Verbände - TU Dortmund

Ordnungsstrukturen
7. Ordnungsstrukturen - Themenübersicht
Ordnungsstrukturen
Verbände
Algebraische Verbände
Spezielle Verbände
Boolesche Verbände
Vollständige Verbände
Ordnungserhaltende Abbildungen
Prof. Dr. Bernhard Steffen
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Ordnungsstrukturen
Ordnungsstrukturen
Beispiele partieller Ordnungen:
(P(M), ⊆): Potenzmengen mit Inklusionsbeziehung
(BT |≡ , ⇒): Klassen semantisch äquivalenter Boolesche Terme mit
der Implikationsbeziehung
(N, |): Natürliche Zahlen mit der Teilbarkeitsbeziehung
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Ordnungsstrukturen
7.1 Verbände
Verbände
Definition 7.1 (Obere und untere Schranken)
Sei (M, ) eine partielle Ordnung und X ⊆ M.
1
y ∈ M heißt obere Schranke von X ⇔df ∀ x ∈ X . x y .
Konvention X y .
Die Menge der oberen Schranken von X ist
OX =df {y ∈ M | X y }.
Hat OX ein kleinstes Element y, so schreiben wir y = sup(X )
2
y ∈ M heißt untere Schranke von X ⇔df ∀ x ∈ X . y x.
Konvention y X .
Die Menge der unteren Schranken von X ist
UX =df {y ∈ M | y X }.
Hat UX ein größtes Element, so schreiben wir inf(X )
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7.1 Verbände
Verbände
Definition 7.2 (Verband)
Eine partielle Ordnung (V , ) heißt Verband ⇔df
∀ x, y ∈ V . inf({x, y }) existiert ∧ sup({x, y }) existiert
Kein Verband !
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7.1 Verbände
Verbände
Definition 7.2 (Verband)
Eine partielle Ordnung (V , ) heißt Verband ⇔df
∀ x, y ∈ V . inf({x, y }) existiert ∧ sup({x, y }) existiert
//////
Kein Verband !
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7.1 Verbände
Verbände
Definition 7.2 (Verband)
Eine partielle Ordnung (V , ) heißt Verband ⇔df
∀ x, y ∈ V . inf({x, y }) existiert ∧ sup({x, y }) existiert
a) Verband der Vorzeicheninformationen ganzer Zahlen,
b) Flacher Verband ganzer Zahlen
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7.1 Verbände
Algebraische Verbände
Satz 7.3
Sei (V , ) ein Verband. Dann gilt für alle x, y , z ∈ V :
1
Assoziativität:
1
2
2
x f y =df inf(x, y )
x g y =df sup(x, y )
Kommutativität:
1
2
3
(x f y ) f z = x f (y f z)
(x g y ) g z = x g (y g z)
x fy = y fx
x gy = y gx
Absorption:
1
2
x f (x g y ) = x
x g (x f y ) = x
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7.1 Verbände
Algebraische Verbände
Lemma 7.4 (Idempotenz)
Sei (V , f, g) ein algebraischer Verband und x ∈ V . Dann gilt:
1
x = x fx
2
x = x gx
Satz 7.5
Sei (V , f, g) ein algebraischer Verband. Definiert man eine binäre
Relation ⊆ V × V durch:
x y ⇔df x = x f y ,
so ist (V , ) ein ordnungsstruktureller Verband.
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7.2 Spezielle Verbände
Vollständige Verbände
Definition 7.6
Eine partielle Ordnung (V , ) heißt vollständiger Verband ⇔df
∀ X ⊆ V . inf(X ) existiert ∧ sup(X ) existiert
Beispiel 7.7
√
1
(N, ≤) Verband:
2
√
(N ∪ {∞}, ≤) mit n ≤ ∞ f.a. n ∈ N Vollständiger Verband .
3
(P(M), ⊆) Vollständiger Verband:
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, Vollständiger Verband:
√
.
(für jede Menge M).
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7.2 Spezielle Verbände
Vollständige Verbände
Definition 7.6
Eine partielle Ordnung (V , ) heißt vollständiger Verband ⇔df
∀ X ⊆ V . inf(X ) existiert ∧ sup(X ) existiert
Beispiel 7.7
4
(N, |) Vollständiger Verband:
inf(X ) = GgT (X )
√
mit
und
sup(X ) = KgV (X )
Für unendliche Teilmengen X bildet 0 das Supremum, da 0 von jeder
Zahl geteilt wird.
5
(N\{0}, |) Vollständiger Verband:
(kein Supremum für sup(N) = KgV (X )).
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7.2 Spezielle Verbände
Vollständige Verbände
Lemma 7.8 (Vollständiger Verband)
1
Sei (V , ) eine partielle Ordnung, in der Infima generell existieren,
also
∀ X ⊆ V . inf(X ) existiert.
Dann ist (V , ) vollständiger Verband, d.h. auch Suprema existieren
generell, also
∀ X ⊆ V . sup(X ) existiert.
2
Sei (V , ) eine partielle Ordnung, in der Suprema generell existieren,
also
∀ X ⊆ V . sup(X ) existiert.
Dann ist (V , ) vollständiger Verband, d.h. auch Infima existieren
generell, also
∀ X ⊆ V . inf(X ) existiert.
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7.2 Spezielle Verbände
Boolesche Verbände
Definition 7.10 (Distributiver Verband)
Ein algbraischer Verband (V , f, g) heißt distributiv, genau dann wenn für
alle x, y , z ∈ V gilt:
1
x g (y f z) = (x g y ) f (x g z)
2
x f (y g z) = (x f y ) g (x f z)
Lemma 7.11 (Distributiver Verband)
Die Bedingungen in der Definition sind äquivalent. Das heißt, eine der
Eigenschaften stellt bereits sicher, dass ein distributiver Verband vorliegt.
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7.2 Spezielle Verbände
Boolesche Verbände
Nicht distributiv, denn
a g (b f c) = a g 0 = a
(a g b) f (a g c) = 1 f 1 = 1.
Definition 7.12 (Boolescher Verband)
Ein distributiver algebraischer Verband (V , f, g) heißt Boolescher
Verband, genau dann wenn es zwei verschiedene Elemente 0 und 1 in V
gibt und für jedes x ∈ V ein komplementäres Element x̄ ∈ V existiert, so
dass gilt:
1
x g x̄ = 1
2
x f x̄ = 0
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7.2 Spezielle Verbände
Boolesche Verbände
Satz 7.13 (Boolescher Verband)
Sei (V , f, g) Boolescher Verband. Dann gilt für jedes x, y ∈ V :
1
2
x̄ ist eindeutig bestimmt.
Neutralität:
1
2
3
x g0 = x
x f1 = x
Extremalgesetze:
1
2
x g1 = 1
x f0 = 0
x̄¯ = 0
4
Doppelkomplement:
5
De Morgansche Gesetze:
1
2
x g y = x̄ f ȳ
x f y = x̄ g ȳ
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7.2 Spezielle Verbände
Abstrakte Theoriebildung
A ∧ B
A ∨ B
≡
≡
B ∧ A
B ∨ A
A f (B f C )
A g (B g C )
(A ∧ B) ∧ C
(A ∨ B) ∨ C
≡
≡
A ∧ (B ∧ C)
A ∨ (B ∨ C)
=
=
A
A
A ∧ (A ∨ B)
A ∨ (A ∧ B)
≡
≡
A
A
A f (B g C )
A g (B f C )
=
=
(A f B) g (A f C )
(A g B) f (A g C )
A ∧ (B ∨ C)
A ∨ (B ∧ C)
≡
≡
(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A f A
A g A
=
=
0
1
A ∧ ¬A
A ∨ ¬A
≡
≡
⊥
>
AfA
AgA
=
=
A
A
A ∧ A
A ∨ A
≡
≡
A
A
A
=
A
¬ ¬A
≡
A
AfB
AgB
=
=
AgB
AfB
¬(A ∧ B)
¬(A ∨ B)
≡
≡
¬A ∨ ¬B
¬A ∧ ¬B
1 f A
0 g A
=
=
A
A
> ∧ A
⊥ ∨ A
≡
≡
A
A
AfB
AgB
=
=
BfA
BgA
(A f B) f C
(A g B) g C
=
=
A f (A g B)
A g (A f B)
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandskonstruktionen
Satz 7.14 (Kartesisches Produkt zweier Verbände)
Seien (V , v ) und (W , w ) (vollständige) Verbände. Dann ist auch
(V × W , vw ) ein (vollständiger) Verband, wobei
(v , w ) vw (v 0 , w 0 ) gdw. v v v 0 und w w w 0
(Komponentenweise Ordnung)
Proof.
Zu zeigen:
1
(V × W , vw ) ist eine partielle Ordnung
2
Infima und Suprema existieren.
(Details siehe Skript)
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandskonstruktionen
Satz 7.14 (Kartesisches Produkt zweier Verbände)
Seien (V , v ) und (W , w ) (vollständige) Verbände. Dann ist auch
(V × W , vw ) ein (vollständiger) Verband, wobei
(v , w ) vw (v 0 , w 0 ) gdw. v v v 0 und w w w 0
(Komponentenweise Ordnung)
Beispiel
(>, >)
>
>
=
×
⊥
(⊥, >)
(>, ⊥)
⊥
(⊥, ⊥)
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandskonstruktionen
Satz 7.14 (Kartesisches Produkt zweier Verbände)
Seien (V , v ) und (W , w ) (vollständige) Verbände. Dann ist auch
(V × W , vw ) ein (vollständiger) Verband, wobei
(v , w ) vw (v 0 , w 0 ) gdw. v v v 0 und w w w 0
(Komponentenweise Ordnung)
Beispiel
(>, >)
>
(>,(>,>))
× (⊥, >)
(>, ⊥) =
⊥
(>,(>,⊥))
(⊥,(>,⊥))
(⊥, ⊥)
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(>,(⊥,⊥))
(⊥,(>,>))
(>,(⊥,>))
(⊥,(⊥,>))
(⊥,(⊥,⊥))
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Funktionenverband
Satz 7.15
Sei M eine Menge und V ein (vollständiger) Verband. Dann ist
({f | f : M → V }, ) ein (vollständiger) Verband wobei
f g gdw. ∀m ∈ M.f (m) ≤ g (m)
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202 / 209
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandshomomorphismen
Definition 7.16
Seien (V , v ) und (W , w ) Verbände. f : V → W heißt
Verbandshomomorphismus gdw.
∀v , v 0 ∈ V .v v v 0 ⇒ f (v ) w f (v 0 )
Beispiel 7.17
Sei h7 : (N, ≤) → (N, ≤) mit ∀n ∈ N : h7 (n) = n · 7. Dann gilt:
n ≤ n0 ⇒ 7n ≤ 7n0 ⇒ h(n) ≤ h(n0 )
Sei h70 : (N, |) → (N, |) mit h70 (n) = n · 7. Dann gilt:
n|m ⇒ ∃k ∈ N. n · k = m
⇒ ∃k ∈ N. 7 · (n · k) = 7m
⇒ h70 (n)|h70 (m)
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandshomomorphismen
Definition 7.16
Seien (V , v ) und (W , w ) Verbände. f : V → W heißt
Verbandshomomorphismus gdw.
∀v , v 0 ∈ V .v v v 0 ⇒ f (v ) w f (v 0 )
Beispiel 7.17
Sei s7 : (N, ≤) → (N, ≤) mit s7 (n) = n + 7. Dann gilt:
n ≤ n0 ⇒ 7 + n ≤ 7 + n0 ⇒ s7 (n) ≤ s7 (n0 )
Sei s70 : (N, |) → (N, |) mit s70 (n) = n + 7. Dann gilt:
3|6
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und
s70 (3) = 10 und s70 (6) = 13 aber 10 6 | 13
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204 / 209
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Kartesisches Produkt
Seien V = (N, ≤) und W = (N, ≤) und (V × W , vw ) gegeben mit:
(a, b) vw (c, d) gdw. (a ≤ c) ∧ (b ≤ d)
(a, b) f (c, d) = (min(a, c), min(b, d))
(a, b) g (c, d) = (max(a, c), max(b, d))
(2,2)
Beispielsweise:
(1,2)
(1, 1) f (2, 0) = (1, 0)
(0,2)
(2,1)
(1,1)
(2,0)
(1, 1) g (2, 0) = (2, 1)
(0,1)
(1,0)
(0,0)
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205 / 209
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Intervalle
Seien V = (N, ≥) und W = (N, ≤) und (V × W , I ) gegeben mit:
(a, b) I (c, d) gdw. (a≥c) ∧ (b ≤ d)
(a, b) f (c, d) = (max(a, c), min(b, d))
(a, b) g (c, d) = (min(a, c), max(b, d))
(0,2)
(1, 1) f (2, 0) = (2, 0)
(0,1)
(1, 1) g (2, 0) = (1, 1)
(0, 0) f (1, 2) = (1, 0)
(0, 0) g (1, 2) = (0, 2)
Interessant für R,Q
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(0,0)
(1,2)
(1,1)
(1,0)
(2,2)
(2,1)
(2,0)
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandshomomorphismen
Definition 7.18
Seien (A, gA , fA ) und (B, gB , fB ) algebraische Verbände und f : A → B
eine Funktion.
1
f heißt g-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
f (a1 gA a2 ) = f (a1 ) gB f (a2 ).
2
f heißt f-Homomorphismus genau dann, wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt:
f (a1 fA a2 ) = f (a1 ) fB f (a2 ).
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207 / 209
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandshomomorphismen
Satz 7.19
Seien (A, gA , fA ) und (B, gB , fB ) algebraische Verbände und f : A → B
eine Funktion. Wir betrachten weiter die zugehörigen
ordnungsstrukturellen Verbände (A, A ) und (B, B ). Dann gilt:
1
Falls f ein g-Homomorphismus ist, so ist f ein
Verbandshomomorphismus.
2
Falls f ein f-Homomorphismus ist, so ist f ein
Verbandshomomorphismus.
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7.3 Konstruktionsprinzipien
Verbandshomomorphismen: Beispiel
Sei f : (N, ≤) × (N, ≤) → (N, ≤) mit f (n, m) = n + m. Dann gilt:
f ist Verbandshomomorphismus
f ist kein g-Homomorphismus:
f ((1, 4) gN×N (3, 2)) = f ((max({1, 3}), max({4, 2}))) = f ((3, 4)) = 7
aber
f ((1, 4)) gN f ((3, 2)) = max({f ((1, 4)), f ((3, 2))}) = max({5, 5}) = 5
f ist kein f-Homomorphismus:
f ((1, 4) fN×N (3, 2)) = f ((min({1, 3}), min({4, 2}))) = f ((1, 2)) = 3
aber
f ((1, 4)) fN f ((3, 2)) = min({f ((1, 4)), f ((3, 2))}) = min({5, 5}) = 5
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