A1 A2 A3 A4 A5 A6 ∑ 10 10 10 10 10 10 60

Algebra II
Klausur vom 15.10.2013
Rolf Farnsteiner
P
A1 A2 A3 A4 A5 A6
10 10 10 10 10 10 60
Diese Klausur besteht aus 6 Aufgaben. Bestätigen Sie bitte durch Ihre Unterschrift,
dass Sie sämtliche Aufgaben erhalten haben.
Unterschrift
Ich bin damit einverstanden, dass mein Klausurergebnis durch Aushang bekanntgegeben wird.
Unterschrift
1
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 1. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik p > 0 sowie n ∈ N.
Wir betrachten die Abbildung
Fr : Pn −→ Pn ; (x0 : · · · : xn ) 7→ (xp0 : · · · : xpn )
Beweisen Sie folgende
(1) Die Abbildung
(2) Die Abbildung
(3) Die Abbildung
Aussagen:
Fr ist bijektiv.
Fr ist ein Morphismus.
Fr−1 ist kein Morphismus.
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 2. Es sei A := Q× die multiplikative Gruppe des Körpers Q der rationalen Zahlen,
A+ die Untergruppe der positiven rationalen Zahlen. Wir betrachten diese abelschen Gruppen
als Z-Moduln.
(1) Bestimmen Sie den Torsionsmodul T (A) von A.
(2) Zeigen Sie, dass A+ ein freier Z-Modul ist.
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 3. Es bezeichne A den Modul von Aufgabe 2. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(1) Ist U ⊆ A+ ein endlich erzeugter Untermodul, so existieren Primzahlen p1 , . . . , pr ∈ N
mit U ⊆ hp1 , . . . , pr i.
(2) Der Modul A+ ist nicht endlich erzeugt.
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 4. Wir betrachten folgende Z-lineare Abbildungen:
Z/(2) −→ Z/(4)
Z/(4) −→ Z/(2)
ι:
; π:
x+(2) 7→ 2x+(4)
x+(4) 7→ x+(2).
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Die Folge
E:
ι
π
(0) −→ Z/(2) −→ Z/(4) −→ Z/(2) −→ (0)
ist exakt.
(b) Die Folge E zerfällt nicht.
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 5. Es sei X 6= ∅ ein noetherscher topologischer Raum, O ⊆ X eine offene Menge.
Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(1) Die Menge O liegt dicht in X.
(2) Es gilt O ∩ C 6= ∅ für jede irreduzible Komponente C ⊆ X.
Algebra II ||
|| Klausur vom 15.10.2013
Aufgabe 6. Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper sowie Mat2 (k) = k 4 der Raum
(2×2)-Matrizen über k. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(1) Die Menge GL2 (k) := {A ∈ Mat2 (k) ; A ist invertierbar} ist offen und irreduzibel.
(2) Ist f ∈ k[X]r{0} ein Polynom, so existiert eine invertierbare (2×2)-Matrix Af mit
f (Af ) 6= 0.