Ergänzungen

Ergänzungen
Wir stellen hier einige Grundlagen aus der diskreten Mathematik zusammen, die in den Vorlesungen Mathematik für Informatiker 1 und 2 benutzt
werden.
I Matrizen
E.1 Def. Seien m, n ∈ N. Eine Anordung reeller (oder komplexer) Zahlen
aik , i = 1, 2, · · · , m; k = 1, 2, · · · , n der Form

a11 a12 · · ·
 .
A=
 ..
am1 am2 · · ·

a1n

..
 = (aik ) 1≤i≤m ( kurz : (aik ))
.

1≤k≤n
amn
heißt (m, n)- Matrix oder m × n-Matrix (kurz: A ∈ Rm,n oder A ∈ Cm,n ).
Die Zahlen aik heißen Elemente der Matrix; i bzw. k heißen Zeilenindex bzw.
Spaltenindex von aik . A hat m Zeilen und n Spalten.
Eine (1, m)-Matrix heißt m-dimensionaler Zeilenvektor,
eine (m, 1)-Matrix heißt m-dimensionaler Spaltenvektor,
eine (n, n)-Matrix heißt n-reihige (oder n-zeilige) quadratische Matrix.
Zwei (m, n)-Matrizen A = (aik ) und B = (bik ) heißen gleich (in Zeichen:
A = B), wenn aik = bik für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n ist. Statt aik schreibt man
auch (A)ik .
E.2 Def. a) Ist A = (aik ) eine (m, n)- Matrix mit aik = 0 für 1 ≤ i ≤
m, 1 ≤ k ≤ n, so heißt A Nullmatrix (in Zeichen: A = 0 oder Ω oder Ωm,n ).
b)
In = (δik )1≤i,k≤n mit δik :=

 1
falls i = k
 0
sonst
1
( Kronecker-Symbol )
heißt (n-te) Einheitsmatrix.
(Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind schreiben wir I statt In ).
E.3 Def. Seien A = (aik ), B = (bik ) ∈ Rm,n (bzw. Cm,n ) sowie λ ∈ R
(bzw. C). Dann setzen wir
A + B := (aik + bik ) 1≤i≤m
(Summe von A und B)
1≤k≤n
und
λA := (λaik ) 1≤i≤m
1≤k≤n
(Produkt von λ und A).
Beachte: A + B und λA sind wieder (m, n)-Matrizen.
Aus den Rechenregeln in R (bzw. C) folgt unmittelbar
E.4 Satz Seien A, B, C ∈ Rm,n (bzw. Cm,n ) sowie µ, λ ∈ R (bzw. C).
Dann gilt
(i) A + B = B + A
(Kommutativgesetz)
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C
(Assoziativgesetz)
(iii) Zu A, B ∈ Rm,n (bzw. Cm,n ) gibt es genau ein X ∈ Rm,n (bzw. Cm,n )
mit A + X = B.
Es ist X = B + (−1)A =: B + (−A) =: B − A.
Insbesondere ist A + 0 = A und A − A = 0 ∀ A ∈ Rm,n (Cm,n )
(iv) λ(A + B) = λA + λB ¾
(Distributivgesetze)
(v) (µ + λ)A = µA + λA
(vi) λ(µA) = (λµ)A
(Assoziativgesetz)
bf E.5 Def. Sei A eine (m, n)-Matrix, dann heißt die (n, m)-Matrix
AT = (bik ) mit bik = aki 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ m,
2
die zu A transponierte Matrix.
A heißt symmetrisch bzw. antisymmetrisch, falls A = AT bzw. A = −AT ist.
E.6 Beispiele:
(i) A = (1, 2, 3, 4) ∈ R1,4 , −A = (−1, −2, −3, −4).
(Zeilenvektor)
Ã
0 1
−1 2
B=

!
∈ R2,2 ist eine 2-zeilige, quadratische Matrix,
1

0 2
1
.
B= 1
2
−2 1


4


C =  0  ∈ R3,1
2

(Spaltenvektor), C T = (4, 0, 2) ∈ R1,3 .



1 0 1
1 0 1




3,3
T
(ii) A =  0 2 0  ∈ R ist symmetrisch, da A =  0 2 0  = A.
1 0 4
1 0 4




0 0 −1
0
0 1



T
0 2 
B =  0 0 −2  ist antisymmetrisch, da B =  0
=
1 2
0
−1 −2 0
−B.


1 0
0

A + B =  0 2 −2 
 ist weder symmetrisch noch antisymmetrisch,
2 2
4
da z. B.
a31 + b31 = 2 6= ± (a13 + b13 ) = 0.
3
Bem.: Als nächstes wollen wir das Produkt von zwei Matrizen erklären.
E.7 Def. Sei A = (aik ) ∈ Rm,n (bzw. Cm,n ) sowie B ∈ R(n,q) (bzw.
C ), dann definieren wir
n,q
AB := (cik ) 1≤i≤m =: C ∈ Rm,q (bzw. Cm,q ).
1≤k≤q
durch
n
X
cik :=
aij bjk .
j=1
Das Element cik in der i-ten Zeile und k-ten Spalte von AB ergibt sich, in
dem man die Elemente in der i-ten Zeile von A mit den Elementen der k-ten
Spalte multipliziert und anschließend diese Produkte aufsummiert.
E.8 Beispiel
Ã
A=
1 0 2
2 1 0
Ã
!
AB =
1 0 2
2 1 0
!


0
1

, B=
 0 −1  .
2
0


Ã
!
0
1
4 1


.
 0 −1  =
0 1
2
0




Ã
!
0
1
2
1 0
1 0 2


BA = 
=
6 AB.
 0 −1 
 −2 −1 0  =
2 1 0
2
0
2
0 4
Beachte:
(i) Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Selbst wenn BA und
AB beide definiert sind, können diese Matrizen unterschiedliche ”Größe”
haben.
(ii) AB ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Zeilen von B mit der
Anzahl der Spalten von A übereinstimmt.
4
E.9 Def. Existiert zu einer (n, n)-Matrix A eine Matrix B mit
AB = BA = In ,
so heißt A regulär, und A−1 := B heißt die zu A inverse Matrix; andernfalls
heißt A singulär.
E.10 Bem.: Ist A regulär, so ist auch A−1 regulär, und es gilt: (A−1 )−1 =
A.
II Gruppen
E.11 Def. Es sei H eine Menge.
(i) Unter einer Verknüpfung ◦ auf H verstehen wir eine Abbildung
◦ : H × H 3 (a, b) 7→ a ◦ b ∈ H.
(ii) Eine Verknüpfung ◦ auf H heißt assoziativ, wenn für alle a, b, c ∈ H
gilt
(A)
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
Eine Menge H zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung ◦ auf H
heißt Halbgruppe.
E.12 Def. Es sei G eine Halbgruppe bezüglich der assoziativen Verknüpfung
◦ : G × G → G. Dann heißt das Paar (G, ◦) Gruppe, wenn gilt:
(G1) Es existiert ein (links-) neutrales Element e ∈ G, so dass gilt:
e ◦ a = a für alle a ∈ G.
(G2) Zu jedem a ∈ G existiert ein (links-) inverses Element a0 ∈ G, so dass
gilt
a0 ◦ a = e.
Wenn die Verknüpfung kommutativ ist (d. h. a ◦ b = b ◦ a ∀ a, b ∈ G),
so heißt (G, ◦) abelsche Gruppe.
5
Bem.: Wenn klar ist, um welche Verknüpfung es sich handelt, spricht
man einfach von der Gruppe G anstatt (G, ◦). Für g, h ∈ G schreibt man
dann auch gh := g ◦ h.
E.13 Beispiele und Bem.:
(i) Beispiele für Gruppen sind:
(Z, +)
mit e = 0 und a0 = −a (a ∈ Z),
(Q, +)
mit e = 0 und a0 = −a (a ∈ Q),
(R, +)
mit e = 0 und a0 = −a (a ∈ R),
(Q \ {0}, ·) mit e = 1 und a0 =
(R \ {0}, ·) mit e = 1 und a0 =
1
a
1
a
(a ∈ Q \ {0}),
(a ∈ R \ {0})
Dagegen sind (N0 , +), (N, +), (Z \ {0}, ·) keine Gruppen.
(ii) Ist (K, +, ·) ein Körper (vgl. Definition 1.14 der Vorlesung), so gilt
in K das Distributivgesetz und (K, +) und (K \ {0}, ·) sind abelsche
Gruppen.
(iii) Die Menge aller A ∈ Rm,n bildet bzgl. der Addition eine abelsche
Gruppe mit der Nullmatrix als neutralem Element.
(iv) Die Menge GL(n) = {A ∈ Rn,n |A regulär } bildet bzgl. der Multiplikation eine Gruppe mit der Einheitsmatrix als neutralem Element; diese
Gruppe ist nicht abelsch.
6
III Vektorräume
E.14 Def. Es sei K = R (oder K = C). Ein K-Vektorraum (oder auch:
Vektorraum über K) ist ein Tripel (V, +, ·) bestehend aus einer Menge V
und zwei Verknüpfungen
+ : V × V 3 (v, w) 7→ v + w ∈ V,
·
: K × V 3 (α, v) 7→ α · v ∈ V,
so dass gilt:
(V1)
(V, +) ist eine abelsche Gruppe.
(V2)
Für alle v, w ∈ V und α, β ∈ K gilt
(i) (α + β)v = αv + βv,
(ii) α(v + w) = αv + αw,
(iii) α(βv) = (αβ)v,
(iv) 1 · v = v.
Bemerkung: Ist V ein Vektorraum über dem Körper K, so heißen die
Elemente von V Vektoren und die Elemente von K Skalare. Das neutrale
Element in (V, +) ist der sogenannte Nullvektor 0 ∈ V .
E.15 Beispiele:
(i) Es sei K ein Körper, n ∈ N und
V := K n = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ K}
die Menge aller geordneten n-tupel von Elementen aus K. Wir definieren
für
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ V, y = (y1 , . . . , yn ) ∈ V und α ∈ K
x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
α·x
:= (αx1 , . . . , αxn ).
7
Zusammen mit diesen beiden Verknüpfungen + : V × V → V und
· : K × V → V ist V = K n ein K-Vektorraum mit dem Nullvektor
0 = (0, . . . , 0) ∈ K n , der zu x = (x1 , . . . , xn ) ∈ V inverse (negative)
Vektor ist gegeben durch −x = (−x1 , . . . , −xn ).
(ii) Beispiel (i) liefert für n = 1: Jeder Körper K ist ein Vektorraum über
sich selbst.
(iii) Für jeden Körper K ist die Menge K[T ] aller Polynome zusammen mit
der in der Vorlesung definierten Addition eine abelsche Gruppe. Für
p(T ) =
n
X
aν T ν ∈ K[T ] und α ∈ K sei
ν=0
(α · p)(T ) :=
n
X
(α · aν )T ν .
ν=0
Damit wird K[T ] zu einem K-Vektorraum.
E.16 Def. Es sei V ein K − V R und U ⊂ V . U heißt Untervektorraum
(oder auch kurz: Unterraum; in Zeichen U ⊂ V ), wenn U selbst wieder
ein K-Vektorrraum ist.
Determinanten
E.17 Def. Sei A = (aik ) eine (n, n)-Matrix.
(i) Für n = 1 ist A = (a11 ) und
|A| := det A := a11 heißt Determinate von A.
(ii) Bezeichnet man mit Bik , 1 ≤ i, k ≤ n, diejenige Matrix, die aus A durch
Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte entsteht, so heißt
det A := |A| :=
n
X
i=1
8
ai1 (−1)i+1 |Bi1 |
(3)
Determinate von A.
Aij := (−1)i+j |Bij |, 1 ≤ i, j ≤ n,
heißt Adjunkte zu aij (bzgl. A).
Beachte: det A ist wohldefiniert, da die wiederholte Anwendung von
(3) zu einem Ausdruck führt, der nur noch Determinanten von (1, 1)
Matrizen enthält.

E.18 Bem. (i) Sei A = 
a11 a12
a21 a22

. Dann liefert (3):
|A| = a11 · (−1)1+1 a22 + a12 (−1)1+2 a21 = a11 a22 − a21 a12 ,
d. h. (3) liefert denselben Ausdruck wie (2).
(ii) Sei n = 3 und

a11 a12 a13





A =  a21 a22 a23  .


a31 a32 a33
Dann gilt gemäß (3)
|A| =
¯
¯ a
¯
a11 ¯ 22
¯ a32
a23
a33
¯
¯
¯
¯ a
¯
¯ 21
¯ − a12 ¯
¯
¯ a31
a23
a33
¯
¯
¯
¯ a
¯
¯ 21
¯ + a13 ¯
¯
¯ a31
a22
a32
¯
¯
¯
¯
¯
= a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a12 a21 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a32 − a13 a31 a22
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )
−(a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 ).
......... ......... .........
9
Für die Determinate einer (3, 3)-Matrix A gilt folgende SARRUSsche
Regel:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
|A| ist die Summe der 3 Produkte der Elemente
ver.. . . .in. . ”Hauptdiagonalen”
..........
mindert um die Summe der 3 Produkte der Elemente in ”Nebendiagonalen”.
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