Untitled

WThirring
Lehrbuch der
Mathematischen
Physik
Band 2:
Klassische Feldtheorie
Zweite, neubearbeitete Auflage
Springer-Verlag
Wien
New York
o. Univ.-Prof. Dr. Walter Thirring
Institut ftir Theoretische Physik
Universität Wien, Österreich
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt.
..
Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung,
des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung,
der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege
und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen,
bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten.
© 1990 and 1978 by Springer-Verlag/Wien
Mit 74 Abbildungen
ISBN-13: 978-3-211-82169-5
e- ISBN-13:978-3-7091-6927-8
DOI: 10.1007/978-3-7091-6927-8
Vorwort
Die Sprache und die Methoden der modernen Differentialgeometrie sind in der
vergangenen Dekade immer mehr in die theoretische Physik eingedrungen. Was vor
15 Jahren, als das Buch zuerst als Vorlesungsskriptum herauskam, noch extravagant
erschien, ist heute ein Gemeinplatz. Dies hat mich in der Ansicht gestärkt, daß die
Studenten der theoretischen Physik diese Sprache lernen müssen, je eher desto besser.
Schließlich werden sie die Professoren des 21. Jahrhunderts sein und es wäre absurd,
würden sie dann die Mathematik des 19. Jahrhunderts lehren. Daher habe ich in der
neuen Auflage auf dieser Symbolik beharrt, einige Fehler korrigiert und ein Kapitel über Eichtheorien hinzugefügt. Da es sich gezeigt hat, daß sie die fundamentalen
Wechselwirkungen beschreiben und ihre Struktur zumindest auf dem klassischen Niveau hinreichend klar ist, scheinen sie mir zur Minimalausrüstung zu gehören, über
die jeder Theoretiker verfügen muß. Mit Bedauern mußte ich davon Abstand nehmen,
die neueren Entwicklungen der Kosmologie und Kaluza-Klein-artige Theorien aufzunehmen, aber ich fühlte mich an mein ursprüngliches Versprechen gebunden, den
Studenten keine theoretischen Spekulationen aufzubürden, für die es keine sichere
experimentelle Evidenz gibt.
Vielen Physikern bin ich für Hinweise bezüglich dieses Bandes sehr verpflichtet.
Insbesondere P. Aichelburg, H. Rumpf und vor allem H. Urbantke haben zahlreiche
Korrekturen und Verbesserungen angebracht. I. Dahl-Jensen sei dafür gedankt, daß
sie manche nach Gefühl angefertigte Zeichnungen mit dem Computer ins richtige Lot
gebracht hat.
Ein weiterer Fortschritt gegenüber der ersten Auflage ist der hervorragende Computersatz, den ich wie immer Frau F. Wagner verdanke. Die Zeichnungen lagen wieder
in den Händen von Frau J. Ecker.
Wien, im Juni 1989
W. Thirring
Inhaltsverzeichnis
Im Text erklärte Symbole
IX
1 Einleitung
1.1 Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
1.2 Der mathematische Formalismus. . . . . . . .
1.3 Die Maxwellschen und Einsteinschen Gleichungen
1
1
10
29
2 Elektromagnetisches Feld gegebener Ladungsverteilungen
2.1 Wirkungsprinzip und Erhaltungssätze.
2.2 Die allgemeine Lösung . . .
2.3 Das Feld einer Punktladung
2.4 Die Strahlungsrückwirkung .
45
45
56
69
87
3
Feld bei Anwesenheit von Leitern
3.1 Der Supraleiter . . . . . . . . . .
3.2 Halbraum, Hohlleiter und Resonator
3.3 Beugung am Keil . . .
3.4 Beugung am Zylinder.
99
99
109
121
134
4
Gravitation
4.1 Kovariante Ableitung und Krümmung.
4.2 Eichtheorien und Gravitation . . . . .
4.3 Maximal symmetrische Räume. . . . .
4.4 Räume mit maximal symmetrischen Untermannigfaltigkeiten .
4.5 Leben und Sterben der Sterne
4.6 Existenz von Singularitäten
151
151
171
188
201
219
232
Literatur
249
Index
255
Im Text erklärte Symbole
Ep(M)
d
WIN
E~(U)
(ei(x)lek(x»)
iv
*
0(x)
l5(x)
I5x
Gx
E,B,F
A
A
J
Q
Taß
pa
Ta
z(s)
ta
.c
W
S
Dx
Dret(x)
Gret x
Fret
Fein
Faus
Basis der p-Formen
(1.2.3)
Linearer Raum der p-Formen
(1.2.5,2)
Äußere Ableitung
(1.2.6)
Einschränkung einer Form
(1.2.7,3)
Raum der rn-Formen mit kompaktem Träger
(1.2.9)
Skalarprodukt
(1.2.14)
Inneres Produkt
(1.2.16)
Isomorphismus zwischen E p und E m - p •••••••••••••••••••••••• (1.2.17)
Koableitung
(1.2.19)
Laplace-Beltrami-Operator
(1.2.20)
Lie-Ableitung
(1.2.23)
Übertragungsform
(1.2.25)
Übertragungsform
(1.2.25)
Stufenfunktion
(1.2.31)
Diracsehe I5-Funktion
(1.2.31)
Diracsche I5-Funktion (Form)
(1.2.33)
Green-Funktion
(1.2.35)
Elektrisches und magnetisches Feld
(1.3.1)
Vektorpotential
(1.3.7)
Eichfunktion
(1.3.10,1)
Strom
(1.3.12)
Gesamtladung
(1.3.18,2)
Energie-Impuls-Tensor
(1.3.20)
Gesamt-Energie-Impuls
(1.3.21)
Energie-Impuls-Form des Feldes
(1.3.22)
Weltlinie
(1.3.25,2)
Energie-Impuls-Form der Materie
(1.3.25,2)
Lagrange-Funktion
(2.1.1)
Wirkung
(2.1.1)
Poyntingscher Vektor
(2.1.13)
Green-Funktion
(2.2.5)
Retardierte Green-Funktion
(2.2.7)
Retardierte Green-Funktion (Form)
(2.2.7)
Retardierte Feldstärke
(2.2.9)
Einlaufende Feldstärke
(2.2.15)
Auslaufende Feldstärke
(2.2.15)
x
prad
D(x)
oE
j
G
S
p(z)
Sp
D
.cu
Dx
n
8
T
fijk
Rik
Rijkm
Cjk
Ta
K
c
J+(x)
J-(x)
C(x,S)
C 1 (x, S)
d(A)
Im Text erklärte Symbole
Strahlungsfeld
(2.2.21)
D-Funktion
(2.2.22)
(2.4.4,2)
Energieverlust pro Umlauf
Vorgegebener Strom
(3.1.7)
Feld, das j entspricht
(3.1.19,3)
Superpotential
(3.1.20)
Fresnelsches Integral
(3.3.10)
p-Form-wertige Schnitte
(4.1.9)
Kovariante äußere Ableitung
(4.1.10)
Kovariante Lie-Ableitung
(4.1.15)
Kovariante Ableitung
(4.1.15)
Krümmungsform
(4.1.19)
Verschmelzungsform
(4.1.32)
Torsion
(4.1.32)
Christoffel-Symbol
(4.1.36)
Krümmungsform
(4.1.43)
Riemann-Christoffel-Tensor
(4.1.44,2)
Weyl-Formen
(4.1.44,3)
Schwarzschild-Radius
(4.4.41)
Krümmungsparameter
(4.4.42)
Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. (4.6.8)
Zukunft
(4.6.18(i»
Vergangenheit
(4.6.18(i»
Menge der kausalen Kurven
(4.6.18(ii»
Menge der differenzierbaren kausalen Kurven
(4.6.18(ii»
Länge von A
(4.6.18(iii»
1
Einleitung
1.1
Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
Elektrisches und magnetisches Feld sind dynamisch so miteinander verwoben, daß sich ihre Erregungen im leeren Raum mit einer universellen
Geschwindigkeit c fortpflanzen. Dieses Phänomen läßt die Abstrahlung
des Feldes qualitativ verstehen und analoges Geschehen für das Schwerefeld erwarten.
Die Vereinigung der Theorien elektrischer und magnetischer Erscheinungen war
eines der großen wissenschaftlichen Ereignisse des vorigen Jahrhunderts. Während
das elektrische Feld E im stationären Fall Quellen an den Orten der Ladungen besitzt, aber wirbelfrei ist, so rufen zeitliche Veränderungen des Magnetfeldes Wirbelspannungen hervor. Das Magnetfeld B ist hingegen stets quellenfrei, hat von Strömen
erzeugte Wirbel und solche, die ein zeitabhängiges elektrisches Feld hervorruft. Dieses
dynamische Ineinandergreifen der Felder wird durch die Maxwellschen Gleichungen
beschrieben. Etwa im leeren Raum (weder Quellen noch Ströme) besagen siel für
Integrale über beliebige Flächen N mit Rand aN
1 dsE =
!aN
-
r dO13,
(1.1.1)
JN
und für geschlossene Flächen
(1.1.2)
Später werden wir diese scheinbar voneinander unabhängigen Relationen als verschiedene Aspekte der Aussage erkennen, daß die Feldstärkenform und ihre Dualform geschlossen sind. Bevor wir diesen geometrischen Inhalt ausschöpfen, wollen wir die
dadurch hervortretenden physikalischen Phänomene intuitiv zu begreifen versuchen.
Elektromagnetische Wellen (1.1.3)
Ein Feld
Ey
= B z = cosw(x -
t),
die anderen Komponenten 0,
(1.1.4)
sieht zu fester Zeit wie folgt aus: (Fig. 1.1). Es ist offensichtlich quellenfrei und genügt
auch den Relationen (1.1.1). Dies ist etwa für die in Fig. 1.2 gewählten Flächen leicht
zu sehen. Da sich die Welle von Fig. 1.1 nach rechts bewegt, haben E, B in dem
Gebiet das Vorzeichen von E, B, und es gilt
f
1
Eds = -2L = -Lw Jrlw dxsinwx = o
Wir verwenden Einheiten mit c
= 1.
f.
BdI.
2
1
r.
__
/
~
/
B
B
0
Einleitung
E
-"V'------_-_-_-_---'7'------_~_-_-_-....::::. ."'_'::::___--_r'<l'-,/-E--"T.J,-/.
E
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t
E
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i
B
B
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[
v
Fig. 1.1 Die Felder einer ebenen Welle
aN
L
7
y
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0
!
/
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I
,/
N
7,/
,/
B
>
,/'
/
/~
rr/w
Fig. 1.2 illustration der Maxwell-Gleichungen in Integralform
;;:
x
1.1
Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
3
Im Gegensatz zum stationären Fall, in welchem das elektrische Feld einer Punktquelle
wie 1/r 2 abfällt, kann es also im dynamischen Fall ohne Abnahme den Raum mit der
zu 1 normierten Lichtgeschwindigkeit durchlaufen, ohne daß der Puls an Intensität
verliert.
Weniger direkt ersieht man aus den Relationen (1.1.1) und (1.1.2), daß sich jegliche Veränderung der Felder mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Wir werden später
studieren, wie dies aus der Struktur der Charakteristiken der äquivalenten Differentialgleichung folgt. Jetzt wollen wir diesen Umstand als gegeben ansehen und damit
untersuchen, wie eine beschleunigte Ladung ihr Coulomb-Feld abschüttelt:
Erzeugung elektromagnetischer Strahlung (1.1.5)
Eine Ladung e, die mit konstanter Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt wird,
strahlt nicht (Lorentz-Invarianz). Wird sie aber während der Zeit - r < t < 0 im
Ursprung zum Stehen gebracht, so sieht ihr Coulomb-Feld zu einer Zeit t > 0 folgendermaßen aus: Für Abstände r > t + T vom Ursprung gleicht es dem Feld der
bewegten Ladung, denn zu diesen Teilen des Raumes hat sich noch nicht herumgesprochen, daß die Ladung gebremst wurde. Dort zeigen die Kraftlinien zum Punkt
x ~ vt und nicht zu x = 0, wo die Ladung für t > 0 ruht, sie sind also um vt rv vrt
verschoben. Für r < t hat man das Feld einer bei x = 0 ruhenden Ladung, hier
hat das Feld schon vergessen, daß sich die Ladung einmal bewegt hat. Dazwischen,
in der Kugelschale t < r < t + r, müssen die Kraftlinien stetig und quellenfrei verlaufen. Daher werden sie verbogen und müssen, wie aus Fig. 1.3 ersichtlich, enger
zusammenrücken, und zwar mit r wachsend und am meisten in den unter 90° zu v
gelegenen Teilen der Kugelschale. Dies bewirkt eine Vergrößerung der Feldstärke um
einen Faktor: Verdichtung der Feldlinien rv (Verschiebung der Feldlinien)/(Dicke der
Kugelschale) '" vrt/r rv rv, denn für r = t + T sieht man das Feld einer Ladung
bei x = tv rv trv, die Kraftlinien sind um dieses Stück verschoben. Somit ist in der
Kugelschale das Feld nicht lEI = e/r 2 , sondern
lEI
rv
v
er
für
t < r < t +r
und {) = L(x,v)
1r
rv"2.
(1.1.6)
Bemerkungen (1.1. 7)
1. Der Verdichtungsfaktor ist nur für {) rv 1r /2 wesentlich, für {) = 0 oder 1r werden
die Kraftlinien in der Kugelschale nicht verbogen. Die genauere Rechnung ergibt
einen Faktor sin {) .
2. Das Vorzeichen des zusätzlichen Feldes ist offenbar so, daß es in Richtung der
negativen Beschleunigung weist.
Ein solches elektrisches Feld rv 1/r und nicht rv 1/r 2 wie das statische CoulombFeld führt direkt zu Ausstrahlung von Energie: Die in der Kugelschale steckende
Feldenergie
rv
f
lt<r<t+T
d3 xlEI 2
rv
IEI 2 r2 r rv e2 1vl 2 r
bleibt während ihrer Expansion erhalten, so daß sie auch für große r, wo die Coulombsche Feldenergie gegen 0 geht, noch denselben Energieinhalt aufweist. Dieser wurde
1
4
E für t
Einleitung
Efürt>O
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I
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I
I
t+1"
\~
\ \
\
'\
"- " r < t
"
........
'~7---
Fig. 1.3 Das Feld der Bremsstrahlung
offenbar beim Bremsen während der Zeit 7 an das Feld abgegeben und wandert in
der sich mit Lichtgeschwindigkeit ausdehnenden Kugelschale ins Unendliche. So ergibt sich die für die Ausstrahlung grundlegende
Larmorsche Formel (1.1.8)
2
. h·
.
Iust /Z·
E nerglever
eItem
eIt = -2 -e v·2 .
3 41r
Bemerkungen (1.1.9)
1. Um die Größenordnung des Energieverlustes zu erfassen, benützt man am besten die charakteristische Länge der Elektrodynamik: r e = klassischer Elektronenradius = Radius, bei dem das Coulomb-Potential der Ruhenergie des
Elektrons gleicht = e2 /41rmc? '" 10- 13 cm (entspricht etwa 10-23 Sekunden, falls c = 1). Wird ein Elektron mit fast Lichtgeschwindigkeit innerhalb
7 '" r e '" 10- 23 sec gestoppt, ist iJ '" V/7 '" 1/7 '" I/re, so daß während der
Bremsung eine Energie'" re 2iJ2 '" e2/r e , also etwa die Ruhenergie des Elektrons ('" 1/2 MeV), abgestrahlt wird. Derartig rasante Ereignisse sind bei den
gegenwärtigen Beschleunigern durchaus an der Tagesordnung.
2. Elektronen bremst man am besten mit einem elektrischen Feld E, und man kann
fragen, wie der Energieverlust mit der Energie des Feldes E zusammenhängt.
Wegen miJ = eE strahlt ein Elektron E 2(e 2/m)27 , also jenen Teil der Energie
1.1
Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
5
des Feldes E, welcher in einem Volumen T x (klassischer Elektronenradius?
enthalten ist. Wird es nicht nur einmal gebremst, sondern periodisch bewegt
wie in einer Lichtwelle, kann man nach dem Streuquerschnitt: = (Pro Zeiteinheit gestreute Energie)/(Pro Zeit und Flächeneinheit einfallende Energie)
fragen. Da E 2 die Energiedichte der Welle darstellt, pro T und Flächeneinheit
also E2 T einfällt, ist der Streuquerschnitt '" r~. Das Elektron ist also in dem
Sinn 10- 13 cm groß, daß es aus einem Lichtstrahl eine Fläche r~ '" 10- 26 cm2
ausblendet. Allerdings wirkt das Elektron aufgrund von Quanteneffekten vielfach so, als hätte es eine Größe 10-11 cm. Man muß sich eher vorstellen, daß
das Elektron 10- 11 cm groß, aber ziemlich durchsichtig ist, so daß es Licht nur
wenig streut. Wieso Materie dann vielfach Licht nicht durchläßt, obgleich sie
das Feld hauptsächlich durch Elektronen beeinflußt, wird noch zu diskutier~n
sem.
3. Der genaue, in (1.1.8) gegebene Zahlfaktor kommt so zustande:
a) Wir verwenden Einheiten, in denen das Coulomb-Feld e/47rr 2 ist, also
zusätzlich (47r)-2.
b) Nach (1.1.7,1) hat die Energiedichte eine Winkelverteilung '" sin 2 'l9. Über
2
die Kugelfläche integriert, liefert dies :3 ·47r.
c) Die Energiedichte ist zwar genauer
großen Beitrag.
~
J(E + B
2
2
),
doch B gibt einen gleich
Die üblichen Lichtquellen beziehen ihr Licht von Atomen, in denen negative Ladungen um positive kreisen, die Gesamtladung aber verschwindet. Schwingt eine
Ladung allein, so wiederholt sich das Feldlinienbild von der einmaligen Bremsung
(Fig. 1.4, links). Für zwei entgegengesetzte Ladungen, die gegeneinander schwingen,
ist diesem Feldlinienbild ein phasenverschobenes mit umgekehrter Richtung der Kraftlinien zu überlagern (Fig. 4). Wie man sieht, lösen sich von einem schwingenden Dipol
elektrische Wirbel ab, wobei lEI wieder durch (1.1.6) gegeben sein wird. Für iJ ist
dabei w 2L einzusetzen, wenn w die Frequenz und L die Schwingungsamplitude ist.
Dies ergibt die Formel für
Dipolstrahlung (1.1.10)
Anwendung für Atome (1.1.11)
Bei Atomen wird man für L deren Größe, den Bohrschen Radius rb := 1i,2/ me 2 =
(fi/e 2)2rc = (137)2 rc '" 10-8 cm einsetzen. Die Elektronengeschwindigkeit wL ist
'" (137)-\ also die Umlaufsdauer '" (137)rb '" (137)3r c '" 10- 15 sec. Dann liefert (1.1.10) Energieverlust/Umlauf'" (137)3 e2/ rb . Ein Elektron muß daher (137)3
Umläufe ausführen, um eine Energie e 2 /rb abzustrahlen. Die zur Verfügung stehenden Anregungsenergien sind gerade von der Ordnung e 2 /rb '" 10 eV, so daß man
1
6
I
I
,
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%
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\
Einleitung
I
+ I
,
"
II~/ , - - . . . ,~\
~
I
,
~,'\
\
\
\
L
+
(+ -)
Fig. 1.4 Elektrisches Feld des schwingenden Dipols
die Lebensdauer angeregter Zustände zu (137)3 . 10- 15 sec rv 10-8 sec abschätzen
wird. Natürlich verlangt die genauere Analyse dieses Vorgangs nach der Quantentheorie, doch für eine erste Orientierung braucht man von ihr nur rb, den Rest liefert
die Larmorsche Formel. Der gewöhnlichste Erzeugungsprozeß von Licht sieht daher
so aus: Ein Atom strahlt während 10-8 sec (137)3 Wellen aus. Da die Wellenlänge
rv 1/w rv 137rb, gibt dies ein (137)4 rb rv 10 cm großes Wellenpaket (Fig. 1.5). Diese
Verhältnisse spiegeln sich in der Breite der ausgesandten Spektrallinien und in der
Kohärenzlänge der Strahlung wider.
In der ursprünglichen Abschätzung der Bremsstrahlung (1.1.8) wurde nur die
Form der elektrischen Feldstärke rv x/r 3 verwendet. Dies verleitet dazu, dieselbe
Überlegung auch auf die Schwerkraft zu übertragen, indem man für e2 die formal
entsprechende Größe K:m; einsetzt. Bevor man den Details dieser Analogie nähertritt,
wird man zunächst durch die Numerik entmutigt. Wie in (I, 1.1.1) diskutiert, unterscheiden sich diese Kopplungskonstanten um 1036 • Während also ein Atom 10- 8 sec
braucht, um ein Photon zu legen, würden 1036 .10- 8 sec rv 10 28 sec bis zur Entstehung
eines Gravitons verstreichen. Das entspricht dem 101 °-fachen Alter des Universums,
und jede weitere Beschäftigung mit solchen Fragen scheint müßig. Massen haben
jedoch im Gegensatz zu Ladungen stets dasselbe Vorzeichen, und es entstehen bei
großen KÖrpern ungeheure Kohärenzeffekte. Wir werden gleich sehen, daß beim Zusammenbruch eines Sterns riesige Energien durch das Schwerefeld ausgestrahlt werden
sollten.
Erzeugung von Gravitationsstrahlung (1.1.12)
Die Überlegungen von (1.1.5) sind in folgenden Punkten neu zu überdenken:
Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
7
(137)3 Wellen.
r"'\.
_
............. .........""
\../"
__
.
~
10 cm
137-fache Vergrößerung
Fig. 1.5 Größenverhältnisse bei der Lichtemission durch ein Atom
a) Die eine Eingabe war E = exlr 3 . Der potentiellen Energie e2 Ir zweier Ladungen
e entspricht die Gravitationsenergie KM 2 Ir zweier Massen M. Das Analogon
zum Coulomb-Feld ist also .JK,Mxlr3 , dessen Quadrat die Energiedichte angibt.
b) Zweitens wurde benützt, daß sich das elektromagnetische Feld mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Daß dies auch für das Gravitationsfeld gilt, werden wir
später als Folge der Einsteinschen Gleichungen erkennen. Allerdings beeinßußt
das Gravitationsfeld die Lichtgeschwindigkeit, was die Details des Ausstrahlungsproblems verkompliziert, aber die Größenordnungen nicht ändern sollte.
c) In der elektromagnetischen Situation wurde der Ladungsschwerpunkt beschleunigt, und hier hört die Analogie auf. Da das Schwerefeld an alle Massen gleich
gekoppelt ist, und sich der Gesamtschwerpunkt gleichförmig bewegt, kommt
diese Art der Strahlung nicht vor. Man sieht dies etwa bei zwei gegeneinander schwingenden Massen, bei denen zwei phasenverschobene Felder aber mit
gleichem Vorzeichen zu überlagern sind. Dadurch hebt sich normal zur Schwingungsrichtung gerade die große Komponente in Richtung von v weg (Fig. 1.6),
und es verbleibt ein Feld", l/r 2 •
d) Auch mit ruhendem Ladungsschwerpunkt kann es elektromagnetische Quadrupolstrahlung geben. Etwa in der Situation von c) ist unter 45° die Kompensation
der asymptotischen Felder nicht exakt. Bei genauerer Berechnung werden sie
nur um v '" wL reduziert. Dasselbe gilt dann auch für die Gravitationswellen
und führt auf die
1
8
-...-_--'-----+-----'----'-+
+
..J.-_-L.
-+-
Einleitung
-'--_....l..=
+
(H)
Fig. 1.6 Gravitationsfeld zweier schwingender Massen
Gravitationsstrahlung rotierender Massen (1.1.13)
EnergieverlustJZeiteinheit", K.M 2w 6L 4 '"
oder
K.~2 v5w
EnergieverlustJUmlauf'" v 5 • Gravitationsenergie des Systems.
Bemerkungen (1.1.14)
1. Wir werden später einen scheinbar anderen Grund für den zusätzlichen Faktor v 2 = w2L2 finden: Während das elektromagnetische Feld an den Strom
gekoppelt ist, hat das Schwerefeld mit dem Energie-Impulstensor Wechselwirkung. Letzterer ist quadratisch in der Geschwindigkeit, und ein weiteres v in
der Kopplung gibt v 2 im Energieverlust.
2. Indem wir K.M 2JLais Gravitationsenergie des Systems interpretieren, erhalten wir eine Relation, in welcher die winzige Kopplungskonstante nicht mehr
aufscheint, besser gesagt, in der Gravitationsenergie verborgen ist.
3. In (1.1.13) haben wir uns nicht bemüht, den genauen Zahlfaktor zu eruieren.
Dies gelingt auch nur im Rahmen der linearen Näherung zur Einsteinschen
Theorie. Exakte Lösungen, die zeigen, wie Gravitationswellen entstehen, wurden noch nicht gefunden.
In (I, 1.1.1) haben wir qualitative Züge des kosmischen Geschehens diskutiert,
und wir berechnen nun mit diesen Zahlen die
1.1
Physikalische Erscheinungen der Felddynamik
9
Größenordnung der Gravitationsstrahlung (1.1.15)
a) Planeten: Etwa für die Erde ist v rv 10-\ und wir bekommen in (1.1.13)
einen Faktor 10- 20 . Das bedeutet, die Erde hat im Laufe ihrer 10 10 Jahre nur
den lO- lO-ten Teil ihrer potentiellen Energie abgestrahlt, ist also dadurch der
Sonne um 1O- 10 x Abstand zur Sonne rv 10- 10 .10 8 km rv 10 m nähergerückt.
b) Doppelsterne: Für sie ist v rv 10-3 und die Umlaufsdauer manchmal nur 10-3
Jahre. Sie strahlen jährlich 10- 12 ihrer Gravitationsenergie ab, ein Effekt, der
erst in den letzten Jahren gemessen werden konnte.
c) Schwarze Löcher: Bricht ein Stern unter seiner Last zusammen, verdichtet
sich seine Materie zu Kernmaterie, und es entsteht ein etwa 10 km großer Neu~
tronenstern. Diese zusammengeballte Masse erzeugt so ein starkes Schwerefeld,
daß die Gravitationsenergie mit der Ruhenergie vergleichbar wird und relativistische Effekte auftreten. Das gravitative Analogon zum klassischen Elektronenradius ist der Schwarzschild-Radius KM, welcher für Sterne rv km ist. Keplerbahnen in diesem Abstand werden relativistisch, dort kommt die potentielle
Energie an die Ruhenergie heran. Eine Implosion eines Neutronensternes kann
zu Situationen führen, in welchen v rv 1, KM 2 /L rv M, also nach (1.1.13) erreicht dann die ausgestrahlte Energie die Ruhenergie eines Sternes. Auch wenn
die genauere Rechnung ergibt, daß es nur einige Prozente sind, so handelt es
sich dabei doch um umgeheure Energien.
Leider steht ein direkter experimenteller Nachweis der Gravitationsstrahlung aus.
Sie wird aber von jeder vernünftigen Theorie vorhergesagt, haben wir in unseren
Betrachtungen doch nur eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schwerefeldes
vorausgesetzt.
Bei unseren bisherigen Überlegungen hatten wir die Bewegung der Quellen der
Felder als gegeben angenommen. Tatsächlich wirken die Felder aber auf die Quellen
zurück, und man sollte die Gleichungen für das gekoppelte System lösen. Einem
einfachen Beispiel für so ein Problem sind wir bei der Lichtstreuung begegnet, wo
wir gesehen haben, wie ein Elektron durch das Feld einer Lichtwelle beschleunigt
wird und so das auf eine Fläche rv r; auftreffende Licht streut. Allerdings war unsere
Ableitung für ein freies Elektron gedacht und kann für Elektronen in Materie sicher
nicht gelten. Bei so einem kleinen Querschnitt müßte ja normale Materie, in welcher
der Abstand zwischen den Elektronen rv (137)2 rc ist, weitgehend durchsichtig sein.
Daß dem nicht so ist, rührt von Resonanzerscheinungen bei gebundenen Elektronen
her, durch die iJ gegenüber (1.1.9,2) verstärkt wird:
Streuung von Licht durch gebundene Elektronen (1.1.16)
Die Elektronen unterliegen dann nicht nur dem elektrischen Feld E der Lichtwelle,
sondern auch der Bindungskraft. Idealisiert man letztere durch eine harmonische
Kraft mit einer Stärke rnwJ, welche die Schwingungsfrequenz Wo der Elektronen in
Atomen ergibt, wird man als Bewegungsgleichung für die Elektronen m( x+w~x) = eE
10
1
Einleitung
erwarten. Dann erzeugt ein periodisches E ein
und der Streuquerschnitt wird um (1 - w5/w 2)-2 vergrößert. Da für sichtbares Licht,
welches ja wieder von Atomen kommt, w in der Nähe von Wo liegt, kann der Resonanznenner sehr klein werden, und Licht dringt dann nicht weit ein. Wirkliche Materie
hat natürlich die verschiedensten Resonanzfrequenzen, diese verleihen ihr die Farbenpracht.
Die eben geschilderte Situation verleitet dazu, dann das gekoppelte System von
Materie und elektromagnetischem Feld so zu vereinfachen, daß man die Materie durch
die Randbedingung ersetzt, daß das Feld in sie nicht eindringt. Dieser Standpunkt
wird vielfach bei optischen Problemen wie Beugung eingenommen. Wir werden finden,
daß man trotz dieser Erleichterung nur mit etlichem Aufwand solche Probleme lösen
kann, sofern man einigermaßen Wert auf Präzision legt.
Will man ernsthaft das gekoppelte System Materie + Feld analysieren, muß man
sich im klaren sein, daß ihm im elektrischen und gravitativen Fall Gefahren aus umgekehrten Richtungen drohen. Da sich gleichnamige Ladungen abstoßen und gleiche
Massen anziehen, hat das System die Tendenz, durch die Coulomb-Kraft zu explodieren, und will gravitativ zusammenbrechen. Dieser von den statischen Kräften vorgezeichnete Drang wird durch die relativistische Erweiterung der Gleichungen nicht
aufgehoben und kann auch durch mathematisches Raffinement nicht aus der Welt geschafft werden. So werden wir die Frage, was die Ladung des Elektrons zusammenhält,
nicht beantworten können, und die klassische Elektrodynamik bleibt irgendwo eine
unvollendete Theorie. Natürlich wird sie bei kleinen Distanzen von der Quantenelektrodynamik abgelöst, doch auch sie kann nicht erklären, wodurch die elektrische Energie eines Punktteilchens endlich wird. Umgekehrt bestätigt die feinsinnigste Mathematik nur die naive Erwartung, daß durch die Schwerkraft ein genügend
großes System unter seiner Last zusammenbricht. Es scheint äußerst schwierig, diese
Singularitätentheoreme zu entkräften, zumal ihre düstere Prognose stimmen dürfte.
1.2
Der mathematische Formalismus
In der klassischen Feldtheorie sind die Algebra {Ep } der Formen und ihre
äußeren Ableitungen die zentralen Begriffe. Durch sie und die durch die
Metrik definierten *-Abbildungen E p --t E m _ p lassen sich die Maxwellschen und Einsteinschen Gleichungen auf entsprechende Weise formulieren:
Der von E. Cartan geschaffene Kalkül ist in der klassischen Feldtheorie besonders
nützlich, da er die in den Feldgleichungen vorkommenden Konstruktionen formalisiert. Wir wollen zunächst kurz die wichtigsten Rechenregeln wiederholen und verweisen bezüglich der genaueren Definition der Begriffe auf (1, Kap. 2) oder die im
Literaturverzeichnis angeführten Mathematikbücher.
1.2
Der mathematische Formalismus
11
Der Raum der Tensorfelder über einer Mannigfaltigkeit2 M hat eine lineare
Struktur3 , jedes Element kann als Linearkombination von gewissen Basiselementen, mit den Tensorkomponenten als Koeffizienten, geschrieben werden. Etwa für
die kovarianten Vektorfelder können wir irgendwelche m (= Dimension von M) linear unabhängige I-Formen ei(x), i = 1 .. . m, x E M, verwenden; jedes Vektorfeld v
läßt sich als
m
V = LVi(x)ei(x)
i=1
schreiben.
Bemerkungen (1.2.1)
1. Unabhängig soll heißen, daß V x die ei(x) unabhängige Vektoren sind.
2. Eine Basis wird gelegentlich rn-Bein genannt. V i sind die ei Vektoren und nicht
etwa' Komponenten eines Vektors.
3. Im allgemeinen gibt es keine globale Basis, die ei werden sich nicht stetig auf
ganz M ausdehnen lassen. (Nach (I, 2.6.17,6) gibt es auf der Kugeloberfläche
nicht einmal ein stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld.) Im Bereich U
einer Karte gibt es aber immer die gleich zu besprechende natürliche Basis. Für
lokale Prozesse wie Ableitungen können wir also beruhigt die Existenz einer
Basis voraussetzen.
4. Aus einer Basis läßt sich durch ei(x) -+ ei(x)
Aij(x)ej(x), detAij(x) f. 0
V x EU, eine andere bilden, und in Abwesenheit. einer weiteren Struktur ist
keine Basis vor einer anderen ausgezeichnet.
Die ei liefern durch Bildung des Tensorproduktes 0 auch eine Basis für die p-fach
kovarianten Tensorfelder, ein solches schreibt sich auf U
j
t = L tit ... jp(x)e ](x) 0 ei2 (x) 0 ... 0 ejp(x).
(1.2.2)
jk
Von besonderer Bedeutung sind die total antisymmetrischen kovarianten Tensorfelder (=: p-Formen), da sie p-dimensionale Volumselemente definieren. Für sie wird
ein antisymmetrisches Tensorprodukt /I. (= Keil- oder äußeres Produkt) eingeführt.
Wie das (endliche) Tensorprodukt ist es assoziativ und distributiv, aber ei /I. ej =
-ej /I. ei := ei 0 ej - ej 0 ei . Da wir die entsprechenden Basen oft brauchen werden,
führen wir die Abkürzung
(1.2.3)
2 Wie in I wollen wir eine genügend oft differenzierbare berandete Mannigfaltigkeit einfach als
Mannigfaltigkeit bezeichnen und auch bei Tensorfeldern Differenzierbarkeit voraussetzen.
3 Genauer eine Modulstruktur, die Koeffizienten sind Funktionen über M und nicht nur reelle
Zahlen.
1
12
Einleitung
ein, mit ihr schreibt sich jede p-Form als
W
= ""'
w· . ei1 ...ip/p!.
L..", '1··· l p
(1.2.4)
ik
Bemerkungen (1.2.5)
1. Wegen der Antisymmetrie besitzt die Basis
e i1 ...
ip
nur ( ;
) unabhängige Ele-
mente. Für p = 0 sind die p-Formen gewöhnliche Funktionen, für p > m setzt
man sie Null, da dann die Antisymmetrie unmöglich ist.
2. Die p-Formen über einer Mannigfaltigkeit bilden einen linearen Raum (sogar
einen Modul über C(M)), der mit E 1,(M) bezeichnet wird.
3. Das Keilprodukt
gibt eine offenbar assoziative Abbildung E 1' x E q ~ E 1'+q und verleiht den
Formen die Struktur einer (graduierten) Algebra.
Äußere Ableitung (1.2.6)
Die elementaren Differentialprozesse grad, div, rot verallgemeinern sich zu einer linearen Abbildung d: E1'(M) -+ E1'+J(M) mit den Rechenregeln (p,q = 0,1 .. . m)
(i) d(Wl
(ii) d(Wl
+ W2)
Ä
W2) =
(iii) d(dw) = 0,
+ dw2, Wi E E1' ,
(dwd Ä W2 +(- )1'Wl Ä dw 2, Wl
= dw1
W
E
E E 1' , W2 E E q ,
E1' .
Bemerkungen (1.2.7)
1. (i) und (ii) beschreiben das Verhalten von d bei den algebraischen Operationen,
wobei der Antisymmetrie entsprechend die Leibnizsche Regel zusätzlich (_)1'
erhält.
2. Die Koordinaten xi, i = 1 ... m, eines Punktes von M kann man als Abbildung
U -+ R, M ~ U = Bereich der Karte, also als Elemente von Eo(U) auffassen.
Die dx i sind also m I-Formen und werden die natürliche Basis von E1(U)
genannt. Für p = 0 sind (i) und (ii) die üblichen Rechenregeln der Ableitung,
so daß für eine Funktion U -+ R : x -+ f(x) die äußere Ableitung df =
dxiaf /ax i wird. d entspricht für p = 0 dem Gradienten, af/ax i =: f.i sind
seine Komponenten in der natürlichen Basis. In ihr ist wegen (iii)
o::; p ::; m,
und die äußere Ableitung einer p-Form (mit Summenkonvention)
W = w·31···3p. d1"';p/p!
wird
dw
= (dw·31···3p.) Ä e;l.·.;P/p! = w·31 .. ·3p.. kekit ...;p/p!.
1.2
Der mathematische Formalismus
13
3. Zu einer n-dimensionalen Untermannigfaltigkeit N lassen sich lokal Koordinaten xi so einführen, daß auf N dann Xn+l = Xn+2 = ... = Xm = 0 wird. Die Einschränkung WIN einer Form wird gegeben, indem man dXn+tIN = dX n+21N =
... = dXmlN = 0 setzt und die Einschränkung mit + und /\ kommutiert. Man
sieht leicht, daß dann auch (dw)IN = d(wIN) gilt.
4. Formen, deren äußere Ableitungen verschwinden, nennt man geschlossen, solche, welche selbst äußere Ableitungen sind, heißen exakt. (iii) besagt exakt =}
geschlossen. Die Umkehrung gilt nicht allgemein, aber etwa auf sternförmigen
Mannigfaltigkeiten. Lokal gilt sie immer.
Integral (1.2.8)
Bei einer Koordinatentransformation
x
--+
. axi
.
J
dX • = ai; d-x,
i(x),
transformiert sich die natürliche Basis von Em(U) wie ein rn-dimensionales Volumselement:
i
el...m = det(-. )e-l...m
ax
aiJ
'
und man kann durch
fu W := f
dx 1 ••• dxmwl...m(x),
WE
E~(U)
:= rn-Formen mit kompaktem Träger,
(1.2.9)
koordinatenunabhängig ein Integral über W definieren. W E E~(M) läßt sich als endliche Summe L:iwi von rn-Formen mit Träger im Berei'ch von Karten schreiben, und
das Integral ist durch (1.2.9) und f L:i Wi = L:i f Wi definiert. Allgemeiner ist das Integral von W E E~(M) über eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit N durch das
Integral der Einschränkung von W auf N erklärt:
fN W := fN wiN '
(1.2.10)
Integrieren ist insofern die Umkehrung von d, als sich die Sätze von Gauß und Stokes
zu
[ dw = [ w,
aN Rand von N,
(1.2.11)
JN
JoN
verallgemeinern.
Riemannsche Strukturen (1.2.12)
Ein symmetrisches kovariantes Tensorfeld zweiter Stufe
mit
(1.2.13)
führt zu einem Isomorphismus zwischen ko- und kontravarianten Vektorfeldern und
gestattet, deren Räume zu identifizieren. Man definiert durch
(1.2.14)