Übungsheft zur Mathematischen Statistik WS 2011/ 2012 A. Pichler Institut für Statistik und Operations Systems Universität Wien 1 Basierend auf einer Sammlung von G. Pug. Überarbeitet und angepasst. 1 1 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 1 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Ziele: • Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmaÿ, Verteilungsfunktion und Dichte verstehen. • Kenntnis wichtiger Verteilungen aus den 2 praktisch bedeutsamen Klassen der atomaren und atomfreien Maÿe. • Rechnen mit erzeugenden Funktionen. • Verteilung von transformierten Zufallsvariablen. Wichtiger Spezialfall: Faltungen. 1.1 Wiederholung lineare Algebra 1.1 Bestimmen Sie den Rang folgenden Vektorsystems (c1 , c2 , c3 , c4 ), wobei 2 4 3 1 2 2 2 0 c1 = , c2 = , c3 = , c4 = 0 2 1 1 1 1.2 2 1 Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen! 1 2 (a) 1.3 3 3 0 ! 1 2 (b) ! 2 4 (c) 1 0 0 2 −1 0 3 3 3 Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spaltenvektoren orthogonal sind. Ist die Länge der Spaltenvektoren gleich 1, so heiÿt die Matrix orthonormal. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen orthogonal bzw. orthonormal sind! (a) 1 2 √ A = 21 3 √ − 12 3 1 2 0 1.4 0 0 0 1 √ (b) B= √1 13 3 −2 ! 2 3 (c) C= 3 √2 2 √4 2 4 − 12 √ 6 4 √ 6 4 Berechnen Sie die Determinante! (a) 1 A= 5 2 10 (b) 1 B= 5 2 10 (c) 1 C = 0 1 2 −1 1 0 1 1 0 √ 2 2 √ 2 2 − 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 3 1.2 Maÿe, Verteilungen, Dichten 1.5 Grundbegrie (i)Was ist ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P), (a)Ereignismenge (sample space) Sigmaalgebra, (b)eine (c)ein Maÿ (measure)? (ii)Was ist Zufallsvariable? (a)eine state space, (b)der (c)eine Statistik ? (iii)Was ist (a)eine Verteilungsfunktion (cumulative distribution function, cdf ), (b)eine Dichte (probability density function, pdf ), (c)eine Quantilsfunktion? reellwertigen Zufallsvariablen. einer 1.6 Atome Erklären Sie inhaltlich: Was ist ein Atom? 2 Geben Sie Beispiele von Verteilungen mit Atomen. Was bedeutet die Existenz eines Atoms für die Verteilungsfunktion, die Quantilsfunktion bzw. für die Dichte? 1.7 Die Verteilungsfunktion Denieren Sie auch FX ) und F (x) := P (X ≤ x) (um die Zufallsvariable F −1 (α) := inf {x : F (x) ≥ α}. (i)Zeigen Sie, dass (ii)Zeigen Sie für F rechtsseitig und F −1 linksseitig stetig ist. Für welche α ist F −1 (α) wohldeniert? 0 < α < 1: −1 (p) ≤ x genau dann, wenn p ≤ F (x), −1 (b)F F (α) ≥ α für 0 ≤ α ≤ 1, −1 (c)F (F (x)) ≤ x für −∞ < x < ∞, aber −1 (d)P F (F (X)) = X = 1. (a)F 1.8 Zeigen Sie −1 (i)F ◦ F ◦ F −1 = F −1 , ◦ F −1 ◦ F = F , −1 −1 F −1 = F und (F ◦ G) = G−1 ◦ F −1 . (ii)F (iii) 1.9 Sei F stetig, g monoton und linksseitig stetig, dann ist −1 g(X) = g F −1 −1 g(X) (α) = g F −1 (1 − α) (i)F (ii)F falls g steigend, bzw. falls ist. 2 ω ∈ Ω ist ein Atom falls P [{ω}] > 0 zusätzlich zu kennzeichnen schreibt man oft g fallend 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 4 1.10 Diracmaÿ 3 ( Diskutieren Sie die Maÿe δω (A) := 1 0 (i)Welche Eigenschaften sind für die falls ω∈A sonst pi s und P (A) := Pn i=1 pi δωi . notwendig? (ii)Es sei X:Ω→R ω 7→ xω eine Zufallsvariable. Geben Sie (iii)Es sei 1.11 Es sei F Ω=R und i (ω) = ω EX an bezüglich des Maÿes die Identität. Bestimmen Sie f die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion von P. Ei. X und g eine Funktion. Zeigen Sie durch partielle Integration ˆ 1 g F −1 (p) dp ˆ0 ˆ ˆ = g (x) dF (x) = g (x) F 0 (x) dx = g (x) f (x) dx ˆ ∞ = g (a) + g 0 (x) (1 − F (x)) dx falls P [g (X) ≥ g (a)] = 1 E [g (X)] = ˆ a b g 0 (x) F (x) dx = g (b) − falls P [g (X) ≤ g (b)] = 1. −∞ 1.12 eine Zufallsgröÿe mit Verteilungsfunktion 0 F (x) = x2 1 Kann man 1.13 für für für x≤0 0≤x≤1 x > 1. zwei verschiedene Dichten nden, die zur obigen Verteilungsfunktion gehören? Haben die folgenden Zufallsvariablen atomare oder atomfreie Maÿe? (oder weder noch)? (i)Poissonverteilung mit Parameter θ > 0: Poisson-Verteilung P (X = x) = e−θ (ii)Exponentialverteilung mit Parameter θx x! x = 0, 1, 2, . . . θ: ( 1 − e−(x−θ) P (X ≤ x) = 0 x ≥ θ, x < θ. (iii)Die Verteilung 1 P (X ≤ x) = x2 1(0, 1 ) (x) + 1( 1 ,2) (x) + 1[2,∞) (x) , 2 2 2 1 die Indikatorfunktion 0 < p < 1 und n ∈ N. wobei (iv)Sei bezeichnet. (Hinweis: Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion.) P (X ≤ x) = X n i≤x 3 Paul Dirac (1902 1984) i pi (1 − p)n−i . 1 1.14 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 5 (+)Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz zur Verteilungsfunktion aus letztem Beispiel, 3). Geben Sie an, welche Formeln der Beispiele 1.10 und 1.11 dazu geeignet sind, welche können nicht verwendet werden? 1.15 Ernden Sie je zwei atomare und atomfreie Maÿe. (Wenn möglich, nicht einfach Standardverteilungen der Statistik wählen!) 1.16 Man beweise folgende Eigenschaften der Eulerschen ˆ Γ-Funktion, die durch ∞ us−1 e−u du Γ (s) = 0 gegeben ist: (i)Γ(x) = (x − 1)Γ(x) = (n − 1)! √ (iii)Γ(1/2) = π. (ii)Γ(n) für für x > 1. n ∈ N. Hinweis: Dichte der Normalverteilung. 1.17 Man bestimme die Konstante (i)f (x) (ii)f (x) = Cx3 e−x 4 für p−1 −bxp = Cx (iii)f (x) = (iv)f (x) = e , C so, dass f (x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird: x ≥ 0. x ≥ 0, b > 0, p > 0. Weibull-Verteilung e−x C (1+e −x )2 , 1 C 1+x 2. Logistische Verteilung Cauchy-Verteilung 1.3 Satz von Bayes 1.18 Multiplikationssatz. Zeige, bzw. unter welchen Voraussetzungen gilt P [A1 ∩ A2 . . . An ] = P [A1 ] · P [A2 | A1 ] · P [A3 | A1 ∩ A2 ] · . . . P [An | A1 ∩ A2 ∩ . . . An−1 ]? 1.19 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Sei Bi P [Bi ∩ Bj ] = 0 und P [∪j Bj ] = 1). X P [A] = P [A| Bi ] P [Bi ] ein vollständiges Ereignissystem (ie. i und X P [A| C] = P [A| Bi ∩ C] P [Bi |C] . i 1.20 Satz von Bayes. Sei Bi ein vollständiges Ereignissystem. Zeige, dass P [A| Bi0 ] · P [Bi0 ] P [Bi0 | A] = P i P [A| Bi ] P [Bi ] und P P [A| C] = i P [A| Bi ∩ C] P [C| Bi ] P [Bi ] P . i P [C| Bi ] P [Bi ] Zeige, dass 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 6 Anwendungen des Satzes von Bayes 1.21 Von einem zuverlässigen Test zur TBC Diagnose weiÿ man, dass dieser Test in 94 von 100 Fällen negativ ausfällt, falls die Testperson nicht TBC hat und in 96 von 100 Fällen positiv ausfällt, falls die Terstperson an TBC erkrankt ist. Aus Erfahrung weiÿ man, dass im Durchschnitt von 250 Personen, die sich einer Reihenuntersuchung unterziehen, eine Person tatsächlich TBC hat. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person in Wirklichkeit TBC hat, wenn bei ihr dieser Test positiv ausgefallen ist? Ist das Ergebnis verblüend? Interpretieren Sie es! 1.22 John visits the doctor claiming some discomfort. The doctor is led to believe that he may have some disease A. He then takes some standard procedures for this case: he examines John, carefully observes the symptoms and prescribes routine laboratory examinations. Let θ be the unknown quantity of interest, indicating whether John has disease A or not. The doctor assumes that P (θ = 1|H) = 0.7. H (history) in this case contains the information John gave him and all other relevant knowledge he has obtained from former patients. To improve the evidence about the independent examination. illness, the doctor asks John to undertake an Examination X is related to θ and provides an uncertain result of the positive negative type with the following probability distribution: ( P (X = 1|θ = 0) = 0.40 (test positive, provided non-disease P (X = 1|θ = 1) = 0.95 (test positive, provided disease A) Suppose that John goes through the examination and that his result is A) X = 1. (i)What should the doctor infer about John's disease? (ii)The doctor decides to ask John to undertake a second more ecient but also more expensive test Y with the following probability distribution: ( P (Y = 1|θ = 0) = 0.04 P (Y = 1|θ = 1) = 0.99 What result can the doctor predict for the second test? (iii)The observed result of the second test is 1.23 Let θ ∼ N µ, τ 2 and X|θ ∼ N θ, σ 2 Y = 0. What should the doctor infer about John's disease? with σ2 known. What is the posterior distribution of θ, given X? 1.24 Two physicists, A and B want to determine the value of a physical constant. Physicist A, having a long experience in the area, species his prior as more uncertain prior θ ∼ N 800, 80 2 θ ∼ N 900, 202 . On the other side, physicist B stated a θ, denoted by X , X = 850 is observed. . Both physicists agree to make an evaluation of using a calibrated device with sampling distribution (i)What do the physicists infer about X|θ ∼ N θ|402 . The value θ? (ii)Interpret the result. 1.25 Let Xi |θ, i = 1, ..., n be bernoulli trials with parameter θ ∈ [0, 1]. distributions for the joint sampling density. 1.26 Prove that the class of Γ distributions is closed under multiplication. Find a conjugate family of prior 1 1.27 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Let 2 L1 (δ, θ) = (δ − θ) 7 be the loss associated with the estimation of θ by δ. Show that δ = E (θ) minimizes the bayesian risk. 1.4 Mehrdimensionale Verteilungen 1.28 Diskutieren Sie die Verteilungs- (cdf ) und Dichtefunktion (pdf ) F (x1 , x2 , . . . xn ) := P [X1 ≤ x1 , . . . Xn ≤ xn ] , ∂n F (x1 , x2 , . . . xn ) f (x1 , x2 , . . . xn ) := ∂x1 . . . ∂xn einer mehrdimensionaler Zufallsvariablen sind die Unterschiede zu einer 1.29 X : Ω → Rn . Wann lassen sie sich problemlos denieren? Wo R−wertigen Zufallsvariablen? Kann man eine Quantilsfunktion denieren? Give the cdf. and pdf for both distributions of X and Y. Moreover, compute the expectation, variance and in particular the covariance of both following bivariate distributions: P 1.30 1.31 x1 = 3 x2 = 4 x3 = 6 10 % 10 % 0 % 0 % 30 % 0 % 0 % 10 % 40 % X = xi , Y = yi y1 = 2 y2 = 5 y3 = 7 P and x1 = 3 x2 = 4 Ein zufälliger Punkt (−1, −1). 2 0 % 0 % 20 % 0 % 10 % 20 % 10 % 40 % 0 % (iii)|X (X, Y ) ist gleichverteilt auf dem Quadrat mit Eckpunkten (1, 1), (1, −1), (−1, 1), Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse √ 2 2 , +Y2 < − Y > 0, (ii)3X +Y|< Gegeben X1 1 2. und X2 mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion (x1 , x2 ) p(x1 , x2 ) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1) 2 18 2 18 2 18 5 18 4 18 3 18 Berechnen Sie die Randverteilungen und die bedingten Erwartungswerte! 1.33 x3 = 6 Give another bivariate distribution such that the covariance in example 1.29 vanishes (is 0). (i)X 1.32 X = xi , Y = yi y1 = 2 y2 = 5 y3 = 7 Eine Dichtefunktion ist gegeben durch ( f (x, y) = (i)Berechne die Konstante c(x2 + 2y) 0 für 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1 sonst. c. (ii)Berechne die Randverteilung von X. (iii)Berechne die gemeinsame Verteilungsfunktion von (iv)Berechne die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y. Z = 3/(X + 1)2 . 1 1.34 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 8 Eine Dichtefunktion sei gegeben durch f (x, y) = (i)Berechne die Konstante c(x3 + 2xy) 0 0 ≤ x, y ≤ 2, sonst. c. (ii)Berechne die Randverteilung von X. (iii)Berechne die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y. (iv)Berechne den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz von 1.35 Y wenn X = 1. P X 2 < Y < X falls X und Y ( x , 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 4, f (x, y) = 2 0 sonst Berechne die Wahrscheinlichkeit als gemeinsame Dichte haben. 1.36 Die gemeinsame Dichte von 1.37 Die (zufällige) Lebensdauer eines Geräts sei durch 1 28 (4x1 + 3x2 ), 0 Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz von X > x0 an der Stelle x0 X1 und X2 sei f (x1 , x2 ) = X < x1 < 2, 0 < x2 < 2. X2 gegeben X1 = x1 . gegeben. Die bedingte Dichte von X gegeben nennt man Hazardfunktion. (i)Berechnen Sie die Hazardfunktion für X mit der Dichte f und der Verteilungsfunktion (ii)Wie lautet die Hazardfunktion der Exponentialverteilung? (Dichte f (x) = 3e −3x , F. x ≥ 0.) Berechne P (X > 3|X > 1). 1.38 f (x1 |x2 ) = c1 x1 /x22 , 0 < x1 < x2 , 0 < x2 < 1, Null sonst, und f2 (x2 ) = c2 x42 , 0 < x2 < 1, sonst, die bedingte Dichte von X1 gegeben X2 und die Randdichte von X2 . Seien (i)Bestimmen Sie c1 und c2 . (ii)Wie lautet die gemeinsame Dichte von (iii)Berechnen Sie P 1 4 Null < X1 < 1 2 |X2 = 5 8 X1 ) und und P X2 ? 1 4 < X1 < 1 2 . 1.39 Faltung X und Y seien unabhängige Zufallsvariablen mit den Dichten fX und fY . Geben Sie die fX+Y (z) für die Zufallsvariable Z := X + Y an! Man schreibt auch oft fX ∗ fY := fX+Y . Dichte für 1.40 Die Faltung von Normalverteilungen. Wie ist X +Y verteilt, wenn 2 X ∼ N µX , σX und Y ∼ N µY , σY2 ? 1.41 Die Faltung von Cauchy-Verteilungen ist Cauchy Es sei f (x) = 1 π(1+x2 ) die Dichte einer Zufallsvariablen (i)Berechne den Erwartungswert von X1 +X2 (ii)Man nde die Dichte von 2 X1 und X2 . X1 . = Z (X1 , X2 unabhängig). Cauchy-Verteilung 1 1.42 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 9 Unter den Angaben der letzten Aufgabe: Berechne die Dichte von X1 − X2 . 1.43 Die Faltung von Exponential und Erlang-Verteilungen Angenommen X1 , . . . , Xn sind unabhängig und exponentialverteilt mit der Dichte (i)Welche Dichte hat dann (ii)Berechnen Sie 1.44 Pn i=1 Xi ? 1 −x/λ λe Erlang-E x, λ > 0. (n, λ)Verteilung E (n, λ) ∗ E (m, λ) Zeigen Sie für unabhängige Poisson-verteilte Zufallsgröÿen mit Parametern λ und µ: X ∼ P (λ), Y ∼ P (µ) ⇒ X + Y ∼ P (λ + µ). 1.45 Charakteristische Funktion Mit χX (t) := EeitX bezeichnet man die charakteristische Funktion der Zufallsvariablen (i)Zeigen Sie, dass (ii)Zeigen Sie, dass χX+Y (t) = χX (t) · χY (t), χX t n n X und Y unabhängig sind. χλX (t) = χX (λt), (iii)Verizieren Sie die Taylorentwicklung (iv)Für eine Folge falls X. X , Xi χX (t) = 1 + itEX − t2 2 2 EX + O t3 . unabhängiger und gleichmäÿig verteilter Zufallsvariablen ist χ n1 Pni=1 Xi (t) = . (v)Zeigen Sie, dass für t2 Pn n (vi)Auch für die Zufallsvariable 2 (t) → e− 2 EX . t2 2 Z ∼ N 0, σ 2 gilt χZ (t) = e− 2 σ . EX = 0, χ √1 i=1 Xi 1.5 Absolutstetigkeit 1.46 Betrachte die Maÿe P1 , P2 , P3 die jeweils die Standardnormalverteilung, die Gleichverteilung auf [0, 1] 0, 21 beschreiben. Sei weiters P4 das zur Poissonverteilung mit λ = 1 und die Gleichverteilung auf gehörige Maÿ. Betrachte jeweils eines der angegebenen Maÿe und bestimme, welche der Maÿe (Pi Pj ) P1 , . . . , P 4 absolutstetig und welche singulär (weder/noch ist auch möglich!) bezüglich des betrachteten Maÿes ist. 1.47 Gestutzte Verteilung. Angenommen X ist normal N (µ, σ 2 ) verteilt. (i)Berechne die bedingte Verteilungsfunktion von X, gegeben a ≤ X ≤ b. (a und b sind beliebige Konstanten.) (ii)Ermittle aus der bedingten Verteilungsfunktion die bedingte Dichtefunktion von X ≤ b. 1.48 (iii)Berechne den bedingten Erwartungswert von X, gegeben 0 ≤ X ≤ 1. (iv)Berechne den bedingten Erwartungswert von X, gegeben X ≥ 0. Löse Aufgabe 1.47 falls X gleichverteilt auf [−2, 2] ist. X, gegeben a≤ 1 1.49 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 10 Für einen nicht fairen Würfel seien die Wahrscheinlichkeiten 1, 2, 3, 4 oder 5 zu würfeln jeweils zufällige Variable X 1 7 . Die gebe die Augenzahl an. (i)Deniere für dieses Beispiel den Wahrscheinlichkeitsraum. (ii)Zeichne die Verteilungsfunktion von (iii)Sei λ das Lebesgue Maÿ auf R. X. µ λ, Was ist richtig: λ µ? Erklärung! (iv)Berechne mittels der erzeugenden Funktion Erwartungswert und Varianz. 1.50 Sigmaalgebren. (i)Ist die Familie aller oenen Mengen von (ii)Sei A eine σ -Algebra? eine R σ -Algebra und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf A. A, B ∈ A und A ⊂ B dann gilt µ(A) ≤ µ(B). Zeige: Wenn 1.51 Eine zufällige Variable X sei gleichverteilt im Intervall (i)Bestimme Verteilungsfunktion und Dichte von X [0, 2]. und berechne anschlieÿend Erwartungswert und Varianz. (ii)Sei 1.52 Y := X 2 , berechne die Dichte der zufälligen Variable Berechne Mittelwert und Standardabweichung der folgenden Verteilung: F (x) = Hinweis: Skizziere zuvor 1−e F (x). Sei die zufällige Variable µ X und Standardabweichung standardnormalverteilt, und die Variable σ. (i)Zeige die Äquivalenz von (ii)Berechne die Dichte von 1.54 Seien X und Y x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, x > 1. 0 1+x2 4 −x 1.53 Seien PX PX PX und und PY bezüglich PY und die Dichte von (ii)Berechne den Erwartungswert von eine R. PY bezüglich PX . s ≤ 0, s > 0. 0 e−s (i)Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichte der Variable X normalverteilt mit Mittelwert unabhängige zufällige Variable, jeweils mit Dichte Es sei Y die Maÿe der entsprechenden Verteilungen auf PY . f (s) = 1.55 Y. N (0, 1) ungerade Funktion (g Bestimmen Sie die durch g Y /X . g :R→R eine stetige streng monoton wachsende mit lim g(x) = ∞, x→∞ p Z. verteilte Zufallsvariable und (−x) = −g (x)) Z := lim g(x) = −∞ . x→−∞ erzeugte Gruppenfamilie. 1 1.56 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Seien X1 und X2 unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte ( f (x) = Zeigen Sie, dass Hinweis: 11 Y1 = X1 + X2 und Y2 = e−x 0 für x ≥ 0, sonst. X1 X1 +X2 unabhängig sind. Berechnen Sie die gemeinsame Dichte von Y1 und Y2 , sowie die beiden zugehörigen Rand- dichten. Beim Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems ist es mitunter sinnvoll, Gleichungen zu manipulieren anstatt zu addieren. 1.57 Bestimmen Sie Mittelwert und Varianz einer Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion 2 F (x) = x · 1(0, 1 ) (x) + 1[ 1 ,2) (x) + 1[2,∞) (x) , 2 3 2 wobei 1A die Indikatorfunktion der Menge A bezeichnet. 1.6 Erzeugende Funktionen 1.58 Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit (i)Zeigen Sie, dass G(s) = ∞ P pk sk pk = P(X = k), k = 0, 1, 2, . . . (erzeugende Funktion) für und |s| ≤ 1 ∞ P pk = 1. k=0 existiert (d.h. endlich ist). k=0 (ii)Wie hängen die Momente von X mit den höheren Ableitungen von G an der Stelle 1 zusammen? G0 (1) =? G00 (1) =? G, sowie Erwartungswert und Varianz für die geometrische pk = p(1 − p)k , k = 0, 1, 2, . . .. geometrische-Verteilung (iii)Berechnen Sie die erzeugende Funktion Verteilung: 1.59 Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Poisson-Verteilung mit Parameter pk = e−λ λk , k = 0, 1, 2, . . . k! mittels der erzeugenden Funktion. 1.60 Gegeben seien zwei Zufallsgröÿen X und Y mit gemeinsamer Dichte √ f (x, y) = Ermittle die Korrelation zwischen X 5 − 1 (x2 −√3xy+2y2 ) e 2 , 4π und −∞ < x, y < ∞. Y! Hinweis: Welche bekannte bivariate Verteilung hat (X, Y )? 1.7 Transformation von Zufallsvariablen 1.61 X sei gleichverteilt auf π π −2, 2 . Man bestimme die Dichte von Y = tan X . λ: 1 1.62 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Angenommen von X log (X − a) 12 sei normalverteilt mit Mittel µ und Varianz Zeigen Sie, dass die Dichte gegeben ist durch: ( 1 √ e− σ(x−a) 2π f (x) = [log(x−a)−µ]2 2σ 2 x > a, x ≤ a. 0 1.63 σ2 . Beschreiben Sie die (i)Dichte, (ii)Erwartungswert und Varianz der Log-Normal-Verteilung 1.64 M Zeigen Sie, dass für 2 eN (µ,σ ) . Log-Normal-Verteilung unabhängige, Variablen Sr = exp(λ)-verteilte r X Zk / k=1 M X Zj , Zufallsvariablen Z1 , . . . , Z M die transformierten r = 1, . . . , M − 1 j=1 eine Dichte der folgenden Form besitzen: g(s1 , s2 , . . . , sM −1 ) = (M − 1)! für 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . ≤ sM −1 ≤ 1 Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Zufallsvariablen V1 = Z1 , V2 = Z1 + Z2 , . . . , VM = Z1 + . . . + ZM , führen Sie dann eine zusätzliche Zufallsvarible SM = VM ein und bestimmen g(s1 , . . . , sM −1 ) durch Herausintegrieren von SM aus der gemeinsamen Dichte von S1 , . . . , SM . Sie 1.65 Transformationssatz für Dichten Bezeichne fX die Dichte der Zufallsvariablen fg(X) (y) = fX g −1 X bzw. fg(X) die Dichte von Y := g (X). Zeige, dass 0 (y) g −1 (y). NB: In höheren Dimensionen ist g −1 0 die Jakobimatrix und |.| die Determinante. 1.66 Erzeugung von Zufallsvariablen Wie kann man Bsp. 1.65 einsetzen, um eine Zufallsvariable mit gegebener Verteilungsfunktion F zu erzeugen? 1.67 Erzeugung normalverteilter Zufallsvariablen Seien U und V unabhängig gleichverteilt auf dem Intervall X= Y = √ √ (0, 1). Zeigen Sie, dass −2 ln U · cos(2πV ) −2 ln U · sin(2πV ) unabhängig und standardnormalverteilt sind. 1.68 Eine Alternative zu Aufgabe 1.67, die approximativ standard-normalverteilte Zufallszahlen liefert, funktioniert folgendermaÿen: Erzeuge 12 Zufallszahlen Ui , (i)Begründen Sie, warum die gleichverteilt auf X [0, 1] sind, und berechne dann X := P12 i=1 Ui − 6. annähernd normalverteilt ist! (ii)Diskutieren Sie Vor- und Nachteile im Vergleich mit Bsp. 1.67 und 1.65. (iii)Untersuchen Sie, wie gut (oder schlecht) die Approximation ist, indem sie die ersten vier Momente EX , EX 2 , EX 3 und EX 4 mit jenen der Standardnormalverteilung vergleichen. 1 1.69 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Die 13 n-dimensionale Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Mittelwertsvektor µ und Varianz-KovarianzΣ. Berechnen Sie die Dichte von Y := CX + d, wobei C eine nichtsinguläre n × n-Matrix ist. Matrix (i)Welche Verteilung hat C Y , wenn X (ii)Welche Kovarianzmatrix hat Σ von 1.70 X unabhängige standardnormalverteilte Komponenten Xi hat und orthogonal ist? χ2 (n)-verteilt Y X /n. F =m sei zentral variablen Hinweis: Y, C wenn die transponierte Matrix der normierten Eigenvektoren ist? Y und sei nichtzentral χ2λ (m)-verteilt. Berechnen Sie die Dichte der Zufalls- 1 xn/2−1 e−x/2 , 2n/2 Γ(n/2) ∞ X (λ/2)k f(χ2m+2k ) (y). fχ2λ (m) (y) = e−λ/2 k! fχ2 (n) (x) = k=0 1.71 Seien X1 und X2 unabhängig χ2 (2)verteilt. Bestimmen Sie die Dichte von Y1 = 21 (X1 − X2 ). Hinweis: Für die Dichten von X1 Y2 Zufallsvariable von Y1 und Y2 . und X2 siehe den Hinweis zu Bsp. 1.70. Führen Sie eine geeignete ein und berechnen Sie die Dichte von Y1 als Randdichte der gemeinsamen Verteilung Beachten Sie die Integrationsgrenzen! 1.8 Ordnungsstatistik 1.72 Seien X1 , . . . , Xn unabhängige auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsgröÿen. Welche Verteilungsfunktion und welche Dichte hat (i)X(1) (ii)X(n) := min (X1 , . . . , Xn ), := max (X1 , . . . , Xn )? Wogegen konvergiert 1.73 Es seien Xi n λ X(1) in Verteilung, wenn n → ∞? unabhängig. Zeigen Sie für die Ordnungsstatistik X(0) ≤ X(1) ≤ . . . X(n) : Pn j+1 n−j FX(k) (z) = P X(k) ≤ z = j=k n+1 · (1 − F (z)) , j+1 F (z) k n−k n fX(k) (z) = (n + 1) k F (z) · f (x) · (1 − F (z)) . (i)Die Verteilungsfunktion ist (ii)die Dichte ist Interpretieren Sie die Gleichungen! 1.74 n 1 1 i=1 1{Xi ≤t} = n n (der Ordnung n), das dazugehörige Maÿ ist P Die Funktion Fn (t) := P (i)Begründen Sie, warum (für festes Pn = 1 (X ) heiÿt empirische Verteilungsfunktion i=1 P(−∞,x) i 1 δ . X Xi i seien iid. mit Verteilungsfunktion F (x) n x) Fn (x) binomialverteilt ist mit Parameter p = P [X ≤ x] = F (x); √ D n (Fn (x) − F (x)) −→ N (0, F (x) (1 − F (x))) (Konvergenz in Verteilung, CLT); √ √ (iii)Die Kovarianz von n (Fn (x1 ) − F (x1 )) und n (Fn (x2 ) − F (x2 )) ist F (x1 ∧ x2 )−F (x1 )·F (x2 ).4 (ii)Zeigen Sie, dass Ist die Korrelation positiv oder negativ? 4 x ∧ x = min {x , x }. 1 2 1 2 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 14 1.75 Satz von Kolmogorov Unter recht allgemeinen Voraussetzungen gilt h√ i 2 (n) n supx∈R FX (x) − FX (x) ≤ z = 1 − e−2z bzw. i h√ P∞ 2 2 (n) k (ii)limn→∞ P n supx∈R FX (x) − FX (x) ≤ z = 1 + 2 k=1 (−1) e−2k z . (i)limn→∞ P Interpretieren Sie die Aussage und geben Sie die Quantile für α =90 %, 95 %, 99 %, 99,5 % und 99,9 % an. Bringen Sie die empirische Verteilungsfunktion ferner mit den Ordnungsstatistiken Beispiel 1.73 in Verbindung. 1.9 Konvergenz von Zufallsfolgen 1.76 Zeigen Sie, dass die unten angeführten Folgen von Zufallsgröÿen zwar in Wahrscheinlichkeit, aber nicht fast sicher konvergieren. (i)Die Folge von unabhängigen Zufallsgröÿen (ii)Sei 1.77 1.78 Pn Ω = [0, 1], rn = ( i=1 1i )mod1 P ( 1 Xn (ω) = 0 Betrachte die zufälligen Variablen und Xn = 2 + X1 , X2 , . . . mit P (Xn = 1) = P (Xn = 0) = 1− n1 . das Lebesgue-Maÿ. auf rn , min rn + n1 , 1 , sonst. 1 n und (i)Konvergiert Xn in Verteilung gegen (ii)Konvergiert Xn fast sicher gegen (iii)Konvergiert Xn in Wahrscheinlichkeit gegen Diskutiere die folgenden Fragen 1 n und X = 2. Diskutiere die folgenden Fragen: X? X? X? generell für Zufallsvariablen: (i)Konvergiert Xn in Verteilung gegen X? (ii)Konvergiert Xn fast sicher gegen (iii)Konvergiert Xn in Wahrscheinlichkeit gegen X? X? 1.79 Stichprobenmittel Pn 1 i=1 n tisch verteilt, Zeigen Sie, dass Die Zufallsvariable X̄n := X̄n = E [X], 1 (ii)var X̄n = n var [X] = O Xi heiÿt Stichprobenmittel. Seien Xi (und X) unabhängig und iden- (i)E 1 n . 1.80 Stichprobenvarianz mit Bessel-Korrektur Die Statistik Sn2 := Wie oben seien 1 n−1 X , Xi Pn i=1 Xi − X̄n 2 heiÿt (korrigierte) Stichprobenvarianz. unabhängig und identisch verteilt. Zeige 2 Sn = varX , 2 1 (ii)var Sn = n µ4 − (i)E n−3 4 n−1 σ =O 1 n , wobei h i 4 µ4 = E (X − E [X]) und h i 2 σ 2 = E (X − EX) . 1 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 15 1.81 Stichprobenvarianz mit Bessel-Korrektur 2 2 (n1 −1)Sn +(n2 −1)Sn 1 2 (Erwartungstreue) resultierend aus zwei n1 +n2 −2 σ2 = n1 bzw. n2 . (i)Diskutieren Sie den Schätzers Stichproben vom Umfang (ii)Gilt auch 1.82 Zeigen Sie für E [Sn ] = N µ, σ 2 √ varX ? verteilte Zufallsvariablen: •X̄n und Sn2 sind unabhängig, Pn Xj −µ 2 ∼ χ2n , wobei fχ2 (x|n) = • j=1 σ 2 •X̄n ∼ N µ, σn , n x x 2 −1 e− 2 n 2 2 Γ( n 2) χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden 2 2 • n−1 σ 2 Sn ∼ χn−1 , √ n • n X̄ S 2 ∼ tn−1 , wobei n Γ( n+1 2 ) √ nπΓ( n 2) ft (x|n) = 1+ x2 n − n+1 2 Student's t-Verteilung mit n Freiheitsgraden 1.83 Es seien X1 . . . Xn ∼ N (µX , σX ) •F := und p und Fisher F-Verteilung q (n − 1) und (m − 1) Freiheitsgraden. Die Dichte der F-Verteilung Freiheitsgraden ist fF (x|p, q) = Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert 1.84 unabhängige Zufallstichproben, dann hat SX /σY SY /σY eine Fisher-Snedecor-Verteilung mit mit Y1 . . . Yn ∼ N (µY , σY ) Zeigen Sie, dass die χ2 -Verteilung eine Γ Γ p 2 p2 p q q Γ 2 p+q 2 EFp,q = p x 2 −1 . p+q 2 1 + x pq q 1 q−2 gilt. Weiters, dass Fp,q Γ-Verteilung ∼ Fq,p gilt. ist (vgl. Bsp. 4.20). 1.85 Stichprobenkorrelationskoezient Die Statistik (n) RX,Y := 1 n−1 Pn √i=12 ( Xi −X̄n )(Yi −Ȳn ) √ Sn (X)· heiÿt Stichprobenkorrelationskoefzient. Zeigen Sie: 2 (Y ) Sn h i (n) RX,Y = 0, (n) 1 , (ii)var RX,Y = n−1 (i)E (iii)Für 1.86 X, Y normalverteilt ist √ (n) n − 2q RX,Y (n)2 1−RX,Y ∼ tn−2 . Berechnen Sie Mittelwert und Varianz (Standardabweichung) der χ2n -Verteilung und der tn -Verteilung. 2 BINÄRE EXPERIMENTE 16 1.87 Die Formeln von Wald Es seien (i)Xi , N vollständig unabhängig und quadratisch integrierbar, (ii)Xi (und (iii)P [N X) identisch verteilt und ∈ N] = 1. Deniere die Zufallsvariable (i)E [Z] (ii)varZ 2 Z := X1 + X2 + . . . XN und zeige = E [X] · E [N ], = varX · EN + (EX) 2 · varN . Binäre Experimente Ziele: • Einen sinnvollen Stichprobenraum zu einem statistischen Problem nennen können. • Randomisierte Testfunktionen beschreiben und erklären können. • Welche Bedeutung hat die Randomisierung in Theorie und Praxis? • Berechnung des Fehlers erster und zweiter Art und der Güte in einfacheren Beispielen. Wahl der Randomisierung, sodass ein bestimmter Fehler erster Art erzielt wird. 2.1 Geben sie jeweils einen sinnvollen Stichprobenraum zu den unten angeführten Testproblemen an. Welche σ Algebren könnte man auf den Stichprobenräumen dann wählen? (i)Eine Münze wird 5 mal geworfen. Die Nullhypothese, dass Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind, soll getestet werden. (ii)Um zu testen ob die mittlere Lebensdauer von Bildröhren mindestens 10000 Stunden beträgt wird die Lebensdauer von 20 Testbildröhren gemessen. 2.2 Betrachten Sie die Nullhypothese aus Beispiel 2.1 i) und die Alternative, dass der Anteil von Kopf (p) gleich 0.7 ist. Wie lauten die Verteilungen P und Q zu diesem binären Experiment? Finden Sie einen (gegebenenfalls randomisierten) Test für den die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art 2.3 0.05 ist. In einer Urne benden sich Lose einer Lotterie auf denen die Namen der Teilnehmer(innen) vermerkt sind. Wir wollen testen, ob der Anteil der Männer, die Lose einsenden, gleich dem Anteil der Frauen ist, oder ob der Männeranteil (wie bei einer vergleichbaren ausländischen Lotterie) 0.4 beträgt. Dazu werden 8 Lose (ohne Zurücklegen) gezogen und notiert wie viele davon von Männern stammen. Wir wollen die notierte Anzahl mit P und Q von T T bezeichnen. Formulieren Sie H0 und H1 als unterschiedliche Verteilungen und konstruieren Sie dann einen (gegebenenfalls randomisierten) Test für den die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art 5% beträgt. Welchen Fehler 2. Art hat dieser Test? 2 2.4 BINÄRE EXPERIMENTE 17 Ein Würfel wird dreimal geworfen. Die Ergebnisse werden mit X1 , X2 , X3 bezeichnet. Wir betrachten zwei Hypothesen über die Verteilung der Würfelergebnisse: P : P ({1}) = · · · = P ({6}) = Q : Q({1}) = · · · = Q({5}) = Wir wollen H0 : P ⊗3 gegen H1 : Q⊗3 1 6 4 , Q({6}) = 1/5 25 testen und betrachten dazu die Zufallsgröÿe N (X1 , X2 , X3 ) die die Anzahl der gewürfelten Sechsen angibt. Berechnen Sie für die folgenden Testfunktionen jeweils den Fehler erster Art und den Fehler zweiter Art. (i) ( 1 Φ1 (X1 , X2 , X3 ) = 0 falls N (X1 , X2 , X3 ) = 1 sonst. (ii) Φ1 (X1 , X2 , X3 ) = 1 falls 49 75 falls 0 N (X1 , X2 , X3 ) = 3 N (X1 , X2 , X3 ) = 2 sonst. (iii) ( 1 Φ1 (X1 , X2 , X3 ) = 0 falls N (X1 , X2 , X3 ) = 3 sonst. (iv) Φ1 (X1 , X2 , X3 ) = 1 8 1 5 2.5 0 falls falls N (X1 , X2 , X3 ) = 6 N (X1 , X2 , X3 ) = 6, X3 6= 6 sonst. Eine Münze wird 5 mal geworfen. Die Nullhypothese, dass Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind, soll getestet werden. Finden Sei einen (gegebenenfalls randomisierten) Test, für den die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art 10 % ist. 2.1 Neyman-Pearson Tests Ziel: Optimale Tests bei gegebenem Fehler erster Art für binäre Experimente angeben können. 2.6 Von einer Gattung der Familie der Asteracae wachsen auf den Inseln der Ägäis zwei nahe verwandte Arten, die sich in der Länge des Blütenstiels und der Anzahl der Haare auf den Blättern unterscheiden. Die Unterscheidung zwischen den Arten wird aber durch die individuelle Variation innerhalb der Art µA,1 = 9.4 σ12 = 5.5 cm2 . erschwert: Die Länge der Blütenstiele ist normalverteilt, wobei bei Art A µB,1 = 10.2 cm beträgt. Die Varianz beträgt bei beiden Arten Die Anzahl der Haare auf einer Blattäche von A ist µA,2 = 48 während bei Art B µB,2 = 61 1 cm2 cm und bei Art B ist ebenfalls (annähernd) normalverteilt: Bei Art beträgt. In beiden Fällen ist σ22 = 34. Weiters kann man annehmen, dass die Merkmale Blütenstiellänge und Haarzahl voneinander unabhängig sind. Biologen wollen nun testen, ob auf einer noch nicht untersuchten Insel Art A oder Art B vorkommt. (Aus Erfahrung ist bekannt, dass niemals beide Arten gleichzeitig auf einer Insel vorkommen, da Art A genetisch vitaler ist und Art B verdrängen würde.) Da auf den meisten benachbarten Inseln Art A vorkommt, wird als Nullhypothese Art A kommt vor gewählt. Wie entscheidet der optimale Test zum Niveau α = 0.05, wenn auf der betreenden Insel bei 9.7 cm und eine mittlere Anzahl von 36 30 gesammelten Individuen eine mittlere Blütenstiellänge von Haaren beobachtet wurde? 2 2.7 BINÄRE EXPERIMENTE X1 , . . . , Xn 18 N (µ, σ 2 ) seien unabhängige verteilte Zufallsgröÿen. Finden Sie den optimalen Test zu den Hypothesen: H0 : σ 2 = σ02 H1 : σ 2 = σ12 (σ12 > σ02 ) 2.8 ist bekannt. ) [0, 1] oder einer Dreiecks[0, 1] verteilt ist (Dreiecksverteilung: g(x) = 4x für 0 ≤ x ≤ 12 , g(x) = 4−4x für 21 ≤ x ≤ 1). konstruiere den besten Test für α = 5% auf Grund einer Beobachtung. Es sei X (µ eine Zufallsvariable, die entweder nach einer Gleichverteilung in verteilung in Man 2.9 F (x; λ) = λ1 e−x/λ , 0 < x < ∞. Basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang 2 soll die einfache Hypothese H0 : λ = 1 gegen die einfache Alternativhypothese H1 : λ = 3/2 getestet werden. Der kritische Bereich des Tests ϕ sei (x1 , x2 ) : 5.5 ≤ x1 + x2 < ∞. Die Dichte der Zufallsvariablen sei (i)Bestimmen Sie Fehler erster und zweiter Art des Tests (ii)Bestimmen sie die Gütefunktion des Tests (iii)Ist (iv)Sei ϕ mit obigem kritischen Bereich. mit obigem kritischen Bereich. unverfälscht? α die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für Niveau 2.10 ϕ ϕ α für die Hypothese H0 : λ ≤ 1 ϕ. Ist ϕ ein gleichmäÿig bester Test zum gegen die Alternativhypothese H1 : λ > 1? Von einer archäologischen Ausgrabung soll das Alter bestimmt werden; es existieren 2 Expertenmeinungen: H0 : H1 : Alter 6.000 Jahre. Durch die Messung der Radioaktivität soll H0 zutrit, ist die Anzahl der pro Minute emittierten Teilchen nach H1 nach Poisson mit λ = 3/2. Man berechne die Fehler 1. und 2. Art Alter 5.000 Jahre und das Alter festgelegt werden. Falls 1 2 verteilt, unter für den Test, bei dem für H0 entschieden wird, falls weniger als 1 Teilchen pro Minute gezählt wird. Wie Poisson mit λ= lange muÿ man zählen, damit die Wahrscheinlichkeit H1 fälschlicherweise abzulehnen, kleiner als 0.005 ist? Hinweis: zählt man n Minuten, gilt unter H0 : λ = n/2, unter H1 : λ = 3n/2). ( 2.11 X1 , . . . , Xn seien unabhängig mit der Dichte I[0,1] (x) (unter 1 I[θ,θ+2] (x) 2 (unter (i)Geben Sie einen optimalen (randomisierten) (ii)Wie sieht h(α) = (iii)Angenommen 1 beträgt? ´ ϕα dQ α = 0.025. H0 ) und H1 ) (θ = 1/8) . α-Niveau Test an. aus? Zeichnen Sie die Funktion für Wie groÿ muÿ n α ∈ [0, 1] und n = 3! mindestens gewählt werden, damit die Macht des Tests 2 2.12 BINÄRE EXPERIMENTE Es seien X1 , . . . , Xn 19 E (λ), unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Dichte Exponential-Verteilung 1 −x/λ e λ x, λ > 0. (i)Man bestimme den trennscharfen Test für die Hypothese H1 : λ = λ 1 falls λ1 < λ0 und (ii)Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang bei Macht mindestens 2.13 0.95 gegen die Alternative α = 0.05, λ1 = 500, λ0 = 700, wenn die sein soll. P die Gleichverteilung auf (−2, 2) (Dichte f (x)) und Q die Standardnormalverteilung N (0, 1) (Dichte g(x)). Man möchte testen, ob X nach P oder nach Q verteilt ist. Sei (i)Wie lautet der Neyman-Pearson Test für X (ii)Für welche Werte von (iii)Zeichne den Dichtequotienten Pearson Test zum Niveau X1 , . . . , Xn H0 : P gegen H1 : Q? nimmt der Neyman-Pearson Test zum Niveau an? Für welche Werte zum Niveau 2.14 H0 : λ = λ0 α = 0.01. seien unabhängige α= α = 0.05 die Nullhypothese α = 0.01? g(x) f (x) und markiere den Wertebereich von 0.05 die Nullhypothese annimmt. N (µ, σ 2 ) X für den der Neyman- verteilte Zufallsgröÿen. Wir betrachten die Hypothesen H0 :µ = µ0 (Dichte f ) H1 :µ = µ1 (Dichte g) (σ 2 ist bekannt, µ1 > µ0 ) (i)Zeigen Sie, dass für den Likelihood-Quotienten gilt: g(x1 , . . . , xn ) = exp f (x1 , . . . , xn ) n µ21 − µ20 µ1 − µ0 X x − n i σ2 2σ 2 i=1 (ii)Für welche Werte des Likelihood-Quotienten lehnt ein bester (iii)Berechnen Sie die die eziente Randfunktion für ϕα α-Niveau ! . Test ϕα ab? aus b): ˆ h(α) = Verizieren Sie, dass (iv)Wie groÿ muÿ man h0 (α) n ϕα dQ. gleich dem kritischen Wert für den Likelihood Quotienten ist. wählen, um bei α = 0, 05 eine Güte h(α) = 0, 95 zu erhalten? Hinweis: Den ersten Teil der Lösung kann man dem Skriptum Bsp. 2.16 entnehmen.) ( 2.15 Angenommen eine Messung X dardnormalverteilt ist (Dichte soll vorgenommen werden, von der man glaubt, dass sie entweder stan- f (x)), oder die Dichte (i)Wie lautet der Neyman-Pearson Test zu (ii)Finde alle Werte von X ≤ d g(x) = H0 : X ∼ f α für die der Annahmebereich d als Funktion von α. und bestimme 1 2 exp(−|x|) gegen hat. H1 : X ∼ g . die Form hat: Entscheide für H0 , falls −d ≤ 2 2.16 BINÄRE EXPERIMENTE 20 Betrachte nun zu obigem Beispiel zwei (unabhängige) Beobachtungen mit den entsprechenden Verteilungen unter (i = 1, 2) H0 und mit Dichte H1 , aber mit unbekanntem Mittelwert. Man kann das so formalisieren: Anstatt Xi f oder g beobachten wir die Zufallsvariablen Yi = Xi + µ, wobei µ unbekannt ist. (i)Welche möglichen Verteilungen hat dann (Y1 , Y2 ) unter H0 und welche unter H1 ? Bezeichnen wir die beiden Mengen der möglichen Verteilungen (oder Wahrscheinlichkeitsmaÿe) mit (ii)Finde eine Gruppe von Transformationen, bezüglich der P0 und P1 P0 und P1 . invariant sind und formuliere das invariante Testproblem. (iii)Ist obiges Testproblem ein Strukturmodell? (iv)Finde eine maximalinvariante Statistik hat T T zur Transformationsgruppe aus b). Welche Bedeutung bei der Konstruktion des gleichmäÿig besten invarianten Tests? (v)Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test. 2.17 Betrachte einen Test Wenn 2.18 ϕ ϕ für H0 : P gegen H1 : Q mit Fehler erster Art ein bester Test (Skriptum Def. 2.8) ist, dann gilt H0 : P Angenommem wir wollen einen schlechtesten Test für Test ϕ∗ schlechtesten Test, falls es keinen Test ψ α und Fehler 2. Art β. Zeige: α + β ≤ 1. gegen H1 : Q nden. Wir nennen einen gibt mit ˆ ˆ ϕ∗ dP ≤ ψ dP, ˆ ˆ ∗ ϕ dQ > und ψ dQ. (Vergl. mit der Def. 2.8 aus dem Skriptum für beste Tests.) Zeige: Wenn Niveau 2.19 ϕ ein bester Test zum Niveau 1−α ist, dann ist ϕ∗ = 1 − ϕ ein schlechtester Test zum α. (i)Wie lautet der schlechteste Test in 2.8? (Siehe Bsp. 2.18.) Zeichne die eziente Randfunktion h(α) = ´ Funktion ϕα dQ für´ den besten Test zum Niveau α aus Beispiel 2.8. Zeichne dann eine analoge h∗ (α) = ϕ∗α dQ für die schlechtesten Tests ein und markiere den Bereich, der durch beide Kurven begrenzt wird. (ii)Welche Tests im markierten Bereich aus a) sind beste Tests? (α, β) im markierten Bereich kann man einen Test mit Fehler erster Art α und 1 − β konstruieren. Finde ein Konstruktionsverfahren für solche Tests! Wie groÿ n wählen, um bei α = 0, 05 eine Güte h(α) = 0, 95 zu erhalten? (iii)Zu jedem Punkt Fehler zweiter Art muÿ man Hinweis: Den ersten Teil der Lösung kann man dem Skriptum Bsp. 2.16 entnehmen.) ( 2.20 Löse Aufgabe 2.19, wenn die Alternative die Dichte 2.21 Manchmal ist die Hypothese von Interesse, dass Erwartungswert und Varianz von normalverteilten g(x) = 3x2 (0 ≤ x ≤ 1) hat. Zufallsgröÿen in einem bestimmten Zusammenhang stehen. Wir betrachten daher Hypothesen der Form, X1 , . . . , Xn dass θ > 0.) dass für ein bestimmtes a nach N (µ = θ, σ 2 = aθ) verteilt sind. (Natürlich setzen wir voraus, X1 , . . . , Xn Xi ∼ N (θ, 2θ))? (i)Wie lautet der beste Test beruhend auf den Beobachtungen a=1 (also Xi ∼ N (θ, θ)) gegen H1 : a = 2 (also (ii)Angenommen die betrachteten Verteilungen sind von der Form analog zu a) den besten Test für H0 : a = 1 gegen H1 : a = 2. zu den Hypothesen N (µ = θ, σ 2 = aθ2 ). H0 : Berechne 2 2.22 BINÄRE EXPERIMENTE X1 , X2 H1 : θ = 1/8 zu 21 Angenommen sind unabhängig und gleichverteilt auf dem Intervall gegen testen betrachten wir zwei Tests: ( 1 ϕ1 (X1 ) = 0 ( 1 ϕ2 (X1 , X2 ) = 0 Berechne C sodass, ϕ1 und ϕ2 H0 : θ = 0 X1 > 0.95 sonst. falls X1 + X2 > C sonst. ϕ2 ist der Fehler zweiter Art kleiner als bei ϕ1 . (Mit der Konstanten aus (a).) (ii)Können Sie einen besseren Test als 2.23 Um den gleichen Fehler erster Art haben. (i)Beweise oder widerlege: Bei C falls (θ, θ + 1). X Y = X 2θ ϕ2 nden? (Mit gleichem oder kleinerem Fehler erster Art.) f (x) = 1 Angenommen hat die Dichtefunktion riablen liegt eine Beobachtung vor. (i)Finde den besten Test zum Niveau für α = 0.1 0≤x≤1 für und H0 : θ = 1 f (x) = 0 gegen sonst. Von der Zufallsva- H1 : θ = 2 aufgrund dieser Beobachtung. (ii)Berechne den Fehler zweiter Art für diesen Test. 2.24 Es wäre ein Miÿbrauch von Tests zum Niveau α, wenn man α so wählt (nachdem man die Daten gesehen hat), dass die Nullhypothese auf jeden Fall abgelehnt (oder angenommen) wird. Um zu sehen was die wahren Fehler erster und zweiter Art bei so einer Vorgehensweise sind, berechne α− und β− Fehler für folgende triviale Tests: (i)Lehne H0 immer ab, egal welche Daten beobachtet wurden. (Äquivalent zur Praxis α so zu wählen, dass eine Ablehnung erzwungen wird.) (ii)Nimm H0 immer an, egal welche Daten beobachtet wurden. (äquivalent zur Praxis α so zu wählen, dass eine Annahme erzwungen wird.) 2.25 Eine Stichprobe X1 , . . . , Xn optimalen Test zum Niveau 2.26 wird einer α = 0.05 für N (µ, θ)-verteilten Population entnommen. Konstruiere H0 : θ = 1 gegen die Alternative H1 : θ = 2. einen Von einer Population kennt man die Dichtefunktion f (x, θ) = wobei θ > 0. Basierend auf einer Stichprobe (i)Konstruiere einen kritischen Bereich Hinweis: G θxθ−1 0 X1 , X2 x ∈ [0, 1], sonst, wollen wir zum Niveau 0.05 H0 : θ = 2 gegen H1 : θ = 3 testen. mit maximaler Power. Der kritische Bereich besteht aus all jenen Ereignissen, die unter der Nullhypothese abgelehnt werden. Die Gleichung k 2 (1 − 2 log(k)) = 0.95 hat die näherungsweise Lösung k = 0.84. (ii)Berechne unter obigen Bedingungen die Güte der Alternative. 3 2.27 EINFACHE ALTERNATIVEN 22 Eine Zufallsgröÿe sei exponentialverteilt ( f (x, θ) = und X1 , . . . , XN zufällige Stichproben. H1 : θ = 2. 1 −x θ θe x≥0 0 sonst Finde den optimalen Test zu den Hypothesen H0 : θ = 1 gegen die Alternative Hinweis: Mit Hilfe der Faltung berechnet man als ersten Schritt leicht die Dichte von X1 + X2 , ebenso leicht als nächsten Schritt die Dichte von 2.28 Eine Zufallsvariable sei binomialverteilt X1 + X2 + X3 und dann verallgemeinert für B(n, θ). (i)Konstruiere einen gleichmäÿig optimalen Test zum Niveau gegen die Alternative X1 + · · · + XN . α für die Hypothese H0 : θ ∈ [0, θ0 ] H1 : θ ∈ (θ0 , 1]. (ii)Führe folgendes Experiment durch: Wirf eine Münze mindestens 20 mal und notiere jeweils den Ausgang (Kopf oder Zahl). Teste zum Niveau und α = 0.05 obige Hypothesen für θ0 = 0.4, θ0 = 0.5 θ0 = 0.6. 2.2 Bayes Tests 2.29 Bei welchen Verlusten für die fälschliche Ablehnung von H0 und H1 ist der der Test aus 2.9 ein Bayes- Test? 2.30 Bestimmen Sie den Bayes-Test zu Beispiel 2.8 für λ = 1, λ = 0.4 und λ = 0.5 und berechnen Sie jeweils Fehler 1. Art und Fehler 2. Art. Interpretieren Sie den Zusammenhang zwischen λ und den resultierenden Fehlern erster und zweiter Art! λ Für welchen Wert von hat der Bayes-Test aus 2.8 einen Fehler 1. Art von 5%? Wie groÿ ist dann der Fehler 2.Art? 2.31 Löse Beispiel 2.30 für das Testproblem aus 2.13. 3 Einfache Alternativen (Skriptum, Kapitel 3.) Ziele: Erkennen der Struktur des Testproblems als Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Bei endlichem Stichprobenraum ist das auftretende Problem mit Methoden der linearen Programmierung lösbar. 3.1 0 und 1. Wir betrachten drei VerteilungsP1 (1) = 0.6, P2 (1) = 0.2 und Q(1) = 0.5. Wir wollen zum Niveau Beobachtung) die Hypothese H0 : P1 oder P2 gegen H1 : Q testen. Ein Zufallsexperiment liefert die zwei möglichen Ergebnisse hypothesen α = 0.1 P1 , P2 und (aufgrund einer Q, wobei (i)Wie lautet das lineare Programm mit dem man den optimalen Test bestimmen kann? (ii)Bestimme den optimalen Test! 3.2 Löse Beispiel 3.1 falls P1 (1) = 0.3, P2 (1) = 0.4 und Q(1) = 0.6. 4 3.3 ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN 23 Betrachten Sie folgende Testprobleme für eine Binomialverteilung H0 : H1a : p = 1 8 1 1 ≤p< 4 2 bzw. zum Niveau α: 1 3 <p≤ , 2 4 oder H1b : p = B(1, p) 7 8 bzw. H1c : p = 1 . 2 (i)Wie lauten die linearen Programme für die 3 Testprobleme? (ii)Ermittlen Sie graphisch den jeweils besten Test. αNiveau Tests gegen H1a und H1b H 0 1a : p ∈ [0, 1/4) bzw. H 0 1b : p ∈ (3/4, 1] sind. (iii)Verizieren Sie, dass die besten Niveau Tests gegen (iv)Finden Sie die zu H1a bis H1c auch gleichmäÿig beste α gehörigen ungünstigsten a-priori Verteilungen. (I.e. die Lösungen der dualen Optimierungsaufgabe.) 4 Zusammengesetzte Alternativen 4.1 Begrie Ziel: Begrie üben: Test zum Niveau α, unverfälscht, zulässig. 4.1 Unter den Annahmen von Beispiel 2.22 aber für die Hypothesen (i)Prüfe ob 4.2 ϕ1 und ϕ2 (mit C aus 2.22) Tests zum Niveau (ii)Sind ϕ1 und ϕ2 unverfälschte Tests zum Niveau (iii)Sind ϕ1 und ϕ2 zulässige Tests? H0 : θ ≤ 0 α = 0.05 gegen H1 : θ > 0: sind! α = 0.05? Pθ mit Pθ ({1}) = · · · = Pθ ({5}) = θ, (Pθ ({6}) = 1 − 5θ) und dazu die H0 : θ = 1/6, H1 : 1/10 < θ < 1/6. Betrachte nochmals die Tests ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 aus Beispiel Gegeben die Verteilungen Hypothesen 2.4. (i)Prüfe ob (ii)Sind ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ϕ1 , ϕ2 und ϕ3 Tests zum Niveau α = 0.05 sind! unverfälschte Tests zum Niveau α = 0.05? (iii)Sind die Tests zulässig zu Ihrem jeweiligen Niveau? 4.3 Führe nochmals das Münzwurfexperiment von Bsp 5b des 2. Übungsblattes durch, teste nun jedoch zweiseitig, ob die Münze fair ist. 4.4 Eine Stichprobe X1 , . . . , Xn wird einer N (µ, σ 2 )-verteilten Population entnommen, wobei die Varianz bekannt sei. (i)Konstruiere einen gleichmäÿig besten einseitigen Test zum Niveau die Alternative α = 0.1 (ii)Konstruiere einen gleichmäÿig besten unverfälschten Test zum Niveau µ=1 für H0 : µ ≤ 0 gegen H1 : µ > 0. gegen die Alternative µ 6= 1. α = 0.1 für die Hypothese 4 4.5 ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN 24 Eine Zufallsgröÿe sei Poisson verteilt f (x, θ) := und X1 , . . . , XN H0 : θ < 4 gegen Hinweis: θx −θ e x ∈ N, x! seien zufällige Stichproben. Finde den gleichmäÿig besten Test zu den Hypothesen die Alternative H1 : θ ≥ 4. Beachte, dass die Summe unabhängiger Poissonverteilter Zufallsgröÿen wiederum Poisson verteilt ist (zu welchem Parameter?). 4.6 Eine Stichprobe 0.2, 2.6, 1.1, -0.1, -1.3, 0.4, 1.7, 0.6 entstamme einer (i)Wie lautet der gleichmäÿig beste einseitigen Test zum Niveau Alternative H1 : µ > 0. N (µ, σ 2 )-verteilten α = 0.05 für Population. H0 : µ ≤ 0 gegen die Wie lautet die Teststatistik? Wird die Nullhypothese für die vorliegenden Daten beigehalten? (ii)Führe den zweiseitigen Test für die Hypothese 4.7 µ=0 (i)Teste für die Stichprobe aus Beispiel 1 die Hypothese gegen die Alternative H0 : σ ≤ 1 µ 6= 0 durch. gegen die Alternative H1 : σ > 1. (Wie lautet der beste unverfälschte Test)? (ii)Welche Power hat der Test gegen die Alternative 4.8 H2 : σ = 2? Betrachte die Stichprobe aus Beispiel 1 und eine zweite Stichprobe 0.8, -1.2, -1.8, 0.6, 0.1, -0.3. Wir nehmen an beide Stichproben entstammen einer normalverteilten Population. (i)Teste auf Gleichheit der beiden Mittelwerte. (ii)Teste auf Gleichheit der Varianzen. (iii)Angenommen es ist bekannt, dass beide Verteilungen den Mittelwert µ=0 haben. Wie sieht nun der Test auf Gleichheit der Varianzen aus? Bemerkung: Es genügt zum Testen auf Gleichheit der Varianz die in der Vorlesung besprochene Methode der Bestimmung des Ablehnungsbereichs zu wählen (Herleitung des besten unverfälschten Testes ist zu schwierig). 4.2 Familien mit monotonem Dichtequotienten 4.9 4.10 Sind die Tests aus Beispiel 2.21 auch gleichmäÿig beste Tests für Sei fθ (x) = e(x−θ) 1 + e(x−θ) 2 , −∞ < x < ∞, H0 : a = 1 gegen H1 : a > 1? −∞ < θ < ∞, die Dichte einer logistischen Verteilung. (i)Zeige: Die durch die Dichten (ii)Wie lautet der beste Beobachtung X .) fθ (x) α-Niveau denierte Verteilungsfamilie hat monotonen Dichtequotienten. Test für H0 : θ = 0 (iii)Zeige: Der Test aus b) ist auch gleichmäÿig bester H1 : θ = 1? α = 0.2 ist? gegen Wie groÿ ist der Fehler zweiter Art, wenn α-Niveau Test für (Basierend auf einer H0 : θ ≤ 0 gegen H1 : θ > 0 . 4 4.11 ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN Gegeben eine Beobachtung X 25 von einer Cauchy-Verteilung mit Dichte 1 1 , π 1 + (x − θ)2 θ ∈ R. (i)Hat obige Verteilungsfamilie monotonen Dichtequotienten? (ii)Zeige, dass der Test ( ϕ(x) = ein bester Test für H0 : θ = 0 gegen 1 0 1 < x < 3, falls sonst. H1 : θ = 1 zu seinem Niveau ist. Welchen Fehler erster und zweiter Art hat dieser Test? (iii)Ist der Test aus b) ein gleichmäÿig bester Test für 4.12 H0 : θ ≤ 0 gegen H1 : θ > 0? Gegeben die Cauchy-Skalenverteilungsfamilie mit Dichten θ 1 , 2 π θ + x2 θ ∈ R. X . Zeige: Die Verteilungsfamile hat keinen monotonen Dichtequotienten (in x). Betrachte jetzt die Verteilungen von |X|. Hat diese Verteilungsfamilie monotonen Dichtequotienten? und dazu eine Beobachtung 4.13 Seien X1 , . . . , Xn [0, θ]. H0 : θ = θ0 gegen H1 : θ 6= θ0 . Testprobleme H0 : θ = θ0 , H1 : θ > θ0 und H0 : θ = θ0 , H1 : θ < θ0 . eine Stichprobe gleichverteilter Zufallsgröÿen auf Finden Sie den gleichmäÿig besten Test für Hinweis: Betrachte zunächst die Vergleichen Sie die resultierenden optimalen Teststatistiken. 4.14 Sei X eine Zufallsvariable mit stetiger streng monotoner Verteilungsfunktion Welche Verteilung hat 4.15 Seien X1 , . . . , Xn F (x) und sei Y = F (X). Y? 1 −(x−µ)/λ für x ≥ µ. λe µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 (λ ist bekannt). unabhängig und exponentialverteilt mit der Dichte Bestimmen Sie den gleichmäÿig besten Test für H0 : µ = Hinweis: Verwenden Sie, dass nach Bsp. 4.14 Ui = F (Xi ) gleichverteilt ist. Dann kann man Bsp. 4.13 verwenden. 4.16 Sei α die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für ϕ aus Beispiel 2.9. Ist ϕ ein gleichmäÿig bester Test α für die Hypothese H0 : λ ≤ 1 gegen die Alternativhypothese H1 : λ > 1? (Begründung!) zum Niveau 4.17 X1 , X2 , . . . , X8 mit Wahrscheinlichkeitsfunkf (x, θ) = θx (1 − θ)1−x , für x ∈ {0, 1}, null sonst. Wir betrachten die Hypothesen H0 : θ = 1/3 und P8 H1 : θ < 1/3. Berechne die Gütefunktion G(θ) des Tests, der H0 genau dann ablehnt, falls i=1 Xi ≤ 1 Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe der Gröÿe 8: tion ist. Hinweis: Die Xi sind Bernoulliverteilt. Welche gutbekannte Verteilung hat 4.18 P Xi ? X1 , X2 , . . . , X5 mit Wahrscheinlichkeitsfunkf (x, θ) = θx (1 − θ)1−x , für x ∈ {0, 1}, null sonst. Wir betrachten die Hypothesen H0 : θ = 1/2, H1 : θ < 1/2 und den Test, der P5 P5 H0 genau dann ablehnt, falls i=1 Xi ≤ c ist. c ist eine Konstante. ( i=1 Xi ist binomialverteilt.) Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe der Gröÿe 5 tion (i)Zeige: Der oben beschriebene Test ist ein gleichmäÿig bester Test. (ii)Finde das Signikanzniveau (iii)Finde das Signikanzniveau α, α, c = 1. c = 0. dass α = 1/10. falls falls (iv)Randomisiere den obigen Test so, 4 4.19 ZUSAMMENGESETZTE ALTERNATIVEN 26 X1 , . . . , X4 mit Dichte 1/θ, 0 < x < θ, null sonst. Wir H0 : θ = 2 und H1 : θ 6= 2. Berechne die Gütefunktion G(θ) des Tests, der falls max1≤i≤4 Xi kleiner gleich 3/4 oder gröÿer 2 ist. Gegeben eine (unabhängige) Zufallsstichprobe betrachten die Hypothesen H0 genau dann ablehnt, 4.3 Exponentialfamilien Ziel: Bekannte Verteilungsfamilien als Exponentialfamilien identizieren. Warum sind Exponentialfamilien in der Statistik wichtig? (Welche (für das Ableiten optimaler Tests) günstige Eigenschaften haben Sie?) (VO Abschnitt 4.2.) 4.20 Bezüglich welcher (natürlicher) Parameter sind die folgenden Verteilungsfamilien bei festen anderen Parametern Exponentialfamilien? •fΓ (x|α, β) = αβ β−1 −αx e ; Γ(β) x (x > 0; α > 0, β ≥ 1) •fExp (x|µ, λ) = λ1 e−(x−µ)/λ ; •fE (x|λ, n) = Γ-Verteilung (x > µ, λ > 0) Exponential-Verteilung (λx)n−1 −λx (n−1)! λe Erlang-Verteilung Γ(α+β) α−1 •fB (x|α, β) = Γ(α)Γ(β) x (1 − x)β−1 ; (0 ≤ x ≤ 1, α ≥ 1, β ≥ 1) n x •f (x|θ) = θ (1 − θ)n−x ; x ∈ N0 , 0 < θ < 1 k •f (x|α, γ) = α γ α+1 γ (x) Beta-Verteilung Binomial-Verteilung (x > γ) Pareto-Verteilung 4.21 Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen Erlang und Exponentialverteilung her. 4.22 Bildet das Produkt von n Normalverteilungsdichten mit bekanntem Mittelwert µ0 und unbekannter σ 2 eine Exponentialfamilie? Wie lautet der zugehörige natürliche Parameter θ und die zugehörige Statistik T (x)? Varianz 4.23 Die Gammaverteilung hat die Dichte fΓ (x|α, β) = Zeige dass sowohl für α als auch für β αβ β−1 −αx x e ; Γ(β) x > 0; α > 0, β ≥ 1. eine einparametrige Exponentialfamilie vorliegt, wenn der jeweils andere Parameter festgehalten wird. Wie lautet der entsprechende natürliche Parameter zugehörige Teststatistik θ sowie die T (x). Zeige explizit, dass ein monotoner Dichtequotient vorliegt. 4.4 Beste unverfälschte Tests 4.24 Ist der Test aus 2.9 unverfälscht? 4.25 Tn /σ 2 sei χ2 verteilt mit n Freiheitsgraden. Finden Sie für die Hypothesen H0 : σ 2 = 1 , H1 : σ 2 6= 1 αNiveau Test (α = 0.1). Wie groÿ muÿ n sein σ 2 ≤ 1/2 mindestens 0.9 beträgt? Könnte man n kleiner Tests zum Niveau α betrachten? den besten unverfälschten für σ 2 ≥ 3/2 unverfälschte und damit die Macht gleichzeitig wählen, wenn wir auch nicht 5 4.26 LINEARE MODELLE 27 Gegeben unabgängige Beobachtungen X1 , . . . , Xn N (µ0 , σ 2 ) verteilt nach wobei µ0 bekannt sei. Finde den gleichmäÿig besten unverfälschten Test zu H0 : σ 2 = 2 , H1 : σ 2 6= 2 für 4.27 α = 0.05 und n = 12. Zeigen Sie: Jeder gleichmäÿig beste unverfälschte Test zum Niveau 4.28 α ist zulässig. 1 1 4 gegen H1 : p 6= 4 testen. Bestimme den Annahmebereich des gleichmäÿig besten unverfälschten Tests im Falle n = 12 und Wir wollen aufgrund einer binomialverteilten Zufallsgröÿe die Hypothesen H0 : p = α = 0.05. 4.29 Bei einem Versuch wurden 15 Realisierungen unabhängiger Poissonverteilter Zufallsgröÿen (mit Parameter λ) ermittelt. Man möchter H0 : λ = 0.6 gegen H1 : λ 6= 0.6 testen. Lehnt der UMPU (gleichmäÿig P α = 0.05 ab, falls die Summe der 15 Realisierungen xi = 3 beste unverfälschte) Test zum Niveau beträgt? (Hinweis: Die Summe Poissonverteilter Zufallsgröÿen ist wieder Poissonverteilt. (Aber mit welchem neuen Parameter 5 λ?)) Lineare Modelle Skriptum: Kapitel 4. 5.1 Invariante Tests Ziele: Begrie verstehen: Invariante Testprobleme und Statistiken, Strukturmodell, maximalinvariante Statistiken. Rolle von maximalinvarianten Statistiken zur Konstruktion bester invarianter Tests. 5.1 Wir betrachten nochmals Aufgabe 2.15 haben jetzt aber zwei (unabhängige) Beobachtungen mit Verteilung aus 2.15 aber mit unbekanntem Mittelwert. Man kann das so formalisieren: Anstatt beobachten mit Dichte f oder g beobachten wir die Zufallsvariablen Yi = Xi + µ, wobei Xi (i = 1, 2) µ unbekannt ist. (a) Welche möglichen Verteilungen hat dann (Y1 , Y2 ) unter H0 und welche unter H1 ? Bezeichnen wir die beiden Mengen der möglichen Verteilungen (oder Wahrscheinlichkeitsmaÿe) mit P0 und P1 . (b) Finde eine Gruppe von Transformationen, bezüglich der P0 und P1 invariant sind und formuliere das invariante Testproblem. (c) Ist obiges Testproblem ein Strukturmodell? (d) Finde eine maximalinvariante Statistik hat 5.2 T T zur Transformationsgruppe aus b). Welche Bedeutung bei der Konstruktion des gleichmäÿig besten invarianten Tests? Löse Beispiel 5.1 für den Fall, dass der Mittelwert der Beobachtungen bekannt ist (o.B.d.A null) aber die Varianz unbekannt. Man kann das analog so formalisieren: Anstatt Zufallsvariablen Yi = σXi , wobei σ unbekannt ist. Xi (i = 1, 2) beobachten wir die 5 5.3 LINEARE MODELLE 28 Löse Beispiel 5.1 für den Fall, dass mit Dichte g(x) = X1 und X2 entweder standardnormalverteilt sind oder Cauchyverteilt 1 1 π 1+x2 . 5.4 Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.1 (mit Fehler erster Art α = 0.05)! 5.5 Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.3 (mit Fehler erster Art α = 0.01)! 5.6 Finde den gleichmäÿig besten invarianten Test zu Beispiel 5.3, aber mit f als Dichte der doppelten Exponentialverteilung (und nicht als Dichte der Standardnormalverteilung). Wähle den Fehler erster Art 5.7 α = 0.01! Erklären Sie in eigenen Worten: Welche Eigenschaft ergibt sich aus dem Satz von Hunt-Stein (Skriptum Satz 4.16) für die in 5.4 und 5.5 abgeleiteten Tests? 5.8 Man betrachte die Gruppe aller Transformationen πσ [(x1 , . . . , xn )] = (σx1 , . . . , σxn ) auf der Stichprobe (x1 , . . . , xn ). Eine Statistik T (x1 , . . . , xn ) heiÿt invariant bezüglich π, falls T (π[x1 , . . . , xn ]) = T (x1 , . . . , xn ). (a) Ist ( ( xx12 , . . . , xxn1 ) T (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0) für für x1 = 6 0, x1 = 0 invariant? 1 (b) Ist Pn T (x1 , . . . , xn ) = √n1 n 5.9 i=1 Pn xi i=1 x2i invariant? Zeige, dass die Menge aller Permutationen πs [(x1 , . . . , xn )] = (xs(1) , . . . , xs(n) ) (s : bijektiv {1, . . . , n} → {1, . . . , n}) eine Gruppe bildet. 5.10 Man betrachte die Rangstatistik (x1 , . . . , xn ) T (x1 , . . . , xn ) = (r1 , . . . , rn ) (ri = j falls xi das ist. Gleiche Elemente bekommen den gleichen Rang.) (a) Man betrachte die Gruppe aller Transformationen πF [(x1 , . . . , xn )] = (F (x1 ), . . . , F (xn )) . Dabei sei F eine beliebige streng monoton wachsende Funktion Ist T bezügliche dieser Gruppe invariant? (b) Ist T bezüglich der Gruppe aller Permutationen πs [(x1 , . . . , xn )] = (xs(1) , . . . , xs(n) ) R → R. invariant? (s : bijektiv {1, . . . , n} → {1, . . . , n}) j kleinste Element von 5 5.11 LINEARE MODELLE 29 Man betrachte die Statistik T (x1 , . . . , xn ) = x(n) − x(1) (Spannweite) (a) Ist T bezüglich der Gruppe aller Permutationen invariant? (siehe Bsp. 5.10) (b) Ist T bezüglich der Lagertransformationen πµ [(x1 , . . . , xn )] = (x1 + µ, . . . , xn + µ) µ ∈ R invariant? 5.12 5.13 Welche Statistiken aus 5.8, 5.10 und 5.11 sind maximalinvariant? X1 , . . . , Xn und Y1 , . . . , Yn jeweils aus den Verteilungen H0 : τ 2 = σ 2 gegen H1 : τ 2 6= σ 2 ist invariant bezüglich der Gegeben sind zwei (unabhängige) Stichproben N (ξ, σ 2 ) und N (η, τ 2 ). Das Testproblem durch die Transformationen Xi0 = aXi + b, Yi0 = aYi + b, Xi0 = Yi , und (a 6= 0), Yi0 = Xi G invariante Test lehnt H0 Pn Pn 2 2 i=1 (Xi − X̄) i=1 (Yi − Ȳ ) P P , . W = max n n 2 2 i=1 (Xi − X̄) i=1 (Yi − Ȳ ) erzeugten Gruppe. Zeige: Der gleichmäÿig beste, unter Hinweis: Der Quotient der Dichten von W τ 2 /σ 2 = ∆ und τ 2 /σ 2 = 1 n−1 n−1 1+w 1+w + , ∆+w 1 + ∆w falls w ≥ 0. unter Die Ableitung des obigen Ausdrucks ist für alle ab, falls W ≥k mit ist proportional zu ∆ ≥ 0. 5.2 p-Werte 5.14 Wir untersuchen das Testproblem normalverteilter (N (µ, σ 2 )) H0 : µ ≤ 0, H1 : µ > 0 T = und den Test, der H0 ablehnt, falls (a) Welche Verteilungsfunktion T Fµ hat T Wir untersuchen das Testproblem 1 − exp(−x/λ). c n=4 µ? ? und σ = 1, H0 : λ ≤ 1, H1 : λ > 1 für µ = −1/4, µ = 0 H0 ablehnt, falls (a) Welche Verteilungsfunktion T einen kritischen Wert Fλ hat (b) Welche Verteilung hat der p-Wert T (c) Skizziere die Dichte des p-Werts für c überschreitet. in Abhängigkeit von 1 − F1 (T ) λ = 1/2 bzw. für µ = 1/2! für eine exponentialverteilte Zufallsgröÿe Betrachte die Statistik T =X und den Test, der unabhängiger überschreitet. in Abhängigkeit von 1 − F0 (T ) (c) Skizziere die Dichte des p-Werts bei mit Verteilung X1 , . . . , Xn X̄ σX̄ einen kritischen Wert (b) Welche Verteilung hat der p-Wert 5.15 für eine Stichprobe Zufallsgröÿen mit bekannter Varianz. Betrachte die Statistik λ? ? bzw. für λ = 1/2! X 5 LINEARE MODELLE 30 5.3 Multiples Testen Skriptum: Abschnitt 4.1 5.16 Ein den Blutdruck senkendes Medikament besteht unseren Kontrolltest, wenn die mittlere Blutdrucksenkung 1 Stunde nach der Einnahme mindestens 20 beträgt. Zu fünf Medikamenten wurde jeweils an 10 Patienten die Blutdruckdierenz (vorher minus nachher) gemessen. Es ergaben sich folgende Ergebnisse: Medikament 1 2 3 4 5 25 29 32 31 24 3 3 4 4 2 Wirkung Mittel sx̄ Wir wollen aufgrund obiger Daten die 5 Medikamente testen. Dabei ist jeweils µ > 20. H0 : µ ≤ 20 und H1 : Wir nehmen dazu an, dass die Beobachtungen Realisierungen normalverteilter Zufallsgröÿen sind. (a) Teste die 5 Medikamente! (Mittels Standard-t-Test jeweils zum Niveau α = 0.05.) (b) Fasse nun obige 5 Tests als eine einzige multiple Testprozedur auf. Hält diese Prozedur das multiple Niveau α = 0.05? Erklären Sie in eigenen Worten, was Halten des multiplen Niveaus im Zusammenhang unseres Beispiels bedeutet. (c) Führen Sie den multiplen Test nach Bonferroni zu obigen Daten durch. Welche Medikamente bestehen nun unseren Kontrolltest? (Vgl. mit a.) (d) Welche Medikamente bestehen den Kontrolltest, wenn Holm's multipler Test durchgeführt wird? α (e) Welches multiple Niveau hat die Testprozedur aus a? Bei welchem Niveau ellen Tests beträgt das multiple Niveau genau 5.17 Löse Aufgabe 5.16 für das multiple Niveau α = 0.1 γ für die individu- α = 0.05? mit folgenden Meÿergebnissen: Medikament Wirkung Mittel sx̄ 5.18 5.19 1 2 3 4 5 23 28.5 30 25.5 24 1 3 4 2 2 Beweise das Abschluÿtestprinzip. k Populationen H0,i,j : µi = µj , H1,i,j : µi 6= µj für Wie kann man Holm's Test als Spezialfall des Abschluÿtestprinzips herleiten, wenn für alle paarweisen Mittelwertsdierenzen von Interesse sind? (D.h. i 6= j .) 5.20 Gegeben drei Populationen mit (unbekannten) Mittelwerten Hypothesen abgeschlossen? Wenn nicht bilde den Abschluÿ! (a) H0 : µ1 = µ2 , H0 : µ1 = µ3 . (b) Alle paarweisen Vergleiche (c) H0,ij : µi = µj . (i 6= j ). H0 : µ1 = µ2 , H0 : µ1 = µ2 = µ3 . µ1 , µ2 , µ3 . Sind folgende Familien von 6 SCHÄTZMETHODEN 31 5.4 Asymptotischer Vergleich von Tests 5.21 Löse Beispiel 4.4 des Skriptums, wenn die konkurrenzierenden Teststatistiken Stichprobenmedian und arithmetisches Mittel sind. Wie groÿ ist die ARE für den Mediantest im Vergleich zum Test, der das arithmetische Mittel verwendet? Hinweis: Für u.i.v. Zufallsgröÿen mit Verteilungsfunktion F √ n(Mn − F −1 (1/2)) → N (0, [2f (F −11(1/2))]2 ) Mn : 5.22 und stetiger Dichte f gilt für den Median in Verteilung. Wir wollen die Mittelwerte zweier Populationen mit Verteilung F (x − θ1 ) bzw. von gepaarten Stichproben vergleichen. Berechne die ARE für die Teststatistik F (x − θ2 ) aufgrund X̄1 − X̄2 gegen den Vorzeichentest für (a) F gleich der Standardnormalverteilung. (b) Löse a) auch für den Fall, dass die Varianz bekannt ist und statt dem t-Test der Normalverteilungstest verwendet wird. 6 Schätzmethoden (Skriptum: Kapitel 5) 6.1 Seien X(1) , X(2) und X(3) die Ordnungsstatistiken einer (unabhängigen) Zufallsstichprobe der Gröÿe 3 aus der Gleichverteilung auf [θ, 1 + θ]. (a) Berechnen Sie die Dichte von T := (X(1) + X(3) )/2. Wie kann man aus T einen Schätzer für θ konstruieren? (b) Berechnen Sie die Dichte des Medians X(2) Wie kann man aus X(2) einen Schätzer für θ kon- struieren? (c) Dasselbe für das Minimum X(1) . (d) Dasselbe für das arithmetische Mittel (X1 + X2 + X3 )/3. (e) Welcher der Schätzer ist aufgrund obiger Überlegungen am besten? 6.2 Berechnen Sie die Fisher-Information für (a) N (0, σ 2 ). (b) Poisson (c) 6.3 (λ). B(n, p), n. fest (fϑ (x)) = f (x − ϑ) Zeigen Sie, dass für eine Lageparameterfamilie hängig von ϑ 6.4 Sei 6.5 Finden Sie eine Funktion ξ = g(ϑ) die Fisher-Information ist. und ϑ = h(ξ) = g −1 (ξ). ξ = g(p) Man zeige: derart, dass I(ξ) = I(h(ξ)).(h0 (ξ))2 I(ξ) für eine B(n, p)-Verteilung konstant ist. I(ϑ) unab- 6 SCHÄTZMETHODEN 32 6.6 (a) Für das Binomialmodell Beta(a, b) (b) Wählen Sie 6.7 Es sei f (x) B(n, p) mit der Dichte a und b nde man den Bayes-Schätzer in bezug auf die Vorbewertung Γ(a+b) a−1 (1 − p)b−1 . Γ(a)Γ(b) p so, dass dieser Bayes-Schätzer konstantes Risiko hat. die Dichte einer ZV X. Der Quartilsabstand der Verteilung ist deniert durch S(0.5) = x(0.75) − x(0.25) wobei x(p) als Lösung der Gleichung p= ´ x(p) −∞ f (x)dx deniert ist. Man bestimme mittels der Substitutionsmethode eine Schätzung für S(0,5) . Unterscheidet sich dieser Schätzer vom üblichen Quartilsabstand der deskriptiven Statistik? 6.8 (Getrimmtes Mittel) Für eine Verteilung mit Dichte µα = 1 1−α ˆ f (x) sei der Parameter µα durch x(1−α/2) xf (x)dx x(α/2) deniert. (x(p) wie in Bsp. 6.7) Man zeige, dass für 6.9 µα ein Lageparameter ist und bestimme mit der Substitutionsmethode eine Schätzung µα . Man bestimme den Maximum-Likelihood Schätzer für der Dichte ( fγ (x) = 6.10 Man bestimme den Momentschätzer für ( f (y) = α γ von gleichverteilten zufälligen Variablen mit 1 γ − 12 ≤ x ≤ γ + 0 sonst. und β 1 2 , der Betaverteilung mit der Dichte Γ(α+β) α−1 (1 Γ(α)Γ(β) y − y)β−1 0 0 < y < 1, sonst. Welche Probleme treten bei der Bestimmung des Maximum Likelihood-Schätzers auf ? 6.11 Es seien X1 , X2 , . . . , Xn unabhängige ZV die nach einer Gleichverteilung ( f (x, θ) = 1 θ 0 ≤ x ≤ θ, 0 sonst verteilt sind. (a) Man zeige θ̂ = max(X1 , . . . , Xn ) ist der Maximum Likelihoodschätzer für den Parameter (b) Man bestimme eine Schätzung von 6.12 θ mit der Momentmethode. Man bestimme den Momentschätzer für die Parameter α und β der Gammaverteilung. θ. 6 6.13 SCHÄTZMETHODEN 33 µ und λ der Man bestimme die Maximum Likelihood-Schätzer für die Parameter f (x; µ, λ) = beruhend auf n 1 −(x−µ)/λ e ; λ Exponentialverteilung x > µ, λ > 0 voneinander unabhängigen Beobachtungen. Hinweis: Es ist gleichbedeutend die Likelihood oder den Logarithmus der Likelihood zu maximieren. 6.14 Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige identisch verteilte Beobachtungen mit Dicht die Likelihoodfunktion für folgende spezielle Dichten f (x, h). Man bestimme n = 10: (a) Poissonverteilung f (x, θ) = e−θ θx x! x = 1, 2, . . . . (b) Exponentialverteilung f (x, θ) = e−(x−θ) ; Wie hängt die Likelihoodfunktion von 6.15 X n x ≥ θ. ab? nehme die Werte 1 und 0 mit Wahrscheinlichkeit p bzw. (1−p) an. Es sei bekannt, dass 1/3 ≤ p ≤ 2/3. (a) Finden Sie den MaximumLikelihood Schätzer für p. (b) Man vergleiche den Schätzer aus (a) mit dem Schätzer Ep (T (x) − p) 6.16 2 1 2 hinsichtlich des MSE. (M SEp (T )= T (x) ≡ ). Man berechne den MaximumLikelihood Schätzer zur doppelten Exponentialverteilung: (X1 , . . . , Xn unabhängig, identisch verteilt mit 6.17 (Bei einer Beobachtung). f (x, µ) = 21 e−|x−µ| ). Bei einem neuen Intelligenztest nimmt man an, dass die Ergebnisse normalverteilt sind mit unbekanntem Mittelwert µ und Varianz 10. Unter der Annahme einer Gleichverteilung im Intervall (90,110) als Aprioriverteilung für µ und 20 unabhängigen identisch verteilten Beobachtungen zeige man, dass für die Posterioriverteilung gilt: 2 1 1 p(µ|x) = √ e−(x̄−µ) 110−x̄ 90−x̄ π Φ( √ ) − Φ( √ ) 1/ 2 wobei x̄ 90 < µ < 110 1/ 2 den Mittelwert der zwanzig Beobachtungen bedeutet. Man bestimme den BayesSchätzer für µ. 6.18 Die Zeiten eines 100 yard Läufers seien gleichverteilt im Intervall gleichwahrscheinlichen Fälle α = 9.5 oder 9.7 Man bestimme die Posterioriverteilung, wenn man eine Laufzeit von 6.19 (α; 10.5). Es seien P λ f (x1 , . . . , xn |λ) = Q xi xi ! 10.0 e−nλ (Poissonverteilung) als LikelihoodFunktion und p(λ) = 1 m + 1 m+1 m −(m+1)λ/λ0 ( ) λ e m! λ0 (γ Verteilung) als apriori Verteilung gegeben. Man bestimme den Bayesschätzer für λ Für α seien die beiden möglich. gestoppt hat. 6 6.20 SCHÄTZMETHODEN Es seien 3n 34 Beobachtungen X1 . . . Xn , Y1 . . . Yn , Z1 . . . Zn σ2 alle mit gleicher Varianz (unbekannt) ge- geben. Es gelte E(Xi ) = m1 E(Yi ) = m2 Man bestimme die kleinste Quadratschätzung für 6.21 m1 , m2 = θ1 = −θ1 = −2θ2 Man bestimme die kleinsten Quadratschätzungen für Seien X1 , . . . , Xn σ2 . für E(X 2 ) < ∞ Pn i 1 2 σ (X̄n = n i=1 Xi ). Man zeige, dass + θ2 + θ2 + θ3 θ1 , θ2 , θ3 + + θ3 θ3 sowie die Schätzung von σ2 . unabhängige zufällige Variable, die alle dieselbe Verteilung besitzen. Man zeige: Wenn 6.23 und die Schätzung für Es seien wieder Beobachtungen wie in Aufgabe 26 gegeben und E(Xi ) E(Yi ) E(Zi ) 6.22 E(Zi ) = m1 + m2 S = √ S 2 ist, dann ist die Schätzung im allgemeinen betrachte unabhängige nach N (a, σ 2 ) 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X̄n )2 nicht erwartungstreu ( ie. biased) für verteilte Variable (n − 1) Freiheitsgraden. √ S betrachte E( σ n − 1) und E(S; σ). Sn2 = X1 , . . . Xn ; σ dann besitzt erwartungstreu ist. Anleitung: Man S2 σ 2 (n − 1) eine χ2 Verteilung mit Man 6.24 Alternativ: Man verwende Jensens Ungleichung. max1≤i≤n (Xi ) ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter T (X1 , . . . , Xn ) = (n+1) n α einer Gleichverteilung auf (0, α) ist. Anleitung: Man betrachte die Verteilungsfunktion F von max(Xi ) Man zeige, dass und nde durch Dierenzieren die Dichte. 6.25 T1 σ22 . T2 Es seien und σ12 Dann ist auch und zwei unabhängige erwartungstreue Schätzungen für einen Parameter Wann ist die Varianz von 6.26 T = (1 − a)T1 + aT2 T erwartungstreu für θ für jedes θ mit Varianzen a. minimal? Xi erwartungstreuer SchätX1 . . . Xn gleichverteilt in (a − 12 , a + 12 ); dann ist W = max Xi +min 2 a. Anleitung: Man betrachte die Verteilungsfunktion von max Xi und nde die Dichte durch Es seien zer für Dierenzieren. 6.27 Es seien X1 . . . Xn Zufallsvariable mit E(Xi ) = µ (a) Man nde eine Bedingung für die ai und VarXi = ki σ 2 . Es sei P ai Xi ein Schätzer für µ. derart, dass der obige Schätzer erwartungstreu wird. (b) Unter der Bedingung aus a) bestimme man die ai so, dass die Varianz des Schätzers minimal wird. 6.28 µ zu einer Stichprobe von n normal N (µ, 1) verteilten Zufallsgröÿen, µ die Standardnormalverteilung ist und (wie im Skriptum) die quadratische Berechne den Bayes-Schätzer für wenn die Vorbewertung für Verlustfunktion gewählt wird. 6.29 6 SCHÄTZMETHODEN Sei f (x, θ) = θ1 I[0,θ] 35 die Dichte zu einer Beobachtung X. (a) Nach der ChapmanRobbins Ungleichung läÿt sich die Varianz eines beliebigen erwartungstreuen Schätzers T durch Vθ0 T ≥ supθ∈Θ0 abschätzen. Dabei ist (θ − θ0 )2 { V ar}θ0 Lθ0 ,θ Θ0 = {θ ∈ Θ \ {θ0 }|Pθ Pθ0 } ( Lθ0 ,θ = und f (x,θ) f (x,θ0 ) falls 0 sonst f (x, θ0 ) > 0 , der LikelihoodQuotient. Berechnen Sie die ChapmanRobbinsSchranke für unser Beispiel. (b) Nach Aufgabe (30) Berechnen Sie (n = 1) { V ar}θ0 T ist T (x) = 2x ein erwartungstreuer Schätzer für θ0 . in diesem Fall. (c) Nach dem Satz von Rao hat ein erwartungstreuer Schätzer T genau dann gleichmäÿig kleinste Varianz (unter allen erwartungstreuen Schätzern), falls gilt: Eθ T ô = 0 ∀θ ∈ Θ, Dabei ist Eθ ô = 0 ∀ô ∈ E. E die Menge aller L2 (Θ) Nullschätzer, d.h. ∀θ ∈ Θ und { V ar}θ ô < ∞ ∀θ ∈ Θ. die Menge aller Funktionen Man beweise mittels des Satzes von Rao die Optimalität (kleinste Varianz) von Man vergleiche nun { V ar}θ0 T Anleitung: man zeige, dass E aus Punkt b). nur Funktionen enthält, die fast überall Null sind. T unter den erwartungtreuen Schätzern optimal, falls auch suzient und vollständig ist. Man verwende diesen Sachverhalt um nachzuweisen, dass im Falle einer Stichprobe mit n Beobachtungen T (X1 , . . . , Xn ) := ein optimaler Schätzer für 6.30 sodass aus b) mit der ChapmanRobbins Schranke. (d) Nach dem Satz von LehmannScheé ist T T ô, θ n+1 max1≤i≤n (Xi ) n ist. Man zeige (a) (b) 1 n P (Xi − µ)2 ist ezient für σ 2 einer Familie N (µ, σ 2 ). P 1 (Xi − X̄)2 ist nicht ezient für σ 2 einer Familie N (µ, σ 2 ). n−1 6.31 Man untersuche ob 6.32 Man bestimme eine eziente erwartungstreue Schätzung für den Parameter 6.33 Man zeige, dass in einer einparametrigen Exponentialfamilie T (X) 1 n P Xi eine eziente Schätzung für ein ezienter erwartungstreuer Schätzer für p einer Binomialverteilung ist. λ einer Poissonverteilung. f (x, θ) = e(c(θ)T (X)+d(θ)+S(x)) 0 (θ) m(θ) = − dc0 (θ) ist. die Statistik 6 6.34 SCHÄTZMETHODEN 36 Gegeben seien die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit Dichte f ( xiσ−µ ). Eine Statistik T ist Lageequivariant, falls gilt: a∈R T (x1 + a, . . . , xn + a) = T (x1 , . . . , xn ) + a Eine Statistik T ist Skalenequivariant, falls T (σx1 , . . . , σxn ) = σ r T (x1 , . . . , xn ) σ > 0 für eine Potenz r. Untersuche, welche der folgenden Statistiken Lage- bzw. Skalenequivariant sind! (a) 1 n Pn xi . 1 n Pn x2i . i=1 (b) T (x1 , . . . , xn ) = (c) T (x1 , . . . , xn ) = min1≤i≤n xi − c . ( x1 fallsx3 ≥ 0 , T (x1 , x2 , x3 ) = x2 fallsx3 < 0 . (d) 6.35 T (x1 , . . . , xn ) = i=1 Gegeben seien die Zufallsvariablen x1 , . . . , x n mit Dichte Lageequivariante Schätzer, der das quadratische Risiko ´∞ T (x1 , . . . , xn ) = ´−∞ ∞ f (x1 − µ, . . . , xn − µ). In diesem Fall Eµ (T − µ)2 minimiert, die Gestalt ufµ=0 (x1 − u, . . . , xn − u) du −∞ fµ=0 (x1 − u, . . . , xn − u) du hat der . Man berechne den (hinsichtlich dieses Kriteriums) optimalen Schätzer im Falle einer Stichprobe unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen mit unbekanntem µ und bekanntem λ. (siehe Bsp. 4.20) 6.36 Seien X1 , . . . , Xn µ = 0 (siehe Bsp. 4.20). Mit T kann man einen optimalen equivarianten Schätzer hinsichtlich 2 ] konstruieren. Es hat die Form: Eλ [ (T −λ) λ2 unabhängig und exponentialverteilt mit equivarianten Statistik schen Risikos T∗ = T X1 n Z = (X ,..., X Xn ). n Pn Wähle T = i=1 Xi und einer Skalen des quadrati- Eλ=1 [T |Z] Eλ=1 [T 2 |Z] mit berechne T ∗! Hinweis: Da T eine suziente und vollständige Statistik ist und zudem Z nicht von λ abhängt folgt, dass T 6.37 und Z unabhängig sind. (Satz von Basu). Was ergibt sich damit für den bedingten Erwartungswert? Zeigen Sie: Die Familie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen ϑ)2 ϑn , n = 0, 1, 2, . . ., 0 < ϑ < 1 f1 , . . . mit Pϑ (0 < ϑ < 1) mit Pϑ ({−1}) = ϑ, Pϑ ({n}) = (1 − f−1 , f0 , ist nicht vollständig, d.h. es existiert eine nicht-triviale Folge ∞ X fn Pϑ ({n}) = 0 ∀ ϑ . n=−1 6.38 Zeigen Sie: Die Familie der Binomialverteilungen B(n, p), 0 ≤ p ≤ 1 ist suzient (und vollständig). 6 6.39 SCHÄTZMETHODEN Seien X1 , . . . , Xn 37 unabhängig und Poisson-verteilt mit Parameter 1 n ist eine suziente Statistik für 6.40 Seien X1 , . . . , Xn n X n Y Xj , j=1 (α, β). bekanntem β . ist suzient für 6.41 Es seienX1 und Xi i=1 unabhängig und Gamma-verteilt (siehe Beispiel 4.20). Zeigen Sie: bei Zeigen Sie: λ. α λ. X2 Speziell ist Qn j=1 Xj n X Xi i=1 suzient für β bei bekanntem α und Pn i=1 ϑ > 0. suzient für durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion bestimmt und unabhängig: f (0, ϑ) = e−ϑ , f (1, ϑ) = ϑe−ϑ , f (2, ϑ) = 1 − e−ϑ − ϑe−ϑ , f (x, ϑ) = 0 wobei Xi Man zeige, dass X1 + X2 nicht suzient für ϑ sonst, ist. 6.42 Man zeige, dass 6.43 Welches der folgenden Modelle ist nichtparametrisch, semiparametrisch, parametrisch? Was sind gege- Pn 1 i=1 Xi weder suzient noch eine konsistente Schätzung für den Parameter n 1 einer Cauchyverteilung mit Dichte f (x) = π[1+(x−µ)2 ] ist. Tn = µ benenfalls die die Parameter? (i)lineare Regression (ii)empirische Verteilungsfunktion als Schätzer für die Verteilungsfunktion (iii)Eine Verteilungsfunktion 6.44 Für die Fisher-Information sind die folgenden Beziehungen oft sehr nützlich: (i)Zeigen Sie die Beziehung " E 2 # ∂2 ∂ l (θ) = E − 2 l (θ) . ∂θ ∂θ Welche Voraussetungen müssen dazu gemacht werden? (ii)Zeigen Sie, dass in diesem Fall auch I (θ) = V ar gilt. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst E ∂ ∂θ l (θ) ∂ l (θ) ∂θ = 0 und benützen Sie obige Aussage, um diese Aussage zu zeigen) 6.45 Beschreiben Sie die Vorgehensweise für das Newton-Raphson Verfahren, oder für das Fisher-scoring am Beispiel der Weibull-Verteilung. 6.46 Take one observation - X - from the distribution: (1 − ϑ)/4 , x = −2 ϑ/12 , x = −1 1/2 , x=0 , 0≤ϑ≤1 P (X = x|ϑ) = (3 − ϑ)/12 , x=1 ϑ/4 , x=2 Find an unbiased estimator of ϑ. Obtain the maximum likelihood estimator is not unique. Is any choice of MLE unbiased? ϑ̂(x) of ϑ and show that it