Springer-Lehrbuch - Captain Concentrate

Springer-Lehrbuch
Mathematik fOr Physiker
und Ingenieure
Herausgegeben von Helmu t Neunzert
Die Abblldung zeigl die Messung des Inhalls von Flissem und wurde dem Tllelblatt des 1531 in NOrnberg
gedrucklen VisierbOchleins von Johann Frey entnommen. Ole F
ormel zur Berechnung des Rauminhalts isl die
Keplersche (FaB·) Regel (slehe Seite 111 )
H. Neunzert W. G. Eschmann
A. Blickensdorfer-Ehlers K. Schelkes
Analysis 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch
fOr Studienanfanger
Zweite, korrigierte Auflage
Mit 172 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Helmut Neunzert
Winfried G. Eschmann
Fachbereich Mathematik der Universitat Kaiserslautern
Postfach 3049
W-6750 Kaiserslautern, Deutschland
Arndt Blickensdbrfer-Ehlers
BrucknerstraBe 64
W-6450 Hanau, Deutschland
Klaus Schelkes
Bundesanstalt fOr Geowissenschaften und Rohstolle
Stilleweg 2
W-3000 Hannover 51, Deutschland
Dieser Band erschien bisher in der Reihe Mathematik fOr Physiker
und Ingenieure
Mathematics Subject Classification (1991):
26-01, 30-01, 33-01, 34-01, 40-01, 42-01, 70-01, 78-01
ISBN-13: 978-3-540-56212-2
e-ISBN-13: 978-3-642-97461-8
DOl: 10.1007/978-3-642-97461-8
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Analysis: ein Lehr- und Arbeitsbuch fUr Studienanfanger I H. Neunzert
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong;
Barcelona; Budapest: Springer.
NE: Neunzert, Helmut
1. - 2., korrigierte Aufl. - 1993
(Springer-Lehrbuch) ISBN-13: 978-3-540-56212-2
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980, 1993
Gesamtherstellung: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
44/3140 - 54321 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur ersten Auflage
wie arbeiten Sie mit diesem Buch?
KAPITEL
1.
VIII
KAPITEL
4.
X
REELLE UND KOMPLEXE FUNKTIONEN
Einleitung
XIII
DIE REELLEN ZAHLEN
und Beispiele
1 Mengen
2 Monotone Funktionen
2 Funktionen
lehre
Die Komposi tion von Funktionen
Rechnen mit reel len Funktionen
Die Umkehrfunktion
§ 5 polynome
Bijektive Funktionen
Die Zahlengerade
10
10
12
Intervalle
16
zusanunenfassung
KAPITEL
2.
Argumenten
19
KAP ITEL
5.
62
64
65
DAS SUPREMUM
Einleitung
22
VOLLSTANDIGE INDUKTlON
ErkHi.rung des Summenzeichens
Supremum, Infimum
24
§ 2 Das Supremumsaxiom
26
2 Rekursive Definitionen
26
3 n-te Potenz und n-te Wurzel
28
Elgenschaften der n-ten Potenz
28
Die n-te Wurzel
30
Die binomische Formel
30
Zusammenfassung
3.
58
60
66
§ 1 Schranken, Maximum, Minimum,
§ 1 Beweis durch vollstandige Induktion
KAPITEL
17
58
Nullstellen von Polynomen
zusammenfassung
Defini tion und Eigenschaften der
Wurzel
54
56
Komplexe Funktionen mit reellen
10
Ungleichungen
Der Betrag
52
Das Horner-Schema
§ 6 Komplexe Funktionen
Die ari thmetischen Eigenschaften
von JR
50
§ 3 Beispiele aus der Wechselstrom-
Defini tionen und Beispiele
§ 3 Die reellen Zahlen
50
§ 1 Definition der reellen Funktionen
3 Eigenschaften von Supremum und
Infimum
§ 4 Supremum und Maximum bei Funktionen
70
71
§ 5 Dual-, Dezimal- und Hexadezimalzahlen
Zusammenfassung
34
DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
67
70
KAPITEL
6.
72
74
FOLGEN
36
Einleitung
75
1 Definition und Veranschaulichung
36
§ 1 Definition
75
2 Der Kerper a: der komplexen Zahlen
36
Einleitung
2 Monotonie und Beschrankthei t
76
Rechengesetze in a:
36
Beschrankthei t
76
lR als Teilmenge von a:
38
Monotonie
77
Monotone beschrankte Folgen
78
§ 3 Realteil, Imaginarteil, Betrag
39
Realteil, Imaginarteil, Konjugierte
39
Der Betrag
40
3 Konvergenz und D1 vergenz
80
Konvergenz
80
Divergenz
82
4 Die Polar form
44
5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl
46
Rechenregeln fUr konvergente Folgen
82
Beispiele
84
49
Rekursiv definierte Folgen
86
Zusammenfassung
VI
KAPITEL
7.
Inhaltsverzeichnis
§ 4 Komplexe Folgen
89
zusammenfassung
92
3 Sinus und Cosinus
EINFOHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG
10.
§ 1 Beispiele
94
Einleitung
146
98
§ 1 Stetigkei t
149
kriterium
Grenzwerte
104
5 Integral als Grenzwert einer Folge
107
Das Riernannsche Surnmen-Kriterium
108
149
Einsei tige und uneigentliche
Stetige Funktionen
Integrierharkei t monotoner Funktionen 106
§ 6 Numerische Integration
STETIGE FUNKTIONEN
Grenzwerte von Funktionen
102
§ 4 Das Riemannsche Integrabilitats-
151
152
Trigonometrische Funktionen und
Exponentialfunktion sind stetig
Stetig auf [a,b]: Drei Satze
§ 2 Anwendung auf spezielle Funktionen
109
154
157
161
Exponentialfunktion, Logarithmus
Die Rechteckregel
109
Die Trapezregel
110
und allgemeine Potenz
161
Die Simpsonregel
111
Trigonometrlsche Funktionen
164
§ 7 Eigenschaften des Integrals
3 Die £-o-Definition der Stetlgkeit
112
und die Lipschitz-Stegigkeit
Eigenschaften des Integrals bezlig-
lich des Integratlonsintervalls
112
Eigenschaften beziiglich des Inte-
granden
Ungleichungen flir Integrale
Zusammenfassung
8;
146
94
3 Die Definition des Integrals
KAP ITEL
144
Zusammenfassung
Einleitung
2 Obersumme und untersurnme
KAPITEL
142
§ 4 Hyperbelfunktionen
114
116
117
RE I HEN
KAPITEL
11.
168
§ 4 Stetigkeit und Integration
171
zusammenfassung
172
DIFFERENTIALRECHNUNG
Einlei tung
174
§ 1 Lineare Approximation
17'
Einleitung (Zenon' 5 Paradoxon)
119
2 Definition der Differenzierbarkeit
177
§ 1 Beispiele
120
3 Differenzierbare Funktionen
180
122
4 Rechenregeln flir differenzierbare
2 Konvergente Reihen
Funktionen
18'
Geometrische Reihen
122
Die "Schneeflockenkurve"
123
Sunune, Produkt, Quotient
184
Rechenregeln fUr konvergente Reihen
124
Die Kettenregel
185
Notwendiges Konvergenzkri terium
125
Die Ablei tung der Umkehrfunktion
188
3 Konvergenzkri terien
126
Differenzierbarkeit von Potenzreihen 190
Vergleichskri terien
126
5 Die Ablei tung komplexer Funktionen
191
Wurzelkriterium
127
6 Hahere Ablei tungen
192
Quotientenkri terium
128
Alternierende Reihen
128
§ 4 Absolut konvergente Reihen
130
zusarrunenfassung
133
Aufgaben zum Einliben der Differentiationstechniken
193
§ 7 Beispiele von Differentialgleichungen und Losungen
194
Lasung der Schwingungsgleichung
KAPITEL
9.
POTENZREIHEN UND SPEZIELLE FUNKTIONEN
durch Potenzreihenansatz
Einleitung
135
§ 1 Potenzreihen
136
Lokale Extrema
137
Der erste Mi ttelwertsatz der
Funktionen
139
Anwendungen des ersten Mittel-
§ 2 Exponentialfunktion
140
Konvergenz van Patenzreihen
Differentialrechnung
Zusammenfassung: Potenzreihen als
Defini tian der Exponentialfunktion
§ 8 Der erste Mi ttelwertsatz
140
Eigenschaften der Exponentialfunktian 141
wertsatzes
194
196
196
198
200
§ 9 Die Regeln von de L' Hopi tal
201
Zusarrunenfassung
204
VII
Inhal tsverzeichnis
KAP I TEL
12. I NTEGRALRECHNUNG- I NTEGRATI ONSTECHNI K
Einleitung
Konvergenzkri terien
2 Unbeschrankt~r Integrand
207
Konvergenzkr i terien
§ 1 Der Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung
2 Die Stamrnfunktion
§ 3 Die Gamrnafunktion
243
210
§ 4 Die Laplace-Transformation
245
Linearitat und elementare LaplaceTransforroationen
211
§ 4 Integration zur Lasung einfachster
Differentialgleichungen
5 Das unbestimmte Integral
212
215
§ 7 Integrationsmethoden
216
f
217
Substitution
219
Eine Uroformulierung der Substi tutionsregel
KAPITEL
222
Substitution bei bestimmten Integralen
Losungsmethode
225
226
Anfangswertprobleroe
227
Transformation von Ableitungen
248
Transformation von f (at±b)
249
Bildfunktion
250
Kurze Ubersicht
251
252
TAYLORPOLYNOME UNO TAYLORREIHEN
§ 1 Approximation durch polynome
253
Approximation
253
Taylorpolynome
255
§ 2 Restglied
256
Restglied nach Taylor
256
Anwendung: Funktionswerte berechnen
257
Restglied nach Lagrange
258
§ 9 Integration rationaler Funktionen
1. Schritt: Polynorodivision
228
Restglied abschatzen
258
228
Anwendung: Lokale Extrema
259
2. Schritt: Polynorozerlegung
229
3. Schri tt: Partialbruchzer legung
230
§ 3 Taylorreihen
Schri tt: Integration rationaler
Funktionen
Kurze Merkregelsammlung
zusammenfassung
13.
225
Merkregel
4.
KAP I TEL
14.
224
8 Separable Differentialgleichungen
247
zusammenfassung
216
Partielle Integration
246
Bemerkungen zum Umkehrproblem
Verschiebung des Arguments in der
214
§ 6 Die Integration koroplexer Funktionen
Integranden der Farro
242
208
3 Eine andere Formulierung des
Hauptsatzes
239
240
UNE I GENTLl CHE
232
233
234
INTEGRALE
Einlei tung
§ 1 Unbeschranktes Integrationsintervall
Integrationsintervall J-"",=[
236
236
238
261
Defini tion
261
Ein Gegenbeispiel
262
Konvergenz der Taylorreihe
263
Beispiel Logarithrnus
265
Beispiel Arcus-Tangens
266
Beispiel Binomische Reihe
266
Zusammenfassung
267
Losungen der Aufgaben
269
Sachverzeichnis
333
Vorwort zur zweiten Auflage
Zw61f Jahre sind seit der:l ersten Erscheinen des
So schreibt schon der bekannte Physiker Heinrich
Buches ver(''fangen, sieher mehr als 30.000 Studenten der Physik und der Ingenieurwissenschaften
Hertz in der Einlei tung zu seinen "Prinzipien
der Meehanik" von 1897: "Es ist die nachste und
haben versucht, mit seiner Hilfe Mathematik zu
lernen (offenbar waren auch ein paar Mathematik-
wuBten Naturerkenntnis, daB sie uns befahige,
in gewissem Sinne wiehtigste Aufgabe unserer be-
studenten dabe!). Nur noch zwei der vier Autoren
zukUnftige Erfahrungen vorauszusehen, urn nach
sind am Gehurtsort des Buches tatig und dart
dieser Voraussicht unser gegenwartiges Handeln
mit der Ausbildung von Studenten besch!iftigt.
einrichten zu kennen. Als Grundlage fUr die Le-
Lohnt eine neue Auflage eines zw61f Jahre al ten
sung jener Aufgabe der Erkenntnis benutzen wir
Buches in einer Zeit. in der die \<1issenschaft
unter allen Umst.!inden vorangegangene Erfahrun-
schneller denn je fortschreitet? Man sagt doch,
gen, gewonnen durch zUfallige Beobachtungen odeli
daB die wissenschaftlichen Kenntnisse eines Na-
turwissenschaftlers eder Ingenieurs nach 10 Be-
durch absichtlichen Versuch. Das Verfahren aber,
des sen wir uns zur Ablei tung des Zuktinftigen aus
rufsjahren zu veralten beg-innen und der Nachbes-
dem Vergangenen und damit zur Erlangung der er-
serung (z.B. dUrch wissensehaftliche Weiterbildung) bediirfen. Widersprieht das nicht der Idee,
strebten Voraussicht stets bedienen, ist dieses:
Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole
dieses Buch nach Korrektur vieler kleinerer Feh-
der auBeren Gegenstande, und zwar machen wir
ler im Gesamtkonzept unverlindert neu herauszugeben? Die Antworten auf diese Frage fallen
Folgen der Bilder stets wieder die Bilder seien
nicht eindeutig aus, die Zweifel konnen nur
von den naturnotwendigen Folgen der abgebilde-
sie von solcher Art, daB die denknotwendigen
teilweise beseitigt werden.
ten Gegenstande."
Unsere Grundeinstellung zu der Frage, wie Mathe-
Fiir "Scheinbilder" sagen wir heute eben "Model-
matik fUr Nichtnathematiker vermittelt wird,
Ie", und der Rohstoff dieser Madelle ist -
hat sieh gegeniiber der im ersten Vorwart formu-
aueh dies war Hertz natiirlieh klar - die Mathe-
lierten Auffassung kaum verlindert. Vielleicht
matik. Mit diesem "Rohstoff" muB man umgehen
1st uns jetzt noch klarer als damals: Die Arbeitsweise von Naturwissenschaftlern und Tech-
konnen; man muB sein Handwerk lernen, wenn man
nikern ist he ute mehr denn je bestirnmt durch
Deshalb bleibt richtig, was wir vor 12 Jahren
Naturwissenschaftler oder Techniker werden will.
die Aufstellung "mathematischer Madelle" und
schrieben: fiathematik lernt man durch Tun -
durch die Auswertung solcher Madelle mittels
Mathematik ist mehr als eine Sarnmlung von Koeh-
Computer - eben durch "mathematisches Modellie-
rezepten - das Unterrichten von Nichtmathemati-
ren" und "wissenschaftliches Rechnen", wie dies
kern muB sieh an den Bedtirfnissen des Anwenders
moderne Sehlagworte bezeichnen. NatUrlich entstehen solche Madelle nur durch Beobachtung der
orientieren, aber es sallte sich diesen Bediirf-
RealiUit, und sie mUssen an der Realitat gemes-
Fundierte Kenntnisse tiber den Rohstoff Mathema-
nissen nicht vollstandig unterordnen - usw.
sen, im Exper iment iiberprtift werden. Aber man
tik zu vermi tteln, urn komplexe Madelle entwik-
versucht doch in zunehmendem MaBe, diese Real-
keln zu kennen - dies war und ist das Ziel des
experimente durch Computersimulationen zu er-
Buches, das es, so haffen wir, immer noeh er-
setzen - es ist letztlich billiger, Crashtests
reichen kann. Vielleieht wtirde man heute einige
im Rechner naehzuspielen als echte Autos gegen
grundlegende Kapitel doch lieber der Schule
Wande fahren zu lassen, es ist sagar absolut
tiberlassen (wenn man Leistungskurse in Mathema-
notwendig, die Umstromung einer Raumfahre vor
tik voraussetzt - und dies sollte bei Physikern
ihrem Jungfernflug zu berechnen, da
und Ingenieuren eigentlich moglich sein -, so
~1indkanal­
experimente die realen Verhaltnisse nicht her-
wird etwa ein Drittel iiberflUssig) und daftir
stellen kennen.
etwas mehr diskrete Mathematik und algebraische
Begriffsbildungen aufnehmen. 1m graBen und gan-
1m Prinzip ist dieses Modellieren schon irnmer
die Basis naturwissenschaftlichen Arbei tens.
zen ist - und das zeigen auch verwandte Bticher
anderer Autoren, die in den letzten Jahren er-
IX
Vorwort zur zwei ten Auflage
schienen - die Auswahl der Inhal te noch einiger-
in unseren Vorlesungen): Folgen waren auch Re-
maBen zeitgerecht. Der Hauptvorteil unseres Bu-
kursionen oder dynamische Systeme, die man auf
dem Rechner gut simulieren kann, man mU8te er-
ches ist ja der relativ breite Stil, der ausfUhrliche ErkHirungen zuUi8t und deshalb ein
lautern, warum numerische Integration sovlel
Selbststudium erm6glicht - jedenfalls war dies
problemloser ist als numerische Differentiation,
aus dem Echo, das wlr von den Studenten zuruck-
Zahlen waren auch Zahlen des Rechners, ein we-
bekamen, deutlich herauszuh6ren. Soweit also
nig Differentialgeometrie ware nutzlich fUr CAD
doch Zufriedenheit und Rechtfertigung einer
(Computer Aided Design) usw.
Neuauflage.
Wir haben allerdings noch nicht erwahnt, warum
Wir schreiben das Buch nicht neu, weil uns die
dieses "modelling" in den letzten Jahren so in
Zei t fehlt: Die Lehre der Mathematik fUr Inge-
Mode kam. Dies liegt natUrlich an dem, was das
nieure kann nur gut und zei tgemaS sein, wenn
zweite Schlagwort, "scientific computing", an-
sie von der entsprechenden Forschung 1m Bereich
deutet: Mit der Steigerung der Leistungsfahig-
der Technomathematik begleitet wird - da bleibt
keit der Rechner wurde es moglich, Modelle aus-
kaum Freiraum fur ein neues Buch. Deshalb haben
zuwerten, Gleichungen wenigstens niiherungsweise,
wir ja auch bis heute unser Versprechen, eine
"numerisch", zu losen, die reale, dreidimensio-
Analysis 3 vorzulegen, nicht eingehalten, aber
nale Situationen und Gerate mit sehr hoher Ge-
das Vorhahen nicht aufgegeben: Vielleicht wird
nauigkeit beschreiben. vleil Computer in vorher
dieses Buch das erste, das zeigt, wie man mit
unvollstellbarer Weise schneller und flexibler
Mathematik modelliert und rechnet. Wir waren
wurden, aber auch weil Mathematiker, Physiker
und Ingenieure lernten, mit diesen Computern
aber auch fur ein neues Buch nur halbherzig motiviert, weil das alte, jetzt neu aufgelegte,
sehr viel besser umzugehen, spielt heute Compu-
eben einen wichtigen Teil der Mathematikausbil-
terslmulation elne so zentrale Rolle: Man simu-
dung noch recht gut abdeckt. Und weil es, wie
liert das Verhalten von Festkorpern und die
es uns doch recht viele Studenten bestatigen,
Xnderungen des Klimas, die Urnstromung von Raum-
unSerem wichtigsten Anliegen gerecht wird: den
fiihren wie die Herstellung und das Verhalten
SpaB an der Mathematik, am mathematischen Tun,
von Megachips, die Ausbreitung und Eindarnmung
der fUr viele durch eine zu formale, "bedeu-
von Krankheiten und (dies noch recht unvoll-
tungsarme" Schulmathematik recht geschrumpft
standig) die Arbeitsweise eines Nervensystems.
ist, ein wenig zu steigern. Was wir in anderem
Urn dies tun zu k6nnen, um Simulationssoftware
Zusammenhang formuliert haben (Neunzert/Rosen-
sachgemaB nutzen oder selbst entwickeln zu k6n-
berger: Schliissel zur Mathematik), sollte auch
nen, muS man lernen, die Gleichungen mittels
in diesem Buch erfahrbar sein: "Mathematik ist
Rechner schnell und so exakt wie notig zu li:5sen:
Man muB das Handwerk eines numerischen Mathema-
vall neuer Ideen, ist wie das Spiel, wie die
Kunst ein Bestandteil, ja vielleicht sogar ein
tikers erlernen, man muB verstehen, was effi-
besonders sensibler Reprasentant der Kultur und
ziente Algorithmen sind und wie man sie ent-
nicht zuletzt ein unersetzliches Hilfsmittel
wickelt. Viele, vielleicht die meisten Natur-
der Naturwissenschaften, der Technik und der
wlssenschaftler, Ingenieure, Mathematiker und
Wirtschaft. Mathematik ist Werkzeug und Spiel
Informatiker in den F&E-Abteilungen der Industrie tun genau das: Algorithmen anwenden, verbessern, entwickeln, urn Computersimulationen
Wir danken den vielen Lesern, die uns geschrle-
durchflihren zu konnen. Da dies - im Gegensatz
ben, auf Fehler oder Unklarheiten aufmerksam
zu einem haufig anzutreffenden Irrglauben - eine
echt mathematische Aufgabe ist, mu8 sie auch
gemacht, uns gelobt oder getadelt haben. Fast
aIle Korrekturen gehen auf solche Hinweise zu-
als solche gelehrt werden. Dazu ist die an vie-
rUck. Aber trotz dieser ist das Buch aus den
len deutschen Hochschulen zu findende 4-stundi-
erW11hnten GrUnden nicht optimal: Nobody (and
ge Vorlesung uber numerische Mathematik nicht
nothing) is perfect!
ausreichend. Naturlich kann andererseits eine
solche Numerik auch die Lehre der mathematischen Grundlagen nicht verdrangen. Was wir aber
doch erreichen muSten: Gleichzeitig mit den
Grundlagen das numerische Denken, den Blick fUr
das Algorithmische zu scharfen. Wiirden wir das
Buch neu schreiben, wUrden wir dies verstarkt
versuchen (wir tun dies zumindest in Ansatzen
Kaiserslautern, im Sommer 1992
W.G. Eschmann, H. Neunzert
Vorwort zur ersten Auflage
Dieses Buch entstand aus "Studienbriefen", die
uns nun gelungen ist, dieser Forderung gerecht
1m Rahmen des Projektes "Fernstudium 1m Medien-
zu werden, rouS der Leser beurteilen; alle Anre-
verbund" fUr Fernstudenten des Faches Elektro-
gungen, die wir in dieser Hinsicht von Lesern
technik entwickelt wurden. Inhaltlich sollten
der Studienbriefe - Kollegen verschiedener
durch diese Studienbriefe etwa 2 bis 3 Semester
Fachrichtungen und Student en - erhielten, ver-
der normalen Mathematlkausbl1dung von Studenten
der Elektrotechnik an deutschen technischen
Hochschulen und Universitliten abgedeckt werden;
suchten wir zu berticksichtlgen.
in ihrer Darstellungsform, ihrer didaktischen
Gestaltung aber sollten die Studienbriefe auf
Doch nun zu der Frage, welche Rolle nach unserer Meinung die Mathematik in der Ausbildung
von Physikern und Ingenieuren spielt und was
Fernstudenten abgestellt sein - auf Studenten
praktischer Umgang mit dieser Mathematik fUr
also, die mit Ausnahme weniger Prasenzphasen
Studenten dieser Fachrichtungen bedeutet.
fern von jedem Hochschulort, ohne Besuch von
Die mathematische Ausbildung von Naturwissen-
Vorlesungen nur mittels solcher Texte studieren.
schaftlern und Technikern unterscheidet sich
Fernstudium in dieser Form ist weitgehend auch
von der Ausbildung von Mathematikern. Ein Ma-
Selbststudium, deshalb sollte dieses Buch, dank
thematikstudent muB lernen, Mathematik zu schaffen, mathematische Fragestellungen herauszuar-
seiner Entstehungsgeschichte, dem Pradikat
"zum Selbststudium geeignet" genUgen.
bei ten und Lasungstheorien zu entwickeln - der
Mathematik lernt man nicht nur dadurch, daB man
Mathematik fUr seine Wissenschaft nutzbar zu
sich Definitionen und Satze einpragt, Algorith-
machen. Urn bei dem Beispiel des Fahrschlilers
Ingenieur- oder Physik student muB lernen, die
men oder gar Beweise auswendig lernt: Mathema-
zu bleiben; Jemand, der ein Auto nutzen will,
tik lernt man durch eigenes Tun. Wie es fUr
muB nicht lernen wie ein Auto entwickelt und
einen Fahrschtiler von entscheidender Bedeutung
konstruiert wird (umgekehrt ist es fUr den Kon-
ist, neben dem Erlernen von Verkehrsregeln und
strukteur allerdings schon vorteilhaft zu wis-
technischen Daten eine gewisse Fahrpraxis zu
sen, wozu sein Produkt spater praktisch ge-
gewinnen, so muB derjenlge, der Mathematik erlernen will, Praxis im umgang mit Mathematik
braucht wird - ein Aspekt, der in der modernen
Ausbildung von Mathematikern oft zu kurz kommt).
erwerben. Diese Aussage gilt, unabhangig davon,
Er muB lernen, wie er es optimal nutzt, er muB
ob man Mathematik um ihrer selbst willen oder
Leistungsverm6gen und Grenzen kennen.
als Hilfsmittel zur Lasung naturwissenschaft-
Natiirlich ist die Verflechtung von Mathematik
licher, technischer oder 6konomischer Probleme
und Physik oder Technik komplex und sicher muB
erlernen will. Was "Praxis" allerdings bedeu-
insbesondere der Physikstudent im weiteren Ver-
tet, ist abhangig von der Zielsetzung, und wir
lauf seines Studiums auc.h lernen, die Mathema-
werden unsere Vorstellung von der Rolle der Ma-
tik seinen physikalischen Problemen entspre-
thematik als Grundlage fUr Physik und Technik
chend zu entwickeln und zu formen. FUr die ma-
kurz erlautern. Aber schon aus dem bisher ge-
thematischen AnfangsgrUnde einer wissenschaft-
sagten folgt, daB ein Mathematiktext, der zum
lichen Ausbildung in diesen
Selbststudium geeignet ist, das folgende Merk-
der Benutzerstandpunkt v61lig.
r~chern
geniigt aber
mal hat: Er regt den Leser immer wieder dazu
Das bedeutet nach unserer Meinung jedoch keines-
an, einzelne Gedankenschritte selbst zu voll-
wegs, daB Mathematik als Sanunlung von Rechen-
ziehen, Gedanken weiterzufUhren, Verbindungen
herzustellen, Rechnungen nachzuvollziehen, die
vorschriften, sogenannten Kochrezepten zu vermi tteln ist.
eigenen Kenntnisse zu UberprUfen. Dazu ist un-
Wir zitieren einen bekannten Vertreter der an-
seres Erachtens weder der sogenannte "Definition-Satz-Beweis"-Stil noch ein Text im Sinne
des "programmierten Lernens" geeignet. Db e6
gels~chsischen
angewandten Mathematik, Sir
("Ul'l.teltU.1Wung.i.m EntweJz.6en und .im
GebJta.u.eh ma.the.ma.t.i..6ehVt BUcMubungen -teeh.nU.c.heJt. Sy-
James Lighthill
XI
Vorwort zur ersten Auflage
.6teme" in W.H. B6hme (ed): Ingenieure fUr die
Zukunft, TH Darmstadt 1980):
dienfach im allgemeinen hat. Urn dies an 8e1spielen zu verdeutlichen: Man kann nicht
gleich zu Beginn tiber Differentialgleichun-
"VoJthVt rnoc..h1:e ,(c.n ste jedoc.h dMaJ'l eJU.nnVtI'l, daJ3 Ma..tnemadk., a.t6 un Faeh OM ,6,(eh, Oa.6t volUg au6 Log,[k.
gtUittdeA:.. E.6 i.J:,:t :te1i.wllie cl.ieoVt urv..eLtige Zugang, deJt
Jtune Mathemat,[k. unbJulUc.hbM maeht CLt.6 Ba.c.kgltOunci fliJt
Inge/Ue.uJte. In Whtllic.hke.U wi.!!.6en wit, da.J3 Inge/UeuJte
iJt!Le EnUehudungen VOlt dem fUnteJr.gJturui eA..neJt M£6ehung
aM iogi.6ehVt Al'Ul£y.6e, expeJuinentell.en Oa:ten unci jeneJt
AJt:t "Qwvufenken", dM man oM aU "ll'rtlLilion deo Inge/Ue.uJL6" bezeic.hne.:t, .tJte66en. mM.6e.n. Angewa.ndte Ma:thema.Uk
.6ueh:t ei.n Gteic..hgew,[eht heJtzu.s:teUen, diU MheJt bel.. dem
Ueg:t, wa.6 deJt Ingen,[etUt bJt.a.uc.h:t, wUt e4 au6 dVt Idee
beJw.ht, da.B Follic.1vt-Ut eMei.c.ht WeJ1.den muJ3, ,(ndem man
In6olLrna:t-[one.n. au6gJUlV!d iog-l.6c.helL An.a1y.6e rna 1n6oJtma.tionen '[n.:tegJUvr.;t, die au6 ExpvrJ.ment und Beobac.htung ba.6,(e!tt.
len be.:toV!e jedoeh, da.B delL gJUlnd6iitzUehe log-l.6c.he "Ge6c..hmac.lz" dVt Mathema.:tik au.6 jedeV! FaLt Vtha..Uen bleibeJ'l
mul3, und,(M log-l.6ehVt ChMaUVt mul3 ,(n deJ1. IV!geni..euJtau.sbildung nahegebnaeh:t weJtden. Au6 aLee, die ZM Eltkenn:trU.6 deJt logi.6c.hen Elemente e.inv.. ma:thema:tJ.J.JC.hen
MgWl1ew gekommen .6,(nd. kann man .6,[c.h vVtiM6en, Wenn
e.6 zwn Bwp,(u dcvtau6 a.nlwmm:t, une Hypo:thv..e zu bwVt:ten, tUcht nuJr. au6 GJULf'ldlage (JxpeJUmentellVt Bewwe,
.6oru:ieJ1.n aueh au.6 delL GJtundtage expeJUme.nteUvr. BevJwe
unteJ1. BVtue/u,,(c.hUgung delL iogi.6c.hen Kon.6equenzen delL
Hypo:thv..e. Man ka.nn .6,[c.h dMau6 vWM6en, da.J3 6,(e be.i
,(Men eJt..6ten Gbwegungen au6 d,[e GnuooptinzJ.p,(en ZMuc.kgehen weJLden, arv..:ta:t.t .6,[ch ,[n au6wend.tge Bvr.ec.hnungen
au6 dVt BMlb obVt6tiic.Wc.hV!. GJtunciea.gen zu .6:tUJtzen. Vemen:t.6pJtecheJ'l.d kann ,(ch ,uc.ht rna jenen Ex:tl1.emi..6ten ubeJte.if1..6timmen, d{.e angewand:te Mathematik a£.6 une Sammtung
em~c.heJ1. FOMUn £.ehJLe.n mOc.hte.n! Ebel'l.6o unbJtauc.hbM
i.6:t d{.e .6.ttU.k:te ioglbc.he E~c.kfung de-6 Thema..6 aU ei.ne
Ruhe von Theoneme.n uoo Bwwen. Wbt bJUtuchen einen
K/lJL..6 delL Mitte, bel.. dem w,Lc.hUge A6pekte dell. £.ag-l.6c.ne.n
Na;tu/t ma:thema:ti.6c.heJ1. Ana£.y.6e bubeh.a.Ue.n well.de.n, anne den
Stude.n:ten in einem MeV!. de.duktive/t Unze1heiten Zl1 eJLuiinken" •
Wir haben versucht, einen solchen "Kurs der
Mitte" zu steuern:
1)
gen sprechen, wenn der Begriff der Differentiation vorher nicht klar ist; man kann
einen Studenten kaum zur Besch.!:iftigung mit
Taylorreihen motlvieren, indem man zeigt,
daB die klassische Mechanik aus der speziellen RelativiUitstheorie durch Abbruch
einer Taylorreihe nach dem zweiten Glied
entsteht, wenn dieser Student noch nie etwas
von spezieller RelativiUitstheor1e gehort
hat.
Bei diesem Weg zwischen Theorie und Praxis
hatten wir wertvolle Hilfe insbesondere von
Kollegen der Elektrotechnik. Vor allem gilt
hier unser Dank den Herren Professoren
W. Heinlein, J. Stepina und W. Freise vom
Fachbereich Elektrotechnik der Universi tat
Kaiserslautern und Professor H. -G. Bausch
und Diplom-Ingenieur U. Schneider von der
TU Hannover.
2) Um den "logischen Geschmack der Mathematik"
zu erhal ten, haben wir versucht, den im modernen Sinn exakten Aufbau der Mathematik
zu erhalteni Definitionen sollten logisch
einwandfrei sein (wenn auch
Funktionen noch
"Zuordnungen", nicht "Teilmengen eines kartesischen Produktes" sein werden), Satze
sollten vollstandig formuliert sein. Beweise
allerdinqs werden dann weggelassen, wenn sie
weder dem Verstandnis des Satzes noch dem
Einuben bestimmter SchluBweisen oder Begriffe dienen. Wir hoffen dadurch "das Meer deduktiver Einzelheiten" auf ein ertragliches,
aber notwendiges MaB reduziert zu haben.
Aueh flir diese Aufgabe konnten wir uns auf
zahlreiche Hilfe sttitzen: Die Studienbriefe
entstanden im Rahmen eines Teilproj ektes
zum Projekt "Fernstudium im Medienverbund
der Mathematik" und grlinden inhaltlich auf
dem Basistext "Analysis" dieses Proj ektes.
Den Mitarbeitern dieses Projekts, insbesondere dem Proj ektleiter Dr. J. Seheiba (Mainz)
Urn die Brucke zu den den Studenten primar
gebiihrt unser Dank ebenso wie den Mi tglie-
interessierenden Wissenschaften zu schlagen,
dern der zugehorigen Faehkommissionen, ins-
haben wir uns in Stoffauswahl und Reihenfol-
besondere ihrem Vorsitzenden Prof. M. Barner
ge so weit wie moglich an den Bedurfnissen
(Universitat Freiburg) und den Herren Pro-
dieser Wissenschaften orientiert und viele
fessoren H. Heuser (Karlsruhe), C. Mtiller
konkrete Beispiele aufgenommen. NatUrlich
(Aachen) und W. Thimm (Kaiserslautern).
sind diesem Vorhaben Schranken gesetzt:
Ganz herzlich danken wir auch Frau C. Kranz,
Einmal durch die Eigengesetzlichkeit des
Frau I. Sehaumloffel und Frau R. StUrmer,
Aufbaus der Mathematik, zum anderen durch
ohne deren Muhe und Geduld beim Schreiben
die relativ geringen Kenntnisse, die ein
der Texte dieses Buch sieher nicht zustande-
Studienanfanger auch in seinem eigenen Stu-
gekommen ware.
XII
Vorwort zur ersten Auflaqe
SchlieBlich wollen wir noch einige allgemeine
Gesichtspunkte zitieren, die sicherlich flir
einen beliebigen Lehrtext ihre Glil tigkei t
haben.
Die Formulierung ist ziemlich genau 200 Jahre
alt und stammt aus "Die Erziehung des Menschengeschlechts". Lessing hat natiirlich an ein Euch
cUe Wafr-te. zu lJ:taJck plLelJlJe.n. VM g.ibt dem Unde. une.n
k.tuilic.hen, lJciUe6e.n, lJp1.tzMnd..tgen VeJL6ta.nd; dM mac.ht
e.lJ ge.helmrU.lJJtuch, abeJLg£iiub-i..6c.h, vall Vvw.c.htung gegen
Fa.J3uc.he und Luchte.
Un bef3Jr.eJt Piidagog muJ3 kommen und dem K.iw:te daJ.J eMch6pOte Etemen:t.oJLbuch aU/) den Hiinden I1..wen.
a.tte.lJ
ganz anderen Inhalts gedacht, trotzdem - wir
konnten es gewiB nicht besser ausdrUcken und
bitten nur den Leser, die Bezeichnung "Kind",
die Leserschaft, die Bezeichnung "kindliches
Volk" zu verzeihen.
Kaiserslautern im September 1980
Die Autoren
rtE-Ln Etemen:t.oJLbuch 6LL,t K.indVt dM6 gM wah{ cUe.6e.lJ odetr.
jene.6 w.Lchtige S-tUc.k dVt W-i..6lJefUcha.M odetr. KUH.lJX:, ciLe e.6
voJtt!tiig-t, mIt S:tU'..t6chwcigen ubVtgehen, von dem detr.
Piida.gog uJLte)1;t~, daJ3 ell den Fa.tUgke.U:m detr. Kindetr., 6M
die Vt .6chtUeb, noch n..-Lch-t angemU-6en lJU. AbVt elJ dM6
lJchiechteJtciLnglJ n..-Lcht6 entha.Uen, walJ den IGLndelln deJi
Weg zu den zUftiic.kbeitaUnen t.ai..c.htige.n S.tiic.ken veJUpeJVte
odell veJr£ege. V~e1me.hJt mlLMen ~hnen a...Ue Zuga.nge. zu den-6e.£ben lJ01!.g6iiUig o66en ge.£M-6e.n wellden; und lJ~e nuJt von
unem unzJ.gen diueJt Zugange abteLten odell veJ1LUl.6ac.hen,
daB lJJ..e den.6e.£ben .6pa.tel1. be;txe.ten, wii'tde a-ttun cUe Unvoffitiiw:tJ..gk.eli dell Etemen:tM.buc.M zu unem wuen.tUc.hen
FehieJt delllJetbell ma.c.hen • •• ,
Une. An.6,uJ..el.tmg nenl1e J..c.h, WM bto13 ciLe NeugJ..e1!.de Jtuzen
und une hage vel1.aneaJ.JlJe.n lJOttte. Eblen FJ..ngeJtzug nenlW.
J..ch, wail lJchon itLgel'tdunen Keim enthiiU, a.w., wetchem -6J..ch
di.e noch zUftlic.kgehaUne. Wah!theli entuu.cketn lZiJ3.t:. In Mtchen VOfulbungen, MMpi.etu.ngen, Fi.ngeJtzUgen be.6teht di.e
poJ.iLtive Vollkorrmel'lheA.:t einell ElementMbuc.hJ.i; lJoutLe cUe
obef1.e.JW.Jiihn.te Ugen6cha6X:, da13 e.6 den Weg zu de.n nach
zuJtiickge.ha1.te.ne.n WahJthcU.e.n n..-Lc.h.t e.MchweJte odell ve!tlJpeJUte, cUe nega.tive. VoUkomme.nhut de.6J.ietben waJt.
se.:tz-t man MeJtZU noe.h dJ..e. Ei.nkLudung und de.n Sru 1) cUe Ei..nkLeidullg deJL MCh.t wah£. zu ubel1.gehe.nden ablJbta.kten WahAheden J..n AUegotien und lelvutuc.he ccnzetne Fille, cUe aL6 w0Lllich ge.6chehen ellziihte.:t weJtden.
2) den Sru - bald ptan w1d e-Ln6au..tg, batd poe..ti.6c.h,
dUftc.itaM voil. Tautotogi.een, abeJt lJOlche.n, cUe den SC.hM6lJJ..1't1l liben, J..ndem lJi.e batd e.t:wM andeM zu lJagen lJchunen
und doch dM niimuche. Mge.n, batd daJ.J rriimliche zu lJagen
lJc.hunen ul'td J..m GJtunde e.twa.6 ande.M be.deuten odeJt be.dwten kannen: Und J..hJt hab-t a..Ue gute. UgefUc.h.a.6te.n une.6
Elemen.:toAbuchlJ lJowohi &liJt MndeJt a..U OM un lufndtiche.o
Vaik.
AbeJt j ene.6 Eleme.nta.Jtbuch ,{lJX: Y1LUt. 6liJt Ul't ge/!JJ..6M.6 MjVt.
Vcu J..hm e.n..twa.c./u,ene. Uw:t tangell, atJ.i Me Munung gewe.6en,
dabu Z(.L veJwJille.n, ,{lJ-t lJchiidUc.h. Venn urn MelJe.6 auS
une. nUft un..tgeJtma.J3en nu..tzUc.i1e. AA.t.tun zu kannen, mu13
ma.n mehJt Mnuniege.n, a..U daJr..{n Uegt, mehJt h.LneJ..ntJtagen,
a..U elJ 6aMen hal'll!. Man mu13 dqA An6pJ..etu.nge.1't und FingeJtze--i.ge zu viel'. -6uc.hen unci mac.he.n, die AllegoJUeen zu ge-
danken dem Verlag LA.Mayer, Aachen fUr die
MU aMlJchli.Uei.n, cUe Bwp.ie1.e zu um!.:>tiindUch dr.ute.n,
freundliche Genehmigung zurn Abdruck.
Die Gedichte auf den Seiten 132, 145 und 172
sind aus der Sarrunlung "Cannina Mathematica"
von Hubert Cremer (5.Auflage, 1977). Wir
Wie arbeiten Sie mit diesem Such?
insbesondere
beim Selbststudium zu
beachten
Wahrend Ihres Studiums der Mathematik sollten
Sie eine rnoglichst groBe Sicherhei t
irn umgang
mit mathematischen Methoden und Ergebnissen er-
Sie werden bald merken, daB das blaBe Durchle-
sen des Lehrtextes noeh kein Verstehen oder
Lernen des Stoffes ausmacht. Sie sollten des-
langen. Urn dieses Ziel auch schon flir den in
halb Ihnen schwer verstandliche Pas sagen noeh
diesem Buch vorliegenden Stoff zu erreichen,
einmal selbstandig (eventuell ausflihrlicherJ
finden Sie im Text viele Aufgaben. Diese sind
Schritt flir Schritt aufschreiben. Unterstrei-
in der Randspalte durch ein A gekennzeichnet.
chen von Textstellen ist kein Ersatz flir dieses
Halten Sie also beim Lesen und Lernen stets
Nachvollziehen. Manchmal ist es auch hilfreich,
Bleisti'ft und Papier berei t! Die Aufgaben sind
sich an einer schwierigen Stelle nicht festzu-
mit dem (bis zu der jeweiligen Aufgabe) ge-
beiBen, sondern erst einmal weiterzulesen. Naclr-
brachten Stoff zu l6sen.
dem Sie dann ein Beispiel nachvollzogen, eine
Aufgabe selbst gerechnet oder wei tere Informa-
Am
Ende des Buches
(ab Seite 269)
finden Sie
tionen gelesen haben, nehmen Sie sich diese
die "Losungen der Aufgaben". Diese L6sungen
Stelle noch einmal var. Und siehe da •. ,
gliedern sich fur die meisten Aufgaben in
Solche Aha-Erlebnisse lassen gelegentlich auch
"1) Hinweise" und "2) Lasung". Sollte Ihnen bei
etwas Hinger auf sich warten.
einer Aufgabe nach einigen Anlaufen eine eigene Lasung nicht gelingen, so sollten Sie zu-
Wenn Sie beim Lesen auf Begriffe oder Ergebnis-
nachst die "Hinweisc" lesen und dann neue Lo-
se stoBen, die Ihnen nicht ganz klar sind,
sungsversuche unternehmen. Wenn Ihnen auch die
solI ten Sie so fort nachschlagen. Bei dieser
"Hinweise" nicht weiterhelfen,
Suche helfen Ihnen die im Text stehenden Zitate
(was durchaus
mehrfach vorkornrnen kann), so ziehen Sie die
(z.B. bedeutet (4.22) ein Ergebnis aus Kapitel
komplette L6sung zu Rate und vergleichen diese
4), das Saehverzeiehnis ab Seite 333 und die
mit Ihren zuvor angestellten Uberlegungen. Se-
Marginalien in den Randspalten.
hen Sie sich jedoch die Lasung auch dann an,
KUlilJiv gedJuLeh:te. Te.x:tpMJ..agell enthalten keinen Lehr-
wenn Ihnen die Bearbeitung der Aufgabe gelingt.
text sondern geben Ihnen Erlauterungen, Hinwei-
Zum einen erkennen Sie vielleieht, welehen an-
se oder Beschreibungen.
deren (eventuell klirzeren) Losungsweg es noeh
Klein gedruckte Textpassagen k6nnen Sie beim ersten
gibt; zum anderen schleichen sieh beim Erlernen
Lesen uberschlagen.
der Mathematik sehr leicht Denkfehler ein, die
Sie beim Uberprlifen entdeeken kannen.
Wir wlinschen Ihnen viel Erfolg!
Kapitel 1. Die reellen Zahlen
§
1 MENGEN
Wir werden in diesem Absehni tt eine Reihe von
Die Tatsache, da8 7 ein Element von P ist,
schreiben wir in der Form
Element von
7 EP
Begriffen aus der Mengenlehre zusammenstellen,
ohne dieses Teilgebiet der Mathematik zu ver-
(lies: 7 (ist) Element (von) P, kurz: 7 (ist)
tiefen. 1m Text werden die Begriffe und zugeho-
aus P). Dagegen 1st 7 kein Element von M
rigen Syrnbole jeweils als eine Art Stenographie
7 $M
verwendet. Fur Sie ist es deshalb wichtig, die
Bedeutung der Begriffe und Syrnbole gut zu ken-
nicht Element
(lies: 7 nieht Element (von) M, kurz: 7 nicht
aus M).
Wir unternelunen nicht den Versuch, den Begriff
Menge
~
.exakt zu definieren. Wir erinnern ledig-
DEFINITION.-
Eine Menge A heiBt Te.limenge.
lich an eine von G. Cantor (in: Beitrage
Menge B (in Zeichen A€B),
BegrUndung der transfiniten Mengenlehre, 1895)
von A aueh ein Element von B ist.
einer
wenn jedes Element
(1.1)
Teilmenge
gegebene ErkUirung:
Unter einer ~
verstehen wir jede Zusam-
menfassung von bestimmten wohluntersehiedenen Objekten unserer Ansehauung oder unse-
Die Beziehung "s=" heiBt Ink1tt6lon.
Weitere Sprechweisen fUr den Sachverhal t AS B
sind:
res Denkens zu einem Ganzen.
A (ist) enthalten in B,
B enthalt A.
Die Objekte, die zu einer Menge zusammengefaBt
Elemente
worden sind, heiBen Ete.me.nte. dieser Menge.
BEISPIELE
in diesem Sinn sind etwa:
- die Menge der BUrger der Stadt Bonn
30.9.1979
- die Menge aller Primzahlen
Denken wir uns die Hengen A und B als Punktmengen der Ebene gegeben (die Elernente sind die
von der jeweiligen Linie eingeschlossenen Punktel, so ergibt sieh fUr "As;, B" etwa folgendea
Blld:
- die Menge, die aus den Zahlen 3,19,-12,34,8
besteht.
Bezeichnungen
fur Mengen
Wir werden Mengen Uberwiegend mit GroBbuchstaben bezeiehnen und folgende Schreibweisen verwenden:
(1)
explizi te Angabe der Elemente zwischen
geschweiften Klammern, etwa
M :"" {3,19,-12,34,8} .
Bild 1.-
(Das Symbol := bedeutet: definitionsge-
Punkt aus B.
Ao;;;Bi jeder Punkt aua A ist auch ein
maS gleich. Also: M 1st definitionsgegemaB gleich der Menge, die die Elemente 3,19,-12,34 und 8 enthalt.)
(2) Angahe charakteristischer Eigenschaften
aller Elemente, etwa
P
;=
{xIx ist Primzahl} .
BEISPIELE.-
(1)
1st A := {2,3,4} und
B := {1,4,3,5,2 }, so gilt A£"B, denn: fUr jedes Element x E A (namllch x "" 2 oder x = 3 oder
x = 4) gilt auch x E B.
(lies: P ist definitionsgemaB gleich
(2) Betrachten Sie noch einmal die oben defi-
der Menge aller x mit der Eigenschaft:
nierten Mengen M und P. Es ist a EM, aber 8 $p,
x 1st primzahll.
da 8 keine Primzahl ist. Es gibt also ein Ele-
(1.2)
Kapitel 1
ment (*)
von M, das nicht in P enthalten ist.
Das bedeutet:
~
jedes Element von Mist auch
BEMERKUNG.-
Die reellen Zahlen
Die Eigenschaften der Menge
reellen Zahlen werden wir in Kapitel
lR der
1 und
5
ein Element von P. Deshalb ist M nicht Teilmen-
genau untersuchen. Oiese Eigenschaften bilden
ge von P (in Zeichen: M*,P).
die Grundlage fUr die Entwicklung der Analysis.
Die anschauliche Vorstellung, daB zwei Mengen
gleich sind, wenn beide genau dieselben Elemente enthalten, formulieren wir folgendermaBen:
EIGENSCHAFT DER INKLUSION.C gilt:
A<i:B und
(1.3)
B~C
~
FUr Mengen A,S und
At.;.C.
(1.6)
(*)
Die Mengen A und B heiBen gte1.c.h
DEFINITION.-
(in Zeichen: A=B), wenn
A~B
und BS:A gilt.
UberprUfen Sie diese Eigenschaft der Inklusion
noch eirunal an den Mengen von Beispiel (1.5).
(1.4)
BEMERKUNGEN.(1) Die Definition (1.3) legt
fest, was Sie tun mUssen, wenn Sie die Gleichheit zweier Mengen A und B nachweisen wollen:
Z.B.: jede natiirliche Zahl 1st rational, jede
rationale Zahl ist reel!. Also ist jede natiirliche Zahl reell.
Sie mUssen die GUltigkeit zweier Inklusionen
nachweisen, nfunlich AS B und B 5i A. Wir werden
spater darauf zurlickkommen.
(2)
1st
A~
B, aber B$A, also A ungleich B (in
Zeichen: A,. B), so sagt man auch: A ist eine
echte Teilmenge
DEFINITION.- A und B seien Mengen. AUB (lies:
A vereinigt mit B) besteht aus allen Elementen,
die mindestens in einer der Mengen enthal ten
sind; kurz:
e.c..h.te. Te.ilme.nge. von B (oder A ist echt enthalten
in B)
(in Zeichen: A c: B).
(1. 7)
AUB
A U B heiBt
{xlxEA
VeJte.in,.[QW1g
oder
xES}.
(**)
von A wul B.
In Bild 1 gilt nicht nur As;;. B, sondern sagar
AcB.
1m folgenden Beispiel listen wir bestimmte Mengen von Zahlen auf, die Ihnen immer wieder begegnen werden.
(1.5)
BE1SP1ELE.-
(1)
ThI
,=
(nln 1st natUrliche Zahl)
ist die Menge der natlirlichen Zahlen. NattirliIN
che Zahlen sind die Zahlen 1,2,3,4,5,.... .
(2) lNo := {nln ist natUrliche Zahl oder n =O}
ist die Menge aller natlirlichen Zahlen ein-
Bild 2.- AU B (schraffiert).
schlieBlich der Zahl Null.
(3)
1£
:= {gig ist die ganze Zahl}
ist die Men-
ge der ganzen Zahlen. Ganze Zahlen sind die Zahlen ••• ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, . • • .
(4)
(I}
:= {xix ist rationale Zahl} ist die Menge
DEFINIT10N.-
die sowohl in A als auch in B enthalten sind;
kurz:
der rationalen Zahlen. Rationale Zahlen sind
AnB:= {xlxEA
die Zahlen E, wobei p E 1£ und q E 1£ sind und
Zahlenmenge
q +0 ist, aiso z.B.
';,-~,H'1~~,t.
A und B seien Mengen. A nB (lies:
A durchschnitten B) besteht aus allen Elementen,
A n B heiBt
und
XEB}
VuJtcMchni..tt von. A und B.
(5) m := {xix ist reelle Zahl} ist die Menge
lR
der reellen Zahlen. Reelle Zahlen sind Zahlen
der Art 4;-7i-8;327;+;-; 112=1,414213562 •• ;
(*)
Das Symbol"::::;:''' bedeutet: "daraus folgt" oder
"dann". Also hier: aus A6:B und B~C folgt A,",C:
oder: ~AS::B und B.6C, dann AS=C.--
(**)
Das Wort "oder" wird in der Mathematik stets im
nichtausschlieBenden Sinne gebraucht, d.h. es
schlieBt die Bedeutung "und" ein. "xEA oder xEB"
bedeutet also: x ist nur Element von A oder nur Element von Bader Element von A und von B.
Wollen Sie "oder" im ausschlieBenden Sinn verwenden,
so empfiehl t sich der Gebrauch von "entweder oder".
'rI'=3,141592653589 •.. ; 0,427T=0,4271 4271 ..•
(*)
Die Formulierung "es gibt ein ... " wird in der
Mathematik imrner in der Bedeutung" es gibt mindestens ein ••• " verwendet. Es kann also auch mehrere Elemente dieser Art geben.
(1 .8)
§ 1
Mengen
Die in Bild 4 skizzierte Situation bedeutet, daB
Aufgabe 1.-
es kein x gibt, das sowohl in A als aueh in B
liegt. Man sagt in diesem Fall: die Menge A n B
Bilden Sie die Mengen A UB, B UA. A nB, B nA. A'B, B'A.
disjunkt
ist ie.eIL und nennt die Mengen A und B d..i.6{u.nU
leere
Menge
enth§lt, verwendet man das Symbol
(elementfremd). FUr die Menge, die kein Element
~.
~
(lies:ieVte
Beispiel: Die Menge der Einh6rner im
FranKfurter Zoo.
{JO
Bild 3.- An B (sehrafflert)
Bild 4.- A nB
Eine wei tere M6glichkei t
Bildung neuer Men-
=~
Sei A := {l,3,S,7} und B := {2,3,4,S.6} •
Zum SehluB dieses Abschnitts stellen wir noeh
ein Konstruktionsprinzip fur nneue" Hengen bereit, das "Produkt von Mengen n • Wir besehreiben
zunachst eine Anwendung und geben anschlieBend
die allgemeine Definition.
BEISPIEL.-
Die Lage eines Punktes P der Ebene
laSt sieh dureh zwei reel Ie Zahlen besehreiben,
wenn man ein kartesisehes Koordinatensystem eingefUhrt hat. Das s.ind zwei senkreeht aufeinanderstehende Geraden (die Koordenatenaehsen),
wobei die waagereehte Gerade x-Aehse (aueh x 1Achse) und die dazu senkrechte y-Aehse (aueh x 2Achse) genannt wird.
gen ergibt sieh aus
(1~9)
A und B selen Mengen. A \B (lies:
A ohne B) besteht aus allen Elementen, die in A,
A \ B heiBt
1
-4
0
-I
undx4:B}.
Vl66e1Lenz von A u.nd B.
i
P2
aber nieht in B enthal ten sind; kurz:
Differenz
------------------I P
(-3,1).
DEFINITION.-
A\B:={xjXEA
-2
(0)
-3
Bild 6. -
• (1,-3)
Beschreibung eines Punktes P in der
Ebene mit kartesischem Koordinatensystem.
Der Abstand P1 von P zur y-Achse heiSt erste
oder x- Koordinate von P, wobei P1 negativ zu
w.!ihlen 1st, wenn P links von der y-Achse liegt.
Bild 5.-
A \B (sehraffiert).
Der Abstand P 2 von P zur x-Achse heiBt zweite
oder y-Koordinate von P, wobei P2 negativ zu
wahlen ist, wenn P unterhalb der x-Achse liegt.
Das Zahlenpaar (p, ,P 2 ) beschreibt den Punkt P:
(1.10)
BEISPIELE.(1) Es ist IN U {OJ =lNo und
IN n {OJ =¢.
(2) {xlxElR und x 2 _1 =O} n{xjxElR und
2x +2 =O} =
{-1j.
(3) 1R\{O}ist die Menge aller von null verschie·
denen reellen Zahlen.
p = (P1,P2)-
Sie sehen sofort, daB man die beiden Koordinaten
P1 und P2 nicht vertauschen darf, wenn der Punkt
P dadurch beschrieben werden solI. So sind z.B.
(-3,1) und (1,-3) verschiedene Punkte. Man
spricht deshalb von einem geoltdnete.n Paar reeller
Zahlen.
BEMERKUNG.onen
FUr die definierten MengenoperatiVereinigung, Durehsehnitt und Differenz
gilt eine FUlle von GesetzmaSigkeiten, die wir
hier j edoeh nieht auffUhren wollen.
(*) A\B wird auch Komplement von B bezuglich A genannt.
A1
Solche geordneten Paare lassen sieh nicht nur
aus reellen Zahlen bilden und werden in diesem
(1.11)
Kapitel 1
geordnetes
Paar
(1.12)
Buch auch aus anderen Objekten gebildet und be-
DEFINITION,-
notigt.
pel A l x .•• xA n := {(al, ••• ,anlla1E A1, •.. ,anEAn}
Die Menge aller geordneten n-Tu-
Sind A und B beliebige Mengen, so nennt man ein
(lies: A1 Kreuz undsowei ter Kreuz An) heiSt
Paar (a,b) mit aEA und bEB ein geoJub1.ete.& Pa.aJt
PMdu.k.t delL Mengen A1 b.i..6 An'
(1.13)
Atx ... XAn
(*), wenn man fUr solche Paare folgendermaSen
eine Gleichheit festlegt: Die Paare (a l ,b 1 ) und
(a 2 ,b2 ) heiSen gl.eich, wenn
Ein geordnetes 2-Tupel ist also ein geordnetes
a 1 =a 2 und b 1 =b 2
TJL.i.pe£.. Wir werden haufig den Zusatz "geordnet"
Paar. Geordnete 3-Tupel heiBen auch geoMnete
gilt. Wir schreiben dann auch (a 1 ,b 1 ) = (a 2 ,b 2 ).
weglassen.
DEFINITION,-
AUFGABE 2.-
Die Menge aller geordneten Paare
A x B := {(a,b)
Produktmenge
Die reellen Zahlen
Ia
Sei A=B:= {2,3,4}. Bestimmen Sie alleEle-
A2
mente der Menge A x B und zeichnen Sie diese Elemente als
E A und bE B}
Punkte der Ebene (mit kartesischem Koordinatens!lstem).
(lles: A Kreuz B) heiSt PJuJdukt(menge} von A u.nd B.
Sind n gleiehe Mengen, etwa A 1"" A2
In unserem vorangegangenen Belspiel war also
A=B
= lR.
Wir hatten plausibel gemacht, daS je-
=.•• "" An""
A
so schreibt man st att A1 x ••• x An kUr2
zer A • Statt IR x]R also lR (lies: R (hoch) zwei)
gegeb~n,
R2
dem Punkt der Ebene (mit Koordinatensystem) ein
geordnetes Paar reeller Zahlen entspricht. umge-
§
kehrt ist klar, daB nach Wahl eines Koordinatensystems durch jedes geordnete zahlenpaar ein
2
FUNKTIONEN
DEFINITIONEN UND BEISPIELE
Punkt der Ebene festgelegt wird. Wir konnen daher die Menge der Punkte der Ebene mit der Menge lR x lR der geordneten Paare reeller Zahlen
Der Begrlff der Funktion wird in der gesamten
identifizieren (gleichsetzen). Das komrnt bereits
Mathematik sowie in ihren Anwendungen in ande-
in der Schreibwe!se P
= (P1,P2)
zum Ausdruek.
Sie werden sieh erinnern, daB man Punkte irnRaum
dureh dre! reelle Zahlen (Koordlnaten) besehreiben kann. FUr eine Beschreibung von Zustanden
gewisser physikalischer Systeme werden haufig
ren Wissenschaften standig benutzt.
BEISPIEL,-
Aus lhrem Physikunterricht wissen
Sie sicher, daB der freie Fall eines Kerpers
durch das Gesetz
(1)
auch mehr als drei reelle Zahlen n6tlg setn. Es
ist deshalb nUtzlich, nieht nur den Begriff des
beschrieben wird; hierbei sei 9 =9,81 sr:c 2 die
geordneten Paares, sondern allgemein den eines
Erdbeschleunigung, t die Zeit in Sekunden und s
geordneten Systems
der vom Zeitpunkt t = 0 im freien Fall zurUckgelegte Weg des Kerpers (in Metern). Jedem Zeit-
(x" •.. ,x n )
von Objekten x 1 ,x 2 , ••• ,xn zur VerfUgung zu haben.
punkt t
ist also durch das Fallgesetz (1) eine
bestimmte Entfernung s "" s (t) zugeordnet. Etwas
ungenau sagt man deshalb auch: die Funw.on
s (t) =~ g t 2 beschreibt den freien F~
Sind A l , .•. ,An endlich viele Mengen, so nennt
man ein System (a 1 , ... ,an ) mit alE
,anEAn
ein geOMrtete.& n-Tupet wenn man fur solche Systeme
Wir werden anschlieBend eine hinreichend allge-
folgendermaBen eine Gleichheit definiert:
meine Definition des Begriffs Funktion geben,
A" ...
(a"
••• ,an) und (a" ••• ,a~) heiBen gle1.c.h, wenn
a 1 = ai, ••• ,a n= a~ ist. (M) Wir schreiben dann auch
(a, , ••• ,an) = (a
die sowohl den AnsprUehen der Analysis als auch
denen der linearen Algebra genUgt.
l , ... ,a~) •
D~FINITION.-
(*)
mit a als erster Koordlnate (Komponente) und b als
zwelter Koordinate (Komponente).
i
1
(lies: far i gleich 1 his n).
Seien A und B Mengen. Einefunk..ti.on
nac.h B ist eine Vorsehrift, die jedem
f
~ A
X
EA genau ein Element von B, das wir f(x) nen-
nen, zuordnet. Wir verwenden die Schreibweisen
f: A
(**) Filr die letzte Bedingung schreiben wir auch: wenn
a =a' fllr i= 1, ..• ,n
(1. 14)
freier Fall
(lies: f von A nach B)
oder
-> B
(1.15)
Funktion
§ 2
Funkt!onen, Definitionen und Beispiele
x
~
f (x)
fUr x E A
Die Menge Wf := {yly E B, es giht ein x EA, so
daB y '" f ex)} oder kUrzer
(lies: x wird zugeordnet (oder: geht tiber in)
f
Wf
von x).
,= (fIx) IXEA)
ist die Menge aller Funktionswerte von fund
Statt "Funktion" finden Sle in der mathematischen Lite-
heiBt der WeJt.tebeJLe..ic.h von f. Es ist also Wf so- B.
Betrachten wir nicht aIle Funktianswerte f (x) ,
ratur auch den Begriff "Abbildung". Wir kommen sp.!iter
sondern nur salche, fur die x aIle Elemente ei-
darauf zurikk.
(1. 16)
genau ein
BEMERKUNG. -
ner Teilmenge C G.A durchHiuft, so erhalten wir
Die vorstehende Definition verwen-
das B.i..ld von
Menge
"hochstens ein und rnindestens einn. Also hier:
einem Element x EA dUrfen nicht zwei oder mehr
(verschiedene) Elernente von B zugeordnet seine
Andererseits darf auch nicht der Fall auftreten,
daB einem x EA kein Element von B zugeordnet ist
Wenn wir uns die Mengen A und B wieder als Punkb-
mengen der Ebene vorstellen, so kC3nnen wir eine
Funktion f: A -> B dadurch veranschaulichen,
daB wir von jedem x EA einen Pfeil zu dem zugeordneten Element f (x) E B zeichnen (vgl. Sild 7) •
C
unter der Funktion f, das ist die
ftC)
det die Formulierung "genau e1n"; das bedeutet:
,={f(x)lxEC}.
Es ist also insbesondere f CA) "" Wf •
BEISPJELE.- Es glbt verschiedene Mtiglichkeiten,
Funktionen zu definieren (anzugeben)
0
(1)
In Beispiel (1014) auf Seite 4
hatten wir
festgestellt, daB dem Fallgesetz die Funktion
t )-) s (t) , s (t)
:=;
9 t 2 zu Grunde liegt. Sehen
wir fUr den Augenblick von den physikalischen
Dimensionen ab, so wird jedem t E 1R genau eine
reelle Zahl s (t) zugeordnet (z.B. ist s
~'9,81'
(-3)
=
(_3)2 =44,145). Wir haben es also mit ei-
ner Funktion s: 1R -> lR zu tun. Berucksichtigen
wir jedoch den physikalischen Zusammenhang, so
ist s nicht mehr fUr aIle t
E 1R
definiert. Denn:
Nach unserer Vereinbarung beginnt der freie Fall
erst zum Zei tpunkt
t =0
0
Zu einem bestimmten
Zeitpunkt to (to grtiBer bzwo spater als t =0)
hat der fallende Korper die ErdoberfUiche erSild 7. -
Veranschaulichung einer Funktion
f:A-)B.
reicht - der freie Fall ist beendet, der zurUckgelegte Weg set) nimmt nicht mehr zUo
In dieser Situation ist also die Funktion
t t-> s (t) = ~ 9 t 2
nur fur t zwischen 0 und to definiert (vgl. die
nachfolgende Aufgabe 3).
(2) 1st A := {3,-7,2,{} und B := {1,2,3,4,5,6},
so kann man ZoB. eine Funktion f: A -> B definieren durch
Bild 8.-
Eine Zuordnung, die keine Funktion
ist: von einem Element x EA gehen
Pfeile zu zwei verschiedenen Elemen-
f(3)
,= 2, f(-7)
,= 3, f(2)
,= 4 und fIt)
,= 3.
Sie sehen, jedem x€. A ist durch die Definition
von f
ten von Bo
(x)
genau ein Element von B zugeordnet.
Die Tatsache, daB zwei verschiedenen Elementen
Zur besseren Verstandigung bentitigen wir noch
von A (namlich -7 und
einige Bezeichnungen und Sprechweisen: Sei
(namlich
f: A -> Beine Funktion von A nach B. Die MenDefini tionsbereich
ge A heiBt
Ve.6~n6beJL£.ic.h
von f, und man sagt:
t)
dasselbe Element von B
zugeordnet ist, verletzt nicht den
oben definierten Begriff der Funktion 1
Da al s Funktionswerte nur die Zahlen 2,3 und 4
auf jedes x EA angewendet werden. Die Elemente
von A heiBen Altgume.nte. von f.
wert von f vor. Aber auch dies widerspricht der
ist fUr jedes x EA definiert oder f kann
Ein Element yEa, zu dem es ein x EA gibt, so
daB y
Funktionswert
3)
vorkommen, ist der Wertebereich Wf = {2,3,4}.
Nicht j edes Element von B kommmt als Funktions-
f(x)
=f
Wertebereich
(x) gilt, heiBt Bdd. von
Funk.U.on6weJt.t von f an delL steU.e. x.
x un.teIL f oder
Definition des Begriffes Funktion nicht.
ILu .. S[e nooh Wtma! Ve6<.n.i.ti.on (I. lSI WId beVw.c.hten
S-iR. 8Ud I).
(1.17)
Kapitel 1
(3)
Eine reeht einfache Funktion ist die fol-
(in Zeichen: f +g), wenn es (mindestens) ein
idA: A -> A
0-,.
x EA gibt, so daB f(x)
x
wird eine Funktion von A nach A definiert, di'e
jedem x EA als Funktionswert wieder x zuordnet.
identische
Funktian
Aus Definition (1.19) ergibt sieh:
Die beiden Funktionen fund 9 sind nieht gleich
gende: Set A eine M~nge. Dureh
x
BEMERKUNG. -
Die reellen Zahlen
Es gilt also idA (xl =x fUr aIle x EA. idA heiSt
-i..de.n:ti...6che. Funkt.i..on (auf A) .
Aufqabe 4. -
~
Die FUnktion f
fix)
:=
~x2 +
x t-> g(x)
:=
1(X + I
x
+g(x)
ist.
und g seien gegeben durch
x -2, xElR, una
+
Vs)(x
+
1 -
Vs),
xElR.
zeigen 5ie, daB f = gist.
A3
Aufgabe 3. -
Bin Korper bewege sich aus einer Ruhelage
in einer Hohe von 490,5 m
zur
zur
Zeit t=o im freien Fall
Erde. Dann wird seine Hohe h(t) iiber der Erdober-
flache zu "jedem" Zeitpunkt t
(groBer als 0) gegeben
durch
h(t) := 490,5 a)
t
Abschlie8end behandeln wir noch zwei wichtige
Verfahren zur Bildung neuer Funktionen aus gegebenen Funktionen:
die Komposi tion von Funktionen und die Bildung
der Umkehrfunktion.
g t2
Nann erreicht der Korper die Brdoberflache ?
b) Nelches ist ein physikalisch sinnvoller Defini tionsbereich fur die Funktion t
_>
Sind A und B Teilmengen reeller zahlen, so kann
man eine Funktion f: A -> B graphisch darstellen. Man zeichnet in der Ebene mit kartesischem
Koordinatensystem die Punkte (x, f (x»
XEA,
(vgl.
DIE KOMPOSITION VON FUNKTIONEN
h(t) ?
fUr jedes
(1.12) auf Seite 4).
Wir beginnen mit einern Beispiel: Sie wissen, daB
sieh die Hahe der jahrlich an das Finanzamt abzufilhrenden Einkornmensteuer nach der Hohe des
(zu versteuernden) Einkommens riehtet. Genauer:
Die Einkommensteuer E ist eine Funktion des Einkommens x, also
xI--> E = f(x) .
(1.18)
BEISPIEL.- Sei f: lR -> IR gegeben dureh
x i-> f (x) := 2x. Dann hat f die folgende gra-
facht) die Hohe des Einkommens x eine Funktion
phische Darstellung:
der Arbeitszeit t,
-~--
(*)
,
/
Die graphisehe Darstellung von Funktionen wird
noch einmal ausfUhrlich in Kapitel 4
behandelt.
Urn mit Funktionen arbeiten zu konnen, mUssen wir
festlegen, wann zwei Funktionen gleieh sind.
(1.19)
Gleichhei t von
Funktionen
DEFINITION.- Seien f: A -> B und g: A -> B
zwei Funktionen von A nach B. fund 9 heiBen
gle1..ch (in Zeichen: f =g), wenn
f(x) = g(x)
(wer in gleicher Position
weniger arbeitet, erhiHt weniger Geld) :
Y/(,Xl=2X
2x
(*)
Andererseits ist (zugegebenermaBen stark verein-
fUr jedes x EA.
Beachten 5ie: Zur "Gleichheit" zweier Funktionen gehort
auah, daB sie den gleichen Definitionsbereich haben.
Ciese Funktion fist - wie sollte es anders sein auBerordentlich exakt in §32a Abs. (1) des EinkOlllIla'lsteuergsetzes 1977 vom 05.12.1977 (neu gefaBt durch
das Gesetz vorn 30.11.1978) definiert. Dort heiBt es:
"(1) Die tarifllche Einkommensteuer bemiBt slch n~h
dem zu versteuernden Einkommen. Sie betrAgt ... jeweils in Deutsche Mark
1. fftr zu versteuernde Einkommen bis 3690 Deutsche
Mark: 0;
2. fur zu versteuernde Einkommen von 3691 Deutsche
Mark bis 16 000 Deutsche Mark: a,22x - 812
3. fUr zu versteuernde Einkommen von 16 001 Deutsche
Mark bis 47 999 Deutsche Mark:
{[ (10,86y-154,42)y'" 925]y+2200}y+27081
4. fur zu versteuernde Einkommen von 48 000 Deutsche
Mark bis 129 999 Deutsche Mark:
{[ (O,lz -6,07)z+109,95]z+4 800}z+15 298;
5. fur zu versteuernde Einkommen von 130000 Deutsche
Mark an: 0,56 x - 13 644.
"x" ist das abgerundete zu versteuernde Einkommen.
"y" ist ein Zehntausendstel des 16 000 Deutsche Mark
ftbersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden Einkommens. "z" ist ein Zehntausendstel des
48 QCX) Deutsche Mark Ubersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernd.en Einkammens."
Glfickllcherweise schreibt das Gesetz auch die Erstellung von Elnkommensteuer-Tabellen vor. Aus diesen
Tabellen lassen sich die Funktionswerte ml1helos ablesen.
A4
§ 2
Funktionen, Definitionen und Beispiele
(0)
t 1--> x = 9 (tl
Insgesamt ist also die zu zahlende Einkommensteuer auch eine Funktion der Arbeitszeit:
=
t.....,. E
Wir haben "g(t) in f(x)
Beachten Sie, daB es auf die Reihenfolge
(3)
beider Funktionen ankommt. Wir geben im AnschluB Beispiele dazu.
f(g(t».
eingesetzt", bzw. wir
haben fund 9 "nacheinander angewandt".
Wir definieren nun allgernein, wie man durch Einsetzen einer Funktion in eine andere bzw. durch
die Hintereinanderschal tung zweier Funktionen
BEISPIELE.- (1) Die Funktionen g: lR\{O} -> lR
und f: lR -> lR selen gegeben durch
xl->g(x)
(1.21 )
:=~undxl-->f(x) :=2x-1.
Es ist Wg s;.lR und deshalb fog definiert, und
zwar gilt filr x E JR.\ {O}:
eine neue Funktion erh§.l t.
=f(~) =2~
(fo g) (x) =f(g(x»
-1 =2
~x
.
Dagegen ist go f nicht definiert, denn es ist
(1.20)
DEFINITION.-
Seien g: A -> B und f: C -> D
zwei Funktionen. Es gelte Wg
~C.
Dann wird durch
X
=~ ist f(x) =2 ~ -1
t-'> f (g (x) )
fur x E A
(lies: f nach 9 oder: f Kreisg)
heiSt Kompo.6ilion von f u.nd
]R\ {O}.
g.
VOIL
f, d.h.
0
IR\{Oj •
(2) Sei f: JR. ->
fog:AI->D
definiert. fog
0*
=0. 0 ist
EW f , aber
Deshalb ist Wf keine Teilmenge von
also ein Funktionswert
eine Funktion
Komposi tian
WfiIR\{O};
Begrilndung:Filr x
und g:
]R
->
m.,
x t->
f(x)
:= x +1
]R,
x t->
g(x)
:= 2x.
Aus den Definitionen von fund 9 folgt Wf s;.m.
und Wg ~]R. Also sind 9 0 f und fog definiert..
Es gilt aber:
~
B=C
Bild 9.-
Zur Komposition zweier Funktionen.
(f
0
(1) Wesentlich an der Definition
ist die voraussetzun;JWgS,C: der Wertebereich von
=
2x+1
und
9 (x + 1) = 2 (x + 1) = 2x +2
Sie sehen z.B. fur x=O:
(fog)(O) =1+2=
(g 0 f) (0) . Mit der Bemerkung hinter Definition
(1 • 19) auf Set te 6
erhal t man fog
f
9 0 f.
(3) Wenn Sie das einfilhrende Beispiel zu diesem
Abschnitt noch einmal durchlesen, werden Sie
sehen, daB es dort sinnlos ist, die Kompcsition
go f
BEMERKUNGEN.-
f(2x)
g) (x) = f(g(x»
(g 0 f) (x) = 9 (f (x»
zu bilden.
(In 9 wird "Arbeitszeit einge-
setzt", und man "erhalt DM". In f wird "DM eingesetzt" und man Uerhlilt DM").
9 muB im Definitionsbereich von f liegen. Diese
Voraussetzung garantiert, daB f (g (x»
ein sinn-
voller Ausdruck ist: Man wendet zunachst 9 auf
x EA an und erhalt den Funktionswert g(x). Da
9 (x) ein Element von C ist, kann f darauf angewendet werden. Man erhalt den Funktionswert
f (g (x»
von f an der Stelle 9 (x). Nach der vor-
stehenden Definition schreibt man
f og(x) =f(g(x»
oder zur Verdeutlichung auch
AUFGABE 5.-
Fur welche Funktionen fund gist fa g de-
finiert? Bestimmen Sie gegebenenfalls (f
0
g) (x) fUr
x
aus dem Definitiansbereich von fog.
a) A
:=
g: A
f:
{-4,3,1,O},
-> 1R,
B:= {-7,O,-1,3,19,24,811}
x 1-> g(x)
:= x(x -
2),
B ->1R, x I->f(x) := x+2
b) f: JN .....;. JN,
n 1--> f(n)
:=
1°2°••. on,
g: lR .....;. lR,
x 1--> g(x)
:=
-22.
(Falls Ihnen die Aufgabenstellung unklar ist, lesen sie
(f og)(x) = f(g(x».
(2) 1st B = C, so ist die Voraussetzung Wg s= C
stets erfUllt. Dieser Fall liegt hliufig vcr.
(*)
~~:nF::~~~:~~~~:~ ~~~~a~a~r~~:!~\!~~f~!;h7~_
lungen zwischen den Arbeit.gebern und Gewerkschaften.
Bei nicht varhandener Interessenvertretung wird 9
auch beim Einstellungsgesprach definiert.
zunachst auch die Hinweise im Losungsteil).
A5