Musterlösung 11 - D-MATH

D-ITET
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Prof. A.-S. Sznitman
FS 2016
Musterlösung 11
1. Die zu der Messreihe x1 , . . . , xk , k = 15, gehörende Likelihood-Funktion ist
!
k
Y
Pk
2
xi e−θ i=1 xi ,
L(θ; x1 , . . . , xk ) = (2θ)k
i=1
für θ > 0. Die Ableitung der Log-Likelihood-Funktion
ln L(θ; x1 , . . . , xk ) = k ln(2θ) +
k
X
ln xi − θ
i=1
k
X
x2i
i=1
ist gegeben durch
k
k X 2
∂ ln L(θ; x1 , . . . , xk )
=
−
xi .
∂θ
θ
i=1
Diese verschwindet an der Stelle
k
θ̂ = Pk
i=1
x2i
.
Als Maximum-Likelihood-Schätzwert erhalten wir somit
15
θ̂ =
= 0.4119.
36.415
2. Da wir eine stetige Verteilung haben, ist die Likelihood-Funktion das Produkt
der Dichten:
! n
n
n
Y
Y
X
1[α,∞) (Xi )
L(α, X1 , . . . , Xn ) =
fX (Xi ) = exp nα −
Xi ·
i=1
i=1
= exp nα −
n
X
i=1
!
Xi
· 1{min1≤i≤n Xi ≥α} .
i=1
Diese Funktion ist positiv, falls alle Xi grösser oder gleich α sind. Unter
Pdieser
Bedingung maximieren wir diese Funktion genau dann, wenn wir nα − ni=1 Xi
maximieren. Also ist der Maximum-Likelihood-Schätzer gegeben durch
α
b = min{X1 , . . . , Xn }.
Der Schätzwert beträgt somit 3.1. Wir bemerken, dass sowieso min{X1 , . . . , Xn } ≥
α gilt; also überschätzt α
b den wahren Wert α.
Bitte wenden!
3. Wir betrachten m = 4 Parteien und r = 3 Altersklassen. D.h. wir müssen eine
χ2 -verteilte Zufallsvariable Y6 mit 6 = (m − 1)(r − 1) Freiheitsgraden betrachten.
Laut Tabelle gilt
P [Y6 ≤ 12.592] = 0.95 = 1 − α.
Wir verwerfen nun die Hypothese der Unabhängigkeit, falls der Wert t der Testgrösse grösser als 12.592 ist.
Der Wert der Testgrösse ist gegeben durch
t =
m X
r
X
(njk − n∗jk )2
j=1 k=1
n∗jk
,
wobei
• njk ist die Anzahl Personen, welche in der Altersklasse k sind und die Partei
j wählen;
• n∗jk = nj· · n·k /n, mit den absoluten Randhäufigkeiten
nj· =
r
X
njk
und n·k =
m
X
njk ,
j=1
k=1
und der totalen Anzahl Personen n = 1000.
Die jeweiligen absoluten Randhäufigkeiten sind
n1· = 470,
n2· = 430,
n3· = 40,
n4· = 60,
und
n·1 = 200,
n·2 = 400,
n·3 = 400.
Dies ergibt beispielsweise für j = 2 und k = 1,
n∗21 =
also
430 · 200
n2· · n·1
=
= 86,
n
1000
(n21 − n∗21 )2
(90 − 86)2
=
= 0.186.
n∗21
86
Siehe nächstes Blatt!
Analog können wir alle diese Werte bestimmen; sie sind in folgender Tabelle
zusammengefasst.
n∗jk
1
2
3
4
1
12.298
0.186
0.5
65.333
2
0.021
1.884
2.25
8.167
3
5.447
2.814
1
8.167
Summiert man alle diese Werte, erhält man den Wert t der Testgrösse. Man erhält
t = 108.066. Wegen t = 108.066 > 12.592 verwirft man somit die Hypothese der
Unabhängigkeit der Merkmale.