Massepunkt Parabelbahn

Eine punktförmige Masse wird am oberen Ende eines Parabelbogens losgelassen.
Wie lauten die DGL für Beschleunigung und Geschwindigkeit? Die Bewegung erfolgt reibungsfrei.
Eine andere punktförmige Masse gleitet ebenfalls reibungsfrei entlang einer schiefen Ebene welche
in (xo/yo) beginnt und im Scheitelpunkt der Parabel endet.
Welcher Körper ist schneller?
Lösung:
Energetischer Ansatz:
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:
1
m ⋅ g ⋅ y0 ＝ m ⋅ g ⋅ y ((x)) + ―⋅ m ⋅ v 2
2
λ
y ((x)) ＝ ―⋅ x 2
2
Parabelbahn
1
g ⋅ y0 ＝ g ⋅ y ((x)) + ―⋅ v 2
2
v 2 ＝ vx 2 + vy 2
⎛
⎞
λ
vx 2 + vy 2 ＝ 2 g ⋅ ⎜y0 − ―⋅ x 2 ⎟
2
⎝
⎠
Diffrentiation der "x" und "y"- Koordinaten nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeiten in x- und y
Richtung. (Der obere Strich bedeutet die Ableitung nach der Zeit)
vx ＝ x′
vy ＝ y′ ＝ λ ⋅ x ⋅ x′
Eingesetzt erhält man:
⎛
⎞
λ
x′ 2 + λ 2 ⋅ x′ 2 ⋅ x 2 ＝ 2 g ⋅ ⎜y0 − ―⋅ x 2 ⎟
2
⎝
⎠
DGL des Bewegungsablaufs
x′ 2 ⋅ ⎛⎝1 + λ 2 ⋅ x 2 ⎞⎠ ＝ g ⋅ ⎛⎝2 ⋅ y0 − λ ⋅ x 2 ⎞⎠
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
g ⋅ ⎛⎝2 ⋅ y0 − λ ⋅ x 2 ⎞⎠ dx
x′ ＝ ――――――
＝―
dt
1 + λ2 ⋅ x2
Trennung der Veränderlichen
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + λ2 ⋅ x2
⋅ dx ＝ dt
――――――
g ⋅ ⎛⎝2 ⋅ y0 − λ ⋅ x 2 ⎞⎠
x
⌠ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + λ2 ⋅ x2
⎮ ――――――
dx＝t
⎮ g ⋅ ⎛2 ⋅ y − λ ⋅ x 2 ⎞
⎝
⎠
0
⌡
x0
x
⌠
⎮
⎮
⎮
⎮
⌡
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + λ2 ⋅ x2
2 g ⋅ y0
d x ＝ t ⋅ ‾‾‾‾‾‾
―――――
λ
2
1 − ――⋅ x
2 ⋅ y0
x0
Dieses elliptische Integral lässt sich nicht elementar lösen.
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
(I)
Lösen der DGL im Lösungsblock: Die DGL muss in ihrem höchsten Ableitungsterm linear sein,
deshalb wird die Ausgangs-DGL nochmals nach der Zeit abgeleitet und vereinfacht (siehe unten).
Gleichungslöser Nebenbedingungen
Schätzwerte
Tg ≔ 17 s
x ((0 s)) ＝ x0
x0 ≔ 50 m
1
λ ≔ 0.03064734 ―
m
m
x′ ((0 s)) ＝ 0 ―
s
2⎞
2
⎛
x′′ ((t)) ⋅ ⎝1 + λ 2 ⋅ x ((t)) ⎠ + x′ ((t)) ⋅ λ 2 ⋅ x ((t)) ＝ −g ⋅ λ ⋅ x ((t))
x ≔ odesolve ⎛⎝x ((t)) , Tg , 10 6 ⎞⎠
2 ⎛
2⎞
2⎞
⎛
x′ ((t)) ⋅ ⎝1 + λ 2 ⋅ x ((t)) ⎠ ＝ g ⋅ ⎝2 y0 − λ ⋅ x ((t)) ⎠
Ausgangsgleichung
2⎞
2
⎛
2 ⋅ x′ ((t)) ⋅ x′′ ((t)) ⋅ ⎝1 + λ 2 ⋅ x ((t)) ⎠ + x′ ((t)) ⋅ 2 ⋅ λ 2 ⋅ x ((t)) ⋅ x′ ((t)) ＝ −2 g ⋅ λ ⋅ x ((t)) ⋅ x′ ((t))
2⎞
2
⎛
x′′ ((t)) ⋅ ⎝1 + λ 2 ⋅ x ((t)) ⎠ + x′ ((t)) ⋅ λ 2 ⋅ x ((t)) ＝ −g ⋅ λ ⋅ x ((t))
Einschub: Diese DGL lässt sich auch über das Bogensegment herleiten:
ds ＝ dx ⋅ ‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + λ2 ⋅ x2
Infinitesimal kleines Bogenstück
ds dx
1 + λ2 ⋅ x2
―＝ ― ⋅ ‾‾‾‾‾‾‾‾
dt dt
ds
v ＝ ―＝ x′ ⋅ ‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + λ2 ⋅ x2
dt
Mit dieser Gleichung für die Geschwindigkeit geht man wieder in den Energiesatz ein:
⎛
⎞
λ
x′ 2 ⋅ ⎛⎝1 + λ 2 ⋅ x 2 ⎞⎠ ＝ 2 g ⋅ ⎜y0 − ―⋅ x 2 ⎟
2
⎝
⎠
Diese Gleichung wird dann wieder zu:
2
2
⎛
⎞
x′′ ((t)) ⋅ ⎝x ((t)) ⋅ λ 2 + 1⎠ + x′ ((t)) ⋅ x ((t)) ⋅ λ 2 ＝ −g ⋅ x ((t)) ⋅ λ
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
Charakteristische Werte:
Berechnet werden soll die gesamte Dauer bis der Körper nach dem Start die komplette Parabel
durchlaufen hat:
λ
y ((x)) ≔ ―⋅ x 2
2
λ
y0 ≔ ―⋅ x0 2
2
Für die Herleitung der Gesamtzeit werden die Zeitabschnitte für jedes Bogensegment aufsummiert.
v ＝ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
2 g ⋅ ⎛⎝y0 − y ((x))⎞⎠
ds
v＝―
dt
aus dem Energieerhaltungssatz
2
‾‾‾‾‾‾‾‾
1 + y′ ((x))
ds ＝ dx ⋅
infinitesimal kleines Bogenstück:
2
‾‾‾‾‾‾‾‾
dx ⋅ 1 + y′ ((x))
v ＝ ――――――
dt
2
‾‾‾‾‾‾‾‾
dx ⋅ 1 + y′ ((x))
2 g ⋅ ⎛⎝y0 − y ((x))⎞⎠
＝ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
――――――
dt
Gleichsetzen der Terme
Durch Trennung der Veränderlichen und Integration kommt man auf die allgemeine Formel:
(Ähnliche Form wie (I) )
x0
⌠
⎮
⎮
1
⎮
Tges ≔ ――⋅ ⎮
‾‾‾
2g ⌡
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
⎛ d
⎞
1 + ⎜――
y ((x))⎟
⎜⎝ dx
⎟⎠
――――― d x
⎛
⎞
(
)
y ⎝x0⎠ − y (x)
−x0
Tges = 8.28 s
Tges
= 4.14 s
t0 ≔ ――
2
Dauer bis zum tiefsten Punkt
t ≔ 0 s , 0.02 s ‥ 4 ⋅ t0
d
vx ((t)) ≔ ――
x ((t))
dt
d2
ax ((t)) ≔ ――
x ((t))
d t2
v ((t)) ≔
2
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
vx ((t)) + vy ((t))
a ((t)) ≔
2
2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
ax ((t)) + ay ((t))
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
2
λ
y ((t)) ≔ ―⋅ x ((t))
2
d
vy ((t)) ≔ ――
y ((t))
dt
d2
ay ((t)) ≔ ――
y ((t))
d t2
absolute Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers
Auswertung der Funktionen im Diagramm:
x ((t)) ((m))
⎛m⎞
vx ((t)) ⎜―⎟
⎝ s ⎠
y ((t)) ((m))
4.14
50
⎛m⎞
vy ((t)) ⎜―⎟
⎝ s ⎠
⎛m⎞
v ((t)) ⎜―⎟
⎝ s ⎠
4.14
40
27.5
30
22
20
16.5
10
11
0
5.5
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9 10.5 12 13.5 15 16.5 18
-10
0
-20
-5.5
-30
-11
-40
-16.5
-50
-22
0
1.5
3
4.5
6
7.5
9 10.5 12 13.5 15 16.5 18
-27.5
t ((s))
t ((s))
ax ((t)) ((g))
ay ((t)) ((g))
a ((t)) ((g))
y ((t)) ((m))
4.14
2.45
38.31
2.1
40
1.75
36
1.4
32
1.05
28
0.7
24
0.35
0
20
0
0.85 1.7 2.55 3.4 4.25 5.1 5.95 6.8 7.65 8.5
16
-0.35
-0.7
12
-1.05
8
-1.4
4
-50 -40 -30 -20 -10
t ((s))
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
0
0
10
x ((t)) ((m))
20
30
40
50
Herleitung der Bewegungsgleichungen für den Körper auf der schiefen Ebene:
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt auch hier wieder:
1
m ⋅ g ⋅ y0 ＝ m ⋅ g ⋅ g ((x)) + ―⋅ m ⋅ v 2
2
Schiefe Ebene mit der Geradengleichung:
g ((x)) ＝ β ⋅ x
y0 λ
β ＝ ―＝ ―⋅ x0
x0 2
1
g ⋅ y0 ＝ g ⋅ g ((x)) + ―⋅ v 2
2
wegen:
λ
y0 ＝ ―⋅ x0 2
2
v 2 ＝ vx 2 + vy 2
2
vx 2 + vy 2 ＝ 2 g ⋅ ⎛⎝y0 − β ⋅ x⎞⎠
2
x′ ((t)) + β 2 ⋅ x′ ((t)) ＝ 2 g ⋅ ⎛⎝y0 − β ⋅ x ((t))⎞⎠
2
x′ ((t)) ⋅ ⎛⎝1 + β 2 ⎞⎠ ＝ 2 g ⋅ ⎛⎝y0 − β ⋅ x ((t))⎞⎠
Auch hier soll versucht werden, eine analytische Lösung zu finden:
⎛ dx ⎞ 2
2g
⋅ ⎛⎝y0 − β ⋅ x⎞⎠
⎜―⎟ ＝ ―――
⎝ dt ⎠
1 + β2
‾‾‾‾‾‾
dx
2g
y0 − β ⋅ x
⋅ ‾‾‾‾‾‾‾
― ＝ ―――
dt
1 + β2
Trennung der Veränderlichen:
x0
‾‾‾‾‾‾
dx
2g
＝ ―――
⋅ dt
――――
1 + β2
‾‾‾‾‾‾‾
y0 − β ⋅ x
⌠
‾‾‾‾‾‾
1
2g
⎮ ――――
d x ＝ t ⋅ ―――
führt auf die analytische Lösung:
⎮ ‾‾‾‾‾‾‾
1 + β2
y0 − β ⋅ x
⌡
x
g ⋅ t 2 ⋅ λ ⋅ x0
(
)
x (t) ＝ x0 − ――――
λ 2 ⋅ x0 2 + 4
tE ≔ 2
‾‾‾‾‾‾‾‾‾
λ 2 ⋅ x0 2 + 4
= 9.192 s
――――
g⋅λ
Fazit: Der Körper auf der Parabelbahn kommt schneller im Ziel an.
Δt ≔ tE − Tges = 0.908 s
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
Dauer bis zum anderen oberen
Parabelpunkt.
Vorgabe: "xo" bleibt konstant.
Wie muss der Parameter λ gewählt werden, damit die Zeit von der Ausgangsposition bis zum
Scheitelpunkt minimal wird?
x0
⌠ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
x2 ⋅ λ2 + 1
(
)
T (λ) ≔ ⎮ ―――――
dx
⎮ g ⋅ λ ⋅ ⎛x 2 − x 2 ⎞
⎝
⎠
0
⌡
Dies ist ein Elliptisches Integral welches
numerisch gelöst wird:
−x0
1
1
1
λ ≔ 0 ⋅ ―, 0.001 ⋅ ―‥ 0.1 ⋅ ―
m
m
m
Verlauf der Zeitdauer in Abhängigkeit des Parabel-Parameters λ :
T ((λ)) ((s))
33
30.5
28
25.5
23
20.5
18
15.5
13
10.5
8
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
⎛1⎞
λ ⎜―⎟
⎝m⎠
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Nebenbedingungen
Gleichungslöser
Schätzwerte
Der optimale Parameter λ, bei dem der Körper am schnellsten unterwegs ist wird nummerisch ermittelt:
1
λ ≔ 0.02 ⋅ ―
m
d
T ((λ)) ＝ 0
――
dλ
Scheitelpunkt der Parabel:
λopt
⋅ x0 2 = 38.31 m
y0 ≔ ――
2
© Dipl.-Ing. Volker Lehner
1
λopt ≔ find ((λ)) = 0.03064734 ―
m
λopt
1
= 0.015324 ―
――
m
2