Vorlesung Theoretische Mechanik - staff.uni

Kapitel 2
Lagrange-Mechanik
c Copyright 2012 Friederike Schmid1
Motivation:
Bis jetzt: Newtonsche Mechanik
N Teilchen, Koordinaten ~ri , Kräfte F~i = mi~r¨i
~ i U (~r1 ·· ~rN )
(ggf. Potential F~i = −∇
im wesentlichen kartesische Koordinaten (manchmal umgeschrieben)
So kann man im Prinzip alles beschreiben
Aber: Oft ungünstig. Besser wäre es häufig, von vornherein mit anderen
Variablen ( Koordinaten“) zu arbeiten.
”
Beispiele:
∗ Pendel
Kräfte: Schwerkraft F~g , Fadenkraft F~Faden
Aber: F~Faden eigentlich uninteressant
Interessant ist nur, dass F~Faden gerade dafür sorgt,
dass l konstant bleibt!
; Zwangsbedingung l = const..
wird gewährleistet durch Zwangskraft F~Faden
Ökonomische Behandlung nutzt Kenntnis der Zwangsbedingung aus
und arbeitet nur noch mit einer Koordinate ϕ.
∗ Strukturierte Ebene
Körper gleitet auf einem Gebirge“
”
feste Höhe: H(x)
Kräfte: Schwerkraft F~g , Normalkraft von Ebene F~N
Normalkraft sorgt dafür, dass Körper immer auf Ebene bleibt.
1
Prof. Dr. Friederike Schmid, Vorlesung Analytische Mechanik, Universität Mainz, WS
2012/2013. Letzte Änderung am 16.11.12.
13
14
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
Bewegungsgleichungen nach Newton:
Man müsste F~g zerlegen in Anteil F~k parallel zur Oberfläche
und F~⊥ senkrecht zur Oberfläche. F~k beschleunigt den Körper
parallel zur Oberfläche. Dann muss diese Bewegung noch umgerechnet werden in die entsprechende Bewegung in x-Richtung.
→ kompliziertes geometrisches Problem, fehleranfällig
Frage: Gibt es ein einfaches, sicheres Verfahren, die Bewegungsgleichungen für einen solchen Fall aufzustellen?
∗ Auto
Freiheitsgrade: Vier
- Ort des Schwerpunkts (2)
- Richtung des Kühlers (1)
- Richtung der Vorderräder (1)
De facto aber: Nur zwei Freiheitsgrade der Bewegung
(Richtung der Vorderräder, absolute Geschwindigkeit), da seitliche Bewegungen, Drehungen nicht erlaubt.
2.1
Zwangsbedingungen und Zwangskräfte
2.1.1
Klassifizierung von Zwangsbedingungen
skleronom: zeitunabhängig
rheonom: zeitabhängig
holonom: lassen sich durch geschlossene Gleichung der Form f (~r1 ·· ~rN , t) = 0
beschreiben
(z.B. Pendel: x2 + z 2 − l2 = 0
Strukturierte Ebene: z − H(x) = 0)
nicht holonom: Keine Gleichung der Form f (~r1 ·· ~rN , t) = 0 möglich.
Eventuell
lässt sich differentielle Gleichung aufstellen
P
(
~ai (~r1 ·· ~rN , t)d~ri = a0 (~r1 ·· ~rN , t)dt )
i
(z.B. Auto)
2.1.2
Zwangskräfte
~ i , die zusätzlich zu den bekannten Kräften F~i wirken, um die ZwangsKräfte Z
bedingungen sicherzustellen.
(z.B. Pendel: Fadenkraft
Strukturierte Ebene: Normalkraft auf Oberfläche etc.)
Es gilt:
~i
p~˙i = F~i + Z
2.1. ZWANGSBEDINGUNGEN UND ZWANGSKRÄFTE
15
im Allgemeinen uninteressant, Berechnung nur manchmal nötig (z.B. beim
Pendel, wenn Faden nur gewisse Spannung aushält!)
2.1.3
Prinzip der virtuellen Verrückungen
Bisherigen Beispiele haben gezeigt: Zwangskräfte stehen senkrecht auf möglichen Verrückungen des Systems
(mögliche Verrückungen 6= tatsächliche Bewegung)
Etwa bei strukturierter Ebene
Konkreter: Definiere Virtuelle Verrückungen“ δ~ri :
”
Alle infinitesimalen Verrückungen, die mit den Zwangsbedingungen zu
gegebenem festen Zeitpunkt vereinbar sind.
Falls Zwangsbedingungen skleronom: Virtuellen Verrückungen δ~ri schließen tatsächliche Bewegungen d~ri ein.
Falls Zwangsbedingungen rheonom (zeitabhängig): Tatsächliche Bewegungen d~ri unter Umständen virtuell (bei eingefrorener Zeit) nicht
erlaubt, d~ri 6= δ~ri
Prinzip der virtuellen Verrückungen:
Zwangskräfte stehen senkrecht auf allen möglichen virtuellen Verrückungen:
X
~ i δ~ri = 0 ∀δ~ri
Z
i
2.1.4
d’Alembertsches Prinzip
Alternative Formulierung des Prinzips der virtuellen Verrückungen, in der unbekannte Zwangskräfte nicht mehr explizit vorkommen.
P~
~ i folgt:
Aus
Zi δ~ri = 0 und p~˙i = F~i + Z
i
X
(p~˙i − F~i )δ~ri = 0 für alle erlaubten virtuellen Verrückungen δ~ri
; Verallgemeinerung der Newtonschen Bewegungsgleichungen
Speziell:PKeine Zwangsbedingungen ; alle δ~ri erlaubt
⇒ i (p~˙i − F~i )δ~ri = 0 für alle δ~ri
⇒ p~˙i = F~i ; Newtonsche Bewegungsgleichungen
16
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
2.2
Lagrange-Gleichungen erster Art
Verfahren, Zwangskräfte aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen zu gewinnen und Bewegungsgleichungen aufzustellen
2.2.1
Allgemein
Gegeben seien K Zwangsbedingungen der Form
P (α)
(α)
(∗)
ai (~r1 ·· ~rN , t)d~ri = a0 (~r1 ·· ~rN , t)dt
i~
; Virtuelle Verrückungen δ~ri erfüllen
(α)
ai δ~ri
i~
P
(α = 1·· K)
=0
(feste Zeit ⇒ dt = 0)
Vgl. mit Prinzip der virtuellen Verrückungen für Zwangskräfte:
P ~
ri = 0
i Zi δ~
~ i = P λ(α)~a(α)
; Ansatz für Zwangskräfte: Z
α
i
p~˙i = F~i +
⇒ Lagrange-Gleichungen erster Art:
X
(α)
λ(α)~ai
α
Bemerkung: Holonome Zwangsbedingungen f (α) (~r1 ·· ~rN , t) = 0 lassen sich in
(α)
~ i f (α) , a(α) = − ∂f
die Form (∗) bringen mit ~ai = ∇
0
∂t
(f (α) ≡ 0 ⇒
df (α)
dt
=0=
P ~ (α) ˙
(∇i f )~
ri +
i
∂f (α)
∂t
⇒
P ~ (α)
(∇i f )d~
ri = − ∂f
dt)
∂t
i
Vorgehensweise in der Praxis
(i) Stelle Zwangsbedingung auf, bringe sie in die Form (∗)
(ii) Stelle Lagrange-Gleichung erster Art auf
(iiia) Löse sie
(iiib) Wähle λ(α) so, dass Zwangsbedingungen erfüllt sind
( (iiia) und (iiib) können u.U. auch vertauscht werden.)
2.2.2
Beispiele
∗ Strukturierte Ebene
Bekannte Kraft: Schwerkraft F~ =
(i) Erlaubte virtuelle Verrückungen: δ~r ∝
1
dH
dx
!
0
−mg
dx =
1
dx
H0
Zwangsbedingung: f (x, z) = z − H(x)= 0
∂f /∂x
−H 0
!
bzw. differentiell: ~aδ~r = 0 mit ~a =
=
= ~a(x)
∂f /∂z
1
2.2. LAGRANGE-GLEICHUNGEN ERSTER ART
17
~ = λ · ~a
(ii) Zwangskraft Z
Lagrangegleichung erster Art: p~˙ = F~ − λ · ~a =
−λH 0
−mg + λ
(iiib) Bestimmung von λ:
d~
r
Zwangsbedingung: ~a · d~r = 0 ⇒
~a · dt = 0 ⇒ ~a · p~ = 0
d
=0
(~a · p~) = 0 und (~a · p~)
⇔ dt
t=0
d~a
p = 0
dx · ẋ~
−λH 0
−H 0
ẋ
˙
~
;p
~ = F + λ~a =
; ~a(x) =
;p
~=m·
−mg + λ
1
ż
00
2
+ λ − H · mẋ = 0
; ~ap~˙ + ~a˙ p~ = ~ap~˙ +
d~
a
dx
=
−H 00
1
; λH 02 − mg
; λ = m(g + H 00 ẋ2 )/(1 + H 02 )
~=
⇒ Zwangskraft: Z
m
(
1+H 02
g
|{z}
−H 0
+ H
| {zẋ} ) ·
1
Anteil der
Schwerkraft
00 2
Zentripetalkraft
∗ Atwoodsche Fallmaschine
Beispiel für Lagrangegleichungen erster Art in einem System mit mehreren Massenpunkten
Bekannte Kraft: Schwerkraft Fi = −mi g
(i) Erlaubte virtuelle Verrückungen: δz1 = −δz2
!
Zwangsbedingung: f (z1 , z2 ) = z1 + z2 + l = 0
bzw. differentiell: a1 δz1 + a2 δz2 = 0 mit ai =
∂f
∂zi
=1
(ii) Zwangskraft Zi = λ · ai ⇒ Z1 = Z2 = λ
Lagrangegleichung erster Art: ṗi = Fi + Zi ⇒ ṗi = −mi g + λ
(iiib) Bestimmung von λ:
Zwangsbedingung: dz1 + dz2 = 0 ⇒ ż1 + ż2 = 0 ⇒
p2
p1
p2 d p1
( m1 + m
)
=
0
und
(
+
)
=0
⇔ dt
m1
m2 2
t=0
; ṗ1 /m1 + ṗ2 /m2 = 0
; (Einsetzen) [m1 g + λ]/m1 + [m2 g + λ]/m2 = 0
; λ = 2g/( m11 + m12 )
⇒ Zwangskraft: Z1 = Z2 = 2g/( m11 +
1
m2 )
p1
m1
+
p2
m2
=0
18
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
2.3
Lagrange-Gleichungen zweiter Art
Voraussetzungen im Folgenden:
• Betrachte Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen
; lassen sich in K Gleichungen f (α) (~r1 · · ~rN , t) = 0 fassen (α =
1 · · · K)
• Alle Kräfte bis auf die Zwangskräfte lassen sich auf ein Potential
zurückführen.
Ohne Zwangsbedingungen: 3N Freiheitsgrade, 3N Bewegungsgleichungen
Mit Zwangsbedingungen: m = 3N − K Freiheitsgrade
; Beschreibung durch nur noch m Bewegungsgleichungen sollte reichen.
Ziel: Allgemeines Verfahren, diese m Bewegungsgleichungen aufzustellen.
Vorgehen: Beschreibe System durch m Variablen q1 ·· qm .
Folge schrittweise Definitionen in 2.1. Das d’Alembertsche Prinzip (2.1.4)
wird zu Bewegungsgleichungen für die qi führen.
2.3.1
Generalisierte Koordinaten
Beschreibe durch Variablen (q1 ·· qm ) mit ~ri = ~ri (q1 ·· qm , t)
(
Raumkoordinaten x, z
Zwangsbedingung x2 + z 2 − l2 = 0
n x = l sin ϕ o
Generalisierte Koordinate: ϕ mit
z = −l cos ϕ
Beispiel Pendel:
)
; Potential U (~r1 ·· ~rN ) lässt sich auch als Funktion der generalisierten Koordinaten ausdrücken: U (q1 ·· qm , t)
(
2.3.2
Beispiel Pendel: U (x, z) = z · m · g = −l cos ϕ · m · g = U (ϕ)
)
Generalisierte Kräfte
Definition: Reale Kräfte F~i
;
Generalisierte Kräfte: Qj :=
N
X
i=1
∂~ri
F~i
∂qj
Definition lässt sich auf beliebige Kräfte (Zwangskräfte und Potentialkräfte) anwenden. Motivation der Definition wird in 2.3.3, 2.3.4 ersichtlich
werden.
Speziell Potentialkräfte:
~ i U (~r1 ·· ~rN , t)
F~i = −∇
⇒ Qj = −
N
P
∂~
ri
∂
~ i U (~
∇
r1 ·· ~
rN , t) ∂q
= − ∂q
U (~
r1 (q1 ·· qm , t)·· ~
rN (q1 ·· qm , t), t)
i=1
j
j
; Qj = −
∂
U (q1 ·· qm , t)
∂qj
2.3. LAGRANGE-GLEICHUNGEN ZWEITER ART
2.3.3
19
Generalisiertes Prinzip der virtuellen Verrückungen
Erlaubte virtuelle Verrückungen δ~ri hängen zusammen mit Verschiebungen
m
P
∂~
ri
( Variationen“) δqj der Variablen qj : δ~ri =
∂qj δqj
”
j=1
⇒ Aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen wird
N
m X
N
P
P
~ i ∂~ri )δqj =! 0
~
(
Z
Zi δ~ri =
|{z}
∂qj
j=1 i=1
i=1
Zwangs| {z }
kräfte
generalisierte
Zwangskräfte
nach 2.3.2
2.3.4
d’Alembertsches Prinzip und Bewegungsgleichungen
d’Alembertsches Prinzip besagt:
P ˙
(p~i − F~i )δ~ri = 0
~ i U (Potentialkraft)
Laut Voraussetzung gilt: F~i = −∇
N
N
m
X
P
∂~ri ~ X ∂~ri ˙
;
δqj [
Fi −
p~i ] = 0
∂qj
∂qj
j=1
i=1
i=1
| {z } | {z }
(i)
N
P
Es gilt: (i)
i=1
∂~
ri ~
∂qj Fi
= Qj = − ∂q∂ j U (q1 ·· qm , t)
∂~
ri ˙
~i
∂qj p
=
N
P
Ferner: (ii)
i=1
(Beweis: T =
;
;
;
∂~
r˙ i
∂ q̇k
=
∂T
∂ q̇j
=
d ∂T
dt ∂ q̇j
(ii)
1
2
∂~
ri
;
∂qk
P
d ∂T
dt ∂ q̇j
nach (2.3.2)
∂T
− ∂q
mit T (q1·· qm , q̇1·· q̇m , t): kinetische Energie
j
m
P
ri (q1 ·· qm , t) ⇒ ~
r˙i (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) =
mi ~
r˙i2 mit ~
i
∂~
r˙ i
∂qk
j=1
=
m
P
j=1
∂2~
ri
q̇
∂qk ∂qj j
+
∂2~
ri
∂qk ∂t
=
m
P
j=1
∂~
ri
∂
]+
q̇j ∂q
[ ∂q
j
k
∂ ∂~
[ ri ]
∂t ∂qk
∂~
ri
q̇
∂qj j
=
+
∂~
ri
∂t
d ∂~
[ ri ]
dt ∂qk
P
P
P
˙
∂~
ri
∂~
r˙ i
d ∂~
∂T
mi ~
r˙i ∂∂q̇~ri =
mi ~
r˙i ∂q
; ∂q
=
mi ~
r˙i ∂q
=
mi ~
r˙i dt
( ∂qri )
j
j
j
j
j
i
i
i
P
P
P ˙ ∂~ri
∂~
ri
ri
d ∂~
∂T
˙
=
mi r̈i ∂q +
mi ~
ri dt ( ∂q ) =
p
~i ∂q + ∂q
X )
P
i
Daraus folgt:
j
m
P
j=1
∂U
δqj [− ∂q
−
j
⇒ [· · · ] = 0 ⇒
∂
∂qj (T
j
i
+
∂T
∂qj ]
i
d ∂T
dt ∂ q̇j
− U) =
d ∂
dt ∂ q̇j T
j
j
= 0 für alle δqj
=
d ∂
dt ∂ q̇j (T
− U)
(wg.
∂U
∂ q̇j
Fazit:
Definiere Lagrange-Funktion:
L (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) = T − U
Dann gilt: Lagrange-Gleichungen zweiter Art:
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇j
∂qj
!
⇒ Gewünschter Satz von m Bewegungsgleichungen
= 0)
20
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
Bemerkung: Gilt unabhängig davon, ob tatsächlich Zwangsbedingungen vorliegen. Zum Beispiel kann (~r1·· ~rN ) → (q1·· q3N ) einfach Umwandlung von
kartesischen Koordinaten in andere, günstigere“ Variablen sein.
”
; Lagrange-Gleichungen liefern zugehörigen Bewegungsgleichungen.
2.3.5
Beispiele
∗ Pendel
m 2 2
2
Kinetische Energie: T = m
2 v = 2 l ϕ̇
Potential U = −mlg cos ϕ
⇒ Lagrange-Funktion: L = T − U
2 2
=m
2 l ϕ̇ + mlg cos ϕ = L (ϕ, ϕ̇)
⇒ Lagrange-Gleichung:
ϕ̈ = − gl sin ϕ
d ∂L
dt ∂ ϕ̇
! ∂L
∂ϕ
= ml2 ϕ̈ =
= −mlg sin ϕ
∗ Perle auf rotierendem Stab
Stab rotiert mit Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇
Perle gleitet reibungsfrei auf dem Stab, Lage r
(Beispiel für rheonome Zwangsbedingungen)
Geschwindigkeit der Perle: ~v = ṙ~er + rω ϕ
~
(~er = ~rr ; ~eϕ : Einheitsvektor, senkrecht zu ~er , in Drehebene)
Kinetische Energie: T =
m 2
2v
=
m 2
2 (ṙ
+ r2 ω2 )
Potential U = 0 (Stab sei eben, Schwerkraft spielt keine Rolle)
⇒ Lagrange-Funktion: L = T − U =
⇒ Lagrange-Gleichung:
r̈ = ω 2 r
d ∂L
dt ∂ ṙ
m 2
2 (ṙ
! ∂L
∂r
= mr̈ =
+ r2 ω 2 ) = L (r, ṙ)
= mω 2 r
NB: Lösung hat allgemeine Form r(t) = aeωt + be−ωt −→ aeωt
t→∞
Energie bleibt nicht erhalten. (Zwangsbedingung zerstört Homogenität der Zeit)
2.4
Invarianzen und Erhaltungsgrößen
(Verallgemeinerung und Erweiterung von 1.3)
Betrachte ein System, das durch eine Lagrange-Funktion L (q1·· qm , q̇1·· q̇m , t) beschrieben wird. Aus Invarianzen der Lagrange-Funktion bei bestimmten Variablentransformationen (↔ Symmetrien des Systems) lassen sich Erhaltungsgrößen
ableiten.
2.4. INVARIANZEN UND ERHALTUNGSGRÖSSEN
2.4.1
21
Zyklische Variablen
Falls L von einer Variablen qi nicht explizit abhängt:
∂L
∂qi
∂L
eine Erhaltungsgröße
∂ q˙i
⇒ Dann ist
=0
(wegen
d ∂L
dt ∂ q̇i
=
∂L
∂qi
= 0)
Die Variable qi heißt dann zyklische Variable.
2.4.2
Zeitunabhängigkeit
Falls L von der Zeit t nicht explizit abhängt: ∂L
∂t = 0
m
X ∂L
q̇j
− L eine Erhaltungsgröße
⇒ Dann ist E :=
∂ q˙j
j=1
(
wegen:
dE
dt
=
m
P
=
j=1
m
P
d
(q̇ ∂L
dt j ∂ q˙j
)−
(q̈j ∂∂L
+ q̇j
q˙
j
j=1
d
L (q1 ··
dt
qm , q̇1 ·· q̇m , t)
m
P
d ∂L
∂L
∂L
)−
+ q̇j ∂q
)−
=0
(q̈j ∂∂L
q̇j
j
dt ∂ q˙j
∂t
j=1
|{z}
| {z }
;E=
1
2
P
P
i
ẋi
)
0
∂L /∂qj
Speziell: L =
X
mi ẋ2i − U
P
P
∂L
−L = mi ẋ2i − 21 mi ẋ2i +U =
∂ ẋi
i
|{z}
1
2
P
i
mi ẋ2i +U = T +U
mi ẋi
Allgemeiner: Bei skleronomen Zwangsbedingungen ist die Forderung ∂L
∂t = 0
gleichbedeutend mit der nach Homogenität der Zeit, und die Erhaltungsgröße ist die Energie. Bei rheonomen Zwangsbedingungen ist das nicht
unbedingt der Fall!
2.4.3
Der Satz von Emmy Noether
Satz: Die Lagrange-Funktion L (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) eines Systems sei unter der
Transformation Ka : (q1 · · qm ) −→ (q̃1 (a) · · q̃m (a)) invariant, wobei a
ein kontinuierlicher
Parameter ist und q̃i (a) bei a → 0 die Identität ist
(q̃i (a)
= qi ).
a=0
Dann gibt es ein Integral der Bewegung:
I(q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) =
m
X
∂L
j=1
(
·
∂ q̇j
dq̃ (a) j
da
a=0
Beweis: L (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) invariant
; L (q̃1 (a)·· q̃m (a), q̃˙1 (a)·· q̃˙m (a), t) unabhängig von a
d
; 0 = da
L (q̃1 (a)·· q̃m (a), q̃˙1 (a)·· q̃˙m (a), t)
a=0
m
m
P ∂L dq̃j
P dq̃j d ∂L
∂L dq̃˙j
)+
=
+
=
(
˙ da
∂ q̃ da
da dt ˙
=
j=1
m
P
j=1
j
d
dt
∂L dq̃j
∂ q̃˙j da
∂ q̃j
a=0
a=0
=
d
dt
P
m
j=1
∂ q̃j
j=1
∂L dq̃j
∂ q̃˙j da
a=0
=
d
dt
∂L
∂ q̃˙j
h P
m
j=1
d d
( da
q̃ )
dt j
a=0
∂L
∂ q̇j
dq̃j
da
i
a=0
X
)
22
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
Folgerungen:
Falls (q1 ·· qm )=
b kartesische Raumkoordinaten (~r1 ·· ~rN )
⇒ Aus Noether-Theorem folgt 1.3.2 und 1.3.3
(Homogenität des Raums → Impulserhaltung
Isotropie des Raums → Drehimpulserhaltung)
z.B. Impulserhaltung in einer Dimension:
P
L (x1 ·· xN , ẋ1 ·· ẋN , t) = 12 mi ẋ2i − U (x1 ·· xN , t)
Falls L invariant unter Ka : xi −→ x̃i (a) = xi + a
N
P
dx̃i (a)
∂L
⇒ Erhaltungsgröße I =
·
∂ ẋi
da
mit
;I=
∂L
∂ ẋi
N
P
= mi ẋi =
i=1
i (a)
pi , dx̃da
a=0
=1
pi : Gesamtimpuls bleibt erhalten.
i=1
Allgemein: Rechnungen analog zu 1.3, daher nicht wiederholt.
2.5
Das Hamiltonsche Prinzip
Alternativer Zugang, äquivalent zu Lagrange-Gleichungen zweiter Art
Gegeben sei ein System mit m Freiheitsgraden, holonomen Zwangsbedingungen, m generalisierten Koordinaten qj
Lagrange-Funktion L (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t) sei bekannt.
Definition: Wirkung einer konkreten Bahn“ {qj (t)} in dem Zeitintervall zwi”
Zt1
schen t0 und t1 : I = dtL (q1 (t)·· qm (t), q̇1 (t)·· q̇m (t), t)
t0
2.5.1
Das Prinzip
Die Bewegung eines Systems zwischen zwei Zeiten t0 und t1 bei vorgegebenen Anfangs- und Endpunkten qj (t0 ), qj (t1 ) verläuft derart, dass die
Wirkung I extremal wird.
(im Allgemeinen minimal. Prinzip der kleinsten Wirkung“)
”
∗ Was bedeutet das?
I
”
I
”
tatsächliche Bahn q̄(t)
→ Wirkung I{q̄(t)}
benachbarte Bahnen q̄(t) + δq(t)
δq(t) infinitesimale Variation
→ Wirkung I{q̄(t) + δq(t)}
minimal“ heißt: I{q̄} < I{q̄ + δq} für alle δq
extremal“ heißt: δI := I{q̄ + δq} − I{q̄} = 0 + O((δq)2 )
| {z }
Abweichung der
Ordnung (δq)2
2.5. DAS HAMILTONSCHE PRINZIP
23
∗ Mathematisch etwas präziser
Wirkung I ist extremal, wenn für die differenzierbaren
Wege {ηi (t)}
1
(i = 1·· m) mit ηi (t0 ) = ηi (t1 ) = 0 ∀i gilt: lim ε I{q̄ + εη} − I{q̄} = 0.
ε→0
Sei nun I{q̄ + δq} − I{q̄} = 0 für alle Variationen δq
Rt1
⇒ 0 = dt{L (q̄1 + δq1 ·· q̄m + δqm , q̄˙1 + δ q̇1 ·· q̄˙m + δ q̇m , t) − L (q̄1 ·· q̄m , q̄˙1 ·· q̄˙m , t)}
t0
=
Rt1
t0
=
- Taylorentwicklung des Integranden um q̄j (t)
m
P
∂L
2
dt{ ( ∂L
∂qj δqj + ∂ q̇j δ q̇j ) + O((δq) )}
j=1
d
- Partielle Integration bzgl δ q̇j = dt
δqj
h
i
t
t
1
1
t1
R ∂L
R
d ∂L
{ dt ∂qj δqj + ∂L
− dt( dt
∂ q̇j δ qj
∂ q̇j )δqj }
m
P
t0
j=1 t0
t0
- δqj (t0 ) = δqj (t1 ) = 0
Rt1 ∂L
d ∂L
= dt ∂qj − dt
∂ q̇j δqj für alle {δqj }
t0
d ∂L
⇒ Da die δqj unabhängig sind, folgt: ∂L
∂qj − dt ∂ q̇j = 0
; Hamilton-Prinzip ist äquivalent mit den
Lagrange-Gleichungen zweiter Art. (wie versprochen!)
2.5.2
Hamilton-Prinzip mit zusätzlichen Zwangsbedingungen
Zugang über Hamilton-Prinzip ermöglicht Kombination von Lagrange-Gleichungen
erster und zweiter Art.
Gegeben: m generalisierte Koordinaten qj ,
Lagrange-Funktion L (q1 ·· qm , q̇1 ·· q̇m , t)
Aber: qj nicht unabhängig, zusätzliche Zwangsbedingungen liegen vor.
Einfachkeitshalber zunächst nur eine Zusatzbedingung. Unterscheide zwischen
(i) Zwangsbedingung holonom: f (q1 ·· qm , t) = 0
Erweiterung des Hamilton-Prinzips:
Zt1
• Fordere, dass I −
dt λ(t)f (q1 ·· qm , t) extremal
t0
→ Variationsrechnung:
m
Rt1
P
I{q̄ + δq} − I{q̄} − dt λ(t)
t0
⇒ Bewegungsgleichungen:
i=1
!
∂f
∂qi δqi =
0
∂L
d ∂L
∂f
−
= λ(t)
∂qj
dt ∂ q̇j
∂qj
• Wähle λ(t) im Nachhinein so, dass Zwangsbedingung erfüllt ist
( Lagrange-Multiplikator“)
”
24
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
(ii) Zwangsbedingungen nichtholonom, aber lassen sich in differentieller
Form ausdrücken:
m
X
aj (q1 ·· qm , t)dqj = a0 (q1 ·· qm , t)dt
j=1
Vergleiche mit differentieller Form der holonomen Zwangsbedinm
P
∂f
∂f
gung:
(aus: f ≡ 0 ⇒ df
∂qi dqi = − ∂t dt
dt ≡ 0)
j=1
; Legt Verallgemeinerung von (i) nahe:
m
Rt1
P
!
I{q̄ + δq} − I{q̄} − dt λ(t)
ai δqi = 0
i=1
t0
⇒ Bewegungsgleichungen:
(α)
∂L
d ∂L
−
= λ(t) · aj (q1 ·· qm , t)
∂qj
dt ∂ q̇j
Mehrere Zwangsbedingungen aj : Analog ⇒
X
d ∂L
∂L
(α)
λ(α) (t)aj
−
=
∂qj
dt ∂ q̇j
α
(für jede Zwangsbedingung ein Lagrange-Parameter λ(α) (t))
Hauptvorteil: Kombinierte Behandlung holonomer und nichtholonomer Zwangsbedingungen
2.6
Verallgemeinerte Lagrange-Formalismen
Bis jetzt: Existenz eines geschwindigkeitsunabhängigen Potentials U (q1·· qm , t)
wurde gefordert, war notwendig zur Herleitung der Lagrange-Gleichungen.
Aber: Existenz eines Potentials nicht a priori zwingend. Die Hauptsache ist,
dass die Lagrange-Funktion die richtigen Bewegungsgleichungen liefert.
Unter dieser Voraussetzung dürfen auch andere Systeme mit dem LagrangeFormalismus behandelt werden.
Weitere Möglichkeit: Erweiterung der Lagrange-Gleichungen zweiter Art um
(R)
einen Beitrag aus zusätzlichen Kräften F~i , die sich nicht auf ein Potential zurückführen lassen. Erweiterte Lagrangegleichung hat dann die
N
X
∂L
ri
d ∂L
(R) ∂~
Form
−
= Rj mit (vgl. 2.3.2) Rj =
F~i
∂qj
dt ∂ q̇j
∂qj
i=1
~i in einen konservativen und einen sonstigen Anteil auf:
(Herleitung analog 2.3.4: Teile Kräfte F
PN ˙
(R)
~
~
~
~i )δ~
~i − F
ri = 0 folgt zunächst
Fi = −∇i U + Fi . Aus dem d’Alembertschen Prinzip
i=1 (p
PN ~ ∂~ri
d ∂T
∂T
∂U
−
−Q
=
0
mit
der
generalisierten
Kraft
(vgl.
2.3.2)
Q
=
j
j
i=1 Fi ∂q = − ∂q +Rj .)
dt ∂ q̇
∂q
j
j
j
j
Prominente Beispiele für geschwindigkeitsabhängige Kräfte: Lorentzkraft (Kraft
auf ein Teilchen im elektromagnetischen Feld) und Reibungskräfte
2.6. VERALLGEMEINERTE LAGRANGE-FORMALISMEN
2.6.1
25
Teilchen im elektromagnetischen Feld
Prominentestes Beispiel einer verallgemeinerten Lagrange-Funktion für ein System mit geschwindigkeitsabhängigen Kräften
~ r, t); magnetisches Feld B(~
~ r, t);
Ladung q; elektrisches Feld E(~
m~r¨ =
Bewegungsgleichung:
q
~
~v × B
c
| {z }
~ +
qE
|{z}
elektrische
Kraft
(∗)
LorentzKraft
geschwindigkeitsabhängig!
Es gilt:
~ B
~ lassen sich durch Potentiale“ φ(~r, t), A(~
~ r, t) ausdrücken:
E,
”
~ =∇
~ × A;
~
~ = −1 ∂ A
~ − ∇φ
~
B
E
c ∂t
Damit lässt sich eine Lagrange-Funktion aufstellen, die die richtigen Bewegungsgleichungen (∗) erzeugt:
q
m ˙2
~ r, t)
~r − q · φ + ~r˙ · A(~
L =
2
c
(
∂L
∂rα
∂φ
= −q ∂r
+
α
!
⇒0=
d ∂L
dt ∂ ṙα
−
q
c
P
ṙβ
β
∂L
∂rα
∂Aβ
∂rα
;
∂L
∂ ṙα
= mr̈α +
q
c
= mṙα + qc Aα
∂Aα
ṙ
∂rβ β
P
β
q ∂Aα
c ∂t
+
∂φ
+ q ∂r
−
α
q
c
P
β
ṙβ
∂Aβ
∂rα
X
∂Aβ
1 ∂Aα
∂Aα
∂φ
−
) + qc
− ṙβ
)
⇒ mr̈α = q (−
(ṙβ
∂rα
c ∂t
∂r
∂rβ
α
β
|
{z
}
|
{z
}
E
α
~+
⇒ m~
r¨ = q · E
2.6.2
q
c
~
~v × B
~ A)]
~ α =[~
~ α
[~
r˙ ×(∇×
v ×B]
)
X
Reibung und Dissipationsfunktion
Reibungskräfte: Beispiele für geschwindigkeitsabhängige Kräfte, die sich nicht
auf eine Lagrangefunktion zurückführen lassen.
(NB: Sind allerdings auch nicht ”fundamental” – im Gegensatz zu z.B. Gravitationskräften oder elektromagnetische Kräften).
P
(R)
∂~
ri ~ (R)
∗ Allgemein: Reibungskraft F~i → verallgemeinerte Reibungskraft Rj = N
.
i=1 ∂qj Fi
Berechnung von Rj über diese Formel ist im Allgemeinen mühsam!
∗ Häufiger Spezialfall: Reibungskräfte auf Teilchen i sind der Geschwindigkeit
(R)
des Teilchens entgegengesetzt: F~
∝ −~r˙i . In diesem Fall kann man eine
i
Dissipationsfunktion P bestimmen, so dass Rj = −
(R)
Konkret: F~i = −λi~r˙i ⇒ P =
sche Dissipationsfunktion
(R)
Allgemeiner: F~i = −λi (vi )~r˙i
1
2
PN
⇒
2
i=1 λi vi
P=
∂P
.
∂ q̇j
mit vi = |~r˙i |: RayleighN Z
X
i=1
0
vi
λi (v 0 ) v 0 dv 0
26
KAPITEL 2. LAGRANGE-MECHANIK
P ∂~ri
˙
ri
∂~
ri
q̇j + ∂~
⇒ ∂∂q̇~ri = ∂q
.
(Rechnung: Für ~
ri (q1 , · · · , qm , t) gilt: ~
r˙i = i ∂q
∂t
j
j
j
P
P
P
˙
˙
∂(~
ri )2
∂~
ri
∂~
ri
1
˙
˙
⇒ Rj = − i λi (vi )~
ri ∂q = − i λi (vi )~
ri ∂ q̇ = − 2 i λi (vi ) ∂ q̇
j
j
j
R vi
P
∂vi2
∂vi
∂P
∂ P
1 P
0
0
0 =
λ
(v
)v
dv
λ
(v
)v
Andererseits ∂ q̇ = ∂ q̇
=
i
i
i
i
i 0
i
i λi (vi )vi ∂ q̇j .
∂ q̇j
2
j
j
Mit |~
r˙i |2 = v 2 folgt Rj = −∂P/∂ q̇j X.)
i
∗ Folgerung für diesen Spezialfall: Lagrange-Gleichung kann durch einfachen
∂L
∂P
d ∂L
−
+
=0 .
Dissipationsterm ergänzt werden:
dt ∂ q̇j
∂qj
∂ q̇j
⇒ Zur Bestimmung der Bewegungsgleichungen braucht man zwei Funktionen L und P.
∗ Beispiel: Pendel (vgl. 2.3.5) mit Luftreibung F~ (R) = −λ~r˙ .
Lagrange-Funktion (siehe 2.3.5):
2 2
L (φ, φ̇) = T − U = m
2 l φ̇ + mlg cos φ
Dissipationsfunktion: P = λ2 v 2 = λ2 l2 φ̇2 .
; Verallgemeinerte Lagrange-Gleichung:
∂L
d ∂L
∂P
2
2
dt ∂ φ̇ − ∂φ = ml φ̈ + mlg sin φ = − ∂ φ̇ = −λl φ̇.
⇒ φ̈ = − gl sin φ −
λ
m φ̇.
2.7. WISSENSFRAGEN
2.7
27
Wissensfragen
11. Was sind rheonome, skleronome, holonome Zwangsbedingungen? Geben
Sie jeweils konkrete Beispiele.
12. Was sind Zwangskräfte? Welches sind in Ihren Beispielen von der vorigen
Frage die Zwangskräfte und wohin zeigen Sie (qualitativ)?
13. Was sind virtuelle Verrückungen? Wann ist es möglich, daß tatsächliche
Bewegungen eines Systems nicht zur Klasse der virtuellen Verrückungen
gehören? Begründen Sie.
14. Wie lautet das d’Alembertsche Prinzip?
15. Erklären Sie die Lagrange-Gleichungen erster Art.
16. Was versteht man unter generalisierten Koordinaten?
17. Unter welchen Bedingungen kann man Lagrange-Gleichungen zweiter Art
aufstellen? Wie lauten diese Gleichungen?
18. Was ist eine Lagrange-Funktion? Wie berechnet man sie?
19. Welche Größe ist erhalten, wenn die Lagrange-Funktion nicht explizit von
der Zeit abhängt?
20. Was ist eine zyklische Variable?
21. Was besagt das Noethersche Theorem? Geben Sie Beispiele.
22. Wie lautet das Hamiltonsche Prinzip?
23. Wie kann man das Hamiltonsche Prinzip formulieren, wenn die generalisierten Koordinaten zusätzlichen Zwangsbedingungen unterliegen?
24. Wie lautet die Lagrange-Funktion für ein Teilchen im elektromagnetischen
Feld?
25. Was versteht man unter der Dissipationsfunktion? Wann kann man sie
formulieren und wie kann man in diesem Fall die Lagrange-Gleichungen
zweiter Art um Reibungskräfte ergänzen?
26. Wie kann man Reibungskräfte einführen, wenn keine Dissipationsfunktion
gefunden werden kann?