Mathematische Rechenmethoden II Blatt 6 - Abgabe: Mi. 22.06.2016 14 Uhr SoSe 2016 F. Schmid Abgabe der Lösungen im roten Kasten Nr. 34 im Erdgeschoss des Physik-Gebäudes (Staudingerweg 7). Präsenzübungen (P), Hausaufgaben (H) 1. Aufgabe (P, Punkte: 1+1): Satz von Stokes Verifizieren Sie den Satz von Stokes ~ ×W ~ (x, y, z) · dA ~= ∇ G R H ~ (x, y, z) = −y, yz 2 , y 2 z W ∂G ~ (x, y, z) · d~r für das Vektorfeld: W T Integrieren sie über die Fläche G mit G = {(x, y, z)|z 2 = 1 − x2 − y 2 , 0 ≤ z ≤ 1}. Hinweis: Machen Sie sich als erstes klar, welche Fläche durch G beschrieben wird. Ein guter Ansatz ist immer Extremwerte einzusetzen (hier: z = 0 und z = 1). Wenn Sie die Fläche kennen ist es einfach, die Fläche und den Rand der Fläche zu parametrisieren. Die dazu benötigten krummlinigen Koordinatensysteme haben Sie bereits häufig gesehen. 2. Aufgabe (H, Punkte: 1+2+2+1): Möbiusband Gegeben sei ein Möbiusband F der Breite L mit Radius R > L. Die Breite L gibt dabei die Breite des verwendeten Streifens an. Der Radius R beschreibt den maximalen Radius, wenn man das Band auf die x-y-Ebene projiziert (rechts außen in der rechten Abbildung). Die Oberfläche des Möbiusbands kann parametrisiert werden durch: x(u, α) (R − u sin(α/2)) cos(α) L L ~r(u, α) = y(u, α) = (R − u sin(α/2)) sin(α) , − ≤u≤ , 2 2 z(u, α) u cos(α/2) 1 0 ≤ α < 2π Die Randkurve C = ∂F des Bandes wird wie folgt parametrisiert: ~rC (t) = ~r(L/2, t), 0 ≤ t < 4π Betrachten Sie das Vektorfeld: V~ (x, y, z) = T −y x , ,0 x2 + y 2 x2 + y 2 ~ × V~ . Schließen Sie hieraus auf den Wert des Oberflächenintegrals: a) Berechnen Sie ∇ Z ~ ~ ~ ∇ × V · dA. F b) Zeigen Sie: ∂ ∂α ~r (u, α) · V~ (x (u, α) , y (u, α) , z(u, α)) = 1, ∀u ∈ R. c) Berechnen Sie das Kurvenintegral von V~ über die Randkurve C: Z V~ · d~r C mit Hilfe von Teilaufgabe b). d) Vergleichen Sie das Ergebnis aus a) mit dem aus Teilaufgabe c) und interpretieren Sie den Unterschied. 3. Aufgabe (H, Punkte: 1): Magnetische Monopole ~ ·B ~ = 0, dass innerhalb der Zeigen Sie mithilfe des Satz von Gauß und der Maxwell-Gleichung ∇ elektromagnetischen Theorie keine magnetischen Monopole existieren können. Hinweis: Orientieren Sie sich an Aufgabe 1 von Blatt 5. Bemerkung: Umgekehrt gilt damit auch: Die Beobachtung eines magnetischen Monopols würde die allgemeine Gültigkeit der Maxwell-Gleichungen widerlegen! 4. Aufgabe (H, Punkte: 2): Elektrisches Feld einer Punktladung Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung. Die Ladungsdichte einer Punktladung ist definiert durch ρ(~r) = qδ(~r). Hinweis/Bemerkung: Die Intention dieser Aufgabe ist, dass die einzelnen Schritte von der Maxwell~ ·E ~ = 1 ρ(~r) bis zur Lösung des elektrischen Feldes klar nachvollziehbar sind. Sie können Gleichung ∇ 0 gerne Wissen aus vorangegangen Aufgaben verwenden, allerdings sollten Sie die dort gemachten Schritte nochmal explizit ausführen. 2