕ =
⋅ cos ϕ
2
[W]
(Watt )
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Blindleistung
• Spule und Kondensator können Energie speichern und wieder
abgeben, verbrauchen aber keine Energie, daher ist ihre mittlere
Leistung null. Das Hin- und Herpendeln der Energie wird durch
den Spitzenwert, die Blindleistung beschrieben:
A. Steininger
Q = U eff ⋅ I eff
48
Uˆ ⋅ Iˆ
⋅ sin ϕ =
⋅ sin ϕ
2
[var]
(VoltAmpere
reaktiv)
• Die Blindleistung ist mit Strömen verbunden, die gegen die
Spannung um 90° phasenverschoben liegen.
• Diese Blindströme belasten Übertragungsstrecken und
Transformatoren und führen in Leitungen zu Verlusten.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Scheinleistung
… ist ein Maß für den von einer Last aufgenommenen Strom
(Wirkstrom + Blindstrom)
… berücksichtigt nicht die Phasenbeziehung zwischen Spannung
und Strom:
A. Steininger
S = U eff ⋅ I eff
49
Leistungsdreieck:
Uˆ ⋅ Iˆ
=
= P2 + Q2
2
ϕ
S
Q
P
für induktive Last
[VA]
(VoltAmpere)
ϕ
P
S
für kapazitive Last
Q
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.6
Berechne für jedes Element die Wirk- und Blindleistung:
j.(-90°)
.
IC =0,1 e
+j100Ω
j.(-135°)
.
I= 0,1414 e
A. Steininger
Us =10.e
50
j.(-90°)
j.(-180°)
.
IR =0,1 e
100Ω
-j100Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.6 (Lösung)
•
•
A. Steininger
•
51
Uˆ ⋅ Iˆ
10V ⋅ 0,1414 A
⋅ cos ϕ =
⋅ cos( −90° + 135°) = 0,5 W
Quelle: PS =
2
2
10V ⋅ 0,1414 A
Uˆ ⋅ Iˆ
⋅ sin ϕ =
⋅ sin( −90° + 135°) = 0,5 v ar
QS =
2
2
IˆL2 ⋅ X L 0,14142 ⋅ 100
=
v ar = 1,0 v ar
PL = 0 QL =
Spule:
2
2
0,12 ⋅ 100
IˆC2 ⋅ X C
=−
va r = −0,5 va r
Kondensator: PC = 0 QC =
2
2
• Widerstand:
• Probe:
IˆR2 ⋅ R 0,12 ⋅ 100
PR =
=
W = 0,5 W
2
2
PL + PC + PR = 0,5W = PS
QR = 0
QL + QC + QR = 0,5v ar = QS
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Leistungsfaktor-Korrektur
A. Steininger
Eine 50kW-Last mit Leistungsfaktor 60% (induktiv) ist an eine 10kVLeitung (Effektivwert, 50Hz) angeschlossen. Welcher Strom fließt durch die
Leitung? Auf welchen Wert läßt sich der Strom im Idealfall verringern und
was muß dazu getan werden?
50
3
3
I
=
= 8,33 A
P = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ = 10 ⋅ 10 ⋅ I eff ⋅ 0,6 = 50 ⋅ 10
eff
6
50
Verbesserung: cosϕ = 1
I eff ,min =
= 5A
10
Maßnahme: C parallel, sodaß QC = - QL
52
2
U eff
1 − 0,62
sin ϕ
= PL ⋅
= 66,7 kv ar = −QC = −
QL = PL ⋅
cos ϕ
0,6
XC
1
1
1
(10 ⋅ 103 ) 2
C=
=
= 2,1µF
=
Ω
=
XC =
1500
3
ω ⋅ X C 2π ⋅ 50 ⋅1500
ωC
66,7 ⋅10
VO ET Grundlagen der Informatik
5
(Wirk-)Leistungsanpassung
Die Quelle gibt die maximale
Leistung an eine Last ZL,opt ab
Zt
Z L,opt = Z *t = Rt − jX t
Ut
ZL
Beweis:
A. Steininger
Z t + Z L ,opt = Rt + jX t + Rt − jX t = 2 Rt
Z t = Rt + jX t
53
Für rein ohm’sche Last gilt:
• minimaler Betrag der Gesamtimpedanz => maximaler Strom
• gleiche ohm’sche Anteile
RL,opt = Z t = Rt2 + X t2
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Beispiel 5.10
Gegeben: ut (t ) = 100 ⋅ cos(100t + 27°)
Z t = (50 − j 50)Ω
Welche Leistung kann maximal an eine Last abgegeben werden,
wenn diese (a) beliebig komplex sein darf
oder
(b) rein ohm’sch ist.
(a)
(b)
A. Steininger
Z L,opt = Z *t = (50 + j 50)Ω
54
U t 100
IL =
=
A = 1A
2 Rt 100
2
 1 
PL = I L2,eff ⋅ Rt = 
 ⋅ 50 = 25W
 2
RL,opt = Z t = 50 2 + 50 2 = 70,71Ω
IL =
Ut
Z t + RL,opt
=
100
(50 + 70,71) 2 + 502
2
 0,765 
PL = I L2,eff ⋅ RL,opt = 
 ⋅ 70,71 = 20,71W
 2 
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Was ist Drehstrom ?
A. Steininger
uL1,N uL2,N uL3,N
55
–
–
–
–
Drei gegeneinander jeweils
120° phasenverschobene
Wechselspannungen (“Phasen”
L1, L2, L3) werden mit einem
gemeinsamen Bezugspotential
(“Nulleiter” N) betrieben.
effizientere Leitungsausnutzung
kein Pendeln der Wirkleistung
Drehfeld für Motoren ableitbar
zwei Leistungsstufen (Y und ∆)
u L1, N = 220V ⋅ 2 ⋅ cos(100πt )
u L 2, N = 220V ⋅ 2 ⋅ cos(100πt − 120°)
u L 3, N = 220V ⋅ 2 ⋅ cos(100πt + 120°)
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Der Nulleiter im Drehstromnetz
uL2,N
uL1,N
uL3,N
A. Steininger
Z Last = Z ⋅ e jθ
56
I L1 =
U L1, N
Z Last
= I ⋅e
− jθ
I L2 =
U L 2, N
Z Last
IL1
L1
IL2
L2
IN
IL3
= I ⋅e
jθ
.
Ze
Z. e
N
jθ
.
Ze
L3
− j120° − jθ
jθ
I L3 =
I N = I L1 + I L 2 + I L 3 = I ⋅ e − jθ ⋅ (1 + e − j120° + e + j120° ) = 0
U L 3, N
Z Last
= I ⋅ e + j120°− jθ
kein Strom im Nulleiter!
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Leistung im Drehstromnetz
p (t ) = Uˆ Y ⋅ cos(ωt ) ⋅ IˆLast ⋅ cos(ωt − θ )
+ Uˆ Y ⋅ cos(ωt − 120°) ⋅ IˆLast ⋅ cos(ωt − 120° − θ )
A. Steininger
+ Uˆ Y ⋅ cos(ωt + 120°) ⋅ IˆLast ⋅ cos(ωt + 120° − θ )
57
Uˆ Y ⋅ IˆLast
⋅ cos θ
p (t ) = 3 ⋅
2
= 3 ⋅ Uˆ Y ,eff ⋅ IˆLast ,eff ⋅ cos θ
Die Leistung p(t) ist konstant (nicht nur der Mittelwert!)
Ein angeschlossener Elektromotor dreht sich daher z.B. mit
völlig konstantem Drehmoment und minimaler Vibration.
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Stern- und Dreieckschaltung (1)
L1
L1
ZY
Z∆
-U L2,N
Z∆
30°
N
120°
L3
A. Steininger
L3
58
ZY
ZY
Z∆
L2
UL1,L2
UL1,N
UL2,N
L2
ULx,Ly … “Außenleiterspannungen”, “verkettete Spannungen”
ULx,N … “Phasenspannungen”, ”Strangspannungen”
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Woher kommen die 380V ?
UL3,L1
UL1,L2
UL3,N
L3 UL3,N
UL3,L1
30°
UL2,L3
UL1,N
UL2,N
UL1,L2
L2
A. Steininger
59
UL1,N
N
UL2,L3
UL2,N
L1
VO ET Grundlagen der Informatik
5
Stern- und Dreieckschaltung (2)
• Sternschaltung: Last jeweils zwischen Phase und
Nulleiter bzw. Sternpunkt: U Last = U Lx , N , z.B. 220V (eff )
• Dreieckschaltung: Last jeweils zwischen zwei Phasen:
U Last ,12 = U L 2, N − U L1, N = U Lx , N ⋅ (1 − e − j120° ) = U Lx , N ⋅ (1 + 0,5 − j
2
A. Steininger
U Last = U Last = U Lx , N
60


2  3
⋅ 1,5 +
= U Lx , N ⋅ 3
 2 


3
)
2
U ∆ = UY ⋅ 3
Die Lastspannung wächst um den Faktor 1,73 (also z.B.
von 220V auf 380V), die Leistung verdreifacht sich.
5
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
61
• Kenngrößen einer Sinusspannung sind Spitzenwert, Effektivwert, Kreisfrequenz und Phasenwinkel.
• Der Effektivwert einer Wechselspannung
gibt an, welche Amplitude eine Gleich1 T
U eff =
⋅ ∫ u (t ) 2 dt
spannung haben müßte, um an einem
T 0
Widerstand die gleiche Leistung zu erzeugen.
• Für Sinusspannungen/ströme gilt: Uˆ = U eff ⋅ 2
Iˆ = I eff ⋅ 2
• Sinusspannungen/ströme können als rotierende Zeiger in der
komplexen Ebene dargestellt werden.
• Diese Zeiger können vektoriell addiert/subtrahiert werden.
5
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (2)
A. Steininger
• Die komplexe Impedanz Z beschreibt den Zusammenhang
zwischen Strom und Spannung für Amplitude und Phase.
• Die Impedanz des Widerstandes ist rein reell: ZR=R .
• Die Impedanzen von Spule und Kondensator sind rein imaginär
(“Reaktanzen”): Z L = jωL
ZC = 1
jωC
62
• Die meisten Techniken zur Schaltkreisanalyse sind von den
Widerstandsnetzwerken auf komplexe Schaltkreise übertragbar.
• Die Phasendifferenz ϕ zwischen Spannung und Strom ist von
entscheidender Bedeutung für die Leistungsberechnung. Sie
wird durch den Leistungsfaktor cosϕ charakterisiert.
5
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (3)
A. Steininger
• Wirkleistung P wird nur durch die in Phase mit der Spannung
liegende komponente des Stromes verursacht. Sie ergibt sich
daher aus:
P = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ
63
• Das Auf- und Entladen von L und C verursacht Blindleistung Q,
die zwar im Mittel keine Energie umsetzt, jedoch mit Strömen
verbunden ist, die normal auf den Spannungsvektor stehen:
Q = U eff ⋅ I eff ⋅ sin ϕ
• Das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung ist die
Scheinleistung S. Im Leistungsdreieck ergibt sich Scheinleistung
als die vektorielle Summe von Wirkleistung und Blindleistung.
5
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
64
• Blindströme verursachen in Stromnetzen unerwünschte
Spannungsabfälle, daher werden sie mittels Leistungsfaktorkorrektur eliminiert.
• Eine komplexe Ersatzquelle mit Innenwiderstand Zt gibt die
maximale Leistung an eine Lastimpedanz Zt* ab.
Eine rein ohmsche Last wählt man für Leistungsanpassung am
besten gleich dem Betrag von Zt.
• Drehstrom bietet einige entscheidende Vorteile gegenüber
einphasigen Systemen und wird daher standardmäßig für
Energieverteilung und für größere Verbraucher verwendet.
6
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Frequenzgang &
Bodediagramm
1
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Frequenzgang & Bodediagramm
• Grundlagen der Fourieranalyse
• Aussage der Filtercharakteristik
• Bode-Diagramm, logarithmische Skalen, Dezibel
• Übertragungsverhalten von Filtern 1.Ordnung
A. Steininger
(Tiefpaß, Hochpaß)
2
• Parameter von Serien- und Parallelschwingkreisen
• Auswahl und Realisierung von einfachen Filtern
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Sinus als Baustein aller Signale
Jede Signalform läßt sich vollständig als Summe von Sinuskomponenten mit unterschiedlicher Frequenz, Amplitude und
Phasenlage darstellen.
A. Steininger
Beispiel Musiksignal:
3
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Die Fourieranalyse
… ist ein mathematisches Verfahren zur Ermittlung der Frequenzen
Amplituden und Phasenlagen der Sinuskomponenten zu einem
gegebenen Signal:
t0 +T
A. Steininger
a0 ∞
f (t ) =
+ ∑ an ⋅ cos( n ⋅ ωt ) + bn ⋅ sin( n ⋅ ωt )
2 n =0
4
an (t ) =
2
⋅
T
2
bn (t ) = ⋅
T
∫ f (t ) ⋅ cos(n ⋅ ωt )dt
t0
t0 +T
∫ f (t ) ⋅ sin( n ⋅ ωt )dt
t0
… ermöglicht es, ein gegebenes Signal in seine Sinuskomponenten
(sein “Spektrum”) zu zerlegen bzw. eine gewünschte Signalform
aus Sinuskomponenten zusammenzusetzen (“Fouriersynthese”).
VO ET Grundlagen der Informatik
6
A. Steininger
Spektrum der Rechteckfunktion
U sq (t ) =
4A
4A
4A
⋅ sin(ω 0t ) +
⋅ sin(3ω 0t ) +
⋅ sin(5ω 0t ) + ...
π
3π
5π
5
“Grundwelle”
“Oberwellen”
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Was ist ein Filter ?
A. Steininger
Eine Schaltung die die im Eingangssignal enthaltenen
Frequenzkomponenten individuell mit geeigneten
Faktoren verstärkt bzw. abgeschwächt an den Ausgang
weitergibt.
6
Typ. Anwendung:
Unterdrücken von
unerwünschten
Frequenzanteilen.
u in (t)
Filter
uout (t)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
A. Steininger
Filter: Anwendungsbeispiel
7
Filterung
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Übertragungsfunktion eines Filters
… ist das Verhältnis der komplexen Amplituden von
Ausgangsspannung und Eingangsspannung
… ist selbst eine komplexe Größe
… hat frequenzabhängigen Betrag und Phase
A. Steininger
… wird auch “Transferfunktion” oder “Filtercharakteristik” genannt
8
H( f ) =
U out
U in
Uˆ out
H( f ) = H ( f ) =
Uˆ in
θ H ( f ) = arg( H ( f )) = θUout − θUin
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Messung der Transferfunktion
A. Steininger
Prinzip: Anlegen unterschiedlicher
Frequenzen, jeweils Bestimmung
von Amplitudenverhältnis H(f) und
Phasenverschiebung θH(f)
9
Ausführung: “Wobbelgenerator”
U in
durchläuft kontinuierlich den
interessierenden Frequenzbereich,
Amplitude am Eingang konstant,
am Ausgang über der Frequenz
aufgezeichnet
H(f)
U out
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Modellvorstellung zum Filter
uin
A. Steininger
H(f1 )
10
uin,1
uin,2
uout,1
uout,2
uout
Fourier-Analyse
H(f2 )
Fourier-Synthese
VO ET Grundlagen der Informatik
6
A. Steininger
Aktive Fahrgeräuschunterdrückung
11
Beispiel Flugzeug: Konventionelle
Geräuschdämmung führt zu sehr
schweren und sperrigen Lösungen.
Alternative: Acitve Noise Cancellation
Geräusche nahe der Quelle erfassen
Filtercharakteristik der Kabine
elektronisch nachempfinden (adaptiv,
Kontrolle mittels Monitormikrofon)
Störgeräusche in der Kabine mittels
gegenphasiger Signale aus einem
Lautsprecher eliminieren.
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Ideale Filter
• im Durchlaßbereich bleiben Amplitude und Phase unverändert
• Signalanteile im Sperrbereich werden vollständig unterdrückt
A. Steininger
Transfercharakteristiken der Grundtypen idealer Filter:
12
|H(f)|
|H(f)|
|H(f)|
|H(f)|
1
1
1
1
fH
Tiefpaß
f
fL
Hochpaß
f
fL
fH
Bandpaß
f
fL fH
Bandsperre
f
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.1
Gegeben ist ein Filter mit der dargestellten Übertragungsfunktion.
Ermittle zum gegebenen Eingangssignal das Ausgangssignal.
|H(f)|
arg (H(f))
4
120°
3
90°
2
60°
1
30°
A. Steininger
1000
13
2000
3000
f(Hz)
uin (t ) = 2 ⋅ cos(2π ⋅1000 ⋅ t + 40°)
1000
2000
3000
f(Hz)
H (1000) = 3 ⋅ e j 30°
U out = U in ⋅ H = 2 ⋅ e j 40° ⋅ 3 ⋅ e j 30° = 6 ⋅ e j 70°
uout (t ) = 6 ⋅ cos(2π ⋅1000 ⋅ t + 70°)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.2*
Wiederhole die Aufgabe für folgendes Eingangssignal:
A. Steininger
uin (t ) = 2 ⋅ cos(2π ⋅ 1000 ⋅ t ) + cos(2π ⋅ 2000 ⋅ t − 70°) + 5 ⋅ cos(2π ⋅ 3000 ⋅ t + 40°)
14
H (1000) = 3 ⋅ e j 30°
H ( 2000) = 2 ⋅ e j 60°
H (3000) = 0
U in ,1 = 2 ⋅ e j 0°
U in ,2 = 1 ⋅ e − j 70°
U in ,3 = 5 ⋅ e j 40°
U out ,1 = 6 ⋅ e j 30°
U out ,2 = 2 ⋅ e − j10°
U out ,3 = 0
uout (t ) = 6 ⋅ cos(2π ⋅1000 ⋅ t + 30°) + 2 ⋅ cos(2π ⋅ 2000 ⋅ t − 10°)
6
VO ET Grundlagen der Informatik
Umgang mit komplexen Zeigern
Die komplexe Darstellung geht von komplexen
Zeigern aus, die mit einer festen Frequenz rotieren und
zueinander feste Phasenbeziehungen haben.
A. Steininger
Die Verknüpfung von komplexen Zeigern (Strömen,
Spannungen) ist nur bei gleicher Frequenz sinnvoll !
15
Größen mit verschiedener Frequenz können nur im
Zeitbereich verknüpft werden.
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Tiefpaß 1.Ordnung
I
R
A. Steininger
U in
16
I=
H( f ) =
1
j2πfC
U out
U in
j ⋅ 2πf ⋅ C
= U in ⋅
1
R ⋅ j ⋅ 2πf ⋅ C + 1
R+
j ⋅ 2πf ⋅ C
U out =
1
f
1+ j ⋅
fg
1
⋅I
j ⋅ 2πf ⋅ C
U out
1
H( f ) =
=
U in 1 + j ⋅ 2πf ⋅ RC
Grenzfrequenz:
1
fg =
2π ⋅ RC
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Transferfunktion TP 1.O. (linear)
θH(f)
A. Steininger
g
17
H( f ) =
g
g
g
1
1 + ( f f g )2
H( f ) =
f
θ H ( f ) = − arctan
fg
1
1+ j ⋅
g
f
fg
g
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.3
Wie überträgt das abgebildete Filter folgende Signale:
R=
A. Steininger
uin(t)
18
1000
= 159,2Ω
2π
C=10µF
uin ,1 (t ) = 5 ⋅ cos(20π ⋅ t )
uout (t)
uin ,2 (t ) = 5 ⋅ cos(200π ⋅ t )
uin ,3 (t ) = 5 ⋅ cos(2000π ⋅ t )
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.3 (Lösung)
H( f ) =
H (10) =
1
1+ j ⋅
A. Steininger
1
= 100 Hz
2π ⋅ RC
1
= 0,995 ⋅ e − j 5,7°
1 + j ⋅10 100
H (100) =
19
f
fg
fg =
1
= 0,707 ⋅ e − j 45°
1 + j ⋅ 100 100
H (1000) =
uout ,1 (t ) = 4,975 ⋅ cos( 20π ⋅ t − 5,7°)
uout ,2 (t ) = 3,535 ⋅ cos( 200π ⋅ t − 45°)
1
= 0,0995 ⋅ e − j84,3°
1 + j ⋅1000 100
uout ,3 (t ) = 0,498 ⋅ cos(2000π ⋅ t − 84,3°)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Dezibel
Logarithmische Darstellung des Betrages der Transferfunktion:
A. Steininger
H ( f ) [dB ] = 20 ⋅ log H ( f )
20
H(f)
100
10
2
1,414
1
H(f) [dB]
40
20
6
3
0
H(f)
0,01
0,1
0,5
0,707
0
H(f) [dB]
-40
-20
-6
-3
−∞
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel: Bandsperre
A. Steininger
Bandpsperre für selektive Unterdrückung der Netzfrequenz
(60Hz/USA) um 85dB ≈ 18000-fach
Lineare Skalierung
Skalierung in Dezibel
21
dB-Skalierung: Passende Auflösung über den gesamten Bereich
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Verkettete (kaskadierte) Filter
H1(f)
U in=U in1
U out U out ,1 U out ,2
H( f ) =
=
⋅
U in
U in ,1 U out ,1
H2(f)
U out1=U in2
U out2=U out
A. Steininger
Bei kaskadierten Filtern werden die
Transferfunktionen multipliziert
22
In der logarithmischen
Darstellung bedeutet
dies eine Addition.
U out ,1 U out ,2
=
⋅
U in ,1 U in,2
H ( f ) = H 1( f ) ⋅ H 2 ( f )
20 ⋅ log H ( f ) = 20 ⋅ log(H 1 ( f ) ⋅ H 2 ( f ) )
= 20 ⋅ log H 1 ( f ) + 20 ⋅ log H 2 ( f )
H ( f ) [dB ] = H1 ( f ) [dB ] + H 2 ( f ) [dB ]
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Logarithmische Frequenzachse
• Fortschreiten um einen Skalenteil bedeutet Multiplikation mit
definiertem Faktor (z.B. 10) anstelle Addition eines Wertes wie
bei der linearen Skala
• Vorteil: relative Auflösung im gesamten Bereich konstant
Eine Dekade
Eine Oktav
f (Hz)
A. Steininger
10
23
20
50 100 200
Frequenzintervall [fA…fB]:
– Dekade: fA : fB = 1 : 10
– Oktav:
fA : fB = 1 : 2
500 1000
(1Hz…10Hz, 25Hz…250Hz)
(1Hz…2Hz, 25Hz…50Hz)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Einfache Aufgaben
• Welchem dB-Wert entspricht der Faktor 10000 ?
• Welchen Faktor stellen 120dB dar ?
A. Steininger
• Welche Frequenz ist um 2 Dekaden höher als 1kHz?
24
• Wieviele Dekaden bzw. Oktaven umfaßt der hörbare
Frequenzbereich (16Hz…16kHz)?
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Das Bodediagramm
|H(f)| [dB]
• H(f) [dB] über logarithmischer Frequenzachse
(“doppelt logarithmische
Darstellung”)
0
-3
0.1
1
10
100
f / fg
-20
A. Steininger
-40
25
•
θH(f) mit logarithmischer Frequenzachse
θΗ [°]
0
0.1
1
10
100
f / fg
-45
-90
VO ET Grundlagen der Informatik
6
H(f): Lineare Näherungen
Beispiel: Tiefpaß 1.Ordnung
H( f ) =
1
A. Steininger
0
-3
1 + ( f f g )2
H ( f ) [dB] = 20 ⋅ log
26
|H(f)| [dB]
fg
10fg
100fg
f
1
1+ ( f fg )
2
= −20 ⋅ log 1 + ( f f g ) 2
≈ 0dB für f << f g
≈ −20 ⋅ log
fg /10
f
dB für f >> f g
fg
-20
-40
waagrechte Asymptote
Asymptote mit -20dB/Dekade
VO ET Grundlagen der Informatik
6
θΗ(f): Lineare Näherungen
Beispiel: Tiefpaß 1.Ordnung
θ H ( f ) = − arctan
f
fg
θΗ [°]
0
A. Steininger
θ H ≈ −90° für f > 10 ⋅ f g
27
-45
lineare Verbindung dazwischen
-90
maximaler Fehler < 6°
fg
10fg
100fg
f
heuristische Näherung:
θ H ≈ 0° für f < 0,1 ⋅ f g
fg /10
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Hochpaß 1.Ordnung
I=
-j
U in
1
2πfC
R
U in
j ⋅ 2πf ⋅ C
= U in ⋅
1
R ⋅ j ⋅ 2πf ⋅ C + 1
R+
j ⋅ 2πf ⋅ C
U out
U out = R ⋅ I
A. Steininger
U out
j ⋅ 2πf ⋅ RC
H( f ) =
=
U in 1 + j ⋅ 2πf ⋅ RC
28
H( f ) =
j ⋅ f fg
1+ j ⋅ f fg
Grenzfrequenz:
1
fg =
2π ⋅ RC
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Bodediagramm Hochpaß 1.O.
θH(f)
H(f)[dB]
A. Steininger
g
29
g
H( f ) =
g
g
g
g
( f fg )
g
g
g
θ H ( f ) = 90° − arctan
1 + ( f f g )2
H( f ) =
j ⋅ f fg
1+ j ⋅ f fg
g
f
fg
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Übung 6.11
Skizziere das Bodediagramm folgender Schaltung:
A. Steininger
R=1000/(2π)=159Ω
30
U in
C=1µF
U out
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Konstruktion des Bodediagrammes
• Filter 1.Ordnung ?
– nur ein wirksames C bzw. L
• Grenzwertbetrachtung:
Tiefpaß
Hochpaß
f →0
(C = offen, L = Kurzschluß):
Hnutz
0
f →∞
(L = offen, C = Kurzschluß):
0
Hnutz
• Grenzfrequenz
f g = 1 (2 ⋅ π ⋅ Rth ⋅ C ) bzw. f g = Rth (2 ⋅ π ⋅ L )
A. Steininger
– Innenwiderstand Rth der Ersatzquelle aus der Sicht des C bzw. L
31
• Ab fg Abfall mit 20dB/Dekade in den Sperrbereich
• Phase: Geradennäherung zwischen 0.1 fg und 10 fg
– Tiefpaß: Abfall von 0° auf -90°
Hochpaß: Abfall von 90° auf 0°
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Übung 6.11 (Lösung)
Passiv, 1.Ordnung
Grenzwerte von H(f):
–
f → 0 : H(0) = 1
–
f → ∞ : H(∞) = 0
Tiefpaß, Hnutz = 1 = 0dB
A. Steininger
Grenzfrequenz:
32
– R = 1000/2π Ω
– C = 1µF
– fg =
1
= 1kHz
2π ⋅ RC
H [dB]
-20
-40
ΘΗ [°]
-45
-90
100
1000
10000
f [Hz]
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Konstruktionsgang für den Hochpaß
Passiv, 1.Ordnung
Grenzwerte von H(f):
–
f → 0 : H(0) = 0
–
f → ∞ : H(∞) = 1
Hochpaß, Hnutz = 1 = 0dB
A. Steininger
Grenzfrequenz:
33
– R = 1000/2π Ω
– C = 1µF
– fg =
1
= 1kHz
2π ⋅ RC
H [dB]
100
1000
10000
f [Hz]
-20
-40
ΘΗ [°]
90
45
f [Hz]
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.4
A. Steininger
Ein Hochpaßfilter 1.Ordnung soll für den Netzbrumm (50Hz)
30dB Abschwächung bewirken.
Welche Grenzfrequenz muß das Filter haben ?
34
Abschwächung des Filters 1.O.: 20dB pro Dekade
Geforderte Abschwächung:
30dB => also 1,5 Dekaden
Abstand zwischen Netzbrumm und Grenzfrequenz: 1,5 Dekaden
Grenzfrequenz:
f g = 50 Hz ⋅ 101,5 = 50 Hz * 31,6 = 1581Hz
Wie ist die Abschwächung des Filters bei 500Hz ?
50Hz…500Hz = 1 Dekade, d.h. 20dB weniger Abschw. => 10dB
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.4*
A. Steininger
Ein verbessertes Hochpaßfilter soll für den Netzbrumm nun um
50dB abschwächen, bei 500Hz aber weiterhin nur 10dB dämpfen.
Welche Grenzfrequenz und welche Ordnung muß es haben ?
35
Abschwächung bei 50 Hz:
= 50dB
Abschwächung bei 500 Hz:
= 10dB
Abstand zwischen 50Hz und 500 Hz: 1 Dekade
Filtersteilheit = 40dB/Dekade => 2.Ordnung
Grenzfrequenz: 50/40 = 1,25 Dekaden größer als 50Hz = 890Hz
(oder 0,25 Dekaden größer als 500Hz)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
RL-Filter 1.Ordnung
Tiefpaß
Hochpaß
L
R
A. Steininger
U in
36
R
U in
U out
U out
R
1
=
=
U in
R + j ⋅ 2πf ⋅ L 1 + j ⋅ f ⋅ 2πL R
1
H( f ) =
fg =
1+ j ⋅ f fg
L
U out
U out
j ⋅ 2πf ⋅ L
j ⋅ f ⋅ 2πL R
=
=
U in
R + j ⋅ 2πf ⋅ L 1 + j ⋅ f ⋅ 2πL R
j ⋅ f fg
R
H( f ) =
1+ j ⋅ f fg
2π ⋅ L
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Der Serienschwingkreis
I
US
Resonanzfrequenz:
L
ZS
R
A. Steininger
C
37
1
Z S (ω ) = jωL + R − j
ωC
ω0 =
Güte:
1
LC
f0 =
1
2π ⋅ LC
1
ω0 L
QS =
=
ω 0 RC
R
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Definition von QS und ω0
Resonanzfrequenz ω0:
Jene Frequenz bei der der
Gesamtwiderstand rein reell wird.
ω0 L =
1
ω 0C
ω 02 =
1
LC
A. Steininger

 ω ω 0 
1

= R ⋅ 1 + jQs ⋅ 
−
Z S (ω ) = jωL + R − j
ωC

 ω 0 ω 
38
Güte QS:
Verhältnis zwischen Reaktanz
der Spule und Widerstand bei ω0
QS =
ω0 L
1
=
R
ω 0 RC
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Impedanz des Serienschwingkreises
A. Steininger
θZs
39
Betrag
Phase
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Serienschwingkreis als Bandpaß
L
U in
A. Steininger
U R = R⋅I = R⋅
40
C
R
U out
US
R
=U S ⋅
ZS
ZS

 ω ω 0 

−
Z S (ω ) = R ⋅ 1 + jQS ⋅ 

 ω 0 ω 
UR
1
=
U S 1 + jQS ⋅ (ω ω 0 − ω 0 ω )
Bodediagramm (Amplitude)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Bandbreite des Bandpasses
Abschwächung auf 70,7% (-3dB)
bei “unterer Grenzfrequenz” fL
u. “oberer Grenzfrequenz” fH
A. Steininger
Bandbreite B ist der Bereich
dazwischen, also
41
f0
B = fH − fL =
QS
Nur für QS >>1 liegt f0 genau in
der Mitte zwischen fL und fH!
UR
US
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.5
Berechne Resonanzfrequenz, Güte, Bandbreite und Grenzfrequenzen für den abgebildeten Schwingkreis. Zeichne ein
Zeigerdiagramm für Anregung mit der Resonanzfrequenz.
L=159,2mH
I
A. Steininger
US =1.e
42
j.0°
UL
UR
UC
C=0,1592µF
R=100Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.5 (Lösung)
f0 =
1
2π ⋅ LC
=
1
2π ⋅ 159,2 ⋅10 −3 ⋅ 0,1592 ⋅ 10 −6
= 1000 Hz
UL
ω 0 L 2π ⋅ 1000 ⋅159,2 ⋅ 10 −3
QS =
=
= 10
R
100
B=
A. Steininger
fH
43
f 0 1000
=
= 100 Hz
QS
10
B
≈ f 0 + = 1050 Hz
2
U R=U S
f L ≈ f0 −
B
= 950 Hz
2
Z L ( f 0 ) = − Z C ( f 0 ) = j ⋅ 2πf 0 ⋅ L = j1000 Ω
U R = U S = 1V
UL = IL ⋅ZL =
US
⋅ Z L = j ⋅ 10V = −U C
R
UC
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Übung 6.21
Dimensioniere ein Filter 2.Ordnung, das nur Frequenzanteile
zwischen 45kHz und 55kHz durchläßt. (L=1mH)
Benötigt wird: Serienschwingkreis mit f0 = 50kHz, B = 10kHz.
A. Steininger
ω0 =
44
1
LC
B=
f0
Q
Q=
f 0 ω0 L
=
B
R
C=
1
1
=
= 10,13 nF
2
2
−3
( 2π ⋅ f 0 ) ⋅ L (2π ⋅ 50000) ⋅1 ⋅ 10
R=
2π ⋅ f 0 ⋅ L
= 2π ⋅1 ⋅ 10 −3 ⋅10000 = 62,8 Ω
f0
B
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Der Parallelschwingkreis
Resonanzfrequenz:
j.0°
.
I=I e
Zp
IR
IC
IL
R
C
L Uout
ω0 =
1
LC
f0 =
1
2π ⋅ LC
A. Steininger
(wie beim Serienschwingkreis)
45
Z P (ω ) =
1
1
1
+ jωC − j
R
ωL
Güte:
R
QP = ω 0 RC =
ω0 L
(anders als beim Serienschwingkreis: Kehrwert)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Parallelschwingkreis als Bandpaß
U out
U out = Z P ⋅ I
Z P (ω ) =
A. Steininger
U out =
46
R⋅I
[dB ]
R
 ω ω0 

−
1 + jQP ⋅ 
 ω0 ω 
R⋅I
 ω ω0 

1 + jQP ⋅ 
−
 ω0 ω 
B=
f0
QP
Bodediagramm (Amplitude)
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Beispiel 6.6
Dimensioniere einen Parallelschwingkreis mit Resonanzfrequenz f0=1MHz und Bandbreite B=100kHz, wobei R=10kΩ.
A. Steininger
B=
47
f0
QP
QP =
f0
1MHz
=
= 10
B 100kHz
R
QP =
ω0 L
R
10 ⋅ 103
L=
=
= 159,2 µH
6
ω 0QP 2π ⋅10 ⋅ 10
QP = ω 0 RC
C=
QP
10
=
= 159,2 pF
6
3
ω 0 R 2π ⋅10 ⋅ 10 ⋅ 10
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Übung 6.21*
Dimensioniere eine Bandsperre für den Netzbrumm, die bei 55Hz
nur mehr eine Dämpfung von 3dB aufweist, wobei C=100µF.
Benötigt wird: Serienschwingkreis
A. Steininger
ω0 =
48
B=
1
= 2π ⋅ 50
LC
1
1
L= 2 =
= 101mH
2
−6
ω 0 C (100π ) ⋅100 ⋅10
f0
= ±5Hz = 10 Hz
QS
1
QS =
ω 0 RC
QS =
R=
f 0 50 Hz
=
=5
B 10 Hz
1
1
=
= 6,4Ω
−6
QS ⋅ ω 0C 5 ⋅ 2π ⋅ 50 ⋅100 ⋅10
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Bandsperre 2. Ordnung
Realisierungsbeispiel:
R
U in
L
A. Steininger
C
49
Bodediagramm (Amplitude)
U out
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Tiefpaß 2. Ordnung
Bodediagramm (Amplitude)
Realisierungsbeispiel:
R
U in
A. Steininger
U out
H( f ) =
U in
=
50
Überschwingen für Q > 0,707
L
C
U out
− jQ ⋅ ( f 0 / f )
1 + jQ ⋅ ( f / f 0 − f 0 / f )
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Hochpaß 2. Ordnung
Realisierungsbeispiel:
R
A. Steininger
U in
51
Bodediagramm (Amplitude)
C
L
U out
6
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
52
• Die Fourieranalyse erlaubt die Darstellung jeder beliebigen
Signalform als eine Überlagerung von Sinuskomponenten mit
unterschiedlichen Beträgen und Phasenlagen.
• Ein Filter überträgt jede dieser Frequenzkomponenten mit einer
individuellen (frequenzabhängigen) Transferfunktion.
• Die Transferfunktion beschreibt das Verhältnis von
U out
Ausgangsspannung zu Eingangsspannung in Betrag H ( f ) =
U in
und Phase und ist daher eine komplexe Funktion.
• Die Transferfunktion einer Filterschaltung kann aus ihren
komplexen Impedanzen berechnet, oder gemessen werden.
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Zusammenfassung (2)
• Für die Darstellung in Dezibel (dB) wird der dekadische Logarithmus der Betrages der Transferfunktion mit 20 multipliziert.
H ( f ) [dB ] = 20 ⋅ log H ( f )
A. Steininger
• Die Transferfunktion kaskadierter Filter ergibt sich aus dem
Produkt der einzelnen Transferfunktionen. Dies bedeutet eine
Addition der dB-Werte.
53
• Auf einer logarithmischen Frequenzskala bedeutet gleicher
Abstand zweier Punktepaare gleichen Quotienten. Eine Dekade
entspricht dem Quotienten 10, bei der Oktav ist der Quotient 2.
6
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (3)
• Das Bodediagramm eines Filters stellt den Betrag der Transferfunktion in dB und die Phase linear dar, beides über einer
logarithmischen Frequenzskala.
A. Steininger
• Das Bodediagramm von Filtern 1. Ordnung läßt sich gut durch
Geradenzüge approximieren. Charakteristisch für diese Filter ist
eine Steilheit von 20dB pro Dekade im jeweiligen Sperrbereich.
54
• Filter 2. Ordnung sind im Bodediagramm durch eine Steilheit
von 40dB pro Dekade gekennzeichnet. Im Durchlaßbereich
kann es außerdem zu einer Überhöhung kommen.
6
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
55
R
1
• Ein Filter 1.Ordnung ist durch
fg =
fg =
2π ⋅ L
2π ⋅ RC
seine Grenzfrequenz charakterisiert.
• Der Tiefpaß läßt Frequenzanteile unterhalb der
1
(
)
H
f
=
Grenzfrequenz (nahezu) unverändert passieren,
f
1
+
j
⋅
während Frequenzanteile oberhalb der Grenzfg
frequenz abgeschwächt werden.
• Der Hochpaß läßt Frequenzanteile oberhalb
j ⋅ f fg
der Grenzfrequenz (nahezu) unverändert
H( f ) =
1+ j ⋅ f fg
passieren, während Frequenzanteile unterhalb
der Grenzfrequenz abgeschwächt werden.
VO ET Grundlagen der Informatik
6
Zusammenfassung (5)
• Serien- und Parallelschwingkreis werden durch Resonanzfrequenz und Güte beschrieben. Bei der Resonanzfrequenz ist
die Gesamtimpedanz gleich dem ohmschen Widerstand. Hohe
Güte bedeutet starke Überhöhung von Spannung bzw. Strom.
A. Steininger
ω0 =
56
1
LC
1
ω L
QS =
= 0
ω 0 RC
R
R
QP = ω 0 RC =
ω0 L
• Mit dem Serienschwingkreis lassen sich alle Grundtypen von
Filtern 2. Ordnung realisieren: Hochpaß, Tiefpaß, Bandpaß,
Bandsperre.
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
Die Diode
1
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Die Diode
• Physikalische und elektrische Funktion der Diode
• Auswahl von Dioden für die jeweilige Anwendung
• Grafische Analyse nichtlinearer Schaltungen
• Idealisierte Diodenmodelle
A. Steininger
• Kleinsignal-Ersatzschaltung, “Arbeitspunkt”
2
• Design einfacher Spannungsregler
• Gleichrichterschaltungen
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Elektrische Funktion der Diode
• “Ventil” für den Strom: Strom wird nur in eine
Richtung (Pfeilrichtung) durchgelassen.
Anode
Katode
iD
A. Steininger
uD
3
• Im Gegensatz zu R, L, C ist die Diode ein
nichtlineares Bauelement (siehe Kennlinie)
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
Reale Diodenkennlinie
4
• Im Flußbetrieb (uD > 0)
wächst der Strom mit
steigender Spannung rasch
(exponentiell) an.
• Im Sperrbetrieb (uD < 0)
fließt ein extrem kleiner
kaum von der Spannung
abhängiger Strom.
• Bei (uD << 0) kommt es zum
Durchbruch: Der Sperrstrom
steigt schlagartig an.
iD
Durchbruch
uD
Sperrbereich
Durchlaßbereich
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
Der “p-n Übergang”
5
Silizium: 4-wertig, jedes der 4
Valenzelektronen bindet ein
Nachbaratom (Kristallgitter)
n-Dotierung (n+): es werden 5wertige Atome (z.B. Phosphor) im Gitter eingebaut
=> überschüssiges Elektron
p-Dotierung (p+): es werden 3wertige Atome (z.B. Bor) im
Gitter eingebaut
=> fehlendes Elektron = Loch
Grenzbereich zwischen pund n-dotiertem Silizium:
Diffusion (thermische Bewegung) der überschüssigen n+Elektronen, Auffüllen von
Löchern im p+-Kristallgitter
p+
Anode
n+
Kathode
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
n-Dotierung: Auswirkung
6
4+
4+
4+
4+
5+
4+
7
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
p-n Übergang im Gleichgewicht
7
• Kraft F1: Gitterkraft (Füllen
der Löcher mit Elektronen)
p+
n+
• positive Ladung der
Atomrümpfe im n-Si und
“RaumLadung der gebundenen
ladungsQ
zone”
Elektronen im p-Si bilden
x
Raumladungsszone
• Kraft F2: Elektrisches Feld
Gitterkraft
elektr. Feld
der Raumladungszone zieht
Elektronen ins n-Si
F1
F2
Elektron
• Gleichgewicht: F1 = F2
VO ET Grundlagen der Informatik
7
p-n Übergang im Sperrbetrieb
Uext
A. Steininger
p+
8
n+
RLZ
Q
x
• Uext treibt Elektronen ins p+
=> werden dort gebunden und
vergrößern den “Ladungswall”;
analoges gilt für Löcher
• Es entsteht ein “Kondensator”,
die Sperrschichtkapazität
• Durch “therm. Paarerzeugung”
entkommen manche Ladungsträger ihrer Gitterbindung
=> temperaturabh. Sperrstrom
VO ET Grundlagen der Informatik
7
p-n Übergang im Flußbetrieb
• Uext treibt Elektronen ins n+
=> füllen dort Löcher auf und
bauen den Ladungswall ab.
• mehr Elektronen können die
RLZ passieren und werden
durch Uext aus p+ “abgesaugt”
• analoges gilt für Löcher
Uext
A. Steininger
p+
9
n+
Q
x
=> Es fließt Strom
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Kleinsignaldiode: Kennlinie
Maßstäbe
ungleich !
iD
10mA
uD
-100V
A. Steininger
-1nA
10
0,7V
• Flußstrom zuerst deutlich
unter 1mA, ab 0,6...0,7V
(“Knickspannung”) dann
extrem rascher Anstieg.
• Maximaler Flußstrom meist
100mA…1A, darüber Gefahr
der therm. Überlastung
• Sperrstrom in der Größenordnung von wenigen nA
• Durchbruchspannung
z.B. 100V
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Die Shockley-Formel
Zusammenhang zwischen Strom iD und Spannung uD an
der Halbleiterdiode (unter vereinfachenden Annahmen):
A. Steininger
  uD
iD = I S ⋅ exp
  n ⋅ U T
11
“Sättigungsstrom”
 
 − 1
 
“Temperaturspannung”
ca. 26mV bei 20°C
A
Boltzmann-Konstante
k = 1,38 ⋅ 10 −23 J / K
Korrekturfaktor
Ladung des Elektrons
e = 1,6 ⋅ 10 −19 C
typ. : I S ≈ 10
−14
n ∈ [1K 2]
k ⋅T
UT =
e
Temperatur
[K]
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Temperaturabhängigkeiten
• Durchlaßbereich:
Bei konstantem Strom iD ändert sich die Flußspannung uD typ.
um -2 mV/K (Anwendung zur Temperaturmessung) :
duD
= −2mV / K
dT
für konstanten Flußstrom
A. Steininger
• Sperrbereich:
12
Bei konstanter Sperrspannung verdoppelt sich der Sperrstrom
mit jeder Erhöhung der Temperatur um 10K.
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Grafische Netzwerkanalyse
• Die Kennlinie der Diode ist nichtlinear
A. Steininger
• Viele der bisher besprochenen Methoden zur
Netzwerkanalyse sind daher für die Diode nicht
anwendbar !! (Superposition, Ersatzquellen)
13
• Die Shockley-Formel ist in der praktischen Analyse schwer
handhabbar (komplizierte Exponentialgleichungssysteme !)
• Für die Diode und andere nichtlineare Bauelemente verwendet
man daher die grafische Netzwerkanalyse.
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.1
Ermittle Strom und Spannung an der Diode:
R=1kΩ
a) USS=2V, R=1kΩ
ID
b) USS=10V, R=10kΩ
UD
A. Steininger
USS = 2V
14
Maschenregel:
R ⋅ I D + U D = U SS
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.1 (Lösungsprinzip)
2 “Gleichungen”:
(I) R ⋅ I D + U D = U SS
(II) Diodenkennlinie
iD
A. Steininger
Diodenkennlinie
15
• Geradengleichung
(I) in die Diodenkennlinie eintragen
• Schnittpunkt ergibt
die Lösung, den
“Arbeitspunkt”
"Arbeitspunkt"
"Arbeitsgerade"
(Gleichung I)
uD
USS
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.1 (Lösung)
(A) I D = 0 ⇒ U D = U SS = 2V
(B)
U SS
UD = 0 ⇒ ID =
R
= 2mA
Schnittpunkt:
U D = 0.7V
I D = 1.3mA
A. Steininger
(C) U D = 0 ⇒ I D =
iD(mA)
U SS
= 1mA
R
2,0
B
1,3
1,0
C
D
(D’) I D = 0 ⇒ U D = U SS = 10V
U SS − U D
= 0.8mA
R
I D = 0.93mA
A u (V)
D
(D) U D = 2V ⇒ I D =
16
U D = 0.68V
0,7 1,0
2,0
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
Die Zenerdiode
17
…wird normalerweise im Durchbruch betrieben
(Durchbruch ist hier also erwünscht !)
… wird zur Spannungsstabilisierung verwendet
… soll beim Durchbruch möglichst vertikale
Kennlinie aufweisen, also im Durchbruch eine
Spannung unabhängig vom Strom haben
… ist mit verschiedenen Durchbruchspannungen
erhältlich ( z.B. 3.3V, 6.8V, 12V, 15V ±5%)
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Spannungsregler mit Z-Diode
R
iD
A. Steininger
USS
18
Maschenregel:
uD
uo=-u D
U SS + R ⋅ I D + U D = 0
R=1kΩ
USS=15…20V
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Analyse der Spannungsreglers
uD (V)
USS=15V
A. Steininger
USS=20V
19
Kennlinie der Z-Diode
(Steigung übertrieben flach)
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Komplexere Netze mit einer Diode
A. Steininger
• Reduktion des Netzwerkes auf Ersatzspannungsquelle
• Ermittlung des Arbeitspunktes der Diode
• Analyse des ursprüngl. Netzes mit bekanntem uD, iD
20
Lineares
Netzwerk
mit
U, I, R
Nichtlineares
Element
RT
UT
Ersatzspannungsquelle
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Übung 7.4
Ermittle die Spannung an der Last RL (Zenerdiode siehe Kennlinie)
R
USS
Is
u L RL
A. Steininger
RL = ∞
21
USS=20V; R=1k; RL=1k
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Übung 7.4 (Lösung)
R
USS
RT = R || RL = 500Ω
RL
U T = U SS / 2 = 10V
A. Steininger
RT
22
UT
iD
uD
RL = ∞
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Schaltermodell der Diode
A. Steininger
Diode verhält sich wie Schalter:
• Sperrbetrieb = offen
• Flußbetrieb = Kurzschluß
23
Bedingungen:
• An gesperrter Diode liegt
negative Spannung
• Durch leitende Diode fließt
positiver Strom
iD
Diode leitet
(Kurzschluß)
uD
Diode sperrt
(offen)
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.5
Analysiere folgende Schaltung mit dem Schaltermodell
4kΩ
A. Steininger
10V
24
D1
6kΩ
D2
3V
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.5 (Ansatz 1)
Annahme: D1 sperrt, D2 leitet
4kΩ UD1
6kΩ
3V
A. Steininger
10V
I D2=0,5mA
25
UD1=10V - 3V = 7V > 0 => D1 leitet => Annahme war falsch
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.5 (Ansatz 2)
Annahme: D1 leitet, D2 sperrt
4kΩ
A. Steininger
10V
26
I D1 =
10V
= 1mA > 0
4 k + 6k
I D1
6kΩ
U D2
3V
U D 2 = 3V − 6k ⋅1mA = −3V < 0
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Begrenzerschaltung: Prinzip
R=2kΩ
uin(t)
A
9V
15sin(ωt)
u0(t)
6V
A. Steininger
27
u o(V)
uin
15V
6V
B
uo
1
1
t
9
6
-9V
-15V
A leitet
6
B leitet
-9
uin(V)
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Gleichstrommodell der Diode
Approximation der realen Kennlinie durch zwei Geraden:
iD
A. Steininger
• Diode sperrt für uD < Uf :
iD = 0
28
• Diode leitet bei uD = Uf :
Diode als Spannungsquelle Uf angenähert
Diode
leitet
Diode
sperrt
Uf
uD
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Beispiel 7.7*
Ermittle mit dem Gleichstrommodell der Diode (Uf = 0,7V) den
Strom in der folgenden Schaltung:
2kΩ
2kΩ
ID
ID
3V
A. Steininger
3V
29
iD =
0,7V
3V − 0,7V
= 1,15mA
2kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Begrenzerschaltung: Realisierung
Flußspannung berücksichtigt (Uf = 0,7V),
Zenerdioden als Spannungsquellen
R=2kΩ
R=2kΩ
A. Steininger
8,3V
30
uin(t)
5,3V
8,3V
uin(t)
5,3V
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Kleinsignal-Betrachtung
iD (t ) = I D + id (t )
Momentanwert
Ruhestrom (Arbeitspunkt)
Strom
id(t)
A. Steininger
ID
31
iD(t)
Kleinsignalaussteuerung
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Kleinsignalverhalten: AC-Analyse
? Um welchen Betrag ∆i
D
A. Steininger
ändert sich iD , wenn uD
(geringfügig) um den Betrag
∆uD verändert wird ?
32
Am einfachsten wäre ein
linearer Zusammenhang
zwischen ∆iD und ∆uD:
∆iD = k ⋅ ∆u D
iD
Arbeitspunkt
IDQ
Kennlinie
uD
UDQ
VO ET Grundlagen der Informatik
7
A. Steininger
“Kleinsignal-Ersatzschaltung”
33
Vorgangsweise:
• Ermittlung des Arbeitspunktes durch DC-Analyse
• Linearisierung der Kennlinie
im Arbeitspunkt (Tangente)
• Ermitteln des entsprechenden
dynamischen Widerstandes
• Bei der AC-Analyse Ersetzen
der Diode durch ihren
dynamischen Widerstand
(Spannungsquelle entfällt).
iD
Arbeitspunkt
IDQ
Kennlinie
uD
Tangente
id
ud
rd
up
UDQ
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Ermittlung des “Dynamischen R”
Shockley:
  uD
iD (u D ) = I S ⋅ exp 
  n ⋅U T
 
 u
 − 1 ≈ I S ⋅ exp D
 
 n ⋅UT
 uD
1
diD

=
⋅
⋅
exp
I
Tangente:
S
duD n ⋅U T
 n ⋅U T

i
 ≈ D
 n ⋅U T



[S ]
A. Steininger
dynamischer Widerstand der Diode bei Durchlaßstrom iD :
34
∆u D  diD 

rD =
= 
∆iD  du D 
−1
n ⋅UT
=
= rD (iD )
iD
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Dynamischer Widerstand ist ...
iD
... der Kehrwert der
Steigung der Tangente an die
Kennlinie im Arbeitspunkt
A. Steininger
∆u D du D
rD =
=
∆iD
diD
35
... daher der Quotient aus
Spannungsänderung und
Stromänderung.
... NICHT der Quotient aus
Spannung und Strom im
Arbeitspunkt (UDQ / IDQ).
Kennlinie
Arbeitspunkt
IDQ
!
h
sc
l
a
f
uD
richtig
UDQ
7
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Wirkung des dynamischen R
36
Wechselspannung bewirkt
bei gleicher Amplitude
aber unterschiedlichem
Gleichanteil (Arbeitspunkt)
unterschiedliche Stromamplituden an der Diode
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Spannungsgesteuerter Abschwächer
Prinzip: Die variable Steuerspannung UC verschiebt den
Arbeitspunkt der Diode. Die resultierende Änderung von rD
beeinflußt das Spannungsteilerverhältnis für Wechselsignale.
C1
R
C2
A. Steininger
RC
37
uin(t)
uout (t)
UC
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Gleichspannungs-Ersatzschaltbild
A. Steininger
C1 und C2 “blocken
Gleichspannungen ab”
38
Der Arbeitspunkt der
Diode ist nur durch UC
und RC bestimmt.
Ermittlung von Arbeitspunkt und rD wie zuvor.
RC
UC
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Kleinsignal-Ersatzschaltbild
• C1 und C2 lassen Wechselspannung unverändert durch
• Gleichspannungsquellen (incl. Flußspannung) stellen einen
Kurzschluß für Wechselsignale dar (Superposition)
• Für kleine Aussteuerung uin beschreibt rD das Verhalten der
Diode ausreichend genau (Tangentennäherung)
rp = RC || RL || rD =
A. Steininger
R
39
uin(t)
RC
rD
uout (t)
RL
rp
uout
=
uin
R + rp
1
1
1
1
+
+
RC RL rD
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Zahlenbeispiel
R = 100Ω; RC = 2kΩ, RL = 2kΩ; UC = 1,7V … 10,7V
Diode: n = 1, UT =26mV, Flußspannung Uf = 0,7V
In welchem Bereich kann die Abschwächung variiert werden ?
A. Steininger
ID =
40
UC −U f
RC
=
[1,7...10,7] − 0,7
= 0,5...5mA
2k
n ⋅U T
26mV
rD =
=
= 52...5,2Ω
ID
0,5...5mA
rp = RC || RL || rD =
1
1
1
1
+
+
2k 2k 52...5,2
rp
uout
=
= 0,331...0,049
uin
R + rp
= 49,43...5,17Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Automatischer Aufnahmepegel
Das Aufnahmesignal wird gleichgerichtet und als Steuerspannung für
den spannngsgesteuerten Abschwächer verwendet: Hoher Pegel am
Aufnahmekopf bewirkt hohe Steuerspannung und starke Abschwächung,
niedriger Pegel wenig Abschwächung. Das RC-Filter verlangsamt die
Reaktion des Reglers (z.B. für kurze laute Passagen)
A. Steininger
RC-Filter
41
Mikrophon
Spannungsgesteuerter
Abschwächer
Gleichrichter
Verstärker
Aufnahmekopf
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Halbwellengleichrichter
U
u s (t)
RL
us(t)
u 0 (t)
t
A. Steininger
-U
42
Strom fließt nur während der
positiven Halbwelle. Daher
gibt es während der negativen
Halbwelle auch keine
Spannung am Widerstand.
U
uo(t)
ideale Diode
reale Diode
0,7 V
t
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Einfache Batterie-Ladeschaltung
R
u s (t)
i(t)
UB
A. Steininger
Batterie
43
Es fließt Strom, sobald us(t) > UB.
Die Diode verhindert das Entladen während der restlichen Zeit.
us(t)
U
UB
i(t)
t
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Verbesserung mit Ladekondensator
Ur
iD (t)
iL(t)
A. Steininger
u s (t)
44
C
RL
Û
u L (t )
uL(t)
Der Kondensator hält
die Lastspannung
“konstant” und wird
über die Diode
periodisch nachgeladen
u s (t )
iD (t )
iL (t )
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Übung 7.12
Es soll eine Spannungsversorgung dimensioniert werden, die
15V/0,1A an eine Last liefert. Die Brummspannung Ur darf
maximal 0,4V betragen. Welche Eingangsspannung (50Hz) und
welcher Ladekondensator werden benötigt ? (Uf = 0,7V)
A. Steininger
I L ⋅ T ≈ ∆QC = C ⋅ ∆U C = C ⋅ U r
45
C=
I L ⋅ T 0,1A ⋅ 20ms
=
= 5000µF
Ur
0,4V
U
Uˆ = U L + U f + r = 15V + 0,7V + 0,2V = 15,9V
2
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Zweiweg-Gleichrichter
A
uL(t)
U.sin(ωt)
U
A. Steininger
U.sin(ωt) uL(t)
46
RL
Diode A
leitet
Diode B
leitet
t
B
=zwei abwechselnd (gegenphasig) arbeitende Halbwellengleichrichter
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Brückengleichrichter
C
A
B
D
A. Steininger
U.sin(ωt)
47
positive Halbwelle: Strompfad A - RL - B
negative Halbwelle: Strompfad D - RL - C
RL
uL
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Übung 7.14
Skizziere die Übertragungsfunktion der folgenden Schaltung.
Wie sieht die Ausgangsspannung aus ? (Uf = 0,6V)
R=1kΩ
uin
u0
A. Steininger
9,4V
48
uin = 15⋅ sin ωt
VO ET Grundlagen der Informatik
7
Zusammenfassung (1)
A. Steininger
• Eine Bipolardiode ist ein Bauelement, das Strom in die eine
Richtung durchläßt, jedoch nicht in die andere (“Ventil”).
iD
• In der Strom/Spannungskennlinie lassen
Durchsich 3 Bereiche unterscheiden:
bruch
uD
- Durchlaßbereich,
- Sperrbereich und
DurchlaßSperrbereich
bereich
- Durchbruchsbereich
49
• Im Durchlaß- und Sperrbereich
läßt sich die Kennlinie mit der
Shockley-Gleichung annähern.
  uD
iD = I S ⋅ exp
  n ⋅U T
 
 − 1
 
7
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (2)
• Die physikalischen Gegebenheiten im pn-Übergang führen u.a.
zu folgenden Eigenheiten im Verhalten der Bipolardiode:
A. Steininger
– Bei konstantem Flußstrom ändert sich die Flußspannung um -2mV/K
– Bei konstanter Sperrspannung verdoppelt sich der Sperrstrom je 10K
Temperaturerhöhung.
– Die gesperrte Diode verhält sich wie ein Kondensator , dessen Kapazität
sich über die Sperrspannung steuern läßt. (Sperrschichtkapazität)
50
• Bei Zenerdioden ist der Durchbruch das Funktionsprinzip.
Zenerdioden werden meist zur Erzeugung einer Spannungsreferenz verwendet.
7
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (3)
Zur Analyse von Schaltungen mit nichtlinearen Bauelementen
geht man in zwei Schritten vor:
• Ermittlung des (zeitlich nicht veränderlichen) „Arbeitspunktes“
mittels
– grafischer Netzwerkanalyse,
– Schaltermodell (speziell für Dioden) , oder
– Gleichstrommodell (bei der Diode eine Spannungsquelle Uf )
A. Steininger
• Berücksichtigung einer zusätzlichen zeitlich veränderlichen
Aussteuerung durch
51
– Kleinsignalersatzschaltbild (Tangente an die Kennlinie im Arbeitspunkt).
Nur zulässig für geringe Aussteuerung: Abweichung der Tangente !
– Ansonst: Punktweise Variation und neuerliche Ermittlung des Arbeitspunktes unter Berücksichtigung der Aussteuerung mit obigen Methoden.
8
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Verstärker:
Spezifikation & Kenngrößen
1
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Verstärker-Kenngrößen
• Anwendungsabh. Anforderungen, Kenngrößen
• Bedeutung von Eingangs- und Ausgangsimpedanz
• Verstärkermodelle
• Effizienz eines Verstärkers
• Phasen- & Frequenzverhalten eines Verstärkers
A. Steininger
• Lineare & nichtlineare Verzerrungen
2
• Aussage von Sprungantwort und Klirrfaktor
• Gleichtaktunterdrückung mittels Differenzverstärker
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Der ideale Verstärker
Signalquelle
A. Steininger
u i(t)
3
ui (t )
uo (t )
Last
Verstärker
uo(t)
RL
uo (t ) = Au ⋅ ui (t )
Eingang
Ausgang
Spannungsverstärkung
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Invertierend / Nicht-invertierend
nicht-invertierender
Verstärker
ui (t )
invertierender
Verstärker
Au < 0
A. Steininger
uo (t )
4
Au > 0
uo (t )
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Das Spannungsverstärker-Modell
A. Steininger
Modell der
Signalquelle
5
Modell der
Last
“Eingehen” bei
Belastung
Rs
ii
us ui
Ri
Belastung der
Signalquelle
Ro
Auou i
io
uo R L
hier findet die eigentliche
(“ideale”) Verstärkung statt
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Kenngrößen im Modell
• Eingangsimpedanz Ri (bzw. Zi)
– modelliert Stromfluß in den Eingang der Verstärkers
– bildet mit dem Augangswiderstand Rs der Quelle einen
Spannungsteiler
A. Steininger
• Ausgangsimpedanz Ro (bzw. Zo)
6
– modelliert “Eingehen” der Ausgansspannung bei Belastung
– bildet mit der Last RL einen Spannungsteiler
• Leerlauf-Spannungsverstärkung Auo
– “ideale” Spannungsverstärkung bei unbelastetem Ausgang
VO ET Grundlagen der Informatik
8
A. Steininger
Belastungseffekte
7
• Der Strom durch den Eingangswiderstand Ri bewirkt einen
Spannungsabfall am Ausgangswiderstand RS der Quelle und
vermindert dadurch die Eingangsspannung des Verstärkers.
Dieser Effekt wirkt sich nicht auf die Spannungsverstärkung Au
des Verstärkers aus (die Eingangsspannung ui ist eben kleiner
als die Quellspannung uS im Leerlauf)
• Der Strom durch die Last RL bewirkt einen Spannungsabfall am
Ausgangswiderstand Ro des Verstärkers und vermindert dadurch
die Spannung an der Last. Dieser Effekt führt dazu, daß uo bei
konstanter Eingangsspannung ui kleiner wird. Es gilt daher bei
Belastung des Verstärker-Ausgangs: Au < Auo
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Stromverstärkung
A. Steininger
• Der Strom ii wird der Quelle entnommen,
• der Strom io wird in die Last gespeist,
• das Verhältnis dieser Ströme ist die Stromverstärkung :
8
io
Ai =
ii
uo
R
i
R
Ai = o = L = Au ⋅ i
ui
RL
ii
Ri
Au =
uo
< Auo
ui
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Leistungsverstärkung
A. Steininger
• Die Leistung Pi = Ui * Ii wird der Quelle entnommen,
• die Leistung Po = Uo * Io wird in die Last gespeist,
• das Verhältnis dieser Leistungen ist die
Leistungsverstärkung :
9
Po
G=
Pi
G=
Po U o ⋅ I o
R
=
= Au ⋅ Ai = ( Au ) 2 ⋅ i
Pi U i ⋅ I i
RL
Effektivwerte,
alles rein ohmsch
Au =
uo
< Auo
ui
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.1
A. Steininger
Quelle: US = 1mVeff, RS = 1MΩ .
Last: RL = 8Ω .
Verstärker: Auo = 104, Ri = 2MΩ, Ro = 2Ω.
Berechne Spannungs-, Strom- und Leisungsverstärkung.
Wie groß ist die Au bezogen auf die Leerlaufspannung der Quelle ?
10
Us
Rs
Ro
1MΩ
2Ω
1mV
eff
Ui
Ri
2MΩ
10 4 Ui
Io
Uo
RL
8Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.1 (Lösung)
Ri
2M
Ui =
⋅U S =
⋅ 1mV = 0,667mV
Ri + RS
2 M + 1M
RL
8
Uo =
⋅ Auo ⋅ U i =
⋅ 10000 ⋅ 0,667mV = 5,33V
RL + RO
8+2
A. Steininger
UO
RL
8
Au =
=
⋅ Auo =
⋅ 10000 = 8000
Ui
RL + RO
8+2
U
Ri
RL
2M
8
AuS = O =
⋅
⋅ Auo =
⋅
⋅ 10000 = 5333
U S Ri + RS RL + RO
2 M + 1M 8 + 2
11
Ai =
IO
R
2M
= Au ⋅ i = 8000 ⋅
= 2 ⋅ 109
Ii
RL
8
G = Au ⋅ Ai = 8000 ⋅ 2 ⋅ 109 = 16 ⋅ 1012
U i 0,667mV
Ii =
=
= 0,333 ⋅ 10 −9 A
Ri
2 MΩ
IO =
U O 5,33V
=
= 0,667 A
8Ω
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Verstärker-Kette (Kaskade)
io1 = ii2
ii1
A. Steininger
ui1
12
Au =
Verstärker
1
uo1 = ui2
uo 2 uo1 uo 2 uo1 uo 2
=
⋅
=
⋅
= Au1 ⋅ Au 2
ui1 ui1 uo1 ui1 ui 2
ebenso gilt:
Ai = Ai1 ⋅ Ai 2
io2
Verstärker
2
uo2
Au = Au1 ⋅ Au 2
G = G1 ⋅ G2
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.2
Ermittle Spannungs-, Strom- und Leistungsverstärkung für jede
Stufe und für die Verstärkerkette:
1MΩ
R o2
500Ω
100Ω
200ui1
ui2 Ri2
1500Ω
100ui2
uo2 RL
A. Steininger
ui1 Ri1
R o1
13
Stufe 1
Stufe 2
Last
100Ω
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.2 (Lösung)
Au1 =
Ri 2
1k 5
⋅ Auo1 =
⋅ 200 = 150
Ri 2 + Ro1
1k 5 + 500
Au 2 =
RL
100
⋅ Auo 2 =
⋅ 100 = 50
RL + Ro 2
100 + 100
Ai1 =
Ri1
1M
⋅ Au1 =
⋅ 150 = 105
Ri 2
1k 5
A. Steininger
Ai 2 =
14
Ri 2
1k 5
⋅ Au 2 =
⋅ 50 = 750
RL
100
G1 = Au1 ⋅ Ai1 = 150 ⋅ 105 = 15 ⋅ 106
G2 = Au 2 ⋅ Ai 2 = 50 ⋅ 750 = 37,5 ⋅ 103
Au = Au1 ⋅ Au 2 = 7500
Ri1
Ai = Ai1 ⋅ Ai 2 = 75 ⋅ 10 =
⋅ Au
RL
6
G = G1 ⋅ G2 = 5,625 ⋅ 1011 = Au ⋅ Ai =
Ri1 2
⋅ Au
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.3
Vereinfache das zweistufige Verstärkermodell von Beispiel 8.2.
ui1 Ri1
1MΩ
R o1
R o2
500Ω
100Ω
200ui1
ui2 Ri2
1500Ω
100ui2
uo2 RL
100Ω
Ro
A. Steininger
100Ω
15
ui
Ri
1MΩ
3
15.10 .u i uo
Auo = Auo1 ⋅ Auo 2 ⋅
= Au1 ⋅ Auo 2
Ri = Ri1 = 1MΩ
Ro = Ro 2 = 100Ω
Ri 2
= 15 ⋅ 103
Ri 2 + Ro1
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Übung 8.4
A. Steininger
Die folgenden drei Verstärker werden kaskadiert:
Verstärker 1: Auo1 = 10; Ri1 = 1k; Ro1 = 100
Verstärker 2: Auo2 = 20; Ri2 = 2k; Ro2 = 200
Verstärker 3: Auo3 = 30; Ri3 = 3k; Ro3 = 300
Bestimme die Eigenschaften der Gesamtanordnung !
16
Ri = Ri1 = 1k
2k
Ri 2
Au1 = Auo1 ⋅
= 10 ⋅
= 9,524
2k + 100
Ri 2 + Ro1
Ro = Ro 3 = 300
Au 2 = Auo 2 ⋅
Auo = Au1 ⋅ Au 2 ⋅ Auo 3 = 9,524 ⋅18,75 ⋅ 30 = 5357
3k
Ri 3
= 20 ⋅
= 18,75
3k + 200
Ri 3 + Ro 2
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Übung 8.5
Die drei Verstärker aus Übung 8.4 werden in der Reihenfolge
3,2,1 kaskadiert. Bestimme die Eigenschaften der neuen
Anordnung !
Ri = Ri 3 = 3k
A. Steininger
Ro = Ro1 = 100
17
2k
Ri 2
Au 3 = Auo 3 ⋅
= 30 ⋅
= 26
2k + 300
Ri 2 + Ro 3
Au 2 = Auo 2 ⋅
Au = Au 3 ⋅ Au 2 ⋅ Auo1 = 26 ⋅ 16,67 ⋅ 10 = 4348
1k
Ri1
= 20 ⋅
= 16,67
1k + 200
Ri1 + Ro 2
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Spannungsversorgung
Verstärker
Ro
Rs
us
ui Ri
Auou i
A. Steininger
IB
io
uo RL
IA
UBB
UAA
18
Spannungsversorgung
PS = U AA ⋅ I A + U BB ⋅ I B
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Wirkungsgrad (Effizienz)
… gibt an, welcher Anteil der zugeführten Leistung an der Last zur
Verfügung steht (also nicht in Wärme umgesetzt wird).
A. Steininger
Die von der Signalquelle
Po
η=
⋅100% bezogene Leistung Pi ist
PS + Pi
meist vernachlässigbar
19
Spannungsversorgung
Ausgangssignal
an die Last
Wärme
Signalquelle
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.4
PS = U AA ⋅ I A + U BB ⋅ I B = 22,5W
Bestimme den Wirkungsgrad:
IA =1A
UAA
15V
Ro
Io
2Ω
A. Steininger
1mV
(eff)
Ui Ri
I B=0,5A
15V
20
104Ui
100kΩ
UBB
Uo RL
U i2 (1mV ) 2
Pi =
=
= 10 −11W
Ri
100k
RL
U o = Auo ⋅ U i ⋅
=
Ro + RL
8
= 104 ⋅ 1mV ⋅
= 8V
8Ω
2+8
U o2 (8V ) 2
Po =
=
= 8W
8
RL
η=
8
Po
=
= 35,6%
PS 22,5
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Das Stromverstärker-Modell
Eingangsstrom ii wird verstärkt am Ausgang wiedergegeben:
A. Steininger
ii
21
io
Ri und Ro sind gleich wie
beim Spannungsverstärker,
Aisc.ii
Aisc entspricht der Stromu
R
R
o
ui i
o
verstärkung des Spannungsverstärkermodelles bei
kurzgeschlossenem Ausgang.
Belastung: Bei allgemeiner Last (kein Kurzschluß) findet eine
Stromteilung zwischen RL und Ro statt, und die wirksame
Stromverstärkung verringert sich entsprechend (Ai < Aisc)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.5
Wandle das gegebene Spannungsverstärker-Modell in ein
äquivalentes Stromverstärker-Modell um:
Ro
ii
io
ii
100Ω
A. Steininger
ui
22
Ri
ui
ii =
Ri
Ri
100u i
1kΩ
iosc
Au ⋅ ui
=
Ro
ui
Aisc
100ui
i
= osc = 100 = 1000
ui
ii
1k
io
103ii
1kΩ
Ro
Ri = 1k
100Ω
uo
Ro = 100
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Der “Transconductance”-Verstärker
Eingangsspannung ui steuert proportionalen Strom am Ausgang.
io
ii
G msc.u i
A. Steininger
ui
23
Ri
Ro
uo
Proportionalitätsfaktor:
“transconductance gain”
i
Gmsc = osc
ui
Ri und Ro sind gleich wie
beim Spannungsverstärker.
Gmsc hat die Dimension eines Leitwerts [S] und entspricht dem
Übersetzungsfaktor bei kurzgeschlossenem Ausgang.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.6
Wandle das gegebene Spannungsverstärker-Modell in ein
äquivalentes Transconductance-Modell um:
Ro
ii
io
ii
100Ω
A. Steininger
ui
24
Ri
iosc =
1kΩ
Au ⋅ ui
Ro
100u i
Gmsc
ui
1kΩ
100ui
[ A]
iosc
=
= 100
= 1 [S ]
ui
ui [V ]
io
1.u i
100Ω
Ri = 1k
uo
Ro = 100
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Der “Transresistance”-Verstärker
Eingangsstrom ii steuert proportionale Spannung am Ausgang.
ii
A. Steininger
ui
25
Ri
Ro
R moc.i i
io
uo
Proportionalitätsfaktor:
“transresistance gain”
u
Rmoc = ooc
ii
Ri und Ro sind gleich wie
beim Spannungsverstärker.
Rmoc hat die Dimension eines Widerstandes [Ω] und entspricht
dem Übersetzungsfaktor bei unbelastenem Ausgang.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.7
Wandle das gegebene Spannungsverstärker-Modell in ein
äquivalentes Transresistance-Modell um:
Ro
ii
ii
io
100Ω
100Ω
A. Steininger
ui
26
Ri
1kΩ
uoc = Auo ⋅ ui
u
ii = i
Ri
100u i u
o
Rmoc =
1kΩ
ui
uooc 100ui [V ]
=
= 100k [Ω]
u
ii
i
[ A]
1k
10 5 ii
Ri = 1k
uo
Ro = 100
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Verstärkermodelle - Überblick
Abbildung
U U
I
I
U I
A. Steininger
I
27
U
Bezeichnung des Modelles
Spannungsverstärker
Stromverstärker
Transconductance-Verstärker
Transresistance-Verstärker
Eine wechselseitige Umrechnug ist möglich,
solange Ri und Ro nicht 0 oder ∞ sind.
Übersetzung
Auo
Aisc
Gmsc
Rmoc
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Bedeutung der Eingangsimpedanz
• Hohe Eingangsimpedanz
…ist erforderlich, wenn die (Leerlauf-)Spannung einer Quelle
möglichst unverfälscht gemessen werden soll (z.B.: EKG)
• Niedrige Eingangsimpedanz
A. Steininger
…ist erforderlich, wenn der (Kurzschluß-)Strom einer Quelle
möglichst unverfälscht gemessen werden soll (Stromzähler)
28
• Definierte Eingangsimpedanz
… ist erforderlich, wenn es um Impedanzanpassung geht
(Leistungsanpassung, reflexionsfreier Leitungsabschluß)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Hohe oder niedrige Impedanz ?
Rs
ii
is
A. Steininger
us
29
ui R
i
„Leerlaufspannung“:
Für Ri >> RS wird
Spannungsteilerverhältnis
ui
≈ 1 ⇒ ui ≈ u S
uS
Rs
Ri
„Kurzschlußstrom“:
Für Ri << RS wird
Stromteilerverhältnis
ii
≈ 1 ⇒ ii ≈ iS
iS
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Bedeutung der Ausgangsimpedanz
• Niedrige Ausgangsimpedanz
…ist erforderlich, wenn die Ausgangsspannung des
Verstärkers möglichst lastunabhängig sein soll
• Hohe Ausgangsimpedanz
A. Steininger
…ist erforderlich, wenn der Ausgangsstrom des Verstärkers
möglichst lastunabhängig sein soll
30
• Definierte Ausgangsimpedanz
… ist erforderlich, wenn es um Impedanzanpassung geht
(Leistungsanpassung, reflexionsfreier Leitungsabschluß)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Lastunabhängige Ausgangsspannung
Ro
RL
A. Steininger
Auou i
31
Beim Abschalten eines Lautsprechers soll sich die Lautstärke
bei den anderen nicht ändern.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Die idealen Verstärkertypen
A. Steininger
Verstärkertyp
Spannung
Strom
Transconductance
Transresistance
32
Eingangsimpedanz
∞
Ausgangs
impedanz
0
∞
∞
∞
0
0
0
Übersetzung
Auo
Aisc
Gmsc
Rmoc
Welchem dieser Idealtypen ein realer Verstärker zugeordnet
werden kann, hängt nicht nur von seinen Parametern sondern
auch von denen der angeschlossenen Quelle und Last ab.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Übung 8.10
A. Steininger
Ein Verstärker hat einen Eingangswiderstand von Ri = 1k und
einen Ausgangswiderstand von Ro = 1k. Er wird mit einer
Quelle mit Innenwiderstand RS und einer Last RL betrieben.
Um welchen Verstärkertyp handelt es sich, wenn
33
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
RS < 10;
RS > 100k;
RS < 10;
RS > 100k;
RS = 1k;
RL > 100k
RL < 10
RL < 10
RL > 100k
RL < 10
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Übung 8.11
A. Steininger
Ein Füllstandsgeber liefert einen Ausgangsstrom proportional
zum Füllstand, die Geberspannung ändert sich jedoch kaum mit
dem Füllstand. Mittels eines Verstärkers soll aus diesem
Sensorsignal eine dem Füllstand proportionale Spannung an
einer ohmschen Last erzeugt werden, wobei der Lastwiderstand
zwischen 1k und 10k schwankt.
Welcher Verstärkertyp ist für diese Anwendung erforderlich ?
34
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Frequenzverhalten
• Die Innenschaltung des Verstärkers bewirkt eine Phasenverschiebung zwischen Eingangssignal und Ausgangsignal.
Diese läßt sich durch Spannungszeiger und komplexe
U
Darstellung der Verstärkung ausdrücken:
Au = o
Ui
A. Steininger
• Der Übersetzungsparameter eines Verstärkers ist im
allgemeinen frequenzabhängig:
Au = Au ( f )
35
• Diese Effekte werden also ebenso wie beim Filter beschrieben:
komplexe Darstellung der Verstärkung, dB, Bodediagramm.
8
VO ET Grundlagen der Informatik
Warum Phasenverschiebung?
Da Informationstransport an den Transport von
Energie gebunden ist, benötigt er Zeit:
A. Steininger
– Energiespeicher (L & C) müssen geladen werden,
– Elektromagnetische Wellen müssen sich ausbreiten (Leitung)
– Diffusionsprozesse müssen ablaufen (Halbleiter)
36
Die für den Transport benötigte Zeit kann
frequenzunabhängig („Laufzeit“) oder
frequenzabhängig („Phasenverzerrung“) sein
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Warum Frequenzabhängigkeit?
RL
• Willkürliche Bandbegrenzung
Die Rauschleistung ist direkt proportional zur Bandbreite !
A. Steininger
• Parasitäre Kapazitäten
37
zwischen Leitungen und Masse, von pn-Übergängen, etc.
• Parasitäre Induktivitäten
aufgrund der Magnetfelder stromdurchflossener Leiter
VO ET Grundlagen der Informatik
8
DC-gekoppelter Verstärker
|Au| [dB]
Frequenzen
oberhalb des
Nutzbereiches
|Au,nutz|
Nutzbereich
A. Steininger
„Bandbreite“
38
Der nutzbare Frequenzbereich mit definierter (konstanter)
Verstärkung reicht von Gleichspannung (DC) bis zu einer
oberen Grenze.
f (log)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
AC-gekoppelter Verstärker
|Au| [dB]
Frequenzen
unterhalb des
Nutzbereiches
|Au,nutz|
Frequenzen
oberhalb des
Nutzbereiches
Nutzbereich
f (log)
A. Steininger
„Bandbreite“
39
Der nutzbare Frequenzbereich reicht nach unten hin nicht
mehr bis zur Gleichspannung (DC).
Es gibt auch eine untere Frequenzgrenze
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Grenzfrequenz und Bandbreite
A (linear!)
Anutz
Anutz
2
A. Steininger
“3dB-Bandbreite”
40
fL
untere Grenzfrequenz
fH
obere Grenzfrequenz
f
VO ET Grundlagen der Informatik
8
AC-Kopplung: Vor- und Nachteile
A. Steininger
Stufe 1
41
Stufe 2
RL
keine gegenseitige Beeinflussung der Arbeitspunkte beim
Zusammenschalten mehrerer Stufen
Gleichspannung an der Last ist oft unerwünscht (Lautsprecher)
Überlagerte Gleichspannung wird unterdrückt (EKG, Offsets)
Manchmal enthalten Gleichanteile wichtige Informationen
Trafos und Kondensatoren lassen sich sehr schwer integrieren
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Signalverzerrungen
Verzerrung
„keine“
Verstärkung
konstant
konstant
A. Steininger
„lineare“
42
frequenzabhängig,
amplituden
unabhängig
„nichtlineare“ amplitudenabhängig
Phase
Wiedergabe
frequenzalle Signalformen
proportional unverzerrt
„Phasenverzerrung“ alle Signalformen
verzerrt,
beliebig
nur Sinus unverzerrt
beliebig
alle Signalformen
(auch Sinus) verzerrt
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Verzerrungsfreie Verstärkung
|A|
frequenzunabhängige konstante Verstärkung
f
Phase
Nutzbereich
A. Steininger
f
sämtliche Frequenzkomponenten des
Eingangssignales
liegen im Nutzbereich
43
lineare frequenzproportionale Phasenverschiebung
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Lineare Signalverzerrungen
Amplitudenverzerrung
Verstärkung ist frequenzabhängig =>
Frequenzkomponenten werden unterschiedlich verstärkt
A. Steininger
Phasenverzerrung
44
Phasenverschiebung ist nicht proportional zur Frequenz =>
Frequenzkomponenten (Oberwellen) verändern ihre
Phasenlage gegenüber der Grundwelle
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.9
ui (t ) = 3 ⋅ cos(2000πt ) − 2 ⋅ cos(6000πt )
Au (1000 Hz ) = 10 ⋅ e j 0°
Au (3000 Hz ) = 2,5 ⋅ e j 0°
Ermittle das zugehörige Ausgangssignal uo(t)
uo (t ) = 30 ⋅ cos(2000πt ) − 5 ⋅ cos(6000πt )
uo(t)
A. Steininger
ui(t)
45
t[ms]
t[ms]
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.10
ui (t ) = 3 ⋅ cos(2000πt ) − 2 ⋅ cos(6000πt )
Verstärker 1:
Verstärker 2:
Verstärker 3:
Au (1000 Hz ) = 10 ⋅ e j 0°
Au (3000 Hz ) = 10 ⋅ e j 0°
Au (1000 Hz ) = 10 ⋅ e − j 45°
Au (3000 Hz ) = 10 ⋅ e − j135°
Au (1000 Hz ) = 10 ⋅ e − j 45°
Au (3000 Hz ) = 10 ⋅ e − j 45°
A. Steininger
Ermittle das zugehörige Ausgangssignal uo(t) für jeden Verstärker
46
(1) uo (t ) = 30 ⋅ cos(2000πt ) − 20 ⋅ cos(6000πt )
(2) uo (t ) = 30 ⋅ cos(2000πt − 45°) − 20 ⋅ cos(6000πt − 135°)
(3) uo (t ) = 30 ⋅ cos(2000πt − 45°) − 20 ⋅ cos(6000πt − 45°)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.10 (Lösung)
uA(t)
uB(t)
t[ms]
A. Steininger
(1) keine Phasenverschiebung
47
(3) konstante
Phasenverschiebung
= Signalverzerrung
uC(t)
t[ms]
(2) lineare Phasenverschiebung =
Zeitverschiebung
t[ms]
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Impulsantwort
Impulse enthalten ein weites
Frequenzspektrum
=> mit einer Messung erhält
man einen Eindruck vom
gesamten Frequenzverhalten
A. Steininger
ui(t)
48
uo(t)
Überschwingen
Dachschräge
endliche
Flankensteilheit
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Anstiegzeit (Rise time)
uo(t)
Endwert U∞
U∞
0,9U∞
A. Steininger
Anstiegszeit
49
0,1U∞
tr
t10%
t90%
Die Anstiegszeit ist die
Dauer des Signalanstiegs
von 10% auf 90% des
Endwertes.
Sie wird wesentlich
durch die obere Grenzfrequenz fH bestimmt.
In guter Näherung gilt:
0,35 0,35
≈
tr =
fH
B
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.11
Ein Signal hat eine Anstiegszeit von 85ns. Wie groß ist die
erforderliche Bandbreite des Verstärkers?
A. Steininger
tr =
50
0,35
B
B=
0,35
= 4,1MHz
tr
Allerdings macht ein Verstärker bei seiner oberen
Grenzfrequenz bereits -3dB Fehler, also etwa -30% (!).
Als Abschätzung für die Verlangsamung eines Signalanstieges
durch einen Verstärker gilt:
2
2
tr ,out = tr ,in + t r ,amp
am Ausgang
Eingangssignal
Verstärker
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Überschwingen
• wird in % vom Endwert angegeben, also
A. Steininger
Spitzenwert − Endwert
Überschwingen =
⋅100%
Endwert
51
• deutet meist auf ein ausgeprägtes Maximum im Frequenzgang
der Verstärkung hin (Resonanz), und zwar bei der beobachteten
Frequenz des Überschwingers
• Eine Unterdrückung des Überschwingens bedeutet fast immer
eine Erhöhung der Anstiegszeit, daher werden oft ca. 10%
Überschwingen in Kauf genommen.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Dachschräge
• wird in % vom Anfangswert angegeben, also
A. Steininger
Dachschräge =
52
Abfall ∆P der Impulsamplitude
⋅100%
Impulshöhe P zu Beginn
• ist ein Indikator für die untere Grenzfrequenz des Verstärkers
(Sie ist eigentlich der Anfang der Ladekurve des Koppelkondensators bei AC-Kopplung. Mit längerer Impulsdauer wird
diese Ladekurve immer deutlicher erkennbar.)
• Im linearen Bereich (geringe Dachschräge) gilt zwischen Dachschräge D, Impulsdauer T und unterer Grenzfrequenz fL die
D[%] ≈ 200π ⋅ f L ⋅ T
Näherung
VO ET Grundlagen der Informatik
8
AC-Kopplung: Impulsantwort
τ >> T
A. Steininger
uo(t)
53
Überschwingen wird
für die Dachschräge
nicht berücksichtigt
τ =T
uo(t)
τ << T
uo(t)
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Nichtlineare Verzerrungen
uo
ideal
real
A. Steininger
ui
54
• Idealerweise ist die
Verstärkung von der
Amplitude unabhängig.
• Bei realen Verstärkern
kommt es aber zu Abweichungen von der idealen
Übertragungsfunktion, meist
bei großen Amplituden
(“Clipping”)
=> nichtlineare Verzerrungen
8
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Auswirkungen des Clipping
55
Aus einem sinusförmigen Eingangssignal entsteht ein Ausgangssignal,
das nicht mehr rein sinusförmig ist !
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Klirrfaktor
A. Steininger
• Darstellung der nichtlinearen Übertragungsfunktion als
Polynom n-ter Ordnung, oder
• Fourierzerlegung des Ausgangssignales
führen beide zu dem Ergebnis, daß Oberwellen Uk (ganzzahlige
Vielfache der Frequenz des Eingangssignales U1) und eventuell
auch ein Gleichanteil entstehen.
56
Der Klirrfaktor (Total Harmonic Distortion THD) ist definiert als
K=
ˆ 2 Effektivwert aller Oberwellen
U
∑ n =
Effektivwert der Grundwelle
Uˆ1
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Übung 8.16
Berechne den Klirrfaktor für einen Verstärker mit Übertragungsfunktion uo = 100 ⋅ ui + ui2 für folgende Eingangssignale:
a) ui (t ) = cos ωt
b) ui (t ) = 5 ⋅ cos ωt
A. Steininger
a) uo (t ) = 100 ⋅ cos ωt + cos 2 ωt = 100 ⋅ cos ωt + 0,5 + 0,5 ⋅ cos 2ωt
57
0,5
K=
= 0,5%
100
b) uo (t ) = 500 ⋅ cos ωt + 25 ⋅ cos 2 ωt = 500 ⋅ cos ωt + 12,5 + 12,5 ⋅ cos 2ωt
K=
12,5
= 2,5%
500
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Verzerrungen: Überblick
Verstärkung Verzerrung Kenngrößen
konstant
keine (*)
Anstiegszeit (fH)
A. Steininger
frequenzabhängig
lineare
Dachschräge (fL)
Überschwingen (fres)
amplitudenabhängig
nichtlineare Klirrfaktor
58
(*) solange die Phase linear ist
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Differenzverstärker
Die Differenz zweier Eingangsspannungen wird am Ausgang
verstärkt wiedergegeben. Dazu wird die Spannung ui1 am
nichtinvertierenden Eingang mit einem positiven Faktor Ad
verstärkt, jene am invertierenden Eingang (ui2) mit -Ad .
Nichtinvertierender Eingang
A. Steininger
1
59
Differenzverstärker
2
ui1
ui2
Invertierender Eingang
uoo(t ) = Ad ⋅ ui1 (t ) − Ad ⋅ ui 2 (t )
= Ad ⋅ [ui1 (t ) − ui 2 (t )]
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Gleichtakt- und Differenzsignal
uid (t ) = ui1 (t ) − ui 2 (t )
Differenzspannung:
Gleichtaktspannung:
(“common mode” voltage)
uicm (t ) =
A. Steininger
1
60
12V
8V
2
ui1
ui2
ui1 (t ) + ui 2 (t )
2
uid
2
=
1
2V
4V
uicm
10V
uid
2
2V
2
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Gleichtaktunterdrückung (CMRR)
Reale Differenzverstärker verstärken nicht nur die Differenzspannung, sondern auch die Gleichtaktspannung:
uo (t ) = Ad ⋅ uid (t ) + Acm ⋅ uicm (t )
A. Steininger
Das Verhältnis zwischen (erwünschter) Differenzverstärkung Ad
und (unerwünschter) Gleichtaktverstärkung Acm ist die
Gleichtaktunterdrückung (Common Mode Rejection Ratio):
61
CMRR [dB ] = 20 log
Ad
Acm
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Elektrokardiogramm
Lampe
Elektroden
Netzkabel
A. Steininger
220V
62
Kapazität zwischen
Kabel und Patient
Kapazität zwischen
Erde und Patient
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Beispiel 8.12
A. Steininger
Beim EKG soll ein Differenzsignal von 1mV 1000-fach
verstärkt werden. Eine überlagerte Gleichtaktstörung (100V,
50Hz) soll nicht mehr als 1% Verfälschung bewirken.
Welche CMRR braucht der Verstärker ?
63
Amplitude des verstärkten Differenzsignales: 1mV*1000 = 1V
zulässige Amplitude des verstärkten Gleichtaktsignales:
1% von 1V = 10mV
Ad = 1000
Acm
10mV
=
= 10 −4
100V
CMRR = 20 log
Ad
= 140dB
Acm
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Messung der CMRR
Gleichtaktverstärkung:
Acm =
Uo
U icm
Uicm
Differenzverstärker
Uo
Differenzverstärker
Uo
A. Steininger
Differenzverstärkung:
64
Ad =
Uo
U id
Uid
Uid
2
2
8
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
65
• Aufgabe eines Verstärkers ist die gegenseitige Abstimmung der
Bedürfnisse von Quellsignal und Last (Verstärkung, Belastung).
• Wichtigste Kenngrößen eines Verstärkers sind Eingangs- und
Ausgangsimpedanz (Ri, Ro) sowie der Verstärkungsparameter.
• Die Eingangsimpedanz Ri modelliert den Stromfluß in den
Verstärkereingang. Spannungsteilung (Stromteilung) zwischen
Ri und dem Ausgangswiderstand der Quelle vermindert das
Eingangssignal (eingangsseitiger Belastungseffekt).
• Die Ausgangsimpedanz Ro modelliert den Belastungseffekt am
Ausgang: Spannungsteilung (Stromteilung) zwischen Ro und der
Last vermindert das an der Last wirksame Ausgangssignal.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Zusammenfassung (2)
A. Steininger
• Die Spannungsverstärkung Au beschreibt das Verhältnis von
Ausgangsspannung zu Eingangsspannung für die jeweilige Last
RL. Analoges gilt für Stromverstärkung Ai und Leistungsverstärkung G.
• Man unterscheidet zwischen folgenden Verstärkertypen:
66
–
–
–
–
Spannungsverstärker:
Stromverstärker:
Transconductance-Amplifier:
Transresistance-Amplifier:
uo = Au . ui
io = Ai . ii
io = Gm . ui
uo = Rm . ii
(Auo bei Leerlauf)
(Aisc bei Kurzschluss)
(Gmsc bei Kurzschluss)
(Rmoc bei Leerlauf)
Eine wechselseitige Umrechnung der Modelle ist möglich, solange Eingangs- und Ausgangsimpedanzen nicht 0 oder ∞ sind.
8
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (3)
• Die Gesamtverstärkung einer Verstärker-Kette ergibt sich aus
dem Produkt der Einzelverstärkungen, jeweils unter
Berücksichtigung der Belastung durch die nächste Stufe.
A. Steininger
• Der Wirkungsgrad eines Verstärkers gibt an, welcher Anteil
(meist in %) der zugeführten Leistung an der Last verfügbar ist.
67
8
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (4)
• In jedem realen Verstärker tritt eine Phasenverschiebung auf.
Diese kann durch Darstellung des Verstärkungsparameters als
komplexen Zeiger berücksichtigt werden.
A. Steininger
• Zusätzlich sind die Übersetzungsparameter realer Verstärker
immer frequenzabhängig. Insbesondere ist der Frequenzbereich
immer nach oben hin begrenzt (obere Grenzfrequenz).
68
• Der DC-gekoppelte Verstärker überträgt auch Gleichspannung
und hat daher – im Gegensatz zum AC-gekoppelten Verstärker –
keine untere Grenzfrequenz.
8
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (5)
69
• Im Nutzbereich sollte die Verstärkung idealerweise konstant und
die Phasenverschiebung frequenzproportional sein. In diesem
Fall werden alle Signalformen richtig wiedergegeben.
• Von linearer Amplitudenverzerrung spricht man, wenn die
Verstärkung frequenzabhängig ist. Lineare Phasenverzerrungen
treten auf, wenn die Phasenverschiebung nicht frequenzproportional ist. Beim Auftreten linearer Verzerrungen wird nur ein
sinusförmiges Signal unverzerrt wiedergegeben.
• Nichtlineare Verzerrungen treten auf, wenn die Verstärkung
amplitudenabhängig ist. Sie betreffen auch Sinussignale und
führen dort zum Auftreten von Oberwellen.
VO ET Grundlagen der Informatik
8
Zusammenfassung (6)
• Die Impulsantwort eines Verstärkers gibt einen Überblick über
allfällige lineare Verzerrungen. Sie ist charakterisiert durch
A. Steininger
– Überschwingen: Überhöhung in % des Endwertes
Hinweis auf Resonanzen
70
– Dachschräge D: Abfall in % des Startwertes
Hinweis auf untere Grenzfrequenz fL
D[%] ≈ 200π ⋅ f L ⋅ T
– Anstiegszeit tr : Anstiegsdauer von 10...90%
Hinweis auf obere Grenzfrequenz fH
tr =
• Nichtlineare Verzerrungen werden durch den
Klirrfaktor K beschrieben: Er gibt das Verhältnis
von Oberwellen zur Grundwelle an (Effektivwerte)
0,35 0,35
≈
fH
B
2
∑ Uˆ n
K=
Uˆ1
8
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (7)
71
• Ein Differenzverstärker hat zwei Eingangsspannungen ui1, ui2.
• Der Mittelwert dieser Eingangsspannungen ist als Gleichtaktspannung uicm definiert, ihre Differenz als Differenzspannung ud.
• Ein idealer Differenzverstärker soll nur die Differenzspannung
verstärken. Ein realer Differenzverstärker weist neben einer
hohen Differenzverstärkung Ad jedoch stets auch eine geringe
Gleichtaktverstärkung Acm auf:
uo (t ) = Ad ⋅ uid (t ) + Acm ⋅ uicm (t )
• Die Gleichtaktunterdrückung (common
mode rejection ratio, CMRR) gibt das
Ad
CMRR
[
dB
]
=
20
log
Verhältnis von Differenzverstärkung zu
Acm
Gleichtaktverstärkung (meist in dB) an.
9
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Der Bipolartransistor
1
9
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Der Bipolartransistor
2
• Physikalisches und elektrisches Funktionsprinzip des
Bipolartransistors
• Kennlinien & graph. Analyse einfacher Transistorschaltungen
• Nichtlineare Verzerrungen beim Bipolartransistor
• Betriebsbereiche des Transistors
• Gleichstrom-Ersatzschaltungen für den Transistor
• Schaltungen zur Arbeitspunkteinstellung
• Kleinsignal-Ersatzschaltbild des Transistors
• Analyse von Verstärker-Grundschaltungen mit Bipolartransistor
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Schaltsymbol und Bezeichnungen
“npn-Transistor”:
Kollektor
C
n+
iC
A. Steininger
B
3
iB
uCE
uBE
iE
E
p+
Basis
n+
Emitter
9
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Physikalische Funktion
4
• Zwei gegensätzlich gepolte p-n Übergänge (Dioden) sind
räumlich so eng gekoppelt, daß sie einander beeinflussen.
• In der üblichen Beschaltung leitet die BE-Diode. Dies bewirkt
einen Elektronenfluß vom Emitter in Richtung Basis.
• Im p-Material der Basis gelangen diese Elektronen in die
Raumladungszone der üblicherweise gesperrten BC-Diode, wo
sie vom Kollektor abgesaugt werden.
• Durch entsprechende Auslegung (dünne Basisschicht mit
geringer Dotierung) kann erreicht werden, daß fast alle Elektronen von der leitenden BE-Diode zum Kollektor gelangen.
• Durch die Basis fließt nur ein minimaler Steuerstrom.
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Elektrische Funktion
iC = β ⋅ iB
A. Steininger
Stromverstärker:
5
Ein kleiner Strom von der
Basis zum Emitter (“Basisstrom”) steuert einen viel
größeren Strom vom
Kollektor zum Emitter
(“Kollektorstrom”)
iB
iE = (β + 1) ⋅ iB
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Wichtige Zusammenhänge
• allg. Beziehungen:
• Stromverstärkung:
A. Steininger
• Basisstrom:
6
iE = iC + iB
β=
Knotenregel
iC = β ⋅ iB
iC
iB
  u BE
iB = I BS ⋅ exp 
  U T
 
 − 1
 
iE = (1 + β ) ⋅ iB
Shockley-Formel für den
leitenden p-n Übergang
• Kollektorstrom: iC = β ⋅ iB = β ⋅ I BS ⋅ exp u BE  − 1 = iC (u BE )



 UT 

Basis-Emitter-Spannung steuert direkt den Kollektorstrom !
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Übung 9.3
Für einen npn-Transistor (in üblicher Beschaltung) wurden
folgende Ströme gemessen: iC=9,5mA
iE=10mA.
Wie groß sind iB , und β ?
A. Steininger
iE = iC + iB
7
β=
iB = iE − iC = 0,5mA
iC 9,5
=
= 19
iB 0,5
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Kennlinien des Bipolartransistors
iB [µA]
iC [mA]
A. Steininger
uBE [V]
8
Eingangskennlinie
(=Diodenkennlinie)
uCE [V]
Ausgangskennlinie
(Kollektorstrom ≈ konstant
solange UCE > UBE , also UCB>0)
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Der pnp-Transistor: Aufbau
C
Kollektor
iC
B
iB
A. Steininger
Basis
n+
iE
9
p+
E
p+
Emitter
umgekehrte Abfolge der Schichten => im Normalbetrieb
uBE < 0 (BE-Diode leitet) und uBC > 0 (CB-Diode sperrt)
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Der pnp-Transistor: Kennlinien
A. Steininger
uBE [V]
10
uCE [V]
Alle Zusammenhänge gelten gleich wie beim npn-Transistor.
Allerdings sind die Strombezugsrichtungen umgekehrt, und die
Spannungen haben (bei gleicher Bezugsrichtung) negative Polarität.
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Graph. Arbeitspunktbestimmung
RC
U BB + uin (t ) = RB ⋅ iB (t ) + uBE (t )
iC
RB
u in(t)
UBB
UCC
iB
u CE
U CC = RC ⋅ iC (t ) + uCE (t )
uBE
iC
A. Steininger
iB
11
uBE
uCE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.2
Gegeben: UCC=10V; UBB=1,6V; RB=40k; RC=2k
Eingangsspannung: uin (t ) = 0,4 ⋅ sin(2000π ⋅ t )
A. Steininger
• Wo liegt der Arbeitspunkt ?
• Welche Amplitude hat
die Ausgangsspannung uCE ?
12
u in(t)
RC
iC
RB
UBB
UCC
iB
u CE
uBE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.2 (Lösung/1)
Eingangskreis:
U BB + uin (t ) = RB ⋅ iB (t ) + uBE (t )
1,6V + 0V = 40k ⋅ iB (t ) + u BE (t )
Arbeitspunkt
uin= 0,4
A. Steininger
uin= 0
uin= -0,4
13
uBE [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.2 (Lösung/2)
Ausgangskreis:
U CC
=5
RC
U CC = RC ⋅ iC (t ) + uCE (t )
Arbeitspunkt
A. Steininger
10V = 2k ⋅ iC (t ) + uCE (t )
14
U CE 0 = 5V
∆U CE = 4V
Verstärkung = -5
U CE min
U CE 0 ≈ 5V
≈ 3V
U CE max ≈ 7V
U CC = 10V
uCE [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Nichtlineare Verzerrungen
uin [mV]
uCE [V]
* -5
uCE [V]
A. Steininger
“cutoff”
15
* -5
Bei Erhöhung der Eingangsamplitude auf 1,2V
Sättigung
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Ursachen nichtlinearer Verzerrungen
• Nichtlinearität der Eingangskennlinie
– linearer Zusammenhang iB(uBE) gilt nur näherungsweise im
Bereich um den Arbeitspunkt
– zunehmende Nichtlinearität für kleine Steuerspannung uBE
– BE-Diode sperrt für negative uBE komplett (“cutoff”)
A. Steininger
• Nichtlinearität der Ausgangskennlinie
16
– linearer Zusammenhang iC(uCE) geht für uCE < 0,2V verloren
(“Sättigung”)
weite Aussteuerung und schlecht gewählter
Arbeitspunkt sind Ursachen hoher Verzerrungen
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Sättigung und Cutoff
• Cutoff (iC = iB = 0)
IC < 0 ist nicht möglich
(daher ist UC > UCC ebenfalls nicht erreichbar)
A. Steininger
• Sättigung (uCE < 0,2V)
17
Wird iC und damit die
Spannung iC*RL an der
Last so groß, daß auch die
CB-Diode leitet, so fällt iC
unter den Wert β ∗ iB.
Sättigung (saturation)
aktiver Bereich
uCE [V]
Sinnvoller Verstärkerbetrieb:
im aktiven Bereich
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Näherungen für die Kennlinien
Sättigung
A. Steininger
Aktiver Bereich
18
Aktiver Bereich
oder Sättigung
Cutoff
Cutoff
uCE [V]
uBE [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
9
DC-Modell für den aktiven Bereich
Eingangskreis:
Konstantspannungsquelle
mit UBE = 0,7V entspricht
dem Gleichstrommodell
der Diode.
Voraussetzungen (npn):
IB > 0;
C
A. Steininger
19
IC
npn
βI B
Ausgangskreis:
Konstantstromquelle mit
IC = β* IB entspricht dem
Stromverstärkermodell.
UCE > 0,2V
IB
B
0,7V
IE
E
VO ET Grundlagen der Informatik
9
DC-Modell für die Sättigung
Eingangskreis:
Konstantspannungsquelle
mit UBE = 0,7V wie im
aktiven Bereich.
Voraussetzungen (npn):
β *IB > IC > 0
IB > 0;
C
npn
IC
A. Steininger
Ausgangskreis:
20
Konstantspannungsquelle
mit UCE = 0,2V approximiert
den “Sättigungsast” in der
Ausgangskennlinie.
0,2V
IB
B
0,7V
IE
E
VO ET Grundlagen der Informatik
9
DC-Modell für den Cutoff
Eingangskreis:
BE-Diode sperrt, daher fließt
kein Strom in die Basis.
Voraussetzungen (npn):
UBE < 0,5V;
UBC < 0,5V
C
A. Steininger
Ausgangskreis:
21
Wegen IB = 0 ist auch IC = 0,
daher fließt auch über
Kollektor und Emitter kein
Strom.
npn
B
E
VO ET Grundlagen der Informatik
9
DC-Modelle für den pnp-Transistor
Aktiver Bereich
Sättigung
C
C
IC
pnp
Cutoff
pnp
IB
IB
B
A. Steininger
0,7V
IE
E
pnp
0,2V
βI B
B
C
IC
B
0,7V
E
IE
E
IB > 0
IB > 0
UEB< 0,5V
UEC > 0,2V
βIB > I C > 0
UEC< 0,5V
22
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.3
An einem NPN-Transistor mit β = 100 ist
(a) IB = 50 µA; IC = 3mA
(b) IB = 50 µA; UCE = 5V
(c) UBE = -2V; UCE = -1V
A. Steininger
In welchem Betriebzustand befindet sich der Transistor ?
23
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.4
In der dargestellten Schaltung ist:
RB = 200k
RC = 1k
UCC=15V
β = 100
A. Steininger
Ermittle IC und UCE
24
+UCC
RB
+UCC
RC
IC
UCE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.4 (Lösung/1)
+UCC
RB
+UCC
RC
IC
UCE
+UCC
A. Steininger
+UCC
RB
+UCC
RC
RC
B
C
RB
C
UBE
25
+UCC
UCE
U BE = 15V < 0,5V
0,2V
B
IB
E
IB = 0
IC
IB =
IC =
0,7V
E
U CC − 0,7
= 71,5µA > 0
RB
U CC − 0,2
= 14,8mA < β ⋅ I B
RC
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.4 (Lösung/2)
+UCC
+UCC
RC
UCC
IC
RB
C
βIB
B
IB
0,7V
Arbeitspunkt
UCE
E
A. Steininger
UCC
26
IB =
U CC − 0,7
= 71,5µA > 0
RB
U CE = U CC − RC ⋅ I C = 7,85V > 0,2V
UCE [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.5
Wiederhole Beispiel 9.4 mit β = 300
aktiv:
IB =
U CC − 0,7
= 71,5µA > 0
RB
U CE = U CC − RC ⋅ I C =
UCC
Arbeitspunkt
A. Steininger
= −6,45V < 0,2V
27
Sättigung:
IC =
U CC − 0,2
= 14,8mA < β ⋅ I B
RC
UCC
UCE [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Übung 9.11
In der dargestellten Schaltung ist
RC = 5k; UCC=20V; UBE=0,7V;
Wie muß RB dimensioniert werden, damit
der Arbeitspunkt in der Mitte des aktiven
Bereiches liegt, (a) β = 100; (b) β = 300
A. Steininger
U CE ,opt =
28
U CC
= 10V
2
U CC − RB ⋅
IC
= U BE
β
IC =
U CC − U CE ,opt
RB ,opt =
RC
+UCC
RB
+UCC
RC
= 2mA
U CC − U BE
= 965k bzw. 2,9 M
IC
β
IC
UCE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
A. Steininger
Basisstromsteuerung
29
… ist eine billige aber schlechte
Methode zur ArbeitspunktStabilisierung
… erfordert eigentlich eine variable Dimensionierung von
RB, denn β beeinflußt direkt
den Arbeitspunkt, unterliegt
im allgemeinen jedoch
starken Exemplarstreuungen
… wird daher praktisch kaum
verwendet
+UCC
RB
+UCC
RC
IC
UCE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Prakt. verwendete AP-Stabilisierung
Ein Spannungsteiler erzeugt eine Basisvorspannung,
ein Emitterwiderstand stabilisiert den Strom:
+UCC
R1
RC
R1
RC
A. Steininger
UCC
30
R2
RE
R2
RC
UCC
RE
RB
UBB
UCC
RE
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.7
Ermittle IC und UCE einmal für β = 100 und einmal für β = 300:
A. Steininger
+UCC=+15V
31
R1
10kΩ
RC
1kΩ
R2
5kΩ
RE
1kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.7 (Lösung/1)
Ersatzspannungsquelle:
IC
RC
1kΩ
C
3,3kΩ
A. Steininger
UB
32
RB
B
IB
0,7V
UBE
5V
RE
βIB
15V
E
IE=(β+1)IB
1kΩ
RB = R1 || R2 = 3k 3
R2
U B = U CC ⋅
= 5V
R1 + R2
Eingangskreis:
U B = I B ⋅ RB + U BE + I E ⋅ RE
I E = (β + 1) ⋅ I B
Ausgangskreis:
U CC = I C ⋅ RC + U CE + I E ⋅ RE
IC = β ⋅ I B
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.7 (Lösung/2)
• Eingangskreis: U B = I B ⋅ RB + U BE + I E ⋅ RE
5V = I B ⋅ 3k 3 + 0,7 + ( β + 1) ⋅ I B ⋅1k
A. Steininger
• Ströme:
33
I B100 = 41,2 µA
I B 300 = 14,1µA
IC = β ⋅ I B
I C100 = 4,12mA
I E100 = 4,16mA
I E = (β + 1) ⋅ I B
I C 300 = 4,24mA
I E 300 = 4,25mA
• Ausgangskreis: U CC = I C ⋅ RC + U CE + I E ⋅ RE
15V = 4,12mA ⋅1k + U CE + 4,16mA ⋅ 1k
U CE100 = 6,72V
15V = 4,24mA ⋅ 1k + U CE + 4,25mA ⋅1k
U CE 300 = 6,51V
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Stromgegenkopplung über RE
• Ausgangskreis:
• Eingangskreis:
 β

U CE ( I E ) = U CC − I E ⋅ 
⋅ RC + RE 
 β +1

U B − U BE
I E (U B ) =
RB
≈ 1 für β >> 1
RE +
β +1
• Gesamtverhalten:
A. Steininger
U CE = U CC

U B − U BE  β
−
⋅ 
⋅ RC + RE 
R

RE + B  β + 1
β +1
≈ RE
34
RE vermindert den Einfluß von β auf den Arbeitspunkt
für RE >>
RB
β +1
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Differentieller Widerstand rπ
A. Steininger
„Wie wirkt sich eine kleine Änderung ∆uBE auf iB aus ?“
35
Kennlinie der BE-Diode
im aktiven Betrieb
  u BE
iB = I BS ⋅ exp
  U T
Näherung durch Tangente
im Arbeitspunkt:
diB
duBE
Differentieller Widerstand
der BE-Diode:
rπ =
AP
 
u
 − 1 ≈ I BS ⋅ exp  BE
 
 UT
 u BE
1
=
⋅ I BS ⋅ exp 
UT
 UT



=
AP
IB
UT
duBE ube
u
U
β ⋅UT
=
= β ⋅ be = T =
diB
ib
ic
IB
IC



VO ET Grundlagen der Informatik
9
Kleinsignal-Ersatzschaltbild
A. Steininger
ib(t)
36
ic(t)
• Die BE-Diode wird durch ihren
B
C
differentiellen Widerstand rπ
beschrieben.
βib(t)
u be(t)
rπ
• Diese Näherung bedeutet eine
Ersetzung der realen Exponentialkennlinie durch ihre Tangente im
Arbeitspunkt, sie gilt daher nur
E
für sehr kleine Aussteuerung.
• Eine vom Basisstrom gesteuerte
ube U T β ⋅U T
rπ =
=
=
Stromquelle beschreibt die
ib
IB
IC
Stromverstärkung am Kollektor
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Die Emitterschaltung
+UCC
+UCC
Quelle
Last
R1
A. Steininger
37
C2
C1
Rs
us
RC
u in
R2
uo
RE
CE
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Struktur der Emitterschaltung
• Arbeitspunkteinstellung:
– Standardnetzwerk mit R1, R2, RC, RE (Stromgegenkopplung)
A. Steininger
• Einkopplung des Nutzsignales:
38
– Koppelkondensatoren C1 und C2 lassen Wechselspannung
unverändert durch, sperren aber für Gleichspannung. Quelle
und Last beeinflussen den Arbeitspunkt daher nicht.
– Last ist kollektorseitig angeschlossen.
• Bypass-Kondensator:
– Mittels CE kann man RE für Wechselspannung kurzschließen.
Man erhält so höhere aber weniger definierte Verstärkung.
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Betrachteter Frequenzbereich
• Gleichspannung:
– wird für die Arbeitspunkteinstellung betrachtet; Z C = ∞
• Sehr niedrige Frequenzen
– hier ist 0 < Z C < ∞ ; eine Analyse mit komplexen
Impedanzen wäre nötig; wird hier nicht weiter betrachtet
A. Steininger
• Mittlerer Frequenzbereich
39
– wird im folgenden genauer analysiert; Z C = 0
• Sehr hohe Frequenzen
– Analyse erfordert ein wesentlich komplizierteres Transistormodell, wird nicht weiter betrachtet
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Kleinsignal-Ersatzschaltung
Rs
ib B
iin
C
ube
A. Steininger
us
40
uin
R1
R2
rπ
βib
E
(β+1)i b
RE
RC
• Kondensatoren durch Kurzschlüsse ersetzen
CE kann RE kurzschließen
• Versorgungsspannung durch Kurzschluß ersetzen
R1 liegt parallel zu R2;
RC liegt parallel zu RL
uo R L
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Spannungsverstärkung
• Eingangsspannung:
uin = rπ ⋅ ib + RE ⋅ (β + 1) ⋅ ib
A. Steininger
• Ausgangsspannung:
uo = − RC ⋅ β ⋅ ib
(ohne Last RL)
• Spannungsverstärkung im Leerlauf (ohne Last):
41
uo
RC ⋅ β
RC
Au 0 =
≈−
=−
uin
rπ + RE ⋅ ( β + 1)
RE
Au ist negativ
Näherung für:
RE > rπ und β >>1
die Emitterschaltung invertiert
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Eingangsimpedanz
iin
Zin,B
Zin
A. Steininger
uin
42
Z in =
B ib
ib
R1
R2
uin
= R1 || R2 || Z in , B
iin
rπ
uin
uin
Z in =
C
E
βib
(β+1)i b
RE
RC
RL
uin
= R1 || R2 || (rπ + ( β + 1) ⋅ RE )
iin
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Eingangsimpedanz an der Basis
B ib
Zin,B
rπ
A. Steininger
uin
43
C
E
βib
(β+1)i b
RE
uin = ib ⋅ rπ + ib ⋅ (β + 1) ⋅ RE
RC
RL
Z in , B =
uin
= rπ + ( β + 1) ⋅ RE
ib
Von der Basis aus gesehen
wirkt der Emitterwiderstand RE (β+1)-fach höher
bleibt der Kollektorwiderstand RC bzw. RC || RL wirkungslos
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Ausgangsimpedanz
Rs
ib B
iin
ube
A. Steininger
us
44
uin
R1
R2
C
rπ
βib
E
(β+1)i b
RE
Leerlaufspannung: uoc = − β ⋅ ib ⋅ RC
Kurzschlußstrom:
isc = − β ⋅ ib
uoc
Zo =
isc
βib
RC
βib
u oc
i sc
Z o = RC
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Weitere Eigenschaften
A. Steininger
• Spannungsverstärkung mit Last
45
RL
Au = Au 0 ⋅
Z o + RL
• Stromverstärkung:
io
Z in
Ai =
= Au ⋅
iin
RL
• Leistungsverstärkung:
G = Au ⋅ Ai
• Mit CE (d.h. RE = 0) gilt:
Z o = RC
u
Z in = in = R1 || R2 || rπ
iin
RC ⋅ β
Au 0 = −
rπ
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.8
Ermittle die Eigenschaften des folgenden Verstärkers:
β=100
UBE=0,7V
+15V
R1
20kΩ
RC
5kΩ
C1
Rs
A. Steininger
500Ω
46
us
u in
R2
4kΩ
RL
RE
1kΩ
10kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.8 (Lösung/1)
• Arbeitspunkt:
– Ersatzspannungsquelle:
U B = U CC ⋅
R2
= 2,5V
R1 + R2
RB = R1 || R2 = 3k 3
– Basiskreis: U B = I E ⋅ RE + U BE + I B ⋅ RB
2,5V = (100 + 1) ⋅ I B ⋅1k + 0,7 + I B ⋅ 3k 3
A. Steininger
– Kollektorkreis: U CC = I C ⋅ RC + U CE + I E ⋅ RE
47
15V = 1,73mA ⋅ 5k + U CE + 1,73mA ⋅1k
• Differentieller Widerstand:
rπ =
I B = 17,3µA
I C = 1,73mA
I E = 1,74mA
U CE = 4,6V
β ⋅ U T 100 ⋅ 26mV
=
= 1503Ω
IC
1,73mA
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.8 (Lösung/2)
Eingangsimpedanz: Z in = R1 || R2 || rπ = 20k || 4k || 1503 = 1036Ω
Ausgangsimpedanz: Z o = RC = 5k
A. Steininger
Spannungsverstärkung:
RC ⋅ β
5k ⋅100
=−
= −333
1503
rπ
RL
10k
Au = Au 0 ⋅
= −333 ⋅
= −222
Z o + RL
5k + 10k
Au 0 = −
Stromverstärkung: Ai = Au ⋅ Z in = −222 ⋅ 1036 = −23
48
Leistungsverstärkung: G = Au ⋅ Ai = −222 ⋅ (−23) = 5106
RL
10k
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.8*
Wiederhole die Aufgaben ohne CE !
Eingangsimpedanz: Z in = 20k || 4k || (1503 + 101⋅1k ) = 3,2kΩ
Ausgangsimpedanz: Z o = RC = 5k
Spannungsverstärkung:
Auo = −
RC ⋅ β
5k ⋅100
=−
= −4,88
1503 + 1k ⋅101
rπ + RE ⋅ ( β + 1)
A. Steininger
Au = Au 0 ⋅
49
RL
10k
= −4,88 ⋅
= −3,25
Z o + RL
5k + 10k
Stromverstärkung:
Z in
3,2k
Ai = Au ⋅
= −3,25 ⋅
= −1,04
RL
10k
Leistungsverstärkung:
G = Au ⋅ Ai = −3,25 ⋅ (−1,04) = 3,38
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Emitterfolger (Kollektorschaltung)
+UCC
Quelle
R1
Last
C1
Rs
C2
A. Steininger
us
50
u in
R2
RE
io
CE
uo
Unterschiede zur Emitterschaltung: Last liegt am Emitter;
RC = 0; CE entfällt;
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Kleinsignal-Ersatzschaltung
Rs
us
ib B
iin
uin
R2
ie=(1+β)ib E
rπ
βib
R1
RE
uo
RL
C
A. Steininger
• Kondensatoren durch Kurzschlüsse ersetzen
51
RL liegt parallel zu RE
• Versorgungsspannung durch Kurzschluß ersetzen
R1 liegt parallel zu R2;
Kollektor an Masse ( “Kollektorschaltung”)
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Spannungsverstärkung
• Eingangsspannung:
uin = rπ ⋅ ib + uo = rπ ⋅ ib + RE ⋅ (1 + β ) ⋅ ib
• Ausgangsspannung:
uo = RE ⋅ (1 + β ) ⋅ ib
(ohne Last RL)
A. Steininger
• Spannungsverstärkung:
52
uo
RE ⋅ (1 + β )
Au 0 =
=
≈1
uin rπ + RE ⋅ (1 + β )
Die Spannungsverstärkung des Emitterfolgers liegt knapp unter 1.
Die Ausgangsspannung (Abgriff am Emitter) “folgt” der
Eingangsspannung (keine Inversion, etwa gleiche Amplitude)
Name “Emitterfolger”
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Eingangsimpedanz
iin
Zin
uin
R2
ib
R1
ie=(1+β)i b E
B rπ
Zin,B
βib
RE
uo
RL
C
A. Steininger
• Von der Basis aus betrachtet erscheinen RE und RL wieder um
den Faktor (β+1) vergrößert: Z ín, B = rπ + ( β + 1) ⋅ ( RE || RL )
53
• Die Eingangsimpedanz des Emitterfolgers beträgt daher:
uin
Z in =
= R1 || R2 || Z in , B = R1 || R2 || [rπ + ( β + 1) ⋅ ( RE || RL )]
iin
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Ausgangsimpedanz/1
an der Basis liegt eine Ersatzspannungsquelle mit
Quellwiderstand RS′ = ( R1 || R2 || RS )
Rs
A. Steininger
us
54
R2
R´s ib
ib
R1
ub
u´s
ub
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Ausgangsimpedanz am Emitter
rπ
R´S
ib
A. Steininger
uś
55
Leerlauf:
βib
uoc
io = ib + β ⋅ ib = 0
ib = 0
i sc
uoc = u ′s
Kurzschluß: isc = ib + β ⋅ ib
Vom Emitter aus betrachtet wirkt …
der Quellwiderstand RS′ an der Basis
ebenso wie rπ
um den Faktor (β+1) verkleinert
u ′s
ib =
RS′ + rπ
u ′s ⋅ ( β + 1)
isc =
RS′ + rπ
Z o,E
uoc RS′ + rπ
=
=
isc
β +1
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Ausgangsimpedanz/2
RE liegt parallel zum Ausgangswiderstand Zo,E am Emitter
Rs
B
rπ
io
E
βi b
uś
ZO
ZO,E
RE
uo
A. Steininger
C
56
uo
rπ + RS′
rπ + ( R1 || R2 || RS )
Zo =
= RE || Z o , E = RE ||
= RE ||
io
( β + 1)
( β + 1)
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.9
Ermittle die Eigenschaften des folgenden Verstärkers:
β = 200
UBE = 0,7V
Rs
UCC =+20V
R1
100kΩ
C1
A. Steininger
10kΩ
57
us
R2
100kΩ
RE
2kΩ
RL
1kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.9 (Lösung/1)
• Arbeitspunkt:
– Ersatzspannungsquelle:
U B = U CC ⋅
R2
= 10V
R1 + R2
RB = R1 || R2 = 50k
– Basiskreis: U B = I E ⋅ RE + U BE + I B ⋅ RB
U CC = U CE + I E ⋅ RE
I B = 20,6µA
I C = 4,12mA
I E = 4,14mA
20V = U CE + 4,14mA ⋅ 2k
U CE = 11,72V
10V = (200 + 1) ⋅ I B ⋅ 2k + 0,7 + I B ⋅ 50k
A. Steininger
– Kollektorkreis:
58
• Differentieller Widerstand:
rπ =
β ⋅U T 200 ⋅ 26mV
=
= 1260Ω
IC
4,12mA
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Beispiel 9.9 (Lösung/2)
Eingangsimpedanz:
Ausgangsimpedanz:
A. Steininger
Z in = R1 || R2 || Z iB = 100k || 100k || 135k = 36,5kΩ
Z oE =
rπ + ( R1 || R2 || RS ) 1260 + (100k || 100k || 10k )
=
= 47,7
( β + 1)
201
Z o = RE || Z oE = 47,7 || 2k = 46,6Ω
RE ⋅ ( β + 1)
2k ⋅ 201
=
= 0,997
rπ + RE ⋅ ( β + 1) 1260 + 2k ⋅ 201
RL
1k
Au ≈ Au 0
= 0,997
= 0,95
Z o + RL
46,6 + 1k
Z in
36,5k
A
=
A
⋅
=
0
,
95
⋅
= 34,7
Stromverstärkung:
i
u
RL
1k
Leistungsverstärkung: G = Au ⋅ Ai = 0,95 ⋅ 34,7 = 33
Spannungsverstärkung:
59
Z iB = rπ + (1 + β ) ⋅ ( RE || RL ) = 1260 + 201 ⋅ ( 2k || 1k ) = 135kΩ
Au 0 =
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Spannungsverstärkung bei Last
• Mit dem Spannungsverstärkermodell (Kap. 8) ergibt sich
A. Steininger
Au = Au 0
60
RL
1k
= 0,997
= 0,953
Z o + RL
46,6 + 1k
• Das Modell sieht keine Rückwirkung der Last RL auf Zin vor, die
beim Emitterfolger jedoch gegeben ist. Für eine exakte Lösung
muß Au direkt aus dem Kleinsignal-Ersatzschaltbild abgeleitet
werden (anstelle von RE wird RE || RL wirksam) und ergibt sich
zu
Au =
( RE || RL ) ⋅ ( β + 1)
(2k || 1k ) ⋅ 201
=
= 0,991
rπ + ( RE || RL ) ⋅ ( β + 1) 1260 + (2k || 1k ) ⋅ 201
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Vergleich der Grundschaltungen
• Emitterschaltung
– hohe Spannungs- und Leistungsverstärkung
– Verwendung als “Verstärkerstufe”
– Achtung: Spannung wird invertiert
A. Steininger
• Emitterfolger (Kollektorschaltung)
61
– hoher Eingangswiderstand, niedriger Ausgangswiderstand
– Verwendung als Pufferstufe (“Impedanzwandler”)
– alleine ungeeignet als Spannungsverstärker (Au ≈ 1)
9
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (1)
• Der Bipolartransistor ist aus zwei pn-Übergängen (“Dioden”)
aufgebaut, die einander gegenseitig beeinflussen.
A. Steininger
• Beim npn-Transistor liegt eine dünne p-dotierte Schicht (Basis
B) zwischen zwei n-dotierten Schichten (Emitter E und Kollektor C), beim pnp-Transistor ist die Dotierung genau umgekehrt.
62
• Der Transistor ist das grundlegende Bauelement für
Verstärkerschaltungen und Logikschaltungen.
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Zusammenfassung (2)
Kennlinien des Bipolartransistors (npn)
iB [µA]
A. Steininger
iC [mA]
63
uBE [V]
Eingangskennlinie
(Diodenkennlinie nach Shockley)
uCE [V]
Ausgangskennlinie
(Kollektorstrom ≈ konstant für UCB>0)
9
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (3)
64
Für den Bipolartransistor gibt es 3 Betriebszustände:
• Im aktiven Bereich leitet die BE-Diode und die CB-Diode
sperrt. Der Transistor arbeitet dann als Stromverstärker: Der
Basisstrom wird um den Faktor β verstärkt am Kollektor
wiedergegeben (typ.: β = 100).
• In der Sättigung beginnt die BC-Diode zu leiten und die
Stromverstärkung verringert sich. Zwischen Kollektor und
Emitter liegt dann eine Sättigungsspannung von typ. 0,2V.
• Im Cutoff-Bereich sperren beide Dioden. Es fließt kein
Basisstrom und daher auch kein Kollektorstrom.
9
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (4)
• Den Arbeitspunkt eines Transistors ermittelt man mittels
– graphischer Netzwerkanalyse (Schnittpunkt von Kennlinie
und Widerstandsgeraden) oder
– mit Hilfe vereinfachter Gleichstrommodelle, wobei es für
jeden Betriebsbereich ein eigenes Modell gibt.
A. Steininger
Ein rechnerischer Zugang (Shockley-Formel) ist zu aufwendig.
65
• Die Stromverstärkung β des Transistors unterliegt starken
Exemplarstreuungen. Für eine stabile von β weitgehend
unabhängige Einstellung des Arbeitspunktes verwendet man
einen Basis-Spannungsteiler sowie einen Emitterwiderstand.
VO ET Grundlagen der Informatik
9
Zusammenfassung (5)
• Kennt man den Arbeitspunkt und liegt dieser im aktiven Bereich
so kann mit dem Kleinsignalmodell Verstärkung, Eingangs- und
Ausgangsimpedanz der Verstärkerschaltung ermittelt werden.
A. Steininger
ib(t)
• Das Kleinsignalmodell des BipolartranB
sistors beruht auf einer linearen Näherπ
rung (Tangente) der Eingangskennlinie. u be(t)
66
rπ =
ic(t)
C
βib(t)
du BE U T β ⋅ U T
=
=
diB
IB
IC
E
• Es gilt nur für geringe Aussteuerung und einen beschränkten,
mittleren Frequenzbereich.
9
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (6)
67
• Verstärker mit Bipolartransistoren bewirken Signalverzerrungen
aufgrund der Nichtlinearität der BE-Diodenkennlinie. Bei
starker Aussteuerung oder schlecht gewähltem Arbeitspunkt
kommt es außerdem zu Sättigung und Cutoff (“Clipping”).
• Wichtige Verstärker-Grundschaltungen sind Kollektorschaltung und Emitterschaltung:
– Die Emitterschaltung invertiert und erzielt hohe Spannungsverstärkung
– die Kollektorschaltung ist nicht-invertierend mit einer Verstärkung knapp unter 1 und eignet sich als Impedanzwandler.
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Feldeffekt-Transistoren
(FETs)
1
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Feldeffekt-Transistoren (FETs)
• Physikalisches und elektrisches Funktionsprinzip von
Junction-FET und MOS-FET
• Kennlinien & graphische Analyse einfacher FET-Schaltungen
• Schaltungen zur Arbeitspunkteinstellung
• Schaltungsanalyse mit Kleinsignal-Ersatzschaltbild des FET
A. Steininger
• Analyse von Verstärker-Grundschaltungen mit FET
2
• Aufbau von Logikschaltungen mit FETs
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
n-Kanal Sperrschicht-FET: Aufbau
3
• Leitender Kanal aus ndotiertem Halbleiter.
Kanal
• An beiden Enden des Kanals
Anschlüsse (Drain, Source)
• Entlang des Kanals
p-dotierter Halbleiter
mit Gate-Anschluß
• Sperrspannung am pnÜbergang bewirkt nichtleitende Raumladungszone,
die den Kanal einschnürt.
Sperrschicht-FET = Junction-FET = JFET
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Steuerung der Kanalbreite durch UGS
Verarmungszone
A. Steininger
0 > uGS > UP
4
breiter Kanal mit
geringem Widerstand
schmaler Kanal mit
hohem Widerstand
uGS < UP
Kanal abgeschnürt
=> “Pinch-off”
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Kanalverengung für UDS > 0
Kanal
Verarmungszone
uDS > |UP|
A. Steininger
0 < uDS < |UP|
5
uGD = uGS - uDS, daher ist Kanal am drainseitigen Ende enger.
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Ausgangskennlinie (iD / uDS)
A. Steininger
• Ohmscher Bereich:
6
– Für kleine uDS ist der Kanal
homogen und verhält sich
wie ein Widerstand.
– Bei höherer uDS macht sich
Wachsen der Sperrschicht
mit uDS bemerkbar =>
Verflachung der Kennlinie
pinch-off wird erreicht
uGS =0
|UP|
uDS
• Stromquellenbereich:
Für uDS > |UP| wird der Kanal am Drain abgeschnürt. Ein starkes EFeld saugt aber Elektronen ab => iD konstant (unabh. von uDS)
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Ausgangskennlinienfeld
für uGS < 0:
Ohmscher Bereich
Stromquellenbereich
uGS=0
• im Ohmschen
Bereich höherer
Kanalwiderstand
A. Steininger
• pinch-off bereits
bei kleinerer uDS
7
• kleinerer iD im
Stromquellenbereich
cutoff uGS < UP
uDS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Betriebsbereiche des FET
• Cutoff
uGS ist kleiner als UP , der Kanal ist abgeschnürt (iD = 0).
Der FET “sperrt”.
• Ohmscher Bereich (Widerstandsbereich)
A. Steininger
iD ist (näherungsweise) proportional zu UDS.
Der FET verhält sich wie ein steuerbarer Widerstand.
8
• Stromquellenbereich (aktiver Bereich)
iD ist konstant, d.h. unabhängig von UDS.
Der FET verhält sich wie eine steuerbare Stromquelle.
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Gleichungen im Stromquellenbereich
• Bedingungen:
uGS > U P und uGD = uGS − u DS < U P
• Drainstrom:
iD wächst quadratisch mit uGS
A. Steininger
I DSS
iD = 2 ⋅ (uGS − U P ) 2
UP
9
• Sättigungsstrom:
IDSS ist jener Strom, der
im Stromquellenbereich
bei UGS = 0 fließt
“Steuerkennlinie”
IDSS
UP
uGS
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Gleichungen im Ohmschen Bereich
• Bedingungen:
uGS > U P und uGD = uGS − u DS > U P
• Drainstrom:
Für konstantes uGS folgt iD(uDS) einer Parabel, deren Scheitel
beim Übergang zum Stromquellenbereich (Pinch-off) liegt.
[
A. Steininger
I DSS
2
iD = 2 ⋅ 2 ⋅ (uGS − U P ) ⋅ u DS − u DS
UP
10
• Grenze zum Stromquellenbereich bei:
uGD = uGS − u DS = U P
uGS = U P + u DS
]
I DSS 2
iD = 2 ⋅ u DS
UP
VO ET Grundlagen der Informatik
10
A. Steininger
Durchbruch (Breakdown)
11
Wird im Stromquellenbereich
die Feldstärke an der Sperrschicht zu groß, kommt es zum
Durchbruch: Der Strom steigt
schlagartig an (vgl. Zenerdiode).
Da die Abschnürung am Drain
beginnt, ist die maßgebliche
Spannung UGD = UGS - UDS .
Der Durchbruch ist beim FET
ein unerwünschter Effekt.
iD
uGS = 0
uGS = -1
uGS = -2
UB
uDS
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.1 + Übung 10.1
Für einen n-Kanal JFET ist gegeben: IDSS = 18mA; UP = -3V .
Zeichne das Ausgangskennlinienfeld für uGS = 0, -1, -2, -3V
und stelle ID als Funktion von UGS im Stromquellenbereich dar
Stromquellenbereich:
iD =
I DSS
2
2
2
⋅
(
u
−
U
)
=
2
[
mA
/
V
]
⋅
(
u
+
3
)
= 18; 8; 2; 0mA
GS
P
GS
2
UP
A. Steininger
Grenze zwischen Ohmschem Bereich und Stromquellenbereich:
12
iD =
I DSS 2
2
2
⋅
u
=
2
[
mA
/
V
]
⋅
u
DS
DS
U P2
Ohmscher Bereich: Parabel durch (0,0) mit Scheitel an der Grenze
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.1 (Lösung)
uGS = 0
Grenze zwischen Widerstandsund Stromquellenbereich
A. Steininger
uGS = -1
13
uGS [V]
uGS = -2
uGS = UP = -3
uDS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
MOSFET-Transistoren
MOSFET = Metall-Oxid-Silizium-FET
A. Steininger
(auch: IGFET = Insulated Gate-FET)
– Verarmungstyp: depletion MOSFET
(gleiches Verhalten wie JFET; “selbstleitend”)
14
– Anreicherungstyp: enhancement MOSFET
(ähnl. Verhalten wie JFET, aber “selbstsperrend”)
Für alle FETs (auch JFET) gilt: IG = 0, IS = ID
VO ET Grundlagen der Informatik
10
n-Kanal Depletion MOSFET
Metallkontakt
Si-Oxid
Metallkontakt
schmaler n-Kanal
A. Steininger
Substrat (p-Silizium)
15
(Bulk)
Bei UGS < 0 verdrängt
E-Feld des Gate Elektronen und behindert
den Strom im Kanal
(vgl. Sperrschicht) =>
Funktion wie JFET
VO ET Grundlagen der Informatik
10
n-Kanal Enhancement MOSFET
Metallkontakt
Si-Oxid
kein durchgehender n-Kanal !
A. Steininger
Substrat (p-Silizium)
16
(Bulk)
Bei UGS = 0 kein Stromfluß (kein n-Kanal).
=> “selbstsperrend”.
Für UGS > Uth > 0 zieht
E-Feld des Gate Elektronen an => Stromfluß
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Vergleich der n-Kanal FETs
A. Steininger
Sperrschicht-FET Depletion-MOSFET
(JFET)
UP
nur UGS < 0
selbstleitend
uGS
uGS
UP
auch UGS > 0 sinnvoll
selbstleitend
Enhancement-MOSFET
Uth
uGS
nur UGS > 0 sinnvoll
selbstsperrend
17
Alle JFET-Formeln gelten; ggf. UP (< 0) durch Uth (> 0) ersetzen
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.2
Von einem n-Kanal Enhancement-MOSFET ist gegeben:
U th = 3V
I DSS
2
=
0
,
5
mA
/
V
U th2
Zeichne das Ausgangskennlinienfeld für uGS = 3, 4, 5, 6V
und stelle ID als Funktion von UGS im Stromquellenbereich dar
Stromquellenbereich:
A. Steininger
iD =
18
I DSS
2
2
2
⋅
(
u
−
U
)
=
0
,
5
[
mA
/
V
]
⋅
(
u
−
3
)
= 0; 0,5; 2; 4,5mA
GS
th
GS
2
U th
Grenze zwischen Ohmschem Bereich und Stromquellenbereich:
iD =
I DSS 2
2
2
⋅
u
=
0
,
5
[
mA
/
V
]
⋅
u
DS
DS
U th2
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.2 (Lösung)
uGS = 6V
Grenze zwischen Widerstandsund Stromquellenbereich
A. Steininger
uGS = 5V
19
uGS = 4V
uGS [V]
uGS = Uth = 3V
uDS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
p-Kanal-FETs
• Dotierungen umgekehrt (n-Gate bzw. -Substrat, p-Kanal)
• Verhalten völlig gleichartig, jedoch haben Spannungen und
Ströme bei gleicher Bezugsrichtung umgekehrtes Vorzeichen:
n-Kanal
A. Steininger
uGS
20
p-Kanal
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Schaltsymbole, Übersicht
JFET
D
A. Steininger
n-Kanal
21
p-Kanal
enhancement
MOSFET
depletion
MOSFET
D
G
G
D
B
G
B
S
S
S
D
D
D
G
G
S
B
S
G
B
S
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Gleichungen für den p-Kanal-FET
• Cutoff: uGS > U P
iD = 0
• Ohmscher Bereich:
uGS < U P
uGD = uGS − u DS < U P
[
iD =
I DSS
2
⋅
2
⋅
(
u
−
U
)
⋅
u
−
u
GS
P
DS
DS
U P2
iD =
I DSS
2
⋅
(
u
−
U
)
GS
P
U P2
A. Steininger
• Stromquellenbereich:
22
uGS < U P
uGD = uGS − u DS > U P
• Grenze Ohmscher / Stromquellenbereich bei
uGS = U P + u DS
iD =
I DSS 2
⋅ u DS
2
UP
]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Übung 10.6
A. Steininger
Ein p-Kanal Enhancement MOSFET hat Uth = -4V
In welchem Betriebsbereich befindet er sich bei:
(a) uGS = -5V; uDS = -5V
(b) uGS = -3V; uDS = -5V
(c) uGS = -7V; uDS = -6V
23
I) uGS > Uth ?
II) uGS - uDS > Uth ?
Cutoff bei (b)
Stromquellenbereich bei (a) und (c)
VO ET Grundlagen der Informatik
10
JFET-Verstärkergrundschaltung
uin = sin(2000π .t) V
UGG = 1V
UDD = 20V
RD = 1kΩ
RD
iD
A. Steininger
uGS = uin − U GG = sin(2000πt ) − 1
uGS [V]
UGSmax = 0
UDD
uDS
uin
Eingangskreis:
UGS 0 = -1
uGS
UGSmin = -2
24
UGG
VO ET Grundlagen der Informatik
10
JFET-Verstärker: Graph. Analyse
Ausgangskreis:
uGS = 0V
U DD = RD ⋅ iD + u DS
20 = 1k ⋅ iD + u DS
A. Steininger
Arbeitspunkt
25
uDS [V]
uDSmin = 4V
uDS 0 = 11V
uDSmax = 16V
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Ausgangssignal des Verstärkers
uDS [V]
A. Steininger
UDSmax = 16
26
UDSmin = 4
• Spannungshub 12V
(aus 2V am Eingang)
=> 6-fache Verstärkung
• Signal ist invertiert
• Signal ist asymmetrisch
verzerrt (Nichtlinearität
d. FET-Steuerkennlinie)
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Vergleich Bipolartransistor / FET
Bipolartransistor
• Eingangsstrom ≠ 0
A. Steininger
mittlere Stromverstärkung
exponentielle Abhängigkeit
v. UBE führt zu Verzerrungen
27
• exponentielle Steuerkennlinie IC(UBE)
hohe Spannungsverstärkung
geringe Verzerrungen
Feldeffekt-Transistor
• Eingangsstrom = 0
extrem hohe Stromverstärkung
• quadratische Steuerkennlinie ID(UGS)
mäßige Spannungsverstärkung
höhere Verzerrungen
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Vergleich der Steuerkennlinien
Feldeffekt-Transistor
A. Steininger
Bipolartransistor
28
uBE [V]
uGS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Auswirkung von Exemplarstreuung
großer IDSS
ID0
A. Steininger
kleiner IDSS
29
ID0
UGS0
uGS [V]
• Die tatsächlichen Werte von
IDSS können für FETs
gleichen Typs bis zu einem
Verhältnis von 1:5 variieren.
• Ebenso unterliegt UP starken
Exemplarstreuungen.
Schaltung mit fixer UGS0
ist unbrauchbar.
VO ET Grundlagen der Informatik
10
“FET-Stromquelle”
iD
+UDD
großer IDSS
RD
uDS
A. Steininger
u GS
30
RG
RS
uGS = − RS ⋅ iD
kleiner IDSS
RSi D
UGS0
UGS0
uGS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.3
Mit einem n-Kanal-FET (IDSS = 4mA, UP = -2V) ist eine Stromquelle für 2mA zu entwerfen. Gegeben sind außerdem: RD = 2k2
und UDD = 20V.
Stromquellenbereich:
ID =
A. Steininger
U GD = −(U DD − RD ⋅ I D ) = −15,6V
RG beliebig
2=
U GS ,1 = −2 − 2
check: UGD < UP ?
31
I DSS
2
(
U
−
U
)
GS
P
U P2
RS =
cutoff für UGS < UP !
4
(U GS + 2) 2
4
U GS , 2 = −2 + 2
= −0,586V
− U GS 586mV
=
= 293Ω ≈ 270Ω (Standardwert)
ID
2mA
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.4
Überprüfe den Arbeitspunkt von 10.3 mit den ermittelten Werten:
RD = 2k2, UDD = 20V, RS = 270, IDSS = 4mA, UP = -2V .
U GS = − RS ⋅ I D
A. Steininger
ID =
32
I DSS
2
−
(
U
U
)
GS
P
U P2
I D = 2,07mA
U GS = − RS ⋅
I DSS
2
(
U
−
U
)
GS
P
U P2
2
U GS
+ 7,7U GS + 4 = 0
U GS ,1 = −0,56
U GS , 2 = −7,14
cutoff für UGS < UP !
uGD = −( 20V − 2k 2 ⋅ 2,07mA) = −15,44V < U P
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Zur “zweiten” Lösung für UGS
ungültige Lösung
U GS = − RS ⋅ I D
A. Steininger
tatsächlicher
Arbeitspunkt
33
ID =
I DSS
(U GS − U P ) 2
2
UP
uGS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Wie ändert sich iD mit uGS ?
A. Steininger
• Im Stromquellenbereich
wird dieser Zusammenhang
durch die Steuerkennlinie
beschrieben
34
• Für kleine Aussteuerung ist
wieder eine
Linearisierung
(Tangente im Arbeitspunkt)
zulässig.
uGS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Kleinsignal-Ersatzschaltbild des FET
Kennlinie (Stromquellenbereich):
iD =
I DSS
2
(
u
−
U
)
GS
P
U P2
A. Steininger
Differentielle Betrachtung für Kleinsignalaussteuerung:
Tangente im Arbeitspunkt ergibt “Transfersteilheit” gm :
35
diD
duGS
= 2⋅
AP
I DSS
U P2
(uGS − U P )
= 2⋅
AP
I DSS
U P2
⋅ I D = gm
Kleinsignalersatzschaltbild: id = g m ⋅ u gs
ig = 0
G
u gs
S
id D
gmu gs
S
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Erweitertes Ersatzschaltbild
Auch im Stromquellenbereich hat uDS noch einen
(geringen) Einfluß auf iD .
Modellierung dieses Sachverhaltes mittels
id
u gs
gmu gs
A. Steininger
Drainwiderstand rd :
36
1
diD
=
rd du DS
id = g m ⋅ u gs +
AP
ig = 0
uds
rd
rd
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.5
Ermittle
gm und rd :
gm =
∆i D
∆uGS
AP
6mA
=
= 6mS
1V
A. Steininger
1
∆i
= D
rd ∆u DS
37
AP
1 (8 − 6,2)mA
=
rd
14V
rd ≈ 7k 7
uGS = 0
Arbeitspunkt
uGS = -1
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Die Sourceschaltung
UDD
RD
Last
C2
io
Quelle
iin
A. Steininger
R
38
uS
C1
uo
u in
RG
RS
CS
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Struktur der Sourceschaltung
• Arbeitspunkteinstellung:
– Stromquellenschaltung mit RS, RG, (RD)
A. Steininger
• Einkopplung des Nutzsignales:
39
– Koppelkondensatoren C1 und C2 lassen Wechselspannung
unverändert durch, sperren aber für Gleichspannung. Quelle
und Last beeinflussen den Arbeitspunkt daher nicht.
– Last ist drainseitig angschlossen.
• Bypass-Kondensator:
– Mittels CS kann man RS für Wechselspannung kurzschließen.
Man erhält so höhere aber weniger definierte Verstärkung.
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Kleinsignal-Ersatzschaltung
R
iin
G
D
io
RD
uo
g mugs
uS
uin
RG
ugs
S
A. Steininger
RS
40
• Kondensatoren durch Kurzschlüsse ersetzen
CS kann RS kurzschließen
• Versorgungsspannung durch Kurzschluß ersetzen
RD liegt parallel zu RL
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Spannungsverstärkung
• Eingangsspannung:
uin = u gs + RS ⋅ g m ⋅ u gs
• Ausgangsspannung:
(ohne Last)
uo = − RD ⋅ g m ⋅ u gs
A. Steininger
• Leerlauf-Spannungsverstärkung (ohne Last):
41
RD ⋅ g m ⋅ u gs
uo
RD
RD
=−
=−
Au 0 =
≈−
1 +R
uin
(1 + RS ⋅ g m ) ⋅ u gs
RS
S
gm
Au ist negativ
die Sourceschaltung invertiert
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Eingangs- und Ausgangsimpedanz
uin
Z in =
= RG
iin
• Eingangsimpedanz:
• Ausgangsimpedanz:
G
A. Steininger
R
42
Z
u S in uin
iin
RG
uoc = − RD ⋅ g m ⋅ u gs
uoc
Zo =
= RD
isc
isc = − g m ⋅ u gs
D
g mugs
ugs
S
RS
isc
RD
u oc
Zo
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.6
Ermittle Spannungsverstärkung, Eingangs- & Ausgangswiderstand
rd = ∞
I D 0 = 2mA
+15V
U P = −2V
RD
2,7kΩ
io
I DSS = 8mA
R
iin
C1
A. Steininger
100kΩ
43
u(t)
0,1sin(2000πt)
uo
uin
RG =
1MΩ
RS
CS
RL
10kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.6 (Lösung)
• Steilheit:
I DSS
8 ⋅10 −3
−3
gm = 2 ⋅
I
⋅
2
⋅
10
= 4mS
⋅
=
2
⋅
D
2
4
UP
• Eingangswiderstand: Rin = RG = 1M
• Ausgangswiderstand: Ro = RD = 2k 7
A. Steininger
• Spannungsverstärkung:
44
Au 0 = − RD ⋅ g m = −2k 7 ⋅ 4mS = −10,8
Au = Au 0 ⋅
• Ausgangsspannung:
uo = u ⋅
RL
10k
= −10,8 ⋅
= −8,5
Z o + RL
2k 7 + 10k
Rin
⋅ Au = 0,1V ⋅ sin( 2000π ⋅ t ) ⋅ 0,909 ⋅ ( −8.5) = −0,773V ⋅ sin( 2000π ⋅ t )
R + Rin
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.6 *
Wiederhole Beispiel 10.6, aber ohne CS.
A. Steininger
Ermittlung von RS :
45
I DSS
2
⋅
(
u
−
U
)
GS
P
2
UP
8mA
2
(
)
2mA =
⋅
−
2
mA
⋅
R
+
2
V
S
(−2V ) 2
iD =
Spannungsverstärkung: Au 0 = −
RD
=−
2k 7
RS = 500Ω
= −3,6
+ Rs
+ 500Ω
gm
4mS
RL
10k
Au = Au 0 ⋅
= −3,6 ⋅
= −2,8
Z o + RL
2k 7 + 10k
1
1
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Sourcefolger (Drainschaltung)
Quelle
R
A. Steininger
uS
46
Last
iin
uin
+U DD
C1
io
C2
RG
Unterschiede zur Sourceschaltung:
RS
uo
RL
Last liegt am Source;
RD = 0; CS entfällt;
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Kleinsignal-Ersatzschaltung
R
uS
G
iin
uin
RG
S
ugs
S
g mugs
A. Steininger
D
47
RS
D
• Kondensatoren durch Kurzschlüsse ersetzen
RS liegt parallel zu RL
• Versorgungsspannung durch Kurzschluß ersetzen
Drain an Masse ( “Drainschaltung”)
io
R
uo L
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Sourcefolger: Eigenschaften (1)
• Spannungsverstärkung (ohne Last):
uin = u gs + uo
uo = RS ⋅ g m ⋅ u gs
uo
RS ⋅ g m
RS
=
≈1
=
Au 0 =
1 +R
uin 1 + RS ⋅ g m
S
gm
A. Steininger
Die Spannungsverstärkung des Sourcefolgers liegt knapp unter 1.
48
Die Ausgangsspannung (Abgriff am Source) “folgt” der
Eingangsspannung
Name “Sourcefolger”
• Eingangsimpedanz:
uin
Z in =
= RG
iin
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Sourcefolger: Eigenschaften (2)
R
uS
G
iin
uin
RG
S
ugs
S
g mugs
RS
D
A. Steininger
Leerlauf: u gs = uin − uoc
49
uoc = RS ⋅ g m ⋅ u gs
uoc isc
D
RS ⋅ g m ⋅ uin
uoc =
1 + RS ⋅ g m
Kurzschluß: u gs = uin
isc = g m ⋅ u gs = g m ⋅ uin
Zo =
uoc
RS
1
=
= RS ||
isc 1 + RS ⋅ g m
gm
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Beispiel 10.7
Ermittle die Eigenschaften folgender Sourcefolgerschaltung:
RG = 10M R = 100k RS = 1k RL = 2k 2 U P = −2V I DSS = 16mA
A. Steininger
Steilheit:
50
gm = 2 ⋅
I DSS
⋅ I D = 16mS
2
UP
1
Eingangswiderstand:
Z in = RG = 10 MΩ
Ausgangswiderstand:
Z o = RS || 1
Spannungsverstärkung:
Au 0 =
RS
gm
gm
= 62,5Ω
= 1k || 62,5 = 59Ω
=
1k
= 0,94
62,5 + 1k
+ RS
gm
RL
2k 2
Au = Au 0 ⋅
= 0,94 ⋅
= 0,92
Z o + RL
59 + 2k 2
1
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Aufbau eines Registers
A. Steininger
Bit #
51
7
6
5
4
3
2
1
0
FF
FF
FF
FF
FF
FF
FF
FF
8-Bit Register
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Aufbau eines Flip-Flop
A. Steininger
Beispiel: RS-Flip-Flop
52
10
VO ET Grundlagen der Informatik
Technologie eines CMOS-Inverters
CMOS = “Complementary MOS”
A. Steininger
(n- und p-Kanal MOSFETs kombiniert)
53
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Aufbau eines CMOS-NAND
54
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Aufbau eines CMOS-NOR
55
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
56
• Der n-Kanal-Sperrschicht-FET (JFET) besteht aus einem nKanal (Anschlüsse D und S) und einem p-Gate. Die
Sperrspannung zwischen Gate und Kanal steuert die Breite der
Raumladungszone und damit die verfügbare Kanalbreite.
• Bei der Pinch-off-Spannung UP ist der Kanal ganz abgeschnürt.
• MOSFETs verhalten sich gleichartig wie JFETs. Beim
MOSFET ist das Gate allerdings isoliert und die Kanalbreite
wird über ein elektrisches Feld gesteuert.
• Beim selbstleitenden MOSFET (depletion type) kann für UGS =
0 ein Drainstrom fließen, beim selbstsperrenden MOSFET
(enhancement type) fließt für UGS = 0 kein Drainstrom.
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Zusammenfassung (2)
Ausgangskennlinie
Stromquellenbereich
(n-Kanal JFET bzw.
depletion MOSFET)
A. Steininger
Widerstandsbereich
Steuerkennlinie
57
uGS [V]
uDS [V]
VO ET Grundlagen der Informatik
10
Zusammenfassung (3)
• Die Betriebszustände des FET heißen
– Ohmscher Bereich (uGS und uGD > UP , Kanal offen),
– Stromquellenbereich (uGS > UP > uGD , Kanal drainseitig abgeschnürt)
– Cutoff (uGS < UP , Kanal komplett abgeschnürt).
A. Steininger
• Im meist verwendeten Stromquellenbereich ist der Drainstrom
unabhängig von UDS u. proportional dem Quadrat von UGS – UP ,
FETs haben daher eine quadratische Steuerkennlinie (Parabel).
58
• Im Ohmschen Bereich folgt die Ausgangskennlinie einer Parabel
mit Scheitel beim Übergang zum Stromquellenbereich. UGS gibt
die Steilheit der Parabel (= den Widerstand des Kanals) vor.
10
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (4)
• Der Arbeitspunkt eines FET kann mittels graphischer Analyse
oder rechnerisch (quadratische Gleichung) ermittelt werden.
A. Steininger
• Die Stromgegenkopplung in der Stromquellenschaltung ist in
der Lage, die Auswirkung der starken Exemplarstreuungen auf
den Arbeitspunkt zu vermindern.
59
• FET-Verstärker neigen zu höheren Verzerrungen als Verstärker
mit Bipolartransistoren und haben aufgrund der kleineren
Steilheit der Steuerkennlinie (quadratisch statt exponentiell)
auch geringere Verstärkung. Der entscheidende Vorteil von
FETs ist jedoch der verschwindend kleine Gatestrom.
10
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (5)
60
• Kleinsignalersatzschaltbild des FET im Stromquellenbereich:
– Eine von uGS gesteuerte Stromquelle beschreibt die Grundfunktion. Der Übersetzungsparameter gm wird auch Steilheit
genannt und ergibt sich aus dem Anstieg der Tangente an die
Steuerkennlinie im Arbeitspunkt.
id
– Die Rückwirkung von uDS auf
iD kann bei Bedarf durch einen
Widerstand rd zwischen Drain
gmu gs
rd
und Source beschrieben werden. u gs
10
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (6)
A. Steininger
• Wichtige Verstärker-Grundschaltungen sind Source-Schaltung
und Source-Folger:
– Die invertierende Source-Schaltung erzielt mäßige
Spannungsverstärkung,
– der Source-Folger (Drainschaltung) ist ein exzellenter
Impedanzwandler mit Verstärkung nahe 1.
61
• MOSFETs sind die Grundelemente der CMOS-Technik. Aus
ihnen werden in hierarchischer Folge zunächst Gatter, dann FlipFlops, dann Register und schließlich VLSI-Chips aufgebaut.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
A. Steininger
Operationsverstärker
1
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Operationsverstärker (OPV)
• Eigenschaften und Funktion des idealen Operationsverstärkers
• Wirkung von negativer und positiver Rückkopplung
• Schaltungsanalyse mit dem Modell des idealen OPV
• Typische Verstärkerschaltungen mit OPV
A. Steininger
• Grenzen und Fehlereffekte beim realen Operationsverstärker
2
• Differenzverstärker, Instrumentationsverstärker
• Aufbau & Funktion von Integrator- und Differentiatorschaltung
• Aktive Filter mit Operationsverstärker
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Grundfunktion des OPV
Der OPV ist ein
Differenzverstärker :
Die Spannungsversorgung
ist (fast) immer symmetrisch
(z.B.: ±15V)
+
u1
u2
+
A. Steininger
3
UCC
uo
uo = AOL ⋅ (u1 − u2 )
UEE
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Der ideale OPV
u id
u1
u2
• Eingangswiderstand = ∞
A OLuid
uo
• Ausgangswiderstand = 0
• Differenzverstärkung = ∞
A. Steininger
• Gleichtaktverstärkung = 0
4
Idealer Spannungsverstärker mit unendlich hoher CMRR
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Prinzip der negativen Rückkopplung
uid
R2
uin
A. Steininger
u1
5
+
uo
R1
R1
uid = uin − u1 = uin − uo ⋅
R1 + R2
uid > 0
Wäre u1 < uin
OPV erhöht Ausgangsspannung uo , damit steigt auch u1
uid < 0
Wäre u1 > uin
OPV vermindert Ausgangsspannung uo , damit sinkt auch u1
OPV regelt auf uid = 0
Was passiert bei vertauschten Eingängen ?
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Positive Rückkopplung
uid
R2
uin
A. Steininger
u1
6
+
uo
R1
R1
− uid = uin − u1 = uin − uo ⋅
R1 + R2
uid < 0
Ist u1 < uin
OPV vermindert Ausgangsspannung uo , damit sinkt u1 weiter
uid > 0
Ist u1 > uin
OPV erhöht Ausgangsspannung uo , damit steigt u1 weiter
Es gibt nur 2 mögliche Zustände des OPV: positive
oder negative SÄTTIGUNG
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Physikalischer Vergleich
Stabiles System
Die Gravitation zieht die Kugel
bei der kleinsten Auslenkung
„zufällig“ in eine Extremlage.
A. Steininger
Die Gravitation bringt die
Kugel immer wieder in die
Ruhelage zurück, d.h. wirkt
jeder Auslenkung entgegen.
Labiles System
7
OPV bei negativer Rückkopplung
OPV bei positiver Rückkopplung
11
VO ET Grundlagen der Informatik
OPV-Schaltungen: Funktionsanalyse
• Überprüfen, ob negative Rückkopplung vorliegt
(bei positiver Rückkopplung gilt Regel 2 nicht)
A. Steininger
• Regel 1: In die Eingänge des OPV fließt kein Strom
8
• Regel 2: Bei negativer Rückkopplung regelt der OPV
seine Ausgangsspannung so, daß die Eingangsdifferenzspannung uid = 0 wird
an beiden Eingängen liegt die gleiche Spannung
• Anwendung der üblichen Netzwerk-Analysemethoden
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Der invertierende Verstärker
R2
Quelle
iin
A. Steininger
uin
9
R1
uo
R2
=−
Au =
uin
R1
io
+
ux
Last
uo
RL
uin
Z in =
= R1
iin
uo
Zo =
≈0
io
VO ET Grundlagen der Informatik
11
OPV-Schaltungsanalyse
negative Rückkopplung ?
i2 = i1
kein OPV-Eingangsstrom
keine Differenzspannung
i2
A. Steininger
R1
10
uin
uin
i1=
R1
“virtueller Nullpunkt” am
invertierenden Eingang
R2
i1 =
0
0V
+
uo
RL
uin
R1
uo = − R2 ⋅ i2
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Schaltungseigenschaften
uo = − R2 ⋅ i2
i2 = i1
Spannungsverstärkung:
A. Steininger
Eingangsimpedanz:
Ausgangsimpedanz:
uin
i1 =
R1
uo = − R2 ⋅ i2 = − R2 ⋅ i1 = − R2 ⋅
uin
iin = i1 =
R1
uo = −uin ⋅
R2
R1
11
unabhängig von io !
uin
R1
uo
R2
=−
Au =
uin
R1
Z in =
uin
= R1
iin
Zo = 0
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Übung 11.1: Summierverstärker
Ermittle die Eigenschaften der folgenden Verstärkerschaltung:
RA
Rf
RB
+
A. Steininger
uA
12
uB
uo
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Übung 11.1 (Lösung)
negative Rückkopplung ?
kein OPV-Eingangsstrom
keine Differenzspannung
A. Steininger
iRA =
13
uA
RA
uo = − R f ⋅ iRf
iRB =
iRf = iRA + iRB
“virtueller Nullpunkt” am
invertierenden Eingang
uB
RB
Rf
Rf

= − u A ⋅
+ uB ⋅
RA
RB

uA und uB werden gewichtet
und summiert => Name



Signalquellen beeinflussen
sich gegenseitig nicht
Z in, A =
uA
= RA
iRA
Z in, B =
uB
= RB
iRB
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Übung 11.3
Ermittle die Verstärkung der folgenden Schaltung:
R2
R1
u1
10kΩ
20kΩ
+
R3
R5
10kΩ
20kΩ
R4
A. Steininger
+
14
u2
10kΩ
uo
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Der nicht-invertierende Verstärker
Quelle
A. Steininger
uin
iin
uid
io
+
R2
u1
uo
R2
Au =
= 1+
uin
R1
Last
uo
R1
15
= idealer Spannungsverstärker
RL
uin
Z in =
≈∞
iin
uo
Zo =
≈0
io
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Schaltungsanalyse
Z in = ∞
negative Rückkopplung ?
kein OPV-Eingangsstrom
ii = 0
keine Differenzspannung
u1 = uin
ii
A. Steininger
uin
16
uid
+
R2
u1
iR1 = iR 2
uin
iR1 =
R1
R1
uo
RL uo = u R1 + u R 2 = uin + R2 ⋅ iR 2
R2
uin
= uin + R2 ⋅
= uin ⋅ (1 + )
R1
R1
VO ET Grundlagen der Informatik
11
“Spannungsfolger”
Nicht-invertierender Verstärker mit R2 = 0 => Verstärkung 1:
+
A. Steininger
uin
17
RL
uo
uo = uin
Anwendung als “Spannungspuffer”: hohe Eingangsimpedanz
niedrige Ausgangsimpedanz
VO ET Grundlagen der Informatik
11
“Transconductance-Amplifier”
negative Rückkopplung ?
+
io
uin
A. Steininger
RL
18
RF
kein OPV-Eingangsstrom
iRF = iRL = io
keine Differenzspannung
u RF = uin
Eingangsspannung uin steuert Laststrom io:
u
io = iRL = iRF = in
RF
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Nichtideale Eigenschaften des OPV
• Nichtidealitäten im linearen Bereich
– Eingangsimpedanz, Ausgangsimpedanz
– Begrenzung von Verstärkung und Bandbreite
• Nichtlineare Effekte
A. Steininger
– Grenzen des Aussteuerbereiches und des Ausgangsstromes
– Slew-Rate (Signalsteilheit) / Full-Power Bandwidth
19
• Offsetströme und -spannung
– Biasstrom, Offsetstrom, Offsetspannung
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Eingangs- und Ausgangsimpedanz
• Eingangsimpedanz:
– idealer OPV:
– realer OPV:
unendlicher Eingangswiderstand
mit Bipolar-Eingang ca. 1MΩ,
mit FET-Eingang ca. 1012 Ω
A. Steininger
• Ausgangsimpedanz:
20
– idealer OPV:
– realer OPV:
Ausgangswiderstand null
typisch 1 … 100Ω
low-power (Batterieanwendung) einige kΩ
Die Wirkung der Ausgangsimpedanz wird durch die
Rückkopplung drastisch vermindert (OPV als “Regler”)
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Verstärkung und Bandbreite
• idealer OPV: Verstärkung und Bandbreite unendlich hoch
• realer OPV: frequenzabh. Verstärkung mit Grenzfrequenz fgOL:
A. Steininger
AOL ( f ) =
21
A0OL
1 + j ⋅ f f gOL
Au[dB]
“Geradeausverstärkung”
A0OL typ. 104 … 106 = 80...120dB
Frequenzkompensation:
Zur Unterdrückung von
Schwingneigung wird
der OPV intern meist
willkürlich als Tiefpaß
1.Ordnung ausgelegt.
-20dB/Dekade
“Transitfrequenz”
ft = A0OL * fgOL
fgOL
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Folgen der begrenzten Verstärkung
• Die Eingangsdifferenzspannung ist nicht mehr 0
uo
uid =
Au
uo = Au ⋅ uid
• Die rückgekoppelte Verstärkung ACL wird nicht mehr allein
durch die externe Beschaltung bestimmt:
A. Steininger
β=
22
R1
R1 + R2
uin = uid + β ⋅ uo
u id
+
uo = AOL ⋅ uid = AOL ⋅ (uin − β ⋅ uo )
uo
1
=
ACL =
uin β + 1
<
AOL
1
β
R2
u in
βuo
R1
uo
11
VO ET Grundlagen der Informatik
Verstärkungs-Bandbreite-Produkt
A. Steininger
Es läßt sich zeigen, daß die rückgekoppelte Verstärkung ACL
ebenfalls eine Grenzfrequenz fgCL aufweist, allerdings ist diese
größer als fgOL :
f gCL = f gOL ⋅ (1 + β ⋅ A0OL )
23
Das Produkt aus Bandbreite und Verstärkung
1
ACL ⋅ f gCL =
⋅ f gOL ⋅ (1 + β ⋅ A0OL ) = A0OL ⋅ f gOL = f t
β + 1A
0 OL
ist unabhängig von der gewählten rückgekoppelten Verstärkung.
Je geringer die rückgekoppelte Verstärkung,
desto höher die Bandbreite
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.5
Mit einem OPV (A0OL = 105, fgOL = 40Hz) wird ein nichtinvertierender Verstärker mit (Gleichspannungs-)Verstärkung
10 aufgebaut. Welche Bandbreite hat der Verstärker ?
Welche Bandbreite ergibt sich bei Verstärkung 100 ?
A. Steininger
f t = f gOL ⋅ A0OL = 4 MHz
24
f gCL =
bzw.
ft
A0CL
=
f gCL =
4 MHz
= 400kHz
10
4 MHz
= 40kHz
100
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.5 (Bodediagramm)
Au[dB]
A. Steininger
ACL=100
25
ACL=10
fgOL
11
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Phasendrehung und Stabilität
26
A[dB]
Bei 180° Phasendrehung ...
A=0dB
• wird das Signal beim Durchf(log)
laufen des OPV invertiert.
0
• wird daher negative Rückkopplung zu einer positiven.
f(log)
• tritt unkontrolliertes Schwin- Θ[°]
gen auf, wenn das Signal sich in 0
der Rückkopplungsschleife auf- 90
schaukelt (pfeifendes Mikrofon)
Θ=180°
180
• soll daher die Verstärkung
schon deutlich unter 1 liegen.
„Phasenreserve“
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Nichtlineare Begrenzungen
uo(t) [V]
+15V
µΑ741
+
3kΩ
-15V
Uinsin(2πft)
1kΩ
RL
t [ms]
A. Steininger
27
uo(t)
A0CL
3k + 1k
=
=4
1k
Erwünschtes Ausgangssignal
(RL = 10kΩ, uin = 1V, f = 1kHz)
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Begrenzter Aussteuerbereich
uo(t) [V]
Clipping
A. Steininger
Die Ausgangsspannung
kann nicht größer als die
Versorgungsspannung
werden.
t [ms]
28
(RL = 10kΩ, uin = 5V , f = 1kHz)
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Begrenzter Ausgangsstrom
uo(t) [V]
A. Steininger
Der betrachtete OPV
kann maximal 40mA
Ausgangsstrom liefern.
Bei 1V Eingangsamplitude werden 4V/50Ω =
80mA benötigt.
29
t [ms]
(RL = 50Ω, uin = 1V , f = 1kHz)
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Begrenzte Anstiegszeit (Slew-Rate)
uo(t) [V]
ideal
real
Die Steilheit der Ausgangsspannung kann nicht größer
werden als die spezifizierte
Slew Rate SR:
A. Steininger
duo
≤ SR
dt
30
Typ. 105 … 108 V/s;
hier 0,5V/µs
t [ms]
(RL = 10kΩ, uin = 2,5V , f = 50kHz)
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Die Full-Power Bandwidth ...
A. Steininger
… gibt an, bis zu welcher Frequenz eine sinusförmige Eingangsspannung trotz der begrenzten Slew-Rate noch unverzerrt
wiedergeben werden kann. Dabei wird Vollaussteuerung des
Ausgangs angenommen (= “worst case”).
31
Ausgangssignal:
uo (t ) = U o,max ⋅ sin( 2πf ⋅ t )
Signalsteilheit:
duo (t )
= U o,max ⋅ 2πf ⋅ cos(2πf ⋅ t )
dt
Maximum:
SR = U o,max ⋅ 2πf
Full-Power Bandwidth:
f FP =
SR
2π ⋅ U o,max
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.6
Ermittle die Full-Power Bandwidth für den OPV-Typ µA741
(Uo,max = 10V, SR = 0,5V/µs)
A. Steininger
f FP
32
SR
5 ⋅ 105 [V / s ]
=
=
≈ 8kHz
2π ⋅ U o,max
2π ⋅ 10 [V ]
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Eingangsstörgrößen
Biasstrom: Die Eingangstransistoren der internen Schaltung
verursachen unerwünschte Ströme, die an beiden Eingängen
gleich groß und gleich gerichtet sind (“hinein” bzw. “hinaus”).
Offsetstrom: Dieser Strom entsteht durch die Asymmetrie der
Biasströme. Kleiner als Bias, Polarität undefiniert.
Offsetspannung: Diese Spannung entsteht durch die Asymmetrie
A. Steininger
der Eingangsstufen. Polarität undefiniert.
33
Alle Eingangsstörgrößen sind temperaturabhängig und unterliegen
starken Exemplarstreuungen. Typ. Größenordnung nA bzw. µV.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Modell der Eingangsstörgrößen
Offsetspannung
I+
Biasstrom
Uoff
I+ = IB +
I off
I− = IB −
I off
2
I off
2
I-
+
IB
A. Steininger
2
IB
34
Offsetstrom
idealer OPV
Biasstrom
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7
In der folgenden Schaltung ist uin = 0. Welchen Wert kann die
Ausgangsspannung maximal annehmen ?
IBias < 100nA
|Ioff | < 40nA
|Uoff | < 2mV
R2
R1
A. Steininger
10kΩ
35
uin
100kΩ
+
Uo
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7 (Offsetspannung)
R2
|Uoff | < 2mV
R1
10kΩ
A. Steininger
Uoff
36
U o,uoff
100kΩ
R2
= (1 + ) ⋅ ( −U off )
R1
| U o,uoff |< (1 +
+
Uo,uoff
RL
100k
) ⋅ ( 2mV )
10k
| U o,uoff |< 22mV
Aus der Sicht der Spannungsquelle Uoff erscheint die Schaltung
wie ein nicht-invertierender Verstärker.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7 (Biasstrom)
R2
I2
100kΩ
IBias < 100nA
I1
10kΩ
R1 muß stromlos sein und
IB fließt gänzlich über R2
IB
R1
ui
U o,bias = R2 ⋅ I B
A. Steininger
+
37
IB
Wegen ui = 0 liegen beide
Enden von R1 an 0V
Uo,bias
RL U o ,bias < 100kΩ ⋅ 100nA
U o,bias < 10mV
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7 (Offsetstrom)
|Ioff | < 40nA
Die Eingangsdifferenzspannung ist weiterhin 0,
daher fließt der gesamte
Offsetstrom über R2.
R2
R1
10kΩ
I off
2
U o,ioff = R2 ⋅
+
A. Steininger
Uo,ioff
38
RL
I off
2
| U o,ioff |< 100kΩ ⋅ 20nA
| U o,ioff |< 2mV
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7 (Gesamtlösung)
Superposition der Einzellösungen:
Effekt
A. Steininger
Offsetspannung
39
Lösung
| U o,uoff |< 22mV
Biasstrom
U o,bias < 10mV
Offsetstrom
| U o,ioff |< 2mV
Gesamt
min
max
-22mV +22mV
0
+10mV
-2mV
+2mV
U o = −24 K 34mV
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Kompensation der Biasströme
… durch gleiche Ausgangsimpedanz RS der an den Eingängen
angeschlossenen Quellen: Die Spannungsabfälle RS*IB sind
dann gleich groß und bewirken nur eine Gleichtaktaussteuerung
+
Rs1
+
A. Steininger
Rs1IB R s2
40
Rs1
Rs2
IB
IB
Rs2IB
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.7 (Bias-Kompensation)
R2
R1
+
A. Steininger
uin
41
Rbias
R1 R2
R1+ R2
Uo
RL
Die Quellwiderstände müssen für beide Eingänge gleich sein
Einfügen von Rbias = R1||R2
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Differenzverstärker mit OPV
R1
u2
R2
u1 = 0
Au 2 = −
R3
+
u1
R4
uo
R4 = R2
A. Steininger
R3 = R1
42
invert. Verstärker
R2
uo =
⋅ (u1 − u2 )
R1
R2
R1
u2 = 0
nicht-invertierender
Verstärker mit Spannungsteiler R3 / R4 am Eingang
R4
Au1 =
R3 + R4
 R2 
 =
⋅ 1 +
R1 

R2
R1 + R2 R2
Au1 =
⋅
=
R1 + R2
R1
R1
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Differenzverstärker: Probleme
• Geringer Eingangswiderstand
Der Eingangswiderstand aus der Sicht von u1 beträgt R3 + R4
• Rückwirkung von u1 auf u2:
Veränderung von u1 verschiebt auch Potential am
invertierenden Eingang und ändert daher Strom durch R1
A. Steininger
• Starke Abhängigkeit der CMRR von den Widerständen
43
– Für gute CMRR müssen die Widerstände eng toleriert sein.
– Quellwiderstände von u1 und u2 gehen direkt in die
Verstärkung ein, sodaß i.a. R3 + RS1 ≠ R1 + RS 2
Daraus ergibt sich eine unerwünschte Gleichtaktverstärkung.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Instrumentationsverstärker
+
X1
u2
B
R1
R2
D
R
A
R1
R
R
X3
+
R2
C
E
R
A. Steininger
+X2
44
u1
für Gesamtanordnung gilt:
uo
Die 2.Stufe ist ein
Differenzverstärker mit
Gleichtaktverstärkung
Acm = 0 und
Differenzverstärkung
Ad = 1
 R2 
 ⋅ (u1 − u2 )
uo = 1 +
R1 

VO ET Grundlagen der Informatik
11
Schaltungsanalyse der 1.Stufe
u2 = −u1
Punkt A bleibt auf 0V (Symmetrie !)
X1 und X2 bilden einen nicht-invertierenden Verstärker
R2
A
=
1
+
Verstärkung
d
R1
• reines Differenzsignal:
A. Steininger
• reines Gleichtaktsignal: u2 = u1 = u
45
Spannung u liegt auch an Punkten B und C
kein Stromfluß durch R1
kein Stromfluß durch R2
Spannung u liegt auch an D und E
Verstärkung: Acm = 1
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Integratorschaltung
Reset
t=0
iin
C
iin R
uin
A. Steininger
iin =
uc
uo
+
N
46
• neg. Rückkopplung über C
• N ist virtueller Nullpunkt
• kein OPV-Eingangsstrom
iin fließt auch in den C
t
t
1
uo (t ) = −
uin (t )dt
∫
RC 0
uin
R
1
uC (t ) = ∫ iin (t )dt
C0
t
1 uin (t )
uo (t ) = −uC (t ) = − ∫
dt
C0 R
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Übung 11.17a
Skizziere das Ausgangssignal eines Integrators (R = 10k,
C = 0,1µF) für das gegebene Rechtecksignal:
uin(t) [V]
uo(t) [V]
A. Steininger
t [ms]
47
1
uo (1ms ) = −
RC
1ms
∫ uin (t )dt = −
0
1
⋅ 5V ⋅ 1ms = −5V
1ms
t [ms]
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Differentiatorschaltung
R
iin
uin
• neg. Rückkopplung über R
• N ist virtueller Nullpunkt
C
+
N
uo
iin = C ⋅
duin
dt
A. Steininger
• kein OPV-Eingangsstrom
iin fließt auch über R
48
duin (t )
uo (t ) = − RC ⋅
dt
duin
uo (t ) = − R ⋅ iin (t ) = − RC ⋅
dt
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Butterworth-Filter
• Tiefpaßfilter
• Ordnung n
• Verstärkung H0 für DC
• Grenzfrequenz fg
A. Steininger
• Übertragungsfunktion:
49
f
fg
H( f ) =
H0
1 + ( f f g ) 2n
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Aktives Filter 2.Ordnung
C
R
Für Gleichspannung gilt:
R
+
(K-1)Rf
uin
uo
C
A. Steininger
Rf
50
– C’s wirkungslos (offen)
– R’s wirkungslos (kein
OPV-Eingangsstrom)
– Übrig bleibt ein nichtinvertierender Verstärker
mit Verstärkung k
Für Wechselspannung
fg =
1
2πRC
mit f > fg beträgt die
Dämpfung 40dB/Dekade
11
VO ET Grundlagen der Informatik
Höhere Ordnung durch Kaskadieren
A. Steininger
• Durch Kaskadieren von n Filtern 2.Ordnung läßt sich ein Filter
der Ordnung 2n aufbauen.
• Die Wahl von k beeinflußt nicht nur die Verstärkung, sondern
auch die Charakteristik: Filter 2.Ordnung schwingt ab k = 3.
• k-Werte für Butterworth-Charakteristik (keine Resonanz):
51
Ordnung
2
4
6
8
Stufe 1: k= 1,586 1,152 1,068 1,038
Stufe 2: k=
2,235 1,586 1,337
Stufe 3: k=
2,483 1,889
Stufe 4: k=
2,610
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.8
Ein Tiefpaßfilter 4. Ordnung mit Grenzfrequenz 100Hz und
Butterworth-Charakteristik ist zu entwerfen.
A. Steininger
Wahl von R und C:
52
Wahl von Rf :
C = 0,1µF
(willkürlich)
1
R = 15,92kΩ (wegen f g =
)
2πRC
Rf = 10kΩ
(willkürlich)
Bestimmung von k:
(lt. Tabelle)
k1 = 1,152
k2 = 2,235
(k1-1) *Rf = 1,52kΩ
(k2-1) *Rf = 12,35kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.8 (Lösung/1)
C1
R1
C11
R2
+
uin
C2
X1
LF411
R11
R12
+
C12
R3
R13
1,52kΩ
A. Steininger
R1=R2=R11=R12=15,8kΩ
53
R4
10kΩ
X2
LF411
R14
12,35kΩ
10kΩ
C1=C2=C11=C12=0,1kµF
K=1,152
K=2,253
uo
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.8 (Lösung/2)
20 log
Uo
[dB ]
U in
Verstärkung
(normiert)
2.Stufe
-80dB/Dekade
1.Stufe
A. Steininger
gesamt
54
f [Hz]
Bodediagramm
f [Hz]
Verstärkung d. einzelnen Stufen
11
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (1)
55
• Der ideale Operationsverstärker ist ein Differenzverstärker mit
unendlich hohem Eingangswiderstand, unendlicher Differenzverstärkung, unendlich hoher Bandbreite, einem Ausgangswiderstand von 0 und einer Gleichtaktverstärkung von 0.
• Die Steilheit der Ausgangsspannung kann nicht größer werden
als die Slew-Rate [V/s].
• Ein Sinussignal wird bei Vollaussteuerung nur dann unverzerrt
wiedergegeben, wenn seine Frequenz kleiner ist als die FullPower-Bandwidth.
• Full-Power-Bandwidth und Slew-Rate hängen über die Steilheit
der Sinusfunktion im Nulldurchgang zusammen.
11
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (2)
56
• Bei der negativen Rückkopplung wird ein Teil des Ausgangssignales an den invertierenden Eingang zurückgeführt, so daß es
Änderungen der Eingangsdifferenzspannung entgegenwirkt.
• Für die Analyse von OPV-Schaltungen mit negativer Rückkopplung geht man davon aus, daß der OPV-Eingangsstrom null
ist, ebenso die Differenzspannung zwischen den Eingängen.
• Bei negativer Rückkopplung wird nur ein Teil der Geradeausverstärkung für die Signalverstärkung wirksam. Man verbessert
jedoch
Bandbreite (! Verstärkungs-Bandbreite-Produkt)
und
Ausgangswiderstand (! „Regler“).
• Im Fall von positiver Rückkopplung kommt es zur Sättigung.
11
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (3)
57
• Die Verstärker-Grundschaltungen mit OPV sind:
– Der Invertierende Verstärker. Seine Verstärkung ist grundsätzlich negativ, vom Betrag her jedoch beliebig einstellbar.
Sein Eingangswiderstand hängt von der Beschaltung ab. Mit
ihm lassen sich einfach Spannungen summieren. ( => Name
„Summierverstärker“)
– Der Nicht-invertierende Verstärker (Elektrometerverstärker).
Seine Verstärkung ist immer positiv und größer als 1. Sein
Eingangswiderstand ist unabhängig von der Beschaltung
immer extrem hoch, er wird daher auch als Spannungsfolger
(Impedanzwandler) mit Verstärkung 1 verwendet.
11
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Zusammenfassung (4)
58
• Stationäre Eingangsstörgrößen des OPV sind
– Biasstrom (Mittelwert der Eingangsströme)
– Offsetstrom (Differenz der Eingangsströme) und
– Offsetspannung (Verschiebung des Spannungsnullpunktes)
• Nichtidealitäten im linearen Betriebsbereich eines OPV sind
– endlicher Eingangswiderstand
– Ausgangswiderstand größer als Null und
– endliche, frequenzabhängige Verstärkung
• Nichtlineare Effekte ergeben sich durch Begrenzung von
Ausgangsspannung, Ausgangsstrom und Slew-Rate.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Zusammenfassung (5)
A. Steininger
• Das Frequenzverhalten des
OPV läßt sich
in guter Näherung als Tiefpaß 1.Ordnung
beschreiben.
59
Au[dB]
“Geradeausverstärkung”
A0OL typ. 104 … 106 = 80...120dB
-20dB/Dekade
“Transitfrequenz”
ft = A0OL * fgOL
fgOL
• Ist bei der Transitfrequenz die Phasenverschiebung bereits >180°,
so kommt es zu unkontrollierten Schwingungen (Instabilität).
11
VO ET Grundlagen der Informatik
Zusammenfassung (6)
• Ein OPV kann als Subtrahierverstärker beschaltet werden. Der
Instrumentationsverstärker benötigt 2 weitere OPVs als Eingangsstufe, weist aber wesentlich bessere Eingenschaften auf.
A. Steininger
• Typische weitere “Rechenschaltungen” mit OPV sind
Summierer, Integrator und Differentiator.
60
• Mit OPVs lassen sich verschiedenste aktive Filter realisieren.
Filter höherer Ordnung können z.B. durch Kaskadieren von
einstufigen Filtern 2.Ordnung aufgebaut werden.
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.1
Ermittle die Eigenschaften der folgenden Verstärkerschaltung:
R1 = R3 = 1kΩ
R2 = R4 = 10kΩ
R2
i2
A. Steininger
i1 R1
61
uin
ii
R
R3 4
i4
i3
ui
+
uo
RL
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.1 (Lösung/1)
negative Rückkopplung ?
kein OPV-Eingangsstrom
keine Differenzspannung
A. Steininger
Maschenregel:
Knotenregel:
62
uin
(I + III): i1 = i2 =
R1
R
R2
(II): i3 = 2 ⋅ i2 =
⋅ uin
R3
R1 ⋅ R3
R2
1
i
i
i
u
=
+
=
⋅
+
(
)
(V):
4
2
3
in
R1 R1 ⋅ R3
(ii = 0)
i2 = i1
(I)
uin
R2 ⋅ i2 = R3 ⋅ i3
R1
R3 ⋅ i3 + R4 ⋅ i4 + uo = 0
, i1 =
(II,III)
i2 + i3 = i4
(IV)
(V)
(IV): uo = − R3 ⋅ i3 − R4 ⋅ i4 =
= −uin (
R2 R4 R2 ⋅ R4
+
+
)
R1 R1 R1 ⋅ R3
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.1 (Lösung/2)
Z in =
Ausgangsimpedanz:
uo
Zo =
≈0
io
A. Steininger
Spannungsverstärkung:
63
uin
= R1 = 1kΩ
i1
Eingangsimpedanz:
(OPV regelt Ausgang nach)
uo
R2 R4 R2 ⋅ R4
Au =
= −( +
+
) = −120
uin
R1 R1 R1 ⋅ R3
Vergleich mit Standardschaltung des invertierenden Verstärkers:
R1 = 1kΩ
R2 = 120kΩ
gleicher Eingangswiderstand
gleiche Verstärkung
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.2
Ein nicht-invertierender Verstärker mit Au = 10 ist zu entwerfen.
Die Eingangsspannung liegt im Bereich -1V … +1V.
A. Steininger
nicht-inv. Verstärker:
64
Au =
uo
R
= 1+ 2
uin
R1
R2 = 9 R1
Überlegungen zur praktischen Wahl der Widerstände:
Ausgangsstrom des OPV meist auf ca. 100mA begrenzt
“hochohmige” Knoten sind sehr störungsanfällig
Wahl: R1 = 20kΩ; R2 = 180kΩ (Werte aus der Normreihe)
bei 5% Widerstandstoleranz ist die Verstärkung nur 10% genau!
VO ET Grundlagen der Informatik
11
Beispiel 11.3
Ein Vibrationsgeber für einen Schmiedehammer hat eine zeitlich
variable Ausgangsimpedanz, die aber stets kleiner als 500Ω ist.
Ein Spannungsverstärker mit Au = -10 ± 3% ist zu entwerfen.
R2
RS
A. Steininger
0...500Ω
65
us
Au =
R1
+
uo
uo
R2
=−
= −10 ± 3%
us
R1 + Rs
1% Widerstandstoleranz R1
1% Widerstandstoleranz R2
1% durch Variation von Rs
R1 > 100 ⋅ Rs = 50kΩ
R2 = 10 R1 = 500kΩ
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
A. Steininger
Ergänzende Hinweise
für die Praxis
1
QLFKW3UIXQJVVWRII
Erg
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Ergänzende Hinweise für die Praxis
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Leuchtdioden
Quarze und Quarzoszillatoren
Widerstände: Ausführungsformen und Normreihen
Potentionmeter: Ausführungsformen und Anwendungen
Open-Collector-Ausgang
Digital-Analog-Konverter (DAC)
Komparator
Analog-Digital-Konverter (ADC)
Speicherelemtente (RAM, ROM)
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Leuchtdioden
/(' /LJKW(PLWWLQJ'LRGH
Funktion:
bei Polung in Flußrichtung wird Licht abgegeben
EHU6WURPDQVWHXHUQ6SDQQXQJ9RUZLGHUVWDQG
+5V
330Ω
A. Steininger
typ. Daten:
3
low
(GND)
high
(+5V)
330Ω
Flußstrom 10mA (2mA LoPower, 50mA HiPower)
Flußspannung ca. 2V (3,5V bei blauer Farbe)
Sperrspannung 5V
typ. Farben:
rot, gelb, grün, (blau), infrarot, rot+grün
typ. Baufrom: rund (3mm, 5mm), SMT, 7-Segment, ...
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Quarze und Quarzoszillatoren
• Elektrostrikiton / Piezoelektrischer Effekt:
– Der Quarzkristall verändert seine mechanische Form
(geringfügig) bei Anlegen eines elektrischen Feldes.
– Unter mechanischer Krafteinwirkung bildet sich im Quarz
ein elektrisches Feld aus.
A. Steininger
• Schwingquarz
4
– Wirkt als extrem stabiler Schwingkreis mit sehr hoher Güte
– Stabilität ca. 10ppm = 10*10-6; d.h. YLHO besser als R, L, C
• Quarzoszillator
– fertige Oszillatorschaltung mit Stabilität ca. 100ppm
Erg
VO ET Grundlagen der Informatik
A. Steininger
Widerstandsnormreihen
5
• Ausführungsform: - Kohleschicht (5% und 10% Toleranz)
- Metallschicht (1% und genauer)
- Drahtwiderstände (>1W, gewickelt)
• Normreihe:
- Geometrische Reihe
- (: 12 Werte je Dekade (12 10 = 1,21 )
- Wertetabelle für E24:
, 11, , 13, , 16, , 20,
, 24, , 30, , 36, , 43,
, 51, , 62, , 75, , 91
• Beschriftung:
Farbcode für Widerstandswert und Toleranz
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Potentiomenter
A. Steininger
• Ausführungsform: - Potentiomenter, Trimmer, Spindeltrimmer
- Drahtwendel, Kohleschicht
- linear, logarithmisch
6
• Richtige Anwendung von Einstellreglern:
– Einstellregler womöglich vermeiden
– richtige Ausführungsform verwenden
– nur benötigten Bereich einstellbar machen
(Kombination mit Festwiderständen)
=> bessere Einstellbarkeit, => Vermeidung grober Fehleinstellung
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Open-Collector Ausgang
Konventionell (push-pull)
Open Collector (OC)
A. Steininger
beide Logikpegel
aktiv getrieben
schnell
nur 1 Ausgang
pro Leitung
7
R
nur Low-Pegel
aktiv getrieben
langsamer
“wired OR”
R
“Tri-State”: beide
Transistoren sperren
Pegel undefiniert
; = $+ % +&
A
B
C
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Digital-Analog-Konverter (DAC)
• Prinzip: Umwandlung eines
GLJLWDOHQ(LQJDQJVVLJQDOHV
in ein
DQDORJHV$XVJDQJVVLJQDO
[
[
[DIIH
DAC
• Einfaches Realisierungsbeispiel: Tastverhältnis DAC
A. Steininger
SURJUDPPLHUEDUHV7DVWYHUKlOWQLV
8
• Kenngrößen: Auflösung, Genauigkeit, Settling-Time, Linearität
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Komparatorschaltung
ux
A. Steininger
uid
9
Uref
u1
uo
R1
R
XR = 8 R,max für X [ > 8 UHI
XR = 8 R,min für X [ < 8 UHI
R2
uin
Prinzip: Mit $2/ → ∞ ergeben sich
folgende Werte für X :
uo
Realisierung:
Mit positiver Rückkopplung erreicht
man eine +\VWHUHVH:
Uout
Us-
Uin
8 +\VW = 8 6 + − 8 6 −
86+
51
= 8 R,max ⋅
51 + 52
Us+
8 6 − = 8 R,min ⋅
51
51 + 52
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Analog-Digital-Konverter (ADC)
• Prinzip: Umwandlung eines
DQDORJHQ(LQJDQJVVLJQDOHV
in ein
GLJLWDOHV$XVJDQJVVLJQDO
durch Einteilung in Klassen
(z.B.: 1V < 8 < 2V)
A. Steininger
[
10
• Realisierungsbeispiel:
“Flash”-ADC
4V
R
1V
1V
1V
ADC
[
[
[DIIH
1V
8 [ > 39
8 [ > 29
8 [ > 19
R
R
R
Ux
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Speicherbausteine (RAMs)
• SRAM (static RAM)
–
–
–
–
aufwendiger
weniger störanfällig
kein Refresh nötig
schneller
+5V
A. Steininger
word
11
• DRAM (dynamic RAM)
–
–
–
–
höhere Speicherdichte
störanfälliger
Refresh ist erforderlich
langsamer (komplizierter
Zugriffsmechanismus)
word
word
bit
bit
bit
VO ET Grundlagen der Informatik
Erg
Speicherbausteine (ROMs)
A. Steininger
• ROM (read only memory):
QRQYRODWLOH QLFKWIOFKWLJ
12
–
–
–
–
(mask-)ROM: bei der Herstellung fix programmiert (Maske)
OTP: one time programmable (Brennen von “Fuses”)
EPROM: mit UV-Licht wieder löschbar
EEPROM, Flash-PROMs, EAROM: elektrisch löschbar
Experimente zur Reflexion
(ET-Vorlesung AudiMax, 23.3.2000)
Experimenteller Aufbau: siehe letzte Folie von Kapitel 4 zur Vorlesung.
Allerdings beträgt die Länge des Kabels hier 2m + 9m = 11m
Allgemeines zur Bildschirmdarstellung :
Kanal 1 (Ch1, gelb): Signal am Anfang des Kabels, d.h. unmittelbar beim Generator
Kanal 2 (Ch2, blau): Signal am Ende des Kabels
Kanal 3 (Ch3, rot) : Signal nach 2m (vom Anfang aus gesehen)
Bild 1.
Laufzeitmessung
Der Impuls am Eingang
hat eine Länge von ca.
15ns. Die Zeitachse ist
stark gedehnt
(10ns/Skalenteil), die
Cursoren stehen jeweils
in der Mitte des Pulses
am Eingang bzw. am
Ausgang.
Rechts oben erkennt
man eine Zeitdifferenz
zwischen den Cursoren
von 51,6ns, das ist also
die Signallaufzeit.
Mit 51,6ns für ca. 11m
Kabel ergibt sich eine
Geschwindigkeit von
11m / 51,6ns =
21,3cm/ns also etwa
2/3 der Lichtgeschwindigkeit (30cm/ns).
Wie erwartet benötigt
das Signal für die
ersten 2m etwa 10ns.
Bild 2a.
Prüfung der Signalintegrität, alle Signale
Bei 50 Ohm Abschluß
am Ende der Leitung
finden wir wie erwartet
keine Reflexionen. Das
Bild entspricht Bild 1,
allerdings ist jetzt die
Zeitachse nicht so stark
gezoomt, sodaß ein
größeres Zeitintervall
am Schirm sichtbar
wird.
Bild 2b.
Prüfung der Signalintegrität, nur Eingang
Zur besseren Übersichtlichkeit wurden die
Kanäle 2 und 3 hier
abgeschaltet
Bild 3a.
Verhältnisse ohne
Leitungsabschluß,
alle Signale
Ohne Leitungsabschluß
treten starke Reflexionen auf: Die erwünschten Signalverläufe sind
genau jene, die wir
auch in Bild 2a wiederfinden (alle Einstellungen sind gleich wie
in Bild 2a !), alle
anderen Impulse sind
störende Reflexionen.
Bild 3b.
Verhältnisse ohne
Leitungsabschluß,
nur Eingang
Zur besseren
Übersichtlichkeit
wurden die Kanäle 2
und 3 hier wieder
abgeschaltet
Bild 4.
Kurzschluß am
Leitungsende,
nur Eingang
Auch hier wird zur
Erhöhung der
Übersicht nur der
Eingang betrachtet.
Man erkennt die
invertierten
Spannungsimpulse
infolge des negativen
Reflexionsfaktors (-1)
am Leitungsende.
Bild 5.
Leitungsabschluß am
Eingang
Schließt man die
Leitung am Eingang
mit 50 Ohm ab, so
erfolgt nur genau eine
Reflexion am Ende
(Reflexionsfaktor am
Eingang ist 0).
Bild 6.
Abschluß nach 2m
Ein Abschluß irgendwo
im Verlauf der Leitung
führt zu keinem
zufriedenstellenden
Ergebnis.
Bild 7.
Spannungssprung bei
richtig abgeschlossener Leitung
Die Pulsdauer wurde
jetzt deutlich erhöht
und geht über den
dargestellten Bereich
hinaus. Das Signal
springt mit einer
sauberen Flanke auf
den neuen Wert, am
Ausgang natürlich erst
nach der Laufzeit.
Bild 8.
Spannungssprung mit
offenem Leitungsende
Die Signalamplitude ist
größer (keine
Spannungsteilung),
aber in der Flanke
ergeben sich deutlich
sichtbare Stufen.
Bild 9.
Spannungssprung mit
kurzgeschlossenem
Leitungsende
Es treten wieder
invertierte Reflexionen
auf, der Signalverlauf
strebt gegen den
Endwert 0.