Geschichte der Mathematik, SS 2016 Kapitel VIII

GeschichtederMathematik,SS2016
KapitelVIII
Folie149:
KapitelVIII:ThemenderZahlentheorie
VielederFragestellungeninderAlgebrawarenverbundenmitdem
ProblemderLösungvonGleichungenmittelsWurzelausdrücken.Diese
UntersuchungenhabendieBegründungunddieEntwicklungderTheorie
vonGruppenundKörperninitiiert.Anderealgebraische
ForschungsrichtungenwurzelninderDiophantischenAnalysisundunder
Zahlentheorie,soetwainFermatsletztemSatz.
EulerhatFermatsletztenSatz1738für𝑛 = 4bewiesen,erbrauchte
weitere30Jahre,ihnfür𝑛 = 3zubeweisen.InseinenBriefenanGoldbach
wirdersichtlich,dassesihnsehrvielAufwandkostete,denneswarnötig,
neueMethodeneinzuführen.
Bereitsinden1760erJahrenhabenEulerundLagrangebegonnen,bei
ProblemenderZahlentheorieirrationaleundimaginäreAusdrückeder
Form𝑎 + 𝑏 𝑐,𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ,zuverwenden.Eulerschriebindiesem
ZusammenhanganLagrange,dasserbegeistertseivonLagrangesIdee,
irrationaleundimaginäreZahlenbeiderUntersuchungvonrationalen
Zahlenzuverwenden.IhmseienähnlicheIdeenauchbereitsgekommen,
erhabegezeigt,dassdieLösungderGleichung
𝑥 - + 𝑛𝑦 - = 𝑝- + 𝑛𝑞 - 1 gleichbedeutendseimitderLösungderGleichung
1
𝑥 + 𝑦 −𝑛 = 𝑝 + 𝑞 −𝑛 VermutlichhatteEulerzuderZeitdieIdee,Ausdrückewie𝑎 + 𝑏 𝑐zu
verwenden,umFermatsletztenSatzzubeweisen.
Folie150:
FermatsletzterSatz(um1640)
FermatsletzterSatzoderdergrosseFermatscheSatzwurdevonFermat
um1640formuliert,alsRandbemerkungindieArithmetikavonDiophant.
ManfindetdieZitate
„Cubumauteminduoscubos,autquadratoquadratuminduos
quadratoquadratos,etgeneraliternullamininfinitumultraquadratum
potestateminduasejusdemnominisfasestdividere:cujusrei
demonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnon
caperet.“
„Esistjedochnichtmöglich,einenKubusin2Kuben,odereinBiquadratin
2BiquadrateundallgemeineinePotenz,höheralsdiezweite,in2
PotenzenmitebendemselbenExponentenzuzerlegen:Ichhabehierfür
einenwahrhaftwunderbarenBeweisentdeckt,dochistdieserRandhier
zuschmal,umihnzufassen.“Siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Großer_Fermatscher_Satz
Für𝑛 = 1oder𝑛 = 2gibtesunendlichvieleMöglichkeiten.Fermathat
dieseBehauptungvermutlichfür𝑛 = 4und𝑛 = 3bewiesen,hinterlassen
haterdieBeweisenicht.FürdenFall𝑛 = 4findensichvieleverschiedene
Beweise.EulerhatdannauchdenFall𝑛 = 3beweisen.Esreicht,denSatz
fürungeradePrimzahlenundfür𝑛 = 4zuzeigen,alleVielfachendieser
Zahlenkannmandanndaraufzurückführen(sieheetwadieobengenannte
Wikipedia-Seite).DaesunendlichvielePrimzahlengibt,sinddasjedoch
immernochunendlichvielezuüberprüfendeFälle.Erst1995wurdeder
Satzallgemeinbewiesen,vonAndrewWilesundRichardTaylor(der
BeweisverlangtedieEntwicklungsehrtiefgehenderneuerMethoden).
MehrzurGeschichtediesesSatzesimBuchvonS.Singh.
Folie151:
EulersAnsatz
ZurErinnerung:EulerstudierteAusdrücke𝑎 + 𝑏 𝑐,𝑎, 𝑏, 𝑐ganzeZahlen,𝑐
keineQuadratzahl,möglicherweisenegativ(alsoirrationale,
möglicherweisekomplexeZahlen).ErverwendetesolcheZahlenbei
seinemAnsatzzumFermatsletztemSatz.
DazumusstemandieseAusdrückeingewissemSinnealsganzeZahlen
auffassen.WasunterscheidetdieganzenZahlenvondenrationalen
Zahlen?DieganzenZahlenhabeneinereichhaltigeArithmetik.Sogibtes
etwaPrimzahlenundzusammengesetzteZahlen.Jedezusammengesetzte
ZahlkanneindeutigalsProduktvonPrimzahlengeschriebenwerden.(Für
natürlicheZahlenwardiesesGesetzbereitsEuklidbekannt.)EineFolge
diesesGesetzesist:istdasProduktzweierZahlen,dierelativprimsind,
gleicheinerPotenzeinerganzenZahl,sosinddiesauchdieganzenZahlen.
IstggT 𝑎, 𝑏 = 1mit𝑎, 𝑏 > 0undist𝑎𝑏 = 𝑙 9 ,soist𝑎 = 𝑡; 9 und𝑏 = 𝑡- 9 .
EulerhatdieseEigenschaftenohneBeweisauchfürZahlenderGestalt𝑝 +
𝑞 −3,mit𝑝, 𝑞ganzeZahlen.MitHilfevonsolchenZahlenhaterden
letztenSatzvonFermatfür𝑛 = 3bewiesen.HierdieGrundideendazu:
Behauptung:𝑥 < + 𝑦 < = 𝑧 < kannnichtpositivenmitganzenZahlenerfüllt
werden.
2
ZurBeweisstrategievonEuler:ergehtdavonaus,dassmanpositive
ganzzahligeLösungengefundenhatundführtdieszumWiderspruch(mit
HilfevonFermatsMethodedesunendlichenAbstiegs):
ErfüllendieganzenZahlen𝑥, 𝑦, 𝑧dieGleichung
𝑥< + 𝑦< = 𝑧<
sokannmanannehmen,dasssiepaarweiserelativprimsind.Dann
müssenzweivonihnenungeradeseinunddiedrittegerade(dennsonst
hättenzweivonihneneinengemeinsamenFaktor).Wirnehmenan,dass
𝑥, 𝑦ungeradesindund𝑧geradesind(sonstkönntemandieRollen
vertauschenundetwadieUnmöglichkeitvon𝑥 < = 𝑧 < − 𝑦 < beweisen,falls
𝑥geradewäre).AlsAnsatzsetztman𝑥 = 𝑝 + 𝑞und𝑦 = 𝑝 − 𝑞,wobei𝑝, 𝑞
unterschiedlicheParitäthabenundwodergrösstegemeinsameTeilervon
𝑝und𝑞gleich1sei.Dannerhältman
𝑥 < + 𝑦 < = 2𝑝 𝑝- + 3𝑞 - = 𝑧 < Da𝑧geradeist,ist𝑧sicherdurch8teilbar.Ausserdemistdann𝑝gerade
und𝑞ungeradeund(mit𝑧 = 8𝑧; ):
𝑝 𝑝 + 3𝑞 - = 𝑧;< 4
HierhatEulerzweiFälleunterschieden:a)𝑝istnichtteilbardurch3und
b)𝑝istdurch3teilbar.HierzumFalla),dadiesgenügt,dieIdeevonEuler
zuillustrieren.
@
ImFalla)sind und𝑝- + 3𝑞 - relativprimunddaherbeideKubikzahlen.
A
EulerfaktorisiertdanndenTerm𝑝- + 3𝑞 - ,einessentiellerSchrittim
Beweis:
𝑝- + 3𝑞 - = 𝑝 + 𝑞 −3 𝑝 − 𝑞 −3 = 𝑟 < @
(für𝑟 < gleich𝑧;< /( )).Darausschliesster,dassjederderimaginären
A
FaktoreneineKubikzahlist,
<
𝑝 ± 𝑞 −3 = 𝑢 ± 𝑣 −3 fürgeeignet𝑢, 𝑣.Manfindet
𝑝 = 𝑢(𝑢 − 3𝑣)(𝑢 + 3𝑣)
𝑞 = 3𝑣(𝑢 + 𝑣)(𝑢 − 𝑣)
Da𝑞ungeradeist,istauch𝑣ungeradeund𝑢gerade.Da𝑝/4eine
Kubikzahlist,istauch2𝑝eineKubikzahl,d.h.2𝑢 𝑢 − 3𝑣 𝑢 + 3𝑣 = 𝑡 < für
eineZahl𝑡.DadiedreiZahlen2𝑢, 𝑢 − 3𝑣, 𝑢 + 3𝑣relativprimsind,sindsie
alledreiKubikzahlen,also2𝑢 = 𝑡;< ,𝑢 − 3𝑣 = 𝑓 < und𝑢 + 3𝑣 = 𝑔< (mit
Zahlen𝑡; , 𝑓, 𝑔).Manfindet
𝑢 − 3𝑣 = 𝑓 < 𝑢 + 3𝑣 = 𝑔< 2𝑢 = 𝑓 < + 𝑔< = 𝑡;< Nunüberlegtmansich,dassdieZahlen𝑓, 𝑔, 𝑡; kleinersindals𝑥, 𝑦, 𝑧.Falls
alsodieursprünglicheGleichung𝑥 < + 𝑦 < = 𝑧 < diepositiveganzzahlige
3
Lösung𝑥, 𝑦, 𝑧besitzt,soauchdieLösung𝑓, 𝑔, 𝑡; mitkleinerenZahlen.
DamitkannmanfortfahrenundfindetimmerweiterkleinereLösungen
(mitpositivenZahlen).DaesnurendlichvielepositiveZahlengibt,die
kleineralseinegegebenesind,führtdieszueinemWiderspruch.Diesist
eineAnwendungvonFermatsMethodedesunendlichenAbstiegs.Neu
beimAnsatzvonEulerist,dasserdieTeilbarkeitsgesetzevondenganzen
ZahlenaufAusdrückederForm𝑝 + 𝑞 −3erweiterte.
EulersArgumentewarennichtganzpräzisundsiegingenauchvoneiner
falschenAnnahmeaus,nämlichvonderAnnahme,dassmanimRing
ℤ −3 derZahlenderForm𝑚 + 𝑛 −3eindeutigeFaktorisierungenhat,
wasjedochnichtstimmt:
4 = 2 ⋅ 2 = (1 + −3)(1 − −3)
ImRingℤderganzenZahlenhatmaneindeutigeFaktorisierungen(die
Primfaktorzerlegung).Mansagt,ℤseifaktoriellodereinUFD(unique
factorisationdomain)odereinZPE-Ring(„dieZerlegunginPrimelemente
isteindeutig“).Wennmananstattinℤ −3 imRing𝑄( −3)derZahlen
derGestalt(𝑚 + 𝑛 −3)/2,𝑚 ≡ 𝑛modulo2,arbeitet,sohatman
eindeutigeFaktorisierungen.EulerumginghierFehler,daernurZahlen
derGestalt𝑝 + 𝑞 −3mit𝑝 ≢ 𝑝modulo2verwendethatte.
Folie152:
IdeenausEulersAnsatz
EulersBeweisbeinhaltetezweiwichtigeIdeen,diespäterauchandere
MathematikerInnenverwendethaben.DieerstederIdeenwardie
folgende:UmdenletztenSatzvonFermatzubeweisen,mussmandie
Form𝑥 1 + 𝑦 1 (𝜆einePrimzahl)alsProduktvonLinearfaktorenschreiben,
𝑥 1 + 𝑦 1 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝜁𝑦 … (𝑥 + 𝜁 1R; )
wobei𝜁 1 = 1seiund𝜁 ≠ 1.
DiezweiteundwichtigereIdeewar,dassman,wennmandie
EigenschaftenderganzenZahlenverstehenwollte,denBegriffderganzen
Zahlerweiternmusste.Im19.JHführtedieEntwicklungdieserIdeezur
ErschaffungderTheoriederganzenalgebraischenZahlenundzur
BegründungihrerRechenregeln.
Folie153:
GermainzuFermatsletztemSatz
NachEulerwarSophieGermaindienächste,dieFortschrittebeimBeweis
vonFermatsletztemSatzmachte.Siebewies,dassdieVermutungfür
Primzahlen𝑝gilt,fürdie2𝑝 + 1auchwiedereinePrimzahlist(daswären
4
etwa3,5,11,abernicht7).SophieGermainlasalsJugendlichedie
mathematischenBücherihresVaters–ihreElternwarendagegenund
versuchten,siedavonabzubringen.OffenbarbeschränktensieLichtund
HeizungimZimmervonS.Germain,damitsienichtweiterlesenkonnte.
Mit13lerntesieselbständigLateinundGriechischunddamitkonntesie
dieArbeitenvonNewton,Euler,Gaussundandernlesen.IhrwaralsFrau
einStudiumnichterlaubt.SieerhieltdieVorlesungsunterlagenvoneinem
Studenten(Leblanc),derinderfranzösischenRevolutionstarb.Nach
seinemTodverwendetesieseinenNamen,umLösungenvon
Übungsaufgabeneinzuschicken.DadurchwurdeLagrangeaufsie
aufmerksam,erlerntesiekennenundfördertesiedanach.Sieführteeinen
BriefwechselmitGauss,unterdemNamenLeBlanc.Gausserfuhr1807von
ihrerIdentitätundbeeindruckt„...whenawoman,becauseofhersex,our
customsandprejudices,encountersinfinitelymoreobstaclesthanmenin
familiarisingherselfwith[numbertheory‘s]knottyproblems,yet
overcomesthesefettersandpenetratesthatwhichismosthidden,she
doubtlesshasthemostnoblecourage,extraordinarytalentandsuperior
genius...Thescientificnoteswithwhichyourlettersaresorichlyfilled
havegivenmeathousandpleasures.Ihavestudiedthemwithattention.
...“1
EinBeitragvonGermainzumBeweisdesSatzesvonFermatistfolgender:
Ist𝑝eineungeradePrimzahlZahlundexistierteineHilfs-Primzahl𝜃,so
dasskeinezweibenachbarte(aufeinandernachfolgende)𝑝-ten
Potenzengleich0sindmodulo𝜃undistauch𝑝keine𝑝-tePotenz
modulo𝜃,somussinjederLösungderFermatschenGleichung𝑥 @ +
𝑦 @ = 𝑧 @ einederdreiZahlen𝑥, 𝑦, 𝑧durch𝑝- teilbarsein.
AuchGermaingelangdieallgemeineLösungnicht,aberihreFortschritte
sindwichtigeBeiträgezurZahlentheorie.[K,Seiten715,716].
Folie154:
GanzalgebraischeZahlen(13.VO)
DievonEulerverwendetenZahlenderForm𝑚 + 𝑛 −3sindBeispiele
ganzalgebraischerZahlen.AlgebraischeZahlensindreelleoderkomplexe
Zahlen,dieNullstellenvonPolynomen
𝑓 𝑥 = 𝑎U 𝑥 U + 𝑎UR; 𝑥 UR; + ⋯ + 𝑎; 𝑥 + 𝑎W mitrationalenKoeffizienten𝑎X sind,siesindalsoLösungenderGleichung
𝑓 𝑥 = 0.DiealgebraischenZahlenbildeneinenRing.JederationaleZahl
istalgebraisch,da𝑞 ∈ ℚNullstellevon𝑥 − 𝑞ist.DiealgebraischenZahlen
enthaltenalsodierationalenZahlenundsindeineechteTeilmengeder
1ZitiertausNickMackinnon:„SophieGermainorWasGaussafeminist?“
5
komplexenZahlen.IsteinereelleoderkomplexeZahlnichtalgebraisch,so
heisstsietranszendent.UnterdenalgebraischenZahlengibtesdie
ganzalgebraischenZahlenoderganzenalgebraischenZahlen.Siesind
NullstellenvonnormiertenPolynomen(𝑎U = 1)mitganzzahligen
Koeffizienten(𝑎X ∈ ℤ)undbildeneinenUnterring.Zudenalgebraischen
ZahlengehörendievonGaussverwendeten:𝑚 + 𝑛 −3istNullstellevon
welchemPolynom(mit𝑚, 𝑛ganzeZahlen).EulerhatdieAnwendungen
derüblichenRechenregelnaufsolcheZahlennichtbegründet.Dererste,
derdieganzalgebraischenZahlenrigoroseinführtewarGauss,inder
Arbeit„ZurTheoriederbiquadratischenReste“um1830.Gaussstelltefest,
dasserzurErweiterungdesquadratischenReziprozitätsgesetzesaufGrad
4(„quadratischesBi-Reziprozitätsgesetz“)denZahlenbereicherweitern
muss,dassesnichtreicht,mitdenganzenZahlenzuarbeiten.Dazuzuerst
etwaszumLegendre-SymbolundzumquadratischenReziprozitätsgesetz.
Folie155:
Legendre-Symbol
FüreinePrimzahl𝑞und𝑎 ∈ ℤistdasLegendre-Symbol
Z
[
definiertals0,
wenn𝑎einVielfachesvon𝑞ist,+1,wenn𝑎einenquadratischenRest
modulo𝑞hatund-1,wenn𝑎nichteinenquadratischenRestmodulo𝑞hat.
Z
Ist𝑞 = 2,soist( )entweder0oder1(denndieungeradenZahlensind
[
modulo2allegleich1,alsoeineQuadratzahl,diegeradensindalle
Vielfachevon2).
EulernannteeineZahl𝑏 ≠ 0einenquadratischenRestbzgl.einer
Primzahl𝑞,falls𝑎und𝑛(ganzeZahlen)existierenmit𝑏 = 𝑎- + 𝑛𝑞,d.h.
falls𝑥 - ≡ 𝑏(mod𝑞)eineLösunghat.Beispiele:1,4,9,5 ≡ 4- und3 ≡ 6- sindquadratischeRestebezüglich11.DieZahlen2,6,7,8,10sind
quadratischeNicht-Reste.DieEigenschaft,quadratischerRestbzgl.𝑞zu
seinhängtnurvonderRestklassederZahlmodulo𝑞ab.
Eulerbewies,dasseineungeradePrimzahl𝑞 = 2𝑚 + 1genau𝑚
quadratischeResteund𝑚nicht-quadratischeRestehat.Erbewiesauch,
dassdasProduktundderQuotientvonzweiquadratischenRestenwieder
einquadratischerRestist.Eulerformulierte1783vierVermutungenüber
dieBedingungen,dasszweiungeradePrimzahlenquadratischeReste
jeweilsbezüglichderandernZahlsind(mansagtdann,𝑝und𝑞sind
@
quadratischeReziproke).Seien𝑝und𝑞Primzahlen> 2.Dannkann( )
nichtgleich0sein.
[
6
Folie156:
QuadratischesReziprozitätsgesetz
EulersBeschreibung,wann𝑝und𝑞,quadratischeReziprokevoneinander
sind,istfolgende:
1. Ist𝑞 ≡ 1(mod4)undist𝑞einquadratischerRestbzgl.𝑝,sosind𝑝
und−𝑝beidequadratischeRestebzgl.𝑞.
2. Ist𝑞 ≡ 3(mod4)undist– 𝑞einquadratischerRestbzgl.𝑝,soist𝑝
einquadratischerRestbgzl.𝑞und−𝑝istkeiner.
3. Ist𝑞 ≡ 1(mod4)und𝑞keinquadratischerRestbzgl.𝑝,sosind𝑝
und– 𝑝beidesquadratischeNichtrestebzgl.𝑞.
4. Ist𝑞 ≡ 3(mod4)und– 𝑞keinquadratischerRestbzgl.𝑝,soist−𝑝
einquadratischerRestbzgl.𝑞und𝑝istkeiner.
EulerkonntedieseBehauptungendamalsnichtbeweisen.Legendrehatdie
Behauptungen1785ineinemArtikelund1798ineinemLehrbuch(Essai
surlathéoriedesnombres)formuliert,jedochkeinenvollständigenBeweis
geliefert.DenerstenvollständigenBeweispräsentiertGauss1801in
seinenDisquisitionesarithmeticae.KurzformuliertistdieAussagedes
quadratischenReziprozitätsgesetzes
abcebc
−1für𝑝 ≡ 𝑞 ≡ 3 mod4 @
[
= −1 d d =
[
@
1sonst(𝑝 ≡ 1 mod4 oder𝑞 ≡ 1 mod4 )
DasEulerscheKriteriumgibtan,wiemandasLegendre-Symbolberechnen
kannbeiungeradenPrimzahlen.Undzwarist
[R;
𝑎
≡ 𝑎 - mod𝑞
𝑞
GausswolltedasGesetzderquadratischenReziprozitätverallgemeinern
aufkubischeundquartischeReziprozitäten.Erwolltebestimmenkönnen,
wannZahlenkongruentsindzudrittenoderviertenPotenzenmodulo
andererZahlen.Bereits1805haterrealisiert,dassdieganzenZahlenals
BereichfürsolcheUntersuchungennichtausreichen.
Folie157:
Gauss’scheZahlen
GaussbenutztedenBereichderGauss’schenZahlen,derZahlen𝑎 + 𝑖𝑏mit
ganzenZahlen𝑎, 𝑏.1832erschieneinArtikelvonGauss,indemergewisse
AnalogienzwischendenganzenZahlenunddenGauss’schenZahlen
aufzeigte.DieGauss’schenZahlenbildeneinenRing(inderheutigen
Sprache).Gausshatbemerkt,dassesunterdenGauss’schenZahlenvier
Einheitengibt(EinheitensindinvertierbareElemente,andersgesagt,
TeilerdesEinselements),dieGauss’schenZahlen1, −1, 𝑖und−𝑖.Erführte
dieNormeinerZahl𝑎 + 𝑖𝑏einals𝑎- + 𝑏 - (alsodasProdukt(𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 −
7
𝑖𝑏)).ErnannteeineganzeZahleinePrimzahl,fallssienichtalsdas
ProduktvonzweiZahlengeschriebenwerdenkann,diebeidekeine
Einheitensind.AnalogdefiniertGausseineGauss’scheZahlalsprim,wenn
sienichtalsProduktvonzweisolchenZahlengeschriebenwerdenkann,
diebeidekeineEinheitensind.
Folie158:
PrimelementeundFaktorisierungen
EineungeradePrimzahl𝑝kanngenaudanninderForm𝑝 = 𝑎- + 𝑏 - geschriebenwerden,wenn𝑝vonderForm4𝑛 + 1ist(𝑎, 𝑏 ∈ ℤ,𝑛 ∈ ℕ).
DiessindgenaudieZahlen,diemanalsSummevonzweiQuadraten
schreibenkann.AlsosindsolcheZahlen–wennmansiealsGauss’sche
Zahlenauffasst–zusammengesetzt,𝑝 = (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏).Primzahlenvon
derForm4𝑛 + 3sindauchalsGauss’scheZahlenprim.DieZahl2istals
Gauss’scheZahlauchfaktorisierbar:2 = (1 + 𝑖)(1 − 𝑖).Oder(zur
IllustrationvomFall4𝑛 + 1:)5 = (2 + 𝑖)(2 − 𝑖).Gausszeigt,dassdie
Primzahlen,dieauchalsGauss’scheZahlenprimsindgenaudie
PrimzahlenderForm4𝑛 + 3.Erzeigt,dassdieNormeinersolchenZahl𝑞
gleich𝑞 - ist.Erbeweistauch,dasseineGauss’scheZahl𝑎 + 𝑖𝑏mit𝑎𝑏 ≠ 0
primoderzusammengesetztistjenachdemobihreNormalsganzeZahl
primoderzusammengesetztist(Beispiele:1 + 𝑖und4 + 3𝑖 =
𝑎; + 𝑖𝑏; 𝑎- + 𝑖𝑏- ?).
NachdemGaussprimfürdieGauss’schenZahlendefinierthat(Elemente,
dienichtfaktorisierbarsindmittelszweinicht-Einheiten),hater
Faktorisierungenuntersucht.Erzeigt,dasssichjedesolcheZahl
faktorisierenlässtmitPrimelementen.Erhatauchbewiesen,dassdiese
Faktorisierungeneindeutigsind(bisaufMultiplikationmitEinheiten).Er
hatdamitdieeindeutigeFaktorisierbarkeitfürdieGauss’schenZahlen
gezeigt.
Folie159:
HöhereReziprozitäten,Restsymbole
DamitkonnteGaussdannKongruenzenindenGauss’schenZahlen
untersuchenunddasquartische(oderbiquadratische)Reziprozitätsgesetz
studieren.Ihmwarauchbewusst,dasserfürdaskubische
ReziprozitätsgesetzkomplexeZahlenderGestalt𝑎 + 𝜔𝑏benötigte,mit
𝑎, 𝑏 ∈ ℤund𝜔< = 1,𝜔 ≠ 1.
Dabeiistfür𝑎 ∈ ℤund𝑞eineungeradePrimzahldas𝑛-teRestsymbol
folgendermassendefiniert
Z
[ U
=𝑎
ebc
s
mod𝑞
8
(mankannfür𝑞aucheinPrimelementindenGauss’schenZahlennehmen.
[R;
t[R;
DannmussmandenExponenten ersetzendurch
,wobei𝑁𝑞die
U
Z
Normvon𝑞ist.InderZahlentheoriedefiniertmandieseSymbolefür𝔮ein
PrimidealineinemGanzheitsringeinesalgebraischenZahlkörpers,dem
AnalogonderganzenZahlenindenrationalen).Das𝑛-teRestsymbolhat
dieEigenschaft
1wenn ≡ 𝑏 U modulo𝑞ist(fürein𝑏 ≠ 0)
𝑎
= 𝜁𝑎 ≠ 𝑏 U + 𝑐𝑞und𝑎 ≠ 𝑑𝑞 𝑞 U
0wenn𝑎einVielfachesvon𝑞ist
(füreine𝑛-teEinheitswurzel𝜁).
DerEinflussvonGausswarenorm.IllustriertwirddieszumBeispieldurch
dieTatsache,dassbisindie1860erganzalgebraischeZahlenalskomplexe
ganzeZahlengenanntwurden,auchwennsievonderGestalt𝑎 + 𝑏√𝐷
warenmit𝐷 > 0(alsoreelleZahlen).
SeineArbeitwarauchentscheidendinderVerbreitungderAuffassung,
dassAusdrückederGestalt𝑎 + 𝑖𝑏auchZahlensind.Eswurdeklar,dass
dieseObjekteeinererweitertenArithmetiksindunddassdieerweiterte
Arithmetikbenutztwerdenkonnte,umResultateüberganzeZahlenzu
erhalten,diemansonstnichtbeweisenkonnte.
Folie160:
AufgabenzumKapitelVIII
1. ManberechnedieLegendre-SymbolederRestklassenmodulo7,d.h.
Z
manberechne für𝑎 = 0,1,2, … ,6(undvergleichemitEulers
ƒ
AussageüberdieAnzahlderReste/Nichtreste).
2. Manrechnenach,dassdievierGauss’schenZahlen1, −1, 𝑖, −𝑖
Einheitensind(manmultiplizieresiemiteinergeeigneten
Gauss’schenZahl,sodassdasResultat1ist).
3. [K,S.759,7]Manfaktorisiere3+5ialsProduktvonGauss’schen
Primelementen.
4. [K,S.684,20]Manzeige,dassderAusdruck𝑥; 𝑥- + 𝑥< 𝑥A nurdrei
verschiedeneWerteannimmtunterden24möglichen
Permutationenvon4Elementen.
9
10
Personenverzeichnis
AbuKamil(850-930)
AdamRiese(1492-1559)
Adrien-MarieLegendre(1752-1833)
AlbertGirard(1595-1632),holländischerArmeeingenieur
AlexanderderGrosse(356-323v.Chr.)
Al-Karaji(953-1029)
Al-Kashi(15.JH?)
AlbertGirard
Alexandre-ThéophileVandermonde(1753-1796)
AnatoliusvonLaodicea(frühes3.JHbis282),BischofvonLaodicea,Wissenschaftler
AndreiNikolajewitschKolmogorov(1903-1987)
Antoniode’Mazzinghi(1353-1383)
Apollonius(262-190v.Chr.)
Archimedes(287-212v.Chr.)
ArchytasvonTarent(5.JHv.Chr.)
Aristoteles(384-322v.Chr.)
ArthurCayley(1821-1895)
Augustin-LouisCauchy(1789-1857)
CamilleJordan(1838-1922)
CarlFriedrichGauss(1777-1855)
CharlesHermite(1822-1901)
Cicero(106-43v.Chr.)
CostaBenLuca(820-912),Arzt,Wissenschaftler,Übersetzer.
ChristophKolumbus(1451-1506)
11
Diocles(240-180v.Chr.)
Dionisidorus(250-190v.Chr.)
DionisiusGori(16.JH?)
Diophant(250?)
EhrenfriedWalthervonTschirnhaus(1651-1708)
Eratosthenes(276-194v.Chr.)
ErlandSamuelBring(1736-1798)Historiker(Beruf)undMathematiker
EtienneBézout(1730-1783)
Euklid(4./3.?JHv.Chr.)
ÉmilePicard(1856-1941)
ÉvaristeGalois(1811-1832)
Eutokios(5.-6.JH),MathematikerundPhilosoph(Kommentator)
FedorEduardovichMolin(1861-1941)
FelixKlein(1849-1925)
FerdinandMagellan(1480-1521)
Fiore(?StudentvonScipionedelFerro)
FranciscusMaurolicus(1494-1575),AbtundUniversalgelehrter
FrançoisDavietdeFoncenex(1734-1799)
FrançoisViète(1540-1603)
Georg(FerdinandGeorg)Frobenius(1849-1917)
GeorgeBoole(1815-1864)
GirolamoCardano(1501-1576),Arzt,Philosoph,Mathematiker
HenriPoincaré(1954-1912)
HeinrichWeber(1842-1913)
HermannAmandusSchwarz(1843-1921)
12
HermannWeyl(1885-1955)
HippasosvonMetapont(spätes6.undfrühes5.JHv.Chr.)
Hippocrates(470-410v.Chr.)
Hipparchus(190-120v.Chr.)
HypatiavonAlexandria(355-415),Mathematikerin,Astronomin,Philosophin
IsaacNewton(1642-1726)
Jacques-AugusteDeThou(1553-1617),HistorikerundStaatsmann
JeanBaptisteleRondd’Alembert(1717-1783)
JohannesvonPalermo,MathematikerundHofphilosophvonFriedrichII.
JohannesWidmann(1462-nach1498).
JordanusNemorarius(1.Hälfte13.JH).MathematikerundMechaniker
JosephLiouville(1809-1882)
Joseph-LouisLagrange(1736-1813)
Kalifal-Mamun(regierte813-833inBagdad,SohnvonHarunal-Rashid)
KalifHarunal-Rashid(regierte786-809inBagdad)
LuigiFerrari(1526-1565)
LeonardovonPisa(Fibonacci)(1180-1240)
LeonhardEuler(1707-1783)
LeopoldKronecker(1823-1891)
LewSemjonowitschPntrjagin(1908-1988)
LucaPacioli(1445-1517),Mathematiker,Franziskaner
LudwigSylow(1832-1918)
MaestroGilio(14.JH?,Siena?)
MichaelPsellos(1017-1078)
MichaelStifel(1487-1567),Mathematiker,Theologe
13
MohammedIbn-Musaal-Khwarizmi(780-850),Mathematiker,Astronom,Geograph
NiccolòTartaglia(Fontana)(1499-1557)
NicolasChuquet(ca.1450-1487)
NielsHenrikAbel(1802-1829)
OmarKayam(11.JH?)
OttoLudwigHölder(1859-1937)
PaoloRuffini(1765-1822)
PaulTannery(1843-1903)französischerMathematik-undWissenschaftshistoriker
PawelSergejewitschAlexandrow(1896-1982)
Pierre-SimonLaplace(1749-1827)
Plato(429-347v.Chr.)
Porphyrus(?)(234-305)
Proklos(410-485)
PtolemaiosI.Soter(367-283v.Chr.)
Pythagoras(572-497v.Chr.)
RafaelBombelli(ca.1526-1573)
RenéDescartes(1596-1650)
ScipionedelFerro(1456-1526)
SiméonDenisPoisson(1781-1840)
SimonStevin(1548-1620)
Simplikios(480/90-ca.550),Philosoph
SophieGermain(1776-1831)
SophusLie(1842-1899)
TheonvonAlexandria(335-405),Mathematiker,Astronom(letzterWissenschaftlerim
Museion)
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WaltervonDyck(1856-1934)
WilliamRomanHamilton(1805-1865)
WeitereLiteraturundQuellen
IvorThomas,SelectionsillustratingthehistoryofGreekmathematics,1939(laut[K])
FlorianCajori,AhistoryofMathematicalNotations,VolumeI,2007(Erstausgabe:1929)
Alten,DjafariNaini,Eick,Folkerts,Schlosser,Schlote,Wesemüller-Kock,Wussing,4000
JahreAlgebra.Geschichte–Kulturen–Menschen,2.Auflage,SpringerSpektrum
G.Pall,Compositionofbinaryquadraticforms,BulletinoftheAMS,Vol54,No12,1948.
S.Singh,FermatsletzterSatz–DieabenteuerlicheGeschichteeinesmathematischen
Rätsels.dtv,München,2000.
http://oe1.orf.at/artikel/364979DerFallGalois(HinweisvonN.Hammerlindl)
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