Hypothesentest I mit dem GTR CASIO fx-CG 20

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
28.02.2014
Hypothesentest I mit dem GTR CASIO fx-CG 20
A1
Aus p9_stoch_ht_011_e.htm Aufgabe 1
Nullhypothese: H0: p ≤ 0,1 Alternativhypothese: H1: p > 0,1
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 200 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen rechtseitigen Hypothesentest, denn große Werte
von k sprechen gegen H0.
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen
Signifikanzniveaus.
P ( X ≥ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD (1 − α ,n,p ) + 1
⇒ A = {0 ... k − 1} und A = {k ... n}
P ( X ≥ k ) ≤ 0,05 ⇒ k = InvBinomialCD ( 0.95,200,0.1) + 1 = 28
⇒ A = {0 ... 27} und A = {28 ... 200}
P ( X ≥ k ) = 1 − BinomialCD ( k − 1, n, p )
( )
P A = P ( X ≥ 28 ) = 1 − BinomialCD ( 27,200,0.1) = 0,0434...
Bei einer Anzahl von k = 28 oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese
abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden. Der dabei
auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,34%.
Eingabeprozedur:
MENU 1 OPTN {STAT} {DIST} {BINOMIAL}
{InvB} 0.95 ,
1 − {Bcd} 27
200 , 0.1 ) + 1 EXE ⇒ 28
, 200 , 0.1 )
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EXE ⇒ 0,0434...
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A2
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Aus p9_stoch_ht_011_e.htm Aufgabe 2
Nullhypothese: H0: p ≤ 0,37 Alternativhypothese: H1: p > 0,37
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 200 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen rechtseitigen Hypothesentest, denn große Werte
von k sprechen gegen H0.
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen
Signifikanzniveaus.
P ( X ≥ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD (1 − α ,n,p ) + 1
⇒ A = {0 ... k − 1} und A = {k ... n}
P ( X ≥ k ) ≤ 0,05 ⇒ k = InvBinomialCD ( 0.95,200,0.37 ) + 1 = 86
⇒ A = {0 ... 85} und A = {86 ... 200}
P ( X ≥ k ) = 1 − BinomialCD ( k − 1,n, p )
( )
P A = P ( X ≥ 86 ) = 1 − BinomialCD ( 85,200,0.37 ) = 0, 0470...
Bei einer Anzahl von k = 86 oder mehr Erfolgen, würde die Nullhypothese
abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden. Der dabei
auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,7%.
Eingabeprozedur:
MENU 1 OPTN {STAT} {DIST} {BINOMIAL}
{InvB} 0.95 , 200 , 0.37 ) + 1 EXE ⇒ 86
1 − {Bcd} 85 , 200 , 0.37 ) EXE ⇒ 0,0470...
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Aus p9_stoch_ht_011_e.htm Aufgabe 3
Nullhypothese: H0: p = 0,75 Alternativhypothese: H1: p ≠ 0,75
Signifikanzniveau: α ≤ 5%. Fehler 2. Art für p = 0,7 ermitteln.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 120 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch
große Werte von k sprechen gegen H0.
Da es zwei Ablehnungsbereiche gibt, wird hier die Vereinbarung getroffen, dass
diese sich symmetrisch zum Erwartungswert 90 positionieren.
Berechnung der Ablehnungsbereiche und Überprüfung des tatsächlichen
Signifikanzniveaus.
P ( X ≤ k1 ) ≤ 0,025 ⇒ k1 = ?
P ( X ≤ k1 ) ≤
α
⎛α
⎞
⇒ k1 = InvBinomialCD ⎜ ,n,p ⎟ − 1
2
⎝2
⎠
k1 = InvBinomialCD ( 0.025,120,0.75 ) − 1 = 79 ⇒ A1 = {0 ... 79 ( 80 )}
P ( X ≥ k 2 ) ≤ 0,025 ⇒ k 2 = ?
P ( X ≥ k2 ) ≤
α
⎛ α
⎞
⇒ k 2 = InvBinomialCD ⎜ 1 − ,n,p ⎟ + 1
2
2
⎝
⎠
k 2 = InvBinomialCD ( 0.975,120,0.75 ) + 1 = 100 ⇒ A 2 = {100 ... 120}
P ( X ≤ k1 ) = BinomialCD ( k1 ,n,p )
( )
P A1 = P ( X ≤ 79 ( 80 ) ) = BinomialCD ( 79 ( 80 ) ,120,0.75 ) → A = 0,0155... ( 0,250...)
P ( X ≥ k 2 ) = 1 − BinomialCD ( k 2 − 1,n,p )
( )
P ( A ) + P ( A ) = A + B = 0,0348... ( 0,0444...)
P A 2 = P ( X ≥ 100 ) = 1 − BinomialCD ( 99,120,0.75 ) → B = 0,0193...
1
2
Der linke Ablehnungsbereich wird aus Symmetriegründen um eins erhöht.
Dadurch ändern sich die Werte, rot in Klammern beschrieben.
Ablehnungs-und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 ... 80 } { 81 .... 90 ... 99 } { 100 ... 120 }
Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die
Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,44%.
Eingabeprozedur (mit den korrigierten Werten):
MENU 1 OPTN {STAT} {DIST} {BINOMIAL}
{InvB} 0.025 , 120 , 0.75 )
{InvB} 0.975 , 120 , 0.75 )
{Bcd} 80 , 120 , 0.75 ) →
1 − {Bcd} 99 , 120 , 0.75 )
A
A +
A
− 1 EXE ⇒ 79
+ 1 EXE ⇒ 100
A
A EXE ⇒ 0,0250...
→
A
B EXE ⇒ 0,0193...
B EXE ⇒ 0,0444...
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A3.2 Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,7 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,75 ist
falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den Annahmebereich
von H0 , nimmt man H0 fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man bestimmt diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,7
richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 berechnet.
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) = BinomialCD ( k 2 ,n,p ) − BinomialCD ( k1 − 1,n , p )
P70 ( 81 ≤ X ≤ 99 )
= BinomialCD ( 99,120,0.7 ) − BinomialCD ( 80 ,120 ,0.7 ) = 0,758...
Falls H0 falsch und p = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 75,8% in
den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden.
Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 75,8% und ist im Vergleich zum
Fehler 1. Art mit 4,44% sehr groß.
Eingabeprozedur:
MENU 1 OPTN {STAT} {DIST} {BINOMIAL}
{Bcd} 99
, 120 , 0.7 ) − {Bcd} 80 , 120 , 0.7 )
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EXE ⇒ 0,758...
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