Die Leistung des Wechselstroms

Die Leistung des Wechselstroms
P=U∗ I
R=U/I
(Leistung = Spannung ∗ Stromstärke)
(Ohmsches Gesetz: Widerstand = Spannung / Stromstärke)
1.)Leistung des Wechselstroms mit rein Ohmschen Widerständen
keine Phasenverschiebung
für die Leistung des Verbrauchers gilt:
p(t) = u(t) ∗ i(t)
u(t) = R ∗ i(t)
p(t) = R ∗ i(t)²
Generator: u(t) = U(max) ∗ sin (ω ∗ t)
p(t) = R ∗ I(max)² ∗ sin²(ω ∗ t)
->P
schwankt periodisch zwischen 0 und I(max)²
p..........elektrische Leistung
u..........Wechselspannung
i ..........Wechselstrom
t...........Zeit
R.........Ohmscher Widerstand
I(max) ....maximale Stromstärke
ω.........Kreisfrequenz
Mittlere Leistung des Wechselstroms:
_
P = ½ ∗ I(max)² ∗ R
Umformung:
P = I(max)/√2 ∗ I(max)∗R / √2
_
P….....mittlere Leistung
R….....Ohmscher Widerstand
I(max) ....maximale Stromstärke
I(max) ∗ R = U(max)
_
P = U(max)/√2 ∗ I(max)/√2
U(max)/√2 = effektive Spannung U(eff)
I(max)/√2 = effektive Stromstärke I(eff)
_
P = U(eff) ∗ I(eff)
Die effektive Spannung und die effektive Stromstärke sind die Größen, die gemessen werden.
Die Maximalwerte(„Scheitelwerte“) sind um den Faktor √2 größer.
z.B. Netzstrom: U(eff) = 220 V; U(max) = 220 ∗ √2 = 311V
Volt- & Amperemeter: gewisse Trägheit, Zeiger schwankt nicht im Takt von Spannungs- und
Stromstärkenschwankungen ab einer gewissen Frequenz. Daher zeigt er den Mittelwert, also die
Effektivwerte an.
2.)Leistung in Stromkreisen mit kapazitiven und induktiven Widerständen
Auftreten von Phasenverschiebungen zwischen Strom und Spannung, dadurch wird die mittlere
Leistung vermindert.
Die Wirkleistung des Wechselstroms ist abhängig von der Phasenverschiebung und immer
kleiner als die mittlere Leistung.
Die induzierte Spannung zum Zeitpunkt t ist proportional dem magnetischen Fluss / Zeiteinheit.
Nach dem Induktionsgesetz gilt:
u(ind) (t) = B ∗ A ∗ ω ∗ sin(ω ∗ t)
für die maximale Spannung gilt: sin(ω ∗ t) = 1; daher:
u(t) = U(max) ∗ sin(ω ∗ t )
i(t) = I(max) ∗ sin(ω ∗ t - ϕ)
u(t).....sinusförmige Wechselspannung
ϕ.........Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
da die momentane Leistung das Produkt aus U(t) ∗ I(t) ist gilt:
p(t) = U(max)∗ I(max) ∗ sin(ω ∗ t ) ∗ sin(ω ∗ t - ϕ)
durch trigonometr. Umformungen erhält man:
p(t) = ½ ∗ U(max)∗ I(max) ∗[cosϕ - cos(2∗ω ∗ t - ϕ)]
cos(2∗ω ∗ t - ϕ) nimmt im zeitlichen Mittel den Wert 0 an.
Wirkleistung P (=Leistung im zeitlichen Mittel)
P = U(max)∗ I(max)/2 ∗ cosϕ
P = U(eff) ∗ I(eff) ∗ cosϕ
P.. ......Wirkleistung
cosϕ...Leistungsfaktor
cosϕ immer ≤1; Daher ist die Wirkleistung bei Phasenverschobenen Wechselströmen immer
kleiner als die Mittlere Leistung bei nicht Phasenverschobenen Wechselströmen;
bei Phasenverschiebung um π/2 (tritt auf, wenn nur kapazitiver oder induktiver Widerstand
vorhanden) ist cosϕ = 0; daher keine Wirkleistung; d.h. im Verbraucher wird keine Wirkleistung
erbracht. Die Energie pendelt zwischen Generator und Verbraucher. Der Wärmeverlust wird als
Blindleistung Q bezeichnet.
Q = U(max)∗ I(max)/2 ∗ sinϕ
Q…….Blindleistung
U(max)∗ I(max) wird als Scheinleistung S bezeichnet
Die Scheinleistung muss vom Generator erbracht werden. Die Blindleistung geht am Weg zum
Verbraucher verloren. Dort steht die Wirkleistung zur Verfügung.
Es ergibt sich der Zusammenhang:
P² = S² - Q²
Aus rechentechnischen Gründen definiert man in Analogie zu P und Q den Wirkwiderstand R
und den Blindwiderstand X als:
R = Z ∗ cosϕ
X = Z ∗ sinϕ
R……..Wirkwiderstand (Resistanz)
X……..Blindwiderstand (Reaktanz)
Z..........Scheinwiderstand