Bedingte Wahrscheinlichkeit

1
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Entnommen aus Ü4 Aufgabe 1.34 – Kochrezept nächste Seite
Es sei A das Ereignis, dass der Student zur Disko geht. Weiterhin bezeichne Bi das Ereignis,
dass der Student sich in Raum i befindet. Wir wissen:
P (A) = p
⇒ P (A) = 1 − p
1
P (Bi |A) =
4
Die letzte Zeile geht aus dem Wortlaut des letzten Nebensatzes der Aufgabenstellung hervor.
Als Erstes wollen wir wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Student in Raum
3 anzutreffen ist. Gesucht ist folglich P (B3 ). Anschaulich kann man sich wieder Flächen
vorstellen. Ein großer Kreis entspricht der Umgebung der Disko und ein Viereck stellt die
Disko dar, die in sich nochmals in vier Räume unterteilt ist. Jetzt wird durch reine Überlegung
klar, dass P (B3 ) = p/4 sein muss. Rechnerisch folgt:
P (B3 |A) =
P (B3 )
p
P (B3 ∩ A)
=
⇒ P (B3 ) = P (B3 |A) · P (A) =
P (A)
P (A)
4
| {z }
(?)
(?) gilt, weil die Schnittmenge des Ereignisses der Disko (A) und des Raumes 3 (B3 ) gerade
den Raum 3 ergibt.
In der zweiten Teilaufgabe ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass der Student in Raum 4
anzutreffen ist unter der Bedingung, dass er nicht in Raum 1 bis 3 war. Gesucht ist:
P (B4 |(B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 )) =
=
P (B4 ∩ (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ))
P (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 )
P (B4 )
1 − P (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 )
P (B4 )
=
1 − P (B1 ∪ B2 ∪ B3 )
P (B4 )
=
1 − [P (B1 ) + P (B2 ) + P (B3 )]
p
p
4
=
3 =
4 − 3p
1 − 4p
Im Nenner wird das Gegenereignis eingeführt (zweite Zeile), wobei man sich durch etwas
mehr Überlegung auch direkt P (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) bestimmen könnte. Wenn man wieder die
Flächenvorstellung heranzieht, so entspricht diese Wahrscheinlichkeit der Umgebungsfläche mit
P (A) = 1 − p PLUS dem einen Raum - nämlich Raum 4 - mit P (B4 ) = p/4. Im Nenner stünde
also
p
3
P (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 ) = P (A) + P (B4 ) = 1 − p + = 1 − p
4
4
was identisch ist mit dem Ergebnis, welches wir durch das Betrachten des Gegenereignisses
herausbekommen haben.
2
Kochrezept zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Aufgabenstellung analysieren und Ereignisse A, B, ... definieren
2. Gegebene Wahrscheinlichkeiten in übersichtlich aufschreiben. Es kann durchaus auch
P (A|B) = . . . gegeben sein!
3. Gegebenenfalls mache man sich eine Zeichnung oder Skizze (ähnlich der Skizze für die
Bücherregalaufgabe aus der Übung), damit der Sachverhalt - insbesondere bedingte Wahrscheinlichkeiten - besser verstanden werden.
4. Für jede Teilaufgabe schreibe man zunächst die gesuchte Wahrscheinlichkeit - zum Beispiel
P (A ∩ B) = . . . - auf, wobei die Punkte zunächst so stehenbleiben können.
5. Bevor man nun wild drauf los rechnet und anstelle der Punkte Formeln einsetzt, lese
man sich die eben Aufgeschriebene Wahrscheinlichkeit nochmals vor und vergewissere
sich, dass sie wirklich der Aufgabenstellung entspricht.
6. Nun müssen Formeln benutzt werden (siehe Merziger), um die gesuchte Wahrscheinlichkeit anhand der bekannten Wahrscheinlichkeiten auszudrücken.