Ubungsblatt 8
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Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 8
(Abgabe bis Donnerstag 10.12.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Gentzen-Kalkül)
Leiten Sie im Gentzen-Kalkül folgende Formeln her:
1.
`G (p ∨ (q ∧ ¬q)) → p
2.
`G (A → B) → (¬A ∨ B)
3 + 4 = 7 Punkte
Aufgabe 2: (Konsistenz)
5 Punkte
Gegeben seien die Formeln A, B und eine Menge von Formeln M mit M 6` A und A 6` B.
Sind dann M ∪ {B} bzw. M ∪ {¬B} immer konsistent? Sind sie immer inkonsistent? Geben
Sie für alle 4 Fragen jeweils eine Begründung, oder ein Gegenbeispiel an.
Aufgabe 3: (Koinzidenzlemma)
3 + 5 = 8 Punkte
1. Seien t ∈ Term und β1 , β2 Belegungen mit β1 |FV(t) = β2 |FV(t) .
Zeigen Sie: (t)I,β1 = (t)I,β2 (vgl. Satz 3.5 Koinzidenzlemma)
2. Beweisen Sie das Koinzidenzlemma (Satz 3.5):
Seien A ∈ For und β1 , β2 Belegungen mit β1 |FV(A) = β2 |FV(A) . Dann gilt
I, β1 |= A ⇔ I, β2 |= A
Verwenden Sie Teil 1. Sie brauchen nur Gleichungen,→ und ∀x behandeln (Prädikate
und Negation gehen analog“).
”
Achtung: Man kann nicht einfach die Induktionsvoraussetzung für ∀xA anwenden,
da x ∈ FV(A) und β1 (x) 6= β2 (x) sein könnte, so dass die Voraussetzung β1 |FV(A) =
β2 |FV(A) nicht erfüllt sein würde! Es ist daher eine genauere Argumentation erforderlich,
warum die Induktionsvoraussetzung trotzdem erfüllt ist.
Aufgabe 4: (Alice – Tweedledai?)
5 Punkte
Eine Tages traf Alice auf die Grinsekatze, die ihr erzählte, dass Tweedledee und Tweedledum
in Wahrheit nicht Zwillinge, sondern Drillinge sind. Der dritte, Tweedledai, sei genauso wenig
von den beiden anderen zu unterscheiden, wie diese von einander. Man weiß von ihm allerdings, dass er an jedem Tag lügt. Alice war natürlich besorgt. Wenn das stimmt, dann hat sie
ihre Schlussfolgerungen vielleicht unter falschen Annahmen getroffen. Allerdings konnte man
sich bei der Grinsekatze nie sicher sein, ob sie lügt oder nicht. Sie entschloss sich, der Sache
auf den Grund zu gehen.
Es gibt vier Berichte darüber, wie sich das zugetragen hat. Wir können uns dabei sicher sein,
dass wenn es einen dritten Drilling gibt, dieser Tweedledai heißt und tatsächlich immer lügt.
1. Alice traf einen der Brüder und fragte ihn, wer er sei. Dieser antwortete: Ich bin
”
Tweedledee oder Tweedledum und ich lüge heute.“
Die Frage ist: Gibt es Tweedledai? Kann man wissen, wen Alice gerade gefragt hat?
Übungsblatt 8 (Logik für Informatiker WS 15/16)
2
2. In diesem Bericht traf Alice zwei der Brüder und fragte einen, wer er sei. Dieser sagte:
Ich bin Tweedledai.“ Der andere bestärkte dies: Ja, er ist es wirklich“
”
”
Was kann man daraus über Tweedledai folgern?
3. Die dritte Variante erzählt davon, dass Alice nur einen der Brüder traf und dieser
behauptete: Heute lüge ich.“
Was ist davon zu halten?
”
4. In der letzten Variante traf Alice wieder zwei der Brüder, diesmal an einem Werktag.
Sie fragte die beiden, ob es Tweedledai wirklich gibt. Sie bekam vom ersten als Antwort:
Ja, es gibt ihn wirklich.“ Der zweite behauptete: Es gibt mich.“
”
”
Was kann man daraus über die Existenz von Tweedledai folgern?
Epilog (Auch Teil der Aufgabe):
Diese vier Berichte stammen vom Löwen (der bekanntlich Mo,Di,Mi lügt). Er hat sie unter
der Woche an vier aufeinanderfolgenden Werktagen erzählt. Wie steht es also um die Existenz
von Tweedledai?
