8.1 Nichtstarre Körper

8. Mechanik nichtstarrer Körper
Wie kommt das Wasser in die
Spitzen des Mammutbaums ?
8.1 Nichtstarre Körper
Materie üblicherweise in drei unterschiedlichen Phasen
Festkörper
formstabil
geringe Kompressibilität
elastische Deformation
Flüssigkeit
nicht formstabil
geringe Kompressibilität
Gas
nicht formstabil
kompressibel
Fluide
1
8.2 Elastizität
Elastizitätsmodul
Zugspannung
Poissonzahl ( = Querkontraktionszahl)
Kompressionsmodul und Kompressibilität
Schubspannung bzw. Scherspannung
Schubmodul bzw. Schermodul
Torsionsmodul
Torsion eines Drahtes
Biegung von Balken
8.3 Fluide
Sammelbezeichnung für Flüssigkeiten und Gase
Fluide
ändern ihre Form
nehmen keine Schubspannungen auf
Kontinuumsannahme:
Masse ist stetig über das Volumen verteilt
(hier i.f. immer als homogen angenommen)
→ komplexe Fluide
Aufbau aus Molekülen wird nicht berücksichtigt
(gültig außer bei extrem niedrigen Dichten)
→ Molekularstrahlen
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8.3 Ruhende Fluide („Hydrostatik“)
Flüssigkeitsschichten sind frei gegeneinander verschiebbar.
Keine Rückstellkräfte bei Scherung, Torsion; Reibungskräfte möglich.
Nur Volumenänderung liefert Rückstellkraft.
Unter Druck p erfolgt eine Volumenänderung:
∆V
V
= −κ p
κ : Kompressibilität
Ideale Flüssigkeit:
keine Reibung, keine Oberflächeneffekte
An der Oberfläche treten keine Tangentialkräfte auf.
Die Flüssigkeit hat eine Masse (Dichte); dadurch Gewichtskräfte.
An Wänden von Behältern treten keine Tangentialkräfte, aber
Normalkräfte auf.
8.3 Kraft auf Flüssigkeitselement
Flüssigkeitselement:
dV = d x dy d z
z
y
Die Kraft auf die linke Seite ist:
Fx = p dy d z
∂p


Die Kraft auf die rechte Seite: Fx = − p +
d x  dy d z
∂x


∂p
Summe beider Kräfte: Fx = −
d x dy d z
∂x
x
Analog für y und z-Komponente (erstmal ohne Schwerkraft)
r
r
 ∂p ∂p ∂p 
F = − , ,  dV = −grad p dV = −∇p dV
 ∂x ∂y ∂z 
Der Druck ist eine skalare Größe!
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8.3 Gleichgewicht
Die Flüssigkeit ruht, wenn Gesamtkraft = Null
Es folgt:
grad p = 0
(homogene Dichte)
Die Kraft auf alle Seitenflächen ist gleich.
In einer schwerelosen, ruhenden Flüssigkeit ist der Druck überall gleich.
Bei Druck
p treten Kräfte auf alle Gefäßwände auf.
r
r
F1 = p A1
r
r
F2 = p A2
r
r
F3 = p A3
r
F2
r
F1
r
F3
Kompensationskräfte halten
die Schieber in Ruhe.
p
Anwendung: Hydraulische Pressen
Prinzip: Hebel, Übersetzung
8.3 Schweredruck
Kraft auf ein Flüssigkeitselement mit Dichte ρ
Gesamtkraft auf das ruhende Element kompensiert seine Gewichtskraft
(0,0,− g ρ dV ) − grad p dV = 0
g sei positiv
z
h
Es folgt für die z-Komponente
∂p
= −ρ g
∂z
∂p
∫z ∂ z′ d z′ = p(h) − p( z ) = − ∫z ρ g d z′ = − ρ g (h − z )
h
Integration liefert
0
h
p ( z ) = ρ g (h − z ) + p( h )
Der Druck nimmt linear mit der Tiefe zu.
Er wirkt auch auf die Seitenwände.
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8.3 Auftrieb
Der Druck auf linke/rechte und vordere/hintere
Seite ist jeweils gleich. (Kräftegleichgewicht)
Druckdifferenz
H
∆p = ρ Fl g H
Dadurch Kraft nach oben
r
FA
r
F
Der Druck auf obere Seite ist kleiner
als auf die untere Seite.
F = ρ Fl g H A = ρ Fl g V
ρK
r
FG
ρ Fl
(neg. Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit)
Dem entgegen wirkt die Gewichtskraft
des Körpers (nach unten)
Der resultierende Auftrieb ist (nach oben)
FG = m g = ρ K V g
FA = ( ρ Fl − ρ K ) V g
8.4 Oberflächenenergie
An der Oberfläche fehlen
Nachbaratome.
Oberflächenatome haben eine
geringere Bindungsenergie.
Man muss Arbeit verrichten
um ein Atom an die
Oberfläche zu bringen.
(Nicht aber beim Austausch)
Vergrößerung der Oberfläche kostet Energie.
Die Energie pro Fläche heißt spezifische Oberflächenenergie
ε=
∆W
∆A
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8.4 Oberflächenspannung
L
r
F
∆s
Um die Oberfläche zu vergrößern braucht man
∆W = F ∆ s = ε 2 L ∆ s = ε ∆ A
r
r F
Die Zugspannung heißt Oberflächenspannung σ =
(σr = ε )
2L
die Kraft (Film hat zwei Oberflächen):
Oberflächenspannung ist einer gerichtete Größe !
8.4 Kontaktwinkel
Oberflächenenergien spielen bei allen Grenzflächen
einer Rolle
Die Bindungsenergie zum
benachbarten Material kann
größer oder kleiner sein als im
jeweiligen Medium.
Grenzflächenspannungen:
r
Flüssigkeit-Luft: σ LV
r
Wand-Flüssigkeit: σ LS
Wand-Luft:
r
σ SV
stationäres Gleichgewicht
Oberflächenspannungen heben sich auf
r
r
r
σ LV + σ LS + σ SV = 0
σ LV cos ϕ − σ LS + σ SV = 0
σ − σ SV
cos ϕ = LS
σ LV
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8.5 Fluiddynamik
Man zerlegt das Fluid in Volumenelemente
Die Bewegung der Massen
dV.
dm = ρ dV wird durch die Kräfte auf das
Volumenelement bestimmt und mit dem Aktionsprinzip berechnet.
Gewichtskraft:
r
r
Fg = ρ g dV
Kräfte durch Druckunterschiede:
r
r
Fp = − grad p dV = −∇p dV
F1 = p1 dy d z
F2 = − p2 dy d z
dx
x
Fx = F1 + F2 = −( p2 − p1 ) dy d z = −
∂p
∂p
d x dy d z = − dV
∂x
∂x
8.5 Stationäre Strömungen
Zusätzlich wirken Reibungskräfte zwischen Volumenelementen mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Gesamtkraft auf das
Volumenelement die
r r
r
r
F = Fg + Fp + FR
beschleunigt
Beschreibung der Flüssigkeits-Bewegung
durch Angabe der Geschwindigkeit
u→ an
jedem Ort zu jeder Zeit (Strömungsfeld).
Hängt
r r
r r
u (r , t ) = u (r )
r r
r
u ( r , t ) = u ( x, y , z, t )
nicht explizit von der Zeit
ab, spricht man von einer stationären Strömung.
Ideale Fluide: Reibungskräfte spielen keine Rolle (Gase).
Viskose Fluide: Reibungskräfte überwiegen (Fließen von Honig).
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8.5 Beschleunigung in stationärer Strömung
r r
r
Das Volumenelement gelangt in der Zeit ∆t von r nach r + u ∆t
dort hat es ggf. eine andere Geschwindigkeit.
,
→ Beschleunigung
Beispiel: Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in x-Richtung
d u x ∂ ux
ux
=
dt
∂x
∂x
Beispiel: Beschleunigung in x-Richtung bei Verschiebung in y-Richtung
dux ∂ux
=
uy
dt
∂y
∂y
Alle möglichen Verschiebungen zusammen ergeben:
∂u
∂u
dux ∂ux
=
u x + x u y + x uz
∂z
dt
∂x
∂y
8.5 Beschleunigung in zeitabhängiger Strömung
Zusätzlich kann das Strömungsfeld noch explizit von der Zeit abhängen.
Allgemein gilt für die
Beschleunigung in
x-Richtung
dux ∂ux ∂ux
∂u
∂u
u x + x u y + x uz
+
=
dt
∂z
∂y
∂x
∂t
r r
∂
∂
∂
u ⋅ ∇ = ux
+ uy
+ uz
∂x
∂y
∂z
für die
Beschleunigung
ergibt sich
∂u
∂u 
 ∂u x
+ u y x + uz x 
 ux
∂y
∂z 
 ∂x
∂u y
∂u y 
r r r  ∂u y
+ uy
+ uz
u ⋅ ∇ u =  ux
∂x
∂y
∂z 


 u x ∂u z + u y ∂u z + uz ∂uz 
 ∂x
∂y
∂z 

(
r
r
r r r
du ∂u
+ ( u ⋅ ∇) u
=
d t ∂t
)
Konvektive Beschleunigung
Beschleunigung aufgrund Zeitabhängigkeit der Strömung
8
8.5 Euler Gleichung
Bewegungsgleichung für Fluid ohne Reibung
r
r
du r
= Fg + Fp
dt
m {
r
a
ρ
dV
{
Aktionsprinzip
Beschleunigung und Kräfte einsetzen
Leonhard Euler
(1707 –1783)
r
r r r
r r
 ∂u
ρ dV  + (u ⋅ ∇) u  = ρ dV g − ∇ p dV
 ∂t

Kraft aufgrund des
Druckgradienten
Schwerkraft
r
r r r
r 1 r
∂u
+ ( u ⋅ ∇) u = g − ∇ p
ρ
∂t
Euler-Gleichung
Dichte des Fluids ist nicht notwendigerweise konstant !
8.5 Strömung in einem Rohr
Vereinfachungen:
Inkompressibilität
r
ρ (r , t ) = ρ 0
Es gilt die Euler Gleichung
Reibungsfreie Strömung
Stationäre Strömung
r
∂u
=0
∂t
Schwerkraft vernachlässigbar
g =0
Strömung in x-Richtung
Der Massenstrom ist überall
im Rohr gleich
Im Zeitelement
die Fläche
A
r
u
A′
r
u′
dt tritt durch
A die gleich Masse
dm, wie durch die Fläche A´
dm
dx
= ρ0 A
= ρ 0 Au x = ρ 0 A′u′x
dt
dt
u x A′
=
u′x A
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8.5 Bernoulli Gleichung
r
r r r
r 1
∂u
Eulersche Gleichung
+ (u ⋅ ∇) u = g − grad p
ρ
∂t
Reibungsfreiheit, Inkompressibilität, Stationarität, Schwerelosigkeit, 1D
ux
∫ u du
Integrieren liefert
x
⇒
x
∂ux
1 ∂p
=−
∂x
ρ ∂x
=−
1
ρ∫
dp
1 2
1
u x = − p + const.
2
ρ
p + 12 ρ u 2 = const.
Bernoulli-Gleichung
p ist der statischer Druck,
1
2
ρ u 2 heißt Staudruck
8.5 Kontinuitätsgleichung
Um die Flüssigkeit vollständig zu beschreiben muss man für jeden Punkt
Geschwindigkeit und Dichte bzw. Druck angeben.
r r
u(r , t )
r
ρ (r , t )
Strömungsfeld = Vektorfeld
Dichteverteilung = Skalarfeld
Zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung der Strömung muss auch
eine DGL für die Dichte aufgestellt werden: Kontinuitätsgleichung
Zufluss
d m1
= ρ u x dy d z
dt
Abfluss
dx
d m2
= − ρ u′x dy d z
dt
x
∂u
∂u
d m d m1 d m2
=
+
= − ρ (u′x − u x ) dy d z = − ρ x d x dy d z = − ρ x dV
∂x
∂x
dt
dt
dt
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8.5 Kontinuitätsgleichung
Berücksichtigung der anderen Seiten liefert:
∂u
 ∂u
dm
∂u 
= − ρ  x + y + z dV
dt
∂z 
∂y
 ∂x
dadurch ändert sich die Dichte in dem Volumenelement:
r r
r
 ∂u ∂u
∂u 
dρ
= − ρ  x + y + z  = − ρ div u = − ρ ∇ u
∂z 
dt
∂y
 ∂x
ρ=
dm
dV
Die Klammer bezeichnet man als Divergenz
(Quellstärke eines Vektorfeldes)
rr
dρ
= −ρ ∇ u
dt
Kontinuitätsgleichung
Dichte im Volumenelement nimmt zu, wenn mehr zufließt als abfließt.
Dichte im Volumenelement nimmt ab, wenn mehr abfließt als zufließt.
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