Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 3. Aufl. Kapitel 5 Peter

Lösungsskizzen
Mathematik für Informatiker 3. Aufl.
Peter Hartmann
Kapitel 5
1. Stellen Sie eine Additions- und Multiplikationstabelle für Z/6Z auf. Zeigen Sie, dass
Z/6Z \ {0} mit der Multiplikation keine Gruppe bildet.
+ 0
1
2
3
4
5
* 0
1
2
3
4
5
0 0
1
2
3
4
5
0 0
0
0
0
0
0
1 1
2
3
4
5
0
1 0
1
2
3
4
5
2 2
3
4
5
0
1
2 0
2
4
0
2
4
3 3
4
5
0
1
2
3 0
3
0
3
0
3
4 4
5
0
1
2
3
4 0
4
2
0
4
2
5 5
0
1
2
3
4
5 0
5
4
3
2
1
Dies ist keine Gruppe, da z.B. 2, 3 und 4 kein multiplikatives Inverses haben.
2.
Ordnen Sie den Elementen der Tabelle (5.3) die Elemente der S3 zu.
a, b und d sind gegeben. Berechnen Sie zuerst b2 = (1 2 3)2 = (1 3 2), also ist c = (1 3 2).
Dann cd = (1 3 2)(2 3) = (1 3). Daraus folgt f = (1 3) und für e bleibt dann nur noch (1 2)
übrig.
Die Gruppe S3 hat einige Untergruppen, kommutative und nicht kommutative. Finden Sie
diese?
3.
Zeigen Sie, dass (R+,×) eine Gruppe bildet.
x,y Î R+ Þ x×y Î R+, also ist dies eine Verknüpfung in R+. Für x Î R+ ist auch x –1 Î R+
und 1 ist das neutrale Element. Als Teilmenge von R ist R+ auch assoziativ.
4.
Zeigen Sie, dass im Körper C gilt: z × z =| z |2 , z -1 =
z
.
| z |2
z × z = ( x + iy )( x - iy ) = x 2 + y 2 + i ( xy - yx ) = x 2 + y 2 ,
z -1 =
5.
1
z
z
=
= 2.
z z×z | z |
Sei z = 4 + 3i, w = 6 + 5i. Berechnen Sie z-1 und
z -1 =
z
z
2
=
4 - 3i 4
3
=
- i,
25
25 25
w
in der Form a+bi.
z
w 6 + 5i (6 + 5i)(4 - 3i ) 39 + 2i
=
=
=
.
z 4 + 3i (4 + 3i)(4 - 3i)
25
1
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6.
Stellen Sie
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1+ i
in der Form a+bi dar.
2-i
1 + i (1 + i )(2 + i ) 1 3
=
= + i
2 - i (2 - i)(2 + i ) 5 5
7.
2
2
+
i . Berechnen Sie und zeichnen Sie
2
2
in der Gauß'schen Zahlenebene z , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 .
z2
3
z
z
- 2
2 4
- 2
2
2
3
5
z = 0 + i, z =
+
i, z = -1, z =
i.
4
z
2
2
2
2
Im Körper C der komplexen Zahlen sei z =
Die Zahlen liegen alle auf dem Einheitskreis. Den Grund dafür
erfahren Sie auf Seite 276 des Buches.
8.
z5
Führen Sie bei folgenden Polynomen Division mit Rest durch:
in Z/2Z[x]:
in Z/2Z[x]:
in Z/5Z[x]:
a)
b)
c)
(x8 + x6 + x2 + x)/( x2 + x),
(x5 + x4 + x3 + x + 1)/( x3 + x2 + 1),
(4x3 + 2x2 + 1)/(2x2 + 3x),
und machen Sie jeweils anschließend die Probe.
Ausführlich gerechnet Nummer c): Es hilft, wenn Sie sich die Additions- und Multiplikationstabellen für Z/5Z aufschreiben:
(4x3 + 2x2 + 1)/( 2x2 + 3x) = 2x + 3
4x3 + x2
x2 + 1
x2 + 4x
x +1
= Rest
Probe:
(2x2 + 3x)( 2x + 3) + x + 1 = 4x3 + x2 + x2 + 4x + (x+1) = 4x3 + 2x2 + 1
Das Ergebnis von a) lautet x6 + x5 + 1, das Ergebnis von b) lautet: x2 + 1 Rest x.
9.
Zeigen Sie, dass es in Z/nZ[x], n keine Primzahl, Polynome vom Grad zwei mit mehr als
zwei verschiedenen Nullstellen gibt.
Diese verblüffende Tatsache hängt damit zusammen, dass es in Z/nZ von 0 verschiedene
Elemente gibt, deren Produkt 0 ist. Ein Beispiel genügt: in Z/6Z ist zum Beispiel 2·3 = 0.
Das quadratische Polynom ( x - 2)( x - 3) = x 2 - 2 x - 3x + 2 × 3 = x 2 + x in Z/6Z[x] hat dann
die Nullstellen 2, 3 und 0.
2
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10. Zeigen Sie, dass für n Î N die Menge (Rn, +) mit der folgenden Addition eine Gruppe
bildet: (a1, a2, ... , an) + (b1, b2, ... , bn) := (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn).
Das Nullelement ist (0,0,...,0), das Inverse zu (a1, a2, ... , an) ist (–a1, –a2, ... , –an).
Die Menge ist assoziativ, denn ((a1,... , an) + (b1,... , bn)) +(c1,... , cn) =
= (a1 + b1 + c1,... , an + bn + cn) = (a1,... , an) + ((b1,... , bn) + (c1,... , cn)).
11. Zeigen Sie, dass die Abbildungen
a) f : ¡3 ® ¡ 2 , ( x, y, z ) a ( x + y, y + z)
b) g : ¡ 2 ® ¡3 , ( x, y ) a ( x, x + y, y)
Homomorphismen sind. R2 beziehungsweise R3 sind dabei die Gruppen aus der letzten
Aufgabe. Berechnen Sie Ker f und Ker g.
Die Homomorphieeigenschaft zum Beispiel für f:
f ( x1 , y1 , z1 ) + f ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + y1 , y1 + z1) + ( x2 + y2 , y2 + z2 ) =
( x1 + x2 + y1 + y2 , y1 + y2 + z1 + z2 ) = f ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ).
ker f = {( x, y , z ) | f ( x, y , z ) = 0}. f ( x , y, z ) = 0 heißt x + y = 0, y + z = 0
Þ x = –y, z = –y, Þ ker f = {a(1, –1, 1)| a Î R}.
Ähnlich folgt: ker g = {(0,0)}.
12. Zeigen Sie, dass man in der Definition 5.2, Axiom (G2) auf die Forderung der
Eindeutigkeit verzichten kann: In einer Gruppe ist das Inverse a–1 zu einem Element a
eindeutig bestimmt.
Angenommen es gilt ab = ac , also b und c seien Inverse zu a. Dann ist
a -1 ( ab ) = a -1 ( ac ) , wegen des Assoziativgesetzes also auch ( a -1a ) b = ( a -1a ) c und damit
b = c.
13. Der "2 Quadrate-Satz" von Fermat lautet: Genau die Primzahlen p der Form p º 1mod 4
haben eine Darstellung als Summe zweier Quadrate. Bestandteil des Beweises ist die
Aussage, dass es genau zu diesen Primzahlen ganze Zahlen x und y gibt, so dass
x 2 + y 2 º 0 mod p ist (vgl. Seite 72). Leiten Sie aus dieser Aussage den Satz 4.24 her. Sie
benötigen dafür auch noch, dass in dem Körper Z/pZ gilt: x2 – y2 = (x + y)(x – y).
Zum Beweis: Es sei p º 3mod 4 . Satz 4.24 besagt, dass für x ¹ y, die beide kleiner als
(p – 1)/2 sind, immer x2 ¹ y2 mod p und x2 ¹ –y2 mod p sein müssen, sonst könnte die
Folge der ±i2 nicht alle Elemente 1,2,..., p-1 erreichen.
x2 ¹ –y2 folgt aus dem 2-Quadrate Satz: sonst wäre x 2 + y 2 º 0 mod p und damit
p º 1mod 4 .
x2 ¹ y2: Wäre x2 = y2 so wäre 0 = x 2 - y 2 = ( x + y )( x - y ) Þ x + y = 0 oder x - y = 0 , also
x = ±y. Sind x, y beide kleiner als (p – 1)/2 , so ist x ¹ –y, da –y = p – y > (p – 1)/2 ist.
Also ist x = y, ein Widerspruch.
3