Boolesche Algebra/Mengenlehre

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Resilience Engineering und Safety & Security Engineering
1. Präsenzphase
02./03. März 2017, Freiburg
Dr. Patrick Gelhausen
[email protected]
© Fraunhofer EMI
INHALTE
1. Notation
2. Mittelwert und Median
3. Boolesche Algebra/Mengenlehre
4. Exponentialrechnung
5. Binomialverteilung
6. Differentialrechnung
7. Integralrechnung
8. Zusammenfassung und Ausblick
"At this point we notice that this equation
is beautifully simplified if we assume that
space-time has 92 dimensions"
© Fraunhofer EMI
Mathematische Notationen
 a∧b
a und b
 a∨b
a oder b
 ¬a
nicht a
 | A|
Kardinalität/Mächtigkeit von A
 #
Anzahl von
 ℕ
natürliche Zahlen (1, 2, 3, …)
 ℕ0
natürliche Zahlen mit 0 (0, 1, 2, …)
 ( x) B
logische Klammer
 ∑
Summenzeichen
∪
Vereinigung
∩
Schnitt
 ∫
Integral
 𝑥𝑥̇
Zeitliche Ableitung von x
© Fraunhofer EMI
1 falls x wahr ist.
( x) = 
0 sonst.
B
1 falls x ≥ 2.
( x ≥ 2) B =

0 falls x < 2.
3
∑ n = 1 + 2 + 3 ≈ 4.15
n =1
A = {1, 2,5}
| A |= 3
B = {2,3,5}
A∪ B =
{1, 2,3,5}
A∩ B =
{2,5}
Mittelwert und Median
 Mittelwert / arithmetisches Mittel
 Für Werte x1 , x2 ,..., xn
1 n
x = ∑ xi
n i =1
{1,3, 2,3, 4,8}
1
x= (1 + 3 + 2 + 3 + 4 + 8 )= 3.5
6
 Median
 Für nach der Größe sortierte Werte x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn
x( n +1) 2


x :=  1
 2 ( xn 2 + xn 2+1 )
© Fraunhofer EMI
für ungerade n,
für gerade n.
{1, 2,3,3, 4,8}
=
x
3+3
= 3
2
Boolesche Algebra/Mengenlehre
 Kommutativgesetz
 A∩ B = B ∩ A
A∪ B = B ∪ A
 Assoziativgesetz
 A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C
 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C
 Distributivgesetz
 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
 Idempotenz
 A ∪=
A A, A ∩=
A A
 Absorption
A
A, A ∪ ( A ∩ B ) =
 A ∩ ( A ∪ B) =
 Weitere
 Komplementbildung, De Morgansche Gesetze, …
© Fraunhofer EMI
( A ∪ B) ∩ C
≠
A ∪ (B ∩ C)
Potenzrechnung, Exponentialfunktionen, Logarithmus
 Potenzrechnung
 Rechenregeln für Multiplikation, Division
von Potenzen
 Exponentenvergleich
 Graphische Darstellung von Funktionen
 Einfach-logarithmische Skala
 Doppelt-logarithmische Skala
© Fraunhofer EMI
3
−3− ( − b )
10−=
/ 10− b 10
=
10−3+b
10−3+b = 10−4+ 2b
⇒ −3 + b = −4 + 2b
Binomialverteilung
 k Erfolge aus n Ziehungen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p
n k
Bn , p (k )   p (1 − p ) n − k
=
k 
 Binomialkoeffizient
n
n!
=
 k  k !(n − k )!
 
 Insbesondere
n
=
Bn , p (0)   p 0 (1 − p ) n −0
0
= (1 − p ) n
© Fraunhofer EMI
Topf mit 10 roten und 4 blauen
Kugeln, 5 mal ziehen mit
zurücklegen
Wahrscheinlichkeit, dass genau 3
gezogene Kugeln rot sind:
 5   10 
=
B 10 (3)    
5,
 3   14 
14
3
2
 4
  ≈ 0.297
 14 
Lotto: 6 aus 49
𝑃𝑃𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿
49
=
6
−1
1
=
13983816
Differentialrechnung
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
 Herleitung aus Differenzenquotient
 Steigung 𝑚𝑚 =
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 −𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )
𝑥𝑥2 −𝑥𝑥1
 Rücke 𝑥𝑥1 und 𝑥𝑥2 zusammen
 Für 𝑥𝑥1 →𝑥𝑥2 : Punktsteigung! (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑)
 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 −𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )
lim
𝑥𝑥2 −𝑥𝑥1
𝑥𝑥2→𝑥𝑥1
𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑓𝑓 𝑥𝑥
 Beispiele
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
𝑥𝑥
 Geschwindigkeit 𝑣𝑣 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
̇
 Beschleunigung 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣̇ 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥̈ (𝑡𝑡)
 Impuls: F 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝(𝑡𝑡)
̇
© Fraunhofer EMI
Differentialrechnung
 Produktregel
f ( x ) = u ( x )v ( x )
f '( x) u '( x)v( x) + u ( x)v '( x)
=
 Quotientenregel
f ( x) =
f '( x) =
=
f '( x) cos x ln x +
sin x
x
cos x
x2
(− sin x) x 2 − 2 x cos x
f '( x) =
x4
− x sin x − 2cos x
=
x3
f ( x) =
u ( x)
v( x)
u '( x)v( x) − u ( x)v '( x)
( v( x) )
 Kettenregel
f ( x) = u (v( x))
f '( x) = u '(v( x))v '( x)
© Fraunhofer EMI
f ( x) = sin x ln x
2
f (=
x) (3 x + 4)7
f '( x) = 7(3 x + 4)6 ⋅ 3
= 21(3 x + 4)6
Integralrechnung
 Problem: Fläche unter Integral bis 𝑎𝑎?
 𝐴𝐴 ≈ ∑ 𝐴𝐴𝑖𝑖 ,
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛
𝐴𝐴1
 Fläche eines Rechtecks 𝐴𝐴𝑖𝑖
 𝐴𝐴𝑖𝑖 = Δ𝑥𝑥 ⋅ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )
 𝐴𝐴 = Δ𝑥𝑥 ∑ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )
 Δ𝑥𝑥 unendlich klein → Perfekte Approximation
 Δ𝑥𝑥 → d𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Δ𝑥𝑥
𝐴𝐴𝑛𝑛
𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑎𝑎
 𝐴𝐴 = ∫0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
© Fraunhofer EMI
Integralrechnung
 „Rückwärts“ denken
 Bei einfach ableitbaren Funktionen
 Partielle Integration

)v( x)dx
∫ u '( x=
u ( x)v( x) − ∫ u ( x)v '( x)dx
 Bei „periodisch“ ableitbaren
Funktionen
 Substitution
 S. Beispiel
 Wenn Ableitung und Stammfunktion
zusammen stehen

1
2π
∞
∫e
−∞
© Fraunhofer EMI
− x2
2
dx = 1
Beispiel PI:
𝐼𝐼1 = � 𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑;
𝑢𝑢 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ; 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥
𝐼𝐼1 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 − ∫ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⋅ 1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐼𝐼1 = 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
Beispiel Substitution:
𝐼𝐼2 = � 𝑥𝑥 ⋅ cos 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥 2 ⇒
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
1
1
2
𝐼𝐼2 = � 2𝑥𝑥 ⋅ cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � cos 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡
2
2
1
𝐼𝐼2 = sin(𝑥𝑥 2 ) + 𝐶𝐶
2
Zusammenfassung
 Alle CAS
 Mathematische Notationen
 Differential- und Integralrechnung
 Risikoanalyse/Resilienzanalyse/Strukturelle Sicherheit
 Mittelwert, Median
 Potenzrechnung, Logarithmus
 (Wahrscheinlichkeitsdichten)
 (Lineare Algebra)
 Technische Sicherheit/Resilienzanalyse
 Boolesche Algebra
 Binomialverteilung
© Fraunhofer EMI
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Fragen?
© Fraunhofer EMI