Lösung:

Aufgabe 1, Serie 25
Eine Kreisfläche vom Radius r rolle ohne zu gleiten auf der x-Achse ab. Der geometrische Ort, der bei einer derartigen Bewegung von einem festen Punkt M auf dem
Umfang der Kreisfläche durchlaufen wird, heißt Zykloide.
a) Geben Sie eine Parameterdarstellung eines Zykloidenbogens an, wenn der Punkt
M zu Beginn der Bewegung mit dem Nullpunkt zusammenfällt und die Kreisfläche eine volle Umdrehung ausführt.
b) Fertigen Sie eine Zeichnung (z.B. mittels GNUPLOT ) für Zykloidenbögen bei
drei Umdrehungen der Kreisfläche an!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des von dem Zykloidenbogen aus a) und der
x-Achse berandeten Gebietes.
d) Berechnen Sie die Bogenlänge L eines Zykloidenbogens. (Hinweis: Berechnen
Sie nur die Länge eines halben Bogens.)
Lösung:
a) Aus dem Satz des Pythagoras gewinnt man nach einer Drehung um den Winkel ϕ für die
Koordinaten des beobachteten Punktes
x(ϕ) = r ϕ − r sin ϕ = r (ϕ − sin ϕ) und y(ϕ) = r − r cos ϕ = r (1 − cos ϕ).
b) Mit Maple erhält man über den Befehl
plot([t-sin(t), 1-cos(t), t = 0 .. 6*Pi], scaling = constrained,
title = "3 Zykloidenbögen")
c) Es ist mit der Parameterdarstellung aus a) dx = r (1 − cos ϕ) dϕ und damit
Z 2π
Z 2π
Z 2πr
(1 − 2 cos ϕ + cos2 ϕ) dϕ.
(1 − cos ϕ)2 dϕ = r2
F =
y(ϕ) dx(ϕ) = r2
0
0
0
Da Integrale der Cosinus-Funktion über volle Perioden verschwinden folgt aus dem Additionstheorem cos(2ϕ) = 2 cos2 ϕ − 1
Z 2π
3
F = r2
dϕ = 3 π r2 .
2
0
d) Mit der Parameterdarstellung aus a) erhalten wir für einen halben Zykloidenbogen
s
Z π 2 2
Z π q
1
dx
dy
L =
+
dϕ =
r2 (1 − 2 cos ϕ + cos2 ϕ) + r2 sin2 ϕ dϕ
2
dϕ
dϕ
0
0
Z π p
√ Z π p
=
2 r2 (1 − cos ϕ) dϕ = 2 r
1 − cos ϕ dϕ
0
0
Mit der Substitution t = tan(ϕ/2) ist für 0 ≤ ϕ ≤ π
cos2
ϕ
2 dt = 1 + tan2
dϕ sowie 1 − cos ϕ = 1 −
2
cos2
ϕ
2
ϕ
2
− sin2
+ sin2
ϕ
2
ϕ
2
=
2 t2
,
1 + t2
wobei 0 ≤ t < ∞ ist, also
r
Z ∞
√ Z ∞
2 t2 2 dt
2t
2
L = 2 2r
= 4r
√
3 dt u = 1 + t , du = 2 t dt
2
2
1+t 1+t
0
0
1 + t2
Z ∞
∞
1
−3/2
−1/2 = 4r
u
dt = − 8 r u
= −8 r lim √ − 1 = 8 r.
u→∞
u
1
1