Versuch 13 Spezifische Elektronenladung

Physikalisches Praktikum
Versuch 13
Spezifische Elektronenladung
Praktikanten:
Johannes Dörr
[email protected]
physik.johannesdoerr.de
Katharina Rabe
[email protected]
Gruppe:
14
Datum:
16.02.2007
Assistent:
Tobias Liese
Oliver Schönborn
[email protected]
1
Einleitung
Der heutige Versuch bringt uns eine weitere Naturkonstante näher, den Quotienten aus Ladung e und Masse
me , auch spezifische Elektronenladung e/me genannt. Der Göttinger Physiker und Seismologe Emil Wiechert
schaffte es als erster, diese Naturkonstante zu bestimmen, heute spielt sie eine wichtige Rolle, insbesondere für
die Berechnungen von Bewegungen in elektrischen und magnetischen Feldern. Wir werden diese Konstante über
die Lorentzkraft berechnen.
2
2.1
Theorie
Bewegte Ladung in elektromagnetischen Feldern
Bewegt sich eine Ladung durch ein elektrisches oder magnetisches Feld, so wirkt eine Kraft auf sie, diese Kraft
wurde nach dem Niederländer Hendrik Antoon Lorentz auf Lorentzkraft getauft. Allgemein betrachtet man oft
auch nur die magnetische Komponente dieser Kraft als Lorentzkraft.
1
2.1.1
In magnetischen Feldern
In einem magnetischen Feld ist die Lorentzkraft proportional zur Geschwindigkeit der bewegten Ladung. Sie ist
orthogonal, ihr Vektor steht senkrecht, sowohl auf dem Geschwindigkeitsvektor des Teilchens, als auch auf dem
Feldvektor des magnetischen Feldes. Somit ergibt sich die Vektorgleichung für die Lorentzkraft im magnetischen
Feld mit der Teilchenladung q, der Geschwindigkeit des Teilchens v und B, der magnetischen Feldstärke zu:
~
F~L = q~v × B.
(1)
Dabei ist zu beachten, dass tatsächlich nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors des Teilchens verändert
wird, es wird keine Arbeit am Teilchen verrichtet. Betrachten wir nun weitergehend die Formel des Kreuzprodukts:
FL = qvB · sinα.
(2)
Dabei ist zu beachten, dass α dabei den eingeschlossenen Winkel (zwischen v und B) bezeichnet, so kann man
erkennen, dass die Lorentzkraft FL gerade bei α = 90◦ maximal wird, also genau dann, wenn die Geschwindigkeit
des geladenen Teilchens und der Feldvektor des Magnetfeldes ortogonal zueinander sind. In diesem Fall kann
man das Kreuzprodukt zu
FL = qvB
(3)
vereinfachen. Für ein homogenes Magnetfeld mit unendlicher Ausdehnung ergibt sich eine Kreisbahn, da die
Bewegung der Ladung in diesem Fall auf einer Ebene verläuft.
2.1.2
In elektrischen Feldern
~ gerichtet und hängt
In einem elektrischen Feld ist die Kraft auf eine bewegte Ladung parallel zur Feldstärke E
im nur von der Ladung und der Feldstärke ab. Berücksichtigt man dies, so erhält man für die Lorentzkraft die
Gleichung:
~ .
F~ = q E
(4)
2.2
Anwendung in der Brownschen Röhre
Gerade in der Brownschen Röhre findet die Ablenkung der Elektronen im elektrischen Feld ihre Anwendung.
Die vollständige Beschreibung der Brownschen Röhre ist anderen Protokollen zu entnehmen, wir beschäftigen
uns hier nur mit den Ablenkkondensatoren Cy und Cx . Kurz nach der Bündelung des Elektronenstrahls im
Wehneltzylinder werden die Elektronen von den beiden Kondensatoren in x- und z- Richtung abgelenkt. Dies
funktioniert über eine sogenannte ”Sägezahnspannung”, eine Kippspannung, eine nicht- sinusförmige Art der
Schwingung, in der auf eine langsame Ladung eine schnelle Entladung folgt. Ihr Name ”Sägezahnspannung”
kommt von der graphischen Darstellung, die tatsächlich an eine Reihe von Sägezähnen erinnert. Die zu untersuchende Wechselspannung U wird an den Kondensator Cy angelegt und auf dem Schirm bildet sich ein
senkrechter Strich ab.
Damit die Spannung zeitlich dargestellt werden kann, wird die Sägezahnspannung Ux an den Kondensator
Cx angelegt, so dass der Elektronenstrahl auf dem Schirm von links nach rechts wandert und nach schneller
Entladung des Kondensators wieder auf der linken Seite beginnt. Auf dem Schirm bildet sich dadurch eine
sinusförmige Schwingung ab. Dabei muss allerdings die Frequenz mit dem Trigger auf die an Cy angelegte
Spannung eingestellt sein, so dass ein stehendes Bild der Sinusform entsteht.
Das Elektron wird also im elektrischen Feld Ex = Udxx beschleunigt, dabei ist dx der Plattenabstand des Kondensators. Dabei nimmt das Elektron die Energie W = e · Ex · dx = eUx auf. Bei der Bewegung wird die im
elektrischen Feld aufgenommene Energie völlig in kinetische Energie umgewandelt. Das können wir folgendermaßen festhalten:
m 2
v
= eUx
(5)
2 x
r
e
⇒ vx =
2 Ux .
(6)
m
2
Daraufhin durchläuft das Elektron das Feld des Kondensators Ey =
Uy
dy ,
seine Bewegung lässt sich dabei durch
Überlagerung von horizontaler und vertikaler Komponente beschreiben. Da das Elektron nicht mehr in xRichtung beschleunigt wird, gilt für diese Komponente der Bewegung:
vx = const. ⇒ x = vx t.
(7)
In der vertikalen Bewegung wird das Elektron durch die Kraft Fy = eEy mit
ay =
e
Ey
m
(8)
y=
ay 2
t
2
(9)
beschleunigt. Zusammen mit
erhalten wir:
1 e
Ey t2 .
2m
Als nächstes setzen wir Uy = Ey dy , das führt uns zu:
y=
y=
1 e Uy 2
t .
2 m dy
(10)
(11)
Letztendlich kommen wir somit zur parabelförmigen Bewegungsgleichung eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld:
1 e Uy 2
y= 2
x .
(12)
2vx m dy
2.3
Elektronenstrahl und Fadenstrahlrohr
Im Versuch wollen wir mit Hilfe der Lorentzkraft die spezifische Elektronenladung errechnen. Zu diesem Zweck
schaffen wir einen Elektronenstrahl und zwingen ihn in einem Glasgefäß mithilfe eines Magnetfeldes auf eine
Kreisbahn. Zu diesem Zweck muss die Lorentzkraft gleich der Zentripetalkraft der Kreisbahn sein. Mit r, dem
Radius der Bahn, gilt dann:
FL
⇔ evB
= Fu
mv 2
=
.
r
(13)
(14)
Mit der Geschwindigkeit des Elektrons aus der Beschleunigungsspannung U
v2 = 2
e
U
m
(15)
und der magnetischen Feldstärke der Helmholtzspulen
32
4
1
B = nπ0 I
5
R
(16)
(mit Windungszahl n, Radius R und Stromstärke I), erhalten wir schließlich die notwendige Formel für die
spezifische Elektronenladung:
e
2R2
U
= 2 2 4 3 2 2.
(17)
m
π0 n ( 5 ) r I
Mit dieser Formel werden wir in der Auswertung die spezifische Elektronenladung berechnen.
Das von Helmholtzspulen (siehe unten) umgebene Glasgefäß, ein Teil des Fadenstrahlrohrs, ist mit einem Gas
(zum Beispiel Argon) gefüllt, dessen Atome beim Zusammenprall mit einem Elektron angeregt werden und
beim Zurückfallen in ihren Grundzustand ein Lichtquant mit einer Wellenlänge im Sichtbaren Bereich (380nm−
3
780nm) emittieren. Somit entsteht eine Art glühender Strahl, dessen Radius am Ende eine entscheidende Größe
darstellt, über die die Berechnung der Elektronenladung möglich wird. Zunächst allerdings muss man einen
konzentrierten Elektronenstrahl erschaffen, obwohl die Elektronen sich untereinander abstossen und deshalb
eigentlich auseinanderdriften sollten. Die erste Bündelung erreicht man durch eine Elektronenkanone. Eine
punktförmige Kathode mit glühelektrischem Effekt erzeugt eine Elektronenwolke, die durch eine Rohranode
und einen Wehnelt-Zylinder gebündelt, bzw. zusammengedrängt werden. Sobald die Elektronen sich in dem
daran anschließenden großen Glaskolben befinden, der mit Argon unter niedrigem Druck gefüllt ist, reguliert
sich der Prozess von alleine, es kommt zur Autofokussierung. Am äußeren Rand des Elektronenstrahls treffen
die Elektronen immer wieder auf Argon-Atome, die durch den Aufprall angeregt werden. Es entsteht also eine
Art leuchtende, von Elektronen durchflossene Röhre. Der Aufprall der Elektronen auf die Argonatome führt zur
Ionisation und zu entsprechenden Raumladungen. Da die Argonatome schwer sind und sich nicht schnell von
der Stelle bewegen, bilden sie einen ”Ionenschlauch” um die Elektronenröhre und halten den Elektronenstrahl
zusammen.
2.4
Die Helmholtzspule
Um die Elektronen auf eine Kreisbahn zu zwingen brauchen wir in diesem Versuch nicht nur eine ausreichend
hohe Lorentzkraft, sondern auch ein annährend homogenes Magnetfeld. Diese Homogenität erreichen wir durch
ein Helmholtzspulenpaar, das das große Glasgefäß des Fadenstrahlrohrs von zwei Seiten einschließt. Bei dem vom
deutschen Physiker Hermann von Helmholtz entwickelten Helmholzspulenpaar handelt es sich um zwei Spulen im
Abstand r zueinander und mit dem Radius r. Lässt man durch beide Spulen einen Strom in die gleiche Richtung
laufen, entsteht zwischen ihnen ein Magnetfeld. Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen, allerdings lässt
sich durch die Überlagerung beider Felder (im Bereich des Glasgefäßes) nahe der Spulenachse ein annährend
homogenes Magnetfeld erreichen. Durch ihre Vielzahl von Formen lassen sich in ihr nahezu alle möglichen
Magnetfelder mit unterschiedlichen Richtungen erzeugen, ein Vorteil der sowohl bei der Qualitätskontrolle von
Hartmagneten als auch bei der Magnetresonanztomographie oder auch bei der Magnetfeldtherapie genutzt wird.
3
Durchführung
1. Aus den eingestellten Parametern Beschlenigungsspannung UB , dem Spulenstrom I und dem gemessenen
Wert des Durchmessers d = d(UB , I) wird die spezifische Elektronenladung bestimmt.
2. Nach Einschalten de Apparatur sollte zunächst grob geprüft werden, welche Einstellungen messbar sind,
bei welchen die Elektronenkreisbahn beispielsweise zu groß für den Glaskolben wird.
3. Nun werden zwei Spulenströme mit großen Bereichen für UB , aber auch zwei Beschleunigungsspannungen
mit möglichst großen Bereichen für I gewählt. In beiden Bereichen muss der Durchmesser der Kreisbahn
einwandfrei messbar sein. Anschließend wird jeweils einer der beiden einstellbaren Parameter konstant
gehalten und der Radius der Kreisbahn in Abhängigkeit des Zweiten gemessen. Ungefähr 25 Durchmesser
sollten auf diese Weise bestimmt werden.
4. Mess- und Ablesefehler müssen notiert werden.
4
4.1
Auswertung
Impedanz der Spule (1.)
Aus den Werten für I (Strom durch Spule), UB (Beschleunigungsspannung), n = 200 (Windungszahl), R = 12cm
(Radius der Spulen) und r, dem Radius der Elektronenbahn, ergibt sich mit der Elektronenmasse me die
Elementarladung e wie folgt:
125 UB R2
e
=
.
me
32 (r µ0 n I)2
4
(18)
Der Fehler ergibt sich aus:
s
2 2 2
250
250
125
R2
R2 UB
R2 UB
σe/me =
· σUB
+
· σI
+
· σr
.
32 (r µ0 n I)2
32 (r µ0 n)2 I 3
32 (µ0 n I)2 r3
(19)
Dabei gehen wir bei der Bechleunigungsspannung von einer Ableseungenauigkeit von σUB = 1V aus, bei der
Stromsträke von σI = 0,01A und bei dem gemessenen Radius von σr = 1mm aus.
4.1.1
Konstanter Strom: 0,5A
Spannung UB in V
Bahnradius r in mm
e/me in C/kg
113
115
120
125
129
135
140
145
150
155
161
165
171
175
180
185
190
195
200
128,5
130
131, 5
136
138
140,5
141,5
141,5
144
145
147
148
149
150
151,5
153,5
155,5
157,5
161
1,008(9) · 1011
1,002(9) · 1011
1,022(9) · 1011
0,995(8) · 1011
0,998(8) · 1011
1,007(8) · 1011
1,030(8) · 1011
1,067(8) · 1011
1,065(8) · 1011
1,086(8) · 1011
1,097(7) · 1011
1,109(7) · 1011
1,134(7) · 1011
1,145(7) · 1011
1,155(7) · 1011
1,156(7) · 1011
1,157(7) · 1011
1,158(6) · 1011
1,136(6) · 1011
5
4.1.2
Konstanter Strom: 0,75A
Spannung UB in V
Bahnradius r in mm
e/me in C/kg
112
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
94
94, 5
97, 5
98
100
101
102
103
103
104
105
107, 5
108
110
111
111, 5
113, 5
114, 5
116
116
118
8,30(9) · 1010
8,43(9) · 1010
8,26(8) · 1010
8,52(8) · 1010
8,51(8) · 1010
8,66(8) · 1010
8,81(8) · 1010
8,95(8) · 1010
9,25(8) · 1010
9,38(8) · 1010
9,50(8) · 1010
9,35(8) · 1010
9,54(8) · 1010
9,47(8) · 1010
9,56(7) · 1010
9,74(8) · 1010
9,65(7) · 1010
9,74(7) · 1010
9,73(7) · 1010
9,97(7) · 1010
9,87(7) · 1010
Aus den beiden Messungen mit konstantem Strom erhalten wir für die Spezifische Elektronenladung einen
gewichteten Mittelwert von:
e/me = 1,0098(1) C/kg
Dieser Wert hat eine Abweichung von 42% vom Literaturwert (e/me = 1,7588 · 1011 C/kg).
6
4.1.3
Konstante Spannung: 115V
Strom I in mA
Bahnradius r in mm
e/me in C/kg
350
375
400
425
450
475
500
525
550
575
600
625
650
675
700
725
750
775
800
825
165
160
150
145
142
137
161,5
126
120
115
111,5
108
105
101,1
99
96,5
94,5
93
91
89
1,270(11) · 1011
1,176(10) · 1011
1,176(10) · 1011
1,115(10) · 1011
1,037(10) · 1011
9,998(09) · 1010
6,493(06) · 1010
9,676(09) · 1010
9,720(09) · 1010
9,683(09) · 1010
9,460(09) · 1010
9,293(09) · 1010
9,090(09) · 1010
9,092(09) · 1010
8,816(09) · 1010
8,650(09) · 1010
8,429(09) · 1010
8,151(09) · 1010
7,989(09) · 1010
7,854(10) · 1010
4.1.4
Konstante Spannung: 140V
Strom I in mA
Bahnradius r in mm
e/me in C/kg
400
425
450
475
500
525
550
575
600
625
650
675
700
725
750
775
800
825
850
875
164,5
157
150
145
140,5
135
131
125
120
116
112
109,5
104,5
103
101
98
96
94
93,5
93
1,191(09) · 1011
1,158(09) · 1011
1,131(09) · 1011
1,087(08) · 1011
1,044(08) · 1011
1,026(08) · 1011
9,929(72) · 1010
9,978(73) · 1010
9,943(43) · 1010
9,806(73) · 1010
9,726(73) · 1010
9,435(73) · 1010
9,633(76) · 1010
9,244(76) · 1010
8,983(77) · 1010
8,936(82) · 1010
8,739(85) · 1010
8,571(90) · 1010
8,161(93) · 1010
7,784(98) · 1010
Dieser Wert hat eine Abweichung von 46% vom Literaturwert.
7
4.2
Diskussion der systematischen Fehler (5.)
Figure 1: e/me in Abhängigkeit vom Radius
In Abbildung 1 ist die ermittelte spezifische Elektronenladung in Abhängigkeit von dem Bahnradius aufgetragen.
Alle Werte liegen weit unterhalb des Literaturwerts. Es fällt jedoch auf, dass sich die Werte mit zunehmendem
Radius diesem Wert annähern.
Dies können wir uns nicht so recht erklären, da das Magnetfeld der Helmholzspulen zu Rand hin immer weniger
homogen ist und deshalb dort mehr Ungenauigkeiten auftreten sollten. Vielleicht ist auch die Messgenauigkeit
bei größeren Radien besser und führt dementsprechend zu besseren Ergebnissen. Eigentlich würde es sich
bei dieser Ableseungenauigkeit um einen statistischen Fehler handeln, das hier Beobachtete lässt jedoch einen
systematischen, mit dem Radius wachsenden Fehler vermuten.
4.3
Berechnung der Flussdichte (6.)
Aus der Messung (UB = 115V , I = 350mA, r = 0,165m, e/me = 1,270·1011 ) errechnen wir nun die magnetische
Flussdichte B nach:
r
me v
e UB m e
B=
= 2
·
(20)
er
me r e
und erhalten einen Wert von:
B = 0,25(5) mT
8
Der Fehler ergibt sich dabei aus:
v
2  q
u q
2 
2
u
√
2 mee
2 UB mee
u
2
U


B
σB = u
· σr  .
· σUB  +  q 3 · σe/me  + 
t √
e
r2
2 UB mee r
e
m
e
2r
(21)
me
Das magnetische Feld in einer Helmholzspule (im Vakuum) ergibt sich theoretisch aus:
B=√
8
I
µ0 n
,
R
125
(22)
damit erhalten wir einen Wert von:
B = 0,52 mT
Der gemessene Wert weicht von diesem um 47% ab.
5
Diskussion
Die Endrechnungen und deren Ergebnisse lassen in puncto Genauigkeit zu wünschen übrig. Abweichungen von
42%- 46% sind alles andere als zufriedenstellend. Allerdings muss man dazu sagen, dass wir nach der Durchführung des Versuchs keine viel besseren Werte erwartet haben, da die Durchführung an sich viele Schwierigkeiten
und ebenso viele Ungenauigkeiten in sich beherbergte. Beispielsweise musste die Einstellung oder die Messung
des Durchmessers stets im Dunklen vorgenommen werden, zumindest die Einstellung der Ablesevorrichtung.
Sobald das Licht eingeschaltet war, war natürlich vom Elektronenstrahl nichts mehr zu sehen. Auch wenn
Kommilitonen an anderen Tischen ihr Licht einschalteten um den Durchmesser abzulesen, war nichts mehr
zu erkennen. Leichte Abweichungen können sich an dieser Stelle eingeschlichen haben. Allerdings erklärt das
nicht die Regelmäßigkeit unserer Abweichungen, beziehungsweise ihre Größenordnung. Bei eine stetigen Abweichung von über 40% lässt sich beinahe vermuten, dass wir konsequent falsch abgelesen haben, beispielsweise an
einem falschen Punkt angesetzt haben. Stetig mit einem falschen Durchmesser gerechnet zu haben könnten die
Ergebnisse stark verfälschen. Auch könnten wir uns durchaus vorstellen, dass wir einen falschen Messbereich
ausgesucht haben, inwiefern genau sich ein solcher am Ende zu Abweichungen vom Literaturwert fortsetzt, ist
schwierig zu sagen. Das nächste Problem jedoch sind die Reflexionen im Glas, die es teilweise schwer gemacht
haben, den richtigen Punkt für die Messung des Durchmessers zu finden.
9