2. ¨Ubungswoche

Übungsaufgaben, Statistik
1
2. Übungswoche
Kapitel 2: Deskriptive Statistik
[1]
a)
i)–ii)
Größe in cm Ni
183
2
188
2
1
189
190
1
1
193
195
1
200
1
2
201
204
1
207
1
1
208
Alter Ni
18
1
22
2
23
3
3
24
2
25
26
1
1
27
30
1
Ni /N
0.071
0.143
0.214
0.214
0.143
0.071
0.071
0.071
Nationalität Ni
D
5
US
9
Ni /N
0.143
0.143
0.071
0.071
0.071
0.071
0.071
0.143
0.071
0.071
0.071
Ki
2
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
Ki
1
3
6
9
11
12
13
14
Ki /N
0.0714
0.2143
0.4286
0.6429
0.7858
0.8572
0.9286
1.0000
Ni /N
0.357
0.643
Ki
–
–
Ki /N
0.14286
0.28572
0.35715
0.42858
0.50001
0.57144
0.64287
0.78573
0.85716
0.92859
1
Ki /N
–
–
iii)–vi)
Kennzahl
Größe in cm Alter Nationalität
Mittelwert
195
24
–
Median
194
24
–
Modalwert(e)
183,188,201 23,24
US
Minimum
183
18
–
Maximum
208
30
–
Spannweite
25
12
–
Varianz
67.286
7
–
Standardabweichung
8.203
2.646
–
b) i) 0.571, ii) 0.429, iii) 0.5, iv) 0.429, v) 0.571, vi) 0.429
c) i) 0.929, ii) 0.071, iii) 0.214, iv) 0.786
Übungsaufgaben, Statistik
d) i) 0.143, ii) 0.143
e) 0.4
f) 0.143
g) 0.111
h) 0.071
2
Übungsaufgaben, Statistik
3
[ 2 ] Deskriptive Verfahren
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Methoden der deskriptiven Statistik sind nur für diskrete Merkmale geeignet, da man (
stetige Merkmale nicht auflisten kann.
)
b) Zu den deskriptiven statistischen Verfahren gehören insbesondere graphische Darstel- (
lungen.
)
c) Säulendiagramme sind für diskrete Daten geeignet.
(
)
d) Relative Häufigkeiten eines diskreten Merkmals mit endlich vielen Ausprägungen wer- (
den als Säulendiagramm dargestellt.
)
e) Kumulierte Häufigkeiten eines diskreten Merkmals mit endlich vielen Ausprägungen (
werden als Summenkurve dargestellt.
)
f) Kumulierte relative Häufigkeiten eines gruppierten stetigen Merkmals werden häufig (
als Summenkurve dargestellt.
)
g) Der Median eines gruppierten stetigen Merkmals kann mit Hilfe der Summenkurve der (
kumulierten relativen Häufigkeiten bestimmt werden.
)
h) In der deskriptiven Statistik für stetige Merkmale muss zwischen nominalen, ordinalen (
und quantitativen Merkmalen unterschieden werden.
)
i) Die deskriptiven Verfahren für diskrete und stetige Merkmale sind identisch.
(
)
(
)
b) Bei allen Arten von Histogrammen sollte man auf der y-Achse stets nur absolute Häufig- (
keiten darstellen.
)
c) Skaliert man bei einem Histogramm die y-Achse in Häufigkeiten/Klassenbreite, so ist (
die Gesamtfläche des Histogramms gleich N , wobei N die Gesamtanzahl der Beobachtungen ist.
)
d) Bei Histogrammen mit gleicher Klassenbreite ist sowohl die Höhe als auch die Fläche (
eines Rechtecks proportional zur beobachteten Häufigkeit.
)
e) Bei der Konstruktion von Histogrammen ist zu beachten, dass das Auge zu allererst (
die Höhe der Rechtecke wahrnimmt.
)
f) Für stetige Daten ist die Summenkurve geeignet, um die kumulierten Häufigkeiten (
darzustellen. Sie gibt für jedes x den Wert der Fläche des zugehörigen Histogramms
von −∞ bis x an.
)
[ 3 ] Histogramme
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Histogramme sind eine Darstellungsmöglichkeit für stetige Merkmale.
Übungsaufgaben, Statistik
4
[ 4 ] Boxplot
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ein Boxplot ist eine geeignete grafische Darstellung um die Verteilung eines Merkmals (
in verschiedenen Teilpopulationen zu vergleichen.
)
b) Die Mitte der Box beim Boxplot entspricht dem Modalwert.
(
)
c) Die Länge der Box beim Boxplot ist gleich dem Quartilsabstand, d.h. der Differenz aus (
dem 75%- und dem 25%-Quantil.
)
d) Beim Boxplot liegen etwa die Hälfte der Beobachtungen außerhalb der Box. Von diesen (
wiederum liegt etwa die Hälfte oberhalb, die andere Hälfte unterhalb der Box.
)
e) Beim Boxplot liegen ungefähr 2/3 der Beobachtungen innerhalb der Box.
(
)
f) Ein Boxplot stellt ausschließlich die Daten zwischen dem ersten und dritten Quartil (
dar.
)
[ 5 ] Häufigkeiten
Betrachten Sie eine Grundgesamtheit mit N Mitgliedern, an denen ein Merkmal mit den Ausprägungen i = 1, 2, . . . , I beobachtet wird.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich N .
(
)
b) Die Summe der relativen Häufigkeiten ist gleich 1.
(
)
c) Die Summe der kumulierten relativen Häufigkeiten ist I.
(
)
d) Die Werte der kumulierten relativen Häufigkeiten liegen im Intervall [0, 1].
(
)
e) Die Folge der kumulierten relativen Häufigkeiten Ki /N ist monoton wachsend.
(
)
f) Die relative Häufigkeit gibt an, wie oft einzelne Werte eines Merkmals beobachtet (
wurden.
)
g) Relative Häufigkeiten sind stets kleiner oder gleich 1.
(
)
h) Absolute und relative Häufigkeiten diskreter Merkmale werden als Säulendiagramme (
dargestellt.
)
i) Berechnet man für eine Stichprobe der Größe n die kumulierten absoluten Häufigkeiten, (
so sind diese stets kleiner als n.
)
Übungsaufgaben, Statistik
5
[ 6 ] Statistiken
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Für ein diskretes Merkmal ist der Modalwert der Wert mit der größten Häufigkeit.
(
)
b) Für ein stetiges Merkmal, das nur in Gruppen vorliegt, ist die Modalklasse die Klas- (
se mit dem höchsten Rechteck im Histogramm - unabhängig von der Skalierung des
Histogramms.
)
c) Median, Mittelwert und Spannweite sind Lageparameter zur Beschreibung der Vertei- (
lung eines Merkmals.
)
d) Die Varianz kann als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert aufgefasst wer- (
den.
)
e) Die Standardabweichung ist das Quadrat der Varianz.
(
)
f) Für gruppierte Daten lassen sich Mittelwert und Varianz nur approximativ berechnen. (
)
g) Der Median ist stark abhängig von einzelnen extremen Werten und ist daher ein Streu- (
ungsparameter.
)
h) Der Modalwert ist immer eindeutig bestimmt.
(
)
i) Die Summe der Abweichungen vom Mittelwert ist stets Null.
(
)
j) Die Varianz ist das Quadrat der Summe der Abweichungen vom Mittelwert.
(
)
Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten
[ 1 ] Zeichnen Sie ein Venn-Diagramm mit der Grundmenge Ω und den beiden Mengen A und
B, so dass folgende Teilmengen sichtbar sind:
Ω
A\B
A∩B
B\A
A∪B
a) Überzeugen Sie sich von der Gültigkeit folgender Formeln:
i) P (A) = P (A ∩ B) + P (A \ B)
ii) P (B) = P (A ∩ B) + P (B \ A)
iii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B \ A)
iv) P (A ∪ B) = P (B) + P (A \ B)
v) P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (A ∩ B) + P (B \ A)
b) Berechnen Sie P (A), wenn
i) P (A \ B) = 0.3 und P (A ∩ B) = 0.1
ii) P (B) = 0.5; P (B \ A) = 0.4 und P (A \ B) = 0.2
iii) P (A ∪ B) = 0.8 und P (B \ A) = 0.2
iv) P (A ∪ B) = 0.8; P (B) = 0.5 und P (A ∩ B) = 0.2
v) P (A ∪ B) = 0.8 und P (A \ B) = P (B \ A) = 0.2
A∪B
Übungsaufgaben, Statistik
6
[ 2 ] Ergebnismenge, Ereignisse
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments ist die Ergebnismenge (
Ω.
)
b) Die Ergebnismenge kann auch als Menge der bei mehreren Wiederholungen aufgetre- (
tenen Ausgänge eines Zufallsexperiments beschrieben werden.
)
c) Falls Ω endlich ist, besitzen alle Elemente von Ω, d.h. die sogenannten Elementarereig- (
nisse, dieselbe Wahrscheinlichkeit.
)
d) Die leere Menge wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung das sichere Ereignis genannt. (
)
e) Ein zufälliges Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge .
(
)
f) Die leere Menge ist ein Elementarereignis.
(
)
g) Elementarereignisse sind Mengen, die nur aus wenigen (d.h. höchstens 2) Elementen (
bestehen.
)
h) Ein unmögliches Ereignis liegt stets dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Er- (
eignisses Null ist.
)
i) Bei einer endlichen Ergebnismenge kennt man die ganze Wahrscheinlichkeitsverteilung, (
wenn man die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse kennt.
)
j) Für Elementarereignisse {e} gilt grundsätzlich P ({e}) = 0.
(
)
(
)
b) Die Wahrscheinlichkeit P (A) ist der Grenzwert der relativen Häufigkeiten hn (A) für (
das Eintreten des Ereignisse A in n Versuchen, wenn n → ∞.
)
[ 3 ] Wahrscheinlichkeiten
Es seien A und B Ereignisse, d.h. Teilmengen des Ergebnisraums Ω.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
c)
Für jedes Ereignis A gilt P (A ∪ Ā) = P (A) + P (Ā) = P (Ω) = 1.
Es gilt immer P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
d) P (A ∩ B) ≤ P (A)
(
)
(
)
e)
P (A ∪ B) + P (A ∩ B) = P (A) + P (B)
(
)
f)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) ⇐⇒ P (A ∩ B) = 0
(
)
g)
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
(
)
(
)
h) P (Ω) + P (∅) = 1
i)
P (Ā) = P (Ω) − P (A) = 1 − P (A)
(
)
j)
P (Ā) ≤ P (A)
(
)
k)
P (A) ≥ 0
(
)
l)
Für A ⊂ B gilt P (A) < P (B).
(
)
(
)
m) P (Ā) < 1