Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt
WS 2007/2008
Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut
Johannes Gutenberg Universität Mainz
Thema der Stunde
• Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre
• Begriff der Wahrscheinlichkeit
• Axiomatische Definition und Folgerungen aus
den Axiomen
Wahrscheinlichkeitslehre
• Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli).
Aufgaben des Glücksspiels. Nur arithmetische und kombinatorische
Methoden.
• Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch LaPlace, Gauss und
Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Bevölkerungsstatistik.
• Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W-Theorie,
Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der
stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik.
• Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informations- und
Kommunikationstheorie,Teilchenphysik, Bevölkerungsstatistik,
Populationsdynamik,Epidemiologie, Dosis-Wirk-Diagnostik,
Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung,
Versuchsplanung und Stichprobentheorie.
Wahrscheinlichkeitslehre
Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit zufälligen Ereignissen
Für diese Zufallsereignisse gilt:
1. Sie sind wiederholbar.
2. Sie besitzen eine Stabilität in der relativen Häufigkeit ihres
Auftretens.
nA
P ( A) := lim
N →∞ N
n A : Häufigkeit des Ereignisses A
N : Gesamtzahl aller Versuche
Wahrscheinlichkeitslehre
Beispiel: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer „6“ in Abhängigkeit
Von der Anzahl der Würfelversuche:
nA
P ( A) := lim
N →∞ N
n A : Häufigkeit des Ereignisses A
N : Gesamtzahl aller Versuche
Begriffe: Stichprobenraum
Zwei Ereignisse heissen paarweise unvereinbar (disjunkt), wenn gilt:
A∩ B = ∅
(„unmögliches Ereignis“)
Gilt:
A = B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn
Und sind die Bi paarweise unvereinbar, so lässt sich A in die Teilereignisse
Bi zerlegen. Wenn stets mindestens eines der Bi eintritt, d.h.
Ω = B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn
(„sicheres Ereignis“)
So bilden die Bi ein vollständiges System paarweise unvereinbarer
Ereignisse (Elementarereignisse), den Stichprobenraum.
Begriffe: Ereignisalgebra
Zu einem Stichprobenraum kann man eine sog. Ereignisalgebra
konstruieren, die ein abgeschlossenes System von Ereignissen darstellt.
Regel:
Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem unmöglichen Ereignis
und allen Ereignissen, die sich in Elementarereignisse zerlegen lassen.
Beispiel: Zufallsdreieck mit 3 Seiten B1,B2,B3
U = {∅,{B1 }, {B2 },{B3 }, {B1 , B2 },{B1 , B3 },{B2 , B3 },{B1 , B2 , B3 }}
Jedem Ereignis A, welches der Algebra U angehört, kann dann eine
Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Die Wahrscheinlichkeit ist also
eine auf der Ereignisalgebra U definierte Funktion P(A).
Die Kolmogoroff - Axiome
Die auf U definierte Funktion P(A) besitzt folgende Eigenschaften:
1. Für jedes Ereignis A der Algebra U gilt : P(A) ≥ 0
2. Für das sichere Ereignis gilt: P(Ω) = 1
3. Läßt sich das Ereignis A in die unvereinbaren Teilereignisse
B und C zerlegen (alle 3 Ereignisse gehören der Algebra U
an), so gilt P(A) = P(B) + P(C) (Additionssatz der
Wahrscheinlichkeiten).
[Tafelbeispiele und Vertiefungen]
Folgerungen aus den Axiomen
P ( A ) = 1 − P ( A)
(Wahrscheinlichkeit des Komplements ist 1 minus die WK des
Ereignisses)
Es gilt ja für den Stichprobenraum Ω:
Und mit Axiom 2 folglich:
Und mit Axiom 3 (Additionstheorem)
dann:
Woraus der Satz folgt.
Ω = A∪ A
1 = P ( A ∪ A)
1 = P ( A) + P ( A )
Folgerungen aus den Axiomen
Gilt A ⊂ B, so folgt
P ( A) ≤ P ( B )
B lässt sich als Vereinigung der disjunkten
Ereignisse A und B\A („B ohne A“) schreiben:
B = A ∪ B\A
Da P(B\A) ≥ 0
Folgt der Satz.
A
B\A
Folgerungen aus den Axiomen
P(A\B) = P(A) – P(A ∩ Β)
A lässt sich als Vereinigung der disjunkten
Ereignisse A\B und A∩B schreiben:
A = (A\B) ∪ (A∩B)
Wegen des Additionstheorems folgt sofort
P(A) = P(A\B) + P(A∩B)
Und hieraus folgt der Satz.
A\B A∩B
Folgerungen aus den Axiomen
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(allgemeiner Additionssatz)
A ∪ B lässt sich als Vereinigung der disjunkten
Ereignisse A\B und B schreiben:
A\B
A ∪ B = (A\B) ∪ B
Wegen des Additionstheorems folgt
P(A ∪ B) = P(A\B) + P(B)
Wir zeigten aber vorher: P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B). Einsetzen gibt:
P(A ∪ B) = P(A) – P(A ∩ B)+ P(B)
Und dies ist der allgemeine Additionssatz.
B