48. Mathematik-Olympiade Regionalrunde

48. Mathematik-Olympiade
Regionalrunde Oberberg
Aufgaben für die 7. Klasse
Aufgabe 1 - Lösung
10 Punkte
Aus (1) und (3) folgt, dass weder Herr Voigt noch Herr Schröter Geschichte unterrichten.
Folglich gilt (letzte verbleibende Möglichkeit):
Herr Bergmann ist Geschichtslehrer.
(7)
Aus (2) und (6) folgt, dass weder Herr Schröter noch Herr Voigt Deutsch unterrichten. Folglich
gilt (letzte verbleibende Möglichkeit):
Herr Bergmann ist Deutschlehrer.
(8)
Aus (4) und (5) folgt, dass weder Herr Bergmann noch Herr Schröter Physik unterrichten.
Folglich gilt (letzte verbleibende Möglichkeit):
Herr Voigt ist Physiklehrer.
(9)
Aus (2) folgt, dass Herr Schröter nicht Französisch unterrichtet.
Aus (7) und (8) folgt, dass Herr Bergmann nicht Französisch unterrichtet, weil jeder der drei
Lehrer genau zwei der sechs Fächer unterrichtet. Folglich gilt (letzte verbleibende Möglichkeit):
Herr Voigt ist Französichlehrer.
(10)
Aus (7), (8), (9) und (10) folgt, dass Herr Schröter Chemielehrer und Englischlehrer ist; (letzte
verbleibende Möglichkeit). Damit ist nachgewiesen, dass aus den Angaben (1) bis (6) folgende
Zuordnung eindeutig hergeleitet werden kann:
Herr Bergmann unterrichtet die Fächer Geschichte und Deutsch,
Herr Schröter unterrichtet die Fächer Chemie und Englisch,
Herr Voigt unterrichtet die Fächer Physik und Französisch.
Hinweis: Bei der Lösungsfindung für diese Aufgabe kann folgende Tabelle gute Dienste leisten:
Bergmann
Schröter
Voigt
Ch
De
− (4)
+
+ (8)
− (2)
− (6)
En
Fr
Ge
Ph
+
− (7, 8)
− (2)
+ (10)
+ (7)
− (3)
− (1)
− (4)
− (5)
+ (9)
Wenn aus einer Bedingung (n) folgt, dass eine Zuordnung nicht bestehen kann, dann wird dies
in dem betreffenden Feld durch − (n)“ festgehalten. Der sechsten Spalte ist dann zu entneh”
men, dass die Zuordnung Bergmann–Ge gelten muss, was durch + (7)“ in dem betreffenden
”
Feld festgehalten wird.
Eine solche Tabelle kann die Darstellung der Lösung als eine Folge von Folgerungen jedoch
nicht voll ersetzen. Dagegen ist zu akzeptieren, wenn ein Schüler für die Darstellung der Lösung
1
abkürzende Bezeichnungen einführt, z. B.
Aus (1) V 6= Ge und (3) S 6= Ge folgt (7) B = Ge.
Da man dem Aufgabentext entnehmen kann, dass die Aufgabe eindeutig lösbar ist, ist aus
logischer Sicht eine Probe nicht erforderlich. Wird dies jedoch nicht vorausgesetzt, dann ist
eine Probe unerlässlich, weil eine nicht benötigte Bedingung einer anderen Bedingung widersprechen könnte.
Aufgabe 2 - Lösung
10 Punkte
Teil a) Die Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für eine zulässige Eintragung.
3 −4 1
−2 0
2
−1 4 −3
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Abb. 1
5
2
5
4
3
2
Abbildung 2
3
4
7
4
11
4
2
11
9
4
5 20 35
3 3 3
22 31 7
3 3 3
1
3
6
Abb. 3
Teil b) Die neun Zahlen eines 3×3-Quadrats seien, wie links in der Abbildung L Aufgabe 2
- b angegeben, mit den Variablen a, b, . . . , i bezeichnet. Die gemeinsame Summe der Zahlen in
den Zeilen, Spalten und Diagonalen sei mit s bezeichnet. Dann gilt a + e + i = s.
.
Da nach Voraussetzung a = 52 , e = 74 und i = 1 gilt, folgt s = 52 + 74 + 1 = 21
4
, dass c = 21
− 52 − 34 = 2 gilt.
Wegen a + b + c = s folgt aus a = 52 , b = 34 und s = 21
4
4
Wegen c + f + i = s folgt aus c = 2, i = 1 und s = 21
, dass f = 21
− 2 − 1 = 49 gilt.
4
4
, dass h = 21
− 43 − 74 = 11
gilt.
Wegen b + e + h = s folgt aus b = 34 , e = 74 und s = 21
4
4
4
Wegen d + e + f = s folgt aus e = 74 , f = 49 und s = 21
, dass d = 21
− 74 − 94 = 45 gilt.
4
4
Wegen a + d + g = s folgt aus a = 52 , d = 54 und s = 21
, dass g = 21
− 52 − 54 = 23 gilt.
4
4
In dem rechten Quadrat der Abbildung L Aufgabe 2 - b ist die gesuchte Eintragung festgehalten.
Teil c) Verwendet man die gleichen Bezeichnungen wie in Teil b), dann gilt nach Voraussetzung a = 11, b = 3 und s = 20, woraus c = s − a − b = 20 − 11 − 3 = 6 folgt.
In der 1. Stufe der 48. MO wurde gezeigt, dass in jedem magischen 3×3-Quadrat die untereinander gleiche Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme s gleich dem Dreifachen der Zahl e
ist, die in der Mitte des Quadrates steht. Folglich gilt 20 = 3 · e, also e = 20
.
3
Analog zu Teil b) kann man nun die Belegung der restlichen fünf Felder ermitteln:
g = s − (c + e) = 20 − 6 + 20
3
= 22
,
3
i = s − (a + e) = 20 − 11 + 20
= 73 ,
3
7
h = s − (g + i) = 20 − 22
+
= 31
,
3
3
3
d = s − (a + g) = 20 − 11 + 22
= 53 ,
3
f = s − (c + i) = 20 − 6 + 73
= 35
.
3
2
In der Abbildung L Aufgabe 2 - c ist die gesuchte Eintragung festgehalten.
Hinweis: In den Teilen b) und c) wurde nur die Gleichheit von sechs der acht zu betrachtenden
Summen festgestellt. Dass die beiden anderen Summen ebenfalls den gleichen Wert liefern,
wäre aus logischer Sicht durch eine Probe nachzuweisen. Der Aufgabenstellung kann man
aber entnehmen, dass eine Lösung existiert, so dass man nach der Herleitung, welche Werte
die Eintragungen notwendig annehmen müssen, hier auf eine Probe verzichten kann.
Aufgabe 3 - Lösung
10 Punkte
Wir bezeichnen die Anzahl der Stufen der Treppe mit n sowie die Maßzahl der in Zentimeter
gemessenen Höhe der Treppe mit x.
Da die Treppe zwischen 15 und 20 Meter hoch ist, gilt
1500 < x < 2000.
(1)
Da die Stufenhöhe 15 cm beträgt, gilt
x = 15n.
(2)
Folgende Tabelle hält fest, wie Fritzchen etappenweise die Treppe hochsteigt:
1. Etappe
2. Etappe
3. Etappe
Anzahl der gestiegenen Stufen
Anzahl der verbliebenen Stufen
n
2
1·n = n
3 2
6
1·n = n
8 3
24
n − n2 = n2
n−n = n
2
6
3
n Stufen gestiegen ist, muss n durch 24 teilbar sein. Folglich
Da Fritzchen in der 3. Etappe 24
gilt für eine natürliche Zahl k
n = 24 · k.
(3)
Aus (1), (2) und (3) folgt durch Einsetzen 1500 < 15 · 24 · k < 2000. Wegen 15 · 24 = 360,
1500 : 360 = 4,16̄ und 2000 : 360 = 5,5̄ folgt hieraus k = 5.
Wegen (3) folgt hieraus n = 24 · 5 = 120, wegen (2) daher x = 15 · 120 = 1800. Folglich ist die
gesamte Treppe 18 Meter hoch.
Der Tabelle ist zu entnehmen, dass für n = 120 Fritzchen während der 1. Etappe 60 Stufen,
während der 2. Etappe 20 Stufen und während der 3. Etappe 5 Stufen, insgesamt also (60 +
20 + 5 =) 85 Stufen gestiegen ist. Folglich muss er noch (120 − 85 =) 35 Stufen steigen, um
das Ende der Treppe zu erreichen.
Hinweise zur Korrektur : Da dem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass diese Aufgabe genau
eine Lösung hat, ist eine Probe (zum Auffinden von Rechenfehlern zwar nützlich aber) aus
logischer Sicht nicht erforderlich.
Andererseits reicht es auch aus, die (etwa durch Probieren gefundene) Lösung anzugeben
und durch eine Probe nachzuweisen, dass es tatsächlich eine Lösung ist. Daher sind z. B.
folgende Probiertabellen“ angemessen zu bewerten, d. h. die folgende Tabelle allein erfüllt die
”
3
Forderungen an eine vollständige Beantwortung des ersten Teils Fragestellung nicht, hingegen
kann die zweite Tabelle als Lösung für den zweiten Teil akzeptiert werden:
Anzahl der Stufen
Höhe der Treppe
100
15 m
110
16,5 m
120
18 m
Anzahl der Stufen
Hälfte dieser Anzahl
Restliche Stufen
Drittel dieses Restes
Neuer Rest
Achtel dieses Restes
Anzahl erstiegener Stufen
Anzahl noch zu ersteigender Stufen
100
50
50
n. l.
−
−
−
−
130
19,5 m
110
55
55
n. l.
−
−
−
−
120
60
60
20
40
5
85
35
130
65
65
n. l.
−
−
−
−
Punktverteilungsvorschläge
Die Punktzahlen für die einzelnen Aufgaben sind verbindlich, um Vergleiche z. B. zum Zweck
der Entscheidung über die Teilnahme an der 3. Stufe (Landesrunde) zu ermöglichen.
Die Einschätzung der Punktzahlen für einzelne Teilschritte einer Schülerlösung (nach dem
Maßstab Verwendbarkeit des Teilschrittes in einem zum Ziel führenden Lösungsweg“) liegt
”
beim Korrektor; die folgenden Aufteilungen sind möglicherweise dem Vorgehen in einer
Schülerlösung anzupassen und können in diesem Sinne gelegentlich abgeändert werden.
Aufgabe 1
Insgesamt: 10 Punkte
Angabe der richtigen Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Vollständige Begründung dieses Resultates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Nachweis der Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 Punkte
Aufgabe 2
Insgesamt: 10 Punkte
Teil a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Teil b) Vollständige Begründung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Teil c) Korrekter Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Punkte
Aufgabe 3
Insgesamt: 10 Punkte
Angabe der Treppenhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Vollständige Herleitung dieses Resultates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Angabe der restlichen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Vollständige Herleitung dieses Resultates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
4
2
4
1
3
Punkte
Punkte
Punkt
Punkte