Alle Spezialaufgaben

Übungen zu Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3
SS 2014
Alle Spezialaufgaben
Aufgabe 1: Faustregeln
Begründen Sie die folgenden Faustregeln und geben Sie jeweils ein Beispiel an:
•
•
Wenn im Zusammenhang mit einer geometrischen Situation 2 auftritt, dann ist
wahrscheinlich ein Winkel von 45° im Spiel.
Wenn im Zusammenhang mit einer geometrischen Situation ein Skalarprodukt auftritt,
dann ist wahrscheinlich eine Projektion im Spiel.
Aufgabe 2: Linearkombinationen von Lösungen einer DGL
Beweisen Sie, dass nicht jede Linearkombination von Lösungen der Differentialgleichung
y ''( x) + y ( x) =
x
wieder eine Lösung ist!
Aufgabe 3: Ein linearer Operator und seine Matrixdarstellung
In der Menge aller Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten vom Grad kleiner-gleich 2 ist
folgender lineare Operator definiert:
A : p  Ap
( Ap )(
=
x) p ( x) − x p '( x)
Geben Sie die Matrixdarstellung [ A]B dieses Operators bezüglich der Basis B mit
Elementen
e0 ( x) = 1
e1 ( x) = x
e2 ( x) = x 2
an! Zeigen Sie, dass sowohl A2 = A als auch [ A]B 2 = [ A]B gilt! Was bedeutet das?
Aufgabe 4: Skalarprodukt von Polynomen
Im Vektorraum aller reellen linear-inhomogenen Funktionen (d.h. aller der Menge
Polynomfunktionen mit reellen Koeffizienten vom Grad kleiner-gleich 1) ist folgendes
Skalarprodukt definiert:
1
2
f ⋅g =
∫ dx x f ( x) g ( x)
−1
Drücken Sie es durch die Koeffizienten von f und g aus! Geben Sie zwei derartige
Funktionen an (beide ≠ 0 ), die bezüglich dieses Skalarprodukts zueinander orthogonal sind!
Welche Norm („Länge“) – bezüglich dieses Skalarprodukts – besitzt die Funktion
h( x ) = x ?
Aufgabe 5: Satz von Cayley-Hamilton
Sei p ≡ p (λ ) das charakteristische Polynom der quadratischen Matrix A . Dann besagt der
Satz von Cayley-Hamilton, dass p ( A) = 0 gilt. Überprüfen Sie diesen Satz für die Matrix
 2 3
A=
 !
 4 1
Beweisen Sie ihn für beliebige 2 × 2 -Diagonalmatrizen!
Aufgabe 6: Rotationen
Für eine Rotation im  2 existiert nicht unbedingt ein reeller Vektor, der in sich selbst
übergeführt wird. Für eine Rotation im  3 hingegen existiert stets ein reeller Vektor, der in
sich selbst übergeführt wird. (Er definiert die Drehachse).
Wie ist die Sachlage im  4 und im  5 ?
Aufgabe 7: Umtauschparadoxon
Diskutieren Sie (kurz!) das „Umtauschparadoxon“
(http://de.wikipedia.org/wiki/Umtauschparadoxon)!
Aufgabe 8: Halbkreis
Eine schöne „Denkfalle“ ist die Halbkreis-Aufgabe: „Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass drei zufällig und unabhängig voneinander gewählte Punkte eines Kreises auf
einem Halbkreis liegen!“ Die meisten Menschen verschätzen sich hier! Warum? Wie lautet
die richtige Antwort? (Siehe dazu http://www2.hs-fulda.de/~grams/dnkfln.htm#_Halbkreis.
Auf http://www2.hs-fulda.de/~grams/Halbkreis/Halbkreis.html wird die Antwort mit einem
Experiment angenähert.)
Aufgabe 9: Verwandtschaft
Der Verwandtschaftsgrad zweier Menschen A und B ist definiert als die Wahrscheinlichkeit,
dass – unter der Voraussetzung, dass einer von ihnen ein sehr seltenes Gen (genauer: Allel)
besitzt – der andere es auch besitzt. Berechnen Sie den Verwandtschaftsgrad zwischen
Geschwistern!
Aufgabe 10: Münzen werfen
Als Vorübung zur Behandlung der Gaskinetik im Physikunterricht, in der es ja auch um den
Zufall geht, geben Sie Ihren SchülerInnen den Auftrag, zuhause eine Münze 100 mal zu
werfen und zu notieren, wie oft dabei „Kopf“ herauskommt. Ihre SchülerInnen geben
folgende Ergebnisse an: 49, 48, 51, 50, 49, 50, 51, 51, 48, 49, 50, 47, 51, 52, 49, 50, 51, 48,
50, 49,51.
Haben sie wirklich Münzen geworfen oder sich die Ergebnisse in der Pause vor der
Physikstunde einfach ausgedacht? Überführen Sie sie mit einem quantitativen Argument!