Ubungen zur Vorlesung Einführung in die

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
19. Juni 2017
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Theoretische Informatik
Blatt 7
Aufgabe 1 (2+2=4 Punkte)
Es sei τ ∗ : N∗ → N die in der Vorlesung eingeführte Kodierung endlicher Folgen über N.
(a) Bestimmen Sie τ ∗ (6, 3, 1).
(b) Finden Sie die Folge ~x natürlicher Zahlen, für die τ ∗ (~x) = 42 gilt.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Es sei τ ∗ : N∗ → N die in der Vorlesung eingeführte Kodierung endlicher Folgen über N.
Zeigen Sie, dass die durch
(
τ ∗ (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) falls n = m,
∗
∗
vadd(τ (x1 , . . . xn ), τ (y1 , . . . , ym )) :=
τ ∗ (λ)
sonst,
definierte Funktion vadd : N2 → N, die die komponentenweise Addition beschreibt, primitiv
rekursiv ist.
Hinweis: Sie können hierbei die in der Vorlesung gezeigten Eigenschaften von τ ∗ und die
bekannten Abschlusseigenschaften der Klasse der primitiv rekursiven Funktionen verwenden,
insbesondere die Existenz einer primitiv rekursiven Funktion σ(n) mit folgender Eigenschaft:
Für jede Folge ~x = (x1 , . . . , xm ) mit x1 , . . . , xm , m ≤ n gilt τ ∗ (~x) < σ(n).
Aufgabe 3 (4+2=6 Punkte)
Statt wie im Beweis des Äquivalenzssatzes zu zeigen, dass F(REK) ⊆ F(RO) ⊆ F(RM) ⊆
F(TM) gilt, kann man den Beweis F(REK)⊆ F(TM) auch direkt führen. Skizzieren Sie dazu
hier folgende Beweisschritte, indem sie die Arbeitsweise geeigneter Ein- oder MehrbandTuringmaschinen zur Berechnung der Funktion f informell beschreiben.
(a) Wenn g (n) und h(n+2) TM-berechenbar sind, dann ist auch f (n+1) =PR(g, h) TMberechenbar.
(b) Wenn g (n+1) TM-berechenbar ist, dann ist auch f (n) = µ(g) TM-berechenbar.
Abgabe: Bis Montag, den 26. Juni 2017, 14 Uhr in den Briefkästen im 1. Obergeschoss
des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ss17/theoinf_ss17.html
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