Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 13.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Probeklausur: Samstag, 5.11. 10 Uhr, B6 A001
— Anmeldung in den Übungsgruppen —
5. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
Matrizen:
effiziente Beschreibung von linearen Abbildungen
zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen
Plan:
5.1. Matrixrechnung
5.2. Matrizen und Lineare Abbildungen
5.3. Lineare Gleichungssysteme
5. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
Lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen kann man effizient mit
Matrizenrechnung
Hilfe von Matrizen beschreiben. In5.1.
diesem
Kapitel bezeichnet K stets einen Körper.
Was sind Matrizen?
5.1 Matrizenrechnung
(K: Körper)
Definition 5.1.
(1) Eine m ⇥ n-Matrix A mit Einträgen in K ist ein rechteckiges Schema mit m Zeilen
und n Spalten und Einträgen in K:
0
1
a11 a12 . . . a1n
B a21 a22 . . . a2n C
B
C
m n
A = B ..
=
(a
)
aij 2 K .
C
..
.
ij
.
i=1 j=1 ,
.
.
@ .
.
.
. A
am1 am2 . . . amn
{d
Die Einträge aij nennt man auch die Matrixkoeffizienten und schreibt aij = (A)ij .
(2) Die Menge aller m⇥n-Matrizen wird mit Mat(m, n; K) bezeichnet. Sie trägt die Struktur eines K-Vektorraums vermöge der folgenden Operationen:
0
1
k a11 k a12 . . . k a1n
B k a21 k a22 . . . k a2n C
B
C
n
k · A = (k aij )m
=
B
..
..
.. C
.
i=1 j=1
.
@ .
.
.
. A
k am1 k am2 . . . k amn
0
1
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
B a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n C
B
C
m n
5.1.
Matrizenrechnung
A + B = (a + b )
=B
C,
.
.
.
Ba ina21
C
a
.
.
.
a
und n Spalten und Eintr
ägen
K:
a11
.
.
.
a
22
2n
B 12
C
1n
m n
A
=
=
(a
)
aij 2 K .
B
C
ij i=1 j=1 ,
B a21 @a22 .. . . . .. a2n .1
C .. A
.
0
.
B
C
.
.
.
n
A = B a11
=
(aij )m
aij 2 K .
C
.. a12
.. ..... a1n
..
i=1 j=1 ,
.A
. amn
@ .
. am1. . ..aist
m2 . . C
Die Menge der mB
x
n-Matrizen
ein
a
a
a
B a 21 a22 . . . a2n C Vektorraum!
m n
A = B m1
..
..m2 . .
..mn C = (aij )i=1 j=1 , aij 2 K .
A Matrixkoeffizienten und schreibt aij = (A)ij .
. die
Die Einträge@aij .nennt. man. auch
aauch
. . Matrixkoeffizienten
amn
m1
m2 .die
Die
alleraman
m⇥n-Matrizen
wird mit Mat(m, n; K)
ägtij .die StrukDie (2)
Eintr
ägeMenge
aij nennt
undbezeichnet.
schreibt aijSie
= tr
(A)
tur aller
einesm⇥n-Matrizen
K-Vektorraumswird
verm
ögeMat(m,
der folgenden
Operationen:
(2) Die Menge
mit
n; K) bezeichnet.
Sie trägt die StrukDie eines
EintrK-Vektorraums
äge aij nennt man
auch
und schreibt
tur
verm
ögedie
derMatrixkoeffizienten
folgenden Operationen:
0
1 aij = (A)ij .
Skalare
(2) Die Menge
allerMultiplikation:
m⇥n-Matrizen wird mit Mat(m,
n;k K)
bezeichnet.
Sie trägt die Strukk
a
a
.
.
.
k
a
11
12
1n
0
1
B
C
tur eines K-Vektorraums vermöge kder
folgenden
Operationen:
k
a
k
a
.
.
.
k
a
a
k
a
.
.
.
k
a
21
22
2n
11
12
1n
B
C
n
k · A = (k aij )m
=
B
C
B
C
.
.
.
.
i=1
j=1
0
1
k
a
k
a
.
.
.
k
a
.
.
.
.
21
22
2n
@
B ka
.C . A
.
.
m n
k
a
.
.
.
k
a
k · A = (k aij )i=1 j=1 = B ..11
..12 . .
..1n C
@
B k a.21 kka.a22m1 . .k..am2
. Ak amn
.2n. . C
k
a
B
C
n
0
1
k · A = (k aij )m
=
B
k a.. m1 k a.. m2 .a... . +kb..amn Ca + b
i=1 j=1
. . . a1n1+ b1n
@ .0
.
11
12
.
.11 A 12
Bb .a.21. +
. . b1na2n + b2n C
+
. . b22a1n.+
km
am1n ak11a+
Addition:
B 11 ak12ba21
C
m2
mnb12a22.+
A + B = (aij + bij )i=1
=
Bb
C,
Bj=1
0
1C..
.. 22 + b22 . .. . a2n .+
a
+
a
b
.
21
21
2n
B a11 +@
A
.12 + b12 . . . a1n + b. 1n C
.,
n
b
a
11
A + B = (aij + bij )m
=
B
C
.
..
..
..
i=1 j=1
B
CA+ bmn
@ a21 +.. b21am1 a+
.
b
a
+
b
.
.
.
a
.
+
b
.
.
.
a
+
b
m1
m2
m2
mn
22
22
2n
2n
B
C
n
A + B = (aij + bij )m
=
,
B
.
.
.
i=1 j=1
am1 .+ bm1 am2 .+ bm2 . . .. . amn.+ bmnC
@
A
.
.
n
m .n
wobei k 2 K und A = (aij )m
,
B
=
(b
)
2
Mat(m,
n;
K). Das Null-Element
ij i=1 j=1
i=1 a
j=1 + b
a
+
b
.
.
.
a
+
bmn
m1 m m1
m2
m2
mn
m n
n
wobei kist
2K
A = deren
(aij )i=1
B =alle
(bijNull
)i=1 j=1
2 Mat(m,
dieund
Matrix,
Eintr
sind:
aij = 0.n; K). Das Null-Element
j=1 , äge
ist
die
alle, B
Null
sind:
(3) kMatrix,
F2ürK1 und
deren
i
ist
n
m an
ij =20.Mat(m, n; K). Das Null-Element
wobei
Am
=Eintr
(aij äge
)m
=
(b
)
ij i=1 j=1
i=1 j=1 n
(3) F
ür
1

i

m
ist
(aij )Null
(ai1 aaiji2 =. . 0.
. ain ) 2 Mat(1, n; K)
j=1 =
ist die Matrix, deren Einträge
alle
sind:
Null-Element: (a )n = (a a . . . a ) 2 Mat(1, n; K)
ij j=1
(3) Für 1 der
i i-te
m ist
Zeilenvektor
von i1A, i2und fürin 1  j  n
n
(a
)
(ai1für
ai21 .
. . j0
ain
n; K)
ij
der i-te Zeilenvektor von j=1
A, =
und
) n2 Mat(1,
1
a
1j
der i-te Zeilenvektor von A, und f0
ür 1  j1

n
B
C
a
1j B a2j C
1
B)m
C
(a0
=
B .. C 2 Mat(m, 1; K)
ij
i=1
a
2j
a
B
C
@ 2 Mat(m,
1j
. A 1; K)
(aij )m
=
B
C
.
i=1
B
.. C
a
@
A amj
2j
5.1. Matrizenrechnung
B
C
m
@
..
..
..
..
A
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
n
n
wobei kbestehen
2 K und A
= Zeilen(aij )m
,B =
(bij )m
Matrizen
aus
und
Spaltenvektoren.
i=1 j=1
i=1 j=1 2 Mat(m, n; K). Das Null-Element
ist die Matrix, deren Einträge alle Null sind: aij = 0.
(3) Für 1  i  m ist
(aij )nj=1 = (ai1 ai2 . . . ain ) 2 Mat(1, n; K)
der i-te Zeilenvektor von A, und für 1  j  n
0
1
a1j
B a2j C
B
C
(aij )m
=
B .. C 2 Mat(m, 1; K)
i=1
@ . A
amj
der j-te Spaltenvektor von A, vgl. Abbildung 5.
5.1. Matrizenrechnung
, (7 0) ,
8 2 Mat(1, 2; Q)
1
1
2
5
1
2
@ 7 A , @ 0 A 2 Mat(3,
Q) Fall
. Mat(m, 1; K) von Matrizen mit nur einer Spalte (a
und die zwei Spaltenvektoren
Für1;den
3
0 8 1 0 1 1bezeichnen wir die Basisvektoren häufig mit
5
im Spezialfall Mat(m, 1; K)
1
immat}
0 1
2
0
@
A
@
A
Bemerkung 5.3. Mat(m, n; K) ist K-Vektorraum
7 , 0 der 2Dimension
Mat(3, 1; Q) .
B .. C
3
B . C
8
B C
5
dim(Mat(m,
n;
K))
=
mn
.
B 0 C
{bem:dimmat}
B C
(a 1)
a-te Zeile .
ea := E
=B 1 C
Bemerkung 5.3. Mat(m,
n;
K)
ist
K-Vektorraum
der
Dimension
B C
(a i)
Eine Basis ist gegeben durch {E
| 1  a  m, 1  i  n} mit
B 0 C
B . C
@ .. A
1
dim(Mat(m,0
n; K)) = mn .
0 ... ... 0
0
Basis: Eine⇢Basis ist gegeben durch {E (a i) | 1  a B
.
.
m, ..1 . .i.  n}
mit
.. C
a-te Zeile
1
,
a
=
b
^
i
=
j
1
B
lassen sichC
multiplizieren:
E (a i) b j =
,
E (a i) = B Matrizen
0
1
C
.
.
.
0 , sonst
@ ..
0. . . .. . A. . . 0 m n
Definition
5.4.
A = (aij.)i=1 j=1 2 Mat(m, n; K), B = (b
⇢
.. Für
.
B
definiere
0 i) . das
. .BMatrixprodukt
. . . 0. . 1 .. C
a-te Zeile
1, a = b ^ i = j
C
(a i)
(a
E
=
,
E
=B .
0 Pn
Pn
bj
. . o .. C
0 , sonst
@ n"..
A
!m
a
b
.
.
.
.
.
j=1 1j j1
j=1 a1j
X
B
.
..
...
A · B i-te
:= Spalte
0 aij. .bjk. . . . 0= @ P ..
.
P
n
n
j=1
i=1 k=1
j=1 amj bj1 . . .
j=1 amj
"
m n
In der Tat läßt sich jede Matrix A = (aij )i=1 j=1 2 Mat(m, n; K) eindeutig schreiben als
Beachte: Das Matrixprodukt
ist nur definiert, wenn die Anzahl d
i-te Spalte
m X
n
Anzahl der Zeilen von B übereinstimmen! Der Eintrag (A · B)ij in
X
(i
j)
n
Spalte
Produktmatrix
ist gerade das
Matrixprodukt
In der Tat läßt sich jede Matrix
Mat(m,
n; K) eindeutig
schreiben
als des i-ten
A = A = (aaijij)Em
. 2 der
i=1 j=1
0
Jede Matrix
1
1 0
Spaltenvektors von B.
läßti=1
sichj=1
eindeutigdes
alsj-ten
Linearkombination
schreiben:
A=
m X
n
X
j)
Beispiel
a E (i5.5.
.
ij
i=1 j=1
•
•
✓
◆
0
1 2 0
A=
2 Mat(2, 3; R) , B = @ 15 3 12
4 5 9
✓ 1
◆
1
1 10 3 12
4
) A·B =
2 Mat(2, 3; K)
3
15 20
26 14 18 38
✓ ◆
✓ ◆
1
2
A= 1
2 Mat(1, 2; R) , B =
2 Mat(2, 1
1
3
4
✓
◆
1
) A·B = 2
2 Mat(1, 1; R)
12
✓ ◆
✓
◆
1
1
1
1
7
1
2
3
4
0
2
5.1. Matrizenrechnung
B
B
@
Matrizen kann man multiplizieren!
Matrizen lassen sich multiplizieren:
0 C
.. C
. A
0
=
n
n o
Definition 5.4. Für A = (aij )m
2
Mat(m,
n;
K),
B
=
(b
)
jk
i=1 j=1
j=1 k=1 2 Mat(n, o; K)
definiere das Matrixprodukt
0 Pn
1
Pn
!
m o
...
n
j=1 a1j bj1
j=1 a1j bjo
X
B
C
..
..
...
A · B :=
aij bjk
=@
A 2 Mat(m, o; K)
.
.
Pn
Pn
j=1
i=1 k=1
j=1 amj bj1 . . .
j=1 amj bjo
Beachte: Das Matrixprodukt ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A und die
Anzahl
der Zeilen
von B
Eintrag
(A · B)von
ij inBder i-ten Zeile und j-ten
Beachte:
Anzahl
derübereinstimmen!
Spalten von A =Der
Anzahl
der Zeilen
Spalte der Produktmatrix ist gerade das Matrixprodukt des i-ten Zeilenvektors von A und
des j-ten Spaltenvektors von B.
Beispiel 5.5.
•
•
· : Mat(m, n; K) ⇥ Mat(n, o; K) ! Mat(m, o; K)
0
1
✓
◆
1 2 0
(A · B)
1 ij 12 ist0Matrixprodukt
A=
2 Mat(2, 3; R) , B = @ 15 3 12 A 2 Mat(3, 3; R)
3
7 4 2
4 5 Spaltenvektor
9
(i-ter Zeilenvektor von A)·(j-ter
von B)
✓ 1
◆
1
1 10 3 12
4
) A·B =
2 Mat(2, 3; K)
3
1
15 20 26 4 18 38
✓ ◆
✓ ◆
1
2
A= 1
2 Mat(1, 2; R) , B =
2 Mat(2, 1; R)
1
3
4
✓
◆
1
) A·B = 2
2 Mat(1, 1; R)
12
✓ ◆
✓
◆
5.1. Matrizenrechnung
1 1
:mathom}
mathom}
•
A=
Rechenregeln: )
1 1
3 7
1
2
2 Mat(2, 1; R) , B =
2 Mat(1, 2; R)
✓ 1 1 ◆
3
7
A·B =
2 Mat(2, 2; R)
2
2
3
7
42
Matrizenrechnung
Proposition
5.6. Es gelten die folgenden Regeln: Seien A, A0 5.1
2 Mat(m,
n; K), B, B 0 2
Mat(n, o; K), C 2 Mat(o, p; K), k 2 K
A 2 Mat(m, n; K)
42
5.1 Matrizenrechnung
B 2 Mat(n, o; K)
(Assoziativität)
(1) A · (B · C) = (A · B) · C
(Assoziativit
ätsgesetz)
42(2) (A + A0 ) · B = (A · B) + (A0 · B)
5.1 Matrizenrechn
C 2 Mat(o, p; K)
(Distributivgesetz)
A · (B + B 0 ) = (A · B) + (A · B 0 )
(1) A · (B · C) = (A · B) · C
(Assoziativitätsgesetz)
(3) A · (k B)0 = k(A · B) = (k A) · 0B
(Skalare
Multiplikation)
0
(2) (A + A ) · B = (A · B) + (A · B)
(Distributivgesetz)
A, A 2 Mat(m, n; K)
(Distributivität)
(1)
A
·
(B
·
C)
=
(A
·
B)
·
C
(Assoziativitätsgese
0
0gilt nicht: B, B 0 2 Mat(n, o; K)
Achtung:
Das
Kommutativit
ätsgesetz
A · (B +0 B ) = (A · B) + (A · B
0 )
(2)
(A + A ) · B = (A✓· =
B)(k+A)
(Distributivgese
◆(A· B· B) ✓
◆
(3) A · (k B) = 0k(A · B)
(Skalare
Multiplikation)
1 0+ (A · B 0 )
0 1
A · (B + B ) =
(A
·
B)
A=
, B=
A 2 Mat(m, n; K)
0
0
0
0
Achtung:
(3) A · (kDas
B) Kommutativit
= k(A · B) = ätsgesetz
(k A) · B✓gilt nicht:
(Skalare Multiplikati
B 2 Mat(n,
o; ◆
K)
◆
✓
✓
◆
0 1✓ k 2 K ◆0 0
)
·B =
1 A0ätsgesetz
0 6=1 0 0 = B · A .
Achtung: Das Kommutativit
gilt
nicht:
0
0
A=
, B=
0✓ 0
✓0 0 ◆
◆
✓
◆
✓
◆
Achtung:
Matrixprodukt
ist
nicht
kommutativ!
Beweis. Leichtes Nachrechnen, 1Übungsaufgabe.
0
0
1
A = ) A · B ,= B 0= 1 6= 0 0 = B · A .
0 0
Übungsaufgabe!
0 0 0 0 0Beweis:
0
✓
◆
✓
◆
Bemerkung. Die Matrizen Mat(n, n; K) für n 2 N,
mit0der0 Matrixmultiplikation
0 zusammen
1
Beweis.
Nachrechnen,
Übungsaufgabe.
)
A3.2.
·B =
6=
= B · A.
bilden alsoLeichtes
einen Ring,
vgl. Definition
0 0
0 0
Korollar
5.7. Insbesondere
ist+,
für·) alle
A 2einen
Mat(m,
n; K) und alle o 2 N die Abbildung
Bemerkung.
(M at(n, n; K),
bildet
Ring.
Beweis.
Leichtes
Nachrechnen,
Bemerkung.
Die Matrizen
Mat(n,Übungsaufgabe.
n; K) für n 2 N, zusammen mit der Matrixmultiplikation
A· Definition
: Mat(n, o; K)
bilden also einen Ring, vgl.
3.2. ! Mat(m, o; K)
B 7 ! A·B
Korollar 5.7. Die
Insbesondere
für alle
Mat(m,
n; zusammen
K) und allemit
o 2der
N die
Abbildung
Bemerkung.
Matrizenist
Mat(n,
n; A
K)2für
n 2 N,
Matrixmultiplikat
ein Vektorraumhomomorphismus.
5.1. Matrizenrechnung
Korollar 5.7. Insbesondere ist für alle A 2 Mat(m, n; K) und alle o 2 N die Abbildung
Ein wichtiger Spezialfall ist o = 1 – Matrixmultiplikation ist ein Homomorphismus zwischen
Beweis.
Leichtes
Nachrechnen,
Übungsaufgabe.
Vektorr
äumen
von Spaltenvektoren:
A· : Mat(n,
o; K) ! Mat(m, o; K)
↝
B 7 ! A·B
A· : Mat(n,
1; K) Abbildungen
! Mat(m, 1; K)
Matrixmultiplikation
Lineare
0
1n; K) für n 2 N,0
1
Pn
Bemerkung.
Die
Matrizen
Mat(n,
zusammen
mit
der Matrixmultiplikation
ein Vektorraumhomomorphismus.b1
a
b
i=1 1i i
P
bilden
also
einen
Ring,
vgl.
Definition
3.2.
C
B ist nein aHomomorphismus
C
Ein wichtiger Spezialfall ist o =B1 b–2 Matrixmultiplikation
zwischen
b
2i
i
B
C
B
C
i=1
athom}
b = B .. C 7 ! A · b = B
Vektorräumen von Spaltenvektoren:
.. alleCo 2 N die Abbildung
Korollar 5.7. Insbesondere @
ist .fürAalle A 2 Mat(m,@n; K) und
A
Pn .
A· : Mat(n, 1;
! Mat(m, 1; K) i=1 ami bi
bnK)
0
1
A· : Mat(n, o; K) ! 0Mat(m,
Pn o; K)1
b1
i=1 a1i bi
P
Aus der Assoziativität der Matrixmultiplikation
folgt
die Komposition solcher
B 7 !
· Bn a dass
B b2 C
BAsofort,
C
b
2i
i
B
C
B
C
i=1
Homomorphismen gerade bdurch
beschrieben
ist:
= B das
7 ! A·b=B
C sei A 2 Mat(m, n; K),
.. CMatrixprodukt
..
@
A
@
A
0
Aein
2 Vektorraumhomomorphismus.
Mat(l, m; K). Betrachte die .Abbildungen
Pn .
ami
bi Homomorphismus zwischen
Ein wichtiger Spezialfall ist o =b1n – Matrixmultiplikationi=1ist
ein
A· : Mat(n,
o;
K)Homomorphismen
! Mat(m, o; gegeben
K)
A0 · :Matrixmultiplikation:
Mat(m, o; K) ! Mat(l, o; K)
Komposition
dieser
durch
Vektorr
äumen
von
Spaltenvektoren:
,
Aus der Assoziativität der Matrixmultiplikation
folgt sofort, dass die Komposition0 solcher .
B
7 !
A·B
B
7 !
A ·B
Homomorphismen gerade
durch
das
Matrixprodukt
beschrieben
ist:
sei
A
2
Mat(m,
n; K),
0
A·
:
Mat(n,
1;
K)
!
Mat(m,
1;
K)
A
2
Mat(n,
m;
K)
A 2 Mat(l,
m; K)
0
0
1
0
1
P
A
2
Mat(l,
m;
K).
Betrachte
die
Abbildungen
Dann findet man für die Komposition
b1 (B 2 Mat(n, o; K)) Pni=1 a1i bi
n
0
B b2o;C
B
C Mat(l, o; K)
A· : Mat(n, o; K) ((A
!0 ·) Mat(m,
K)
!
0 A · : Mat(m,
0o; K)
a
b
2i
i
B (B)
C =, A · (A · B)B= (Ai=1
(A·))
· A) · B C
.
0
b
=
7
!
A
·
b
=
B
C
B
C
.
.
B
7 !
A · .B
B
7
!
A
·
B
..
@ . A = ((A0 · A)·)(B)
@ ,
A
Pn
bn (B 2 Mat(n, o; K))
Dann findet man für die Komposition
i=1 ami bi
also
0
0
0
0
((Ader
·) Matrixmultiplikation
(A·))(A
(B)
(A
· B die Komposition solcher
Aus der Assoziativität
·) =
(A·)A=· (A
(A0·folgt
·B)
A)=· sofort,
. · A)dass
Homomorphismen gerade durch das Matrixprodukt
beschrieben
ist: sei A 2 Mat(m, n; K),
= ((A0 · A)·)(B)
,
A0 2 Mat(l, m; K). Betrachte die Abbildungen
also
0
0 · .
(A0 ·) o;(A·)
A· : Mat(n, o; K) ! Mat(m,
K) = (A ·AA)
· : Mat(m, o; K) ! Mat(l, o; K)
,
.
0
B
7 !
A·B
B
7 !
A ·B
Dann findet man für die Komposition (B 2 Mat(n, o; K))
5.1. Matrizenrechnung
A· : Mat(n, o; K) ! Mat(m, o; K)
B 7 ! A·B
↝
Matrixmultiplikation
Lineare Abbildungen
umhomomorphismus.
r Spezialfall ist o = 1 – Matrixmultiplikation ist ein Homomorphismus zwischen
A 2 Mat(m, n; K)
Wichtiger Spezialfall: Operation auf Spaltenvektoren
en von Spaltenvektoren:
A· : Mat(n, 1; K) ! Mat(m, 1; K)
0
1
0 Pn
b1
i=1 a1i bi
P
n
B b2 C
B
B
C
B
i=1 a2i bi
b = B .. C 7 ! A · b = B
..
@ . A
@
Pn .
n
5 Matrizen bund
Lineare Gleichungssysteme
i=1 ami bi
1
C
C
C
A
2 Hom (Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K))
43
oziativität der Matrixmultiplikation folgt sofort, dass die Komposition solcher
ismen gerade
durch das
beschrieben ist: sei A 2 Mat(m, n; K),
:matop}
5 Matrizen
undMatrixprodukt
Lineare Gleichungssysteme
43
Proposition
5.8. Die Abbildung, A 7! A·, die eine Matrix A 2 Mat(m, n; K) auf die
m; K). Betrachte
die Abbildungen
lineare Abbildung (A·) 2 Hom(Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K)) abbildet, ist ein Isomorphismus
0
(n,
o;
K)
!
Mat(m,
o;
K)
A
· : Mat(m, o; K) ! Mat(l, o; K)
:matop} von Vektorräumen.
,
.
⇠
0
=
B
7 !
A ·5.8.
BAbbildung
BA·, von
7 Hom
!Matrix
A A· B2ist
Proposition
Die Abbildung,
ARäumen
7!K)
die!Spaltenvektoren
eine
n; K) 1;
auf
die
Jede lineare
zwischen
also Mat(m,
eindeutig
durch
Mat(m,
n;
(Mat(n,
1;Mat(m,
K),
K))
lineare
Abbildung
(A·) 2 und
Hom(Mat(n,
1; K),
Mat(m,
1;A·K)) abbildet,
ist einder
Isomorphismus
eine
Matrix
beschrieben,
Komposition
dieser
Abbildungen
entspricht
MatrixmultiA
7
!
man für plikation.
die
von Komposition
Vektorräumen.(B 2 Mat(n, o; K))
Jede
lineare Abbildung0 zwischen Räumen
von Spaltenvektoren ist also eindeutig durch
0
0
((A
·)
(A·))
(B)
=
A
·
(A
·
B)
=
(A
·
A)
· B 7! (k A)· = k (A·) für k 2 K, und
Beweis.
A
!
7
A·
ist
o↵ensichtlich
linear
((k
A)
eine Matrix beschrieben, und Komposition dieser Abbildungen entspricht der Matrixmulti(A
+ B)· = A · +B·, =
für A,
Mat(m,,n; K)).
((AB0 ·2A)·)(B)
plikation.
Um zu zeigen, dass es ein Isomorphismus ist, stelle zunächst fest, dass nach PropositiBeweis.
A 7!
A· ist o↵ensichtlich
linear ((k A)
(k A)· = 1;
k (A·)
für k 2
K, und
on
4.39 und
Bemerkung
5.3, die Dimensionen
von 7!
Hom(Mat(n,
K), Mat(m,
1; K))
und
0
(A + B)·n;=K)
A(A
· +B·,
für A,
Mat(m,
Mat(m,
übereinstimmen.
·) (A·)
=B(A20 Nach
· A) · Korollar
. n; K)). 4.44 genügt es also zu zeigen, dass die AbUm zu A
zeigen,
es einist.Isomorphismus
stelle
zunächst
dass
nach= PropositiMatrizenrechnung
bildung
7! A·dass
injektiv
Sei dazu (A·) ist,
= 0.
Daraus
folgt, fest,
dass5.1.
(A·)(v)
0 für alle
↝
@
..
A
B
B
(A·)(ej ) = B
@
amj
a1j
a2j
..
.
C
C
C,
A
her folgtMatrixmultiplikation
aij = 0 für alle 1  i  m,
1  j Abbildungen
n. Alsoa A = 0.
Lineare
mj
und daher folgt aij = 0 für alle 1  i  m, 1  j  n. Also A = 0.
el 5.9. Die Matrix
0
Beispiel
Beispiel5.9.
5.9.Einheitsmatrix
Die Matrix
1 0 ...
. .0
B
.
B 0 1
In := B . .
B
.
@ .. .I.n := .B
.
B
@
0 ... 0
{bsp:idma
1
0
1
.
C
.
1. C
0 ... 0
.
2. .Mat(n,
n; K)
C
. .. C
0 A
1
C
C 2 Mat(n, n; K)
..0 . . . .
. 0 A
.1 .
0 ...
0
{bsp:idma
1
44 ägeEintr
Diagonaleintr
ägeDiagonaleintr
alle 1 sind,ägeund
alleäge
0 sind
Einheitsderen
alle deren
1 sind, sonstige
und derenEintr
sonstige
alle 0wird
sind wird
Einheitsgenannt. Man
leicht,
marixsieht
genannt.
Mandass
sieht leicht, dass
Im A
· A· =
A ·alle
In A 2 Mat(m, n; K). Insbesondere entsprich
Es gilt: Im · A = A =
InA =für
{prop:inv}
Also:
idMat(m,n;K)
Identitätsabbildung idMat(m,n;K) .
Proposition 5.10. Sei A 2 Mat(n, n; K). Dann si
= Im · : (1)
Mat(m,
n; K) ! Mat(m,
n; K)
Die Abbildung
A· : Mat(n,
1; K) ! Mat(n, 1
(2) Es gibt eine Matrix B 2 Mat(n, n; K), mit B
A · B = In . B wird die inverse Matrix genan
Beweis. “)”: Sei g die Umkehrabbildung von A·
tige Matrix B 2 Mat(n, n; K), mit g = B·. Nun gil
Beispiel 5.9 ist die linke Seite der Gleichung gerade
Seite nichts anderes ist als (B · A)·. Aus Proposit
Umkehrabbildung auch5.1.
(A·)Matrizenrechnung
g = idMat(n,1;K) folg
prop:inv} 44
5.15.1
Matrizenrechnung
44
5.1
Matrizenrechnung
Proposition
5.10.
Sei
A
2
Mat(n,
n;
K).
Dann
sind
die
folgenden
Bedingungen
äquivalent.
Matrizenrechnung
Proposition 5.10. Sei A 2 Mat(n, n; K). Dann sind die folgenden Bedingungen
äquivalent.
(1)
(1) Die
Die Abbildung
Abbildung A·
A· :: Mat(n,
Mat(n, 1;
1; K)
K) !
! Mat(n,
Mat(n, 1;
1; K)
K) ist
ist bijektiv.
bijektiv.
(2)
Es
gibt
eine
B
2
mit
IInn.. B
eindeutig,
und
auch
(2)
Es
gibt
eine Matrix
Matrix
BInsbesondere
2 Mat(n,
Mat(n, n;
n; K),
K),
mit B
B ·· A
A=
=
B ist
ist n;
eindeutig,
und es
es gilt
giltK)
auch
f
ür
alle
A
2
Mat(m,
n;
K).
entspricht
I
·
:
Mat(m,
K)
!
Mat(m,
n;
der
1
m
Invertierbare
Matrizen:
1
A
2
Mat(m,
n;
K).
Insbesondere
entspricht
I
·
:
Mat(m,
n;
K)
!
Mat(m,
n;
K)
derder
A
·
B
=
I
.
B
wird
die
inverse
Matrix
genannt.
Man
schreibt
B
=
A
.
für alle
Mat(m,
n;
K).
Insbesondere
entspricht
I
·
:
Mat(m,
n;
K)
!
Mat(m,
n;
K)
mm schreibt B = A .
A · B = Inn . B wird die inverse Matrix genannt. Man
Identitätsabbildung
idMat(m,n;K)
. .
ätsabbildung
id
Identit
ätsabbildung
id
.
Mat(m,n;K)
Mat(m,n;K)
op:inv}
Beweis.
“)”:
Sei
g
die
Umkehrabbildung
von
Beweis.
“)”:
Sei
g
die
Umkehrabbildung
von A·.
A·. Nach
Nach Proposition
Proposition 5.8
5.8 gibt
gibt es
es eine
eine eindeueindeuprop:inv} Proposition 5.10. Sei A 2 Mat(n, n; K). Dann
prop:inv}
sind
die
folgenden
Bedingungen
äquivalent.
tige
Matrix
Mat(n,
n;
K),
mit
gg =
B·.
Nun
gilt
id
=
=
Nach
Proposition
Sei
22Mat(n,
K).
Dann
die
Bedingungen
äquivalent.
Mat(n,1;K)
tige
Matrix B
B2
25.10.
Mat(n,
n;A
K),
mit
=n;
B·.
Nun
giltsind
id
= gg (A·)
(A·)
= (B·)
(B·) (A·).
(A·).
Nach
Proposition
5.10.
Sei
A
Mat(n,
n;
K).
Dann
sind
diefolgenden
folgenden
Bedingungen
äquivalent.
Mat(n,1;K)
(1)
Die
Abbildung
A·
:
Mat(n,
1;
K)
!
Mat(n,
1;
K)
ist
bijektiv.
Beispiel
5.9
ist
Seite
der
II1;
·,·,K)
w
nach
(1) Die
:: Mat(n,
1;1;K)
Mat(n,
ististbijektiv.
n
Beispiel
5.9Abbildung
ist die
die linke
linkeA·
Seite
der Gleichung
Gleichung
gerade
während
ährend
nach Korollar
Korollar 5.7
5.7 die
die rechte
rechte
(1)
Die
Abbildung
A·
Mat(n,
K)!
!gerade
Mat(n,
K)
bijektiv.
n1;
(2)(2)Es
gibt
eine
Matrix
BB
2 Mat(n,
n; K),
mitmit
B ·BA·5.8
=
I=folgt
eindeutig,
und
es
gilt
auch
n .IB. ist
Seite
nichts
anderes
ist
als
(B
·
A)·.
Aus
Proposition
daher
B
·
A
=
I
.
Da
f
ür
die
Es
gibt
eine
Matrix
2
Mat(n,
n;
K),
A
B
ist
eindeutig,
und
es
gilt
n
Seite
nichts
anderes
ist
als
(B
·
A)·.
Aus
Proposition
5.8
folgt
daher
B
·
A
=
I
.
Da
f
ür
dieauch
n
n
(2)A ·Es
gibt
eine
Matrix
B
2
Mat(n,
n;
K),
mit
B
·
A
=
I
.
B
ist
eindeutig,
und
es
gilt
auch
1
n
B
=
I
.
B
wird
die
inverse
Matrix
genannt.
Man
schreibt
B
=
A
.
1
n
Umkehrabbildung
auch
(A·)
g=
folgt
genauso,
dass
A
. Eindeutigkeit
n
A
B
die
Matrix
genannt.
Man
schreibt
A
. 1.
Umkehrabbildung
(A·)
= id
idMat(n,1;K)
genauso,
A ·· B
BB=
==II=
Eindeutigkeit
n .A
Mat(n,1;K)
A ·· B
B=
= IInn.. auch
B wird
wird
dieginverse
inverse
Matrixfolgt
genannt.
Mandass
schreibt
B
folgt
aus
der
Eindeutigkeit
der
Umkehrabbildung.
folgt
aus
der
Eindeutigkeit
der
Umkehrabbildung.
Beweis.
“)”:
Sei
g
die
Umkehrabbildung
vonvon
A·.BA·.
Nach
Proposition
5.85.8
gibt
es eine
eindeu• dann
ist
eindeutig
Beweis.
“)”:
Sei
g
die
Umkehrabbildung
Nach
Proposition
gibt
es
eine
eindeuBeweis.
“)”:
Sei
g
die
Umkehrabbildung
von
A·.
Nach
Proposition
5.8
gibt
es
eine
eindeu“(”:
Sei
B
2
Mat(n,
n;
K)
eine
Matrix
mit
B
·
A
=
I
.
Dann
gilt
f
ür
alle
x
2
Mat(n,
1;
K)
n
“(”:
Sei
B
2
Mat(n,
n;
K)
eine
Matrix
mit
B
·
A
=
I
f
ür
alle
x
2
Mat(n,
1;
K)
tige
Matrix
B
2
Mat(n,
n;
K),
mit
g
=
B·.
Nun
gilt
id
=
g
(A·)
=
(B·)
(A·).
Nach
n . Dann gilt
Mat(n,1;K)
tige
Matrix
B 2· A)
Mat(n,
n;
K),
mit
g Daraus
=
B·.gilt
Nun
gilt
id
={0},
g (A·)
=ist(B·)
(A·). Nach
Mat(n,1;K)
•=es
auch
A
·
B
=
I
n
x
=
I
·
x
=
(B
·
x
=
B
·
(A
·
x).
folgt,
dass
ker(A·)
=
also
A·
injektiv.
tige
Matrix
B
2
Mat(n,
n;
K),
mit
g
B·.
Nun
gilt
id
=
g
(A·)
=
(B·)
(A·). Nach
n
x = In 5.9
·x =
A)
· xSeite
= B ·der
(A Gleichung
· x). Daraus
folgt,Indass
ker(A·)
= {0},
also ist5.7
A· die
injektiv.
Mat(n,1;K)
Beispiel
ist(B
die·die
linke
gerade
·,I w·,ährend
nach
Korollar
rechte
Beispiel
5.9
ist
linke
Seite
der
Gleichung
gerade
w
ährend
nach
Korollar
5.7
die
rechte
n
1
Nach
Korollar
4.44
ist
A·
auch
surjektiv
und
damit
bijektiv.
Beispiel
5.9
ist4.44
dieist
linke
Seite
der Gleichung
gerade
Ininverse
·,folgt
während
nach
Korollar
5.7
die
rechte
Nach
Korollar
A·
auch
surjektiv
und
damit
bijektiv.
•
B
wird
die
zu
A
Matrix
genannt:
Seite
nichts
anderes
als
(B
·
A)·.
Aus
Proposition
5.8
daher
B
·
A
=
I
.
Da
f
ür
die
B
=:
A
n
Seite nichts anderes ist als (B · A)·. Aus Proposition 5.8 folgt daher B · A = In . Da für die
Seite
nichts anderes
ist
als (Bg· =
A)·.
Aus Proposition
5.8 dass
folgt
B · A .=Eindeutigkeit
In . Da für die
auch
(A·)
id
folgt
genauso,
Adaher
·AB· =
efi:gln} Umkehrabbildung
Mat(n,1;K)
defi:gln}
Umkehrabbildung
auch
(A·)g =
idMat(n,1;K)
folgt
genauso,
dass
B I=n .IEindeutigkeit
n
Umkehrabbildung
auch (A·)
gUmkehrabbildung.
= idMat(n,1;K) folgt genauso, dass A · B = In . Eindeutigkeit
Definition
5.11.
folgt
ausaus
derder
Eindeutigkeit
derder
Umkehrabbildung.
Definition
5.11.
folgt
Eindeutigkeit
•• Sei
Eine
Matrix
A
n;
K),
die
die
in
Proposition
5.10
nennt
folgt
aus
der
Umkehrabbildung.
“(”:
B der
2 Mat(n,
n;
K)
eine
BBedingungen
·BA· =
giltgilt
fürfür
allealle
x 2xerf
Mat(n,
1; K)
Eine
Matrix
A2
2 Mat(n,
Mat(n,
n;Matrix
K),
diemit
die
Bedingungen
Proposition
5.10
erf
üllt
nennt
“(”:
Sei
B
2Eindeutigkeit
Mat(n,
n;
K)
eine
Matrix
mit
A I=n .IDann
Dann
2üllt
Mat(n,
1; K)
n . in
x=
In Iman
·nSei
x· =
(B2
· Mat(n,
A)
· x· =
BK)
· (A
· x).
Daraus
folgt,
= gilt
{0},
also
istxist
A·
injektiv.
“(”:
B
mit
B
· dass
A dass
= ker(A·)
In .ker(A·)
Dann
für
alle
2A·
Mat(n,
1; K)
man
invertierbar.
x=
xinvertierbar.
=
(B
· A)
xn;=
B
·eine
(A
·Matrix
x).
Daraus
folgt,
= {0},
also
injektiv.
••Korollar
(K)
{A
2
n;
K)
|| A
ist
bildet
Nach
A·
surjektiv
und
damit
bijektiv.
xNach
=
IDie
· xTeilmenge
= 4.44
(B4.44
· ist
A)GL
· xnA·
=auch
B:=
· (A
Daraus
ker(A·) = {0},
alsozusammen
ist A· injektiv.
Die
Teilmenge
GL
(K)
:=
{A· x).
2 Mat(n,
Mat(n,
n;folgt,
K)
Adass
ist invertierbar}
invertierbar}
bildet
zusammen
nKorollar
nauch
ist
surjektiv
und
damit
bijektiv.
mit
der
Matrixmultiplikation
eine
Gruppe.
Man
nennt
sie
die
allgemeine
lineare
mit
der
Matrixmultiplikation
eine
Gruppe.
Man
nennt
sie
die
allgemeine
lineare
Nach
Korollar
4.44
ist
A·
auch
surjektiv
und
damit
bijektiv.
fi:gln}
defi:gln}
Gruppe.
(Die
Gruppe.
(Die Gruppenaxiome
Gruppenaxiome pr
prüft
üft man
man leicht
leicht nach.
nach. IInn ist
ist das
das neutrale
neutrale Element.)
Element.)
Definition
5.11.
defi:gln} Definition 5.11.
Beispiel
5.12.
Beispiel
5.12.
• •Eine
Matrix
AA
2 Mat(n,
n; n;
K),
diedie
diedie
Bedingungen
in in
Proposition
5.10
erfüllt
nennt
Definition
5.11.
Eine
Matrix
2 Mat(n,
K),
Bedingungen
Proposition
5.10
erfüllt
nennt
(1)
Sei
(1)•man
Sei
invertierbar.
✓
◆
man
invertierbar.
✓ Produkten
◆ diedreht
Eine
Matrix
A 2 Mat(n,
n;
K),
die Bedingungen
in Proposition
5.10 erfüllt nennt
Beachte:
Beim
Invertieren
von
sich die Reihenfolge
um!
a
b
b{A
• •Die
Teilmenge
GLGL
:=a:=
{A
22
Mat(n,
n;2;
K)
| Amit
ist ist
invertierbar}
zusammen
nA
=
Mat(2,
K)
ad
bc
6=
00 bildet
Die
Teilmenge
2
Mat(n,
n;
K)
|A
invertierbar}
bildet
zusammen
man
invertierbar.
n
A(K)
=(K)
2
Mat(2,
2;
K)
mit
ad
bc
=
6
c
d
c1 deine
mit
der
Matrixmultiplikation
Gruppe.
sieinvertierbar}
die
allgemeine
lineare
1 Gruppe.
mit
der
Matrixmultiplikation
nennt
die
allgemeine
lineare
A,ist
B
2sie
GL
(K)
• Die Teilmenge (A
GLn· (K)
2
n;Man
K)nennt
|A
bildet
zusammen
B) :=={A
Beine
·Mat(n,
A 1 Man
n
Dann
ist
die
inverse
Matrix
gegeben
durch
Gruppe.
(Die
Gruppenaxiome
prüft
man
leicht
nach.
In Iist
dasdas
neutrale
Element.)
Dann
ist
die
inverse
Matrix
gegeben
Gruppe.
(Die
Gruppenaxiome
pr
üft
man
leicht
nach.
ist
neutrale
Element.)
n
mit der Matrixmultiplikation einedurch
Gruppe.
Man
nennt
sie
die
allgemeine
lineare
✓
◆
✓
◆
11 man leicht
dd
bbnach. In ist das neutrale Element.)
11
Beispiel
5.12.
Gruppe.
prüft
Beispiel
5.12. (Die Gruppenaxiome
A
=
..
A = ad bc
cc aa
(1)(1)SeiSei
ad bc
✓
◆
✓
◆
5.1. Matrizenrechnung
Beispiel 5.12.
a b