ComputerMathematik - WS 16/17 7. Computerpraktikum MATHE

ComputerMathematik - WS 16/17
7. Computerpraktikum MATHE zum Abgabetermin 16.1.2017, 23:59
31. Erstellen Sie eine Liste aller Primzahlzwillinge, d.h. Paare von Primzahlen (p, p + 2), die kleiner
sind als 105 .
Hinweis: Integer.next_prime.
32. Erstellen Sie eine Teilerstatistik aller Zahlen < 10000.
(a) Schreiben Sie eine Funktion teiler(n), die alle Teiler einer gegebenen natürlichen Zahl n bestimmt (inklusive der trivialen Teiler 1 und n). Die eingebaute Funktion Integer.divisors soll
dabei nicht aufgerufen werden, kann aber zur Kontrolle und zur Beurteilung der Geschwindigkeit der eigenen Funktion herangezogen werden. Die Funktion Integer.divides darf hingegen
verwendet werden.
(b) Erstellen Sie eine Statistik und ein Histogramm (bar_chart) der Anzahl der Teiler: Wieviele
Zahlen haben genau 2, 3, 4, ... Teiler?
(c) Ermitteln Sie die Zahlen mit den meisten Teilern.
(d) Ermitteln Sie alle perfekten Zahlen im betrachteten Bereich. (Eine Zahl heißt perfekt wenn sie
die Summe ihrer echten Teiler ist). Die erste perfekte Zahl ist 6 = 1 + 2 + 3.
33. (a) Implementieren Sie in sage die Funktion f : N → Q mit den Werten
(
0
n gerade
f (n) =
n · (n − 2) · · · 3 · 1 n ungerade
(b) Der erweiterte Euklidische Algorithmus1 berechnet für zwei natürliche Zahlen a, b ihren größten
gemeinsamen Teiler d = ggT(a, b) und ganze Zahlen s, t, sodass d = s · a + t · b. Implementieren
Sie in sage eine Funktion erw_Euklid(a,b), die den erweiterten Euklidischen Algorithmus
ausführt. Vergleichen Sie Resultate und Laufzeit Ihrer Funktion mit Integer.xgcd.
34. Die Čebyšëvpolynome2 1.Art sind rekursiv definiert durch T0 (x) = 1, T1 (x) = x und die Beziehung
2xTn (x) = Tn+1 (x) + Tn−1 (x)
(a) Schreiben Sie eine rekursive Funktion für die Čebyšëvpolynome (am besten mit dem Decorator
@cached_function).
(b) Zeichnen Sie die Graphen von Tn (x) für 0 ≤ n ≤ 10 in verschiedenen Farben auf dem Intervall
[−1, 1] in einem gemeinsamen Bild.
Hinweise: plot mit Option hue=x mit geeigneten Werten x ∈ [0, 1].
1
2
http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus
П.Л.Чебышёв (1821-1894), P.L. Tschebyschow, syn. Tschebyschew, Tschebischeff, Tchebychev, Chebyshev,. . .
35. Schreibe eine Funktion umkreis(A,B,C), die aus drei gegebenen Punkten A, B, C den Umkreismittelpunkt des aufgespannten Dreiecks berechnet und das Dreieck samt Streckensymmetralen und
Umkreis zeichnet, in etwa so:
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
Abgabe der Lösungen:
Die Abgabe der Lösungen (*.m-Dateien und Grafiken bzw. *.sws-Dateien) muß über Kreuzlliste3 erfolgen.
Die Filenamen müssen dem Schema bsp nummer, gefolgt von der Filextension, entsprechen. Andere
Filebezeichner zählen nicht als abgegebene Files.
Abzugebende Files (auch als ein zip-File möglich):
bsp_31.sws
bsp_32.sws
bsp_33.sws
bsp_34.sws
bsp_35.sws
3 http://imsc.uni-graz.at/haasegu/Lectures/CompMath/Modus_WS_16.html